高考数学(精讲+精练+精析)专题2_2 函数的基本性质试题 文(含解析)

2.2 函数的基本性质挖命题 【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例 考向 关联考点函数的奇偶性与周期性1.函数奇偶性的判断2.函数奇偶性的运用3.函数周期性的判断与应用★★☆函数的单调性与最值1.函数单调性的判断2.函数单调性的运用3.求函数的最大值、最小值★★☆分析解读 函数的基本性质是研究函数的基础,是高考的重点和热点.通常会考查函数的单调性及其应用,填空和解答题都会涉及.对于奇偶性,则会结合单调性和周期性一起进行考查.破考点 【考点集训】考点一 函数的奇偶性与周期性1.(2019届江苏宝应中学检测)已知f(x)为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时, f(x)=2x+m,则f(-2)= . 答案 -32.已知函数f(x)=(m-2)x 2+(m-1)x+3是偶函数,则实数m 的值为 . 答案 13.(2018江苏盐城上学期期中,11)设函数f(x)是以4为周期的奇函数,当x ∈[-1,0)时, f(x)=2x,则f(log 220)= . 答案 -45考点二 函数的单调性与最值1.若函数f(x)=(2a-1)x+b 是R 上的减函数,则a 的取值范围为 . 答案 (-∞,12)2.(2018江苏南通中学高三数学练习)已知函数f(x)={a x ,x <0,(a -3)x +4a,x ≥0满足对任意x 1≠x 2,都有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<0成立,则a 的取值范围是 .答案 0<a ≤143.(2019届江苏扬州中学检测)函数f(x)={1x,x≥1,-x 2+2,x <1的最大值为 .答案 24.若函数f(x)=1x在区间[2,a]上的最大值与最小值的和为34,则a= . 答案 4炼技法 【方法集训】方法一 用单调性求解与抽象函数有关的不等式的策略1.(2018江苏南京高三年级学情调研)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且在(-∞,0]上为单调增函数.若f(-1)=-2,则满足f(2x-3)≤2的x 的取值范围是 . 答案 x ≤22.已知函数f(x)为区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)<f (12)的实数x 的取值范围为 . 答案 [-1,12)方法二 利用单调性求最值的策略1.(2019届江苏南京外国语学校检测)设函数f(x)=2xx -2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M,m,则m 2M= .答案832.函数f(x)=2x -1在[-2,0]上的最大值与最小值之差为 .答案43方法三 已知函数奇偶性求参数(求值)1.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,并且f(x+2)=-1f(x),当2≤x ≤3时, f(x)=x,则f(105.5)= .答案 2.52.(2019届江苏启东中学检测)已知函数f(x)={x -1,0<x ≤2,-1,-2≤x ≤0,若g(x)=f(x)+ax,x ∈[-2,2]为偶函数,则实数a= .。

2.2 直线的方程（精讲）考点一 直线的方程式【例1-1】（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)过点()3,2- (2)过点()3,0-，与x 轴垂直； (3)斜率为4-，在y 轴上的截距为7； (4)斜率为3，在x 轴上的截距为2-； (5)过点()1,8-，()4,2-； (6)过点()2,0，()0,3-．【答案】360y --=；(2)30x +=；(3)470x y +-=；(4)360x y -+=；(5)260x y +-=； (6)3260x y --=.【解析】(1)因为直线过点()3,2-，所以直线方程为：23)360y x y +=-⇒--=；(2)因为直线过点()3,0-，与x 轴垂直，所以直线方程为：330x x =-⇒+=；(3)因为直线的斜率为4-，在y 轴上的截距为7，所以直线方程为：47470y x x y =-+⇒+-=； (4)因为直线的斜率为3，所以设直线的方程为：3y x b =+，又因为直线在x 轴上的截距为2-，所以03(2)6b b =⨯-+⇒=，所以直线的方程为：36360y x x y =+⇒-+=； (5)因为直线过点()1,8-，()4,2-，所以直线的方程为：8(1)2608(2)14y x x y ---=⇒+-=----；(6)因为直线过点()2,0，()0,3-，所以直线方程为：1326023x yx y +=⇒--=-. 【例1-2】（2022·重庆）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3）， (1)求AB 边所在的直线方程； (2)求AB 边的高所在直线方程.【答案】(1)6110x y -+=(2)6220x y +-= 【解析】(1)因为A （-1，5）、B （-2，-1）， 所以由两点式方程可得511521y x -+=---+，化为一般式可得：6110x y -+=； (2)直线AB 的斜率为51612+=-+. 所以由垂直关系可得AB 边高线的斜率为16-，故AB 边的高所在直线方程为()1346y x -=--,化为一般式可得：6220x y +-=. 【例1-3】（2022·江苏）设m 为实数，若直线l 的方程为()130mx m y +-+=，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 在y 轴上的截距为6； (2)直线l 的斜率为2； (3)直线l 垂直于x 轴； (4)直线l 经过点()1,3． 【答案】(1)12(2)23(3)1(4)0【解析】(1)因为直线l 在y 轴上的截距为6，所以直线l 一定经过点()0,6，则6630m -+=，解得12m =. (2)当1m =时，斜率不存在，不合题意； 当1m ≠时，把直线方程化为斜截式311mx y m m -=---， 因为斜率为2，所以21mm -=-，解得23m =.(3)因为直线l 垂直于x 轴，所以直线的斜率不存在，所以10m -=，即1m =. (4)因为直线l 经过点()1,3，所以()3130m m +-+=，解得0m =. 【一隅三反】1．（2022·全国·高二专题练习）根据所给条件求直线方程.(1)直线过点()1,2A ，倾斜角α的正弦值为35；(2)直线过点()1,3A ，且在两坐标轴上的截距之和为8； (3)直线过点()2,4A ，()2,8-B .【答案】(1)3450x y -+=或34110x y +-=(2)360x y +-=或40x y +-=(3)60x y +-=【解析】(1)3sin 5α=，3tan 4α∴==±k ，则直线方程为()3214y x -=±-，即3450x y -+=或34110x y +-=.(2)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，可设直线方程为18x y m m+=-， 代入点()1,3A ，可得1318m m+=-，解得2m =或4m =， 所以所求直线方程为126x y+=或144x y +=，即所求直线方程为360x y +-=或40x y +-=. (3)直线斜率()48122k -==---，则所求直线方程为()42y x -=--，整理得60x y +-=.2．（2022·全国·高二课时练习）已知三角形的三个顶点的坐标分别是()3,8A ､()3,2B -､()3,0C -. (1)求BC 边所在直线的方程； (2)求BC 边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)330x y ++=(2)310x y --= 【解析】(1)因为()3,2B -､()3,0C -，所以()21333BC k -==---，所以直线BC 的方程为()133y x =-+，即330x y ++=； (2)因为()3,8A ，()3,2B -､()3,0C -，所以BC 的中点为()0,1D -， 所以()81330AD k --==-，所以中线AD 的方程为13y x +=，即310x y --=； 考点二 直线过定点【例2】（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）不论k 为何值，直线20kx y k ++-=恒过定点（ ）A ．()1,2--B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2【答案】B【解析】20kx y k ++-=，可化为(1)20k x y ++-=，则过定点(1,2)-故选：B 【一隅三反】1．（2022·全国·高二）无论k 为何实数，直线212()()(0)8k x k y k +---=+恒过一个定点，这个定点是（ ） A ．(0,0) B ．(2,3) C ．(3,2) D ．(2,3)-【答案】B【解析】原方程可化为()()21280x y k x y -++-=-，由直线恒过定点可知，210280x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点(2,3)故选：B 2．（2021·广东佛山·高二期中）直线l ：()12310k x ky k +++-=经过定点A ，则A 的纵坐标为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】由()12310k x ky k +++-=，得()2310k x y x +++-=，令10230x x y -=⎧⎨++=⎩，得2y =-.故选：A3．（2022·全国·高二单元测试）对于任意m 、n ∈R ，直线(2)()()0m n x m n y m n ++++-=必过定点______． 【答案】(2,3)-【解析】由原方程可得(21)(1)0m x y n x y ++++-=对于任意m 、n ∈R 成立，由21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩， 故直线(2)()()0m n x m n y m n ++++-=必过定点(2,3)-.故答案为：(2,3)-考点三 直线所过象限【例3】（2022·江苏·高二单元测试）如果AB >0且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第（ ）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】C【解析】因AB >0且BC <0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率20A AB k B B =-=-<，纵截距20C BCb B B=-=->， 所以直线Ax ＋By ＋C ＝0必过第一、二、四象限，不经过第三象限.故选：C 【一隅三反】1．（2022·全国·高二单元测试）直线方程为(32)80m x y +++=，若直线不过第二象限，则实数m 的取值范围是______． 【答案】23m ≤-【解析】(32)80m x y +++=不过第二象限,(32)0m ∴-+≥，解得23m ≤-，故答案为：23m ≤-2．（2022·全国·高二课时练习）若0ac <，0bc <，则直线0ax by c 不通过第______象限． 【答案】三【解析】直线0ax by c 可化为a c y x b b =--，即2ac c y x bc bc =--因为0ac bc -<，20c bc->，所以直线0ax by c 的斜率为负，纵截距为正即直线0ax by c 通过第一、二、四象限，不通过第三象限.故答案为：三3．（2022·江苏·高二）（多选）已知直线l 的方程是0Ax By C ++=，则下列说法中正确的是（ ） A ．若0A B C ⋅⋅≠，则直线l 不过原点 B ．若0A B ⋅>，则直线l 必过第四象限 C ．若直线l 不过第四象限，则一定有0A B ⋅< D ．若0A B ⋅<且0A C ⋅>，则直线l 不过第四象限 【答案】ABD【解析】对A ，若0A B C ⋅⋅≠，则,,A B C 都不等于0，当0x y ==时，000A B C ⋅+⋅+≠，所以直线l 不过原点，故A 正确；对B ，若0A B ⋅>，则直线斜率0AB-<，则直线一定过第二四象限，故B 正确； 对C ，若直线l 不过第四象限，若有直线过第一二象限时，此时0A =，则0A B ⋅=，故C 错误； 对D ，若0A B ⋅<且0A C ⋅>，则0,0A CB A->-<，所以直线的斜率大于0，在x 轴上截距小于0，所以直线经过第一二三象限，不经过第四象限，故D 正确. 故选：ABD.考点四 直线与坐标轴围成的三角形面积【例4】（2022·湖北省武汉市青山区教育局高二期末）已知直线方程为()21y k x +=+．(1)若直线的倾斜角为135，求k 的值；(2)若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程．【答案】(1)1k =-；(2)AOB 面积的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y ++=. 【解析】(1)由题意可得()tan135tan 18045tan 451k ==-=-=-. (2)在直线AB 的方程中，令0y =可得2k x k -=，即点2,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭， 令0x =可得2y k =-，即点()0,2B k -，由已知可得2020kk k -⎧<⎪⎨⎪-<⎩，解得0k <， 所以，()()()2212114142442222AOBk k S k k k k k k k --⎛⎫⎡⎤=-⋅=-⋅=-+-=-++ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦△1442⎡⎤≥=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当2k =-时，等号成立，此时直线的方程为()221y x +=-+，即240x y ++=. 【一隅三反】1．（2021·河北省盐山中学高二期中）已知直线l 过点()1,2P -. （1）若直线l 在两坐标轴上截距和为零，求l 方程；（2）设直线l 的斜率0k >，直线l 与两坐标轴交点别为AB 、，求AOB 面积最小值. 【答案】（1）20x y +=或30x y -+=；（2）4【解析】解：（1）因为直线l 在两坐标轴上截距和为零，所以直线l 斜率存在且不为0，故不妨设斜率为k ，则直线l 方程为()21y k x -=+， 所以直线在,x y 坐标轴上截距分别为21k--，2k +， 所以2120k k--++=，整理得220k k +-=，解得2k =-或1k = 所以直线l 方程为20x y +=或30x y -+=. （2）由（1）知()21,0,0,2A B k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因为0k >，所以AOB 面积为()1214112444222S k k k k ⎛⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4k k=，即2k =时等号成立， 所以AOB 面积最小值42．（2022·广东）已知直线l ：()20kx y k k R ---=∈． （1）若直线不经过第二象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴正半轴于A ，交y 轴负半轴于B ，AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．【答案】（1）[)0+∞，；（2）S 的最小值为4，直线l 的方程为240x y --=．【解析】（1）解：由方程可知：0k ≠时，直线在x 轴与y 轴上的截距分别为：2kk+，2k --． 直线不经过第二象限，2020kk k +⎧≥⎪∴⎨⎪--≤⎩，解得0.k >当0k =时，直线变为2y =-满足题意．综上可得：k 的取值范围是[)0+∞，； （2）解：由直线l 的方程可得20k A k +⎛⎫⎪⎝⎭，，()02B k --，． 由题意可得2020kk k +⎧>⎪⎨⎪--<⎩，解得0k >．()21121(2)141·24224 4.22222k k S OA OB k k k k k ++⎛⎫∴=⋅=⋅--=⋅=++≥⨯+= ⎪⎝⎭当且仅当2k =时取等号．S ∴的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y --=．3．（2021·全国·高二课时练习）已知直线l 过点()1,2. （1）当直线l 在两坐标轴上的截距相等时，求直线l 方程；（2）若直线l 交x 轴正半轴，y 轴正半轴分别于A ，B 两点，求AOB 面积的最小值. 【答案】（1）2y x =或30x y +-=；（2）最小值为4. 【解析】（1）当直线的截距为0时，则2y x = 当截距不为0时，设直线l 的方程为1x ya a+=，把点()1,2代入可得121a a+=，解得3a =，故直线l 的方程为2y x =或30x y +-=.（2）设直线l 的方程为()10,0x y a b a b +=>>，把点P 代入可得121a b+=，则121a b =+≥8ab ≥，当12a b =，即2a =，4b =时取“=”故118422AOBSab =≥⨯=， 所以AOB 面积的最小值为4.考点五 直线的综合运用【例5】（2022·云南普洱·高二期末）（多选）已知直线12:(1)20,:(1)10l a x ay l ax a y +++=+--=，则（ ） A ．1l 恒过点(2,2) B ．若12//l l，则a =C ．若12l l ⊥，则1a =± D ．当01a ≤≤时，2l 不经过第三象限【答案】BD【解析】直线1:(1)20l a x ay +++=，则()20a x y x +++=，由020x y x +=⎧⎨+=⎩，得2,2x y =-=，所以1l 恒过定点(2,2)-，所以A 错误；由12//l l 可得：1211a a a a +=≠--，所以a =B 正确； 由12l l ⊥可得：(1)(1)0a a a a ++-=，0a =，所以C 错误； 由2:(1)10l ax a y +--=，当1a =时，2:1l x =，不过第三象限；当1a ≠时，21:11a l y x a a =+--，不过第三象限，只需要01101aa a ⎧≤⎪⎪-⎨⎪≥⎪-⎩，解得01a ≤<，所以a 的取值范围为01a ≤≤，所以D 正确；故选：BD. 【一隅三反】1．（2022·全国·高二专题练习）（多选）下列有关直线()10：+-=∈l x my m R 的说法中不正确的是（ ） A ．直线l 的斜率为m - B ．直线l 的斜率为1m-C ．直线l 过定点()0,1D ．直线l 过定点()1,0【答案】ABC【解析】当0m ≠时，直线l 的方程可变为()11y x m =-－，其斜率为1m-，过定点()1,0，当0m =时，直线l 的方程变为1x =，其斜率不存在，过点()1,0，故AB 不正确，D 正确，将点()0,1代入直线方程得10-=m ，故只有当1m =时直线才会过点()01，，即C 不正确， 故选：ABC ．2．（2022·江苏·高二）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=相交于点(,P P A B 与不重合），则PAB △面积的最大值是（ ）A B ．5 C ．D ．52 【答案】D【解析】由题意直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=可变为(1)30m x y --+=，所以该直线过定点()1,3B ， 所以2221310AB =+=，又()110m m ⨯+⨯-=，所以直线0x my +=与直线30mx y m --+=互相垂直， 所以22210PA PB AB +==， 所以22102PA PB PA PB =+≥⋅即5PA PB ⋅≤，当且仅当=PA PB , 所以，1522PAB S PA PB =⋅≤，即PAB △面积的最大值是52. 故选：D.3．（2022·全国·高二）已知直线l 过点()3,4P ，且与坐标轴分别相交于点A ､B ，若OAB 的面积为24，其中O 为坐标原点，则这样的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【解析由题知直线的斜率存在，且不过原点，所以设直线l 方程为()34y k x =-+，43k ≠，所以直线l 与x 轴交点坐标为43,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 与y 轴交点坐标为34k -+ 所以OAB 面积为()14334242k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，即1624948k k --=， 所以1624948k k --=或1624948k k--=-, 解方程1624948k k --=，即()2292416340k k k ++=+=，解得43k =-，解方程1624948k k --=-，即2972160k k -+=，解得4k = 所以这样的直线有3条.故选：C.。

