数模非线性规

数学建模中的非线性优化技术研究一、前言数学建模是研究某个实际问题，运用数学方法对其进行建模、分析和解决的过程。

而非线性优化技术则是数学建模中一个重要的分支，用于解决实际问题中的非线性规划问题。

本文将重点探讨数学建模中的非线性优化技术研究。

二、数学建模中的非线性优化问题在实际问题中，往往存在许多非线性的因素，这些因素使得问题难以用线性规划的方法求解。

因此，非线性优化技术成为了数学建模中一个重要的研究方向。

1. 非线性优化问题的定义非线性优化问题是指在某一约束条件下寻求使目标函数达到最大或最小值的问题，其中目标函数和约束条件均为非线性的。

2. 非线性优化问题的分类根据问题的特点和解法的不同，非线性优化问题可以分为以下几种：（1）连续非线性规划问题：目标函数和约束条件均为连续可微函数的优化问题。

（2）混合整数非线性规划问题：目标函数和约束条件中含有整数变量和连续变量的优化问题。

（3）大规模非线性规划问题：变量数目或约束条件数目超过一定阈值的非线性规划问题。

（4）非凸非线性规划问题：目标函数和约束条件中存在非凸函数的非线性规划问题。

3. 非线性优化问题的求解方法非线性规划问题常用的求解方法有以下几种：（1）基于梯度的方法：如最速下降法、共轭梯度法、牛顿法等。

这种方法需要目标函数和约束条件是光滑的函数，但是由于其迭代效率较低，难以处理大规模问题。

（2）基于牛顿法的方法：如拟牛顿法、积极集法等。

这类方法具有快速收敛的优点，但是在解决非光滑问题时可能会出现振荡现象。

（3）基于全局优化的方法：如遗传算法、模拟退火算法等。

这种方法在解决非凸问题和多峰问题时具有优势，但是其求解时间较长，不适用于实时性要求较高的问题。

三、非线性规划问题的实际应用在实际问题中，非线性规划问题处处存在。

例如，在工程设计中，设计人员需要寻找能够在满足一定约束条件下最小化某一设计指标的设计方案；在经济决策中，决策者需要通过对市场需求和供应分析，确定最优的价格和生产量；在化学反应中，需要找到使得反应速率最大或最小的反应条件等。

数模常⽤算法系列--整数线性规划（分枝定界法）、整数⾮线性规划（蒙特卡洛法）整数线性规划求解----分枝定界法什么是整数规划?线性规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。

若在线性规划模型中,变量限制为整数，则称为整数线性规划。

⽬前所流⾏的求解整数规划的⽅法，往往只适⽤于整数线性规划。

⽬前还没有⼀种⽅法能有效地求解⼀切整数规划。

整数规划的分类- 变量全限制为整数时，称(完全)整数规划- 变量部分限制为整数时，称混合整数规划什么是分枝定界法原理如下：设有最⼤化的整数规划问题A,与它相应的线性规划为问题B,从解问题B开始,若其最优解不符合A的整数条件,那么B的最优⽬标函数必是A的最优⽬标函数z^*的上界\overline{z}；⽽A的任意可⾏解的⽬标函数值将是z^*的⼀个下界\underline z ,分枝定界法就是将B的可⾏域分成⼦区域的⽅法。

逐步减⼩\overline z和增⼤\underline z最终求到z^*本质就是个分治回溯,逼近最⼤值的算法。

Matlab算法如下：（强烈警告，（不会验证）由于⽐较懒，并未对算法正确性验证，思路上验证了⼀下没问题就码上来了，如果有错，请⼀定联系~~）% c,A,Aeq,Beq,LB,UB,是linprog函数的相关参数，知道了它们就可以求出对应的线性规划最优解，% now是⽬前已经知道的整数解的最⼤值function y = control(c,A,Aeq,Beq,LB,UB,now)ret = 0;[x,fval] = linprog(c,A,Aeq,Beq,LB,UB); % x是最优解的解向量，fval是对应的函数值if fval < nowy = fval;return;end % 如果得到的当前最优解fval⼩于已知的now,那说明最优整数解不在这个区间，则剪枝返回。

for i = 1 : length(x)if rem(x(i),1) ~= 0 % rem(x,1)如果返回值不为0,则表⽰是⼩数。

-32-第三章 非线性规划§1 非线性规划1.1 非线性规划的实例与定义如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。

