36、万有引力(4)双星与多星问题 练习题 高中物理高考考点知识点微专题天天练每天30分钟【含答案详解】

双星和多星问题1．考点及要求：(1)万有引力定律应用(Ⅱ)；(2)力合成与分解(Ⅱ)；(3)匀速圆周运动向心力(Ⅱ).2.方法与技巧：(1)“双星问题〞隐含条件是两者向心力一样、周期一样、角速度一样；双星中轨道半径与质量成反比；(2)多星问题中，每颗行星做圆周运动所需向心力是由它们之间万有引力合力提供，即F 合＝m v 2r，以此列向心力方程进展求解．1．(双星问题)(多项选择)宇宙中两颗相距很近恒星常常组成一个系统，它们以相互间万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同圆心做匀速圆周运动，假设它们运转周期为T ，两星到某一共同圆心距离分别为R 1和R 2，那么，系统中两颗恒星质量关系是( ) A ．这两颗恒星质量必定相等 B ．这两颗恒星质量之和为4π2R 1＋R 23GT 2C ．这两颗恒星质量之比为m 1∶m 2＝R 2∶R 1D ．其中必有一颗恒星质量为4π2R 1＋R 23GT 22．(多星问题)宇宙间存在一些离其他恒星较远三星系统，其中有一种三星系统如图1所示，三颗质量均为m 星位于等边三角形三个顶点，三角形边长为L ，忽略其他星体对它们引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，以下说法正确是( ) 图1A ．每颗星做圆周运动角速度为 3GmL3B ．每颗星做圆周运动加速度与三星质量无关C ．假设距离L 和每颗星质量m 都变为原来2倍，那么周期变为原来2倍D ．假设距离L 和每颗星质量m 都变为原来2倍，那么线速度变为原来4倍3．(多项选择)宇宙间存在一个离其他星体遥远系统，其中有一种系统如图2所示，四颗质量均为m 星体位于正方形顶点，正方形边长为a ，忽略其他星体对它们引力作用，每颗都在同一平面内绕正方形对角线交点O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，那么( ) 图2A ．每颗星做圆周运动线速度大小为1＋24GmaB ．每颗星做圆周运动角速度大小为Gm 2a3 C ．每颗星做圆周运动周期为2π2a3GmD ．每颗星做圆周运动加速度与质量m 有关4．2002年四月下旬，天空中出现了水星、金星、火星、木星、土星近乎直线排列“五星连珠〞奇观．假设火星和木星绕太阳做匀速圆周运动，周期分别是T 1和T 2，而且火星离太阳较近，它们绕太阳运动轨道根本上在同一平面内，假设某一时刻火星和木星都在太阳同一侧，三者在一条直线上排列，那么再经过多长时间将第二次出现这种现象( ) A.T 1＋T 22B.T 1T 2C.T 1T 2T 2－T 1D. T 21＋T 2225．宇宙中存在一些离其他恒星较远两颗星组成双星系统，通常可忽略其他星体对它们引力作用．双星系统中星体1质量为m ，星体2质量为2m ，两星体相距为L ，同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G .求该双星系统运动周期．6．宇宙中存在质量相等四颗星组成四星系统，这些系统一般离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对它们引力作用．四星系统通常有两种构成形式：一是三颗星绕另一颗中心星运动(三绕一)，二是四颗星稳定地分布在正方形四个顶点上运动．假设每个星体质量均为m ，引力常量为G .(1)分析说明三绕一应该具有怎样空间构造模式．(2)假设相邻星球最小距离为a ，求两种构成形式下天体运动周期之比．答案解析1．BC [对m 1有：G m 1m 2R 1＋R 22＝m 1R 14π2T 2，解得m 2＝4π2R 1R 1＋R 22GT 2，同理可得m 1＝4π2R 2R 1＋R 22GT 2，故两者质量不相等，应选项A 错误；将两者质量相加得m 1＋m 2＝4π2R 1＋R 23GT 2，应选项B 正确；m 1∶m 2＝R 2∶R 1，应选项C 正确；两者质量之和为4π2R 1＋R 23GT 2，那么不可能其中一个质量为4π2R 1＋R 23GT 2，应选项D 错误．]2．C [任意两星间万有引力F ＝G m 2L2，对任一星受力分析，如下图．由图中几何关系和牛顿第二定律可得：3F ＝ma ＝mω2L3，联立可得：ω＝ 3GmL3，a ＝ω2L3＝3GmL 2，选项A 、B 错误；由周期公式可得：T ＝2πω＝2πL 33Gm ，当L 和m 都变为原来2倍，那么周期T ′＝2T ，选项C 正确；由速度公式可得：v ＝ωL3＝GmL，当L 和m 都变为原来2倍，那么线速度v ′＝v ，选项D 错误．]3．AD [由星体均围绕正方形对角线交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动轨道半径r ＝22a ，每颗星体在其他三个星体万有引力合力作用下围绕正方形对角线交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：Gm 22a2＋2G m 2a 2cos 45°＝m v 222a，解得v ＝1＋24Gm a ，角速度为ω＝vr ＝2＋22Gm a 3，周期为T ＝2πω＝2π2a34＋2Gm，加速度a ＝v 2r ＝22＋1Gm2a 2，应选项A 、D 正确，B 、C 错误．] 4．C [根据万有引力提供向心力得：GMm r 2＝m 4π2r T 2，解得T ＝2π r 3GM，火星离太阳较近，即轨道半径小，所以周期小．设再经过时间t 将第二次出现这种现象，此为两个做匀速圆周运动物体追及相遇问题，虽然不在同一轨道上，但是当它们相遇时，运动较快物体比运动较慢物体多运行2π弧度．所以2πT 1t －2πT 2t ＝2π，解得t ＝T 1T 2T 2－T 1，选项C 正确．]5．2πLL3Gm解析 双星系统围绕两星体间连线上某点做匀速圆周运动，设该点距星体1为R ，距星体2为r对星体1，有G 2mm L 2＝m 4π2T2R对星体2，有G 2mm L2＝2m 4π2T2r根据题意有R ＋r ＝L ，由以上各式解得T ＝2πLL 3Gm6．(1)见解析 (2) 4＋23－34解析 (1)三颗星绕另一颗中心星运动时，其中任意一个绕行星球受到另三个星球万有引力合力提供向心力，三个绕行星球向心力一定指向同一点，且中心星受力平衡，由于星球质量相等，具有对称关系，因此向心力一定指向中心星，绕行星一定分布在以中心星为中心等边三角形三个顶点上，如图甲所示．(2)对三绕一模式，三颗星绕行轨道半径均为a ，所受合力等于向心力，因此有2G m 23a 2cos 30°＋G m 2a 2＝m 4π2T 21a 解得T 21＝23－3π2a3Gm对正方形模式，如图乙所示，四星轨道半径均为22a ，同理有2G m 2a2cos 45°＋G m 22a2＝m 4π2T 22·22a 解得T 22＝44－2π2a37Gm故T 1T 2＝ 4＋23－34。