第二节函数的基本性质函数的奇偶性考向聚焦函数的奇偶性是高考的一个重点内容,考查角度有三个:一是判断具体函数的奇偶性;二是已知函数(解析式中含有参数)的奇偶性,求参数的值;三是与函数的单调性、对称性、周期性等结合求参数的值或取值范围.通常以选择题、填空题的形式考查,为基础题和中档题,所占分值在4分左右.在高考试卷中函数的奇偶性持续考查1.(2012年全国大纲卷,文3,5分)若函数f(x)=sin (φ∈[0,2π])是偶函数,则φ等于( )(A)(B)(C)(D)解析:法一:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=sin =sin 恒成立,即sin cos +cos sin=sin cos +cos sin 恒成立,所以cos =0,=+kπ(k∈Z),φ=+3kπ(k∈Z),又φ∈[0,2π],∴φ=,故选C.法二:∵f(x)=sin 是偶函数,∴f(x)=cos 或f(x)=-cos ,故=+kπ(k∈Z),φ=+3kπ(k∈Z),又φ∈[0,2π],∴φ=,故选C.答案:C.本题主要考查两角和差公式、偶函数的概念,掌握两角和差公式、偶函数的概念是解决此类问题的关键,本题也可以利用诱导公式求解.2.(2012年广东卷,文4,5分)下列函数为偶函数的是( )(A)y=sin x (B)y=x3(C)y=e x(D)y=ln解析:本小题主要考查函数的奇偶性,y=sin x为奇函数,y=x3为奇函数,y=e x为非奇非偶函数,y=ln 定义域为R,满足f(-x)=f(x),为偶函数.答案:D.3.(2012年陕西卷,文2,5分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )(A)y=x+1 (B)y=-x3(C)y=(D)y=x|x|解析:A是增函数不是奇函数,错误,B和C都不是定义域内的增函数排除,只有D正确,因此选D.答案:D.4.(2012年天津卷,文6,5分)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( )(A)y=cos 2x,x∈R (B)y=log2|x|,x∈R且x≠0(C)y=,x∈R (D)y=+1,x∈R解析:∵y=及y=x3+1均不是偶函数,故C、D不正确,又∵1<x<2时,y=log2|x|=log2x单调递增,故B正确.故选B.答案:B.题目考查函数的奇偶性、单调性,涉及函数分别与三角函数、对数函数、指数函数、幂函数有关,看似较复杂,实则难度中等,只需适当排除,再作判断即可.5.(2011年辽宁卷,文6)若函数f(x)=为奇函数,则a等于( )(A)(B)(C)(D)1解析:法一:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴=-,即(2x-1)(x+a)=(2x+1)(x-a)恒成立,整理得(2a-1)x=0,∴必须有2a-1=0,∴a=.故选A.法二:由于函数f(x)是奇函数,所以必有f(-1)=-f(1),即=-,即1+a=3(1-a),解得a=,故选A.答案:A.6.(2010年广东卷,文3)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则( )(A)f(x)与g(x)均为偶函数(B)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数(C)f(x)与g(x)均为奇函数(D)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数解析:∵f(-x)=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x),∴f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,故选D.答案:D.7.(2012年上海数学,文9,4分)已知y=f(x)是奇函数,若g(x)=f(x)+2且g(1)=1,则g(-1)= .解析:∵g(x)=f(x)+2,g(1)=1,∴1=f(1)+2,∴f(1)=-1,又∵f(x)是奇函数,∴f(-1)=1.令x=-1,则变为g(-1)=f(-1)+2=3.答案:3本题考查了两个方面问题:一是函数奇偶性的应用,二是函数的赋值思想与转化思想.8.(2012年重庆卷,文12,5分)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即(-x+a)(-x-4)=(x+a)(x-4)恒成立,即:x2+4x-ax-4a=x2+ax-4x-4a,∴ax-4x=0,∴(a-4)x=0.∴a=4.答案:49.(2011年安徽卷,文11)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)= .解析:法一:由题意f(-1)=2·(-1)2+1=3,又f(x)为奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-3.法二:设x>0,则-x<0,于是f(-x)=2(-x)2+x=2x2+x,由于f(x)是奇函数,所以-f(x)=2x2+x,即f(x)=-2x2-x(x>0),因此f(1)=-2·12-1=-3.答案:-310.(2010年江苏卷,5)设函数f(x)=x(e x+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a 的值为. 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),∴-(+ae)=e+,e+++ae=0,∴(e+)(a+1)=0,∴1+a=0,∴a=-1.经验证a=-1时符合题意.答案:-1函数的单调性考向聚焦函数单调性是高考的热点内容,通常从以下几个方面进行考查:一是求具体函数的单调区间或判断增减性;二是单调性的应用,例如根据单调性比较大小、求函数的最值、判断函数零点个数等;三是与函数的奇偶性、周期性等结合起来进行考查,且主要涉及抽象函数,有一定的综合性.高考试卷中一般是以选择题、填空题的形式出现,为基础题和中档题,所占分值5分左右,并且持续重点考查11.(2012年浙江卷,文10,5分)设a>0,b>0,e是自然对数的底数( )(A)若e a+2a=e b+3b,则a>b(B)若e a+2a=e b+3b,则a<b(C)若e a-2a=e b-3b,则a>b(D)若e a-2a=e b-3b,则a<b解析:设函数f(x)=e x+2x,易知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又因为a>0,b>0,则当e a+2a=e b+3b时,一定有e a+2a>e b+2b,此时a>b,故选A.答案:A.12.(2010年北京卷,文6)给定函数①y=,②y=lo(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④解析:显然幂函数y=及指数型函数y=2x+1在(0,1)上单调递增,对于y=lo(x+1)可看作是y=lo u,u=x+1的复合函数,由复合函数的单调性知y=lo(x+1)在(0,1)上递减,对函数y=|x-1|,其图象是偶函数y=|x|向右平移一个单位得到,y=|x|在(-1,0)上递减,则y=|x-1|在(0,1)上递减,故选B.答案:B.13.(2010年浙江卷,文9)已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )(A)f(x1)<0,f(x2)<0 (B)f(x1)<0,f(x2)>0(C)f(x1)>0,f(x2)<0 (D)f(x1)>0,f(x2)>0解析:∵函数y=2x,y=在(1,+∞)上都为单调增函数,∴f(x)=2x+在(1,+∞)上为单调增函数.∵f(x0)=0,∴当x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞)时,f(x1)<f(x0)=0,f(x2)>f(x0)=0,故选B.答案:B.14.(2012年安徽卷,文13,5分)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a= .解析:函数的图象是以(-,0)为端点的2条射线组成,所以-=3,a=-6.答案:-615.(2012年山东卷,文15,4分)若函数f(x)=a x(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函数,则a= .解析:本题主要考查指数函数的单调性和最值.当a>1时,有a2=4,a-1=m,此时,a=2,m=,此时g(x)=-为减函数,不合题意.若0<a<1则a-1=4,a2=m,故a=,m=,检验知符合题意.答案:16.(2011年江苏卷,2)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是.解析:由2x+1>0得x>-,∴f(x)的定义域为(-,+∞),由复合函数的单调性知f(x)的单调增区间为(-,+∞). 答案:(-,+∞)函数的周期性及性质的综合应用考向聚焦函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性的综合是高考的一个重点内容,主要涉及对一些抽象函数的考查,有求值问题,也有对函数单调性、对称性的判断以及其他方面的一些性质的研究等.对函数性质的综合考查,一般以选择题或填空题的形式出现,具有一定的难度,往往在选择题或填空题较靠后的位置,所占分值为5分左右,并且在高考试卷中常考常新备考指津复习中要注意以下几个方面的训练:一是掌握给出函数周期的一些基本形式,能够根据题目条件迅速获得函数周期;二是明确函数的奇偶性、对称性与函数周期性之间的关系;三是强化借助函数图象研究函数性质的方法与技巧的训练17.(2011年大纲全国卷,文10)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f(-)等于( )(A)-(B)-(C)(D)解析:∵f(-)=f(-+2)=f(-)=-f()=-2×(1-)=-,故选A.答案:A.18.(2011年上海卷,文15)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )(A)y=x-2 (B)y=x-1(C)y=x2(D)y=解析:选项为偶函数的是A、C,其中y=x2在(0,+∞)上是单调递减函数.故选A.答案:A.19.(2012年浙江卷,文16,4分)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f()= .解析:本题主要考查函数的周期性和奇偶性.因为函数的周期是2且是偶函数,所以f()=f(-)=f()=+1=.答案:20.(2012年江苏数学,10,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f()=f(),则a+3b的值为.解析:本题考查函数的周期性、分段函数的解析式.由题意f()=f()=f(-),所以=-a+1,∴a+b=-1①又f(-1)=f(1),∴b=-2a②解①②得a=2,b=-4,∴a+3b=-10.答案:-10。

专题2 函数的基本性质【三年高考】1. 【2016高考江苏11】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1-)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 . 【答案】25-【考点】分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否可以取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数分界点处的函数值.2．【2016年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'C 关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）. 【答案】②③【解析】试题分析：对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222(,)0y x f x y x y -=++与曲线2222(,)0y xf x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线y kx b =+上任一点P (,)x y 的伴随点是'P 2222(,)y xx y x y-++，消参后点'P 轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.考点：对新定义的理解、函数的对称性.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．3．【2016高考山东理数改编】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= ． 【答案】2 【解析】 试题分析：当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦．考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.4．【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．5．【2016高考上海理数改编】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，则命题①②的真假是①为 ，②为 ． 【答案】假，真 【解析】试题分析：①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩ ②()()()()f x g x f x T g x T +=+++ ()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故①为假，②真.考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等. 本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.6．【2016高考新课标2文数改编】已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x )图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑ ．【答案】m考点： 函数的奇偶性，对称性.【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.7．【2016高考四川文科】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+= . 【答案】-2 【解析】试题分析：因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以(1)(1)0,(1)(12)(1)0f f f f f -=-=-=-+==，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =，125111()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5()(1)22f f -+=-.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性．属于基础题，在涉及函数求值问题中，可利用周期性()()f x f x T =+，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间再利用奇偶性转化到已知区间上，再由函数式求值即可．8．【2014江苏，理10】已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m的取值范围为 . 【答案】2(2-【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得20m <<．9.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】已知()f x 是定义在R 上的奇函数. 当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为 .【答案】 (5,0)(5,)-+∞10．【2012江苏，理10】设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝1,10,2,01,1ax x bx x x +-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a ，b ∈R .若13()()22f f =，则a ＋3b 的值为__________． 【答案】－10【解析】根据题意，可得(1)(1),1331()()(2)(),2222f f f f f f -=⎧⎪⎨==-=-⎪⎩ 即21,212121,322b a b a +⎧-=⎪⎪⎪⎨+⎪=-+⎪⎪⎩解得2,4,a b =⎧⎨=-⎩故310a b +=-.11．【2015高考山东，文8】若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为______. 【答案】0,1（）12.【2015高考广东，理3改编】判断下列函数的奇偶性：①： ；②： ；③： ；④： ．【答案】既不是奇函数也不是偶函数，奇函数，偶函数，偶函数． 【解析】记，则，，那么，，所以既不是奇函数也不是偶函数，依题可知②③④依次是奇函数、偶函数、偶函数．13.【2014高考湖南卷第3题】已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f ___________.【答案】1【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=和()()111f g ---=,因为函数)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,所以()()()()11,11f f g g -=-=-,即()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=.14.【2014高考湖南卷第10题】已知函数())0(212<-+=x e x x f x与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是_________________. 【答案】),(e -∞15．【2014高考湖北卷理第10题】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为________.【答案】]66,66[-【解析】当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-≤≤-=2222223,32,0,)(a x a x a x a a a x x x f ，由)(x f 是奇函数，可作出)(x f 的图像，如下图所示.又因为R x ∈∀，)1(-x f )(x f ≤，所以)1(-x f 的图像恒在)(x f 图像的下方，即将)(x f 的图像往右平移一个单位后恒在)(x f 图像的下方，所以22313a a ≥+-，解得]66,66[-∈a .【2017年高考命题预测】纵观2014－2016各地高考试题，对函数性质的考查是高考命题的主线索，不管是何种函数，都要与函数性质联系起来，主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性以及几方面的综合，高考中一般以选择题和填空的形式考查，或者结合导数研究函数性质的大题.单调性（区间）问题，热点有：（1）确定函数单调性（区间）；（2）应用函数单调性求函数值域（最值）、比较大小、求参数的取值范围、解（或证明）不等式；函数单调性，此部分知识在高考命题中以选择题和填空题的形式出现，或与导数结合出一个解答题，主要考查函数的单调性，求函数的单调区间，以及求函数值域（最值），确定参数范围，作为把关题存在.函数奇偶性与函数的周期性，此部分知识在高考命题中多以选择题和填空题的形式出现，一般难度不大，只要会判断简单函数的奇偶性，而函数的周期性，有时和数列结合出些周期数列问题，可用归纳推理得到.即对函数单调性的考察.在函数值的比较大小，求函数的值域，解相关的不等式方面有着重要的应用.对函数奇偶性的考察，一个是图形一个是方程的形式.对函数周期性的考察，周期性主要研究函数值有规律的出现，在解决三角函数里面体现的更明显．而且"奇偶性"+"关于直线x=k"对称，求出函数周期的题型逐年增加.2017年函数性质的复习，首先要在定义上下功夫，其次要从数形结合的角度认识函数的单性质，深化对函数性质几何特征的理解和运用，同时要注意以下方面：1.性质通过数学语言给出的这类问题一般没有解析式，也没有函数方程，有的是常见的函数性质语言比如:单调递增，奇函数等等，它通常和不等式联立在一起考查，处理方式主要是通过它所给的性质画出函数的草图然后解决就可以了. 2.性质通过方程和不等式给出的这类问题通常是考查的抽象函数有关问题，抽象函数因其没有解析式，其性质以方程（或不等式）给出而成为解题依据. 所以在解题时要搞清楚常见方程和不等式所告诉的含义是什么.3. 性质通过解析式给出的这类问题有解析式，但考虑的方向不是代人求值问题，而是通过观察解析的特点，从而得到函数的性质，用性质去解决相关问题，考虑的性质一般是先看看函数的对称性，再看看单调性，进一步作出相关的草图就可以解决了.【2017年高考考点定位】高考对函数性质的考查有三种主要形式：一是考察单调性，可以从函数图象、单调性定义、导数来理解；二是考察奇偶性，要从图象和定义入手，尤其要注意抽象函数奇偶性的判断；三是对称性和周期性结合，用以考察函数值重复出现的特征以及求解析式.【考点1】函数的单调性【备考知识梳理】1.单调性定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A . 区间A I ⊆.如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有12()(),f x f x ＜那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x ＝的单调增区间．如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有)()(21x f x f >，那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x ＝的单调减区间．2.利用图象判断函数单调性：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减． 【规律方法技巧】一．判断函数单调性的方法：1. 定义及变形：设,,21x x 是函数()y f x ＝定义域内某个区间内的任意两个不等的自变量，若1212(x )(x )0f f x x -<-，则函数在该区间内单调递减；若1212(x )(x )0f f x x ->-，则函数在该区间内单调递增.常见结论: （1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反； （3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.二．单调区间的求法1.利用基本初等函数的单调区间；2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.3.复合函数法：对于函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦，可设内层函数为()u g x =，外层函数为()y f u =，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相同，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递减.4.导数法：不等式()0f x '>的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递增区间，不等式()0f x '<的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递减区间.【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接. 三．对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意1x 、2x 在所给区间内比较()()12f x f x -与0的大小，或()()12f x f x 与1的大小（要求()1f x 与()2f x 同号）．有时根据需要，需作适当的变形：如1122x x x x =⋅或()1122x x x x =+-等. 【考点针对训练】1. 【江苏省清江中学数学2016模拟试卷】已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调增加，则1(21)()3f x f -<的x 的取值范围 . 【答案】12(,)33【解析】因为()f x 是偶函数，所以不等式1(21)()3f x f -<得1(21)()3f x f -<，又()f x 在[0,)+∞上是增函数，所以1213x -<，解得1233x <<． 2.若函数2()2f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 .【答案】[4,0]-.【考点2】函数的奇偶性 【备考知识梳理】 1．函数的奇偶性的定义：对于函数)(x f 定义域内定义域内任意一个x ，若有()()f x f x -=-，则函数)(x f 为奇函数；若有()()f x f x -=，那么函数)(x f 为偶函数2.奇偶函数的性质：⑴ 定义域关于原点对称； ⑵ 偶函数的图象关于y 轴对称； ⑶ 奇函数的图象关于原点对称；⑷ 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇． ⑸ ()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=． ⑹ 若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． 【规律方法技巧】1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式()x (x)0f f ＋－＝ (奇函数)或()x (x)0f f -－＝ (偶函数))是否成立．3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于y 轴对称，则函数是偶函数． 4．抽象函数奇偶性的判断方法：(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现()()f x f x －，)； (2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑； (3)找出()f x -与()f x 的关系，得出结论． 5．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．6．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()f x f (x)0±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．7．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 【考点针对训练】1. 【江苏省淮阴中学2015-2016学年度第一学期期中考试】已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当x<0时，()2f x x =+，那么不等式()210f x -<的解集是 . 【答案】35,[0,)22⎛⎫-∞-⎪⎝⎭2.下列幂函数中：①12y x =；②2y x -=；③43y x =；④13y x =；其中既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递增的函数是 .（填相应函数的序号）. 【答案】③【解析】函数12y x =的定义域为），∞+[0，所以函数不是偶函数，故函数①不符合题意；函数2y x -=定义域为{}0≠∈x R x x ,,显然为偶函数，但在区间），（∞+0单调递减，所以函数②不符合题意；函数43y x =定义域为R ，为偶函数且在区间），（∞+0单调递增，故函数③符合题意；函数13y x =定义域为R ，为奇函数且在R 上单调递增，故函数④不符合题意。

