【解析】上海市南汇中学2019-2020学年高一上学期十月考试数学试题

《【2019-2020学年市中学高一上学期十月考试数学试题（解析版）】 2019到2020高一上学期》摘要：、单选题．下列四命题真命题是（）若则 B若则若则若则【答案，由不等式性质可知当且有则“且”“” 所以“”“且”必要非充分条件命题④错误故答案③ 【睛，是“上位”0900学年市学高上学期十月考试数学试题、单选题．下列四命题真命题是（）若则 B若则若则若则【答案】【析】利用不等式性质依次判断即可【详】对选项,由及“向正可乘性”可得；对选项B令则显然不成立；对选项若显然不成立；对选项,若显然不成立故选【睛】题主要考不等式性质属基础题．钱姐常说“便宜没货”她这句话思是“不便宜”是“货”（）充分条件 B必要条件充分必要条件既非充分也非必要条件【答案】B 【析】根据等价命题便宜Þ没货等价货Þ不便宜故选B．【考定位】考充分必要性判断以及逻辑思维能力属档题3．设、是非空集合定义且若则等（） B 【答案】【析】出集合利用交集和补集定义得出集合和然利用题定义可得出集合【详】不等式即得则集合所以根据集合定义可得故选【睛】题考集合新定义运算也考了元二次不等式法、交集与补集运算考运算能力属等题．设集合,其、下列说法正确是（）对任是子集；对任不是子集 B对任是子集；存使得是子集存使得是子集；对任不是子集存使得是子集；存使得是子集【答案】B 【析】利用集合子集概念任取可推出可得对任实数；再由得、即可判断出选项B正确、、错误【详】对集合任取则所以对任是子集；当可得；当可得不是子集所以存使得是子集故选B 【睛】题考集合包含关系判断也考了元二次不等式法以及任性和存性问题法考推理能力属等题二、填空题5．设集合集合若则__________．【答案】【析】由题得出由可出实数值【详】且得故答案【睛】题考利用集合包含关系参数处理有限集问题还应集合元素应满足异性考计算能力属等题 6．用描述法表示所有被除余整数组成集合_________．【答案】【析】利用描述法和整除性质即可得出【详】由题知所有被除余整数组成集合故答案【睛】题考描述法、数整除性质考推理能力属基础题 7．设集合则__________．【答案】【析】方程组出公共即可得出集合【详】方程组得因故答案【睛】题考集合交集计算也考了二元次方程组表示集合要集合元素类型考计算能力属基础题 8．不等式集是_________．【答案】【析】将原不等式变形出该不等式即可【详】由移项得即得或因不等式集是故答案【睛】题考分式不等式考运算能力属基础题 9．已知关不等式集则不等式集__________．【答案】【析】分析不等式集则方程根利用韦达定理参数再不等式即可详不等式集则方程根由韦达定理可知所以不等式所以集睛二次函数二次方程元二次不等式三二次相换是元二次不等式问题常用方法0．设、集合则__________．【答案】【析】根据题得出则则有可得出由得出然出实数、值是可得出值【详】由有义则则有所以根据题有得因故答案【睛】题考利用集合相等参数值题关键就是根据题列出方程组考运算能力属等题．设全集若则__________．【答案】【析】作出韦恩图将全集各元素放置合适区域得出集合和集合再根据交集定义可得出集合【详】全集作出韦恩图如下图所示由图形可知集合因故答案【睛】题考集合混合运算也考了韦恩图法应用考数形结合思想应用属等题．下列说法①“若则”否命题是“若则”；②“”是“”必要非充分条件；③“”是“或”充分非必要条件；④“”是“且”充要条件其正确序__________．【答案】③ 【析】根据否命题与原命题关系可判断命题①正误；方程根据充分必要性可判断出命题②正误；由命题“若则或”逆否命题“若且则”得出“”是“或”充分必要性与“且”是“”充分必要性相从而判断命题③正误；利用举反例和逻辑推理判断命题④正误【详】对命题①“若则”否命题是“若则”命题①错误；对命题②方程得或所以“”是“”充分非必要条件命题②错误；对命题③由命题“若则或”逆否命题“若且则”可知“”是“或”充分必要性与“且”是“”充分必要性相“且”“”取则所以“”“且”则“且”是“”充分非必要条件所以“”是“或”充分非必要条件命题③正确；对命题④取则满足但“”“且” 由不等式性质可知当且有则“且”“” 所以“”“且”必要非充分条件命题④错误故答案③ 【睛】题考四种命题以及充分必要性判断常利用举反例和逻辑推理进行推导考推理论证能力属等题3．已知集合则取值围______．【答案】【析】当不等式恒成立可知合题；当由恒成立可得；当不可能实数集上恒成立由可得结【详】当恒成立合题当得当集合不可能综上所述故答案【睛】题考元二次不等式实数集上恒成立问题易错是忽略二次项系数是否零讨论造成错误．已知集合且则实数值_________．【答案】或或【析】方程得因所以分别得值【详】由题因所以当无；当；当综上所述值或或【睛】由集合关系参数常根据集合包含关系义建立方程应分类讨论思想运用 5．集合若则实数取值围是__________．【答案】【析】由结合题得出关方程有根分和前提下分二次方程有两相等根、两根正以及两根进行分类讨论可出实数取值围【详】则关方程有根（）当即当原方程不成立；（）当即当设该方程两实根分别、①若该方程有两相等根则可得方程即得合乎题；②若该方程两根正则有得；③当该方程有两根则有得综上所述实数取值围是故答案【睛】题考二次方程根分布问题题要结合判别式、两根和与积进行分析考分类讨论思想应用属等题 6．若集合,集合且记元素值与值和则对所有平值是__________．【答案】【析】先归纳出集合集合且平值然令可得出平值【详】先考虑集合集合且平值则平值；当当当平值；当当当当当当平值；依类推对集合平值由所以故答案【睛】题考了集合新定义也考了归纳推理题关键就是利用归纳推理得出表达式考推理论证能力属难题三、答题 7．已知集合若值【答案】、或【析】出集合由得出然分和两种情况讨论可得出或由可得出实数值【详】方程得或则集合则当合乎题；当或得或因实数取值有、或【睛】题考利用集合包含关系出参数也考了元二次方程题关键就是对变系数次方程进行分类讨论考运算能力属等题 8．设、且比较两数与【答案】见析【析】将两代数式作差因式分然对各因式进行判断可得出两数与关系【详】①当；②当；③当【睛】题考利用作差法比较两数作差依次因式分、讨论然可判断出两数关系考分析问题和问题能力属等题9．已知集合集合（）；（）【答案】（）；（）【析】（）出集合、利用交集定义可得出集合；（）出集合利用并集定义得出集合再利用补集定义可得出集合【详】（）因；（）由不等式性质可得则集合因【睛】题考集合交集、并集与补集混合运算也考了函数定义域、值域考运算能力属等题 0．若关不等式集集（）试和；（）是否存实数使得？若存围；若不存说明理由【答案】（）；（）存【析】（）将不等式变形然对和进行分类讨论出该不等式可得出集合将不等式变形出该不等式可得出集合；（）对和进行分类讨论结合列出关不等式出即可得出实数取值围【详】（）不等式即①当原不等式即该不等式得；②当该不等式得或；③当该不等式得或不等式即得；（）当成立；当要使得则有得；当则要使得则这与矛盾综上所述实数取值围是因存实数使得【睛】题考元二次不等式与分式不等式也考了利用集合并集运算参数题要对参数取值进行分类讨论考分类讨论思想应用属等题．对直角坐标系象限任两作如下定义,那么称是“上位”是“下位” （）试写出“上位”坐标和“下位”坐标；（）设、、、正数且是上位请判断是否既是“下位”又是“上位”如是请证明如不是请说明理由；（3）设正整数满足以下条件对任实数总存使得既是“下位”又是“上位”正整数值【答案】（）“上位”“下位”；（）是证明见析；（3）【析】（）由已知“上位”和“下位”定义可得出“上位”坐标“下位”坐标；（）由是“上位”得出然利用作差法得出与、关系结合“下位”和“上位”定义可得出结论；（3）结合（）结论可得满足条件再说明当不成立可得出值【详】（）对平面直角坐标系象限任两作如下定义那么称是“上位”是“下位” “上位”坐标“下位”坐标；（）是“上位” 是“下位” 是“上位”；（3）若正整数满足条件恒成立由（）结论可知满足条件若由则不成立因值【睛】题考知识是新定义“上位”和“下位”也考了利用作差法比较两数关系题关键就是对题新定义理考分析问题和问题能力属难题。

