第四章 微专题33 抓住”双星、多星模型”的核心方程

双星与多星问题双星模型1、模型构建在天体运动中,将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上得某点做周期相同得匀速圆周运动得行星称为双星。

2、模型条件①两颗星彼此相距较近。

②两颗星靠相互之间得万有引力做匀速圆周运动。

③两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3、模型特点如图所示为质量分别就是m １与ｍ2得两颗相距较近得恒星。

它们间得距离为L 、此双星问题得特点就是:(1)两星得运行轨道为同心圆，圆心就是它们之间连线上得某一点。

（2)两星得向心力大小相等，由它们间得万有引力提供。

(3)两星得运动周期、角速度相同。

(4）两星得运动半径之与等于它们间得距离,即r 1+ｒ2=Ｌ、4、 双星问题得处理方法双星间得万有引力提供了它们做圆周运动得向心力，即 错误!=m １ω2r １＝m 2ω2r 2。

5、 双星问题得两个结论(1)运动半径:ｍ1r 1=m 2r ２,即某恒星得运动半径与其质量成反比。

(2)质量之与:由于ω=错误!,ｒ１＋r 2＝L ,所以两恒星得质量之与m 1＋m 2=错误!。

【示例1】２0１６年２月11日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦1００年前得预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失得“拼图”、双星得运动就是产生引力波得来源之一,假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成,这两颗星绕它们连线得某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动,测得a 星得周期为T ,a 、b 两颗星得距离为l ，a 、b 两颗星得轨道半径之差为Δr (a 星得轨道半径大于b 星得轨道半径),则( )A 、b 星得周期为＼ｆ（l -Δr,l +Δr )TB 、ａ星得线速度大小为π(l ＋Δr )TC 、a 、b 两颗星得半径之比为错误!D 、a 、b 两颗星得质量之比为错误!规律总结解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)双星问题得“两等”：①它们得角速度相等。

②双星做匀速圆周运动得向心力由它们之间得万有引力提供,即它们受到得向心力大小总就是相等得。

微专题：双星和多星模型解题攻略(一)双星模型1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图8所示．图8(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω 21r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω 22r 2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即 T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L(3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1，与星体运动的线速度成反比．[思维深化]1．若在双星模型中，图8中L 、m 1、m 2、G 为已知量，双星运动的周期如何表示？答案 T ＝2πL 3G (m 1＋m 2)2．若双星运动的周期为T ，双星之间的距离为L ，G 已知，双星的总质量如何表示？ 答案 m 1＋m 2＝4π2L 3T 2G[典例1] 如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间的距离为L 。

已知A 、B 的中心和O 点始终共线，A 和B 分别在O 点的两侧。

引力常量为G 。

图1(1)求两星球做圆周运动的周期。

(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1。

但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T 2。

已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和7.35×1022kg 。

求T 2与T 1两者的平方之比。

(结果保留3位小数)[解析] (1)A 和B 绕O 点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等，且A 、B 的中心和O 点始终共线，说明A 和B 组成双星系统且有相同的角速度和周期。

设A 、B 做圆周运动的半径分别为r 、R ，则有m ω2r ＝M ω2R ，r ＋R ＝L联立解得R ＝mM ＋m L ，r ＝MM ＋mL 对A ，根据牛顿第二定律和万有引力定律得GMm L 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2MM ＋mL解得T ＝2πL 3G M ＋m。