2.2函数的基本性质考点一函数的单调性及最值1.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是()A.y=11−B.y=cosxC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案D选项A中,y=11−=1-(t1)的图象是将y=-1的图象向右平移1个单位得到的,故y=11−在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cosx在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C 中,y=ln(x+1)的图象是将y=lnx的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.评析本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换,属中档题.2.(2015课标Ⅱ文,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+2,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(),1 B.-∞C.-13D.-∞∞答案A当x>0时,f(x)=ln(1+x)-11+2,∴f'(x)=11++2(1+2)2>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得13<x<1,故选A.3.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤bB.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥bD.若f(a)≥2b,则a≥b答案B依题意得f(a)≥2a,若f(a)≤2b,则2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,又y=2x是R上的增函数,∴a≤b.故选B.4.(2020课标Ⅲ文,12,5分)已知函数f(x)=sinx+1sin,则()A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x=π对称D.f(x)的图象关于直线x=π2对称答案D对于A,令sinx=t,t∈[-1,0)∪(0,1],则g(t)=t+1,当t∈(0,1]时,g(t)=t+1≥2,当且仅当t=1时,取“=”,故g(t)∈[2,+∞),又∵g(t)=-g(-t),∴g(t)为奇函数,∴g(t)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),故A错误;对于B,由f(x)≠f(-x),知f(x)不是偶函数,故B错误;对于C,f(2π-x)=sin(2π-x)+1sin(2π-p=-sinx-1sin≠f(x),故C错误;对于D,f(π-x)=sin(π-x)+1sin(π-p=sinx+1sin=f(x),故f(x)的图象关于直线x=π2对称,故D正确.故选D.5.(2021全国甲文,4,5分)下列函数中是增函数的为()A.f(x)=-xB.f(x)3C.f(x)=x2D.f(x)=3答案D解题指导:排除法,利用基本初等函数的性质逐一判断四个选项.解析对于f(x)=-x,由正比例函数的性质可知,f(x)是减函数,故A不符合题意;对于f(x),由指数函数的单调性可知,f(x)是减函数,故B不符合题意;对于f(x)=x2,由二次函数的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C不符合题意;对于f(x)=3=13,由幂函数的性质可知,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故选D.方法总结:一次函数y=kx+b(k≠0)单调性的判断:若k>0,则函数在R上单调递增;若k<0,则函数在R上单调递减.指数函数y=a x(a>0且a≠1)单调性的判断:若a>1,则函数在R上单调递增;若0<a<1,则函数在R上单调递减.幂函数y=xα单调性的判断:若α>0,则函数在(0,+∞)上单调递增;若α<0,则函数在(0,+∞)上单调递减.6.(2021全国乙文,8,5分)下列函数中最小值为4的是()A.y=x2+2x+4B.y=|sin xC.y=2x+22-xD.y=ln x+4ln答案C解题指导:对于A,利用配方法或二次函数的单调性求最值,对于B,C,D,利用换元法转化为对勾函数进行判断.解析对于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以它的最小值为3,所以A不符合题意;对于B,设|sin x|=t,则0<t≤1,y=|sin x=+4,t∈(0,1],易知y=t+4在(0,1]上单调递减,故t=1时,y min=1+41=5,所以B不符合题意;对于C,令2x=t(t>0),则y=2x+22-x=t+4,t>0,易知y=t+4在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,y取最小值,y min=2+42=4,故C符合题意;对于D,令ln x=t,t∈R且t≠0,则y=ln x+4ln=+4,显然t<0时,函数值小于0,不符合题意.故选C.7.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是() A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]答案D∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图象如图:当-1≤x≤0时,f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;当1≤x≤3时,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0.综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.8.(2016北京文,10,5分)函数f(x)=t1(x≥2)的最大值为.答案2解析解法一:∵f'(x)=-1(t1)2,∴x≥2时,f'(x)<0恒成立,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.解法二:∵f(x)=t1=t1+1t1=1+1t1,∴f(x)的图象是将y=1的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y=1在[2,+∞)上单调递减,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.解法三:由题意可得f(x)=1+1t1.∵x≥2,∴x-1≥1,∴0<1t1≤1,∴1<1+1t1≤2,即1<t1≤2.故f(x)在[2,+∞)上的最大值为2.评析本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题.9.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)=2,x≤1,+6-6,x>1,则f(f(-2))=,f(x)的最小值是.答案-12;26-6解析f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+64-6=-12.当x≤1时,f(x)=x2≥0,当x>1时,f(x)=x+6-6≥26-6,当且仅当x=6时,等号成立,又26-6<0,所以f(x)min=26-6.考点二函数的奇偶性1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x答案B A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.2.(2014课标Ⅰ,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C由题意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A,f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B 项错误;对于选项C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.评析本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数奇偶性的定义是解决本题的关键.3.(2011课标,理2,文3,5分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是()A.y=x3B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|答案B y=x3是奇函数,y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+∞)上都是减函数,故选B.评析本题考查函数的奇偶性和单调性的判定,属容易题.4.(2021全国乙理,4,5分)设函数f(x)=1−1+,则下列函数中为奇函数的是()A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1答案B解题指导:思路一:将函数f(x)的解析式分离常数,通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称,此函数即为奇函数;思路二:由函数f(x)的解析式,求出选项中的函数解析式,由函数奇偶性定义来判断.解析解法一:f(x)=-1+2r1,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位,再沿y 轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B.解法二:选项A,f(x-1)-1=2-2,此函数为非奇非偶函数;选项B,f(x-1)+1=2,此函数为奇函数;选项C,f(x+1)-1=−2K2r2,此函数为非奇非偶函数;选项D,f(x+1)+1=2r2,此函数为非奇非偶函数,故选B.5.(2021全国甲理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则() A.-94 B.−32 C.74 D.52答案D解题指导:利用奇偶性得到f(x+2)=-f(x),将出现的自变量0,3,92对应的函数值转化为[1,2]内自变量对应的函数值,进而得到a,b以及.解析由题知o−+1)=−o+1),o−p=o+4),从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x), o−+2)=o+2),即o−p=−o+2),所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②由①②得=−2,从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2].所以=2=−==−=−(−2)×+2=52.故选D.一题多解因为f(x+1)与f(x+2)分别为奇函数和偶函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)和直线x=2对称,且f(x)为周期函数,周期T=4,从而f(0)=-f(2),①f(3)=f(1)=0,②==−由①②结合f(0)+f(3)=6,知a=-2,b=2,所以=−(−2)×+2=52.6.(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若2,g(2+x)均为偶函数,则() A.f(0)=0 B.g−C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)答案BC解法一:若设f(x)=1,则g(x)=0,易知所设f(x)符合题意,此时f(0)=1,故选项A错误.设f(x)=sin(πx),则g(x)=f'(x)=πcos(πx),由于2=sin22π=-cos(2πx),g(2+x)=πcos[π(2+x)]=πcos(2π+πx)=πcos(πx),所以2,g(2+x)均为偶函数,则所设f(x)符合题意.于是g(-1)=πcos(-π)=-π≠g(2),故选项D错误.由于22是奇函数,即2是奇函数,则,注意到g(2+x)是偶函数,于是g−=2=−2=-g−32+22=2=2=2=,故选项B正确.由2=2,取x=54,则f(-1)=f(4),故选项C正确.故选BC.解法二:由题意知2=2⇔=⇔f(-x)=f(3+x)①,取x=1,知f(-1)=f(4),C正确.对①两边求导知-f'(-x)=f'(3+x)⇔f'(-x)=-f'(3+x),即g(-x)=-g(3+x)②,取x=-32,知.g(2+x)=g(2-x)⇔g(-x)=g(x+4)③,由②③知g(x+4)=-g(x+3),即g(x+1)=-g(x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x).从而g−=2=,B正确.同解法一可判断A,D错误.故选BC.7.(2018课标Ⅲ文,16,5分)已知函数f(x)=ln(1+2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.答案-2解析本题考查函数的奇偶性.易知f(x)的定义域为R,令g(x)=ln(1+2-x),则g(x)+g(-x)=0,∴g(x)为奇函数,∴f(a)+f(-a)=2,又f(a)=4,∴f(-a)=-2.解题关键观察出函数g(x)=ln(1+2-x)为奇函数.8.(2017课标Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.答案12解析本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.9.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是.答案解析由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(-2),f(-2)=f(2),所以f(2|a-1|)>f(2),所以2|a-1|<212,解之得12<a<32.10.(2014课标Ⅱ文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=.答案3解析∵函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立,令x=1,得f(1)=f(3)=3,∴f(-1)=f(1)=3.11.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)=(r1)2+sin2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=.答案2解析f(x)=2+1+2x+sin2+1=1+2rsin2+1,令g(x)=2rsin2+1,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.12.(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=.答案1解题指导:利用偶函数的定义,取定义域内的特殊值即可求出a的值.解析∵f(x)=x3(a·2x-2-x)为偶函数,∴f(1)=f(-1),∴2a-12=−−2,∴a=1.当a=1时,f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.一题多解y=x3和y=2x-2-x为奇函数,利用结论:奇函数×奇函数=偶函数,可快速判断出a=1.13.(2022全国乙文,16,5分)若f(x)=ln b是奇函数,则a=,b=.答案-12;ln2解析∵f(x)是奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称.由已知得x ≠1,∴x ≠-1,即当x =-1时,,∴a +12=0,∴a =-12,此时f (x )b ,∵f (x )为奇函数且在x =0处有意义,∴f (0)=0,即+=ln 12+b =0,∴b =-ln 12=ln 2.综上可知,a =-12,b =ln 2.考点三函数的周期性1.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x 3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,ft 则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案D 当x>12时,由ft f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1),f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D.2.(2021全国甲文,12,5分)设f (x )是定义域为R 的奇函数,且f (1+x )=f (-x ).若f −=13,则()A.-53B.−13C.13D.53答案C 解题指导:求出函数f (x )的周期再进行转化,即可求解.解析由f (1+x )=f (-x ),且f (x )是定义在R 上的奇函数,可得f (1+x )=f (-x )=-f (x ),所以f (2+x )=-f (1+x )=f (x ),所以f (x )的周期为2,则=2=−=13,故选C .知识延伸:若函数f (x )为奇函数,且满足f (a +x )=f (-x ),则f (x )图象的对称轴为直线x =2,周期为2a ;若函数f (x )为偶函数,且满足f (a +x )=f (-x ),则f (x )图象的对称轴为直线x =2,周期为a.3.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函数f (x )的定义域为R,且f (x +y )+f (x -y )=f (x )f (y ),f (1)=1,则∑=221i f (k )=()A.-3B.-2C.0D.1答案A 令y =1,得f (x +1)+f (x -1)=f (x )①,故f (x +2)+f (x )=f (x +1)②.由①②得f (x +2)+f (x -1)=0,故f (x +2)=-f (x -1),所以f (x +3)=-f (x ),所以f (x +6)=-f (x +3)=f (x ),所以函数f (x )的周期为6.令x =1,y =0,得f (1)+f (1)=f (1)·f (0),故f (0)=2,同理,令x =1,y =1,得f (2)=-1;令x =2,y =1,得f (3)=-2;令x =3,y =1,得f (4)=-1;令x =4,y =1,得f (5)=1;令x =5,y =1,得f (6)=2.故f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)=0,所以∑=221i f (k )=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=-3.故选A .4.(2022全国乙理,12,5分)已知函数f (x ),g (x )的定义域均为R,且f (x )+g (2-x )=5,g (x )-f (x -4)=7.若y =g (x )的图象关于直线x =2对称,g (2)=4,则∑=221i f (k )=()A.-21B.-22C.-23D.-24答案D 由y =g (x )的图象关于直线x =2对称,得g (2+x )=g (2-x ),故g (x )=g (4-x ),由g (x )-f (x -4)=7,得g (2+x )-f (x -2)=7①,又f (x )+g (2-x )=5②,所以由②-①,得f (x )+f (x -2)=-2③,则f (x +2)+f (x )=-2④,所以由④-③,得f (x +2)=f (x -2),即f (x +4)=f (x ),所以函数f (x )是以4为周期的周期函数.对于④,分别令x =1,2,得f (1)+f (3)=-2,f (2)+f (4)=-2,则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=-4.对于①,令x =-1,得g (1)-f (-3)=7,则g (1)-f (1)=7⑦,对于②,令x =1,得f (1)+g (1)=5⑧,由⑦⑧,得f (1)=-1.对于②,令x =0,得f (0)+g (2)=5,又g (2)=4,所以f (0)=1.对于③,令x =2,得f (2)+f (0)=-2,所以f (2)=-3.则∑=221i op =5×(-4)+f (1)+f (2)=-20+(-1)+(-3)=-24.故选D .5.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f +f(1)=.答案-2解析∵f(x)是定义在R 上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期为2,∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵f-412=-2.∴f-6.(2017山东文,14,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.答案6解析本题考查函数的奇偶性与周期性.由f(x+4)=f(x-2)得f(x+6)=f(x),故f(x)是周期为6的函数.所以f(919)=f(6×153+1)=f(1).因为f(x)为R上的偶函数,所以f(1)=f(-1).又x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,所以f(-1)=6-(-1)=6.从而f(1)=6,故f(919)=6.方法小结函数周期性的判断:一般地,若f(x+T)=f(x),则T为函数的一个周期;若f(x+T)=-f(x),则2T为函数的一个周期;若f(x+T)=1op(f(x)≠0),则2T为函数的一个周期.7.(2014安徽文,14,5分)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=o1-p,0≤x≤1,sinπs1<≤2,则.答案516解析依题意得8=f=-34×14=-316,f8=-sin7π6=sinπ6=12,因此=-316+12=516.。