2019-2020年高一上学期10月月考数学试卷含解析(III)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填在答题卡相应横线上）1．已知集合A=（﹣2，1]，B=[﹣1，2），则A∪B=__________．2．U={1，2}，A={x|x2+px+q=0}，∁U A={1}，则p+q=__________．3．若集合P={x|2x﹣a＜0}，Q={x|3x﹣b＞0}，a，b∈N，且P∩Q∩N={1}，则满足条件的整数对（a，b）的个数为__________．4．设函数f（n）=k（n∈N*），k是π的小数点后的第n位数字，π=3.1415926535…，则f（f （f[f（10）））=？=__________．5．函数的定义域为__________．6．若函数y=mx2+（m﹣1）x+3在[﹣1，+∞）上为减函数，则实数m的取值范围为__________．7．设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f （x）＜0的解集是__________．8．函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2﹣a），则实数a的取值范围是__________．9．定义“符号函数”f（x）=sgnx=则不等式x+2＞（x﹣2）sgnx的解集是__________．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+3x﹣1，则当x＜0时，f（x）的解析式为f（x）=__________．11．若函数f（x）=为（﹣∞，+∞）上的增函数，则k的取值范围是__________．12．已知函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣2.1]=﹣3，[﹣2]=﹣2，[2.2]=2，如果x∈[﹣2，0]，那么y=f（x）的值域为__________．13．设函数f（x）=x|x﹣a|，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是__________．14．已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=__________．二、解答题（本大题共6小题，共90分，应写出必要的文字说明和解题步骤）15．（14分）（1）已知P={x|x2﹣3x+2=0}，Q={x|ax﹣2=0}，Q⊆P，求a的值．（2）已知A={x|2≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤2m+5}，B⊆A，求m的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（1）=2，f（2）=．（1）求函数f（x）的表达式；（2）当0＜x＜1时，用函数单调性的定义研究函数f（x）的单调性．17．某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资预计m∈[6，8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．18．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=x2+（4﹣2a）x+a2+1．（1）若f（x+2）是偶函数，求a的值；（2）设P=[f（x1）+f（x2）]，Q=f（），且x1≠x2，试比较P与Q的大小；（3）是否存在实数a∈[0，8]，使得函数f（x）在[0，4]上的最小值为7，若存在求出a的值，若不存在，说明理由．20．（16分）设a为实数，函数f（x）=x2+|x﹣a|+1，x∈R．（1）当a=2时，判断函数的奇偶性并求函数的最小值；（2）试讨论f（x）的奇偶性；（3）当x∈R时．求f（x）的最小值．2014-2015学年江苏省苏州五中高一（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填在答题卡相应横线上）1．已知集合A=（﹣2，1]，B=[﹣1，2），则A∪B=（﹣2，2）．【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】已知集合A=（﹣2，1]，B=[﹣1，2），根据并集的定义进行求解．【解答】解：∵集合A=（﹣2，1]，B=[﹣1，2），A∪B=（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）．【点评】本题主要考查并集及其运算，一般在高考题中出现在前三题的位置中，属于基础题目．2．U={1，2}，A={x|x2+px+q=0}，∁U A={1}，则p+q=0．【考点】补集及其运算．【专题】集合．【分析】根据全集U及A的补集，确定出A，求出p与q的值，即可求出p+q的值．【解答】解：∵U={1，2}，A={x|x2+px+q=0}，∁U A={1}，∴A={2}，即方程x2+px+q=0有两个相等根2，∴﹣p=2+2，q=2×2，即p=﹣4，q=4，则p+q=0．故答案为：0【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的运算是解本题的关键．3．若集合P={x|2x﹣a＜0}，Q={x|3x﹣b＞0}，a，b∈N，且P∩Q∩N={1}，则满足条件的整数对（a，b）的个数为6．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】由集合P={x|x＜}，Q={x|x＞}，得P∩Q={x|＞x＞}，由P∩Q∩N={1}，a，b∈N，可得1＜≤2，1＞≥0，故a=3或4，b=0，1，2．【解答】解：∵集合P={x|2x﹣a＜0}={x|x＜}，Q={x|3x﹣b＞0 }={x|x＞}，a，b∈N，且P∩Q∩N={1}，∴P∩Q={x|＞x＞}，∴1＜≤2，1＞≥0，∴2＜a≤4，0≤b＜3，∴a=3或4，b=0，1，2，故满足条件的整数对（a，b）的个数为6，故答案为6．【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，解不等式，求得a=3或4，b=0，1，2，是解题的关键．4．设函数f（n）=k（n∈N*），k是π的小数点后的第n位数字，π=3.1415926535…，则f（f （f[f（10）））=？=1．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】先由题设条件推导出f（f（f[f（10）））=1，由此可以推导出的值．【解答】解：∵f（f（f（f（10））））=f（f（f（5）））=f（f（9））=f（3）=1．∴=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，解题时要结合题设条件，注意公式的合理选用．5．函数的定义域为（﹣2，3）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】根据影响函数定义域的因素为分母不为零和偶次被开方式非负，即可得到不等式﹣x2+x+6＞0，借此不等式即可求得结果．【解答】解：要是函数有意义，须﹣x2+x+6＞0，解得﹣2＜x＜3，∴函数的定义域为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）【点评】本题考查已知函数的解析式求函数的定义域问题，判断影响函数定义域的因素列出不等式（组）是解题的关键，属基础题．6．若函数y=mx2+（m﹣1）x+3在[﹣1，+∞）上为减函数，则实数m的取值范围为[﹣1，0]．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】当m=0时，满足条件；当m＞0时，y=mx2+（m﹣1）x+3开口向上，在[﹣1，+∞）上不为减函数，不成立；当m＜0时，求出y=mx2+（m﹣1）x+3的对称轴x=，结合抛物线的开口方向和单调性可知，由此能够求出实数m的取值范围．【解答】解：当m=0时，y=﹣x+3在R上是减函数，满足条件．当m＞0时，抛物线y=mx2+（m﹣1）x+3开口向上，在[﹣1，+∞）上不为减函数，∴m＞0不成立．当m＜0时，抛物线y=mx2+（m﹣1）x+3开口向下，对称轴为x=，由函数y=mx2+（m﹣1）x+3在[﹣1，+∞）上为减函数，可知，解得﹣1≤m＜0．综上所述，m∈[﹣1，0]．故答案为：[﹣1，0]．【点评】本题考查函数的单调性及其应用，解题时要认真审题，仔细解答．7．设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f （x）＜0的解集是[﹣5，﹣2）∪（0，2）．【考点】函数的图象．【专题】图表型；数形结合；数形结合法．【分析】本题是一个研究奇函数对称性及函数图象的位置与函数值符号对应关系的题，可先补全函数在定义域上的图象，再由图象观察出不等式的解集，给出正确答案【解答】解：由于奇函数关于原点对称，故函数（x）在定义域为[﹣5，5]的图象如右图由图象知不等式f（x）＜0的解集是[﹣5，﹣2）∪（0，2）故答案为：[﹣5，﹣2）∪（0，2）【点评】本题考查函数的图象，解题的关键是理解函数图象的数字特征，本题的重点是利用函数的图象解不等式，难点是根据函数的奇函数的性质作出对称区间上的函数的图象来，对函数图象的考查是新教材实验区高考考试的热点，近几年明显加强了对图形的考查，学习时要注意归纳此类题的解题规律8．函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2﹣a），则实数a的取值范围是a≥1．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】先根据偶函数在其对称的区间上单调性相反求出函数y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，然后根据f（x）=f（﹣x）=f（|x|）将f（a）≤f（2﹣a）转化成f（|a|）≤f（|2﹣a|），根据单调性建立关系式，解之即可求出a的范围．