【K12教育学习资料】[学习]2018-2019学年高中数学 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体

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1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征[A级基础巩固]一、选择题1．下列关于棱柱的说法中正确的是( )A．只有两个面相互平行B．所有棱都相等C．所有面都是四边形D．各侧面都是平行四边形解析:由棱柱的概念和结构特征可知选D.答案:D2．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体,以下说法正确的是（)A．棱柱B．棱锥C．棱台D．一定不是棱柱、棱锥解析：根据棱柱、棱锥、棱台的特征,一定不是棱柱、棱锥．答案:D3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )解析：A、B、C、中底面多边形的边数与侧面数不相等．答案：D4。

如图所示，在三棱台A′B′C′。

ABC中,截去三棱锥A′。

ABC，则剩余部分是( )A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．三棱台解析:观察图形可知，剩余部分是以A′为顶点，以四边形BCC′B′为底面的四棱锥，故选B.答案：B5．某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为（对面是相同的图案）( ）解析：其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻,但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻,又相同的图案是盒子相对的面,展开后绝不能相邻．答案：A二、填空题6.如图所示，正方形ABCD中，E,F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：折叠后，各面均为三角形，且点B、C、D重合为一点,因此该多面体为三棱锥(四面体）．答案：三棱锥(四面体）7．在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数为________．解析：上底面内的每个顶点与下底面内不在同一侧面的两个顶点的连线可构成正五棱柱的对角线,故从一个顶点出发的对角线有2条，所以共2×5＝10(条）．答案：108．①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点,故一定不是棱台;②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台;③两个互相平行的面是正方形,其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确说法的个数为________．解析：①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点,故一定不是棱台;②正确；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时,一定不是棱台．答案:29．根据如图所示的几何体的表面展开图,画出立体图形．解：图①是以ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．图②是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱．其图形如图所示．B级能力提升1．观察如图所示的几何体，其中判断正确的是( ）A．①是棱台B．②是棱锥C．③是棱锥D．④不是棱柱解析：①中互相平行的两个平面四边形不相似，所以侧棱不会相交于一点，不是棱台；②侧面三角形无公共顶点，不是棱锥;③是棱锥，正确;④是棱柱．故选C。

5.若一个几何体的三视图都是一样的图形,则这个几何体一定是球.( × ) 6.正方形利用斜二测画法画出的直观图是菱形.( × )
7.圆台的侧面积公式是π (r+R)l,其中r和R分别是圆台的上、下底面半径,l
是其母线长.( √ )
主题串讲
一、空间几何体的结构特征
方法提炼·总结升华
【典例1】 根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1) 由六个面围成 , 其中一个面是正五边形 , 其余各面是有公共顶点的三 角形;
解析:正四棱锥P-ABCD外接球的球心在它的高PO1上,记为O,OP=OA=R,
PO1=4,OO1=4-R, 或OO1=R-4(此时O在PO1的延长线上).
在Rt△AO1O中,R2=8+(R-4)2得R=3,
所以球的表面积S=36π. 答案:36π
规律方法 (1)与球有关的组合体,一种是内切,一种是外接,解题时要认
1 (6+8)× 17 =7 17 . 2
从而此正四棱台的侧面积是 28 17 .
【典例6】 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的表面积为 m3.
错解:由三视图可以得到原几何体是一个圆柱与圆锥的组合体,其表面积是
2 2 S=2π×1×4+π×1 +π×2×2 2 +π×2
=8π+π+4 2 π+4π =(13π+4 2 π)(m3).
1 13 26 于是仓库的容积 V=V 柱+V 锥=a2·4h+ a2·h= a2h= (36h-h3), 3 3 3
0<h<6,从而 V′=
26 2 2 (36-3h )=26(12-h ). 3

第一课时直线与平面垂直1若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b的关系是()A.a⊥b,且a与b相交B.a⊥b,且a与b不相交C.a⊥bD.a与b不一定垂直b∥α,则在平面α内存在一条直线c,使得b∥c,因为直线a⊥平面α,c⊂α,所以a ⊥c.因为b∥c,所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直,当b与a不相交时为异面垂直,故选C.2如图,BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥平面ABC,PD⊥BC,则图中直角三角形的个数是()A.8B.7C.6D.5PA⊥AC, PA⊥AD,PA⊥AB,BC⊥AD,BC⊥PD,AC⊥AB.图中的直角三角形分别为△PAC,△PAD,△PAB,△ADC,△ADB,△PCD,△PDB,△ABC,共8个,故选A.3设α表示平面,a,b,l表示直线,给出下列四个命题:①⇒l⊥α;②⇒b⊥α;③⇒b⊥α;④⇒a⊥α.其中正确的命题是()A.①②B.②③C.③④D.②中当a,b相交时才成立;③中由a∥α,a⊥b知b∥α或b⊂α或b⊥α或b与α相交;④中当a垂直于平面α内的两条相交直线时,有a⊥α,若a只垂直于平面α内的一条直线,则不能得出a⊥α,从而不正确.4已知直线a,b与平面α,给出下列四个命题:①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥α,b⊂α,则a∥b;③若a∥α,b∥α,则a∥b;④若a⊥α,b∥α,则a⊥b.其中正确命题的个数是 ()A.1B.2C.3D.45在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2和G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF和EF把这个正方形折起,使点G1,G2,G3重合,重合后的点记为G,则下列结论成立的是()A.SD⊥平面EFGB.SG⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.GD⊥平面SEFSG⊥GE,SG⊥GF,又GF与GE相交于点G,所以SG⊥平面EFG.6如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误．．的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等7对于四面体ABCD,给出下列四个命题:①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;④若AB⊥CD,BD⊥AC,则BC⊥AD.其中真命题的序号是.①,取BC的中点E.连接AE,DE,则BC⊥AE,BC⊥DE,所以BC⊥AD.对于命题④,过A向平面BCD作垂线AO,如图,连接BO并延长与CD交于点G,则CD⊥BG,同理CH⊥BD.所以O为△BCD的垂心,连接DO,则BC⊥DO,BC⊥AO,所以BC⊥AD.8如图,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于.PA⊥平面ABCD,所以PA⊥QD.又因为PQ⊥QD,PA∩PQ=P,所以QD⊥平面PAQ.所以AQ⊥QD,即Q在以AD为直径的圆上,当圆与BC相切时,点Q只有一个,故BC=2AB=2.9如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是.,一个面有四条棱与之垂直,六个面,共构成24个“正交线面对”;而正方体的六个对角面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成12个“正交线面对”,所以共有36个“正交线面对”.10如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2, AB∥DC,∠BCD=90°.(1)求证:PC⊥BC;(2)求点A到平面PBC的距离.PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC.由∠BCD=90°,得BC⊥DC.又因为PD∩DC=D,PD⊂平面PCD,DC⊂平面PCD,所以BC⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD,所以PC⊥BC.AC,设点A到平面PBC的距离为h.因为AB∥DC,∠BCD=90°,所以∠ABC=90°.从而由AB=2,BC=1,得△ABC的面积S△ABC=1.由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积V=S△ABC·PD=.因为PD⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以PD⊥DC.又PD=DC=1,所以PC=.由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面积S△PBC=,由V=S△PBC·h=·h=,得h=.因此,点A到平面PBC的距离为.★11如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,M,N,G分别是棱CC1,AB,BC的中点,且CC1=AC.求证:(1)CN∥平面AMB1;(2)B1M⊥平面AMG.设AB1的中点为P,连接NP,MP.因为CM∥AA1,且CM=AA1,NP∥AA1,且NP=AA1,所以CM∥NP,且CM=NP.所以四边形CNPM是平行四边形.所以CN∥MP.因为CN⊄平面AMB1,MP⊂平面AMB1,所以CN∥平面AMB1.(2)因为CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AG.由△ABC是正三角形得AG⊥BC,又因为BC∩CC1=C,所以AG⊥平面CC1B1B.所以B1M⊥AG.因为CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AC.设AC=2a,则CC1=2 a.在Rt△MCA中,AM= a.同理,B1M= a.因为BB1∥CC1,所以BB1⊥平面ABC.所以BB1⊥AB.所以AB1==2 a.所以AM2+B1M2=A.所以B1M⊥AM.又因为AG∩AM=A,AG⊂平面AMG,AM⊂平面AMG, 所以B1M⊥平面AMG.。

1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征1过正棱台两底面中心的截面一定是()A.直角梯形B.等腰梯形C.一般梯形或等腰梯形D.矩形答案：C2如图是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点数为()A.6B.7C.8D.9解析：还原几何体,如图.由图观察知,该几何体有7个顶点.答案：B3一个正四面体的各条棱长都是a,则这个正四面体的高是()A.aB.aC.aD.解析：因为正四面体底面外接圆半径为a,所以正四面体的高为h= a.答案：B4有四种说法:①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长相等的直四棱柱是正方体;③有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.以上说法中,正确的个数是()A.1B.2C.3D.4解析：①不正确,除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体;②不正确,当底面是菱形时就不是正方体;③不正确,两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面,故不一定是直平行六面体;④正确,因为对角线相等的平行四边形是矩形,由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体,故选A.答案：A5如果正四棱台两底面边长分别为 3 cm和5 cm,那么它的中截面(过各侧棱中点的截面)面积为()A.2 cm2B.16 cm2C.25 cm2D.4 cm2解析：如图,取A'A,B'B的中点分别为E,F,所以EF=×(3+5)=4(cm).则S中截面=42=16(cm2).答案：B★6如图,几何体①~⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,几何体⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从几何体①~⑤中选出三个放到几何体⑥上,使得几何体⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列几何体中,能够完成任务的为()A.几何体①②⑤B.几何体①③⑤C.几何体②④⑤D.几何体③④⑤解析：本题主要考查正方体的结构特征等知识,同时考查分析问题和解决问题的能力.观察得先将⑤放入⑥中的空缺处,然后上面可放入①②,其余可以验证不合题意.故选A.答案：A7一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱的长为.。