第1讲函数的概念与性质【考点分析】1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值5分，一般与指数，对数结合起来命题【题型目录】题型一：函数的定义域题型二：同一函数概念题型三：函数单调性的判断题型四：分段函数的单调性题型五：函数的单调性唯一性题型六：函数奇偶性的判断题型七：已知函数奇偶性，求参数题型八：已知函数奇偶性，求函数值题型九：利用奇偶性求函数解析式题型十：给出函数性质，写函数解析式题型十一：()=x f 奇函数+常数模型（()()常数⨯=+-2x f x f ）题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，()()()中f x f x f 2min max =+，中指定义域的中间值）题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题题型十四：值域包含性问题题型十五：函数性质综合运用多选题【典型例题】题型一：函数的定义域【例1】（2021·奉新县第一中学高一月考）函数()f x =的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4答案：C解析：对于函数()f x =，有1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 1f x -=的定义域为()1,4.故选：C.【例2】函数()21log (3)f x x =-的定义域为【答案】()()3,44,⋃+∞【详解】由题意知()230log 30x x ->⎧⎨-≠⎩，得()223log 3log 1x x >⎧⎨-≠⎩，所以331x x >⎧⎨-≠⎩，所以()()3,44,x ∈⋃+∞．【例3】(2020·集宁期中)已知函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，则函数)21(x f -的定义域（）A ．]12[，-B ．]21[，C ．]32[，-D ．]31[，-【答案】C【详解】因为函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，所以41≤≤-x ，所以5325≤-≤-x ，函数)(x f 的定义域为]55[，-，令5215≤-≤-x ，解得32≤≤-x 【例4】若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。

2.2函数的基本性质挖命题【考情探究】分析解读 1.能够证明函数在给定区间上的单调性;求函数的单调区间;利用单调性求函数的最值(值域)、比较大小及求参数的取值范围.2.函数奇偶性的判断及应用是高考常考的知识点,常与函数的单调性、周期性、对称性、最值综合考查.3.要强化函数性质的应用意识,熟练掌握利用性质求最值等相关问题.4.本节在高考中多以选择题、填空题的形式考查函数的奇偶性与周期性,5分左右,属于中低档题.与不等式、方程等结合,以解答题的形式考查函数的单调性,属于中档题,要注意借助数形结合的思想解题.破考点【考点集训】考点一函数的单调性及最值1.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为()A.y=B.y=-x3C.y=lo xD.y=x+答案 B2.已知函数f(x)=log2x,g(x)=2x+a,若存在x1,x2∈,使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是()A.[-5,0]B.(-∞,-5]∪[0,+∞)C.(-5,0)D.(-∞,-5)∪(0,+∞)答案 A考点二函数的奇偶性与周期性3.下列函数中为偶函数且在(0,+∞)上递减的是()A.y=(x-2)2B.y=ln|x|C.y=xcos xD.y=e-|x|答案 D4.若函数f(x)定义域为(-∞,+∞),则“曲线y=f(x)过原点”是“f(x)为奇函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B5.下列函数中为偶函数的是()A. f(x)=2x-B. f(x)=xsin xC. f(x)=e x cos xD. f(x)=x2+sin x答案 B6.(2014大纲全国,12,5分)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.-2B.-1C.0D.1答案 D炼技法【方法集训】方法1判断函数单调性的方法1.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且a+b>0,b+c>0,a+c>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值()A.恒为正B.恒为负C.恒为0D.无法确定答案 B2.已知函数f(x)=ax2-x,若对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,不等式->0恒成立,则实数a的取值范围是-()A.∞B.∞C.∞D.∞答案 D方法2判断函数奇偶性的方法3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1)=-2,那么f(-1)+f(0)=()A.-2B.0C.1D.2答案 D4.对于函数f(x)=asin x+bx+c(a,b∈R,c∈Z),计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是()A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2答案 D方法3函数周期的求法及应用5.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=ln(-x)+x;当-e≤x≤e时, f(-x)=-f(x);当x>1时, f(x+2)=f(x),则f(8)=.答案2-ln 2方法4函数性质的综合应用6.下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是()A. f(x)=sin xB. f(x)=|x+1|C. f(x)=-xD. f(x)=cos x 答案 C7.设函数f(x)=-(a>0,且a≠1).(1)若a=,则函数f(x)的值域为;(2)若f(x)在R上是增函数,则a的取值范围是.答案(1)-∞(2)[2,+∞)方法5函数值域的求法8.下列函数中,值域为[0,1]的是()A.y=x2B.y=sin xC.y=D.y=答案 D过专题【五年高考】A组自主命题·北京卷题组考点一函数的单调性及最值1.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是()A.y=B.y=cos xC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案 D2.(2014北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A.y=B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log0.5(x+1)答案 A3.(2014北京文,2,5分)下列函数中,定义域是R且为增函数的是()A.y=e-xB.y=x3C.y=ln xD.y=|x|答案 B4.(2016北京文,10,5分)函数f(x)=-(x≥2)的最大值为.答案 2考点二函数的奇偶性与周期性1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sin xB.y=x2cos xC.y=|ln x|D.y=2-x答案 B2.(2013北京文,3,5分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.y=B.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg|x|答案 CB组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的单调性及最值1.(2017课标Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案 D2.(2014课标Ⅱ,15,5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.答案(-1,3)考点二函数的奇偶性与周期性1.(2018课标Ⅱ,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50答案 C2.(2015课标Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=.答案 1C组教师专用题组考点一函数的单调性及最值1.(2017课标Ⅱ,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)答案 D2.(2015课标Ⅱ,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是()A. B.-∞∪(1,+∞) C.- D.-∞-∪∞答案 A3.(2013辽宁,12,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=()A.a2-2a-16B.a2+2a-16C.-16D.16答案 C考点二函数的奇偶性与周期性1.(2016天津,6,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是()A.-∞B.-∞∪∞C.D.∞答案 C2.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x>时, f=f -.则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案 D3.(2015安徽,4,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=ln xB.y=x2+1C.y=sin xD.y=cos x答案 D4.(2014课标Ⅰ,5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案 C5.(2018课标Ⅲ,16,5分)已知函数f(x)=ln(-x)+1, f(a)=4,则f(-a)=.答案-26.(2017课标Ⅱ,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=.答案127.(2014课标Ⅱ,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)=.答案 3【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2018北京房山一模,5)下列函数中,与函数y=x3的单调性和奇偶性相同的是()A.y=B.y=ln xC.y=tan xD.y=e x-e-x答案 D2.(2019届北京潞河中学10月月考文,6)已知函数y=f(x)(x∈R)是偶函数,其部分图象如图所示,则在(-2,0)上与函数f(x)的单调性相同的是()A.y=-x2+1B.y=cos xC.y=-D.y=log2|x|答案 D3.(2019届北京潞河中学10月月考,4)下列函数是奇函数且在区间(1,+∞)上单调递减的是()A.f(x)=-x3B.f(x)=C.f(x)=x+D.f(x)=-x+1答案 A4.(2019届中央民大附中10月月考,5)下列函数中是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是()A.y=B.y=|ln x|C.y=x2+2|x|D.y=2-x答案 C5.(2019届北京牛栏山一中期中,2)下列函数中,定义域为R的偶函数是()A.y=2xB.y=ln|x|C.y=cos xD.y=2x答案 C6.(2019届北京朝阳期中文,8)已知定义域为R的奇函数f(x)的周期为2,且x∈(0,1]时, f(x)=lo x.若函数F(x)=f(x)-sin x在区间[-3,m](m∈Z且m>-3)上至少有5个零点,则m的最小值为()A.2B.3C.4D.6答案 A7.(2018北京石景山期末,6)给定函数①y=,②y=lo(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数是()A.①④B.①②C.②③D.③④答案 C8.(2018北京东城期末,5)已知函数f(x)=,则f(x)的()A.图象关于原点对称,且在[0,+∞)上是增函数B.图象关于y轴对称,且在[0,+∞)上是增函数C.图象关于原点对称,且在[0,+∞)上是减函数D.图象关于y轴对称,且在[0,+∞)上是减函数答案 B9.(2017北京朝阳期中,2)下列函数中,既在定义域上是偶函数,又在(0,+∞)上单调递减的是()A.y=x2B.y=x+1C.y=-lg|x|D.y=-2x答案 C10.(2019届北京八中10月月考,3)下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是()A.y=lo xB.y=2x-1C.y=x2-D.y=-x3答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)11.(2018北京一七一中学期中,12)若函数g(x)=-是奇函数,则f(x)=.答案x+112.(2018北京通州一模,14)设函数f(x)=x2+acos x,a∈R,非空集合M={x|f(x)=0,x∈R}.(1)M中所有元素之和为;(2)若集合N={x|f(f(x))=0,x∈R},且M=N,则a的值是.答案(1)0(2)0三、解答题(共30分)13.(2019届北京四中期中文,18)已知实数a≠0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)有极大值32,求实数a的值.解析(1)∵f(x)=ax3-4ax2+4ax,∴f '(x)=3ax2-8ax+4a=a(3x-2)(x-2).令f '(x)=0,得x=或x=2.当a>0时,函数f(x)的单调增区间是-∞,(2,+∞);单调减区间是.当a<0时,函数f(x)的单调增区间是;单调减区间是-∞,(2,+∞).(2)∵f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32,由(1)知当x=2或时, f(x)取得极值,而f(2)=0,∴当x=时, f(x)取得极大值32,即a-=32,∴a=27.14.(2019届北京八中10月月考,15)设函数f(x)=是奇函数,a,b,c都是整数,且f(1)=3, f(2)<5.(1)求a,b,c的值;(2)求函数f(x)的值域.解析(1)由f(x)=是奇函数,得f(-x)=-f(x)对定义域内的x恒成立,则--=-,∴-bx+c=-(bx+c)对定义域内的x恒成立,即c=0(或由定义域关于原点对称得c=0).又f(1)=3, f(2)<5,∴①②由①得a=3b-1,代入②得-<0,∴0<b<,由a,b,c是整数,得b=1,a=2.(2)由(1)知, f(x)==2x+,当x<0时, f(x)在-∞-上单调递增,在-上单调递减.当x>0时, f(x)在上单调递减,在∞上单调递增.∴函数f(x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).15.(2019届北京一零一中学10月月考,16)已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时, f(x)取得极值-2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的单调区间和极大值;(3)证明:对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.解析(1)∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d,∴d=-d,即d=0(或由f(0)=0得d=0),∴f(x)=ax3+cx,则f '(x)=3ax2+c,又当x=1时, f(x)取得极值-2,-∴即解得∴f(x)=x3-3x.(2)f '(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f '(x)=0,得x=±1.当-1<x<1时, f '(x)<0,函数f(x)单调递减;当x<-1或x>1时, f '(x)>0,函数f(x)单调递增;∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为(-1,1).因此, f(x)在x=-1处取得极大值,且极大值为f(-1)=2.(3)证明:由(2)知,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,且f(x)在区间[-1,1]上的最大值为M=f(-1)=2,最小值为m=f(1)=-2,∴对任意x1,x2∈(-1,1),|f(x1)-f(x2)|<M-m=4成立.即对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.。