微专题35双星或多星模型1．双星问题中各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω2r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω2r 2，其中r 1＋r 2＝L .2.“双星问题”的隐含条件是两者受到的向心力相等，周期相同，角速度相同；双星轨道半径与质量成反比.3.多星问题中，每颗星体做圆周运动所需的向心力由其他星体对该星的引力的合力提供，即F 合＝m v 2r.1．(2023·广东深圳市调研)由于潮汐等因素影响，月球正以每年约3至5厘米的速度远离地球．如图所示，地球和月球可以看作双星系统，它们绕O 点做匀速圆周运动．多年以后，地球()A ．与月球之间的万有引力变大B ．绕O 点做圆周运动的周期不变C ．绕O 点做圆周运动的角速度变小D ．绕O 点做圆周运动的轨道半径变小答案C解析地球和月球间距离变大，两星的质量不变，由万有引力定律可知，地球与月球之间的万有引力变小，故A 错误；设地球与月球的质量分别为m 1和m 2，做圆周运动的半径分别为R 1和R 2，地球和月球间距离为L ，则有L ＝R 1＋R 2，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有，Gm 1m 2L 2＝m 1(2πT )2R 1＝m 1ω2R 1，Gm 1m 2L 2＝m 2(2πT )2R 2＝m 2ω2R 2，联立可得G m 1＋m 2 L 2＝4π2L T 2＝ω2L ，R 1＝m 2Lm 1＋m 2，地球和月球间距离增大，则地球绕O 点做圆周运动的周期T 变大，地球绕O 点做圆周运动的角速度变小，地球绕O 点做圆周运动的轨道半径变大，故B 、D 错误，C 正确．2．(多选)(2023·湖南衡阳市联考)科学家发现距离地球2764光年的宇宙空间存在适合生命居住的双星系统，这一发现为人类研究地外生命提供了新的思路和方向．假设宇宙中有一双星系统由质量分别为m 和M 的A 、B 两颗星体组成．这两颗星体绕它们连线上的O 点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，如图所示，A 、B 两颗星的距离为L ，引力常量为G ，则()A．因为OA>OB，所以m>MB．两恒星做圆周运动的周期为2πL3G M＋mC．若恒星A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，恒星A的周期缓慢增大D．若恒星A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则恒星A的轨道半径将缓慢减小答案BD解析设A、B两颗星体的轨道半径分别为R1、R2，双星之间的万有引力提供向心力，则有GmM L2＝m 4π2T2R1，①GmML2＝M 4π2T2R2，②两式联立得mR1＝MR2，③OA>OB，即R1>R2，所以有m<M，A错误；联立①②得两颗星体的周期为T＝2πL3G M＋m ，若m缓慢增大，其他量不变，周期T变小，故B正确，C错误；由几何关系R1＋R2＝L，结合③式可得R1＝MM＋mL，若m缓慢增大，A的轨道半径将缓慢减小，D正确．3.(多选)(2023·甘肃天水市秦安县诊断测试)多国科学家联合宣布人类第一次直接探测到来自“双中子星”合并的引力波信号．假设双中子星在合并前，两中子星A、B的质量分别为m1、m2，两者之间的距离为L，如图所示．在双中子星互相绕行过程中两者质量不变，距离逐渐减小，则()A．A、B运动的轨道半径之比为m1m2B ．A 、B 运动的速率之比为m 2m 1C ．双中子星运动周期逐渐增大D ．双中子星系统的引力势能逐渐减小答案BD解析双中子星的周期、角速度、向心力大小相同，根据Gm 1m 2L 2＝m 1ω2R 1＝m 2ω2R 2，可得R 1R 2＝m 2m 1，故A 错误；双中子星的角速度相同，根据v ＝ωr ，可得v 1v 2＝R 1R 2＝m 2m 1，故B 正确；由Gm 1m 2L 2＝m 1ω2R 1＝m 2ω2R 2,R 1＋R 2＝L ，又角速度为ω＝2πT，可得T ＝2πL 3G m 1＋m 2，L 减小，则T减小，故C 错误；双中子星相互靠近过程中引力做正功，引力势能减小，故D 正确．4．(多选)(2023·新疆博乐市诊断)双星的运动是引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由P 、Q 两颗星体组成，这两颗星体绕它们连线上的某一点在二者之间万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P 星的角速度为ω，P 、Q 两颗星体之间的距离为L ，Q 、P 两颗星体的轨道半径之差为Δr (P 星的质量大于Q 星的质量)，引力常量为G ，则()A ．P 、Q 两颗星体的向心力大小相等B ．P 、Q 两颗星体的向心加速度大小相等C ．