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积【选题明细表】1.已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( B )(A) (B) (C)2π (D)4π解析:由题意,该几何体可以看作是两个底面半径为,高为的圆锥的组合体,其体积为2××π×()2×=π.2.(2018·河南焦作期末)一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则该圆锥的体积为( D )(A)2π (B)π (C) (D)解析:由题圆锥的底面周长为2π,底面半径为1,圆锥的高为,圆锥的体积为π·12·=π,故选D.3.(2018·河北沧州高一检测)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( A )(A)7 (B)6 (C)5 (D)3解析:设上、下底面半径为r,R.则2πR=3×2πr,所以R=3r.又π(r1+r2)l=S侧,所以S侧=π(3r+r)×3=84π,所以r=7.4.(2018·安徽马鞍山期中)若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为( C )(A)1∶2 (B)1∶(C)1∶(D)∶2解析:若圆锥的高等于底面直径,则h=2r,则母线l==r,而圆锥的底面面积为πr2,圆锥的侧面积为πrl=πr2,故圆锥的底面积与侧面积之比为1∶,故选C.5.(2018·桂林调研)正六棱柱的一条最长的对角线长是13,侧面积为180,棱柱的全面积为.解析:如图,设正六棱柱的底面边长为a,侧棱长为h,易知CF′是正六棱柱的一条最长的对角线,即CF′=13.因为CF=2a,FF′=h,所以CF′===13. ①因为正六棱柱的侧面积为180,所以S侧=6a·h=180, ②联立①②解得或当a=6,h=5时,S底=6×a2×2=108.所以S全=180+108.当a=,h=12时,S底=6×a2×2=,所以S全=180+.答案:180+或180+1086.如图,直三棱柱ABC A 1B1C1的高为6 cm,底面直角三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,以上、下底的内切圆为底面,挖去一个圆柱,求剩余部分形成的几何体的体积为.(π取3.14)解析:由题意知,Rt△ABC的内切圆O的半径为r=1(cm),所以所求几何体的体积为V=×3×4×6-π×12×6≈17.16(cm3).即剩余部分形成的几何体的体积为17.16 cm3.答案:17.16 cm37.若圆锥的侧面积为2π,底面面积为π,则该圆锥的体积为.解析:由题底面半径是1,圆锥的母线为2,则圆锥的高为,所以圆锥的体积为××π=.答案:8.(2018·湖南郴州二模)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是( B )(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式V=(S上++S下)·h)(A)2寸(B)3寸(C)4寸(D)5寸解析:如图,由题意可知,天池盆上底面半径为14寸,下底面半径为6寸,高为18寸.因为积水深9寸,所以水面半径为(14+6)=10寸,则盆中水的体积为π×9(62+102+6×10)=588π(立方寸),所以平地降雨量等于=3(寸).故选B.9.(2018·辽宁抚顺一中月考)如图,多面体ABCDEF中,BA,BC,BE两两垂直,且AB∥EF,CD∥BE,AB=BE=2,BC=CD=EF=1,则多面体ABCDEF的体积为.解析:多面体ABCDEF的体积等于四棱锥D ABEF和三棱锥A BCD的体积之和.因为=×S四边形ABEF×BC=×(1+2)×2×1=1,=×S△BCD×AB=××1×1×2=.所以多面体ABCDEF的体积V多面体ABCDEF=+1=.答案:10.已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积.解:如图,正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE.因为OE=2 cm,∠OPE=30°,所以PE=2OE=4 cm.因此S侧=4×PE·BC=4××4×4=32(cm2),S表面积=S侧+S底=32+16=48(cm2).11.(2018·江苏省连云港市高一期末)如图,正方体ABCD A 1B1C1D1的棱长为2,P是BC的中点,点Q是棱CC1上的动点.(1)点Q在何位置时,直线D1Q,DC,AP交于一点,并说明理由;(2)求三棱锥B1-DBQ的体积;(3)若点Q是棱CC1的中点时,记过点A,P,Q三点的平面截正方体所得截面面积为S,求S. 解:(1)当Q是棱CC1的中点时,直线D1Q,DC,AP交于一点,理由:延长D1Q、DC交于点O,则QC为△DD1O的中位线,所以C为DO的中点,延长AP、DC交于点O′,则PC为△ADO′的中位线,所以C为DO′的中点,所以点O与点O′重合,所以直线D1Q、DC、AP交于一点.(2)==×(×2×2)×2=.(3)连接AD1、PQ,由(1)知,AD1∥PQ,所以梯形APQD1为所求截面,梯形APQD1的高为=,S=(+2)×=.。

(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平 面ADC＝AC，图形表示如图②.
规律方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先 仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系 如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和 虚线的区别．
β＝l，且 问题的依据；三
P∈l
是证明线共点问
题的依据
【预习评价】 (1)两个平面的交线可能是一条线段吗？ 提示 不可能．由公理3知，两个平面的交线是一条直 线． (2)经过空间任意三点能确定一个平面吗？ 提示 不一定．只有经过空间不共线的三点才能确定一个 平面．
题型一 三种语言间的相互转化 【例1】 用符号语言表示下列语句，并画出图形．
的位置关系 面面相交
α∥β α∩β＝a
任何一个平面内
异面直线 不同在
的两条直线，叫作异面直线
【预习评价】 (1)若A∈a，a α，是否可以推出A∈α？ 提示 根据直线在平面内定义可知，若A∈a，a α，则A∈α. (2)长方体的一个顶点与12条棱和6个面分别有哪些位置关系？ 提示 顶点与12条棱所在直线的关系是在棱上,或不在棱上； 顶点和6个面的关系是在面内，或在面外． (3)长方体的棱所在直线与面之间有几种位置关系？ 提示 棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与 平面相交．
位置关系 点与直线的 点A在直线a外 位置关系 点B在直线a上
图形表示
符号表示 A∉a B∈a
点与平面的 位置关系
点A在平面α内 点B在平面α外
平行
直线与直线 的位置关系
相交 异面
A∈α B∉α a∥b a∩b＝O
a与b异面