第二讲 函数的基本性质1.[2020四川省宜宾市模拟]下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)上是增函数的是( )A.f (x ) =sin xB.f (x ) =e x +e -xC.f (x ) =x 3+xD.f (x ) =x ln|x |2.[原创题]已知函数f (x ) =x (x -a )+b ,若函数y =f (x +1)为偶函数,且f (1) =0,则b 的值为( )A. - 2B. - 1C.1D.23.[2020湖北华师一附中月考]已知函数f (x ) ={(a - 3)x +5,x ≤1,2a x,x >1,f (x )是R 上的减函数,则a 的取值范围是( )A .(0,3)B .(0,3]C .(0,2)D .(0,2]4.[2020宁夏银川一中模拟]已知f (x ) =x 3+ln 1+x 1 - x,且f (3a -2)+f (a -1)<0,则实数a 的取值范围是( )A .(13,34)B .(-∞,14)C .(-∞,34)D .(13,1]5.[2020陕西省百校第一次联考]函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,且f (x +2)的图象关于直线x =-2对称,若f (-2)=1,则满足f (x -2)≤1的x 的取值范围是( )A.[ - 2,2]B.( - ∞, - 2]∪[2,+∞)C.( - ∞,0]∪[4,+∞)D.[0,4]6.[2020惠州市一调]已知函数f (x ) =|ln(√x 2+1−x )|,设a =f (log 30.2),b =f (3-0.2),c =f (-31.1),则( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >a >b D.c >b >a7.[2020百校联考]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )+f (2-x ) =0,则下列结论错误的是( )A.f (x )的图象关于点(1,0)对称B.f (x +2) =f (x )C.f (3-x ) =f (x -1)D.f (x -2) =f (x )8.[2019江西红色七校第一次联考]设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数,该函数在区间(-2,1]上的图象如图2-2-1所示,则f (2 018)+f (2 019) =( )图2-2-1A.2B.1C. - 1D.09.[2020南昌市测试]已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2-x )+f (x ) =0,f (0) =√3,则f (10) = .10.[2020江苏苏州初调]若y =f (x )是定义在R 上的偶函数,当x ∈[0,+∞)时,f (x ) ={sinx,x ∈[0,1),f(x - 1),x ∈[1,+∞),则f(−π6−5) = .11.[2020长春市第一次质量监测]已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数,且满足f (2+x )+f (x ) =0,当x ∈[-2,0]时,f (x ) =-x 2-2x ,则当x ∈[4,6]时,y =f (x )的最小值为 ( )A.-8B.-1C.0D.112.[2020广东七校联考]已知定义在R 上的偶函数y =f (x +2),其图象是连续的,当x >2时,函数y =f (x )是单调函数,则满足f (x ) =f (1−1x+4)的所有x 之积为( )A .3B .-3C .-39D .3913.[原创题]设增函数f (x ) ={lnx,x >1,- 1+ax x,0<x ≤1的值域为R,若不等式f (x )≥x +b 的解集为{x |c ≤x ≤e},则实数c的值为( )A.e - √e 2 - 42 B.e+√e 2 - 42 C.e±√e 2 - 42 D.1214.[2019郑州市第三次质量预测]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (-x ) =f (x ),且函数f (x )在(-∞,0)上是减函数,若a =f (-1),b =f (log 214),c =f (20.3),则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c <b <aB .a <c <bC .b <c <aD .a <b <c15.[2019武汉市模拟]函数f (x ) =x 3-3x 2+5x -1图象的对称中心为 .16.[2019广东百校联考]已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且g (0) =0,当x ≥0时,f (x )-g (x )=x 2+2x +2x +b (b 为常数),则f (-1)+g (-1) = .17.[2019广东六校联考]已知函数f (x ) =x 3+ax 2+bx 满足f (1+x )+f (1-x )+22 =0,则f (x )的单调递减区间是.第二讲 函数的基本性质1.C 选项A 中,函数f (x )=sin x 为奇函数,但在(0,+∞)上有增有减,所以A 不符合题意;选项B 中,f ( - x )=e -x +e x =f (x ),所以函数f (x )为偶函数,所以B 不符合题意;选项C 中,函数f (x )=x 3+x 为奇函数,且在R 上单调递增,所以C 符合题意;选项D 中,函数f (x )=x ln|x |为奇函数,当x >0时,f (x )=x ln x ,则f ' (x )=1+ln x ,所以函数f (x )在(0,1e)上单调递减,在(1e,+∞)上单调递增,所以D 不符合题意.故选C .2.C 解法一 由f (x +1)=(x +1)(x +1 - a )+b =x 2+(2 - a )x +1 - a +b 为偶函数,得a =2.又f (1)= - 1+b =0,所以b =1,故选C .解法二 由y =f (x +1)为偶函数,知y =f (x +1)的图象关于直线x =0对称,而y =f (x +1)的图象是由y =f (x )的图象向左平移1个单位长度得到的,因而y =f (x )的图象关于直线x =1对称,故f (x )=x (x - a )+b 图象的对称轴方程为x =a2=1,得a =2.又f (1)=0,故b =1,故选C .3.D 因为函数f (x )={(a - 3)x +5,x ≤1,2ax,x >1,f (x )是R 上的减函数,所以{a - 3<0,2a >0,(a - 3)×1+5≥2a1,解得0<a ≤2.故选D . 4.A 由1+x 1 - x>0,得 - 1<x <1,即函数f (x )的定义域为( - 1,1).因为f (x )=x 3+ln1+x1 - x=x 3+ln(x +1) - ln(1 - x ),所以函数f (x )在定义域( - 1,1)上为增函数.又f ( - x )= - x 3+ln( - x +1) - ln(1+x )= - [x 3+ln(x +1) - ln(1 - x )]= - f (x ),所以函数f (x )为奇函数,所以由不等式f (3a - 2)+f (a - 1)<0,得f (3a - 2)<f (1 - a ),所以{ - 1<3a - 2<1,- 1<1 - a <1,3a - 2<1 - a,即{13<a <1,0<a <2,a <34,得13<a <34.故选A .5.D 依题意得,函数f (x )是偶函数,则f (x - 2)≤1,即f (|x - 2|)≤f (| - 2|).由函数f (x )在[0,+∞)上单调递增得|x - 2|≤2,即 - 2≤x - 2≤2,0≤x ≤4.所以满足f (x - 2)≤1的x 的取值范围是[0,4],故选D .6.C 解法一 f (x )=|ln(√x 2+1 - x )|=|ln12|=|ln(√x 2+1+x )|=f ( - x ),所以函数f (x )是偶函数.当x >0时,f(x )=ln(√x 2+1+x ),此时函数f (x )单调递增.a =f (log 30.2)=f (log 35),b =f (3 - 0.2),c =f ( - 31.1)=f (31.1),因为31.1>log 35>3 - 0.2>0,所以c >a >b ,故选C .解法二 令g (x )=ln(√x 2+1 - x ),则g ( - x )+g (x )=ln(√x 2+1+x )+ln(√x 2+1 - x )=ln 1=0,所以g (x )为奇函数,y =f (x )=|g (x )|为偶函数.当x >0时,函数f (x )=|ln(√x 2+1 - x )|=ln(√x 2+1+x ),函数f (x )单调递增,又f (0)=ln 1=0,所以函数f (x )的大致图象如图D 2 - 2 - 1所示.图D 2 - 2 - 1- 2<log 3 0.2=log 315= - log 35< - 1,0<3 - 0.2=130.2<1, - 31.1< - 3,结合图象可知f ( - 31.1)>f (log 3 0.2)>f (3 - 0.2),即c >a >b ,故选C .7.C 由f (x )+f (2 - x )=0得f (x )的图象关于点(1,0)对称,选项A 正确;用 - x 代换f (x )+f (2 - x )=0中的x ,得f ( - x )+f (2+x )=0,所以f (x +2)=- f ( - x )=f (x ),选项B 正确;用x - 1代换f (x )+f (2 - x )=0中的x ,得f (3 - x )= - f (x - 1),选项C 错误;用x - 2代换f (x +2)=f (x )中的x ,得f (x - 2)= f (x ),选项D 正确.8.C 因为函数f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数,所以f (2 018)=f (2 018 - 673×3)=f ( - 1),f (2 019)=f (2 019 - 673×3)=f (0),由题中图象知f ( - 1)= - 1,f (0)=0,所以f (2 018)+f (2 019)=f ( - 1)+f (0)= - 1.故选C . 9. - √3 因为函数f (x )是偶函数,所以f (2 - x )= - f (x )= - f ( - x ),所以f (x +2)= - f (x )=f (2 - x )=f (x - 2),所以f (x +4)=f (x ),所以函数f (x )的周期为4,则f (10)=f (2)= - f (0)= - √3.10.12因为y =f (x )是定义在R 上的偶函数,所以f ( - π6- 5)=f (π6+5).因为π6+5>1,π6+4>1,π6+3>1,π6+2>1,π6+1>1,所以f (π6+5)=f (π6+4)=f (π6+3)=f (π6+2)=f (π6+1)=f (π6).又0<π6<1,所以f (π6)=sin π6=12.故f ( - π6 - 5)=12.11.B 由f (2+x )+f (x )=0,得f (4+x )+f (2+x )=0,以上两式相减,得f (x )=f (4+x ),所以函数f (x )是以4为周期的周期函数.设x ∈[0,2],则 - x ∈[ - 2,0],f ( - x )= - ( - x )2 - 2( - x )= - x 2+2x.因为函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (x )= - f ( - x )=x 2 - 2x =(x - 1)2 - 1,当x =1时,f (x )取得最小值 - 1.由周期函数的性质知,当x ∈[4,6]时,y =f (x )的最小值是 - 1,故选B .12.D 因为函数y =f (x +2)是偶函数,所以直线x =0是其图象的对称轴,直线x =2也是函数y =f (x )图象的对称轴.因为f (x )=f (4 - x )=f (1 - 1x+4),所以x =1 -1x+4或4 - x =1 -1x+4.由x =1 -1x+4,得x 2+3x - 3=0,Δ1>0,设方程的两根分别为x 1,x 2,则x 1x 2= - 3;由4 - x =1 -1x+4,得x 2+x - 13=0,Δ2>0,设方程的两根分别为x 3,x 4,则x 3x 4= - 13.所以x 1x 2x 3x 4=39.故选D .13.A 当x >1时,f (x )为增函数,且f (x )∈(0,+∞), 当0<x ≤1时,- 1+ax x=a - 1x≤a - 1,即f (x )∈( - ∞,a - 1].因为f (x )为增函数,所以a - 1≤0,则a ≤1,又函数f (x )的值域为R,所以a - 1≥0,即a ≥1,从而a =1,函数f (x )={lnx,x >1, - 1+x x,0<x ≤1.因为不等式f (x )≥x +b 的解集为{x |c ≤x ≤e},易知ln x =x +b 的解为x =e,所以b =1 - e,当x =1时,x +b =1+1 - e=2 - e<0,故0<c <1.令- 1+x x=x +1 - e,得x 2 - e x +1=0,从而x =e - √e 2 - 42,则c =e - √e 2 - 42,故选A .14.B 因为函数f (x )在R 上满足f ( - x )=f (x ),所以函数f (x )为偶函数.由函数f (x )在( - ∞,0)上是减函数知函数f (x )在(0,+∞)上是增函数.又a =f ( - 1)=f (1),b =f (log 214)=f ( - 2)=f (2),c =f (20.3),1<20.3<2,所以a <c <b.故选B .15.(1,2) 由题意设图象的对称中心为(a ,b ),则2b =f (a +x )+f (a - x )对任意x 均成立,代入函数解析式得,2b =(a +x )3 - 3(a +x )2+5(a +x ) - 1+(a - x )3 - 3(a - x )2+5(a - x ) - 1=2a 3+6ax 2 - 6a 2 - 6x 2+10a - 2=2a 3 -6a 2+10a - 2+(6a - 6)x 2对任意x 均成立,所以6a - 6=0,且2a 3 - 6a 2+10a - 2=2b ,即a =1,b =2,即f (x )的图象的对称中心为(1,2).16. - 4 由f (x )为定义在R 上的奇函数可知f (0)=0,又g (0)=0,所以f (0) - g (0)=20+b =0,得b = - 1,所以f (1) - g (1)=4,于是f ( - 1)+g ( - 1)= - f (1)+g (1)= - [f (1) - g (1)]= - 4.17.( - 1,3)(注意:写闭区间也给分) 函数f (x )=x 3+ax 2+bx 满足f (1+x )+f (1 - x )+22=0,即(1+x )3+a (1+x )2+b (1+x )+(1 - x )3+a (1 - x )2+b (1 - x )+22=0,整理得(2a +6)x 2+2a +2b +24=0,即{2a +6=0,2a +2b +24=0,解得{a = - 3,b = - 9,所以f (x )=x 3 - 3x 2 - 9x ,f ' (x )=3x 2 - 6x - 9,令f ' (x )<0,解得 - 1<x <3,故函数f (x )的单调递减区间是( - 1,3).。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第08讲函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精练）【A组在基础中考查功底】．．．．【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性，再代入计算)π和2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值即可得到正确答案【详解】因为()()2cos cos sin f x x x x x f x -=+=，且函数定义域为R ，关于原点对称，所以是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.【详解】因为()1f x -为偶函数，所以()1f x -的图像关于y 轴对称，则()f x 的图像关于直线=1x -对称．因为()f x 在[)1,-+∞上单调递增，所以()f x 在(],1-∞-上单调递减．因为()()127(5)xf f f -<-=，所以7125x -<-<，解得3x <．故选：A.11．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）设()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，又当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则()25.5f 的值为______.【答案】1【分析】由已知可得函数的周期为4，然后根据函数解析式结合周期性奇偶性可求得结果.【详解】因为()()2f x f x +=-，所以()()42f x f x +=-+，所以()()4f x f x +=，所以()y f x =的周期为4，因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，所以()()25.546 1.5f f =⨯+()1.5f =()0.52f =-+()0.5f =--()0.5f =20.51=⨯=，故答案为：112．（2023·全国·高三对口高考）已知函数()y f x =，x ∈R ，()y f x =是奇函数，且当0x ≥【B 组在综合中考查能力】A ．()sin 2e e x xx xf x -=-C ．()cos 2e ex xx xf x -=-的取值范围是（1)=12．（2023·河北·高三学业考试）已知二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=且()01f =．(1)求()f x 的解析式；(2)若方程()f x ax =，[]2,3x ∈时有唯一一个零点，且不是重根，求a 的取值范围；(3)当[]1,1x ∈-时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的范围．【答案】(1)()21f x x x =-+【C 组在创新中考查思维】一、单选题1．（2023·辽宁·校联考二模）设函数()f x 在(),-∞+∞上满足()()22f x f x -=+，()()55f x f x -=+，且在闭区间[]0,5上只有()()130f f ==，则方程()0f x =在闭区间[]2020,2020-上的根的个数（）．A ．1348B ．1347C ．1346D ．13455．（2023·全国·模拟预测）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足在。