P 、Q 两颗星体的线速度大小之差为ωΔrD ．P 、Q 两颗星体的质量之比为L －Δr L ＋Δr答案AC解析P 、Q 两颗星体的向心力都等于两者之间的万有引力，因此P 、Q 两星体的向心力大小相等，故A 正确；两颗星体的质量不相等，根据F 向＝ma 可知，两星体的向心加速度不相等，故B 错误；根据圆周运动公式v ＝ωr ，可知Δv ＝v P －v Q ＝ω(R P －R Q )＝ωΔr ，故C 正确；对于两颗星体有F 向＝m P ω2R P ＝m Q ω2R Q ，所以m P m Q ＝R QR P，又因为m P >m Q ，所以R P <R Q ，根据题意R Q －R P ＝Δr ，R P ＋R Q ＝L ，解得m P m Q ＝R Q R P ＝L ＋ΔrL －Δr，故D 错误．5．由三个星体构成的系统，叫作三星系统．有这样一种简单的三星系统，质量刚好都相同的三个星体甲、乙、丙在三者相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做周期相同的圆周运动．若三个星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，引力常量为G ，则下列说法正确的是()A ．三个星体做圆周运动的半径均为aB．三个星体做圆周运动的周期均为2πa a3GmC．三个星体做圆周运动的线速度大小均为3GmaD．三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为3Gma2答案B解析质量相等的三星系统的位置关系构成一等边三角形，其中心O即为它们的共同圆心，由几何关系可知三个星体做圆周运动的半径r＝33a，故选项A错误；每个星体受到的另外两星体的万有引力的合力提供向心力，其大小F＝3·Gm2a2，则3Gm2a2＝m4π2T2r，得T＝2πa a3Gm，故选项B正确；v＝2πrT得v＝Gma，故选项C错误；向心加速度大小a n＝Fm＝3Gma2，故选项D错误．6.(2023·四川广安市二中模拟)2021年11月，中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星表，为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持．已知宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一个质量相等的小星围绕母星做圆周运动，如图所示．如果两颗小星间的万有引力大小为F，母星与任意一颗小星间的万有引力大小为6F，则下列说法中正确的是()A．母星受到的合力大小为(33＋3)FB．每颗小星受到的合力大小为(32＋6)FC．母星的质量是每颗小星质量的3倍D．母星的质量是每颗小星质量的2倍答案D解析母星与任意一颗小星间的万有引力大小为6F，母星受到的三个万有引力大小相等，夹角均为120°，故根据合成可知，母星受到的合力为零，故A错误；根据受力分析可知，每颗小星受到其余两颗小星和一颗母星的引力，其合力指向母星以提供向心力，即每颗小星受到的万有引力为F′＝6F＋2F cos30°＝(3＋6)F，故B错误；假设每颗小星的质量为m，母星的质量为M，等边三角形的边长为a，则小星绕母星运动轨道半径为r＝33a，根据万有引力定律，两颗小星间的万有引力为F＝G mma2，母星与任意一颗小星间的万有引力为6F＝GMmr2，解得母星的质量是每颗小星质量的2倍，故D正确，C错误．7．(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的由四颗星体组成的四星系统．若某个四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，忽略其他星体对它们的引力作用，忽略星体自转，则可能存在如下运动形式：四颗星体分别位于边长为L的正方形的四个顶点上(L远大于R)，在相互之间的万有引力作用下，绕某一共同的圆心做角速度相同的圆周运动．已知引力常量为G，则关于此四星系统，下列说法正确的是()A．四颗星体做圆周运动的轨道半径均为L2B．四颗星体表面的重力加速度均为G mR2C．四颗星体做圆周运动的向心力大小为Gm2L2(22＋1)D．四颗星体做圆周运动的角速度均为 4＋2 Gm2L3答案BD解析任意一颗星体在其他三颗星体的万有引力的作用下，合力方向指向正方形对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径均为r＝22L，故A错误；星体表面的物体受到的万有引力等于它受到的重力，即G mm′R2m′g，解得g＝GmR2，故B正确；由万有引力定律可得四颗星体做圆周运动的向心力大小为F n＝Gm22L 2＋2Gm2L2cos45°＝Gm2 L2(12＋2)，故C错误；由牛顿第二定律得F n＝Gm2L2(12＋2)＝mω2·22L，解得ω＝4＋2 Gm2L3，故D正确．。