【解答】解：∵函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，∴函数y=f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（x）=f（﹣x）=f（|x|）∵f（a）≤f（2﹣a），∴f（|a|）≤f（|2﹣a|），根据函数y=f（x）在（0，+∞）上是减函数，则|a|≥|2﹣a|，解得a≥1故答案为a≥1【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用，解题的关键将f（a）≤f（2﹣a）转化成f（|a|）≤f（|2﹣a|）进行求解，属中档题．9．定义“符号函数”f（x）=sgnx=则不等式x+2＞（x﹣2）sgnx的解集是（﹣，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；新定义；分类讨论．【分析】根据题中已知的符号函数的定义可分x大于0，等于0，小于0三种情况考虑sgnx 的值，分别代入到不等式，分别求出解集，然后求出各解集的并集即可得到原不等式的解集．【解答】解：当x＞0时，f（x）=sgnx=1，不等式x+2＞（x﹣2）sgnx变为x+2＞x﹣2，解得x为全体实数，则不等式的解集为：x＞0；当x=0时，f（x）=sgnx=0，不等式x+2＞（x﹣2）sgnx变为x+2＞1，解得x＞﹣1，所以不等式的解集为：x=0；当x＜0时，f（x）=sgnx=﹣1，x+2＞（x﹣2）sgnx变为x+2＞（x﹣2）﹣1，即（x+2）（x﹣2）＜1，化简得x2＜5，解得﹣＜x＜．综上，不等式的解集为：（﹣，+∞）故答案为：（﹣，+∞）【点评】本题考查不等式的解法，分类讨论思想及新定义的运用，是基础题．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+3x﹣1，则当x＜0时，f（x）的解析式为f（x）=f（x）=﹣x2+3x+1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】当x＜0时，﹣x＞0，由已知表达式可求得f（﹣x），由奇函数的性质可得f（x）与f（﹣x）的关系，从而可求出f（x）．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=（﹣x）2+3（﹣x）﹣1=x2﹣3x﹣1．又f（x）是R上的奇函数，所以当x＜0时f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+3x+1．故答案为：f（x）=﹣x2+3x+1．【点评】本题考查函数解析式的求解及奇函数的性质，属基础题．11．若函数f（x）=为（﹣∞，+∞）上的增函数，则k的取值范围是[0，+∞）．【考点】函数单调性的性质．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的单调性的性质进行求解即可．【解答】解：若f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，则满足2+k≥1+1，即k≥0，故答案为：[0，+∞）【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据函数单调性的性质是解决本题的关键．12．已知函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣2.1]=﹣3，[﹣2]=﹣2，[2.2]=2，如果x∈[﹣2，0]，那么y=f（x）的值域为{0，1，2，3，4}．【考点】函数的值域．【专题】计算题．【分析】利用题中条件：“[x]表示不超过x的最大整数”，对区间[﹣2，0]中的x进行分类讨论，从而求出相应的函数值即可．【解答】解析：x=0时，[0]=0，f（x）=0；﹣1＜x＜0时，[x]=﹣1，0＜x[x]＜1，所以f（x）=[x[x]]=0；x=﹣1时，[x]=﹣1，所以f（x）=[x[x]]=1；同理，﹣1.5＜x＜﹣1时，f（x）=2；﹣2＜x≤﹣1.5时，f（x）=3；x=﹣2时，f（x）=4．故答案为：{0，1，2，3，4}．【点评】本小题主要考查整数、函数的值域等基础知识，考查运算求解能力、创新能力．属于基础题．13．设函数f（x）=x|x﹣a|，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]．．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】首先由函数单调性定义，判断f（x）=x|x﹣a|在[2，+∞）上单调递增；然后把a分成a≤2与a＞2两种情况分别进行检验；最后得到只有a≤2时，才满足f（x）=x|x﹣a|在[2，+∞）上单调递增的结论．【解答】解：由题意知f（x）=x|x﹣a|在[2，+∞）上单调递增．（1）当a≤2时，若x∈[2，+∞），则f（x）=x（x﹣a）=x2﹣ax，其对称轴为x=，此时＜2，所以f（x）在[2，+∞）上是递增的；（2）当a＞2时，①若x∈[a，+∞），则f（x）=x（x﹣a）=x2﹣ax，其对称轴为x=，所以f（x）在[a，+∞）上是递增的；②若x∈[2，a），则f（x）=x（a﹣x）=﹣x2+ax，其对称轴为x=，所以f（x）在[，a）上是递减的，因此f（x）在[2，a）上必有递减区间．综上可知a≤2．故答案为（﹣∞，2]．【点评】本题考查了函数单调性的定义，同时考查了分类讨论的思想方法．14．已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=1．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】压轴题．【分析】本题应先画出函数的大体图象，利用数形结合的方法寻找解题的思路．画出大体图象后不难发现函数的最大值只能在x=1或x=3处取得，因此分情况讨论解决此题．【解答】解：记g（x）=x2﹣2x﹣t，x∈[0，3]，则y=f（x）=|g（x）|，x∈[0，3]f（x）图象是把函数g（x）图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，其对称轴为x=1，则f（x）最大值必定在x=3或x=1处取得（1）当在x=3处取得最大值时f（3）=|32﹣2×3﹣t|=2，解得t=1或5，当t=5时，此时，f（0）=5＞2不符条件，当t=1时，此时，f（0）=1，f（1）=2，符合条件．（2）当最大值在x=1处取得时f（1）=|12﹣2×1﹣t|=2，解得t=1或﹣3，当t=﹣3时，f（0）=3＞2不符条件，当t=1此时，f（3）=2，f（1）=2，符合条件．综上t=1时故答案为：1．【点评】本题主要考查二次函数的图象性质和绝对值对函数图象的影响变化．二、解答题（本大题共6小题，共90分，应写出必要的文字说明和解题步骤）15．（14分）（1）已知P={x|x2﹣3x+2=0}，Q={x|ax﹣2=0}，Q⊆P，求a的值．（2）已知A={x|2≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤2m+5}，B⊆A，求m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】（1）先求出集合P，讨论a=0与a≠0两种情形，根据集合Q是集合P的子集，建立等式关系，求出a即可；（2）讨论m+1与2m+5的大小关系，然后根据集合B是集合A的子集，建立等式关系，求出满足条件的m即可．【解答】解：（1）由已知得P={1，2}．当a=0时，此时Q=∅，符合要求当a≠0时，由得a=2；..由得a=1，所以a的取值分别为0、1、2..（2）①当m+1＞2m+5时B=∅，符合要求，此时m＜﹣4当B≠∅时，②当m+1=2m+5时，求得m=﹣4，此时B=﹣3，与B⊆A矛盾，舍去；③当m+1＜2m+5由题意得m+1≥2且2m+5≤3解得m为∅，（13分）综上所述，所以m的取值范围是（﹣∞，﹣4）..（14分）【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．16．（14分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（1）=2，f（2）=．（1）求函数f（x）的表达式；（2）当0＜x＜1时，用函数单调性的定义研究函数f（x）的单调性．【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据f（x）为奇函数，容易得出c=0，而根据便可建立关于a，b的二元一次方程组，从而可以解得a=b=1，从而得出f（x）的表达式；（2）先得到f（x）=x，根据单调性的定义，设任意的x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，然后作差，是分式的通分，并且提取公因式x1﹣x2，这样便可判断f（x1）与f（x2）的关系，从而得出f（x）的单调性．【解答】解：（1）f（x）是奇函数；∴；∴c=﹣c；∴c=0；∴，；∴；∴a=1，b=1；∴；（2）；设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2则：=；∵x1，x2∈（0，1），且x1＜x2；∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，1；∴；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（0，1）上单调递减．