一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。

而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。

下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本概念。

例1 （投资决策问题）某企业有n 个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。

已知该企业拥有总资金A 元，投资于第),,1(n i i L =个项目需花资金i a 元，并预计可收益i b 元。

试选择最佳投资方案。

解 设投资决策变量为 ⎩⎨⎧=个项目决定不投资第，个项目决定投资第i i x i 0,1，n i ,,1L =，则投资总额为∑=ni ii xa 1，投资总收益为∑=ni ii xb 1。

因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金额不能超过总资金A ，故有限制条件 ∑=≤<ni ii A xa 1另外，由于),,1(n i x i L =只取值0或1，所以还有 .,,1,0)1(n i x x i i L ==−最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。

因此，其数学模型为：∑∑===ni ii ni ii xa xb Q 11maxs.t. ∑=≤<ni ii A xa 1.,,1,0)1(n i x x i i L ==−上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。

可概括为一般形式)(min x fq j x h j ,,1,0)(s.t.L =≤ (NP) p i x g i ,,1,0)(L ==-33-其中T n x x x ][1L =称为模型（NP）的决策变量，f 称为目标函数，i g ),,1(p i L =和),,1(q j h j L =称为约束函数。

模型假设：
1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触 、椅子四条腿一样长， 处可视为一个点， 四脚的连线呈正方形。 处可视为一个点 ， 四脚的连线呈正方形 。 2、地面高度是连续变化的，沿任何方向 、地面高度是连续变化的， 都不会出现间断（ 都不会出现间断 （ 没有象台阶那样的情 即地面可视为数学上的连续曲面。 况 ） ， 即地面可视为数学上的连续曲面 。 3、对于椅脚的间距和椅腿的长度而言， 、 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言， 地面是相对平坦的， 地面是相对平坦的 ， 使椅子在任何位置 至少有三只脚同时着地。 至少有三只脚同时着地。
引 言
本章主要讨论建立数学模型的意义、 本章主要讨论建立数学模型的意义、 方法和步骤， 方法和步骤，给读者以建立数学模型 初步的了解。 初步的了解。
一、从现实对象到数学模型
原型和模型 原型（ 原型 （ Prototype） 指人们在现实世界里关 ） 研究或者从事生产、管理的实际对象。 心、研究或者从事生产、管理的实际对象。 模型（ 模型（Model）指为了某个特定目的将原型 ） 的某一部分信息简缩、 的某一部分信息简缩、提练而构造的原型替 代物。 代物。 注意：为了某种目的构造模型， 注意：为了某种目的构造模型，模型不是原 型原封不动的复制品， 型原封不动的复制品，原型有各个方面和各 种层次的特征， 种层次的特征，而模型只要求反映与某种目 的有关的那些方面和层次。 的有关的那些方面和层次。
数学国际会议， 年起， 数学国际会议，1983年起，会议录由 年起 Harwood出版 出版 竞赛
国外数学建模情况
2、科研 、
会议 1977数学和计算机建模国际会议 数学和计算机建模国际会议 期刊
《Mathematical and computer Modeling》年刊 》 《Applied Mathematical Modeling》 》 SIAM Review、SIAM News 、 《J. of Mathematical Modeling for Teacher》 》