卫星变轨问题和双星、多星模型绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。

轨道半径r 确定后，与之对应的卫星线速度r GM v =、周期GMr T 32π=、向心加速度2r GM a =也都是唯一确定的称为“一定四定”。

如果卫星的质量是确定的，那么与轨道半径r 对应的卫星的动能E k 、重力势能E p 和总机械能E 机也是唯一确定的。

一旦卫星发生了变轨，即轨道半径r 发生变化，上述所有物理量都将随之变化称为“一变四变”。

题型一 卫星的变轨和对接问题1．变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图1所示．图1(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．变轨过程分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v 3>v B .(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B 点的加速度也相同． 总结：同一点加速度相同，高道速度大。

(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知T 1<T 2<T 3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 1、E 2、E 3，则E 1<E 2<E 3.例1 (2019·北京市通州区期中)如图2所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1上绕地球E 运行，在A 点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )图2A ．在轨道1上，卫星在A 点的速度等于在B 点的速度B ．卫星在轨道2上的周期大于在轨道1上的周期C ．在轨道1和轨道2上，卫星在A 点的速度大小相同D ．在轨道1和轨道2上，卫星在A 点的加速度大小不同答案 B解析 在轨道1上，卫星由A 点运动到B 点，万有引力做正功，动能变大，速度变大，故选项A 错误；由开普勒第三定律知卫星在轨道2上的周期较大，故选项B 正确；卫星由轨道1变到轨道2，需要在A 点加速，即在轨道1和轨道2上，卫星在A 点的速度大小不相同，故选项C 错误；由G Mm r 2＝ma 得a ＝G M r2，可知在轨道1和轨道2上，卫星在A 点的加速度大小相等，故选项D 错误．例2．(2019·江苏卷·4)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图1所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v 1、v 2，近地点到地心的距离为r ，地球质量为M ，引力常量为G .则( )图1A ．v 1＞v 2，v 1＝GM r B ．v 1＞v 2，v 1＞GM r C ．v 1＜v 2，v 1＝GM r D ．v 1＜v 2，v 1＞GM r 答案 B解析 “东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运动的过程中，只有万有引力做功，因而机械能守恒，其由近地点向远地点运动时，万有引力做负功，卫星的势能增加，动能减小，因此v 1＞v 2；“东方红一号”离开近地点开始做离心运动，则由离心运动的条件可知G Mm r 2＜m v 12r，解得v 1＞GM r ，B 正确，A 、C 、D 错误．题型二双星或多星模型1．双星模型(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图4所示．图4(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm1m2L2＝m1ω12r1，Gm1m2L2＝m2ω22r2②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.2．多星模型(1)模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图5甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．图5(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．例 3.(双星模型)(多选)(2020·广东深圳中学质检)有一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图7所示．若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动．根据所学知识，下列说法中正确的是()图7A．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1B．双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1C．双黑洞的线速度大小之比v1∶v2＝M1∶M2D．双黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2＝M2∶M1答案BD解析双黑洞绕连线的某点做匀速圆周运动的周期相等，所以角速度也相等，故A错误；双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞的距离为L，由M1ω2r1＝M2ω2r2，得r1∶r2＝M2∶M1，故B正确；由v＝ωr得双黑洞的线速度大小之比为v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，故C错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度大小之比为a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，D正确．例4(多星模型)(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图6所示．三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R.忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则()图6A．每颗星做圆周运动的线速度大小为Gm RB．每颗星做圆周运动的角速度为3Gm R3C．每颗星做圆周运动的周期为2πR3 3GmD ．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 答案 ABC解析 每颗星受到的合力为F ＝2G m 2R 2sin 60°＝3G m 2R 2，轨道半径为r ＝33R ，由向心力公式F ＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r ，解得a ＝3Gm R2，v ＝Gm R ，ω＝3Gm R 3，T ＝2πR 33Gm ，显然加速度a 与m 有关，故A 、B 、C 正确，D 错误．。