【点评】考查奇函数的定义，已知函数求值的方法，以及根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差比较f（x1），f（x2）的方法，作差后，是分式的要通分，并且一般需提取公因式x1﹣x2．17．某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资预计m∈[6，8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；作差法．【分析】（1）利润=年销售收入﹣固定成本﹣产品成本﹣特别关税，可求得该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系和定义域；（2）计相关方案．作差法比较年利润y1，y2的大小，设确定【解答】解：（1）y1=10x﹣=（10﹣m）x﹣20，0＜x≤200，且x∈Ny2=18x﹣（8x+40）﹣0.05x2=﹣0.05x2+10x﹣40，0＜x≤120且x∈N（2）∵6≤m≤8∴10﹣m＞0∴y1=（10﹣m）x﹣20为增函数又0≤x≤200，x∈N∴x=200时，生产A产品有最大利润（10﹣m）×200﹣20=1980﹣200m（万美元）y2=﹣0.05x2+10x﹣40=﹣0.05（x﹣100）2+4600≤x≤120，x∈N∴x=100时，生产B产品有最大利润460（万美元）（y1）max﹣（y2）max=1980﹣200m﹣460=1520﹣200m当6≤m＜7.6时，（y1）max﹣（y2）max＞0当m=7.6时，（y1）max﹣（y2）max=0当7.6＜m≤8时，（y1）max﹣（y2）max＜0∴当6≤m＜7.6投资A产品200件可获得最大利润当7.6＜m≤8投资B产品100件可获得最大利润m=7.6生产A产品与B产品均可获得最大年利润．【点评】考查根据实际问题抽象函数模型的能力，并能根据模型的解决，指导实际生活中的决策问题，属中档题．18．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）用待定系数法先设函数f（x）的解析式，再由已知条件求解未知量即可（2）只需保证对称轴落在区间内部即可（3）转化为函数求最值问题，即可得到个关于变量m的不等式，解不等式即可【解答】解：（1）由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）=f（2）∴对称轴为x=1又最小值为1设f（x）=a（x﹣1）2+1又f（0）=3∴a=2∴f（x）=2（x﹣1）2+1=2x2﹣4x+3（2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1∴（3）由已知2x2﹣4x+3＞2x+2m+1在[﹣1，1]上恒成立化简得m＜x2﹣3x+1设g（x）=x2﹣3x+1则g（x）在区间[﹣1，1]上单调递减∴g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为g（1）=﹣1∴m＜﹣1【点评】本题考查待定系数法和二次函数的单调性和最值，须注意恒成立问题的转化．属简单题19．（16分）已知函数f（x）=x2+（4﹣2a）x+a2+1．（1）若f（x+2）是偶函数，求a的值；（2）设P=[f（x1）+f（x2）]，Q=f（），且x1≠x2，试比较P与Q的大小；（3）是否存在实数a∈[0，8]，使得函数f（x）在[0，4]上的最小值为7，若存在求出a的值，若不存在，说明理由．【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）先求出f（x+2）的解析式，根据函数的奇偶性，求出a的值即可；（2）求出P﹣Q的表达式，变形整理成完全平方式，从而判断出结论；（3）先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，从而判断出函数的单调性，得到函数的最小值的表达式，解出a的值即可．【解答】解：（1）f（x+2）=（x+2）2+（4﹣2a）（x+2）+a2+1=x2+（8﹣2a）x+a2﹣4a+13，若f（x+2）是偶函数，则8﹣2a=0，解得：a=4；（2）P﹣Q=[f（x1）+f（x2）﹣f （）=[x12+（4﹣2a）x1+a2+1+x22+（4﹣2a）x2+a2+1]﹣[+（4﹣2a）（x1+x2）+a2+1] =＞0，∴P＞Q．（3）设存在这样的a，由于0≤a≤8，∴﹣2≤a﹣2≤6，①若﹣2≤a﹣2＜0，即0≤a＜2，则f（x）在[0，4]上为增函数，∴f（0）=a2+1=7，解得：a=；②若0≤a﹣2≤4，即2≤a≤6，则f（a﹣2）=（a﹣2）2+（4﹣2a）（a﹣2）+a2+1=7，化简得4a﹣11=0，解得a=，综上，存在a=﹣1满足条件，③若4＜a﹣2≤6，即6＜a≤8，则f（x）在[0，4]为减函数，∴f（4）=16+4（4﹣2a）+a2+1=7，无解，综上，存在实数a=或∈[0，8]，使得函数f（x）在[0，4]上的最小值为7．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的奇偶性、单调性问题，考查分类讨论思想，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，本题是一道中档题．20．（16分）设a为实数，函数f（x）=x2+|x﹣a|+1，x∈R．（1）当a=2时，判断函数的奇偶性并求函数的最小值；（2）试讨论f（x）的奇偶性；（3）当x∈R时．求f（x）的最小值．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（1）当a=2时，f（x）=x2+|x﹣2|+1=，从而判断函数的奇偶性及求函数的最小值；（2）可知f（﹣x）=x2+|x+a|+1，从而可知若函数为偶函数，则|x+a|=|x﹣a|，从而解得，不说明a≠0时的情况即可；（3）化简f（x）=；从而分类讨论以确定函数的单调性，从而求最小值．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x2+|x﹣2|+1=，∵f（﹣2）=9，f（2）=5；∴函数f（x）是非奇非偶函数；当x≤2时，x=时有最小值f（）=；当x＞2时，f（x）＞f（2）=5；故函数的最小值为．（2）∵f（x）=x2+|x﹣a|+1，∴f（﹣x）=x2+|x+a|+1，若函数为偶函数，|x+a|=|x﹣a|，解得，a=0；当a≠0时，x2+|x﹣a|+1≠x2+|x+a|+1，故函数为非奇非偶函数；综上所述，当a=0时，函数为偶函数；当a≠0时，函数为非奇非偶函数；（3）f（x）=；①当a＜时，f（x）在（﹣∞，a）上是减函数，故f（x）＞f（a）=a2+1；在（a，﹣）上是减函数，在（﹣，+∞）上是增函数；故f（x）在（﹣∞，﹣）上是减函数，在（﹣，+∞）上是增函数；故f（x）有最小值f（﹣）=﹣a+；②当﹣≤a≤时，f（x）在（﹣∞，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数；故f（x）有最小值f（a）=a2+1；③当a＞时，f（x）在（﹣∞，）上是减函数，在[，+∞）上是增函数；故f（x）有最小值f（）=a+；综上所述，当a＜时，f（x）有最小值f（﹣）=﹣a+；当﹣≤a≤时，f（x）有最小值f（a）=a2+1；当a＞时，f（x）有最小值f（）=a+．【点评】本题考查了绝对值函数与分段函数的综合应用及分类讨论的思想应用，化简与判断都比较困难，属于难题．。

