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三角函数的基本变换三角函数是数学中的重要内容，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
而三角函数的基本变换是理解和应用三角函数的基础。
本文将介绍三角函数的基本变换，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的平移、伸缩和反射三种变换。
一、正弦函数的基本变换正弦函数的标准公式为：y = A*sin(Bx + C) + D，其中A、B、C、D 为常数，且A不等于0。
对于正弦函数的基本变换，可以通过调整A、B、C、D的值来实现平移、伸缩和反射。
1. 平移平移是指将函数图像沿x轴或y轴方向移动。
当C为正数时，正弦曲线向左平移；当C为负数时，正弦曲线向右平移。
平移的距离由C的绝对值决定，绝对值越大，平移的距离越远。
2. 伸缩伸缩是指将函数图像在x轴或y轴方向进行拉伸或压缩。
当A的绝对值变大时，正弦曲线在y轴方向上的振幅增大，即拉伸；当A的绝对值变小时，正弦曲线的振幅减小，即压缩。
当B的绝对值变大时，正弦曲线在x轴方向上的周期变短，即拉伸；当B的绝对值变小时，正弦曲线的周期变长，即压缩。
3. 反射反射是指将函数图像关于x轴或y轴进行翻转。
当A为负数时，正弦曲线关于x轴进行翻转；当B为负数时，正弦曲线关于y轴进行翻转。
二、余弦函数的基本变换余弦函数的标准公式为：y = A*cos(Bx + C) + D，其中A、B、C、D为常数，且A不等于0。
余弦函数的基本变换与正弦函数类似，分为平移、伸缩和反射三种变换。
1. 平移余弦函数的平移与正弦函数相同，通过调整C的值来实现。
当C为正数时，余弦曲线向左平移；当C为负数时，余弦曲线向右平移。
2. 伸缩余弦函数的伸缩与正弦函数类似，通过调整A和B的值来实现。
当A的绝对值变大时，余弦曲线在y轴方向上的振幅增大，即拉伸；当A 的绝对值变小时，余弦曲线的振幅减小，即压缩。
当B的绝对值变大时，余弦曲线在x轴方向上的周期变短，即拉伸；当B的绝对值变小时，余弦曲线的周期变长，即压缩。
3. 反射余弦函数的反射与正弦函数类似，通过调整A的值来实现。
一.正弦函数的图像与性质1.正弦函数的图象画法：五点法：2.正弦函数的性质：（通过图象观察性质）（1）定义域： （2）值域： （3）周期性： （4）奇偶性： （5）单调性：（6）对称轴：（7）对称中心：3.正弦函数性质的应用（一）、值域和有界性以及最值的应用例1、设3sin -=t x ，R x ∈，求t 的取值范围。
例2、已知b x a y +=sin 的最大值为5，最小值为1，求a ，b 的值。
例3、求下列函数的最大值和最小值以及相应的x 的取值范围 （1）x y 2sin =；（2）2sin +=x y ；（3）2)1(sin 2+-=x y例4、求函数y ＝cos 2x －3sin x 的最大值例5、已知｜x ｜≤，求函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值4π（二）、周期性的应用例1、 求下列函数的周期：(1)y ＝sin2x ，x ∈R ； (2)y ＝2sin(x －)，x ∈R)sin(ϕ+=wx A y 的周期T=练习：求下列函数的周期 （1）x y 3sin =，（2）4sin3x y =，（3）)62sin(2π-=x y （三）、单调性的应用（1）利用单调性比较大小例1、不求三角函数值，指出下列各式大于零还是小于零。
（1）)10sin()18sin(ππ---（2）)417sin()523sin(ππ---(2)求复合函数单调区间 例2、 (1)函数y ＝sin(x ＋)单调增区间? (2)函数y ＝3sin(－2x )单调减区间？ （3）求)214sin(3x y --=π的单调区间。
（四）、对称轴及对称中心的应用 例1、函数y ＝sin （2x ＋）图象的一条对称轴方程是( ) A x ＝－B x ＝－C x ＝D x ＝例2、函数)62sin(4π-=x y 的一个对称中心是（ ）A )0,12(πB )0,3(πC )0,6(π-D )0,6(π(五)．函数y ＝sinx 的对称性与周期性的关系．⑴ 若相邻两条对称轴为x ＝a 和x ＝b ，则T ＝ ． ⑵ 若相邻两对称点(a ，0)和(b ，0) ，则T ＝ ．⑶ 若有一个对称点(a ，0)和它相邻的一条对称轴x ＝b ，则T ＝ ．二.正弦型函数+b（一）1.周期： 2.频率： 3. 初相： 4.最值：例1、求函数的振幅、周期、初相和单调区间。
高中正弦型函数图像变换优秀教学设计高中正弦型函数图像变换优秀教学设计【课题】 1.5 函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图像【教材】高中数学人教版必修4第49页至55页. 【课时安排】 1个课时. 【教学对象】高一（上）学生. 【授课教师】【教学目标】✧知识与技能（1）理解A 、ω、ϕ的变化对函数图像的形状及位置的影响；（2）掌握由y =sin x 的图像到y =A sin(ωx +ϕ) 的图像的变换规律. ✧过程与方法（1）使学生经历图像变换的过程，培养学生的实践能力和分析问题、解决问题的能力；（2）锻炼学生归纳总结和逻辑思维的能力. ✧情感态度价值观经历图像变换的实际操作过程，培养学生“由简单到复杂、由特殊到一般”的化归思想和辩证思想.【教学重点】 1. 考查参数A 、ω、ϕ对函数图像变换的综合影响；2.理解如何由y =sin x 图像变换到y =A sin(ωx +ϕ) 图像的过程. 【教学难点】ω对y =A sin(ωx +ϕ) 的图像的影响规律的概括.【教学方法】讲练结合、讨论交流、合作探究。