微专题25 双星与多星问题【核心要点提示】(1)核心问题是“谁”提供向心力的问题．(2)“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；(3)多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F 合＝m v 2r ，以此列向心力方程进行求解．【微专题训练】“双星体系”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个星球之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图1所示，相距为L 的A 、B 两恒星绕共同的圆心O 做圆周运动，A 、B 的质量分别为m 1、m 2，周期均为T .若有间距也为L 的双星C 、D ，C 、D 的质量分别为A 、B 的两倍，则( )A ．A 、B 运动的轨道半径之比为m 1m 2B ．A 、B 运动的速率之比为m 1m 2C ．C 运动的速率为A 的2倍D ．C 、D 运动的周期均为22T 【解析】对于双星A 、B ，有G m 1m 2L 2＝m 1(2πT )2r 1＝m 2(2πT )2r 2，r 1＋r 2＝L ，得r 1＝m 2m 1＋m 2L ，r 2＝m 1m 1＋m 2L ，T ＝2πL L G m 1＋m 2，A 、B 运动的轨道半径之比为r 1r 2＝m 2m 1，A 错误；由v＝2πr T 得，A 、B 运动的速率之比为v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1，B 错误；C 、D 运动的周期T ′＝2πL L G 2m 1＋2m 2＝22T ，D 正确；C 的轨道半径r 1′＝2m 22m 1＋2m 2L ＝r 1，C 运动的速率为v 1′＝2πr 1′T ′＝2v 1，C 错误．【答案】D(2013·山东理综)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( ) A.n 3k 2T B.n 3kT C.n 2kT D.n kT 【解析】双星靠彼此的引力提供向心力，则有 G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2 G m 1m 2L 2＝m 2r 24π2T 2 并且r 1＋r 2＝L 解得T ＝2πL 3G (m 1＋m 2)当两星总质量变为原来的k 倍，两星之间距离变为原来的n 倍时 T ′＝2πn 3L 3Gk (m 1＋m 2)＝n 3k·T 故选项B 正确． 【答案】B(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G .关于四星系统，下列说法正确的是( )A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ．四颗星的轨道半径均为a2C ．四颗星表面的重力加速度均为GmR 2D ．四颗星的周期均为2πa2a(4＋2)Gm【解析】其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为22a ，故A 正确，B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G mm ′R 2＝m ′g ，解得g ＝GmR2，故C 正确；由万有引力定律和向心力公式得Gm 2(2a )2＋2Gm 2a 2＝m 4π2T 2·2a2，T ＝2πa2a(4＋2)Gm，故D正确． 【答案】ACD(2016·河南省郑州市高三月考)宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m 的小星体和一个质量为M 的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r 。

模型双星或多星模型学校：_________班级：___________姓名：_____________模型概述1.双星问题(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即G m 1m 2L 2=m 1ω21r 1,G m 1m 2L2=m 2ω22r 2.②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1=T 2,ω1=ω2.③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r 1+r 2=L .④两星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2=r 2r 1.⑤双星的运动周期T =2πL 3G (m 1+m 2).⑥双星的总质量m 1+m 2=4π2L 3GT 22．多星模型：所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度、周期相同。

常见的多星模型及其规律：Gm 2(2R )2+GMmR2=ma 向Gm 2L2×cos30°×2=ma 向Gm 2L 2×cos45°×2+Gm 2(2L )2=ma 向Gm 2L2×cos30°×2+GMmL 32=ma 向典题攻破1.双星问题1.(2024·重庆·高考真题)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a 、b 两个天体的质量均为M ，相距为2r ，其连线的中点为O ，另一天体(图中未画出)质量为m (m <<M )，若c 处于a 、b 连线的垂直平分线上某特殊位置，a 、b 、c 可视为绕O 点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。