1.2 简单的逻辑联结词学习目标 1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义，掌握“p∨q”“p∧q”命题的真假规律.2.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题．知识点一p∧q思考1 观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？思考2 分析思考1中三个命题的真假？梳理(1)定义一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．(2)命题p∧q的真假判断命题p∧q的真假与命题p和命题q的真假有着必然的联系，我们将命题p、命题q以及命题p∧q的真假情况绘制成命题p∧q的真值表如下：命题p∧q知识点二p∨q思考1 观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2.它们之间有什么关系？思考2 思考1中的真假性是怎样的？梳理(1)定义一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．(2)命题p∨q的真假判断我们将命题p、命题q以及命题p∨q的真假情况绘制成命题p∨q的真值表如下：命题p∨q的真值表可以简单归纳为“一真则真，假假才假”．知识点三綈p思考观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？并指出其真假：(1)p：5是25的算术平方根，q：5不是25的算术平方根；(2)p：y＝tan x是偶函数，q：y＝tan x不是偶函数．梳理(1)定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”或“____________”．(2)命题綈p的真假判断因为命题p与命题綈p互为否定，所以它们的真假一定不同，真值表如下：命题綈p类型一用逻辑联结词联结组成新命题例1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题：(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；(3)p：正△ABC的三内角都相等，q：正△ABC有一个内角是直角．反思与感悟解决这类问题的关键是正确理解“或”“且”“非”的定义，用“或”“且”“非”联结p、q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可把命题p、q中的条件或结论合并．跟踪训练1 指出下列命题分别由“p且q”“p或q”“非p”中的哪种形式构成，并写出其中的命题p，q：(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；(2)方程x2－3＝0没有有理根；(3)如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二、三象限．类型二含有逻辑联结词命题的真假例2 分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2<0无解；(4)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数．反思与感悟判断含逻辑联结词命题的真假的步骤(1)逐一判断命题p、q的真假．(2)根据“且”“或”“非”的含义判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．跟踪训练2 指出下列命题的形式及命题的真假：(1)48是16与12的公倍数；(2)方程x2＋x＋3＝0没有实数根；(3)相似三角形的周长相等或对应角相等．类型三用含逻辑联结词命题的真假求参数的范围例3 已知a>0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式x2－ax＋1>0对x∈R恒成立，若p∨q为真命题，(綈p)∨(綈q)也为真命题，求实数a的取值范围．反思与感悟由真值表可判断p∨q、p∧q、綈p命题的真假．反之，由p∨q，p∧q，綈p 命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数的范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．跟踪训练3 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围．1．把“x ≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为____________________________________． 2．已知p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1,2}．则在四个命题p ，q ，p ∧q ，p ∨q 中，真命题有________个．3．命题s 具有“p 或q ”的形式，已知“p 且r ”是真命题，那么s 是________命题．(填“假”“真”)4．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b.给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q . 其中真命题是________．(只填序号)5．分别判断由下列命题构成的“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假： (1)p ：函数y ＝x 2和函数y ＝2x 的图象有两个交点；q ：函数y ＝2x 是增函数；(2)p ：∅{0}；q ：0∈∅.1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．2．若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真．类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p.因此(綈p)∧p为假，(綈p)∨p为真．3．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．提醒：完成作业第1章§1.2答案精析问题导学知识点一思考1 命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思．思考2 命题①②③均为真．梳理(1)p∧q p且q知识点二思考1 命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．思考2 ①③为真命题，②为假命题．梳理(1)p∨q p或q知识点三思考两组命题中，命题q都是命题p的否定．(1)中p真，q假．(2)中p假，q真．梳理(1)綈p非p p的否定题型探究例1 解(1)p∨q：π是无理数或e不是无理数；p∧q：π是无理数且e不是无理数；綈p：π不是无理数．(2)p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；綈p：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．(3)p∨q：正△ABC的三内角都相等或有一个内角是直角；p∧q：正△ABC的三内角都相等且有一个内角是直角；綈p：正△ABC的三个内角不都相等．跟踪训练1 解(1)“p且q”的形式．其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形．(2)“非p”的形式．p：方程x2－3＝0有有理根．(3)“p或q”的形式．其中p：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二象限，q：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第三象限．例2 解(1)∵p为假命题，q为真命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为真命题． (2)∵p 为假命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题，綈p 为真命题． (3)∵p 为真命题，q 为真命题，∴p ∧q 为真命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题． (4)∵p 为真命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题．跟踪训练2 解 (1)这个命题是“p ∧q ”的形式．其中p ：48是16的倍数，是真命题；q ：48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题．(2)这个命题是“綈p ”的形式．其中p ：方程x 2＋x ＋3＝0有实数根，是假命题，所以命题“方程x 2＋x ＋3＝0没有实数根”是真命题．(3)这个命题是“p ∨q ”的形式．其中p ：相似三角形的周长相等，是假命题；q ：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题． 例3 解 ∵y ＝a x在R 上为增函数， ∴命题p ：a >1.∵不等式x 2－ax ＋1>0在R 上恒成立， ∴应满足Δ＝a 2－4<0，即0<a <2， ∴命题q ：0<a <2.由p ∨q 为真命题，则p 、q 中至少有一个为真，由(綈p )∨(綈q )也为真，则綈p 、綈q 中至少有一个为真， ∴p 、q 中有一真、一假．①当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥2，∴a ≥2；②当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <2，∴0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围为{a |a ≥2或0<a ≤1}．跟踪训练3 解 ∵方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根， 设两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－m <0，x 1x 2＝1>0，Δ＝m 2－4>0，得m >2，∴p ：m >2.又方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝16(m －2)2－4×4<0，得1<m <3， ∴q ：1<m <3.∵p ∨q 为真，p ∧q 为假， ∴p 与q 中一真一假． 当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，∴m ≥3；当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，∴1<m ≤2.综上可知，m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)． 当堂训练1．“x >5或x ＝5” 2.2 3.真 4.②④ 5．解 (1)∵命题p 是真命题，命题q 是真命题， ∴p 且q 为真命题，p 或q 为真命题，非p 为假命题． (2)∵p 是真命题，q 是假命题，∴p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，非p 为假命题．。

§1.4生活中的优化问题举例学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．(3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．1．生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．( √) 2．解决应用问题的关键是建立数学模型．( √)类型一几何中的最值问题例1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求几何体体积的最值问题 解 ∵V (x )＝(2x )2×(60－2x )×22＝2x 2×(60－2x )＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)． ∴V ′(x )＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)． 令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝20. ∵当0<x <20时，V ′(x )>0； 当20<x <30时，V ′(x )<0.∴V (x )在x ＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值． ∴底面边长为2x ＝202(cm)， 高为2(30－x )＝102(cm)， 即高与底面边长的比值为12.引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？ 解 ∵AE ＝x ，∴HE ＝2x . ∵EF ＝60－2x ， ∴EG ＝22EF ＝22(60－2x )＝2(30－x )． ∴S 侧＝4×HE ×EG ＝4×2x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )＝－8x 2＋240x ＝－8(x －15)2＋8×152.∴当x ＝15时，S 侧最大为1 800 cm 2.反思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验． 跟踪训练1 (1)已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 的值为________．考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题(2)将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求面积的最值问题答案 (1)6πS 3π (2)100π4＋π解析 (1)设圆柱的底面半径为r ， 则S 圆柱底＝2πr 2，S 圆柱侧＝2πrh ， ∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh .∴h ＝S －2πr 22πr，又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32，V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， ∵V ′(r )只有一个极值点， ∴当h ＝2r 时圆柱的容积最大． 又r ＝S6π，∴h ＝2S6π＝6πS3π. 即当圆柱的容积V 最大时， 圆柱的高h 为6πS3π. (2)设弯成圆的一段铁丝长为x (0<x <100)，则另一段长为100－x . 设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π⎝⎛⎭⎪⎫x 2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 42(0<x <100)．因此S ′＝x2π－252＋x 8＝x 2π－100－x 8， 令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，则问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π4＋πcm 时，面积之和最小． 类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)，令f ′(x )＝0，得x ＝4或x ＝6. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题 解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x ∈(9,10)时，W ′<0， 所以当x ＝9时，W 取得最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6，当x >10时，W ＝98－⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0003x ＋2.7x≤98－21 0003x×2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7 x ，即x ＝1009时，W max ＝38，综上可得，当x ＝9时，W 取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．命题角度2 用料、费用最少问题例3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 解 (1)设需新建n 个桥墩， 则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x－1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋m x(2＋x )x＝256mx＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12m 12x -＝m2x2(32x －512)． 令f ′(x )＝0，得32x ＝512， 所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)上为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)上为增函数， 所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5， 而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元.1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1D ．－8考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解生活中的其他最值问题答案 C解析 原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高应为( ) A.1033 cm B.2033 cm C.1633cm D.33cm 考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题 答案 B解析 设圆锥的高为h cm,0<h <20， ∴V 圆锥＝13π(202－h 2)×h ＝13π(400－h 2)h∴V ′＝13π(400－3h 2)，令V ′(h )＝0得h ＝2033，当h ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2033时，V ′>0，当h ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2033，20时，V ′<0，故当h ＝2033时，体积最大．3．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元D ．23 000元考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题 答案 D解析 毛利润为(P －20)Q ，即f (P )＝(P －20)(8 300－170P －P 2)，f ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700＝－3(P ＋130)(P －30)． 令f ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍去)． 又P ∈[20，＋∞)，故f (P )max ＝f (P )极大值， 故当P ＝30时，毛利润最大， 所以f (P )max ＝f (30)＝23 000(元)．4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 答案 160解析 设底面长为x ，由题意得底面宽为4x.设总造价为y ，则y ＝20x ×4x＋10×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ，即y ＝20x ＋80x＋80，y ′＝20－80x，令y ′＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，y min ＝160(元)．5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)设商品降价x 元，则多卖出的商品件数为kx 2. 若记商品一个星期的获利为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)．由已知条件，得24＝k ×22，于是有k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]． (2)由(1)得，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故当x ＝12时，f (x )取得极大值． 因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664.所以定价为30－12＝18(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大．1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． 2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域； (2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．一、选择题1若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则当其表面积最小时底面边长为( ) A.3V B.32V C.34VD ．23V考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求面积的最值问题 答案 C解析 设底面边长为x ， 则表面积S ＝32x 2＋43xV (x >0)， ∴S ′＝3x2(x 3－4V )．令S ′＝0，得x ＝34V ，可判断当x ＝34V 时，S 取得最小值．2．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π D.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π 考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题 答案 A解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ， 则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r2.∴V ＝πr 2h ＝l2πr 2－2πr 3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<r <l 4，则V ′＝l πr －6πr 2.令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0， ∴r ＝l6是其唯一的极值点．∴当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.3．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润P (x )最大时，每年生产产品的单位数是( ) A ．150 B ．200 C ．250D ．300考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题 答案 D解析 由题意得，总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390，当0≤x ≤390时，令P ′(x )＝0，得x ＝300， 又当x >390时，P (x )＝70 090－100x 为减函数， 所以当每年生产300单位的产品时，总利润最大，故选D. 4．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A ．4B ．6C ．4.5D ．8考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 答案 A解析 设底面边长为x ，高为h ， 则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x， ∴S ′(x )＝2x －4×256x2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值． ∴h ＝25682＝4.5．某超市中秋前30天，月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30，t ∈Z )的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋12，则该超市前t 天平均售出⎝⎛⎭⎪⎫如前10天平均售出为f (10)10的月饼最少为( ) A ．14个 B ．15个 C ．16个D ．17个考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解生活中的其他最值问题 答案 D 解析 记g (t )＝f (t )t ＝t ＋12t＋10， 令g ′(t )＝1－12t2＝0，得t ＝23(负值舍去)，则g (t )在区间(0,23)上单调递减，在区间(23，30]上单调递增， 由于t ∈Z ，且g (3)＝g (4)＝17，∴g (t )min ＝17.6．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为( ) A ．0.016 2 B ．0.032 4 C ．0.024 3D ．0.048 6考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题 答案 B解析 依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x ∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)， 则y ′＝0.097 2kx －3kx 2.令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)． 当0<x <0.032 4时，y ′>0； 当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益． 7．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与底面半径的比为( ) A ．2∶1 B ．1∶2 C ．1∶4D ．4∶1考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 答案 A解析 设其体积为V ，高与底面半径分别为h ，r ， 则V ＝πr 2h ，即h ＝V πr2. 由题意知，当表面积S 最小时所用材料最省．S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2＋2πrV πr 2＝2πr 2＋2V r. 令S ′＝4πr －2Vr2＝0，得r ＝3V2π，当r ＝3V2π时，h ＝Vπ⎝⎛⎭⎪⎫3V 2π2＝34V π. 则h ∶r ＝2∶1时，表面积S 最小． 二、填空题8.如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________． 考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求面积的最值问题 答案439解析 设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，0，点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，1－x 24，∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝－x 34＋x ，x ∈(0,2)．令f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－233(舍)，x 2＝233，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )是单调递增的，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )是单调递减的， ∴当x ＝233时，f (x )取最大值439.9．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8，x ∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少． 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 答案 80解析 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为y 升，依题意得，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x＝1 1 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)． 则y ′＝x640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令y ′＝0，得x ＝80，当x ∈(0,80)时，y ′<0，该函数递减；当x ∈(80,120]时，y ′>0，该函数递增，所以当x ＝80时，y 取得最小值．10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 答案 20解析 设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝400x，∴总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋4x ＝1 600x＋4x ，令f ′(x )＝4－1 600x2＝0，解得x ＝20，x ＝－20(舍去)，x ＝20是函数f (x )的最小值点，故当x ＝20时，f (x )最小．11．某厂生产某种产品x 件的总成本为C (x )＝1 200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为____件时总利润最大． 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题 答案 25解析 由题意知502＝k100，解得k ＝25×104.∴产品的单价P ＝25×104x＝500x.∴总利润L (x )＝x 500x －1 200－275x 3＝500x －1 200－275x 3，L ′(x )＝250x －12－225x 2，令L ′(x )＝0，得x ＝25， ∴当x ＝25时，总利润最大．12.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为________ m 时，帐篷的体积最大． 考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题 答案 2解析 设OO 1＝x ，则1<x <4. 由题设可得正六棱锥底面边长为32－(x －1)2＝8＋2x －x 2. 于是底面正六边形的面积为 6·34·(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)． 帐篷的体积为V (x )＝332(8＋2x －x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤13(x －1)＋1＝32(16＋12x －x 3)． 则V ′(x )＝32(12－3x 2)． 令V ′(x )＝0，解得x ＝－2(不合题意，舍去)或x ＝2. 当1<x <2时，V ′(x )>0，V (x )为增函数； 当2<x <4时，V ′(x )<0，V (x )为减函数． 综上，当x ＝2时，V (x )最大． 三、解答题13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用． 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题解 (1)因为容器的体积为64π3立方米，所以4πr 33＋πr 2l ＝643π，解得l ＝643r 2－43r ，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝ ⎛⎭⎪⎫643r 2－43r ＝128π3r －8πr 23， 两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128π3r －8πr 23×3＋4πr 2×4＝128πr ＋8πr 2.又l ＝643r 2－43r >0，即r <432，所以定义域为(0, 432)．(2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r2， 令y ′>0得2<r <243；令y ′<0得0<r <2，所以当r ＝2时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时l ＝83.四、探究与拓展14．某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润(万元)情况如下：该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(万元)是( ) A.92 B.6516 C.358D.174 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题 答案 B解析 ∵甲产品的利润与投入资金成正比， ∴设y 1＝k 1x ，当投入4万时，利润为1万， 即4k 1＝1，得k 1＝14，即y 1＝x4.∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比， ∴设y 2＝k 2x ，当投入4万时，利润为2.5万， 即4k 2＝52，得2k 2＝52，即k 2＝54，即y 2＝5x4.设乙产品投入资金为x ，则甲产品投入资金为10－x,0≤x ≤10， 则销售甲、乙两种产品所得利润为y ＝14(10－x )＋5x4， 则y ′＝－14＋58x ＝5－2x8x ，由y ′>0，得5－2x >0，即0≤x <254，由y ′<0，得5－2x <0，即254<x ≤10，即当x ＝254时，函数取得极大值同时也是最大值，此时y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫10－254＋54·254＝1516＋5016＝6516. 15．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加，年销售量y 关于x 的函数为y ＝3 240⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量) 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x )， 每辆车的出厂价为13(1＋0.7x )，年利润为f (x )＝[13(1＋0.7x )－10(1＋x )]·y＝(3－0.9x )×3 240×⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53＝3 240(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)， 则f ′(x )＝3 240(2.7x 2－9.6x ＋4.5) ＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3(舍去)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫59，1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． 所以当x ＝59时，f (x )取极大值，f⎝ ⎛⎭⎪⎫59＝20 000. 因为f (x )在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．所以当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．。