万有引力应用二——双星及多星问题1、（多选）经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两颗星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为l ，质量之比约为m 1：m 2=3：2，则可知（ ）A ．m 1：m 2做圆周运动的线速度之比为2：3B ．m 1：m 2做圆周运动的角速度之比为1：1C ．m 1做圆周运动的半径为53l D ．m 2做圆周运动的半径为53l 答案及解析：.ABD解：双星围绕连线上的O 点做匀速圆周运动，彼此间万有引力提供圆周运动向心力，可知双星做圆周运动的周期和角速度相等．令星m 1的半径为r ，则星m 2的半径为l ﹣r则有：据万有引力提供圆周运动向心力有：即m 1r=m 2（l ﹣r ）又∵ ∴ 则星m 2的半径为，故C 错误，D 正确又因为v=rω可知，两星做圆周运动的线速度之比等于半径之比即：，所以A 正确．双星运动的角速度相同，故B 正确．故选：ABD ．2、(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T ，两星到某一共同圆心的距离分别为R 1和R 2，那么，系统中两颗恒星的质量关系是( )A ．这两颗恒星的质量必定相等B ．这两颗恒星的质量之和为4π2R 1＋R 23GT 2C ．这两颗恒星的质量之比为m 1∶m 2＝R 2∶R 1D ．其中必有一颗恒星的质量为4π2R 1＋R 23GT 2BC [对m 1有：Gm 1m 2R 1＋R 22＝m 1R 14π2T 2，解得m 2＝4π2R 1R 1＋R 22GT2，同理可得m 1＝4π2R 2R 1＋R 22GT2，故两者质量不相等，故选项A 错误；将两者质量相加得m 1＋m 2＝4π2R 1＋R 23GT 2，故选项B 正确；m 1∶m 2＝R 2∶R 1，故选项C 正确；两者质量之和为4π2R 1＋R 23GT 2，则不可能其中一个的质量为4π2R 1＋R 23GT 2，故选项D 错误．]3、（单选）我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知引力常量为G ．由此可求出S 2的质量为（ ）A. B.C. D.答案及解析：D 解：设星体S 1和S 2的质量分别为m 1、m 2， 星体S 1做圆周运动的向心力由万有引力提供得：解得 m 2=，故D 正确、ABC 错误．故选：D ．4、(单选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，下列说法正确的是( ) A ．每颗星做圆周运动的角速度为3GmL 3B ．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关C ．若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍D ．若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍C 任意两星间的万有引力F ＝G m 2L2，对任一星受力分析，如图所示．由图中几何关系和牛顿第二定律可得：3F ＝ma ＝mω2L 3，联立可得：ω＝3Gm L 3，a ＝ω2L 3＝3Gm L 2，选项A 、B 错误；由周期公式可得：T ＝2πω＝2πL 33Gm，当L 和m 都变为原来的2倍，则周期T ′＝2T ，选项C 正确；由速度公式可得：v ＝ωL 3＝GmL ，当L 和m 都变为原来的2倍，则线速度v ′＝v ，选项D 错误．]5、(多选)宇宙间存在一个离其他星体遥远的系统，其中有一种系统如图所示，四颗质量均为m 的星体位于正方形的顶点，正方形的边长为a ，忽略其他星体对它们的引力作用，每颗都在同一平面内绕正方形对角线的交点O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，则( ) A ．每颗星做圆周运动的线速度大小为1＋24Gm aB ．每颗星做圆周运动的角速度大小为Gm 2a3 C ．每颗星做圆周运动的周期为2π2a3GmD ．每颗星做圆周运动的加速度与质量有关AD [由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径r ＝22a ，每颗星体在其他三个星体万有引力的合力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：Gm 22a2＋2G m 2a 2cos45°＝m v 222a，解得v ＝1＋24Gma，角速度为ω＝vr ＝2＋22Gm a 3，周期为T ＝2πω＝2π2a34＋2Gm，加速度a ＝v 2r ＝22＋1Gm2a 2，故选项A 、D 正确，B 、C 错误．]珠”的奇观．假设火星和木星绕太阳做匀速圆周运动，周期分别是T 1和T 2，而且火星离太阳较近，它们绕太阳运动的轨道基本上在同一平面内，若某一时刻火星和木星都在太阳的同一侧，三者在一条直线上排列，那么再经过多长的时间将第二次出现这种现象( )A.T 1＋T 22B.T 1T 2C.T 1T 2T 2－T 1D.T 21＋T 222C [根据万有引力提供向心力得：GMm r 2＝m 4π2r T 2，解得T ＝2πr 3GM，火星离太阳较近，即轨道半径小，所以周期小．设再经过时间t 将第二次出现这种现象，此为两个做匀速圆周运动的物体追及相遇的问题，虽然不在同一轨道上，但是当它们相遇时，运动较快的物体比运动较慢的物体多运行2π弧度．所以2πT 1t －2πT 2t ＝2π，解得t ＝T 1T 2T 2－T 1，选项C 正确．] 7、宇宙中存在一些离其他恒星较远的两颗星组成的双星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已知双星系统中星体1的质量为m ，星体2的质量为2m ，两星体相距为L ，同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G .求该双星系统运动的周期． 2πLL3Gm解析 双星系统围绕两星体间连线上的某点做匀速圆周运动，设该点距星体1为R ，距星体2为r 对星体1，有G 2mm L 2＝m 4π2T 2R 对星体2，有G 2mm L 2＝2m 4π2T2r根据题意有R ＋r ＝L ，由以上各式解得T ＝2πLL 3Gm。

万有引力与天体运动（四）一、 双星或多星模型1. 冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7:1,同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动，由此可知,冥王星绕O 点运动的( )A ．轨道半径约为卡戎的71B ．角速度大小约为卡戎的71 C ．线速度大小约为卡戎的7倍 D ．向心力大小约为卡戎的7倍2. 如图所示，两恒星A 、B 构成双星体，在万有引力的作用下绕连线上的O 点做匀速圆周运动，在观测站上观察该双星的运动，测得该双星的运动周期为T ，已知两颗恒星A 、B 间距为d ，引力常量为G ，则可推算出双星的总质量为( )A ．π2d 3GT 2B ．4π2d 3GT 2C ．π2d 2GT 2D ．4π2d 2GT 23. (多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统，在浩瀚的银河系中,多数恒星都是双星系统。