【教学手段】计算机、flash 。
【教学过程设计】教学流程设计函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图像探究一参数ϕ对探究二 y =sin 2x 如何平移得到（探究三参数ω(ω>0究四参数A (A >0对y =sin(x +ϕ)y =sin (ωx +ϕ)y =A sin (ωx +ϕ)图解答学生思考讨论并归纳规律学生思考讨论并归纳规律学生思考讨论并归纳规律学生思考讨论并归纳规律寻找解题方法总结规律二、教学过程设计【板书设计】函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图像一、引入三、总结五、练习二、探究四、例题六、小结与作业附录1：本教学设计的创新之处1. 目标创新培养学生动手实践能力以及问题解决能力和数学探究能力；2. 教法创新亚里士多德说：“思维从问题惊讶开始”. 这些惊讶不会直接从抽象的符号或晦涩难懂的说教中来，它可以来源于直观感知，也可以总结自磨砺探索. 通过问题驱动, 师生共同发现问题并进而分析、解决问题.3. 数学创新在坚持课程标准总原则上，应立足于本质，抓住教学过程中出现的主要矛盾，合理调整教学环节，选择合理的设计方案，以体现现代数学教育的价值取向.。
三角函数左右平移规律
三角函数左右平移规律是指，在三角函数函数图像的横轴上做一定的移动，函
数图像也能实现左右平移的效果。
这种方式要求首先要理解三角函数的基本特征，以及相关定义域、值域等概念，并根据定义原理建立函数图像，然后再根据它规定的规律把它向左右移动。
三角函数左右平移规律可以总结为如下几条：
（1）正弦函数向右平移A，它的函数图像就会右移A，函数表达式也会相应地变
换为sin（x+A）。
（2）余弦函数向右平移A，它的函数图像就会右移A，函数表达式也会相应地变
换为cos（x+A）。
（3）正切函数向右平移A，它的函数图像就会右移A，函数表达式也会相应地变
换为tan（x+A）。
三角函数左右平移规律是理解和应用复杂函数的基础，对于理解复杂函数的定
义区间、值域等概念、掌握其图象的变幻规律性，乃至改变函数的一定性质均非常有帮助。
掌握三角函数的左右平移规律，并能够巧妙运用于实际应用尤为重要。
因此，研究三角函数的左右平移规律，既让我们能够熟练掌握三角函数的知识，对我们日常所学理论或应用中三角函数的使用也会变得更加熟练。
同时，三角函数还以它独特的规律性，与许多其他函数组合，为我们提供了十分有用的函数数学工具，能够清楚理解多边形、椭圆、曲线、几何体等各种实体，且特别是研究计算机图形学和机器人尤为重要。
总之，三角函数的左右平移规律是一种重要的数学知识，理解它的基本特征以
及平移的规律，有助于我们掌握更多的函数知识，并且运用三角函数的定义与规律，使得数学运算也变得更加简单。
三角函数图形的变换1、正弦与余弦函数图象的变换2、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换):先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换:先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
作y =sin x （长度为2π的某闭区间）的图象 得y =sin(x +φ) 的图象得y =sin ωx 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =Asin(ωx +φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R 上沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短沿x 轴平 移|ωϕ|个单位 纵坐标伸 长或缩短纵坐标伸 长或缩短【经典例题】图像变换一：左右平移1、把函数R x x y ∈=,sin 图像上所有的点向左平移4π个单位，所得函数的解析式为 _________2、把函数R x x y ∈=,cos 图像上所有的点向右平移5π个单位，所得函数的解析式为 _________图像变换二：纵向伸缩3、对于函数R x x y ∈=,s i n 3的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或”纵”)坐标______（伸长或缩短）为原来的______而得到的图像。
正弦函数基本形式正弦函数是高中数学中一个重要的概念，也是数学中的基本函数之一。
它具有很多有趣的性质和应用，让我们一起来深入探索一下正弦函数的基本形式以及相关的数学知识。
一、正弦函数的定义与图像正弦函数的基本形式为：y=A*sin(Bx+C)+D，其中A、B、C、D都是常数。
1.A代表振幅，表示正弦函数图像上下波动的幅度，A越大，图像的波动幅度越大；A越小，图像的波动幅度越小。
2.B代表周期，表示图像上连续两个波峰（或波谷）之间的距离。
周期T与B的关系是T=2π/B，其中2π是一个完整的周期。