图不可能为( C
)
(A)长方形 (B)直角三角形
(C)圆
(D)椭圆
5.(由三视图还原几何体)有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体
应是一个( A
)
(A)棱台
(C)棱柱
(B)棱锥
(D)正四面体
6.(与三视图有关的计算)如图是某个几何体的三视图,由图中所标尺寸,
得俯视图中圆的面积为
,这个几何体的高线长为
变式探究:本例中三视图对应的几何体是一个什么样的组合体?
解:因为实物图为A,所以该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组 成的.
方法技巧
(1)根据三视图还原几何体,要仔细分析和认真观察三视图
并进行充分的想象,然后综合三视图的形状,从不同的角度去还原. (2)通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体,再结合正视图和 侧视图确定具体的几何结构特征,最终确定是简单几何体还是简单组合体.
影戏中的部分片断,请同学们考虑它们是怎样得到的?
答案:通过光线投影得到.
想一想
我们看到的皮影戏是皮纸偶的一面投影,而在实际生活中我们
要观察一个物体,需要从哪几个角度观察,才能了解其全面的形状? (需从正面、侧面、上面三个角度观察) 导入 在初中,我们已学习过三视图的概念,那么正方体、圆锥的三视图分
叫做几何体的侧视图. 光线从几何体的 上面向下面 正投影,得到的投影图, 叫做几何体的俯视图.
探究2:如果把物体左右方向的尺寸称为长,前后方向的尺寸称为宽,上下方
向的尺寸称为高,则正视图与侧视图应当具有相同的 视图具有相同的 ;侧视图与俯视图具有相同的 ;正视图与俯 .
答案:高 长
宽
自我检测
1.(投影)已知△ABC,选定的投影面与△ABC所在的平面平行,则经过中心投 影后(投影线与投影面相交)所得的三角形与△ABC( B (A)全等 (B)相似 (C)不相似 (D)以上均有可能 )