2023年高考数学试题分类解析【第三章函数】第二节函数的基本性质1.（2023全国甲卷理科13，文科14）若()21sin 2y x ax x π⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则a =.【分析】利用偶函数的性质得到22f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解.【解析】因为()()()221sin 1cos 2y f x x ax x x ax x π⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以22f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221cos 1cos 222222a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2211222a ππ⎛⎫⎛⎫π=+--=π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故a =2，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++，所以()()()()221cos 1cos f x x x x x f x -=-++-=++=，又定义域为R ，故()f x 为偶函数，所以2a =.故答案为2.2.（2023全国乙卷理科4，文科5）已知()e e 1xax x f x =-是偶函数，则a =（）A.2- B.1- C.1D.2【分析】根据偶函数的定义运算求解.【解析】因为()e e 1xax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x xx x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a xx --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选D.3.（2023新高考I 卷11）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）A.()00f =B.()10f =C.()f x 是偶函数D.0x =为()f x 的极小值点【解析】选项A，令0x y ==，则()00f =，故A 正确；选项B，令1x y ==，则()()()111f f f =+，所以()10f =，故B 正确；选项C，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，因为()10f =，所以()10f -=，令1y =-，则()()()()21f x f x x f f x -=+-=，所以()f x 是偶函数，故C 正确；选项D，对式子两边同时除以220x y ≠，得到()()()2222f xy f x f y x yxy=+，故可以设()20,0ln ,0x f x x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩，当0x >时，()2ln f x x x =，()()212ln 2ln 1f x x x x x x x'=+⋅=+，令()0f x '>，解得12ex ->，令()0f x '<，解得120e x -<<，故()f x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.又()f x 是偶函数，所以()f x 在12e ,0-⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在12,e -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减.()f x 的图像如图所示，所以0x =为()f x 的极大值点，故D 错误.故选ABC.4.（2023新高考II 卷4）若()()21ln21x f x x a x -=++为偶函数，则a =（）A.1-B.0C.12D.1【解析】()()2111ln ,,,2122x f x x a x x -⎛⎫⎛⎫=+∈-∞-+∞ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()2121lnln 2121x x f x x a x a x x --+-=-+=-+-+-.因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x =-，即()()()212121lnln ln 212121x x x x a x a x a x x x -+-+=-+=-+-+，所以有x a x a +=-，得0a =.故选B.5.（2023北京卷4）下列函数中，在区间()0,+∞上单调递增的是（）A.()ln f x x=- B.()12xf x =C.()1f x x=-D.()13x f x -=【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D 即可.【解析】对于A，因为ln y x =在()0,+∞上单调递增，y x =-在()0,+∞上单调递减，所以()ln f x x =-在()0,+∞上单调递减，故A 错误；对于B，因为2x y =在()0,+∞上单调递增，1y x=在()0,+∞上单调递减，所以()12xf x =在()0,+∞上单调递减，故B 错误；对于C，因为1y x =在()0,+∞上单调递减，y x =-在()0,+∞上单调递减，所以()1f x x=-在()0,+∞上单调递增，故C 正确；对于D，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,+∞上不单调，D 错误.故选C.6.（2023北京卷15）设0a >，函数()2,1,x x a f x a x a x a+<-⎧=->⎪⎩ ，给出下列四个结论：①()f x 在区间()1,a -+∞上单调递减；②当1a 时，()f x 存在最大值；③设()()()111,M x f x x a ，()()()222,N x f x x a >，则1MN >；④设()()()333,P x f x x a <-，()()()444,Q x f x x a - ，若PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.其中所有正确结论的序号是.【分析】先分析()f x 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取12a =，结合图像即可判断；对于②，分段讨论()f x 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN 的范围；对于④，取45a =，结合图像可知此时PQ 存在最小值，从而得以判断.【解析】依题意，0a >，当x a <-时，()2f x x =+，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当a x a -≤≤时，()f x =，易知其图像是，圆心为()0,0，半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时，()1f x =-，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取12a =，则()f x 的图像如下，显然，当(1,)x a ∈-+∞，即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故①错误；对于②，当1a ≥时，当x a <-时，()221f x x a =+<-+≤；当a x a -≤≤时，()f x =显然取得最大值a ；当x a >时，()112f x =-<-≤-，综上：()f x 取得最大值a ，故②正确；对于③，结合图像，易知在1x a =，2x a >且接近于x a =处，()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小，当1x a =时，()10y f x ==，当2x a >且接近于x a =处，()221y f x =<，此时，1211MN y y >->+>，故③正确；对于④，取45a =，则()f x 的图像如下，因为()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-，结合图像可知，要使PQ 取得最小值，则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，点Q 在()4455f x x ⎫=-≤≤⎪⎭，同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a ，此时，因为()425f x y x x ⎛⎫==+<- ⎪⎝⎭的斜率为1，则1OP k =-，故直线OP 的方程为y x =-，联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，则()1,1P -，显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，满足PQ 取得最小值，即45a =也满足PQ 存在最小值，故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤⎥⎝⎦，故④错误.故答案为：②③.【评注】本题解决的关键是分析得()f x 的图像，特别是当a x a -≤≤时，()f x =圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.第三节幂函数1.（2023天津卷3）若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A．c a b >>B．c b a >>C．a b c>>D．b a c>>【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由 1.01x y =在R 上单调递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选D.第四节指数与指数函数1.（2023天津卷3）若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A．c a b >>B．c b a >>C．a b c>>D．b a c>>【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由 1.01x y =在R 上单调递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选D.2.（2023全国甲卷文科11）已知函数()()21e x f x --=.记2a f ⎫=⎪⎪⎝⎭，2b f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2c f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）A.b c a>> B.b a c>> C.c b a>> D.c a b>>【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【解析】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，因为4112⎛-= ⎝⎭，而22491670+-=+-=->，所以1122->-由二次函数性质知())22g g <，因为4112222⎛---=- ⎝⎭，而22481682)0+-=+-=-=<，即1122-<-，所以()22g g >，综上，22g g g <<，又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>.故选A.3.（2023新高考I 卷4）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.[)2,0- C.(]0,2 D.[)2,+∞【解析】令()t x x a =-，要使得()()2x x a f x -=在区间()0,1单调递减，需要满足()t x x a =-在区间()0,1单调递减，所以12a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选D.4.（2023北京卷11）已知函数()24log xf x x =+，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭.【分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答.【解析】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为1.第五节对数与对数函数1.（2023北京卷11）已知函数()24log xf x x =+，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭.【分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答.【解析】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为1.2.（2023新高考I 卷10）噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级20lgp pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则（）A.12p p ≥ B.2310p p > C.30100p p = D.12100p p ≤【解析】选项A，12121120000220lg 20lg 20lg lg 20lg 0p p p p pL L p p p p p ⎛⎫-=⨯-⨯=⨯-=⨯≥ ⎪⎝⎭，所以12p p ≥，所以A 正确；选项B，223320lg10p L L p -=⨯≥，所以231lg 2p p ≥，所以23p p ≥B 错误；选项C，33020lg40p L p =⨯=，所以30lg 2p p =，所以30100pp =，故C 正确；选项D，112220lg 905040p L L p -=⨯≤-=，所以12lg 2p p ≤，所以12100pp ≤，故D 正确.故选ACD.第六节函数的图像及应用1.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x 为函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x =与1122y x =-交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】因为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin 2.f x x =-而1122y x =-过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x 与1122y x =-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.2.（2023北京卷15）设0a >，函数()2,1,x x af x a x a x a+<-⎧=->⎪⎩ ，给出下列四个结论：①()f x 在区间()1,a -+∞上单调递减；②当1a 时，()f x 存在最大值；③设()()()111,M x f x x a ，()()()222,N x f x x a >，则1MN >；④设()()()333,P x f x x a <-，()()()444,Q x f x x a - ，若PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.其中所有正确结论的序号是.【分析】先分析()f x 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取12a =，结合图像即可判断；对于②，分段讨论()f x 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN 的范围；对于④，取45a =，结合图像可知此时PQ 存在最小值，从而得以判断.【解析】依题意，0a >，当x a <-时，()2f x x =+，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当a x a -≤≤时，()f x =，易知其图像是，圆心为()0,0，半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时，()1f x =-，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取12a =，则()f x 的图像如下，显然，当(1,)x a ∈-+∞，即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故①错误；对于②，当1a ≥时，当x a <-时，()221f x x a =+<-+≤；当a x a -≤≤时，()f x =显然取得最大值a ；当x a >时，()112f x =-<-≤-，综上：()f x 取得最大值a ，故②正确；对于③，结合图像，易知在1x a =，2x a >且接近于x a =处，()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小，当1x a =时，()10y f x ==，当2x a >且接近于x a =处，()221y f x =<，此时，1211MN y y >->+>，故③正确；对于④，取45a =，则()f x 的图像如下，因为()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-，结合图像可知，要使PQ 取得最小值，则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，点Q 在()4455f x x ⎫=-≤≤⎪⎭，同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a ，此时，因为()425f x y x x ⎛⎫==+<- ⎪⎝⎭的斜率为1，则1OP k =-，故直线OP 的方程为y x =-，联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，则()1,1P -，显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，满足PQ 取得最小值，即45a =也满足PQ 存在最小值，故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故④错误.故答案为：②③.【评注】本题解决的关键是分析得()f x 的图像，特别是当a x a -≤≤时，()f x =圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.3.（2023天津卷4）函数()f x 的图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）A．()25e e2x xx--+B．25sin1xx+【分析】由图知函数为偶函数，先判断函数的奇偶性排除选项；再判断函数在选项，即得答案.【解析】由图知：函数图象关于第七节函数与方程1.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x为函数cos26y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x=与1122y x=-交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】因为函数πcos26y x⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin2.f x x=-而1122y x=-过10,2⎛⎫-⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x与1122y x=-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x=-==，即3π3π7π,,444x x x=-==处()f x与1122y x=-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.。

第二节函数的基本性质函数的奇偶性考向聚焦函数的奇偶性是高考的一个重点内容,考查角度有三个:一是判断具体函数的奇偶性;二是已知函数(解析式中含有参数)的奇偶性,求参数的值;三是与函数的单调性、对称性、周期性等结合求参数的值或取值范围.通常以选择题、填空题的形式考查,为基础题和中档题,所占分值在4分左右.在高考试卷中函数的奇偶性持续考查1.(2011年广东卷,理4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )(A)f(x)+|g(x)|是偶函数(B)f(x)-|g(x)|是奇函数(C)|f(x)|+g(x)是偶函数(D)|f(x)|-g(x)是奇函数解析:令h(x)=f(x)+|g(x)|,∴h(-x)=f(-x)+|g(-x)|,又f(x)为R上的偶函数,g(x)为R上的奇函数,故f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),∴h(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|=h(x),故选A.答案:A.2.(2011年安徽卷,理3)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( )(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3解析:法一:由f(x)是定义在R上的奇函数,故f(1)=-f(-1)=-(2+1)=-3.故选A.法二:设x>0,则-x<0,于是f(-x)=2(-x)2+x=2x2+x,由于f(x)是奇函数,所以-f(x)=2x2+x,即f(x)=-2x2-x(x>0),因此f(1)=-2·12-1=-3,故选A.答案:A.3.(2010年新课标全国卷,理8)设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( )(A){x|x<-2或x>4} (B){x|x<0或x>4}(C){x|x<0或x>6} (D){x|x<-2或x>2}解析:根据f(x)=x3-8(x≥0)可以画出如图(1)的图象,又因为f(x)为偶函数可得图(2),y=f(x)向右平移2个单位可得y=f(x-2)的图象,如图(3),由图(3)易知f(x-2)>0时,可得x<0或x>4,故选B.答案:B.4.(2012年上海数学,理9,4分)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)= .解析:设h(x)=f(x)+x2,据题意知,h(-x)+h(x)=0,即f(-x)+f(x)=-2x2,所以f(-1)+f(1)=-2,又f(1)=1,所以f(-1)=-3,因此g(-1)=f(-1)+2=-1.答案:-15.(2011年浙江卷,理11)若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a= .解析:法一:∵f(x)=x2-|x+a|为偶函数,∴f(-x)=f(x).∴(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|对x∈R恒成立,∴|a-x|=|a+x|对x∈R恒成立,∴a=0.法二:由于f(x)是偶函数,所以必有f(-1)=f(1),即1-|a-1|=1-|a+1|,所以|a-1|=|a+1|,两边平方可求得a=0,即实数a=0.答案:0函数的单调性考向聚焦函数单调性是高考的热点内容,通常从以下几个方面进行考查:一是求具体函数的单调区间或判断增减性;二是单调性的应用,例如根据单调性比较大小、求函数的最值、判断函数零点个数等;三是与函数的奇偶性、周期性等结合起来进行考查,且主要涉及抽象函数,有一定的综合性.高考试卷中一般是以选择题、填空题的形式出现,为基础题和中档题,所占分值5分左右,并且持续重点考查6.(2012年广东卷,理4,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )(A)y=ln(x+2) (B)y=-(C)y=()x(D)y=x+解析:y=ln(x+2),定义域为(-2,+∞),在(0,+∞)上递增,y=-,定义域为[-1,+∞),在(0,+∞)上递减,y=()x,定义域为R,在(0,+∞)上递减,y=x+,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增.答案:A.7.(2012年陕西卷,理2,5分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )(A)y=x+1 (B)y=-x3(C)y= (D)y=x|x|解析:y=x+1是非奇非偶函数但为增函数,y=-x3是奇函数但为减函数,y=是奇函数,定义域上不单调,y=x|x|为奇函数也为增函数.答案:D.8.(2012年浙江卷,理9,5分)设a>0,b>0,( )(A)若2a+2a=2b+3b,则a>b(B)若2a+2a=2b+3b,则a<b(C)若2a-2a=2b-3b,则a>b(D)若2a-2a=2b-3b,则a<b解析:设函数f(x)=2x+2x,易知函数f(x)=2x+2x在(0,+∞)是增函数,又因为a>0,b>0,则当2a+2a=2b+3b时,一定有2a+2a>2b+2b,此时a>b,故选A.答案:A.本题主要考查函数的单调性的应用.不等式等基础知识.构造函数f(x)=2x+2x,研究它的单调性是求解的关键.9.(2011年新课标全国卷,理2)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( )(A)y=x3(B)y=|x|+1(C)y=-x2+1 (D)y=2-|x|解析:y=|x|+1,y=-x2+1,y=2-|x|是偶函数.其中y=|x|+1在(0,+∞)单调递增.故选B.答案:B.10.(2010年安徽卷,理9)动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间t=0时,点A的坐标是(,),则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是( )(A)[0,1] (B)[1,7](C)[7,12] (D)[0,1]和[7,12]解析:如图,数形结合.由题意知T=12秒,则动点A转过30°圆心角用时1秒,又t=0时A(,),∴∠AOD=60°,由图形看出,由A到B与由C到A时,y为t的增函数,∴所求单调增区间为[0,1]和[7,12].故选D.答案:D.11.(2012年上海数学,理7,4分)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数).若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是.解析:记u=|x-a|,因为函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,又y=e u单调递增,所以函数u(x)在[1,+∞)上单调递增,由其图象知,a≤1.答案:(-∞,1]12.(2011年江苏卷,2)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是.解析:由2x+1>0得x>-,∴f(x)的定义域为(-,+∞),由复合函数的单调性知f(x)的单调增区间为(-,+∞). 答案:(-,+∞)函数的周期性及性质的综合应用考向聚焦函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性的综合是高考的一个重点内容,主要涉及对一些抽象函数的考查,有求值问题,也有对函数单调性、对称性的判断以及其他方面的一些性质的研究等.对函数性质的综合考查,一般以选择题或填空题的形式出现,具有一定的难度,往往在选择题或填空题较靠后的位置,所占分值为5分左右,并且在高考试卷中常考常新备考指津复习中要注意以下几个方面的训练:一是掌握给出函数周期的一些基本形式,能够根据题目条件迅速获得函数周期;二是明确函数的奇偶性、对称性与函数周期性之间的关系;三是强化借助函数图象研究函数性质的方法与技巧的训练13.(2012年福建卷,理7,5分)设函数D(x)=则下列结论错误的是( )(A)D(x)的值域为{0,1} (B)D(x)是偶函数(C)D(x)不是周期函数 (D)D(x)不是单调函数解析:本小题主要考查分段函数及函数性质,对A,由于函数值只有0和1,所以值域为{0,1};对B,若x为有理数(或无理数),则-x也是有理数(或无理数),∴f(-x)=f(x)=1(或f(-x)=f(x)=0).∴函数为偶函数;对C,不妨取T=2,则x+2不改变x的属性.∴f(x+2)=f(x),即f(x)为周期函数;对D,显然不符合单调性定义.故选C.答案:C.14.(2012年重庆卷,理7,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )(A)既不充分也不必要的条件(B)充分而不必要的条件(C)必要而不充分的条件(D)充要条件解析:法一:根据函数的性质,当f(x)在[0,1]上递增时,可得f(x)的图象如下:由图象知f(x)在[0,1]上递增时,f(x)在[3,4]上递减,反之当f(x)在[3,4]上递减时,f(x)在[0,1]上递增.法二:因f(x)在[0,1]递增,f(x) 是偶函数,故f(x)在[-1,0]上递减,任取x1、x2∈[-1,0]且x1<x2,则f(x1)>f(x2),又f(x)的周期是2,故f(x1+4)>f(x2+4)且x1+4,x2+4∈[3,4],所以f(x)在[3,4]上递减,同理可得,f(x)在[3,4]上递减时,f(x)在[-1,0]上递减,故f(x)在[0,1]上递增.答案:D.15.(2011年山东卷,理10)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9解析:当x∈[0,2)时,令f(x)=x3-x=0,即x(x2-1)=0,∴x1=0,x2=1.∵T=2,∴f(0)=f(0+2)=f(0+4)=f(0+6)=0.f(1)=f(1+2)=f(1+4)=0,即在区间[0,6]上函数图象与x轴的交点共7个,故选B.答案:B.本小题考查对周期函数的理解与应用,考查三次方程根的求法、转化与化归思想及推理能力,难度较小.求解本题的关键是将f(x)=x3-x进行因式分解,结合周期函数的性质求出f(x)=0在区间[0,6]上的根,然后将方程f(x)=0的根转化为函数图象与x轴的交点问题.16.(2010年安徽卷,理4)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=( )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由f(x)是R上周期为5的奇函数知f(3)=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,∴f(3)-f(4)=-1,故选A.答案:A.17.(2012年江苏数学,10,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f()=f(),则a+3b的值为.解析:本题考查函数的周期性、分段函数的解析式.由题意f()=f()=f(-),所以=-a+1,∴a+b=-1①又f(-1)=f(1),∴b=-2a②解①②得a=2,b=-4,∴a+3b=-10.答案:-1018.(2010年高考重庆卷,理15)已知函数f(x)满足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y ∈R),则f(2010)= .解析:取x=1,y=0得f(0)=.取x=n,y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1), 同理f(n+1)=f(n+2)+f(n),联立得f(n+2)= -f(n-1) ,所以T=6 ,故f(2010)=f(0)=.答案:。