设某双星系统中两星A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示，若OB AO ,则( )A ．星球A 的质量一定大于B 的质量B ．星球A 的线速度一定大于B 的线速度C ．双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越小D ．双星的总质量一定，双星间的距离越大，其转动周期越小4. 宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统．由恒星A 与恒星B 组成的双星系统绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图8所示．已知它们的运行周期为T ，恒星A 的质量为M ，恒星B 的质量为3M ，引力常量为G ，则下列判断正确的是( )A ．两颗恒星相距3GMT 2π2B ．恒星A 与恒星B 的向心力大小之比为3∶1C ．恒星A 与恒星B 的线速度大小之比为1∶3D ．恒星A 与恒星B 的轨道半径之比为3∶15. 地球刚诞生时自转周期约为8小时，因为受到月球潮汐的影响，地球自转在持续减速，现在地球自转周期是24小时．与此同时，地月间的距离不断增加．若将地球和月球视为一个孤立的双星系统，两者绕其连线上的某一点O 做匀速圆周运动，地球和月球的质量与大小均保持不变，则在地球自转减速的过程中( )A ．地球的第一宇宙速度不断减小B ．地球赤道处的重力加速度不断增大C ．地球、月球匀速圆周运动的周期不断减小D ．地球的轨道半径与月球的轨道半径之比不断增大6. (多选)如图为某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动的示意图，若A 星的轨道半径大于B 星的轨道半径，双星的总质量为M ，双星间的距离为L ，其运动周期为T ，则( )A ．A 的质量一定大于B 的质量 B ．A 的线速度一定大于B 的线速度C ．L 一定，M 越大，T 越大D ．M 一定，L 越大，T 越大7. 双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，研究发现,双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化，若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )A ．T k n ⋅23B ．T k n ⋅3C ．T k n ⋅2D ．T k n ⋅8. 2017年8月28日，中科院南极天文中心的巡天望远镜观测到一个由双中子星构成的孤立双星系统产生的引力波．该双星系统以引力波的形式向外辐射能量，使得圆周运动的周期T 极其缓慢地减小，双中子星的质量m 1与m 2均不变，则下列关于该双星系统变化的说法正确的是( )A ．双星间的距离逐渐增大B ．双星间的万有引力逐渐增大C ．双星的线速度逐渐减小D ．双星系统的引力势能逐渐增大9. (多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度10. (多选)在宇宙中，当一颗恒星靠近黑洞时,黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统.在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被缓慢吞噬掉,黑洞吞噬恒星的过程也被称为“潮汐瓦解事件”，天鹅座1-X 就是这样一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们共同以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示，在刚开始吞噬的较短时间内,恒星和黑洞的距离不变,则在这段时间内，下列说法正确的是( )A ．它们间的万有引力变大B ．它们间的万有引力大小不变C ．恒星做圆周运动的线速度变大D ．恒星做圆周运动的角速度变大11. 由三个星体构成的系统，叫作三星系统．有这样一种简单的三星系统，质量刚好都相同的三个星体甲、乙、丙在三者相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动．若三个星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，万有引力常量为G ，则下列说法正确的是( )A ．三个星体做圆周运动的半径均为aB ．三个星体做圆周运动的周期均为2πa a 3GmC ．三个星体做圆周运动的线速度大小均为 3Gm aD ．三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为3Gm a212. (多选)如图，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l 的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T 的匀速圆周运动．已知引力常量为G ，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )A ．三颗星的质量可能不相等B ．某颗星的质量为4π2l 33GT 2C ．它们的线速度大小均为23πl TD ．它们两两之间的万有引力大小为16π4l 49GT 413. (多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三颗星的质量均为M ，并且两种系统的运动周期相同，则( )A ．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B ．直线三星系统的运动周期T ＝4πR R 5GMC ．三角形三星系统中星体间的距离L ＝3125R D ．三角形三星系统的线速度大小为125GM R14.(多选)如图,甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星,甲、丙围绕乙在半径为R 的圆轨道上运行,若三颗星质量均为M ,引力常量为G ,则（ ）A ．甲星所受合外力为2245R GMB ．乙星所受合外力为22R GMC ．甲星和丙星的线速度相同D ．甲星和丙星的角速度相同15. (多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m 的星体位于边长为L 的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G .下列说法中正确的是( )A ．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心B ．每个星体做匀速圆周运动的角速度均为(4＋2)Gm 2L 3C ．若边长L 和星体质量m 均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍D ．若边长L 和星体质量m 均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变二、稳定自转临界问题，拉格朗日点问题，观测问题1. 一近地卫星的运行周期为T 0，地球的自转周期为T ，则地球的平均密度与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为( )A ．T 0TB ．T T 0C ．T 02T 2D ．T 2T 022. 2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 33. (2020·全国卷)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G ，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )A ．3πGρB ．4πGρC ．13πGρD ．14πGρ4. （多选）2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家，如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的( )A ．线速度大于地球的线速度B ．向心加速度大于地球的向心加速度C ．向心力仅由太阳的引力提供D ．向心力仅由地球的引力提供5. 2018年5月21日，我国发射世界首颗月球中继卫星“鹊桥”，6月14日进入地月拉格朗日2L 点的环绕轨道,为在月球背面着陆的嫦娥四号与地球站之间提供通信链路.如图所示,“鹊桥”中继星处于2L 点上时,会和月、地两天体保持相对静止的状态.设地球的质量为月球的k 倍,地月间距为L ,拉格朗日2L 点与月球间距为d ,地球、月球和“鹊桥”均视为质点,忽略太阳对“鹊桥”中继星的引力.则“鹊桥”中继星处于2L 点上时,下列选项正确的是（ ）A ．“鹊桥”与月球的线速度之比为鹊v ：=月v L :d L +B ．“鹊桥”与月球的向心加速度之比为鹊a ：=月a L :d L +C ．k 、L 、d 之间的关系为3221)(1L d L kd d L +=++D ．k 、L 、d 之间的关系为3221)(1L d L d d L k +=++6. 某颗行星的同步卫星正下方的行星表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，发现日落的T 21时间内有T 61的时间看不见此卫星.(已知该行星的自转周期为T ,该行星的半径为R ，不考虑大气对光的折射)则该同步卫星距该星球的高度是（ ）A ．RB ．R 2C ．R 6.5D ．R 6.67. 我国的“天链一号”卫星是地球同步轨道卫星,可为载人航天器及中低轨道卫星提供数据通信.如图为“天链一号”卫星a 、赤道平面内的低轨道卫星b 和地球的位置关系示意图,O 为地心，卫星a 、b 相对地球的张角分别为1θ和2θ,(2θ图中未标出),卫星a 的轨道半径是b 的4倍.已知卫星a 、b 绕地球同向运行，卫星a 的周期为T ,在运行过程中由于地球的遮挡，卫星b 会进入与卫星a 通信的盲区.卫星间的通信信号视为沿直线传播,信号传输时 间可忽略,下列分析正确的是（ ）A ．张角1θ和2θ满足12sin 4sin θθ=B ．卫星b 的周期为4TC ．卫星b 每次在盲区运行的时间为πθθ14)(21T+D ．卫星b 每次在盲区运行的时间为πθθ16)(21T +8. 某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者,他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星,春分那天(太阳光直射赤道)在日落12小时内,有1t 时间该观察者看不见此卫星.已知地球半径为R ,地球表面处的重力加速度为g ,地球自转周期为T ,卫星的运动方向与地球转动方向相同,不考虑大气对光的折射.下列说法正确的是( ).A ．同步卫星离地高度为32224πT gR B ．同步卫星的加速度小于赤道上物体的向心加速度 C ．322214arcsinππTgR R Tt = D ．同步卫星的加速度大于近地卫星的加速度答案一、1.A2.B3.BC4.A5.B6.BD7.B8.B9.BC 10.AC 11.B 12.BD 13.BC 14.AD 15.BD二、1.D2.C3.A4.AB5.C6.A7.C8.C。