其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点
法．
5
SUTM外点法
对一般的非线性规划： min f X
s.t.hgji
X X
0 0
i 1,2,..., m; j 1,2,..., l.
(1)
m
l
可设：TX , M f X M min0, gi X 2 M hj X 2 (2)
z
(
x1,
x2
)
1 1
-21
x1 x2
2 6
T
x1 x2
2、 输入命令：
s.t.
1 1
21
x1 x2
2 2
0 0
x1 x2
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
性约束条件．因为线性近似通常只在展开点附近近似程度较
高，故需要对变量的取值范围加以限制，所增加的约束条件是：
xj
x
k j
k j
j 1,, n
求解该线性规划问题，得到最优解X k1 ；
(4) 检验X k1 点对原约束是否可行。若X k1 对原约束可行，
则转步骤(5)；否则，缩小步长限制，令
k j
k j
7. [x,fval,exitflag]=quaprog(...);
8. [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);
17
例1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22

进行分配，因而存在部分 DVD 的两次被租赁，但因为是处理 同一份订单，因而不存在会员的第二次租赁.
基于这个假设，为了最小化购买量，我们在允许当 前某些会员无法被满足租赁要求，让其等待，利用部分 会员还回的 DVD 对其进行租赁.
根据问题一，我们认为，一个月中每张 DVD 有 0.6 的概率被租赁两次，0.4 的概率被租赁一次。即在二次 租赁的情况下，每张 DVD 相当于发挥了0.6 2 0.4 1.6张 DVD 的作用.
hi
第i种油的每单位的存储费用
ti
第i种油的每单位的存储空间
T
总存储公式
由历史数据得到的经验公式为 :
min
f
(x1, x2 )
a1b1 x1
h1x1 2
a2b2 x2
h2 x2 2
s.t. g(x1, x2 ) t1x1 t2x2 T
且提供数据如表5所示：
表5 数据表
石油的
例 8．（生产计划问题）某厂生产三种布料 A1, A2, A3， 该厂两班生产，每周生产时间为 80h，能耗不得超过 160t 标准煤，其它数据如下表：
布料 生产数量（ m/ h ） 利润（ 元 / m）
A1
400
0.15
A2
510
0.13
A3
360
0.20
最大销售量（ m / 周） 40000 51000 30000
种类
ai
bi
hi
ti
1
9
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间 T 24
代入数据后得到的模型为：
min
f
(x1, x2 )

极小值点 M函数（目标值）
优化参数
函数的极小值
初始值
函数的理论(fminunc,fminsearch)
Fibonac c i(斐波那契法)
一维搜索插值法
微积分中的求根法
解析法
Fn
1 5
1
2
5
n
1
2
5
n
二次插值法
例： 求多元函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x
x12
x2
x32
0,
x1 x22 x32 20,
s.t
x1
x22
2
0,
x2
2 x3 2
3,
x1
,
x2 ,
x3
0.
Matlab优化工具箱
例题：
在约10000m高空的某边长160km的正方形区 域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内 每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其 数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区 域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要 立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰 撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包 括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。 现假定条件如下：
思考：
y
(160,160)
1.飞行区域
2.约束条件 ：
飞行区域
两架飞机相距至少8km；调整角度<30o
飞行速度均为a=800km；刚进入时的飞机
与其他飞机相距在6(00,k0m) 以上；
x
3.目标函数： 飞机飞行方向角调整的幅度尽量小
n
min i i 1
建模过程：
利用飞机的相对飞行速度，将i视为静止， j以相对速度进行飞行

2、熟练掌握函数fmincon,fminbnd,fminsearch,fminunc等的用法。
3、会利用matlab优化工具箱求解简单的非线性规划问题。
二、实验环境（实验器材、环境要求）：
1、计算机
2、Matlab软件
三、实验内容（实验原理、任务等）：
1、求解下列非线性规划问题：
2、（供应与选址问题）某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系a，b表示，距离单位：千米）及水泥日用量d(吨)由下表给出。目前有两个临时料场位于A(5,1)，B(2,7)，日储量各有20吨。假设从料场到工地之间均有直线道路相连。
湖南第一师范学院数学系实验报告
姓名：
学号：
专业：
数学与应用数学
班级：
12级
课程名称：
线性规划与数学建模
实验名称：
非线性规划模型的Matlab求解
实验类型：
基础实验
实验室名称：
数学建模实验室
实验地点：
实A302
实验时间：
2015年6月25日
指导教师：
曾
成绩评定：
一、实验目的与要求：
1、掌握非线性规划问题的求解方法。
五、实验心得（质疑、建议）：
第一题把Aeq=[1 1]写成了Aeq=[1,1]，习惯性以逗号分隔，然而并非所有都是逗号做分隔号的，所以在对不同类型程序语法进行编写时，要注意结合其自身特点，不能被惯性思维影响。第二题建立模型由一定难度，需要认真分析，用软件编程时也挺麻烦，不知道lingo软件是否也能解出此题，二者相比哪个操作更便捷。
(The primal residual < TolFun=1.00e-008.)
xopt = 1.0e+009 *