1.3.1 函数的单调性与导数(二)学习目标 1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．1．如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( √ ) 2．函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．( √ )类型一 利用导数求参数的取值范围例1 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立． 由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)． 引申探究1．若将本例中条件递增改为递减，求k 的取值范围． 解 ∵f ′(x )＝k －1x，又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )＝k －1x≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≤1x ，∵0<1x<1，∴k ≤0.即k 的取值范围为(－∞，0]．2．若将本例中条件递增改为不单调，求k 的取值范围．解 f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝k －1x.当k ≤0时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意． 当k >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1k，只需1k ∈(1，＋∞)，即1k>1，则0<k <1.∴k 的取值范围是(0,1)．反思与感悟 (1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意．(2)恒成立问题的重要思路 ①m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max ； ②m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min .跟踪训练1 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 解 方法一 (直接法)f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，不合题意．当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)和(a －1，＋∞)上单调递增，在(1，a －1)上单调递减，由题意知(1,4)⊂(1，a －1)且(6，＋∞)⊂(a －1，＋∞)， 所以4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. 故实数a 的取值范围为[5,7]． 方法二 (数形结合法) 如图所示，f ′(x )＝(x －1)[x －(a －1)]．因为在(1,4)内，f ′(x )≤0， 在(6，＋∞)内f ′(x )≥0， 且f ′(x )＝0有一根为1， 所以另一根在[4,6]上．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(4)≤0，f ′(6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3×(5－a )≤0，5×(7－a )≥0，所以5≤a ≤7.故实数a 的取值范围为[5,7]．方法三(转化为不等式的恒成立问题)f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)上单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2<x＋1<5，所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以当a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．综上知5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7]．类型二证明不等式例2 证明e x≥x＋1≥sin x＋1(x≥0)．考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式证明令f(x)＝e x－x－1(x≥0)，则f′(x)＝e x－1≥0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴对任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，∴f(x)≥0，即e x≥x＋1，令g(x)＝x－sin x(x≥0)，g′(x)＝1－cos x≥0，∴g(x)≥g(0)，即x－sin x≥0，∴x＋1≥sin x＋1(x≥0)，综上，e x≥x＋1≥sin x＋1.反思与感悟用导数证明不等式f(x)>g(x)的一般步骤(1)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]．(2)证明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.(3)依(2)知函数F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是单调递增函数，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．这是因为F(x)为单调递增函数，所以F(x)≥F(a)>0，即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.跟踪训练2 已知x >0，证明不等式ln(1＋x )>x －12x 2成立．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式 证明 设f (x )＝ln(1＋x )－x ＋12x 2，则f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x21＋x .当x >－1时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，＋∞)内是增函数． ∴当x >0时，f (x )>f (0)＝0.∴当x >0时，不等式ln(1＋x )>x －12x 2成立.1．已知命题p ：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0，q ：f (x )在(a ，b )内是单调递增的，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 A2．已知对任意实数x ，都有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时( ) A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0 B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0 C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0 D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 B解析 由题意知，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数． 当x >0时，f (x )，g (x )都单调递增， 则当x <0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减，即f ′(x )>0，g ′(x )<0.3．已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [－1,1)解析 f ′(x )≤0，即3x 2－12≤0，得－2≤x ≤2. ∴f (x )的减区间为[－2,2]， 由题意得(2m ，m ＋1)⊆[－2,2]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ≥－2，m ＋1≤2，2m <m ＋1，得－1≤m <1.4．函数y ＝ax －ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则a 的取值范围为________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [2，＋∞)解析 y ′＝a －1x，由题意知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，y ′≥0， 即a ≥1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立， 由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞得，1x <2，∴a ≥2.5．证明方程x －12sin x ＝0只有一个实根，并试求出这个实根．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式解 令f (x )＝x －12sin x ，x ∈(－∞，＋∞)，则f ′(x )＝1－12cos x >0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，其图象若穿越x 轴，则只有一次穿越的机会， 显然x ＝0时，f (x )＝0.所以方程x －12sin x ＝0有唯一的实根x ＝0.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；(2)先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时，f (x )是否满足题意.一、选择题1．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1)和(0,1) B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞) 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 A解析 y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0， 解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故选A. 2．若f (x )＝ln xx，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 A解析 由f ′(x )＝1－ln x x2<0，解得x >e ， ∴f (x )在(e ，＋∞)上为减函数， ∵e<a <b ，∴f (a )>f (b )．3．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32 C ．(1,2] D ．[1,2) 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 A解析 显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )＜0，得函数f (x )单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12.因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，解得－12＜k ＜32，又因为(k－1，k ＋1)为定义域内的一个子区间，所以k －1≥0，即k ≥1.综上可知，1≤k ＜32.4．若a >0，且f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(0,3] C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝3x 2－a ≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 即a ≤(3x 2)min ＝3， 又a >0，∴0<a ≤3. 5．若函数y ＝a (x 3－x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0) C ．(1，＋∞)D ．(0,1)考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 A解析 y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33， 当－33<x <33时，⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33<0， 要使y ＝a (x 3－x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上单调递减，只需y ′<0，即a >0.6．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b ) 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 C解析 设h (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )－g ′(x )>0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在[a ，b ]上是增函数， ∴当a <x <b 时，h (x )>h (a )， ∴f (x )－g (x )>f (a )－g (a )， 即f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )． 二、填空题7．若y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数，则a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [1，＋∞)解析 因为y ′＝cos x ＋a ≥0， 所以a ≥－cos x 对x ∈R 恒成立． 所以a ≥1.8．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 (－∞，0)解析 y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0， ∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0， ∴a <0.9．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 (0，＋∞)解析 ∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0.10．若函数f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 (－∞，－1]解析 f ′(x )＝－x ＋bx ＋2，由题意知f ′(x )＝－x ＋b x ＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立， 即bx ＋2≤x 在(－1，＋∞)上恒成立，∵x >－1，∴x ＋2>1>0，∴b ≤x (x ＋2)，设y ＝x (x ＋2)，则y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵x >－1，∴y >－1，∴要使b ≤x (x ＋2)成立，则有b ≤－1.11．若f (x )＝2x －a x 2＋2(x ∈R )在区间[－1,1]上是增函数，则a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 [－1,1]解析 f ′(x )＝2·－x 2＋ax ＋2(x 2＋2)2， ∵f (x )在[－1,1]上是增函数，∴f ′(x )＝2·－x 2＋ax ＋2(x 2＋2)2≥0. ∵(x 2＋2)2>0，∴x 2－ax －2≤0对x ∈[－1,1]恒成立．令g (x )＝x 2－ax －2，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a －2≤0，1－a －2≤0，∴－1≤a ≤1.即a 的取值范围是[－1,1]．三、解答题12．已知函数f (x )＝ax 2＋ln(x ＋1)．(1)当a ＝－14时，求函数f (x )的单调区间； (2)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围．考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)解 (1)当a ＝－14时， f (x )＝－14x 2＋ln(x ＋1)(x >－1)，f ′(x )＝－12x ＋1x ＋1＝－(x ＋2)(x －1)2(x ＋1)(x >－1)． 当f ′(x )>0时，解得－1<x <1；当f ′(x )<0时，解得x >1.故函数f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．(2)因为函数f (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，所以f ′(x )＝2ax ＋1x ＋1≤0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立， 即a ≤－12x (x ＋1)对任意x ∈[1，＋∞)恒成立． 令g (x )＝－12x (x ＋1)， 易求得在区间[1，＋∞)上g ′(x )>0，故g (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12x (x ＋1)min ＝g (1)＝－14， 故a ≤－14. 即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14. 13．已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x >1时，f (x )<x －1.考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式(1)解 f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，－x 2＋x ＋1>0，解得0<x <1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明 令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(1，＋∞)． 则F ′(x )＝1－x 2x. 当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.四、探究与拓展14．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是__________．考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造法的应用答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x ，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.则当x >0时，g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0<x <1时，g (x )>g (1)＝0⇔f (x )x >0⇔f (x )>0；在(－∞，0)上，当x <－1时，g (x )<g (－1)＝0⇔f (x )x <0⇔f (x )>0.综上，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．15．设函数f (x )＝x e kx (k ≠0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增，求k 的取值范围．考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)解 (1)由f ′(x )＝(1＋kx )e kx ＝0，得x ＝－1k(k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 若k <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 综上，k >0时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k ， k <0时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞. (2)由(1)知，若k >0，则当且仅当－1k≤－1， 即0<k ≤1时，函数f (x )在(－1,1)上单调递增；若k <0，则当且仅当－1k≥1，即－1≤k <0时，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 综上可知，函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．。