双星问题物理高三练习题双星问题是物理学中的一个重要问题，涉及到天体运动以及引力的影响。

在高三物理练习中，通常会出现与双星问题相关的题目，下面将介绍一道双星问题的物理练习题。

题目：一个双星系统由两颗质量分别为m₁和m₂的恒星组成。

它们之间的距离为d，两个恒星之间的引力为F。

已知m₁ = 2m₂，F =4G(m₁m₂/d²)（其中G为引力常数）。

求解这个双星系统的动能与势能之比。

解析：根据题目给出的信息，我们首先要计算出这个双星系统的动能和势能。

根据物理学的知识，动能和势能分别可以表示为以下公式：动能（Kinetic Energy）：KE = (1/2)mv²势能（Potential Energy）：PE = -G(m₁m₂/d)首先计算动能。

由于题目中没有给出速度v的具体数值，我们可以假设两颗星体的速度相同，即v₁ = v₂ = v。

那么，m₁和m₂的动能可以表示为：KE₁ = (1/2)m₁v²KE₂ = (1/2)m₂v²由于m₁ = 2m₂，可以将上述公式代入，得到：KE₁ = (1/2)(2m₂)v² = m₂v²KE₂ = (1/2)m₂v²接下来计算势能。

根据题目给出的公式可以得出：PE = -G(m₁m₂/d) = -2G(m₂²/d)因此，这个双星系统的总势能为：PE = PE₁ + PE₂ = -2G(m₂²/d) - 2G(m₂²/d) = -4G(m₂²/d)接下来求解动能与势能之比。

动能与势能之比可以表示为：KE/PE = (m₂v²)/(-4G(m₂²/d))化简上述式子，得到：KE/PE = -d(v²/4Gm₂)由题目可知，v²/4Gm₂ = F/(4Gm₂) = m₁/d²代入上式，得到最终的结果：KE/PE = -d(m₁/d²)KE/PE = -m₁/d综上所述，这个双星系统的动能与势能之比为-m₁/d。

高中物理高考物理万有引力与航天解题技巧及经典题型及练习题(含答案)一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．（引力常量为G）【答案】【解析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为w1,w2．根据题意有w1=w2 ① （1分）r1+r2=r ② （1分）根据万有引力定律和牛顿定律，有G③ （3分）G④ （3分）联立以上各式解得⑤ （2分）根据解速度与周期的关系知⑥ （2分）联立③⑤⑥式解得（3分）本题考查天体运动中的双星问题，两星球间的相互作用力提供向心力，周期和角速度相同，由万有引力提供向心力列式求解2．土星是太阳系最大的行星，也是一个气态巨行星。

图示为2017年7月13日朱诺号飞行器近距离拍摄的土星表面的气体涡旋(大红斑)，假设朱诺号绕土星做匀速圆周运动，距离土星表面高度为h。

土星视为球体，已知土星质量为M，半径为R，万有引力常量为.G求：()1土星表面的重力加速度g ； ()2朱诺号的运行速度v ； ()3朱诺号的运行周期T 。

【答案】()())(21?23?2GM R h R π+【解析】 【分析】土星表面的重力等于万有引力可求得重力加速度；由万有引力提供向心力并分别用速度与周期表示向心力可求得速度与周期。

【详解】（1）土星表面的重力等于万有引力：2MmG mg R = 可得2GMg R =（2）由万有引力提供向心力：22()Mm mv G R h R h=++可得：v =（3）由万有引力提供向心力：()222()()GMm m R h R h Tπ=++可得：(2T R h π=+3．2018年11月，我国成功发射第41颗北斗导航卫星，被称为“最强北斗”。

人教版 高一 第六章万有引力与航天 专项2双星、多星问题的分析 天天练一、单选题)1. 两个靠近的天体称为双星，它们以两者连线上某点O为圆心做匀速圆周运动，其质量分别为m1、m2，如图所示，以下说法正确的是(A．线速度与质量成反比B．线速度与质量成正比C．向心力与质量的乘积成反比D．轨道半径与质量成正比2. 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（）A ．B ．C ．D ．3. 美国宇航局利用开普勒太空望远镜发现了一个新的双星系统，命名为“开普勒”，该系统位于天鹅座内，距离地球大约5000光年。

这一新的系统有一对互相围绕运行的恒星，运行周期为T，其中一颗大恒星的质量为M，另一颗小恒星质量只有大恒星质量的三分之一。

已知引力常量为G ，则下列判断正确的是A．两颗恒星的转动角速度之比为B．两颗恒星的转动半径之比为1：1 C ．两颗恒星相距D ．两颗恒星相距1：2二、多选题4. 2015年是爱因斯坦的广义相对论诞生100周年。

广义相对论预言了黑洞、引力波、水星进动、光线偏折等七大天文现象。

北京时间2016年2月11日23：40左右，激光干涉引力波天文台负责人宣布，人类首次发现了引力波。

它来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞（甲黑洞的质量为太阳质量的26倍，乙黑洞的质量为太阳质量的39倍）互相绕转最后合并的过程。

合并前两个黑洞互相绕转形成一个双星系统，关于此双星系统，下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙两个黑洞绕行的线速度之比为2：3B ．甲、乙两个黑洞绕行的向心加速度之比为2：3C ．质量大的黑洞旋转半径大D ．若已知两黑洞的绕行周期和太阳质量，可以估算出两黑洞的距离5. 2015年4月，科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中，发现了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图所示．这也是天文学家首次在正常星系中发现超大质量双黑洞．这对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的意义．若图中双黑洞的质量分别为M 1和M 2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动．根据所学知识，下列选项正确的是()A ．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M 2∶M 1B ．双黑洞的轨道半径之比r 1∶r 2＝M 2∶M 1C ．双黑洞的线速度之比v 1∶v 2＝M 1∶M 2D ．双黑洞的向心加速度之比a 1∶a 2＝M 2∶M 16. 三颗质量均为M 的星球（可视为质点）位于边长为L 的等边三角形的三个顶点上。

2021年高考物理总复习 4章双星问题专项训练新人教版“双星”是宇宙中两颗相隔一定距离，且都在围绕其连线上的某点做匀速圆周运动的天体，两颗星做匀速圆周运动的角速度相等．这类问题是近些年高考的热点，应引起大家足够的重视．【例】银河系恒星中大约有四分之一是双星．某双星由质量不等的星球A 和B组成，两星球在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点P做匀速圆周运动．已知A和B的质量分别为m1和m2，且m1∶m2＝2∶1，则( ) A．A、B两星球的角速度之比为2∶1B．A、B两星球的线速度之比为2∶1C．A、B两星球的半径之比为1∶2D．A、B两星球的加速度之比为2∶1【解析】运动模型如图所示，双星靠相互间的万有引力提供向心力，周期相等，角速度相等，故A项错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，周期相等．对m1：G m1m2L2＝m14π2T2R1，对m2：Gm1m2L2＝m24π2T2R2，可得R1∶R2＝1∶2，C项正确；根据v＝ωR得，v1∶v2＝R1∶R2＝1∶2，故B项错误；由G m1m2L2＝m1a1，Gm1m2L2＝m2a2知，a1∶a2＝m2∶m1＝1∶2，故D项错误．【答案】C【学法指导】解决双星问题的关键：双星靠相互间的万有引力提供向心力(即F万＝F向)，周期相等，角速度相等．根据牛顿第二定律，合力(万有引力)提供向心加速度．要注意各星做圆周运动的半径R1、R2不同，求解半径关系最快方程m1ω2r1＝m2ω2r2.注意解决问题思路的迁移，如两个带电体的类双星运动，在解法上同本例，唯一区别的是向心力由静电力提供．32265 7E09 縉40749 9F2D 鼭39047 9887 颇D37092 90E4 郤a36199 8D67 赧38601 96C9 雉36368 8E10 踐37177 9139 鄹27800 6C98 沘36815 8FCF 迏20294 4F46 但22165 5695 嚕l。