B越大，周期越短，图像的波动速度越快；B越小，周期越长，图像的波动速度越慢。
3.C代表相位差，表示正弦函数图像相对于标准正弦函数（y= sinx）左右平移的距离。
当C为正数时，图像向左平移；当C为负数时，图像向右平移。
4.D代表垂直方向的平移，表示正弦函数图像上下平移的距离。
当D为正数时，图像向上平移；当D为负数时，图像向下平移。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，且在数学中被称为周期函数。
它的图像在区间[0,2π]上是一个完整的波动，而在整个数轴上则是无限重复的。
二、正弦函数的性质和应用正弦函数有很多有趣的性质和应用，下面我们来逐一介绍。
1.周期性正弦函数是一个周期函数，其周期为2π。
即对于任意实数x，有sin(x+2π)=sinx。
这一性质使得正弦函数在很多实际问题中具有广泛的应用，如电波的振荡、音乐的音调等。
2.对称性正弦函数具有奇函数的性质，即sin(-x)=-sinx。
这一性质使得正弦函数的图像关于y轴对称，即图像关于y轴旋转180°后重合。
3.奇偶性正弦函数是一个奇函数，即sin(-x)=-sinx。
这一性质使得正弦函数的图像关于原点对称，即图像关于原点旋转180°后重合。
4.最值正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
即对于任意实数x，有-1≤sinx≤1。
这一性质使得正弦函数在很多实际问题中可以表示振动的幅度范围。
1、（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=2、（广东卷文5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数 3、（全国Ⅰ卷文6）2(sin cos )1y x x =--是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数4、（湖南卷理6）函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1C. 325、（天津卷文6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，6、（全国Ⅰ卷文9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ）A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位7、（全国Ⅰ卷理8）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位1.（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=解：sin(2)3y x π=+的对称轴方程为232x k πππ+=+，即212k x ππ=+，0,12k x π==2.（广东卷文5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数 【解析】222211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224xf x x x x x x -=+===,选D.9.（全国Ⅰ卷文6）2(sin cos )1y x x =--是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数sinx cosx,2sinxcosx 2y=1sin 2x 1=sin 2x T D2ππ±解析:本题主要考查了三角函数的化简，主要应用了与的关系，同时还考查了二倍角公式和函数的奇偶性和利用公式法求周期。
三角函数的基本变换平移伸缩和反射三角函数的基本变换：平移、伸缩和反射三角函数是数学中非常重要且广泛应用的概念之一。
它们在几何、物理、工程学等领域中起着关键作用。
在学习三角函数时，我们经常会遇到一些基本的函数变换，比如平移、伸缩和反射。
本文将介绍三角函数的这些基本变换，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、平移变换平移是指图形在平面内沿着某个方向移动一段距离。
在三角函数中，平移变换是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动，改变函数的位置。
对于正弦函数sin(x)来说，平移变换可以表示为sin(x-a)，其中a为平移的距离和方向。
当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。
对于余弦函数cos(x)来说，平移变换可以表示为cos(x-a)，同样地，当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。
二、伸缩变换伸缩是指图形的尺寸在某个方向上改变。
在三角函数中，伸缩变换是指将函数图像在横轴或纵轴方向上进行拉伸或压缩，改变函数的振幅和周期。
对于正弦函数sin(x)来说，伸缩变换可以表示为a*sin(x)，其中a为正实数。
当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。