引力常量为G 。

则()A.c 的线速度大小为a 的3倍B.c 的向心加速度大小为b 的一半C.c 在一个周期内的路程为2πrD.c 的角速度大小为GM8r 3【答案】A【详解】D ．a 、b 、c 三个天体角速度相同，由于m <<M ，则对a 天体有G MM(2r )2=Mω2r 解得ω=GM4r 3故D 错误；A ．设c 与a 、b 的连线与a 、b 连线中垂线的夹角为α，对c 天体有2G Mmrsin α2cos α=mω2rtan α解得α=30°则c 的轨道半径为r c =rtan30°=3r由v =ωr ，可知c 的线速度大小为a 的3倍，故A 正确；B ．由a =ω2r ，可知c 的向心加速度大小是b 的3倍，故B 错误；C ．c 在一个周期内运动的路程为s =2πr =23πr 故C 错误。

专题25双星和多星问题【知识梳理】 一、双星模型1．定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。

如图：2．特点(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm 1m 2L 2＝ ，Gm 1m 2L 2＝ 。

(2)两颗星的周期、角速度 ，即T 1＝ ，ω1＝ 。

(3)两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r 1＋r 2＝ 。

(4)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝ 。

(5)双星的运动周期T ＝ 。

(6)双星的总质量m 1＋m 2＝ 。

二、多星模型1．定义：所研究星体的万有引力的 提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。

2．常见的多星模型另外两星球对其万有引另外两星球对其万有引另外三星球对其万有引【专题练习】 一、单项选择题1．在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。

如图所示，黑洞A 、B 可视为质点，它们围绕连线上的O 点做匀速圆周运动，且AO 大于BO ，不考虑其他天体的影响。

下列说法正确的是（ ）A ．黑洞A 的向心力大于B 的向心力 B ．黑洞A 的线速度大于B 的线速度C ．黑洞A 的质量大于B 的质量D ．两黑洞之间的距离越大，A 的周期越小2．“慧眼”望远镜是中国第一颗空间X 射线天文卫星，既可以实现宽波段、大视场X 射线巡天又能够研究黑洞、中子星等高能天体。

在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，发现某双黑洞间的距离为S ，只在彼此之间的万有引力作用下绕它们连线上的某点做匀速圆周运动，其运动周期为T ，引力常量为G ，则双黑洞总质量为（ ） A ．3224S GT πB ．2234T GS πC ．2324S GT πD ．23243S GT π3．“双星”是宇宙中普遍存在的一种天体系统，这种系统之所以稳定的原因之一是系统的总动量守恒且总动量为0，如图所示，A 、B 两颗恒星构成双星系统，绕共同的圆心O 互相环绕做匀速圆周运动，距离不变，角速度相等，已知A 的动量大小为p ，A 、B 的总质量为M ，A 、B 轨道半径之比为k ，则B 的动能为（ ）A ．()221kp k M+B ．()212k p kM+C ．()212k p kM-D ．()221kp k M-4．中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银河系的MaxiJ1820+070是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，距离地球约10000光年。

物理多星模型公式在学习物理的过程中，多星模型公式可是个让不少同学头疼的家伙。

但别怕，今天咱们就来好好聊聊它。

先来说说什么是多星模型。

想象一下，在浩瀚的宇宙中，不是只有一颗星星在独自闪耀，而是有好几颗星星一起绕来绕去，形成了一个复杂又有趣的系统，这就是多星模型啦。

比如说双星系统，两颗星星互相绕着转，就像两个小伙伴手拉手在跳圆圈舞。

那怎么去描述它们的运动呢？这就得用到多星模型公式了。

咱们先来看个简单的例子。

假设在一个双星系统中，两颗星的质量分别是 m1 和 m2，它们之间的距离是 L，各自做匀速圆周运动的半径分别是r1 和r2。

那它们之间的万有引力就等于向心力。

根据这个关系，咱们可以列出两个等式：对于 m1 有：Gm1m2/L² = m1ω²r1对于 m2 有：Gm1m2/L² = m2ω²r2这里的ω 是它们做圆周运动的角速度。