第1课时排列与排列数公式学习目标 1.了解排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．知识点一排列的定义从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．思考让你安排这项活动需要分几步？答案分两步．第1步确定上午的同学；第2步确定下午的同学．梳理一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点二排列数及排列数公式思考从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？答案4×3×2＝24(个)．梳理1．a，b，c与b，a，c是同一个排列．( ×)2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( √)3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( ×)4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( ×)类型一排列的概念例1 判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．考点排列的概念题点排列的判断解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．反思与感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1 判断下列问题是否为排列问题．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M ＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1？可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1?(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 考点 排列的概念 题点 排列的判断解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题． (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小关系一定；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，不管a >b 还是a <b ，方程x 2a 2－y 2b2＝1均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题． 类型二 排列的列举问题例2 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ (2)写出从4个元素a ，b ，c ，d 中任取3个元素的所有排列． 考点 排列的概念 题点 列举所有排列解 (1)由题意作“树状图”，如下．故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个． (2)由题意作“树状图”，如下．故所有的排列为abc ，abd ，acb ，acd ，adb ，adc ，bac ，bad ，bca ，bcd ，bda ，bdc ，cab ，cad ，cba ，cbd ，cda ，cdb ，dab ，dac ，dba ，dbc ，dca ，dcb .反思与感悟 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式． (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．跟踪训练2 写出A ，B ，C ，D 四名同学站成一排照相，A 不站在两端的所有可能站法． 考点 排列的概念 题点 列举所有排列解 由题意作“树状图”，如下，故所有可能的站法是BACD ，BADC ，BCAD ，BDAC ，CABD ，CADB ，CBAD ，CDAB ，DABC ，DACB ，DBAC ，DCAB .类型三 排列数公式及应用例3 (1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且，n <55)； (2)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59；(3)求证：A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n . 考点 排列数公式 题点 利用排列数公式计算(1)解 因为55－n,56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有69－n －(55－n )＋1＝15(个)元素，所以(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n . (2)解 2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×(8＋7)8×7×6×5×(24－9)＝1.(3)证明 方法一 因为A mn ＋1－A mn ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1＝n ！(n －m )！·m n ＋1－m＝m ·n ！(n ＋1－m )！＝m A m －1n ，所以A mn ＋1－A mn ＝m A m －1n .方法二 A m n ＋1表示从n ＋1个元素中取出m 个元素的排列个数，其中不含元素a 1的有A mn 个． 含有a 1的可这样进行排列：先排a 1，有m 种排法，再从另外n 个元素中取出m －1个元素排在剩下的m －1个位置上，有A m －1n 种排法． 故A m n ＋1＝m A m －1n ＋A mn ， 所以m A m －1n ＝A m n ＋1－A mn .反思与感悟 排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．跟踪训练3 不等式A x 8<6A x －28的解集为( ) A ．[2,8] B ．[2,6] C ．(7,12) D ．{8} 考点 排列数公式题点 解含有排列数的方程或不等式 答案 D解析 由A x 8<6A x －28，得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0， 解得7<x <12，①又⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，x －2≥0，所以2≤x ≤8，②由①②及x ∈N *，得x ＝8.1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 考点 排列的概念 题点 排列的判断 答案 C解析 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( ) A ．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B ．甲乙，丙乙、丙甲C ．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D ．甲乙，甲丙，乙丙 考点 排列的概念 题点 列举所有排列 答案 C3．(x －3)(x －4)(x －5)…(x －12)(x －13)，x ∈N *，x >13可表示为( ) A ．A 10x －3 B ．A 11x －3 C ．A 10x －13 D ．A 11x －13 考点 排列数公式 题点 利用排列数公式计算 答案 B解析 从(x －3)，(x －4)，…到(x －13)共(x －3)－(x －13)＋1＝11(个)数，所以根据排列数公式知(x －3)(x －4)(x －5)…(x －12)(x －13)＝A 11x －3.4．从5本不同的书中选2本送给2名同学，每人1本，不同的送法种数为( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 考点 排列的应用题点 无限制条件的排列问题 答案 D5．解方程A 42x ＋1＝140A 3x . 考点 排列数公式题点 解含有排列数的方程或不等式解 根据题意，原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N *，(2x ＋1)·2x ·(2x －1)(2x －2)＝140x (x －1)(x －2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ∈N *，(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，整理得4x 2－35x ＋69＝0(x ≥3，x ∈N *)，解得x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝234∉N *，舍去.1．判断一个问题是否是排列问题的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就说，在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．2．关于排列数的两个公式(1)排列数的第一个公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可．(2)排列数的第二个公式A m n＝n！(n－m)！用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”的运用．一、选择题1．A m12＝9×10×11×12，则m等于( )A．3 B．4 C．5 D．6考点排列数公式题点利用排列数公式计算答案 B2．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a，b，c，d中选出3个字母；④从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点排列的概念题点排列的判断答案 B解析由排列的定义知①④是排列问题．3．与A310·A77不相等的是( )A．A910 B．81A88 C．10A99 D．A1010考点排列数公式题点利用排列数公式证明答案 B解析A310·A77＝10×9×8×7！＝A910＝10A99＝A1010，81A88＝9A99≠A1010，故选B.4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )A．6 B．4 C．8 D．10题点 列举所有排列 答案 B解析 列树状图如下： 丙甲乙乙甲 乙甲丙丙甲故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种．5．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的不同结果有( ) A ．6个 B ．10个 C ．12个 D ．16个 考点 排列的应用题点 无限制条件的排列问题 答案 C解析 不同结果有A 24＝4×3＝12(个)． 6．下列各式中与排列数A mn 相等的是( ) A.n ！(n －m ＋1)！B ．n (n －1)(n －2)…(n －m ) C.n A m n －1n －m ＋1D ．A 1n A m －1n －1考点 排列数公式 题点 利用排列数公式证明 答案 D 解析 A mn ＝n ！(n －m )！，而A 1n A m －1n －1＝n ×(n －1)！(n －m )！＝n ！(n －m )！，∴A 1n A m －1n －1＝A mn .7．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( )A ．6B ．9C ．12D ．24 考点 排列的概念 题点 列举所有排列 答案 B解析 这四位数列举为如下： 1 012,1 021,1 102,1 120,1 201， 1 210,2 011,2 101,2 110，共9个． 二、填空题8．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b 为首的不同的排列，它们分别是________________________________________．题点 列举所有排列答案 12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed 解析 画出树状图如下：可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed . 9．若集合P ＝{x |x ＝A m 4，m ∈N *}，则集合P 中共有________个元素． 考点 排列数公式 题点 利用排列数公式计算 答案 3解析 由题意知，m ＝1,2,3,4，由A 34＝A 44，故集合P 中共有3个元素． 10．满足不等式A 7nA 5n >12的n 的最小值为________．考点 排列数公式题点 解含有排列数的方程或不等式 答案 10解析A 7n A 5n ＝n ！(n －7)！n ！(n －5)！＝(n －5)！(n －7)！>12，得(n －5)(n －6)>12， 解得 n >9或n <2(舍去)．∴最小正整数n 的值为10.11．2017北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为________． 考点 排列的应用题点 无限制条件的排列问题 答案 60解析 由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．12．由1,4,5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，则x＝________.考点排列的应用题点无限制条件的排列问题答案 2解析当x≠0时，有A44＝24(个)四位数，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＋x，故24(1＋4＋5＋x)＝288，解得x＝2；当x＝0时，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x＝0不符合题意，综上可知，x＝2.三、解答题13．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？考点排列的应用题点无限制条件的排列问题解由题意可得A2n＋2－A2n＝58，即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58，解得n＝14.所以原有车站14个，现有车站16个．四、探究与拓展14．若S＝A11＋A22＋A33＋A44＋…＋A100100，则S的个位数字是( )A．8 B．5 C．3 D．0考点排列数公式题点利用排列数公式计算答案 C解析1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120，而6！＝6×5！，7！＝7×6×5！， (100)＝100×99×…×6×5！，所以从5！开始到100！，个位数字均为0，所以S的个位数字为3. 15．京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1 318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？考点排列的应用题点无限制条件的排列问题精品K12教育教学资料解对于两个火车站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站．因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列数A221＝21×20＝420(种)．所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．精品K12教育教学资料。