万有引力应用二一双星及多星问题1、（多选）经长期观测，人们在宇宙中已经发现了"双星系统”・"双星系统"由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两颗星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体.如图两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动・现测得两颗星之间的距离为L质呈之比约为m仁m2=3: 2,则可知（）A.m1: m2做圆周运动的线速度之比为2： 3B. m,： m2做圆周运动的角速度之比为1 ： 1C. g做圆周运动的半径为£ID. Rh做圆周运动的半径为答案及解析:-ABD解：双星围绕连线上的0点做匀速圆周运动，彼此间万有引力提供圆周运动向心力，可知双星做圆周运动的周期和角速度相等.令星E的半径为r,则星m2的半径为IΓD j ID 2 2(l-r)G - IΓI]1? W —ΓD 2 则有：据万有引力提供圆周运动向心力有：1■-2≡Γ即时利（I -r）又・严2 2∙∙∙r 5则星m2的半径为亏,故C错误，D正确V lr 2又因为v=rα>可知，两星做圆周运动的线速度之比等于半径之比即：V2 1 ~r 3,所以A正确.双星运动的角速度相同，故B正确.故选：ABD.2、（多选）宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为Λ两星到某一共同圆心的距离分别为斤和金，那么，系统中两颗恒星的质呈关系是（）A.这两颗恒星的质量必定相等B.这两颗恒星的质呈之和为4ri-护用一A 2 D I Irk 3C.这两颗恒星的质量之比为炯:∏h=R2 : R、D.其中必有一颗恒星的质量为一Gr2CC Z—七Z加规o4π2心怕4n% R↑ + R22I=ITra∙z∏∙<b 4n 先R↑-VR2ZBC [对冊有：6~~盂JR一~=ER、一^~、解侍∕7b=------ 丽------ ,同理可侍冊=------- 而------ ,故两者质呈不相等，故选项A错误；将两者质量相加得讥血=一，故选项B正确；〃：加=2,3 2 g 34 ri篇"，则不可能其中一个的质量为一，R八R、、故选项C正确；两者质呈之和为故选项D错误.]3、（单选）我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体&和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T, S,到C点的距离为门，S和S2的距离为r,已知引力常量为G.由此可求岀S2的质呈为（）B. 每颗星做圆周运动的加速度与三星的质呈无关C. 若距离厶和每颗星的质量刃都变为原来的2倍,απ2r 2 (r- F 1 )A.GT 2B 哙GT ZC .4兀7GT 2GT 24、（单选）宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示, 答案及解析：D 解：设星体S （和S?的质量分别为口、m 2l 4兀2ι^F r 1三颗质量均为 加的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为厶 忽略其他星体对它们的引力作用, 三星在同一平面内绕三角形中心0做匀速圆周运动，引力常呈为G,下列说法正确的是（）A.每颗星做圆周运动的角速度为∙oD.若距离厶和每颗星的质量刃都变为原来的2倍,则线速度变为原来的4倍C 任意两星间的万有引力F=気 对任一星受力分析，如图所示.由图中几何关系和牛顿第二定 曰=S 孚=警，选项A 、B 错误；由周律可得：书F=ma=f∏y^,联立可得：3 期公式可得：厂=弓由速度公式可得：/ 当厶和刃都变为原来的2倍，则周期厂=2Γ,选项C 正确; m ,当£和刃都变为原来的2倍，则线速度/ =*选项D 错误.] 5、（多选）宇宙间存在一个离其他星体遥远的系统，其中有一种系统如图所示，四颗质量均为刃的星体 位于正方形的顶点，正方形的边长为日，忽略其他星体对它们的引力作用，每颗都在同一平面内绕正方 形对角线的交点0做匀速圆周运动，引力常量为G,贝∣J（） A.每颗星做圆周运动的线速度大小为 \将? B.每颗星做圆周运动的角速度大小为 C. 每颗星做圆周运动的周期为2π D.每颗星做圆周运动的加速度与质量刃有关 AD [由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径厂=芈 曰，每颗星体在其他三个星体万有引力的合力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有则周期变为原来的2倍2C [根据万有引力提供向心力得：字=世尹，解得7∙=2n所以周期小.设再经过时间门务第二次出现这种现象，此为两个做匀速圆周运动的物体追及相遇的问W 虽然不在同一轨道上，但是当它们相遇时，运动较快的物体比运动较慢的物体多运行2 π弧度.所以弓 十一年Q2π,解得选项C 正确.]7、宇宙中存在一些离其他恒星较远的两颗星组成的双星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作 用.已知双星系统中星体1的质呈为必星体2的质呈为2刃，两星体相距为厶同时绕它们连线上某点 做匀速圆周运动，引力常量为G 求该双星系统运动的周期.解析 双星系统围绕两星体间连线上的某点做匀速圆周运动，设该点距星体1为/?,距星体2为厂对星2 2亠 2mm 4 rΓ I E= f , 亠 Irrm 4 π体 1,有 6-p-=∕τry∕?对主体 2,有 6-p-= 2∕τrγ-r引力定律和向心力公式得：弋 2+半% ,解得周期为代 1冷,角速度为ω4÷√2 E 加速度4=d ⅜T 故选项 r A 、D 正确，B 、C 错误•] 6、（单选）2002年四月下旬，天空中岀现了水星、金星、火星、木星、土星近乎直线排列的"五星连 珠"的奇观・假设火星和木星绕太阳做匀速圆周运动，周期分别是刀和T u 而且火星离太阳较近，它们 绕太阳运动的轨道基本上在同一平面内，若某一时刻火星和木星都在太阳的同一侧，三者在一条直线上 排列，那么再经过多长的时间将第二次岀现这种现象（） 、75+7i A. 丁B .√7Γ^D .根据题意有R+r=L.由以上各式解得T=InL2火星离太阳较近，即轨道半径小,。

（物理）高考必刷题物理万有引力定律的应用题含解析一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．（引力常量为G）【答案】【解析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为w1,w2．根据题意有w1=w2 ① （1分）r1+r2=r ② （1分）根据万有引力定律和牛顿定律，有G③ （3分）G④ （3分）联立以上各式解得⑤ （2分）根据解速度与周期的关系知⑥ （2分）联立③⑤⑥式解得（3分）本题考查天体运动中的双星问题，两星球间的相互作用力提供向心力，周期和角速度相同，由万有引力提供向心力列式求解2．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若这颗卫星在距该天体表面高度为h的轨道做匀速圆周运动,周期为T，已知万有引力常量为G，求:(1)该天体的质量是多少?(2)该天体的密度是多少?(3)该天体表面的重力加速度是多少?(4)该天体的第一宇宙速度是多少?【答案】(1)2324()R hGTπ+；(2)3233()R hGT Rπ+；(3)23224()R hR Tπ+；2324()TR hRπ+【解析】 【分析】（1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解； （2）根据密度的定义求解天体密度；（3）在天体表面，重力等于万有引力，列式求解； （4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度． 【详解】（1）卫星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有:G 2()Mm R h +=m 22T π⎛⎫ ⎪⎝⎭(R+h) 解得：M=2324()R h GTπ+ ① （2）天体的密度：ρ=M V =23234()43R h GT R ππ+=3233()R h GT R π+． （3）在天体表面，重力等于万有引力，故: mg=G2MmR② 联立①②解得：g=23224()R h R Tπ+ ③ （4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据牛顿第二定律，有：mg=m 2v R④联立③④解得：【点睛】本题关键是明确卫星做圆周运动时，万有引力提供向心力，而地面附近重力又等于万有引力，基础问题．3．人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。