而且还有个重要的关系，r1 + r2 = L 。

怎么样，是不是感觉有点晕？别着急，我给您讲个我自己观察到的有趣现象，帮助您理解。

有一次我去公园散步，看到湖边有两个小朋友在玩遥控小船。

他们把两艘小船放在湖面上，然后通过遥控器让小船绕着一个中心点转圈。

一开始两艘小船转得不太协调，一会儿快一会儿慢。

但慢慢地，他们调整好了速度，两艘小船就像双星一样，稳定地绕着中心点转动起来。

我就在旁边仔细观察，发现小船之间的距离就像是双星之间的距离L，而每艘小船运动的轨迹半径就像是双星各自的轨道半径 r1 和 r2 。

而且啊，小朋友控制小船的速度就类似于双星系统中的角速度ω 。

通过观察这个有趣的场景，我对多星模型的理解一下子就深刻了好多。

再来说说三星系统，这就更复杂啦。

但原理还是一样的，就是通过万有引力等于向心力来列出方程求解。

在处理多星模型问题的时候，关键是要找到各个星星之间的几何关系，以及它们的受力情况。

多做几道练习题，多去想象那些星星在太空中的运动轨迹，您就会发现多星模型公式其实也没那么可怕。

微专题33 抓住”双星、多星模型”的核心方程1．“双星模型”如图：各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω12r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2.2．“双星问题”的隐含条件是两者受到的向心力相等、周期相等、角速度相同；双星轨道半径与质量成反比．3．多星问题中，每颗星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力的合力提供，即F 合＝m v 2r，以此列向心力方程进行求解．1．(多选)(2019·广东揭阳市下学期第二次模拟)2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球约6.5万公里的地月拉格朗日L 2点的Halo 使命轨道，为嫦娥四号“照亮”“驾临”月球背面之路．当“鹊桥”位于如图1所示的拉格朗日点L 2上时，会在月球与地球的共同引力作用下，几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球做圆周运动．下列说法正确的是( )图1A ．“鹊桥”中继星绕地球转动的向心加速度比月球绕地球转动的向心加速度小B ．“鹊桥”中继星绕地球转动的线速度比月球绕地球转动的线速度大C ．“鹊桥”中继星绕地球转动的周期比地球同步卫星的周期长D ．“鹊桥”中继星绕地球转动的角速度比月球绕地球转动的角速度小2.(多选)如图2所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2，下列说法中正确的是( )图2A ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为2∶3B ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2C ．m 1做圆周运动的半径为25LD ．m 2做圆周运动的半径为25L3．(多选)(2020·云南大姚县一中模拟)引力波探测于2017年获得诺贝尔物理学奖．双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由P 、Q 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P 星的周期为T ，P 、Q 两颗星的距离为l ，P 、Q 两颗星的轨道半径之差为Δr (P 星的轨道半径大于Q 星的轨道半径)，引力常量为G ，则( )A ．Q 、P 两颗星的质量差为4π2l 2ΔrGT2B ．P 、Q 两颗星的线速度大小之差为2πΔr TC ．P 、Q 两颗星的运动半径之比为ll －ΔrD ．P 、Q 两颗星的质量之比为l －Δrl ＋Δr4．(多选)(2019·湖北宜昌市元月调考)宇宙中有许多双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．如图3所示，若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，m 1星线速度大小为v 1，m 2星线速度大小为v 2，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的1k(k >1)倍，两星之间的距离变为原来的n (n >1)倍，则此时双星系统圆周运动的周期T ′和线速度之和v 1′＋v 2′是( )图3A ．T ′＝n 3kT B ．T ′＝n 3kT C ．v 1′＋v 2′＝1nk(v 1＋v 2)D ．v 1′＋v 2′＝nk (v 1＋v 2)5．(多选)太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统——三颗星体位于等边三角形的三个顶点上．已知某直线三星系统A每颗星体的质量均为m，相邻两颗星中心间的距离都为R；某三角形三星系统B的每颗星体的质量恰好也均为m，且三星系统A外侧的两颗星体做匀速圆周运动的周期和三星系统B每颗星体做匀速圆周运动的周期相等．引力常量为G，则( )A．三星系统A外侧两颗星体运动的线速度大小为v＝Gm RB．三星系统A外侧两颗星体运动的角速度大小为ω＝12R5GmRC．三星系统B的运动周期为T＝4πRR 5GmD．三星系统B任意两颗星体中心间的距离为L＝3125R答案精析1．BC [根据题意知“鹊桥”中继星绕地球转动的周期与月球绕地球转动的周期相同，根据ω＝2πT知“鹊桥”中继星绕地球转动的角速度与月球绕地球转动的角速度相等，根据a ＝ω2r 知“鹊桥”中继星绕地球转动的向心加速度比月球绕地球转动的向心加速度大，故A 、D错误；“鹊桥”中继星的轨道半径比月球绕地球的轨道半径大，根据v ＝ωr 知“鹊桥”中继星绕地球转动的线速度比月球绕地球转动的线速度大，故B 正确；根据万有引力提供向心力G Mm r 2＝m 4π2T2r ，得T ＝4π2r3GM，因为“鹊桥”中继星的轨道半径大于地球同步卫星的轨道半径，所以“鹊桥”中继星绕地球转动的周期比地球同步卫星的周期长，故C 正确．] 2．AC [设双星m 1、m 2距转动中心O 的距离分别为r 1、r 2，双星绕O 点转动的角速度均为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得Gm 1m 2L2＝m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，又r 1＋r 2＝L ，m 1∶m 2＝3∶2 所以可解得r 1＝25L ，r 2＝35Lm 1、m 2运动的线速度分别为v 1＝r 1ω，v 2＝r 2ω，故v 1∶v 2＝r 1∶r 2＝2∶3. 综上所述，选项A 、C 正确．]3．ABD [双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有：G m P m Q l 2＝m P r P ω2＝m Q r Q ω2，解得m P ＝l 2r Q ω2G ，m Q ＝l 2r P ω2G ，则Q 、P 两颗星的质量差为Δm ＝m Q －m P ＝l 2Δrω2G ＝4π2l 2Δr GT 2，故A 正确．P 、Q 两颗星的线速度大小之差为Δv ＝v P －v Q ＝2πr PT－2πr Q T ＝2πΔr T，故B 正确．双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，则周期相等，所以Q 星的周期为T .根据题意可知，r P ＋r Q ＝l ，r P －r Q ＝Δr ，解得：r P ＝l ＋Δr2，r Q ＝l －Δr 2，则P 、Q 两颗星的运动半径之比为l ＋Δr l －Δr ，C 错误；P 、Q 两颗星的质量之比为m Pm Q＝r Q r P ＝l －Δrl ＋Δr，故D 正确．]4．AC [对恒星m 1：G m 1m 2L 2＝m 14π2T 2r 1，对恒星m 2：G m 1m 2L 2＝m 24π2T2r 22，距离关系有：L ＝r 1＋r 2，由以上三式得：T ＝4π2L3GM 总；经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的1k倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为：T ′＝n 3kT ，故A 正确，B 错误．根据圆周运动知识知v 1＝2πr 1T ，v 2＝2πr 2T，则v 1＋v 2＝2πr 1＋r 2T ＝2πLT，所以v 1′＋v 2′＝2πnL T ′＝2πnL T n 3k ＝1nk(v 1＋v 2)，故C 正确，D 错误．] 5．BCD [三星系统A 中，三颗星体位于同一直线上，两颗星体围绕中央星体在同一半径为R 的圆轨道上运行．其中外侧的一颗星体由中央星体和另一颗外侧星体的合万有引力提供向心力，有：G m 2R 2＋Gm 22R 2＝m v 2R ，解得v ＝5Gm4R，A 错误；三星系统A 中，周期T ＝2πRv＝4πRR 5Gm ，则其角速度为ω＝2πT ＝12R5GmR，B 正确；由于两种系统周期相等，则三星系统B 的运行周期为T ＝4πRR5Gm，C 正确；三星系统B 中，三颗星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图所示，对某颗星体，由万有引力定律和牛顿第二定律得：2Gm 2L 2cos30°＝m L 2cos30°·4π2T2，解得L＝3125R ，D 正确．]。