对于余弦函数cos(x)来说，伸缩变换可以表示为a*cos(x)，同样地，当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。
伸缩变换还可以改变函数的周期。
对于正弦函数和余弦函数来说，原本的周期是2π。
通过伸缩变换，可以改变函数的周期为2π/a，其中a为正实数。
三、反射变换反射变换是指图形关于某个轴线对称。
在三角函数中，反射变换是指将函数图像关于横轴或纵轴进行翻转，改变函数的正负号。
对于正弦函数sin(x)来说，反射变换可以表示为-sin(x)。
高一同步之每日一题【B404】正弦函数的图像平移B4041.为了得到函数)42sin(π-=x y 的图像,只要将函数x y 2sin =的图像【 】个长度单位. A.向左平移4π B.向右平移4π C.向左平移8π D.向右平移8π 解:由于函数x y 2sin =的图像中“五点法”的第一个特征点的横坐标可由20x =得0x =； 由于函数)42sin(π-=x y 的图像中“五点法”的第一个特征点的横坐标可由204x π-=得8x π=；再由题意知:由0x =平移到8x π=,故答案为D.B4042.把函数sin(2)6y x π=+的图像【 】个长度单位,就可以得到函数sin(2)3y x π=-的图像.A.向左平移4πB.向右平移4πC.向左平移2πD.向右平移2π 解:由于函数sin(2)6y x π=+的图像中“五点法”的第一个特征点的横坐标可由206x π+=得12x π=-； 由于函数sin(2)3y x π=-的图像中“五点法”的第一个特征点的横坐标可由203x π-=得6x π=；由题意知将12x π=-平移到6x π=, 故由()6124πππ--=可知答案为B.B4043.把函数sin(3)3y x π=-的图像【 】个长度单位,就可以得到函数sin(3)4y x π=+的图像. A.向左平移736π B.向右平移736π C.向左平移712π D.向右平移712π 解:由于函数sin(3)3y x π=-的图像中“五点法”的第一个特征点的横坐标可由303x π-=得9x π=； 由于函数sin(3)4y x π=+的图像中“五点法”的第一个特征点的横坐标可由304x π+=得12x π=-；由题意知将9x π=平移到12x π=-, 故由712936πππ--=-可知答案为A.B4044.为了得到函数sin(2)6y x π=-的图像,可以将函数cos2y x =的图像【 】个长度单位.A.向右平移6π B.向右平移3π C.向左平移6π D.向左平移3π 解:由于cos 2sin(2)2y x x π==+,且函数sin(2)2y x π=+的图像中“五点法”的第一个特征点的横坐标可由202x π+=得4x π=-； 由于函数sin(2)6y x π=-的图像中“五点法”的第一个特征点的横坐标可由206x π-=得12x π=；由题意知将4x π=-平移到12x π=, 故由()1243πππ--=可知答案为B.B4045.将函数sin()3y x π=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图像向左平移3π个单位,则所得函数图像对应的解析式为【 】. A.1sin()26y x =-π B.1sin()23y x =-π C.1sin 2y x = D.sin(2)6y x =-π 解:由于函数sin()3y x π=-的图像中“五点法”的第一个特征点的横坐标可由03x π-=得3x π=； 将横坐标3x π=伸长到原来的2倍所得横坐标为23x π=； 将横坐标23x π=向左平移3π个单位所得横坐标为3x π=； 因此所得函数的图像中“五点法”的第一个特征点的横坐标为3x π=. 令1026x π-=得3x π=； 令1023x π-=得23x π=； 令102x =得0x =； 令206x π-=得12x π=；综上可知,答案为A.B4046.若将函数sin()y x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位后所得图像与原图重合,则ω不可能为【 】.A.4B.6C.8D.12解:由于函数sin()y x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位后所得图像与原图重合, 因此2π是函数最小正周期的整数倍,即22n ππω⋅=,n N +∈； 故由4,n n N ω+=∈可知答案为B.B4047.把函数1cos2y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长 度,得到的图像是【 】.解:由于1cos 21sin(2)2y x x π=++=++,且函数sin(2)2y x π=+的图像中“五点法”的第一个特征点的横坐标可由202x π+=得4x π=-；因此函数1cos 21sin(2)2y x x π=++=++的图像中“五点法”的第一个特征点的坐标为(,1)4π-； 将点(,1)4π-横坐标伸长到原来的2倍后得到的点为点(,1)2π-；再将点(,1)2π-向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度得到的点为(1,0)2π--；又由于函数的最小正周期为T π=,因此经过图像变换后所得函数的图像一定经过点(1,0)2π-；故答案为A.。