专题5.5 双星与多星问题双星模型 1.模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期一样的匀速圆周运动的行星称为双星。

2. 模型条件①两颗星彼此相距较近。

②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。

③两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3. 模型特点如下列图为质量分别是m 1和m 2的两颗相距较近的恒星。

它们间的距离为L .此双星问题的特点是：(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。

(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。

(3)两星的运动周期、角速度一样。

(4)两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r 1＋r 2＝L . 4. 双星问题的处理方法双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Gm 1m 2L2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2。

5. 双星问题的两个结论(1)运动半径：m 1r 1＝m 2r 2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。

(2)质量之和：由于ω＝2πT ，r 1＋r 2＝L ，所以两恒星的质量之和m 1＋m 2＝4π2L3GT2。

【示例1】2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图〞.双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a 星的周期为T ，a 、b 两颗星的距离为l ，a 、b 两颗星的轨道半径之差为Δr (a 星的轨道半径大于b 星的轨道半径)，如此() A.b 星的周期为l －Δrl ＋ΔrT B.a 星的线速度大小为π(l ＋Δr )TC.a 、b 两颗星的半径之比为ll －ΔrD.a 、b 两颗星的质量之比为l ＋Δrl －Δr【答案】 B规律总结解答双星问题应注意“两等〞“两不等〞 (1)双星问题的“两等〞： ①它们的角速度相等。

高考物理万有引力与航天解题技巧及经典题型及练习题(含答案)一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示．设这三个 星体的质量均为 m ，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为 G ， 则: （1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少? （2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?【答案】（1）345LGm233Gm L 【解析】 【分析】（1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期； （2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速度； 【详解】（1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则：222222()(2)Gm Gm m L L L Tπ+= 345L T Gm∴=（2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗星，满足：2222cos30()cos30LGm m L ω︒=︒解得：33Gm L ω2．一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h 高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x 和落地时间t ，又已知该星球的半径为R ，己知万有引力常量为G ，求： （1）小球抛出的初速度v o（2）该星球表面的重力加速度g （3）该星球的质量M（4）该星球的第一宇宙速度v （最后结果必须用题中己知物理量表示） 【答案】(1) v 0=x/t (2) g=2h/t 2 (3) 2hR 2/(Gt 2) (4) 2hR【解析】（1）小球做平抛运动，在水平方向：x=vt ， 解得从抛出到落地时间为：v 0=x/t（2）小球做平抛运动时在竖直方向上有：h=12gt 2， 解得该星球表面的重力加速度为：g=2h/t 2；（3）设地球的质量为M ，静止在地面上的物体质量为m ， 由万有引力等于物体的重力得：mg=2Mm GR所以该星球的质量为：M=2gR G= 2hR 2/(Gt 2)； （4）设有一颗质量为m 的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v ，由牛顿第二定律得： 22Mm v G m R R=重力等于万有引力，即mg=2MmGR ， 解得该星球的第一宇宙速度为：2hRv gR t==3．土星是太阳系最大的行星，也是一个气态巨行星。

微专题25 双星与多星问题【核心要点提示】(1)核心问题是“谁”提供向心力的问题．(2)“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；(3)多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F 合＝m v 2r ，以此列向心力方程进行求解．【微专题训练】“双星体系”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个星球之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图1所示，相距为L 的A 、B 两恒星绕共同的圆心O 做圆周运动，A 、B 的质量分别为m 1、m 2，周期均为T .若有间距也为L 的双星C 、D ，C 、D 的质量分别为A 、B 的两倍，则( )A ．A 、B 运动的轨道半径之比为m 1m 2B ．A 、B 运动的速率之比为m 1m 2C ．C 运动的速率为A 的2倍D ．C 、D 运动的周期均为22T 【解析】对于双星A 、B ，有G m 1m 2L 2＝m 1(2πT )2r 1＝m 2(2πT )2r 2，r 1＋r 2＝L ，得r 1＝m 2m 1＋m 2L ，r 2＝m 1m 1＋m 2L ，T ＝2πL L G m 1＋m 2，A 、B 运动的轨道半径之比为r 1r 2＝m 2m 1，A 错误；由v＝2πr T 得，A 、B 运动的速率之比为v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1，B 错误；C 、D 运动的周期T ′＝2πL L G 2m 1＋2m 2＝22T ，D 正确；C 的轨道半径r 1′＝2m 22m 1＋2m 2L ＝r 1，C 运动的速率为v 1′＝2πr 1′T ′＝2v 1，C 错误．【答案】D(2013·山东理综)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( ) A.n 3k 2T B.n 3kT C.n 2kT D.n kT 【解析】双星靠彼此的引力提供向心力，则有 G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2 G m 1m 2L 2＝m 2r 24π2T 2 并且r 1＋r 2＝L 解得T ＝2πL 3G (m 1＋m 2)当两星总质量变为原来的k 倍，两星之间距离变为原来的n 倍时 T ′＝2πn 3L 3Gk (m 1＋m 2)＝n 3k·T 故选项B 正确． 【答案】B(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G .关于四星系统，下列说法正确的是( )A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ．四颗星的轨道半径均为a2C ．四颗星表面的重力加速度均为GmR 2D ．四颗星的周期均为2πa2a(4＋2)Gm【解析】其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为22a ，故A 正确，B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G mm ′R 2＝m ′g ，解得g ＝GmR2，故C 正确；由万有引力定律和向心力公式得Gm 2(2a )2＋2Gm 2a 2＝m 4π2T 2·2a2，T ＝2πa2a(4＋2)Gm，故D正确． 【答案】ACD(2016·河南省郑州市高三月考)宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m 的小星体和一个质量为M 的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r 。

万有引力与双星和多星问题转动方向、周期、角转动方向、周期、角速度、一、双星问题1、双星问题的模型构建对于做匀速圆周运动的双星问题，双星的角速度(周期)以及向心力大小相等，基本方程式为G M 1M 2L 2＝M 1r 1ω2＝M 2r 2ω2，式中L 表示双星间的距离，r 1，r 2分别表示两颗星的轨道半径， L ＝r 1＋r 2.2、做匀速圆周运动的双星问题中需要注意的几个关键点(1)双星绕它们连线上的某点做匀速圆周运动，两星轨道半径之和与两星距离相等； (2)双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相等；(3)双星做匀速圆周运动的向心力由双星间相互作用的万有引力提供，大小相等；(4)列式时须注意，万有引力定律表达式中的r 表示双星间的距离，而不是轨道半径(双星系统中两颗星的轨道半径一般不同).抓住以上四个“相等”，即向心力、角速度、周期相等，轨道半径之和与两星距离相等，即可顺利求解此类问题.宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。