微专题32 双星或多星模型1．“双星模型”如图，各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω12r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2，其中r 1＋r 2＝L .2.“双星问题”的隐含条件是两者受到的向心力相等，周期相等，角速度相同；双星轨道半径与质量成反比.3.多星问题中，每颗星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力的合力提供，即F 合＝m v 2r，以此列向心力方程进行求解．1.(多选)如图1所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2，下列说法中正确的是( )图1A ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为2∶3B ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2C ．m 1做圆周运动的半径为25LD ．m 2做圆周运动的半径为25L答案 AC解析 设双星m 1、m 2距转动中心O 的距离分别为r 1、r 2，双星绕O 点转动的角速度均为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得G m 1m 2L 2＝m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，又r 1＋r 2＝L ，m 1∶m 2＝3∶2 所以可解得r 1＝25L ，r 2＝35Lm 1、m 2运动的线速度分别为v 1＝r 1ω，v 2＝r 2ω，故v 1∶v 2＝r 1∶r 2＝2∶3. 综上所述，选项A 、C 正确．2．(2020·吉林长春市二模)2019年诺贝尔物理学奖授予了三位天文学家，以表彰他们对人类对宇宙演化方面的了解所做的贡献．其中两位学者的贡献是首次发现地外行星，其主要原理是恒星和其行星在引力作用下构成一个“双星系统”，恒星在周期性运动时，可通过观察其光谱的周期性变化知道其运动周期，从而证实其附近存在行星．若观测到的某恒星运动周期为T ，并测得该恒星与行星的距离为L ，已知引力常量为G ，则由这些物理量可以求得( ) A ．行星的质量 B ．恒星的质量C ．恒星与行星的质量之和D ．恒星与行星圆周运动的半径之比 答案 C解析 恒星与行星组成双星，设恒星的质量为M ，行星的质量为m .以恒星为研究对象，行星对它的引力提供了向心力，假设恒星的轨道半径为r 1，由GMm L 2＝M (2πT )2r 1得到行星的质量m＝4π2L 2r 1GT 2，以行星为研究对象，恒星对它的引力提供了向心力，假设行星的轨道半径为r 2，则有GMm L 2＝m (2πT )2r 2，得到恒星的质量M ＝4π2L 2r 2GT 2，则有M ＋m ＝4π2L 3GT 2，故A 、B 、D 错误，C 正确．3．(多选)(2020·湖北随州市3月调研)2019年12月20日，国防科技大学领衔研制的我国天基网络低轨试验双星在太原卫星发射中心搭载CZ －4B 火箭成功发射，双星顺利进入预定轨道．假设两个质量分别为m 1和m 2(m 1>m 2)的星体A 和B 组成一双星系统，二者中心之间的距离为L ，运动的周期为T ，万有引力常量为G ，下列说法正确的是( )A ．因为m 1>m 2，所以星体A 对星体B 的万有引力大于星体B 对星体A 的万有引力 B ．星体A 做圆周运动的半径为m 2m 1＋m 2LC ．星体B 的线速度大小为2πm 2L(m 1＋m 2)TD ．两星体的质量之和为4π2L 3GT 2答案 BD解析 两者之间的万有引力提供彼此的向心力，此为相互作用力，大小相等，方向相反，故A 错误；对A 、B 两星体，根据牛顿第二定律有G m 1m 2L 2＝m 1r 1(2πT )2和G m 1m 2L 2＝m 2r 2(2πT)2，又因为r 1＋r 2＝L ，联立解得星体A 和星体B 的运动半径分别为r 1＝m 2m 1＋m 2L ，r 2＝m 1m 1＋m 2L ，故B 正确；星体B 的线速度大小为v ＝2πr 2T ＝2πm 1L (m 1＋m 2)T ，故C 错误；将G m 1m 2L 2＝m 1r 1(2πT )2和G m 1m 2L 2＝m 2r 2(2πT )2简化后相加，结合r 1＋r 2＝L ，可得m 1＋m 2＝4π2L 3GT 2，D 正确．4．(2020·河北保定市调研)把地球和月球看作绕同一圆心做匀速圆周运动的双星系统，质量分别为M 、m ，相距为L ，周期为T ，若有间距也为L 的双星P 、Q ，P 、Q 的质量分别为2M 、2m ，则( )A ．地、月运动的轨道半径之比为M mB ．地、月运动的加速度之比为MmC ．P 运动的速率与地球的相等D ．P 、Q 运动的周期均为22T 答案 D解析 对地、月有G Mm L 2＝M (2πT)2r地＝m (2πT)2r 月，故轨道半径与质量成反比，即r 地r 月＝mM，A 错误；加速度a ＝(2πT )2r ，正比于轨道半径，反比于质量，B 错误；设P 、Q 的周期为T ′，则有G 2M ×2m L 2＝2M (2πT ′)2r P ＝2m (2πT ′)2r Q ，轨道半径与质量成反比且地、月间距跟P 、Q 间距均等于L ，故地球与P 的轨道半径r 相等，于是2T ′2＝T 2，解得T ′＝22T ，D 正确；由速率v ＝2πT r 得v P v 地＝TT ′＝2，C 错误．5．由三个星体构成的系统，叫作三星系统．有这样一种简单的三星系统，质量刚好都相同的三个星体甲、乙、丙在三者相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动．若三个星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，万有引力常量为G ，则下列说法正确的是( ) A ．三个星体做圆周运动的半径均为a B ．三个星体做圆周运动的周期均为2πa a3Gm C ．三个星体做圆周运动的线速度大小均为3GmaD ．三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为3Gma 2答案 B解析 质量相等的三星系统的位置关系构成一等边三角形，其中心O 即为它们的共同圆心，由几何关系可知三个星体做圆周运动的半径r ＝33a ，故选项A 错误；每个星体受到的另外两星体的万有引力的合力提供向心力，其大小F ＝3·Gm 2a 2，则3Gm 2a 2＝m 4π2T 2r ，得T ＝2πaa 3Gm ，故选项B 正确；由线速度公式v ＝2πrT得v ＝ Gma，故选项C 错误；向心加速度a ＝F m ＝3Gma2，故选项D 错误．6．(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统．若某个四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，忽略其他星体对它们的引力作用，忽略星体自转，则可能存在如下运动形式：四颗星分别位于边长为L 的正方形的四个顶点上(L 远大于R )，在相互之间的万有引力作用下，绕某一共同的圆心做角速度相同的圆周运动．已知引力常量为G ，则关于此四星系统，下列说法正确的是( ) A ．四颗星做圆周运动的轨道半径均为L 2B ．四颗星表面的重力加速度均为G mR2C ．四颗星做圆周运动的向心力大小为Gm 2L 2(22＋1)D ．四颗星做圆周运动的角速度均为 (4＋2)Gm2L 3答案 BD解析 任一颗星体在其他三颗星体的万有引力的作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径均为r ＝22L ，故A 错误；星体表面的物体受到的万有引力等于它受到的重力，即G mm ′R 2＝m ′g ，解得g ＝GmR 2，故B 正确；由万有引力定律可得四颗星做圆周运动的向心力大小为F ＝G m 2(2L )2＋2G m 2L 2cos 45°＝Gm 2L 2(12＋2)，选项C 错误；由牛顿第二定律得F ＝Gm 2L 2(12＋2)＝mω2(22L )，解得ω＝(4＋2)Gm2L 3，故D正确．。