一、填空题1．已知集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }关系的文氏图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素的个数为___个．【答案】3【分析】根据文氏图可知，阴影部分表示的集合为A ∩B ，然后求出元素个数即可．【详解】∵集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }，∴阴影部分表示的集合A ∩B ＝{﹣2，0，2}．∴阴影部分表示的集合的元素共有3个．故答案为：3．2．已知，全集，则___（用区间表示） {}2|560,{||11}A x x x B x x =-+>=-<∣U =R A B ⋂=【答案】(](),03,-∞+∞ 【分析】解不等式化简集合，进行集合运算即可.【详解】，{}()(){}()()22|50,,6|2303A x x x x x x -∞+∞=-+>=-->=，()2{||11}{10,|11}B x x x x B ∣-=-<-<==<=所以，.(][),02,B ∞∞=-⋃+(](),03,A B =-∞+∞ 故答案为：.(](),03,-∞+∞3．设A ＝，B ＝{x |x ≤10，x ∈Q }，则A ∩B ＝_____．{}|N x x k =∈【答案】{}1,4,6,9【分析】的的取值范围，从而可求得.10,N k ∈k A B ⋂【详解】因为{}|10,Q B x x x =≤∈得10,N k ≤∈019,N k k ≤≤∈由题：{}|19,N x x k k =≤≤∈{4=所以{}1,4,6,9A B = 故答案为：{}1,4,6,94．已知全集中有个元素，中有个元素．若非空，则的元素个数U A B =⋃m A B ⋃n A B ⋂A B ⋂为___个． 【答案】m n -【分析】法一：由韦恩图判断；法二：由及补集概念即可求.A B A B = 【详解】法一：因为中有个元素，如图所示阴影部分，A B ⋃n又中有个元素，故中有个元素；U A B =⋃m A B ⋂m n -法二：因为有个元素，又全集中有个元素，A B A B = n U A B =⋃m 故的元素个数个．A B ⋂m n -故答案为：.m n -5．“若，则”的否定形式为____．220x x --≤12x -≤≤【答案】若，则或220x x --≤1x <-2x >【分析】根据命题的否定形式直接得出答案.【详解】“若，则”的否定形式：220x x --≤12x -≤≤若，则或.220x x --≤1x <-2x >故答案为：若，则或.220x x --≤1x <-2x >6．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，假设不考虑其它费用，为使宾馆利润最大，每天的房价定为 _____元．【答案】340【分析】设空闲的房间为x ，则房价为元，定价增加了10x 元，表示出利润的函数关()18010x +系，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【详解】解：设空闲的房间为x ，则房价为元，定价增加了10x 元，()18010x +由题意可得，利润，当且仅当()()()()21850180105010185010115602x x x x x x ++-⎛⎫+-+-≤= ⎪⎝⎭==，即时取等号，此时房价为元，所以为使宾馆利润最大，每天1850x x +-＝16x =1801610340+⨯=的房价定为340元．故答案为：340．7．二次函数的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是____．2(0)y ax bx c a =++≠（1）异号；（2）当和时，函数值相等；（3）；（4）当时，的取,a b 1x =3x =40a b +=4y =x 值只能为0.【答案】3【分析】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解.【详解】根据图象可知：是二次函数与的两个交点，所以可得对称轴方程为 ()2,0,(6,0)-x ，故对称轴为，故异号且，（1）（3）正确； 2x =22b x a=-=,a b 40a b +=因为对称轴为，故当和时，函数值相等， 22b x a=-=1x =3x =当时，的取值为0和4，故（2）正确，（4）错误；故正确的个数是3.4y =x 故答案为：3.8．若的图像x =1对称，则c =_______．()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈【答案】2【详解】本题考查函数的对称性又的对称轴为 ()()2222223322b b f x x b x x ++⎛⎫⎛⎫=-+++=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22b x +=则，得； 212b +=0b =由的图象对称知其定义域关于直线对称，则有()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈1x =[],b c 1x =；2b c +=所以2c =9．不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），则不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为 ______．【答案】（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【详解】根据不等式ax 2+bx +c ＞0的解集得出a 与b 、c 的关系，再代入不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0中化简求解集即可．【解答】解：不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），所以﹣2和1是ax 2+bx +c ＝0的实数根，且a ＜0；所以，可得b ＝a ，c ＝﹣2a ， 2121b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩所以不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0可化为ax 2+2ax ﹣3a ＜0，即x 2+2x ﹣3＞0，整理可得()()310x x +->，解得x ＜﹣3或x ＞1，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．10．已知命题“若，，则集合”是假命题，()22f x m x =()22g x mx m =-1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭则实数的取值范围是 ______．m 【答案】 ()7,0-【分析】由“”是假命题可知区间上有解，构1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭()2220m m x m -+<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦造函数，结合二次函数的图象可求的范围.()()222h x m m x m =-+m 【详解】∵，，()22f x m x =()22g x mx m =-又∵“”是假命题， 1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭∴，即在区间上有解 2222m x mx m <-()2220m m x m -+<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦令，()()222h x m m x m =-+①当，即或时，或，20m m -=0m =1m =()0h x =()2h x =在区间上无解，不合题意； ()0h x <1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦②当，即且时，20m m -≠0m ≠1m ≠是二次函数，其图象是对称轴为轴的抛物线，()h x y 若要使在区间上有解，则需满足： ()0h x <1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦或 22017024m m m m h ⎧->⎪⎨+⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎩()22010m m h m m ⎧-<⎪⎨=+<⎪⎩解得，即的取值范围是.70m -<<m ()7,0-故答案为：.()7,0-【点睛】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是二次函数的性质的应用. 11．对于任意两个数x ，y （x ，y ∈N *），定义某种运算“◎”如下：①当或时，x ◎y ＝x +y ； **2,N 2,N x m m y n n ⎧=∈⎨=∈⎩**21,N 21,N x m m y n n ⎧=-∈⎨=-∈⎩②当时，x ◎y ＝xy ． **2,N 21,N x m m y n n ⎧=∈⎨=-∈⎩则集合A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}的子集个数是 _____．【答案】2048【分析】由新定义化简集合，从而确定子集的个数．A 【详解】由新定义知，A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}()()()()()()()()()()(){}=19283746556473829125101，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共11个元素，故其子集的个数为，112=2048故答案为：2048．12．若关于的不等式的解集为，且存在实数，使得，x 3|1||1|2x ax +++≥R 0x 003|1||1|2x ax +++=则实数的所有取值是____．a 【答案】或. 12-2-【分析】的图像是一条折线，所以的最小值在折点处，故分类讨论，在折点处建立等式求()f x ()f x 解即可.【详解】令，当时，，不合题意，故.