数学建模中的非线性规划问题在数学建模领域中，非线性规划问题是一类重要且常见的问题，它在实际应用中具有广泛的意义和价值。

非线性规划问题的研究和解决，对于优化问题的求解和实际应用具有重要的指导作用。

非线性规划问题可以简单地理解为在约束条件下寻找一个或多个使目标函数最优化的变量取值。

与线性规划问题不同，非线性规划问题在目标函数和约束条件中可能存在非线性项，因此其求解难度较大。

不同于线性规划问题的凸性、单调性等属性，非线性规划问题涉及到更多的数学工具和分析方法。

在实际应用中，非线性规划问题的出现非常普遍。

例如，在生产中，企业需要在有限的资源条件下使利润最大化，这就需要解决一个非线性规划问题。

除此之外，非线性规划问题还广泛应用于交通、能源、金融等领域。

不仅如此，非线性规划问题还可以用于统计数据拟合、函数逼近等问题的求解。

因此，研究和解决非线性规划问题具有非常重要的实际意义。

在解决非线性规划问题时，常用的方法主要包括精确解法和近似解法。

精确解法主要包括拉格朗日乘子法、KKT条件等，通过求解一系列方程和方程组来确定最优解。

这类方法通常适用于问题结构相对简单、目标函数和约束条件有良好性质的情况。

然而，对于问题结构复杂、目标函数和约束条件非常复杂的情况，精确解法往往效率较低，难以求解。

因此，在实际应用中，近似解法更为常见。

近似解法主要包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法、遗传算法等。

这些方法通常基于局部优化思想，通过不断迭代和优化，逐步靠近最优解。

这类方法适用于一般性的非线性规划问题，具有较强的鲁棒性和适应性。

但是，这些方法也有其局限性，如收敛速度慢、易陷入局部最优等。

除了上述方法外，还有一些新的研究方法和算法被提出，如混合整数非线性规划、次梯度法、粒子群优化等。

这些方法在某些特定问题中表现出较好的运用效果，并有望在未来的研究中得到更广泛的应用。

总之，非线性规划问题在数学建模中占据重要地位，对于优化问题的求解和实际应用具有重要的指导作用。

航空基础学院数学第教8研页室
数学建模算法与应用
第3章 非线性规划
定理 3.2（无约束优化问题有局部最优解的充分 条件） 设 f (x)具有连续的二阶偏导数，点 x*满足 f ( x* ) 0；并且2 f ( x* )为正定阵，则 x*为无约束优
化问题的局部最优解。
定理 3.1 和定理 3.2 给出了求解无约束优化问题 的理论方法，但困难的是求解方程f ( x* ) 0，对于 比较复杂的函数，常用的方法是数值解法，如最速降 线法、牛顿法和拟牛顿法等。
航空基础学院数学第教3研页室
数学建模算法与应用
第3章 非线性规划
定义 3.1 记非线性规划问题(3.1)或(3.2)的可行
域为 K。
（1）若 x* K ，且x K ，都有 f ( x* ) f ( x)， 则称 x*为(3.1)或(3.2)的全局最优解，称 f ( x*)为其全 局最优值。如果x K , x x*，都有 f ( x*) f ( x)， 则称 x*为(3.1)或(3.2)的严格全局最优解，称 f ( x*)为
若 f ( x)，gi ( x),i 1,2, , p和hj ( x), j 1,2, ,q中至
少有一个是 x的非线性函数，称如下形式的数学模型：
min f ( x),
s
.
t
.
gi hj
( (
x x
) )
0, 0,
i 1,2, j 1,2,
, p, ,q
(3.1)
航空基础学院数学第教1研页室
若 x*是问题(3.4)的局部最优解，则存在实向量
λ* [1* , 2* ,
,q* ]T Rq，使得L( x*, λ* ) 0，即
航空基础学院数学第教11研页室