3.2 函数的性质【典例精讲】考法一 性质法求单调性（单调区间）【例1】（2020·全国高一课时练习）函数6y x=的减区间是（ ） A ．[0,)+∞B ．(,0]-∞C ．(,0)-∞，(0,)+∞D ．(,0)(0,)-∞+∞【答案】C 【解析】由图象知单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞【一隅三反】1.函数()2f x x 2x 3=--的单调递减区间为( )A ．(),1∞-B ．(),2∞-C ．()1,∞D ．()2,∞+【答案】A 【解析】函数()2f x x 2x 3=--的二次项的系数大于零，∴抛物线的开口向上，二次函数的对称轴是x 1=，∴函数的单调递减区间是(),1∞- 故选：A ． 2．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( ) A. y ＝1 B. y ＝－1x＋2 C. y ＝－x 2－2x －1 D. y ＝1＋x 2 【答案】B【解析】y=1 在区间（－∞,0）上不增不减; y=－1x+2在区间（－∞,0）上单调递增; y=－x 2－2x －1在区间（－∞,0）上有增有减; y=1+x 2在区间（－∞,0）上单调递减;所以选B. 3．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2，4)上是( ) A. 递减函数 B. 递增函数 C. 先递减再递增 D. 先递增再递减 【答案】C【解析】由于二次函数的开口向上，并且对称轴方程为x=3,所以函数在(2,4)上是先减后增.考法二 定义法求单调性（单调区间）单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“”【例2】（2020·全国高一课时练习）求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数. 【答案】证明见详解.【解析】证明：在区间[)1,+∞上任取12x x <， 则()()12121211f x f x x x x x -=-+-()121211x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()1212121x x x x x x -=-⨯ 因为12x x <，故可得120x x -<；又因为121,1x x >>，故可得121211,0x x x x ->>. 故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.故()f x 在区间[)1,+∞上单调递增.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）证明()f x =.【答案】证明见解析； 【解析】证明：函数()f x =[)0,+∞设[)12,0,x x ∀∈+∞且12x x <，()()12f x f x -===因为120x x ≤<，所以120x x -<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x < 所以()f x =[)0,+∞上是增函数.2．（2020·浙江高一课时练习）用定义法证明函数()f x x =在定义域内是减函数．【答案】见解析【解析】设在R 上任取两个数x 1，x 2，且x 1>x 2；则f （x 1）–f （x 2）–x 1–2）+（x 2–x 1）x x x x -++（x 2–x 1）=（x 1–x 2））∵x 1>x 2，∴x 1–x 2>0–1<0，则f （x 1）–f （x 2）<0，∴函数()f x x =在R 上是减函数．考法三 图像法求单调性（单调区间）【例3】（2020·全国高一）求下列函数的单调区间． （1）f （x ）＝3|x |； （2）f （x ）＝|x 2＋2x －3|．【答案】（1）减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)；（2）增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．【解析】（1）由题意，函数()3,033,0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，图象如图所示，所以函数f （x ）的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)．（2）令()2223(1)4g x x x x =+-=+-，作出()g x 的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方， 即可得到函数()223f x x x =+-的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．【一隅三反】1．（2020·全国高一专题练习）求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．（1）f （x ）＝－1x； （2）f （x ）＝21,15,1x x x x +≥⎧⎨-<⎩（3）f （x ）＝－x 2＋2|x |＋3.【答案】（1）单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；（2）单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f （x ）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；（3）单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f （x ）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数． 【解析】（1）函数f （x ）＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)， 其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．（2）当x ≥1时，f （x ）是增函数，当x <1时，f （x ）是减函数， 所以f （x ）的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f （x ）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．（3）因为f （x ）＝－x 2＋2|x |＋3＝2223,023,0x x x x x x ⎧-++≥⎨--+<⎩根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f （x ）的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)． f （x ）在(－∞，－1]，[0，1)上是增函数，在(－1，0)，[1，＋∞)上是减函数．考法四 利用单调性求参数【例4】（1）（2020·浙江高一课时练习）若函数()22f x x ax =-+与()1ag x x =+在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围 （ ） A ．()()1,00,1- B ．()(]1,00,1- C ．()0,1 D ．(]0,1（2）（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知奇函数()f x 是定义域[]22-,上的减函数，若()()21430f a f a ++->，求实数a 的取值范围 .【答案】（1）D （2）11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【解析】对于，开口向下，对称轴为x=a 若函数在区间[]1,2上都是减函数，则区间[]1,2在对称轴的右侧，所以可得：a<=1；对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像：此时我们可以判断，当a>0时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故a 的取值范围是(0,1]（2）由()()21430f a f a ++->，得()()2143f a f a +>--，又()f x 为奇函数，得()()4334f a f a --=-，∴()()2134f a f a +>-，又()f x 是定义域[]22-,上的减函数，所以2343421212a a a a ≥-⎧⎪->+⎨⎪+≥-⎩， 所以141332a a a ⎧≥⎪⎪⎪<⎨⎪⎪≥-⎪⎩，所以实数a 的取值范围为11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【一隅三反】1．（2020·开鲁县第一中学高二期末（文））函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数．则（ ） A ．12m >B ．12m < C ．12m >-D ．12m <-【答案】B【解析】根据题意，函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数，则有210m -＜，解可得12m <，故选B ．2．（2020·浙江高一课时练习）已知22(2)5y x a x =+-+ 在区间(4,)+∞ 上是增函数，则a 的范围是（ ）A ．2a ≤-B ．2a ≥-C ．6a ≥-D ．6a ≤-【答案】B【解析】∵函数f （x ）＝x 2+2（a ﹣2）x +5的图象是开口方向朝上，以x ＝2﹣a 为对称轴的抛物线， 若函数f （x ）＝x 2+2（a ﹣2）x +5在区间[4，+∞）上是增函数，则2﹣a ≤4，解得a ≥﹣2．故选：B ． 3．（2020·全国高一课时练习）若函数()(31)4,1,1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以3100314a a a a a-<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，解得1183a ≤<.故选：A.考法五 奇偶性的判断【例5】（2020·全国高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．（1）f (x )＝2x ＋1x； （2）f (x )＝2－|x |； （3）f (x ) （4）f (x )＝1x x -. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）非奇非偶函数. 【解析】（1）函数的定义域为{}0x x ≠，由()()1122⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭f x x x f x x x ， 所以函数()f x 为奇函数（2）函数的定义域为R 由()()22-=--=-=f x x x f x 所以函数()f x 为偶函数（3）由2210110x x x ⎧-≥⇒=±⎨-≥⎩，所以函数的定义域为{}1,1-又()()110f f -==，所以函数()f x 既是奇函数又是偶函数 （4）由101x x -≠⇒≠，所以函数的定义域为{}1x x ≠ 因为定义域不关于原点对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数.【一隅三反】1（2020·全国）判断下列函数的奇偶性:(1)32()1x x f x x -=-;(2)31()f x x x =-;(3)23()f x x x =-;(4)()|2||2|f x x x =++-.【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数.(2)奇函数.(3)既不是奇函数也不是偶函数.(4)偶函数.【解析】(1)函数32()1x x f x x -=-的定义域为{|R x x ∈且1x ≠},定义域不关于原点对称,∴该函数既不是奇函数也不是偶函数. (2) 31()f x x x=-的定义域是(,0)(0,)-∞+∞. 当(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞时,显然,(,0)(0,)x -∈-∞⋃+∞.333111()()()()f x x x x f x x x x ⎛⎫-=--=-+=--=- ⎪-⎝⎭,31()f x x x ∴=-是奇函数. (3)23()f x x x =-的定义域为R .23(1)(1)(1)112f -=---=+=,23(1)110f =-=,(1)(1)f f ∴-≠. ()f x ∴不是偶函数.又(1)(1)f f -≠-,()f x ∴不是奇函数.23()f x x x ∴=-既不是奇函数也不是偶函数.(4) ()|2||2|f x x x =++-的定义域为R .()|2||2||2||2|()f x x x x x f x -=-++--=-++=, ()|2||2|f x x x ∴=++-是偶函数.2．（2020·浙江高一课时练习）判断下列函数的奇偶性： （1）()f x =．（2）()f x ．（3）2()2||1,[1,1]f x x x x =-+∈-．（4）22(0)()(0).x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩，【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）既是奇函数又是偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数. 【解析】（1）由10,10x x -⎧⎨-⎩得1x =，∴函数()f x 的定义域为{1}，不关于原点对称．故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（2）由2210,10x x ⎧-⎨-⎩得21x =，即1x =±． ∴函数()f x 的定义域是{1,1}-，关于原点对称． 又()0f x =，∴()f x 既是奇函数又是偶函数． （3）函数的定义域为[1,1]-，关于原点对称．又∵22()()2||12||1()f x x x x x f x -=---+=-+=， ∴()f x 是偶函数．（4）当0x <时，0x ->，则()22()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()f x x x x x f x -=--=-=-综上，对(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，都有()()f x f x -=-． ∴()f x 为奇函数．考法六 利用奇偶性求解析式【例6】（1）（2020·陕西渭滨.高二期末（文））已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，2()321f x x x =+-，则当0x <时，()f x = 。

第二节函数的基本性质函数的奇偶性1.(2012年全国大纲卷,文3,5分)若函数f(x)=sin (φ∈[0,2π])是偶函数,则φ等于( )(A)(B)(C)(D)解析:法一:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=sin=sin 恒成立,即sin cos +cos sin=sin cos +cos sin 恒成立,所以cos =0,=+kπ(k∈Z),φ=+3kπ(k∈Z),又φ∈[0,2π],∴φ=,故选C.法二:∵f(x)=sin 是偶函数,∴f(x)=cos 或f(x)=-cos ,故=+kπ(k∈Z),φ=+3kπ(k∈Z),又φ∈[0,2π],∴φ=,故选C.答案:C.本题主要考查两角和差公式、偶函数的概念,掌握两角和差公式、偶函数的概念是解决此类问题的关键,本题也可以利用诱导公式求解.2.(2012年广东卷,文4,5分)下列函数为偶函数的是( )(A)y=sin x (B)y=x3(C)y=e x(D)y=ln解析:本小题主要考查函数的奇偶性,y=sin x为奇函数,y=x3为奇函数,y=e x为非奇非偶函数,y=ln 定义域为R,满足f(-x)=f(x),为偶函数.答案:D.3.(2012年陕西卷,文2,5分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )(A)y=x+1 (B)y=-x3(C)y=(D)y=x|x|解析:A是增函数不是奇函数,错误,B和C都不是定义域内的增函数排除,只有D正确,因此选D.答案:D.4.(2012年天津卷,文6,5分)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( )(A)y=cos 2x,x∈R (B)y=log2|x|,x∈R且x≠0(C)y=,x∈R (D)y=+1,x∈R解析:∵y=及y=x3+1均不是偶函数,故C、D不正确,又∵1<x<2时,y=log2|x|=log2x单调递增,故B正确.故选B.答案:B.题目考查函数的奇偶性、单调性,涉及函数分别与三角函数、对数函数、指数函数、幂函数有关,看似较复杂,实则难度中等,只需适当排除,再作判断即可.5.(2011年辽宁卷,文6)若函数f(x)=为奇函数,则a等于( )(A)(B)(C)(D)1解析:法一:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴=-,即(2x-1)(x+a)=(2x+1)(x-a)恒成立,整理得(2a-1)x=0,∴必须有2a-1=0,∴a=.故选A.法二:由于函数f(x)是奇函数,所以必有f(-1)=-f(1),即=-,即1+a=3(1-a),解得a=,故选A.答案:A.6.(2010年广东卷,文3)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则( )(A)f(x)与g(x)均为偶函数(B)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数(C)f(x)与g(x)均为奇函数(D)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数解析:∵f(-x)=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x),∴f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,故选D.答案:D.7.(2012年上海数学,文9,4分)已知y=f(x)是奇函数,若g(x)=f(x)+2且g(1)=1,则g(-1)= .解析:∵g(x)=f(x)+2,g(1)=1,∴1=f(1)+2,∴f(1)=-1,又∵f(x)是奇函数,∴f(-1)=1.令x=-1,则变为g(-1)=f(-1)+2=3.答案:3本题考查了两个方面问题:一是函数奇偶性的应用,二是函数的赋值思想与转化思想.8.(2012年重庆卷,文12,5分)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即(-x+a)(-x-4)=(x+a)(x-4)恒成立,即:x2+4x-ax-4a=x2+ax-4x-4a,∴ax-4x=0,∴(a-4)x=0.∴a=4.答案:49.(2011年安徽卷,文11)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)= .解析:法一:由题意f(-1)=2·(-1)2+1=3,又f(x)为奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-3.法二:设x>0,则-x<0,于是f(-x)=2(-x)2+x=2x2+x,由于f(x)是奇函数,所以-f(x)=2x 2+x,即f(x)=-2x 2-x(x>0),因此f(1)=-2·12-1=-3.答案:-310.(2010年江苏卷,5)设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x ∈R)是偶函数,则实数a 的值为 .解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),∴-(+ae)=e+, e+++ae=0,∴(e+)(a+1)=0,∴1+a=0,∴a=-1.经验证a=-1时符合题意.答案:-1函数的单调性11.(2012年浙江卷,文10,5分)设a>0,b>0,e 是自然对数的底数( )(A)若e a +2a=e b +3b,则a>b(B)若e a +2a=e b +3b,则a<b(C)若e a -2a=e b -3b,则a>b (D)若e a -2a=e b -3b,则a<b解析:设函数f(x)=e x +2x,易知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又因为a>0,b>0,则当e a +2a=e b +3b 时,一定有e a +2a>e b +2b,此时a>b,故选A.答案:A. 12.(2010年北京卷,文6)给定函数①y=,②y=lo (x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④解析:显然幂函数y=及指数型函数y=2x+1在(0,1)上单调递增,对于y=lo (x+1)可看作是y=lo u,u=x+1的复合函数,由复合函数的单调性知y=lo (x+1)在(0,1)上递减,对函数y=|x-1|,其图象是偶函数y=|x|向右平移一个单位得到,y=|x|在(-1,0)上递减,则y=|x-1|在(0,1)上递减,故选B.答案:B.13.(2010年浙江卷,文9)已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )(A)f(x1)<0,f(x2)<0 (B)f(x1)<0,f(x2)>0(C)f(x1)>0,f(x2)<0 (D)f(x1)>0,f(x2)>0解析:∵函数y=2x,y=在(1,+∞)上都为单调增函数,∴f(x)=2x+在(1,+∞)上为单调增函数.∵f(x0)=0,∴当x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞)时,f(x1)<f(x0)=0,f(x2)>f(x0)=0,故选B.答案:B.14.(2012年安徽卷,文13,5分)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a= .解析:函数的图象是以(-,0)为端点的2条射线组成,所以-=3,a=-6.答案:-615.(2012年山东卷,文15,4分)若函数f(x)=a x(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函数,则a= .解析:本题主要考查指数函数的单调性和最值.当a>1时,有a2=4,a-1=m,此时,a=2,m=,此时g(x)=-为减函数,不合题意.若0<a<1则a-1=4,a2=m,故a=,m=,检验知符合题意.答案:16.(2011年江苏卷,2)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是.解析:由2x+1>0得x>-,∴f(x)的定义域为(-,+∞),由复合函数的单调性知f(x)的单调增区间为(-,+∞).答案:(-,+∞)函数的周期性及性质的综合应用17.(2011年大纲全国卷,文10)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f(-)等于( )(A)-(B)-(C)(D)解析:∵f(-)=f(-+2)=f(-)=-f()=-2×(1-)=-,故选A.答案:A.18.(2011年上海卷,文15)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )(A)y=x-2 (B)y=x-1(C)y=x2(D)y=解析:选项为偶函数的是A、C,其中y=x2在(0,+∞)上是单调递减函数.故选A.答案:A.19.(2012年浙江卷,文16,4分)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f()= .解析:本题主要考查函数的周期性和奇偶性.因为函数的周期是2且是偶函数,所以f()=f(-)=f()=+1=.答案:20.(2012年江苏数学,10,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f()=f(),则a+3b的值为.解析:本题考查函数的周期性、分段函数的解析式.由题意f()=f()=f(-),所以=-a+1,∴a+b=-1①又f(-1)=f(1),∴b=-2a②解①②得a=2,b=-4,∴a+3b=-10.答案:-10。