§1.6 微积分基本定理学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？ 答案 由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)． 梳理 (1)微积分基本定理①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )； ②结论：ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )；③符号表示：ʃba f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )． (2)常见的原函数与被积函数关系 ①ʃba c d x ＝cx |b a (c 为常数)． ②ʃb a x nd x ＝⎪⎪⎪1n ＋1x n ＋1ba (n ≠－1)． ③ʃb a sin x d x ＝－cos x |ba . ④ʃba cos x d x ＝sin x |ba .⑤ʃb a 1xd x ＝ln x |ba (b >a >0)．⑥ʃb a e xd x ＝e x |ba . ⑦ʃb a a xd x ＝⎪⎪⎪a x ln a ba (a >0且a ≠1)． ⑧ʃb ax d x ＝⎪⎪⎪2332x ba (b >a >0)． 知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系 思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？答案 当被积函数f (x )≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f (x )≥0不恒成立，则不相等．梳理 设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则ʃba f (x )d x ＝S 上． (2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形在x 轴上方，x 轴下方均存在时，如图③，则ʃba f (x )d x ＝S 上－S 下．特别地，若S 上＝S 下，则ʃba f (x )d x ＝0.1．若F ′(x )＝f (x )，则F (x )唯一．( × )2．微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( √ )3．应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( √ )类型一 求定积分命题角度1 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分． (1)ʃ10(2x ＋e x)d x ；(2)ʃ21⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x ；(3)π220(sincos )d ;22x xx -⎰(4)ʃ30(x －3)(x －4)d x .考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 解 (1)ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10 ＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)ʃ21⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x＝(ln x －3sin x )|21＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1. (3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2－cos x 22＝1－2sin x 2cos x2＝1－sin x ， ∴ππ22200(sin cos )d (1-sin )d 22x x x x x -=⎰⎰π20(cos )x x =＋＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1.(4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12， ∴ʃ30(x －3)(x －4)d x ＝ʃ30(x 2－7x ＋12)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－72x 2＋12x 30＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×33－72×32＋12×3－0＝272. 反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F (x )．(2)由微积分基本定理求定积分的步骤 第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； 第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )． 跟踪训练1 计算下列定积分． (1)ʃ21⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2)π222(cos sin )d 22x xx -⎰；(3)ʃ94x (1＋x )d x . 考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 解 (1)ʃ21⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3＋ln x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－13×23＋ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋ln 1 ＝ln 2－56.(2)π222(cos sin )d 22x xx -⎰π20cos d x x =⎰＝sin x π20|＝1. (3)ʃ94x (1＋x )d x ＝ʃ94(x ＋x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2332x ＋12x 294＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×329＋12×92－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×324＋12×42＝2716.命题角度2 求分段函数的定积分例2 (1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，求π21()d ;f x x -⎰(2)计算定积分ʃ21|3－2x |d x . 考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 解 (1)π21()d f x x -⎰＝ʃ0－1x 2d x ＋π2(cos 1)d ,x x -⎰又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，(sin x －x )′＝cos x －1，所以原式＝⎪⎪⎪13x 30－1＋(sin x －x )π20|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋13＋⎝⎛⎭⎪⎫sin π2－π2－(sin 0－0)＝43－π2. (2)ʃ21|3－2x |d x322312(32)d (23)d x x x x =-+-⎰⎰＝(3x －x 2)321|＋(x 2－3x )232|＝12. 反思与感悟 分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算． 跟踪训练2 (1)ʃ1－1e |x |d x ＝________. 考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 2e －2 解析 ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －xd x ＋ʃ10e xd x ＝－e －x |0－1＋e x |10 ＝－e 0＋e 1＋e 1－e 0＝2e －2.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋e x，0≤x ≤1，x －1x ，1<x ≤2，求ʃ20f (x )d x .考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 解 ʃ20f (x )d x＝ʃ10(2x ＋e x)d x ＋ʃ21⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ＝(x 2＋e x )|10＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x 21 ＝(1＋e)－(0＋e 0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1－ln 1＝e ＋32－ln 2.类型二 利用定积分求参数例3 (1)已知t >0，f (x )＝2x －1，若ʃt0f (x )d x ＝6，则t ＝________. (2)已知2≤ʃ21(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________． 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数答案 (1)3 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2解析 (1)ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ＝6， 解得t ＝3或－2，∵t >0，∴t ＝3. (2)ʃ21(kx ＋1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x 21＝32k ＋1.由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.引申探究1．若将例3(1)中的条件改为ʃt0f (x )d x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，求t .解 由ʃt0f (x )d x ＝ʃt0(2x －1)d x ＝t 2－t ， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝t －1，∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．若将例3(1)中的条件改为ʃt0f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值．解 F (t )＝ʃt 0f (x )d x ＝t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14(t >0)，当t ＝12时，F (t )min ＝－14.反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．跟踪训练3 (1)已知x ∈(0,1]，f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________． (2)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 (1)[0,2) (2)33解析 (1)f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ＝(t －2xt ＋t 2)|10＝－2x ＋2(x ∈(0,1])．∴f (x )的值域为[0,2)． (2)∵ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx 10＝a 3＋c .又f (x 0)＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，即x 0＝33或－33. ∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.1．若ʃa 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 D解析 ʃa 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x＝x 2|a 1＋ln x |a1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2， 解得a ＝2. 2．π23(12sin )d 2θθ-⎰等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 D 解析π23(12sin )d 2θθ-⎰π3=cos d θθ⎰＝sin θπ30|＝32. 3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，2－x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34B.45 C.56D ．不存在考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 C解析 ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝⎪⎪⎪13x 310＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 221＝56.4．已知函数f (x )＝x n＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则ʃ31f (－x )d x ＝________. 考点 微积分基本定理的应用 题点 微积分基本定理的综合应用 答案 23解析 ∵f (x )＝x n＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2， ∴nxn －1＋m ＝2x ＋2，解得n ＝2，m ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ，则f (－x )＝x 2－2x ， ∴ʃ31f (－x )d x ＝ʃ31(x 2－2x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 231＝9－9－13＋1＝23.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算：ʃπ0f (x )d x .解 ʃπ0f (x )d x ππ2π02()d ()d f x x f x x =+⎰⎰ππ2π02=(4-2π)d cos d ,x x x x +⎰⎰取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x . 所以ππ2π02(4-2π)d cos d x x x x +⎰⎰＝(2x 2－2πx )π20|＋sin x ππ2|＝－12π2－1，即ʃπ0f (x )d x ＝－12π2－1.1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1．ʃ21⎝⎛⎭⎪⎫e x＋1x d x 等于( )A ．e 2－ln 2B ．e 2－e －ln 2 C ．e 2＋e ＋ln 2D ．e 2－e ＋ln 2考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 D解析 ʃ21⎝ ⎛⎭⎪⎫e x＋1x ＝(e x ＋ln x )|21＝(e 2＋ln 2)－(e ＋ln 1)＝e 2－e ＋ln 2. 2．若π2(sin cos )d x a x x -⎰＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3D. 3考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 A 解析π2(sin cos )d x a x x -⎰＝(－cos x －a sin x )π20| ＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2， ∴a ＝－1，故选A.3．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 B解析 因为S 1＝ʃ21x 2d x ＝⎪⎪⎪13x 321＝13×23－13＝73， S 2＝ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2，S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．又ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.4．ʃ30|x 2－4|d x 等于( ) A.213 B.223 C.233D.253考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 C解析 ∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，2≤x ≤3，4－x 2，0≤x ≤2，∴ʃ30|x 2－4|d x ＝ʃ32(x 2－4)d x ＋ʃ20(4－x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x 32＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 320＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(9－12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8－83－0＝－3－83＋8＋8－83＝233.5．若函数f (x )，g (x )满足ʃ1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ； ②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 C解析 对于①，ʃ1－1sin 12x cos 12x d x ＝ʃ1－112sin x d x ＝0， 所以①是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于②，ʃ1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ1－1(x 2－1)d x ≠0，所以②不是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于③，ʃ1－1x ·x 2d x ＝ʃ1－1x 3d x ＝0，所以③是区间[－1,1]上的一组正交函数．6．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( )A ．－13B ．－1 C.13 D ．1 考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ʃ10f (x )d x 10 ＝13＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝－13. 二、填空题7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，则ʃ1－1f (x )d x ＝________.考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 sin 1－23解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x＝ ⎪⎪⎪13x 30－1＋(sin x －x )|10 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×03－13×(－1)3＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)] ＝sin 1－23. 8．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若ʃ1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 －1或13解析 ʃ1－1f (x )d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，2f (a )＝6a 2＋4a ＋2，由题意得6a 2＋4a ＋2＝4，解得a ＝－1或13. 9.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 13解析 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝ʃ103x 2d x ＝x 3|10＝1，则P ＝S 阴S 1＝13. 10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x >0，x ＋ʃa 03t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝____________.考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又当x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f (f (1))＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.11．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 f (x )＝4x ＋3解析 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x＝12a ＋b ＝5， ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3. 12．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则当ʃα0(cos x －sin x )d x 取最大值时，α＝________. 考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 π4解析 ʃα0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )|α0＝sin α＋cos α－1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1. ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π， 当α＋π4＝π2，即α＝π4时， 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1取得最大值．三、解答题13．已知f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值． 考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用解 因为f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x－a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x ＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|1＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )取到最小值为1.四、探究与拓展 14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ (x ＋1)2，－1≤x ≤0，1－x 2，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 等于( ) A.3π－812 B.4＋3π12 C.4＋π4 D.－4＋3π12考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 B解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1(x ＋1)2d x ＋ʃ101－x 2d x ， ʃ0－1(x ＋1)2d x ＝⎪⎪⎪13(x ＋1)30－1＝13， ʃ101－x 2d x 以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一， 故ʃ101－x 2d x ＝π4， 故ʃ1－1f (x )d x ＝13＋π4＝4＋3π12. 15．已知f ′(x )是f (x )在(0，＋∞)上的导数，满足xf ′(x )＋2f (x )＝1x2，且ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x >0时，证明不等式2ln x ≤e x 2－2.考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用(1)解 由xf ′(x )＋2f (x )＝1x 2，得 x 2f ′(x )＋2xf (x )＝1x， 即[x 2f (x )]′＝1x， 所以x 2f (x )＝ln x ＋c (c 为常数)，即x 2f (x )－ln x ＝c .又ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1，即ʃ21c d x ＝1，所以cx |21＝1，所以2c －c ＝1，所以c ＝1.所以x 2f (x )＝ln x ＋1，所以f (x )＝ln x ＋1x 2. (2)证明 由(1)知f (x )＝ln x ＋1x 2(x >0)， 所以f ′(x )＝1x ×x 2－2x (ln x ＋1)x 4＝－2ln x －1x 3， 当f ′(x )＝0时，x ＝12e-，f ′(x )>0时，0<x <12e -， f ′(x )<0时，x >12e -， 所以f (x )在(0，12e -)上单调递增，在(12e-，＋∞)上单调递减． 所以f (x )max ＝ 12(e )f -＝e 2， 所以f (x )＝ln x ＋1x 2≤e 2， 即2ln x ≤e x 2－2.。

2．由展开一个多面体展开的，则可把上述过程 逆推．
[变式训练] 有一种骰子，每一个面上都有一个英文 字母，下面是从 3 个不同的角度看同一粒骰子的情形，请 画出骰子的一个侧面展开图，并根据展开图说明字母 H 对面的字母是什么？
解：将原正方体侧面展开，得知其表面的字母的排列 如图，
第一章 空间几何体
1．1 空间几何体的结构 1．1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
[学习目标] 1.知道空间几何体的概念及其含义．了 解空间几何体的分类及相关概念． 2.了解棱柱、棱锥、 棱台的定义(重点)． 3.理解棱柱、棱锥、棱台的结构特 征及其关系(重点、难点)．
1．空间几何体
概念
定义
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多
谢谢欣赏
THANK YOU FOR WATCHING
EF，B′C′，BC 是侧棱， 截面 BCFE 左侧部分也是棱柱．
它是四棱柱 ABEA′­DCFD′. 其中四边形 ABEA′和四边形 DCFD′是底面． A′D′，EF，BC，AD 为侧棱．
归纳升华 1．解答本题的关键是要紧扣棱柱的定义．解答时， 首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征(其余 各面都是四边形，且相邻平行四边形的公共边互相平行)． 2．多注意观察一些实物模型和图片，便于直观认识 棱柱的结构特征．
[典例 1] (1)下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形； ②每一个面都不会是三角形； ③两底面平行，并且各侧棱也平行； ④被平面截成的两部分可以都是棱柱． 其中正确说法的序号是________．
(2)如图所示为长方体 ABCD-A′B′C′D′，当用 平面 BCFE 把这个长方体分成两部分后， 各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果 不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．

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1。

1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1关于下列几何体,说法正确的是(）A。

图①是圆柱 B.图②和图③是圆锥C。

图④和图⑤是圆台 D.图⑤是圆台解析:因为图①与图④中几何体两个底面不互相平行,所以它们不是圆柱和圆台.因为图②与图③中几何体的过旋转轴的截面（轴截面）不是等腰三角形,所以它们不是圆锥.图⑤是圆台。