在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。

这种结构叫做双星。

（1）由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。

（2）由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mr ω2可得mr 1∝，得L m m m r L m m m r 21122121,+=+=，即固定点离质量大的星较近。

注意：万有引力定律表达式中的r 表示双星间的距离，按题意应该是L ，而向心力表达式中的r 表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r 1、r 2，千万不可混淆。

当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时（其他星体对它们的万有引力相比而言都可以忽略不计），其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心星球的球心。

高中物理万有引力定律的应用解题技巧解说及练习题(含答案)一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1．天文学家将相距较近、仅在相互的引力作用下运转的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很广泛．利用双星系统中两颗恒星的运动特点可计算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星环绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试计算这个双星系统的总质量．（引力常量为G）【答案】【分析】设两颗恒星的质量分别为m1 、m2，做圆周运动的半径分别为r1、 r2，角速度分别为w ,w．依据题意有12w1=w2①（1 分）r +r =r ②（ 1 分）12依据万有引力定律和牛顿定律，有G③（ 3分）G④（3分）联立以上各式解得⑤（2分）依据解速度与周期的关系知⑥（2分）联立③⑤⑥式解得（3 分）本题考察天体运动中的双星问题，两星球间的互相作使劲供给向心力，周期和角速度同样，由万有引力供给向心力列式求解2．我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞翔．为了获取月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面迟缓变化．卫星将获取的信息连续用微波信号发回地球．设地球和月球的质量分别为M 和m，地球和月球的半径分别为R 和 R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r 和 r1，月球绕地球转动的周期为T．假定在卫星绕月运转的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不可以抵达地球的时间（用M 、m、 R、 R1、 r、 r1和T 表示，忽视月球绕地球转动对遮挡时间的影）．TMr 13R R 1arc cosR 1【答案】 t mr 3arc cosr 1r【分析】【剖析】【详解】如图 ,O 和 O ′分别表示地球和月球的中心 .在卫星轨道平面上 ,A 是地月连心线 OO ′与地月球面 的公切线 ACD 的交点 ,D?C 和 B 分别是该公切线与地球表面 ?月球表面和卫星圆轨道的交点 .依据对称性 ,过 A 点的另一侧作地月球面的公切线 ,交卫星轨道于 E 点 .卫星在上运动时发出的信号被遮挡 .设探月卫星的质量为m 0,万有引力常量为 G,依据万有引力定律有：G Mmm22 r ①r 2Tmm 0 2 2r 1 ②Gm 0r 12T 1式中T1 是探月卫星绕月球转动的周期.由 ①②式得2M r 1 3T 1 ③Tm r设卫星的微波信号被遮挡的时间为 t,则因为卫星绕月做匀速圆周运动,应用t④T 1式,α=∠ CO ′A ， β=∠ CO ′B ，由几何关系得rcos α=R-R 1⑤r 1cos β=R 1⑥由③④⑤⑥ 式得tT Mr 13arccosRR 1 arccos R 1mr3rr 13． 假定在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫星 ，若这颗卫星在距该天体表面高度为 h 的轨道做匀速圆周运动 ,周期为 T ，已知万有引力常量为 G ，求 : (1)该天体的质量是多少 ? (2)该天体的密度是多少 ?(3)该天体表面的重力加快度是多少?(4)该天体的第一宇宙速度是多少 ?【答案】 (1)4 2 (R h)3；3 (R h) 34 2 (R h)3；4 2 (R h)3GT(2)2R 3； (3)(4)RT 22GT R 2T2【分析】【剖析】（ 1）卫星做匀速圆周运动，万有引力供给向心力，依据牛顿第二定律列式求解； （ 2）依据密度的定义求解天体密度；（ 3）在天体表面，重力等于万有引力，列式求解；（ 4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度．【详解】（1）卫星做匀速圆周运动,万有引力供给向心力 ，依据牛顿第二定律有 :Mm2 22 =m(R+h)GT( R h)解得 ： M=4 2 (R h)3①GT 2（2）天体的密度 ：42(R h)33MGT 2 3 ( R h)ρ= =4=GT 2R 3 ．V3R3（3）在天体表面 ，重力等于万有引力 ，故 :Mmmg=GR2②联立①②解得 ： g= 4 2 (R h)3③R 2T 2（4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，依据牛顿第二定律，有：mg=mv 2 R④联立③④解得 ： v= gR = 4 2( R h)3．RT 2【点睛】本题重点是明确卫星做圆周运动时，万有引力供给向心力，而地面邻近重力又等于万有引力，基础问题．4． 在不久的未来，我国科学家乘坐 “ N ” ( 可以为是平均球体 )，为了研究月 嫦娥 号 飞上月球 球，科学家在月球的 “赤道 ”上以大小为 v 0 的初速度竖直上抛一物体，经过时间 t 1，物体回到抛出点；在月球的 “ ”v 0 的初速度竖直上抛同一物体，经过时间t 2，物 两极 处仍以大小为 体回到抛出点。

【物理】高考必备物理万有引力与航天技巧全解及练习题(含答案)含解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．（引力常量为G）【答案】【解析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为w1,w2．根据题意有w1=w2 ① （1分）r1+r2=r ② （1分）根据万有引力定律和牛顿定律，有G③ （3分）G④ （3分）联立以上各式解得⑤ （2分）根据解速度与周期的关系知⑥ （2分）联立③⑤⑥式解得（3分）本题考查天体运动中的双星问题，两星球间的相互作用力提供向心力，周期和角速度相同，由万有引力提供向心力列式求解2．如图所示，A是地球的同步卫星．另一卫星 B的圆形轨道位于赤道平面内．已知地球自 ，地球质量为M ，B离地心距离为r ，万有引力常量为G，O为地球中转角速度为0心，不考虑A和B之间的相互作用．（图中R、h不是已知条件）（1）求卫星A 的运行周期A T （2）求B 做圆周运动的周期B T（3）如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 【答案】（1）02A T πω=（2）32B r T GMπ=（3）03t GM r ω∆=- 【解析】 【分析】 【详解】（1）A 的周期与地球自转周期相同 02A T πω=（2）设B 的质量为m ， 对B 由牛顿定律:222()BGMm m r r T π= 解得： 32B r T GMπ= （3）A 、B 再次相距最近时B 比A 多转了一圈，则有：0()2B t ωωπ-∆= 解得：03t GM r ω∆=- 点睛：本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力，向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用；第3问是圆周运动的的追击问题，距离最近时两星转过的角度之差为2π的整数倍．3．“嫦娥一号”探月卫星在空中的运动可简化为如图5所示的过程，卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道.已知卫星在停泊轨道和工作轨道运行的半径分别为R 和R 1，地球半径为r ，月球半径为r 1，地球表面重力加速度为g ，月球表面重力加速度为.求： (1)卫星在停泊轨道上运行的线速度大小； (2)卫星在工作轨道上运行的周期.【答案】(1) (2)【解析】（1）卫星停泊轨道是绕地球运行时，根据万有引力提供向心力：解得：卫星在停泊轨道上运行的线速度；物体在地球表面上，有，得到黄金代换，代入解得；（2）卫星在工作轨道是绕月球运行，根据万有引力提供向心力有，在月球表面上，有，得，联立解得：卫星在工作轨道上运行的周期．4．我国预计于2022年建成自己的空间站。