数学教案数学建模中的非线性规划问题一、引言在实际生活和工程领域中，我们经常会遇到各种非线性规划问题。

非线性规划是一种优化问题，它的目标函数和约束条件都是非线性的。

解决非线性规划问题可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，同时也可以提高我们的实际问题解决能力。

本教案旨在介绍数学建模中的非线性规划问题，并探究如何求解这类问题。

二、背景知识1. 非线性规划的基本概念非线性规划是在目标函数和约束条件中存在非线性项的优化问题。

目标函数和约束条件可以是非线性的多项式、指数函数、对数函数等形式。

2. 非线性规划的求解方法目前，常用的非线性规划求解方法有梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。

这些方法都是基于局部优化的思想，通过迭代逼近全局最优解。

三、教学内容1. 非线性规划问题的数学建模非线性规划问题通常可以通过建立数学模型来描述。

在建模过程中，需要确定目标函数和约束条件，并根据实际问题选择适当的变量和参数。

2. 求解非线性规划问题的基本步骤求解非线性规划问题通常需要经过以下步骤：a. 确定问题的数学模型；b. 将目标函数和约束条件转化为数学表达式；c. 选择合适的求解方法，并考虑收敛性和计算复杂度等因素；d. 编写相应的计算程序，并进行数值计算；e. 对结果进行分析和解释，给出合理的结论。

3. 实际问题的案例分析通过实际问题的案例分析，引导学生了解非线性规划问题的应用场景，并培养学生解决实际问题的能力。

四、教学设计1. 概念讲解通过讲解非线性规划的基本概念和相关知识，引导学生了解非线性规划问题的特点和求解方法。

2. 理论讲解分析非线性规划问题的常见形式，并介绍求解非线性规划问题的基本步骤和方法。

3. 数学建模实践设计几个实际问题的数学建模例子，引导学生通过建立数学模型并求解，解决实际问题。

4. 计算实验利用数学软件（如MATLAB）进行计算实验，演示非线性规划问题的求解过程，并分析计算结果。

5. 案例分析讨论选取一些典型的非线性规划问题的案例，进行讨论和分析，引导学生理解非线性规划问题的应用价值。

约束条件
产量、库存 与需求平衡 条件不变
能 力 限 制
x1 30 x2 40 x3 45 x4 20
x1 15w1 30 x2 15w2 40 5w1
x3 15w3 45 5w2 5w1
x4 15w4 20 5w1 5w2 5w3
非负限制
x3 y2 y3 35
x4 y3 25
x1 , x2 , x3 , x4 , y1 , y2 , y3 0
第四部分 非线性规划
模型求解
LINDO求解
最优解： x1~ x4：15，40，25，20； y1~ y3： 0，15，5 .
周次 1 2 3 4 需求 15 25 35 25 产量 15 40 25 20 库存 0 15 5 0 能力 30 40 45 20 成本 5.0 5.1 5.4 5.5
库存1000吨 B x22
x21
x11 x12
Hale Waihona Puke 第四部分 非线性规划约束 条件
汽油含原油A 的比例限制
A B
x11 0.5 x11 x21 x11 x21
x12 0.6 2 x12 3x22 x12 x22
x21 x22
x11 x12
甲(A50%) 乙(A60%)
0
500
1000
1500
z1 y1 , z2 y1 y2 , z3 y2 y3 , z4 y3 z1 z2 z3 z4 1, zk 0 (k 1,2,3,4) IP模型，LINDO求 解，得到的结果与 y1 y2 y3 1, y1 , y2 , y3 0 或 1
4周生产计划的总费用为528 (千元)