()|1||1|f x x ax =+++0a =()|1|11f x x =++≥0a ≠由的解析式易得，的图像是一条折线，且折点满足或，即或()f x ()f x 10x +=10ax +==1x -， 1x a=-又的最小值为，∴的最小值只能在折点处取得. ()|1||1|f x x ax =+++32()f x 当时，则，解得或， =1x -3|1|2a -+=12a =-52所以或， 13()|1||1|22f x x x =++-+≥53()|1||1|25x f x x =+++≥因为的最小值为，所以； ()f x 3212a =-当时，则，解得或， 1x a =-13|1|2a -+=2a =-25所以或，所以. 3()|1||21|2f x x x =++-+≥23()|1||1|55f x x x =+++≥2a =-综上所述，或． 12a =-2a =-故答案为：或. 12-2-二、单选题13．设不等式的解集为，不等式的解集为，则不等式的解集为()0f x ≥[1,2]()0g x ≥∅()0()0f xg x <⎧⎨<⎩（ ）A ．B ．C ．D ．∅(,1)(2,)-∞⋃+∞(1,2)R 【答案】B【分析】根据集合的补集的含义求解即可.【详解】因为不等式的解集为，不等式的解集为，()0f x ≥[1,2]()0g x ≥∅所以不等式的解集为，不等式的解集为 ()0f x <(,1)(2,)-∞⋃+∞()0g x <R 所以不等式的解集为. ()0()0f x g x <⎧⎨<⎩(,1)(2,)-∞⋃+∞故选：B ．三、多选题14．已知为正常数，则不等式（ ） ,,a b m a m a b m b +>+A ．当时成立 B ．当时成立a b <a b >C ．是否成立与无关D ．一定成立 m 【答案】AC【分析】化简不等式即可判断.【详解】因为为正常数，则，且不等式是否成立与,,a b m ()()a m a a m b a b m b a b m b+>⇔+>+⇔>+无关.m 故选：AC.四、单选题15．俗话说“不到长城非好汉”，这句话的意思是“到长城”是“好汉”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】利用命题与逆否命题的关系判断.【详解】设为不到长城，推出为非好汉，即，p ⌝q ⌝p q ⌝⇒⌝则，即好汉到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.q p ⇒⇒故选：B ．16．已知，为方程的两根，，为方程的两根，则常数1x 2x 20x px q ++=11x +21x +20x qx p ++=p ，q 分别等于（ ）A ．，B ．3，C ．1，3D ．，1 1-3-1-3-【答案】A【分析】根据已知条件由韦达定理得出，关于p ，q 的式子，消去，求解即可得出答案.1x 2x 1x 2x 【详解】，为方程的两根， 1x 2x 20x px q ++=①， 1212x x p x x q +=-⎧∴⎨⋅=⎩ ，为方程的两根，11x + 21x +20x qx p ++=②， ()()12121111x x q x x p +++=-⎧∴⎨+⋅+=⎩ 由①②式消去，可得：，解得， 1x 2x 21p q q p p -+=-⎧⎨-+=⎩13p q =-⎧⎨=-⎩17．已知条件实数满足，条件实数满足，若是的:p x 28200x x --≤:q x 22210(0)x x m m -+->≤p q 必要而不充分条件，则实数的取值范围是（ ）m A ．B ．C ．D ．3m ≥03m <≤3m >03m <<【答案】B【分析】解不等式，必要而不充分条件等价为集合的包含关系，即可列不等式组求解.【详解】，因为是的必要而不充分条件， [][]:2,10,:1,1p x q x m m ∈-∈-+p q 所以，所以且等号不同时成立，所以， [][]1,12,10m m -+⊂-12110m m -≥-⎧⎨+≤⎩03m <≤故选：B.五、解答题18．解下列不等式： (1)； 25123x x x -<---(2).2(1)(2)0x x -+≥【答案】(1)(1,1)(2,3)-U (2){2}[1,)-+∞【分析】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.【详解】（1），由数轴标根法得，解集22253210(1)(1)(2)(3)02323x x x x x x x x x x x --+<-⇔<⇔+---<----为；(1,1)(2,3)-U （2）或， 210(1)(2)020x x x x -≥⎧-+≥⇔⎨+≠⎩20x +=易得解集为.{2}[1,)-+∞ 19．解下列不等式： (1)； 132x-<<(2).(0x -≥【答案】(1) 11(,(,)32-∞-⋃+∞【分析】（1）分类讨论解分式不等式；（2）结合因式分解解不等式.【详解】（1）时，解得；时，解得. 0x >12x >0x <13x <-故解集为； 11(,(,)32-∞-⋃+∞（2），故解集为. (2)0(0(00x x x -≥⎧-≥⇔-≥⇔≥[3,)+∞20．已知集合，求：{}2|20A x x x m =-+=(1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围；A m (2)若，求实数的取值范围.(,0)A ⊆-∞m 【答案】(1)m 1≥(2)1m >【分析】（1）由集合元素的个数转化为方程根的个数列不等式即可求得实数的取值范围； m （2）根据集合关系，讨论或只有负根，列不等式即可求得实数的取值范围.A =∅220x x m -+=m 【详解】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根{}2|20A x x x m =-+=220x x m -+=所以，故；440m ∆=-≤m 1≥（2）由题意得或只有负根，A =∅220x x m -+=当时，，故，A =∅Δ440m =-<1m >当只有负根时，，无解，220x x m -+=1212Δ440200m x x x x m =-≥⎧⎪+=<⎨⎪=>⎩综上，实数的取值范围为.m 1m >21．关于的不等式，其中. x 2282002(1)94x x mx m x m -+<++++R m ∈(1)解集为空集时，求实数的取值范围； m (2)解集为时，求实数的取值范围.R m 【答案】(1)； 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2). 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】(1)由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；22(1)940mx m x m ++++≥(2) 由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；22(1)94mx m x m ++++0<【详解】（1）解：因为恒为正，22820(4)4x x x -+=-+所以解集为空集时，恒成立，22(1)940mx m x m ++++≥当时，不恒成立，舍去；0m =240x +≥当时，，解得， 0m ≠()()20Δ414940m m m m >⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩14m ≥所以实数的取值范围是； m 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）解：因为恒正，所以解集为时，恒成立， 22820(4)4x x x -+=-+R 22(1)94mx m x m ++++0<当时，不恒成立，舍去；0m =240x +<当时，，解得， 0m ≠()()20Δ414940m m m m <⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩12m ≤-所以实数的取值范围是. m 1,2⎛⎤-∞- ⎝⎦22．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时217,0415,4102x x y x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的药剂，要使接下来的4天中能(14)a a ≤≤够持续有效净化，试求a 的最小值．【答案】(1)8天(2)4【分析】（1）对进行分类讨论，由求得净化的天数.x 44y ≥（2）根据空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）列不等式，分离常数，结合函数的单调a 性求得的取值范围，进而求得的最小值.a a【详解】（1）一次喷洒4个单位的净化剂，故浓度， ()2684,044202,410x x f x y x x ⎧-≤≤==⎨-<≤⎩则当时，由，得；04x ≤≤26844x -≥04x ≤≤当时，由，解得，所以．