⼈教版⾼中物理天体运动（双星及多星）专项练习双星及多星1.“双星体系”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远⼩于两个星球之间的距离，⽽且双星系统⼀般远离其他天体．如图1所⽰，相距为L的A、B两恒星绕共同的圆⼼O做圆周运动，A、B的质量分别为m1、m2，周期均为T.若有间距也为L的双星C、D，C、D的质量分别为A、B的两倍，则()A．A、B运动的轨道半径之⽐为m1m2B．A、B运动的速率之⽐为m1 m2C．C运动的速率为A的2倍D．C、D运动的周期均为2 2T2.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引⼒的作⽤下，分别围绕其连线上的某⼀点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发⽣变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过⼀段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()A.n3k2T B.n3k T C.n2k T D.nk T3.(多选)宇宙中存在⼀些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引⼒作⽤．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a 的正⽅形的四个顶点上．已知引⼒常量为G.关于四星系统，下列说法正确的是()A．四颗星围绕正⽅形对⾓线的交点做匀速圆周运动B．四颗星的轨道半径均为a 2C．四颗星表⾯的重⼒加速度均为GmR2D．四颗星的周期均为2πa2a(4＋2)Gm4. (多)宇宙中有这样⼀种三星系统，系统由两个质量为m的⼩星体和⼀个质量为M的⼤星体组成，两个⼩星体围绕⼤星体在同⼀圆形轨道上运⾏，轨道半径为r。

关于该三星系统的说法中正确的是()A．在稳定运⾏的情况下，⼤星体提供两⼩星体做圆周运动的向⼼⼒B．在稳定运⾏的情况下，⼤星体应在⼩星体轨道中⼼，两⼩星体在⼤星体相对的两侧C．⼩星体运⾏的周期为T＝4πr32G（4M＋m）D．⼤星体运⾏的周期为T＝4πr32G（4M＋m）5.如图所⽰，质量分别为m和M的两个星球A和B在引⼒作⽤下都绕O点做匀速圆周运动，星球A 和B两者中⼼之间的距离为L.已知A、B的中⼼和O点始终共线，A和B分别在O点的两侧．引⼒常量为G. (1)求两星球做圆周运动的周期；(2)在地⽉系统中，若忽略其他星球的影响，可以将⽉球和地球看成上述星球A和B，⽉球绕其轨道中⼼运⾏的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为⽉球是绕地⼼做圆周运动的，这样算得的运⾏周期为T2.已知地球和⽉球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者的平⽅之⽐．(结果保留3位⼩数) 【答案】(1)2πL3G(M＋m)(2)1.0126.宇宙中存在⼀些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对他们的引⼒作⽤．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：⼀种是三颗星位于同⼀直线上，两颗星围绕中央星在同⼀半径为R的圆轨道上运⾏；另⼀种形式是三颗星位于等边三⾓形的三个顶点上，并沿外接于等边三⾓形的圆轨道运⾏．设每个星体的质量均为m.(1)试求第⼀种形式下，星体运动的线速度和周期；(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第⼆种形式下星体之间的距离应为多少？【答案】(1)v＝5GmR2R，T＝4πR35Gm(2)r＝(125)13R7.神奇的⿊洞是近代引⼒理论所预⾔的⼀种特殊天体，探寻⿊洞的⽅案之⼀是观测双星系统的运动规律．天⽂学家观测河外星系⼤麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所⽰，引⼒常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运⾏周期T.(1)可见星A所受暗星B的引⼒F A可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引⼒，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(⽤m1、m2表⽰)；(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运⾏周期T和质量m1之间的关系式．(3)恒星演化到末期，如果其质量⼤于太阳质量m s的2倍，它将有可能成为⿊洞．若可见星A的速率v＝2.7×105 m/s，运⾏周期T＝4.7π×104 s，质量m1＝6m s，试通过估算来判断暗星B有可能是⿊洞吗？(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，m s＝2.0×1030 kg)【答案】(1)m′＝m32m1＋m22；(2)m32m1＋m22＝v3T2πG；(3)暗星B有可能是⿊洞．。

1112一、双星问题双星及多星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，mω2r＝mω2r，即mr＝mr；等式mr＝mr两边同乘以角速度ω，得mrω＝mr1 12 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2ω，即mv＝mv；由mω2r＝mω2r直接可得，ma＝ma。

1 12 2 1 1 2Gmm 2 Gmm 1 1 2 2 G m＋m ω2L3(4)巧妙求质量和：12＝mω2r①12＝mωr②2由①＋②得：12＝ωL2∴m＋m＝L2L2L2G4.解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由mω2r＝mω2r知由于m与m一般不相等，故r与r一般也不相等。

1 12 2 1 2 1 2二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。

专题突破卷04 万有引力与航天专题（天体质量和密度的计算、变轨问题、双星和多星问题、天体的追及相遇问题、不同轨道上卫星各物理量的比较）60分钟万有引力与航天专题（天体质量和密度的计算、变轨问题、双星和多星问题、天体的追及相遇问题、不同轨道上卫星各物理量的比较）（14单选+4多选）1．（2024·河南·模拟预测）如图所示，A 、B 、C 分别表示太阳、水星和地球，假设水星和地球在同一平面内绕太阳做匀速圆周运动，水星公转半径为r ，地球公转半径为R ，此时AB 与BC 垂直．水星的公转周期为1T ，地球的公转周期为2T ，太阳质量为M ，引力常量为G ，所有天体均可视为质点，不考虑其他天体的影响，下列说法正确的是（ ）A．从地球上看，太阳和水星与眼睛连线所成角度的正弦值最大为B．31rTRæö=ç÷èø年C．水星与地球公转线速度之比为、的质量之比为A．行星A B、的第一宇宙速度之比为C．行星A B【答案】C【详解】A．根据牛顿第二定律A ．a 、b 、c 三物体，都仅由万有引力提供向心力B ．周期关系为a c bT T T =>A．()31222h h R R gp++C．()31222h h R R gp++【答案】B【详解】根据万有引力与重力的关系A．神舟十八号在轨道B．神舟十八号在轨道C．神舟十八号在轨道D．神舟十八号在轨道【答案】AA．卫星在轨道Ⅰ上和轨道B．卫星在轨道Ⅰ上和轨道C．卫星在轨道Ⅰ上和轨道A．232321 312cg kG h k h pæö-ç÷èøæö-ç÷èø对A星体有对B、C星体，两星体各自所受引力的合力大小相等，令为éA．飞船A和空间站B．飞船A要与空间站C．飞船A与空间站A ．23S S =B ．行星Ⅱ与行星ⅢC ．行星Ⅱ与行星ⅢA．恒星Q的质量为2B．恒星P圆周运动的角速度为C．任意时间内两星与A．A星球的轨道半径为B．B星球的轨道半径为C．双星运行的周期为。