函数 ｆ（ ｘ） 在区间 Ｄ 上是 增 函数 ｆ （ ｘ） 在区间 Ｄ 上是 减
函数
函数
图象 描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
注意 （１）单调函数的定义有以下两种等价形式：
∀ｘ１ ，ｘ２ ∈［ ａ，ｂ］ ，且 ｘ１ ≠ｘ２ ，
（
ｉ）
ｆ（
ｘ１ ） ｘ１
－ｆ（ －ｘ２
ｘ２
）
＞
０⇔ｆ（
（１）若 ｆ（ｘ＋ａ）＝ ｆ（ｘ＋ｂ）（ａ≠ｂ），则 ｆ（ｘ）的周期是 Ｔ ＝ ｜ ａ－ｂ ｜ ．
（２） 若 ｆ（ ｘ＋ａ）＝ －ｆ（ ｘ） ，则 ｆ（ ｘ） 的周期是 Ｔ ＝ ２ ｜ ａ ｜ ．
（ ３） 若
ｆ（ ｘ＋ａ）
＝
１ ｆ（ ｘ）
或
ｆ（
ｘ＋ａ）
＝
－
１ ｆ（ ｘ）
，
其中
ｆ（
ｘ）
≠０，则
ｆ（ｘ）的周期是 Ｔ ＝ ２ ｜ ａ ｜ ．
（４） 设 ｆ（ ｘ） 是 Ｒ 上的偶函数，且图象关于直线 ｘ ＝ ａ（ ａ≠０）
对称，则 ｆ（ ｘ） 是周期函数，２ ｜ ａ ｜ 是它的一个周期．
（５）设 ｆ（ｘ）是 Ｒ 上的奇函数，且图象关于直线 ｘ ＝ ａ（ ａ≠０）
对称，则 ｆ（ ｘ） 是周期函数，４ ｜ ａ ｜ 是它的一个周期．
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域内的任何值时，都有 ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ ｆ（ ｘ），那么函数 ｆ（ ｘ） 叫做周期函
数，非零常数 Ｔ 叫 ｆ（ ｘ） 的周期．如果所有的周期中存在一个最小
的正数，那么这个最小正数就叫 ｆ（ ｘ） 的最小正周期．
注意 并不是所有的周期函数都有最小正周期，如 ｆ（ｘ）＝ ５．

姓名，年级：时间：2。

2 函数的基本性质探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数的单调性与最值1.理解函数的单调性、最大(小）值及其几何意义.2.会讨论和证明函数的单调性.2017浙江,17,4分函数单调性的判断函数的最值★★★函数的奇偶性与周期性1。

理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性。

2。

了解函数的周期性.2019课标全国Ⅱ文，6，5分函数的奇偶性指数函数★★★2016浙江文，3,5分函数的奇偶性函数的图象分析解读1。

函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的常考内容，例如判断或证明函数的单调性，求单调区间,利用单调性求参数的取值范围,利用单调性解不等式。

考题既有选择题与填空题，又有解答题,既有容易题和中等难度题,也有难题.2。

函数的奇偶性在高考中也时有出现,主要考查奇偶性的判定以及与周期性、单调性相结合的题目,这类题目常常结合函数的图象进行考查.3.函数的周期性,单独考查较少，一般与奇偶性综合在一起考查，主要考查函数的求值问题，以及三角函数的最小正周期等.4.预计2021年高考试题中,仍会对函数的性质进行重点考查，复习时应高度重视.破考点练考向【考点集训】考点一函数的单调性与最值1。

下列函数中,在（0，+∞)上是增函数的是（)A 。

y=(12)|x|B 。

y=｜ln x ｜C 。

y=x 2+2|x ｜ D.y=|x -1x |答案 C2.(2019黑龙江顶级名校联考，9）若函数f(x ）=lo g 12（x 2+ax+6）在[-2，+∞）上是减函数，则a 的取值范围为（ )A 。

［4，+∞）B 。

［4，5） C.[4,8) D 。

[8，+∞) 答案 B3。

（2019北京文，3,5分）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y=x 12 B 。

y=2-x C.y=lo g 12x D.y=1x答案 A考点二 函数的奇偶性与周期性1。

（2019浙江“七彩阳光”联盟期中，4）已知函数y=f(x ）+cos x 是奇函数，且f (π3)=1,则f (-π3)=（ ） A.—2 B.-1 C 。

【答案】①④ 7.【 2017 天津理 6】已知奇函数 f ( x) 在 R 上是增函数， g (x ) xf ( x) .若 a g( log 2 5.1) ，b g (2 0.8 ) ，c g (3) ，
则 a， b，c 的大小关系为（
）.
A. a b c
B. c b a
C. b a c
D. b c a
7．增函数与减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I ，
(1)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 __任意两个 __自变量的值 x 1，x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f( x2)， 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是 __增函数 __.
(2)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 __任意两个 __自变量的值 x 1，x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f( x2)， 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是 __减函数 __.
f x 的方程，从而可得 f x
的解析式． 5．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．
常常采用待定系数法： 利用 f x f (－x)＝0 产生
关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值． 6．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的 区间上的单调性相反．
由图可知， 函数 f (x)
1 ( x 1)2 的图象与 g( x)
1 (1 x 2,3 x 4,5 x 6,7 x 8) 的图象仅
2
有 2 个交点，即在区间 (0， 9]上，关于 x 的方程 f ( x) g (x) 有 2 个不同的实数根， 要使关于 x 的方程
f ( x) g( x) 有 8 个不同的实数根， 则 f ( x) 1 (x 1)2 , x (0,2] 与 g( x) k (x 2), x (0,1] 的图象有

第2讲 函数、图象及性质1. 已知f(x)是定义在R 上的函数，且f(x)＝f(x ＋2)恒成立，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x 2，则当x∈[2，3]时，函数f(x)的解析式为____________．答案：f(x)＝(x －2)2解析：因为函数满足f(x)＝f(x ＋2)，所以函数周期为2.又x∈[2，3]，x －2∈[0，1]，则f(x)＝f(x －2)＝(x －2)2.2. 若函数h(x)＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是________.答案：[－2，＋∞)解析：因为h′(x)＝2＋k x 2，所以h′(x)＝2＋k x 2＝2x 2＋kx2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)．3. 若函数f(x)＝k －2x1＋k·2x (k 为常数)在定义域上为奇函数，则k ＝________．答案：±1解析：∵ f(x)为定义域上的奇函数，∴ f(x)＋f(－x)＝0.k －2x 1＋k·2x ＋k －2－x1＋k·2－x ＝0.得(k 2－1)(22x ＋1)＝0.∵ 22x ＋1≠0，∴ k 2－1＝0，解得k ＝±1.4. 定义在(－1，1)上的函数f(x)＝－5x ＋sinx ，如果f(1－a)＋f(1－a 2)>0，则实数a 的取值范围为________．答案：(1，2)解析：函数为奇函数，在(－1，1)上单调递减，f(1－a)＋f(1－a 2)＞0，得f(1－a)＞f(a 2－1)．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜a 2－1＜11－a ＜a 2－1，Þ1＜a ＜ 2. 5. 函数f(x)＝1－2x＋1x ＋3的定义域为________．答案：(－3，0]解析：⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0x ＋3>0Þ－3<x≤0.6. 函数f(x)对于任意实数x 满足条件f(x ＋2)＝1f （x ），若f(－1)＝12，则f(2 013)＝________．答案：2解析：函数满足f(x ＋2)＝1f （x ），故f(x ＋4)＝1f （x ＋2）＝f(x)，函数周期为4，f(2 013)＝f(1)．又f(3)＝1f （1）＝f(4－1)＝f(－1)，∴ f(1)＝2.7. 设函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －a|的图象关于直线x ＝1对称，则实数a 的值为________． 答案：3解析：画图可知a ＋（－1）2＝1，a ＝3.[也可利用f(0)＝f(2)求得，但要检验]8. 设f(x)是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f(x ＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝2－x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的大小关系是______________．(按从大到小的顺序排列)答案：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13解析：函数y ＝f(x ＋1)是偶函数，所以f(－x ＋1)＝f(x ＋1)，即函数关于x ＝1对称．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，当x≥1时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1单调递减，所以由43＜32＜53，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＞f(32)＞f(13)． 9. 函数f(x)的定义域是R ，其图象关于直线x ＝1和点(2 , 0)都对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132＝______． 答案：0解析：函数图象关于直线x ＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，函数图象关于点(2, 0)对称，则f(x)＝－f(4－x)，∴ f(x ＋2)＝－f(x)，∴ f(x ＋4)＝f(x)，∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 006＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132＝0. 10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是____________．答案：[－2，0]解析：在直角坐标系中画出函数y ＝|f(x)|的图象，y ＝ax 为过原点的一条直线，当a>0时，与y ＝|f(x)|在y 轴右侧总有交点，不合．当a ＝0时，成立．当a<0时，找出与y ＝|－x 2＋2x|，x ≤0相切的情况，y ′＝2x －2，切线方程为y ＝(2x 0－2)(x －x 0)＋x 20－2x 0，由分析可知x 0＝0，所以a ＝－2.综上，a ∈[－2，0]．11. 已知f(x)＝3x ，并且f(a ＋2)＝18，g(x)＝3ax －4x的定义域为区间[－1，1](a∈R )． (1) 求函数g(x)的解析式； (2) 判断g(x)的单调性；(3) 若方程g(x)＝m 有解，求实数m 的取值范围．解：(1) ∵ f(a＋2)＝18，f(x)＝3x ，∴ 3a ＋2＝183a＝2，∴ g(x)＝(3a )x －4x ＝2x －4x，x ∈[－1，1]．(2) g(x)＝－(2x )2＋2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122＋14，当x∈[－1，1]时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，令t ＝2x，∴ y＝－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，由二次函数单调性知当t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时y 是减函数，又t ＝2x在[－1，1]上是增函数，∴ 函数g(x)在[－1，1]上是减函数．(也可用导数的方法证明)(3) 由(2)知t ＝2x ，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则方程g(x)＝m 有解m ＝2x －4x在[－1，1]内有解m＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴ m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.12. 已知f(x)＝x ＋ax(x ＞0)，当x∈[1，3]时，f(x)的值域为A ，且A [n ，m](n ＜m)．(1) 若a ＝1，求m －n 的最小值； (2) 若m ＝16，n ＝8，求a 的值；(3) 若m －n≤1，且A ＝[n ，m]，求a 的取值范围． 解：(1) ∵ a＝1，∴ f(x)在区间[1，3]上单调递增， ∴ f (x)∈[f(1)，f(3)]，∴ 当x∈[1，3]时，m －n≥f(3)－f(1)＝43即m －n 的最小值是43.(2) (解法1)∵ 当x>0时，f(x)＝x ＋ax在(0，a]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤m f （3）≤m ⎩⎪⎨⎪⎧1＋a≤163＋a 3≤16a ≤15. ① 当a ≤1，即0≤a≤1时，f(x)＝x ＋ax 在[1，3]上单调递增，∴ f (1)≥n，a ≥7(舍去)；② 当1<a<3，即1<a<9时，f(x)＝x ＋ax 的最小值是2a ，∴ 2a ≥n ，a ≥16(舍去)；③ 当a ≥3，即a≥9时，f(x)＝x ＋ax在[1，3]上单调递减，∴ f (3)≥n，a ≥15. 综上可得：a ＝15.(解法2)当m ＝16时，x ＋a x≤16恒成立，即a≤16x－x 2恒成立，∴ a ≤(－x 2＋16x ，x ∈[1，3])min ＝15；当n ＝8时，x ＋a x ≥8恒成立，即a≥8x－x 2恒成立，∴ a ≥(－x 2＋8x ，x ∈[1，3])max ＝15. 综上可得：a ＝15.(3) ① 若a ≤1，即0<a≤1时，f(x)＝x ＋ax在[1，3]上单调递增，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1≥m－n ＝f （3）－f （1）＝2－23a ，0<a ≤1，无解； ② 当1<a<3即1<a<9时f(x)＝x ＋ax在[1，a]上递减，在[a ，3]上递增，∴ ⎩⎨⎧1≥m－n ＝f （3）－f （a ）1<a≤3或⎩⎨⎧1≥m－n ＝f （1）－f （a ），3<a<9， ∴ 12－63≤a ≤4.③ 当a ≥3，即a≥9时，函数f(x)在区间[1，3]上单调递减，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1≥m－n ＝f （1）－f （3）＝23a －2，a ≥9，无解． 综上可得：12－63≤a ≤4.13. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1ax ，0≤x ≤a ，11－a（1－x ），a ＜x≤1，a 为常数且a∈(0，1)．(1) 当a ＝12时，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13； (2) 若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为f(x)的二阶周期点，证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x 1、x 2；(3) 对于(2)中x 1、x 2，设A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(a 2，0)，记△ABC 的面积为S(a)，求S(a)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上的最大值和最小值． 解：(1) 当a ＝12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝23.(2) f(f(x))＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1a2x ，0≤x ≤a 2，1a （1－a ）（a －x ），a 2<x ≤a ，1（1－a ）2（x －a ），a<x<a 2－a ＋1，1a （1－a ）（1－x ），a 2－a ＋1≤x≤1.当0≤x≤a 2时，由1a2x ＝x ，解得x ＝0，由于f(0)＝0，故x ＝0不是f(x)的二阶周期点；当a 2＜x≤a 时，由1a （1－a ）(a －x)＝x ，解得x ＝a －a 2＋a ＋1∈(a 2，a)．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2＋a ＋1＝1a ·a －a 2＋a ＋1＝1－a 2＋a ＋1≠a －a 2＋a ＋1，故x ＝a －a 2＋a ＋1是f(x)的二阶周期点；当a<x<a 2－a ＋1时，由1（1－a ）2(x －a)＝x ，解得x ＝12－a∈(a ，a 2－a ＋1)． 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ＝11－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－a ＝12－a，故x ＝12－a 不是f(x)的二阶周期点； 当a 2－a ＋1≤x≤1时，由1a （1－a ）(1－x)＝x ，解得x ＝1－a 2＋a ＋1∈(a 2－a ＋1，1)．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋a ＋1＝11－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－a 2＋a ＋1＝a －a 2＋a ＋1≠1－a 2＋a ＋1， 故x ＝1－a 2＋a ＋1是f(x)的二阶周期点．因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x 1＝a －a 2＋a ＋1，x 2＝1－a 2＋a ＋1. (3) 由(2)得A(a －a 2＋a ＋1，a －a 2＋a ＋1)，B(1－a 2＋a ＋1，1－a 2＋a ＋1)，则S(a)＝12·a 2（1－a ）－a 2＋a ＋1， S ′(a)＝12·a （a 3－2a 2－2a ＋2）（－a 2＋a ＋1）2. 因为a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12内，故S′(a)>0，则S(a)在区间[13，12]上单调递增， 故S(a)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上最小值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝133，最大值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝120.。