410x <≤2024x -≥8x ≤48x <≤综上所述，，08x ≤≤故若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经过天，(610)x x ≤≤浓度， 21()2517(6)42g x x a x ⎛⎫⎡⎤=⨯-+--≥ ⎪⎣⎦⎝⎭当时，， 610x <≤2611717(6)(6)6x a x x x -≥=-----因为在上单调递减， 17()(6)6h x x x =---(6,10]所以当时，取得最小值， 10x =()h x 1(10)4h =则的最大值为4，所以； 117(6)6x x ---4a ≥当时，恒成立．6x =()4174g x a =+≥综上所述，a 的最小值为4．23．已知函数，设关于的方程的两实根为，方程()24(0,,)f x ax x b a a b =++<∈R x ()0f x =12,x x 的两实根为．()f x x =,αβ(1)若，求与的关系式；||1αβ-=a b (2)若均为负整数，且，求的解析式；,a b ||1αβ-=()f x (3)若，求证：．12αβ<<<12(1)(1)7x x ++<【答案】(1)；249(0,,)a ab a a b +=<∈R (2)；()242f x x x =-+-(3)证明见解析.【分析】（1）由题意得有两个不等实根为，，根据韦达定理及230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R αβ可求解；||1αβ-=（2）由（1）得，结合均为负整数可求解；249a ab +=,a b （3）由韦达定理可得，结合即可证明. 12124,b x x x x a a+=-=12αβ<<<【详解】（1）由题意得有两个不等实根为，，230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R αβ所以． 3940,,b ab a aαβαβ∆=->+=-=由得，即， ||1αβ-=()21αβ-=2294()41b a aαβαβ+-=-=所以，即．294ab a -=249(0,,)a ab a a b +=<∈R （2）由（1）得，因为均为负整数，249a ab +=,a b 所以或或， 149a a b =-⎧⎨+=-⎩941a a b =-⎧⎨+=-⎩343a a b =-⎧⎨+=-⎩显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有，解得，． 149a a b =-⎧⎨+=-⎩1a =-2b =-故所求函数解析式为．()242f x x x =-+-（3）由题意得， 12124,b x x x x a a+=-=又由，得，故， 12αβ<<<30,2b a a αβαβ+=-<=<11a-<所以． ()()121212*********b x x x x x x a a++=+++=-+<++=。

2019-2020学年高一数学上学期十月考试试题（含解析）一、填空题(每小题3分，共12题，共36分)1.设集合，集合，若，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意得出，由此可解出实数的值.【详解】，且，，，，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，在处理有限集的问题时，还应注意集合的元素应满足互异性，考查计算能力，属于中等题.2.用描述法表示所有被除余整数组成的集合：_________．【答案】【解析】【分析】利用描述法和整除性质即可得出.【详解】由题意知，所有被除余的整数组成的集合为.故答案：.【点睛】本题考查描述法、数的整除性质，考查推理能力，属于基础题.3.设集合，，则__________．【答案】【解析】【分析】解方程组，求出公共解，即可得出集合.【详解】解方程组，得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查集合交集的计算，同时也考查了二元一次方程组的求解，在表示集合时要注意集合元素的类型，考查计算能力，属于基础题.4.不等式的解集是_________．【答案】【解析】【分析】将原不等式变形为，解出该不等式即可.详解】由，移项得，即，解得或.因此，不等式的解集是.故答案为：.【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】分析：不等式的解集为，则方程的根为，利用韦达定理求参数，再解不等式即可。

详解：不等式的解集为，则方程的根为，由韦达定理可知：，，所以不等式为，所以解集为点睛：二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法。

6.设、，集合，则__________．【答案】【解析】【分析】根据题意得出，则，则有，可得出，由此得出，然后求出实数、的值，于是可得出的值.【详解】，由于有意义，则，则有，所以，.根据题意有，解得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用集合相等求参数的值，解题的关键就是根据题意列出方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.7.设全集，若，，，则__________．【答案】【解析】【分析】作出韦恩图，将全集中的各元素放置在合适的区域内，得出集合和集合，再根据交集的定义可得出集合.【详解】全集，作出韦恩图如下图所示：由图形可知集合，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查集合的混合运算，同时也考查了韦恩图法的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8.下列说法中：①“若，则”的否命题是“若，则”；②“”是“”的必要非充分条件；③“”是“或”的充分非必要条件；④“”是“且”的充要条件.其中正确的序号为__________．【答案】③【解析】【分析】根据否命题与原命题的关系可判断命题①的正误；解方程，根据充分必要性可判断出命题②的正误；由命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”得出“”是“或”的充分必要性与“且”是“”的充分必要性相同，从而判断命题③的正误；利用举反例和逻辑推理来判断命题④的正误.【详解】对于命题①，“若，则”的否命题是“若，则”，命题①错误；对于命题②，解方程，得或，所以，“”是“”的充分非必要条件，命题②错误；对于命题③，由于命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，可知，“”是“或”的充分必要性与“且”是“”的充分必要性相同，“且”“”，取，则，所以，“”“且”，则“且”是“”的充分非必要条件，所以，“”是“或”的充分非必要条件，命题③正确；对于命题④，取，，则满足，但“”“且”，由不等式性质可知，当且，有，则“且”“”.所以，“”“且”必要非充分条件，命题④错误.故答案为：③.【点睛】本题考查四种命题以及充分必要性的判断，常利用举反例和逻辑推理进行推导，考查推理论证能力，属于中等题. 9.已知集合，则m的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】当时，不等式恒成立，可知符合题意；当时，由恒成立可得；当时，不可能在实数集上恒成立，由此可得结果.【详解】当时，恒成立，，符合题意当时，，解得：当时，集合不可能为综上所述：故答案为：【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，易错点是忽略二次项系数是否为零的讨论，造成求解错误.10.已知集合，，且，则实数的值为_________．【答案】或或1【解析】【分析】解方程得，因为，所以，，，分别解得的值【详解】由题，，因为，所以当时，无解，；当时，；当时，，综上所述，的值为或或【点睛】由集合间的关系求参数时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用11.集合，若，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由，结合题意得出关于的方程有负根，分和，在的前提下，分二次方程有两个相等的负根、两根一正一负以及两个负根进行分类讨论，可求出实数的取值范围.【详解】，，，则关于的方程有负根.（1）当时，即当时，原方程为，不成立；（2）当时，即当时，设该方程的两个实根分别为、.①若该方程有两个相等的负根，则，可得，此时方程为，即为，解得，合乎题意；②若该方程两根一正一负时，则有，解得；③当该方程有两个负根时，则有，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查二次方程根的分布问题，解题时要结合判别式、两根之和与积的符号来进行分析，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.12.若集合,集合，且，记为中元素的最大值与最小值之和，则对所有的，的平均值是__________．【答案】【解析】【分析】先归纳出集合时，集合且时，的平均值，然后令可得出的平均值.【详解】先考虑集合时，集合且时，的平均值.，，则，此时，的平均值为；，当时，，当时，，当时，，此时，的平均值为；，当时，，当时，，时，，当时，，当时，，当时，，当时，，此时，的平均值为；依此类推，对于集合，的平均值为.由于，所以，.故答案为：.【点睛】本题考查了集合的新定义，同时也考查了归纳推理，解题的关键就是利用归纳推理得出的表达式，考查推理论证能力，属于难题.二、选择题(每小题3分，共4题，共12分)13.下列四个命题中，为真命题的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性质依次判断即可.【详解】对于选项A,由及“同向同正可乘性”，可得；对于选项B，令则，显然不成立；对于选项C，若，显然不成立；对于选项D,若，显然不成立.故选：A【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题.14. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B．【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题。