答案:D2下列判断正确的是(）A。

平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B。

平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C。

过圆锥顶点的截面是等腰三角形D.过圆台上底面中心的截面是等腰梯形解析：根据圆锥与圆台的定义和图形进行判断即可.答案：C3若一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为24,则球心到这条直线的距离为（）A。

13 B.12 C.5 D.24解析：如图，d==5。

答案：C4上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台,则其两底面之间的距离为（)A.4B.3C。

2 D.2解析:圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r,R满足关系式l2=h2+（R-r）2，求得h=2，即两底面之间的距离为2.答案：D5已知某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，则该地球仪的半径是()A.4 cmB.6 cmC。

方法归纳 简单组合体识别的要诀 (1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征． (2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式． (3)若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地 作出辅助线(或面)．
3. 如图所示，几何体可以看作是由一个___长__方__体_____和一个 _长__方__体___组合而成的简单组合体，也可以看作是由一个 __正__方__体__去掉一个_长__方__体___形成的几何体．
易错警示
因空间想象力差致误
以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴，其余两边 旋转形成的面所围成的旋转体有哪些？ [解] 假设直角三角形ABC中，∠C＝90°.以AC边所在的直线 为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(1)所 示．
当以BC边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围 成的旋转体如图(2)所示． 当以AB边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围 成的旋转体如图(3)所示．
方法归纳 (1)旋转体的形状关键是平面图形绕哪条直线旋转所得，同一 个平面图形绕不同的轴旋转所得的旋转体不同．如：直角三 角形绕直角边所在的直线旋转一周形成圆锥，若按斜边所在 的直线旋转一周，则形成两个对底的圆锥． (2)对于与概念有关的命题的判断，一般情况下，要逐字逐句 品读，与概念不一样的叙述，以及多字、少形成的几何体的结构特征的分析方法
2．若将题(1)中的第②个平面图形旋转一周，想象并说出它 形成几何体的结构特征． 解：如下图所示，①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是 梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以 旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该组合体是 由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．
侧面；母线：无论旋转
到什么位置， _不__垂__直__于__轴____的边都叫

配套K12内容资料
配套K12内容资料1.2.3 空间几何体的直观图
【情境导学】
美术与数学有着千丝万缕的联系,在美术图中,空间图形或实物在画板上画得既有立体感,又要表现出各主要部分的位置关系和度量关系.空间图形或实物如何在画板上表示出来?如何反映它们的主要特征呢?这就是空间几何体的直观图,画好空间几何体的直观图应首先从水
平放置的平面图形入手
.
一个水平放置的正六边形,你看过去视觉效果是什么样子的?每条边还相等吗?该怎样把这种效果表示出来呢?。

第一章测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.用一个平面去截一个几何体,可以使截面是长方形,也可以使截面是圆,则这个几何体可以是()A.棱柱B.棱台C.圆柱D.球答案:C2.如图,是一个物体的三视图,则此物体的直观图是()A.9πB.πC.18πD.6π解析:由三视图知几何体为圆锥与圆柱的组合体如图.故选D.答案:D3.如图,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图,A'O'=6,B'O'=2,则△OAB的面积是()A.6B.3C.6D.12解析:△OAB是直角三角形,其两条直角边分别是4和6,则其面积是12.答案:D4.一个圆锥的高扩大为原来的2倍,底面半径缩小为原来的,则圆锥的体积变为原来的()A.一半B.2倍C.不变D.解析:设原圆锥的高为h,半径为r,体积为V,则V=πr2h;变化后圆锥的体积为V'=·2h=πr2h=V.答案:A5.圆台上、下底面面积分别为π,4π,侧面积为6π,这个圆台的体积为()A. B.C.2πD.解析:设圆台的上、下底面半径分别为r',r,则πr'2=π,πr2=4π,∴r'=1,r=2.设母线长为l,则π(1+2)l=6π,∴l=2.∴高h=,∴V台=×(1+22+1×2)×.答案:A6.正三棱锥的三视图如图,则其外接球的体积为()A.9πB.C.18πD.6π解析:设外接球的半径为R,则(2-R)2+=R2,解得R=,故V==9π.答案:A7.一个几何体的三视图如图,其中正视图是边长为2的正三角形,俯视图是正方形,那么该几何体的侧视图的面积是()A.2B.C.4D.2解析:由题意可知侧视图与正视图形状完全一样,是正三角形,面积S=×22=.答案:B8.如图,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形,则该几何体体积为()A.4B.4C.2D.2解析:由三视图可知,该几何体是一个四棱锥,底面是菱形,菱形的一条对角线长为2,另一条长为2=2.棱锥的高为h==3.所以,该几何体的体积为V=×2×2×3=2.答案:C9.如图所示,有一个圆柱,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面的点B处的食物.当圆柱的高等于12 cm,底面半径为3 cm时,蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是()A.12 cmB. cmC. cmD.18 cm解析:如图所示,在圆柱的侧面展开图中,BC的长为底面圆周长的一半,即BC=×2π×3=3π,蚂蚁所走路程为AB=(cm).所以蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是 cm.答案:C10.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB=AC=,BB1=BC=6,E,F为侧棱AA1上的两点,且EF=3,则多面体BB1C1CEF的体积为()A.30B.18C.15D.12解析:-V E-ABC=S△ABC×6-S△ABC·A1F-S△ABC·AE=S△ABC·=5S△ABC.∵AC=AB=,BC=6,∴S△ABC=×6×=6.所以=5×6=30.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.圆柱的高是8 cm,表面积是130π cm2,则它的底面圆的半径等于cm.解析:设圆柱的底面圆的半径为r cm,则S圆柱表=2π·r·8+2πr2=130π.解得r=5,即圆柱的底面圆半径为5 cm.答案:512.一个长方体的一个侧面正对着观察者,其正视图、侧视图、俯视图的面积分别为4 cm2,6 cm2,24 cm2,则该长方体的体积为.解析:设长方体的长、宽、高分别为a cm,b cm,c cm,则有ab=24,ac=6,bc=4.所以(abc)2=24×6×4.所以长方体体积V=abc=24(cm3).答案:24 cm313.作一个圆柱的内接三棱柱,该三棱柱的底面为正三角形,又作这个三棱柱的内切圆柱,那么这两个圆柱的体积之比为.解析:两圆柱的底面分别是正三角形的外接圆与内切圆,其半径比为2∶1,∴两圆的面积比为4∶1.又两圆柱高相等,∴两圆柱的体积比为4∶1.答案:4∶114.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=2,则棱锥O-ABCD的体积为.解析:依题意,棱锥O-ABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径,如图,连接AC,取AC中点O',连接OO'.易知AC==4,故AO'=2.在Rt△OAO'中,OA=4,从而OO'==2.所以V O-ABCD=×2×6×2=8.答案:815.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是A'A,C'C的中点,则下列判断正确的是.(填序号)①四边形BFD'E在底面ABCD内的投影是正方形;②四边形BFD'E在面A'D'DA内的投影是菱形;③四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影与在面ABB'A'内的投影是全等的平行四边形.解析:①四边形BFD'E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B,C,D,A,故投影是正方形;②设正方体的边长为2,由AE=1,取D'D的中点G,则四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影是四边形AGD'E,因为AE∥D'G,且AE=D'G,所以四边形AGD'E是平行四边形,但AE=1,D'E=,故四边形AGD'E不是菱形;对于③,由②知是两个边长分别相等的平行四边形,从而③正确.答案:①③三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a,连接A'C',A'D,A'B,BD,BC',C'D得到一个三棱锥.求:(1)三棱锥A'-BC'D的表面积与正方体表面积的比值;(2)三棱锥A'-BC'D的体积.解:(1)∵ABCD-A'B'C'D'是正方体,∴六个面都是正方形.∴A'C'=A'B=A'D=BC'=BD=C'D=a.∴S三棱锥=4××(a)2=2a2.又S正方体=6a2,∴.(2)显然,三棱锥A'-ABD,C'-BCD,D-A'D'C',B-A'B'C'的体积均为a2·a=a3,∴三棱锥A'-BC'D的体积为V=a3-a3×4=a3.17.(6分)已知某几何体的俯视图是矩形(如图),正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积S.解:由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是长、宽分别为8和6的矩形,正侧面及其相对侧面均为底边长为8,高为h1的等腰三角形,左、右侧面均为底边长为6,高为h2的等腰三角形,如图.(1)几何体的体积V=S矩形h=×6×8×4=64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高h1==5.左、右侧面的底边上的高h2==4.故几何体的侧面积S=2·=40+24.18.(6分)如图所示(单位:cm),四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.解:由题意,知所成几何体的表面积等于圆台下底面积、圆台的侧面积与半球面面积的和.又S半球面=×4π×22=8π(cm2),S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),S圆台下底=π×52=25π(cm2),所以所成几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),V半球=×23=(cm3).所以所成几何体的体积为V圆台-V半球=52π-(cm3).19.(7分)如图所示的是一个边长为5+的正方形,剪去阴影部分得到圆锥的侧面和底面展开图,求该圆锥的体积.解:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h, 则依题意有·2πl=2πr,∴l=4r.又∵AC=OC+OA=r+r+l=(+5)r,且AC=×(+5), ∴(+5)r=(+5)×,∴r=.∴l=4,∴h=.∴V圆锥=πr2h=π()2×π.故该圆锥的体积为π.。