智能算法在非线性问题求解中的重要性 智能算法的效率和有效性对非线性问题求解的影响 智能算法在不同非线性问题中的表现和适用性 提高智能算法效率和有效性的方法与策略
数值解法：高 效、精确的数
值计算方法
近似解析解法： 简化问题复杂 度，提高求解
效率
人工智能与机 器学习：用于 求解复杂非线
性问题
混合方法：结 合数值解法和 近似解析解法 的优势，提高 求解精度和效
介绍偏微分方程 的基本概念和分 类
阐述非线性偏微 分方程的求解方 法，如有限元法、 有限差分法等
举例说明非线性 偏微分方程的求 解过程，包括建 立数学模型、选 择合适的求解方 法、进行数值计 算等
总结非线性偏微 分方程求解的难 点和挑战，以及 未来发展的方向
求解方法：梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等 应用场景：机器学习、图像处理、信号处理等领域 实例：最小二乘问题、支持向量机等 注意事项：选择合适的求解方法，避免陷入局部最优解
非线性方程的 求解方法：迭 代法、牛顿法、
二分法等
求解实例：求 解非线性代数 方程的数值解
法
求解过程：迭 代过程、收敛 性判断、误差
估计等
实例：求解非线性常微分方程的数值方法 常用算法：欧拉法、龙格-库塔法等 实例应用：在物理、化学、生物等领域的应用 求解技巧：如何处理非线性项、如何选择合适的初值和步长等
离散问题：非线性离散问题通常涉 及到离散的变量和关系，如图论、 组合优化等问题。
定义：非线性问题是指数学模型中的变量之间存在非线性关系的问题，即变量的输出值与输入 值不成正比例关系。
分类：非线性问题可以分为多种类型，如非线性方程、非线性优化、非线性动力学等。
应用场景：非线性问题在各个领域都有广泛的应用，如物理、化学、工程、经济等。

实验六数学建模—非线性规划实验目的：1．直观了解非线性规划的基本内容．2．掌握用数学软件求解优化问题．实验内容：1、某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台．每季度的生产费用为()2bxaxxf+=（单位:元）, 其中x是该季度生产的台数．若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元．已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问:工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低．讨论a、b、c变化对计划的影响，并作出合理的解释．2、一基金管理人的工作是: 每天将现有的美元、英镑、马克和日元四种货币按当天汇率相互兑换，使在满足需要的条件下，按美元计算的价值最高．设某天的汇率、现有货币和当天需求如下：问该天基金管理人应如何操作. (“按美元计算的价值”指兑入、兑出汇率的平均值，如1英镑相当于()258928.01697.1+=1.696993美元.)实验过程与结果：1、（1）模型建立决策变量：设第1，2，3季度分别生产x1，x2，x3台发动机，第1，2季度末分别有存货40-x1，x1+x2-100台，第3季度末无存货目标函数：设总费用为z=a(x1+x2+x3)+b(x1^2+x2^2+x3^2)+c[(x1-40)+(x1+x2-100)]约束条件：生产的发动机应该在第3季度末全部卖出，则有x1+x2+x3=180；同时要保证第1，2季度能供货且有能力生产，要求x1≥40，x1+x2≥100,100≥x1,100≥x2,100≥x3非负约束：x1,x2,x3≥0综上可得：Maxz=a(x1+x2+x3)+b(x1^2+x2^2+x3^2)+c[(x1-40)+(x1+x2-100)]s.t．x1+x2+x3=180x1+x2≥100x1≥400≤x1,x2,x3≤100（2）模型求解结果为：即工厂应第一季度生产50台发动机，第二季度生产60台发动机，第三季度生产70台发动机，才能既满足合同又使总费用最低。

M（元）：公司现有投资总额 Si（i=0~n）：欲购买的第i种资产种类（其中i=0 表 示存入银行）； xi（i=0~n）：公司购买Si金额； ri（i=0~n）：公司购买Si的平均收益率； qi（i=0~n）：公司购买Si的平均损失率； p（i=0~n）：公司购买Si超过ui时所付交易费率。
6.4.3 问题的分析
i i i i i i i
当购买Si的金额为xi（i=0~n），投资组合 x=（x0，x1，…，xn）的净收益总额
R( x) Ri ( xi )
n i 0
（6 ）
整体风险：
Q( x) max Qi ( xi )
资金约束：
1i n
n
（7）
（8 ）
F ( x) f i ( xi ) M

二、多目标规划模型 多目标规划模型的一般形式为
min f1 x , f 2 x , , f p x gi x 0, i 1, 2,....., m s.t. h j x 0, j 1, 2,....., l
T
5.7
2.7 4.5 7.6
320
267 328 131
模型的假设
1. 2.
3.
4.
在一个时期内所给出的ri，qi，pi保持不变。 在一个时间内所购买的各种资产（如股票、 证券等）不进行买卖交易，即在买入后不再 卖出。 每种投资是否收益是相互独立的。 在投资过程中，无论盈利与否必须先付交易 费。
符号的说明
表1
售价（元） 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 41000 38000 34000 32000 29000 28000 25000 22000 20000

引 例
组合投资 问题的描述: 设有8种投资选择:5支股票,2种债券,黄金. 投 资者收集到这些投资项目的年收益率的历史数据 ( 见下页表), 投资者应如何分配他的投资资金 ,即需要确定这8种投资的最佳 投资分配比例.
问题的分析:设投资的期限是一年，不妨设投资总数为1个单 位，用于第i项投资的资金比例为xi , X=(x1,x2,…,xn)称为投资组合 向量. 显然有
国家级精品课程数学实验课件
数学实验之—非线性规划
SHUXUESHIYANZHIFEIXIANXINGGUIHUA
你可以自由的从网站/cmewebhome上传或下载 重庆大学数学实验与数学建模的最新信息，ppt幻灯片及相关资 料，以便相互学习．
引 例
1952年 美国经济学 家 Markowitz 用概率统计 的方法，将 收益视作随 机变量，用 它的方差作 为风险的指 标，建立了 完整的组合 投资理论， 于19 90年 获得诺贝尔 经济学奖。
x1+x2+…+xn=1,
xi0
项目 年份 1973 1974 1975 1976 1977 1978
债券1
1.075 1.084 1.061 1.052 1.055 1.077
债券2
0.942 1.020 1.056 1.175 1.002 0.982
股票1
0.852 0.735 1.371 1.236 0.926 1.064
1.023
1.031 1.073 1.311 1.080 1.150 1.213 1.156 1.023 1.076 1.142 1.083 1.161 1.076 1.110 0.965
1.048
1.226 0.977 0.981 1.237 1.074 1.562 1.694 1.246 1.283 1.105 0.766 1.121 0.878 1.326 1.078

点（严格全局最优解）．
8
三. 非线性规划的图解法
用图解法求解下面的非线性规划问题：
min
f ( x1，x2 ) x12 x22
s.t .
1- x1 x2 0
x1 1 0
x2 1 0
9
三角形表示的是可行域。
同心圆表示的是目标函数的等值 线。
最优解为（1/2，1/2） 最优值为1/2
则称X*是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地当
X X* 时，若f X * f X ，则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值
点（严格全局最优解）．
6
非现性规划的基本概念
定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数 时的最优化问题就叫做非线性规划问题．
一般形式:
（1）
其中 X x1, x2,, xn T En，f , gi , hj 是定义在 En 上的实值函
数，简记: f : En E1, gi : En E1, h j : En E1
其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零 的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．
(t2 )
14
定义
设X Rn , x X , pRn , p 0,若存在t 0，使得
x tp X
则称向量p是点x处 关于X的可行方向。
解非线性规划问题，关键在于 找到某个方向，使得在此方向 上，目标函数得到下降，同时 还是可行方向。 这样的方向称为可行下降方向。
15
第二节 凸函数和凸规划
给定初始点x0
根据x0,依次迭代产生点列{xk}
{xk}有限
{xk}无限
{xk}的最后一点为最优解