2019-2020学年上海市进才中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合2{|},{|320},A x x a B x x x =<=-+<若,A B B ⋂=则实数a 的取值范围是（） A.1a < B.1a ≤ C.2a > D.2a ≥【答案】D【解析】集合{}{}{}2|,|320|12A x x a B x x x x x =<=-+<=<<，,A B B B A ⋂=∴⊆，则2a ≥，故选D.2．已知实数a 、b 、c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“ a b ac >”成立的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由0ac <，可得出0c a <<，由ab ac >可知0a >，然后再根据已知条件以及逻辑性关系推导出两者间的充分不必要条件关系. 【详解】c b a <<，若0ac <，则必有0c a <<，由b c >，可得出 a b ac >，则0ac ab ac <⇒>；另一方面，若 a b ac >，且c b a <<，则0a >，事实上，若0c b a <<<，则ab ac <. 则0ab ac ac >⇒</.因此，“0ac <”是“ a b ac >”成立的充分不必要条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了不等式性质的应用，考查逻辑推理能力，属于中等题.3．以下结论错误的是（ ）A.命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”B.命题“4x =”是“2340x x --=”的充分条件C.命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题D.命题“220m n +=，则0m =或0n =”的否命题是“220m n +≠，则0m ≠且0n ≠” 【答案】C【解析】利用逆否命题、否命题与原命题之间的关系可判断A 、D 选项的正误；解方程2340x x --=，可得出B 选项的正误；写出命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆命题，再判断出其逆命题的正误，可判断C 选项的正误. 【详解】对于A 选项，命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”，A 选项中的结论正确；对于B 选项，解方程2340x x --=，得1x =-或4x =，所以，“4x =”是“2340x x --=”的充分条件，B 选项中的结论正确；对于C 选项，命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆命题为“若方程20x x m +-=有实根，则0m >”，由140m ∆=+≥，得14m ≥-，逆命题为假命题，C 选项中的结论错误；对于D 选项，命题“220m n +=，则0m =或0n =”的否命题是“220m n +≠，则0m ≠且0n ≠”，D 选项中的结论正确. 故选：C. 【点睛】本题考查四种命题以及充分条件的判断，要熟悉命题之间的关系，以及真假性之间的关系，考查推理能力，属于基础题.4．已知不等式()()120a x x x x -->的解集为A ，不等式()()120b x x x x --≥的解集为B ，其中a 、b 是非零常数，则“0ab <”是“A B R =”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C【解析】对a 、b 的符号以及1x 、2x 是否相等分情况讨论，得出A B R =的充要条件，即可判断出“0ab <”是“A B R =”的充要条件关系.（1）若0a >，0b >.①若12x x =，不等式()()120a x x x x -->即为()210x x ->，则{}1A x x x =≠，不等式()()120b x x x x --≥即为()210x x -≥，得B R =，A B ⊆，AB B R ==；②若12x x ≠，不妨设12x x <，不等式()()120a x x x x -->即为()()120x x x x -->，则()()12,,A x x =-∞+∞，不等式()()120b x x x x --≥即为()()120x x x x --≥，得(][)12,,B x x =-∞+∞，A B ⊆，则AB B R =≠；（2）同理可知，当0a <，0b <时，A B ⊆，A B B ⋃=不一定为R ； （3）若0a >，0b <.①若12x x =，不等式()()120a x x x x -->即为()210x x ->，则{}1A x x x =≠，不等式()()120b x x x x --≥即为()210x x -≤，则{}1B x =，此时，AB R =；②若12x x ≠，不妨设12x x <，不等式()()120a x x x x -->即为()()120x x x x -->，则()()12,,A x x =-∞+∞，不等式()()120b x x x x --≥即为()()120x x x x --≤，则[]12,B x x =，此时，AB R =；（4）同理，当0a <，0b >时，A B R =.综上所述，“0ab <”是“A B R =”的充要条件.故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查补集思想的应用，在解题时需要对参数的符号进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.二、填空题5．设集合{}220x x x a -+=是单元素集合，则实数a =______. 【答案】1【解析】由题意得知0∆=，即可求出实数a 的值. 【详解】由题意可知，方程220x x a -+=有且只有一个实根，则440a ∆=-=，解得1a =. 故答案为：1.本题考查利用集合元素的个数求参数的值，考查二次方程根的个数问题，考查运算求解能力，属于基础题.6．若α、β是一元二次函数2410x x ++=的两个实数根，则11αβ+=______.【答案】4-【解析】利用韦达定理得出αβ+、αβ的值，然后将代数式通分代值计算即可. 【详解】由韦达定理可得4αβ+=-，1αβ=，因此，11441βααβαβ+-+===-. 故答案为：4-. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，考查计算能力，属于基础题. 7．满足{}{},M a a b ⊆的集合M 的个数是______个.【答案】4【解析】把符合条件的集合M 列举出来，即可得出符合条件的集合M 的个数. 【详解】由题意可知，满足{}{},M a a b ⊆的集合M 有：∅、{}a 、{}b 、{},a b ，共4个.故答案为：4. 【点睛】本题考查符合条件的集合个数的求解，一般将符合条件集合列举出来即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.8．用列举法表示方程组221x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩______.【答案】⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎝⎭⎩⎭【解析】解出方程组221x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩点的坐标. 【详解】解出方程组221x y ⎧+=⎪2，因此，方程组221x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩22⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭.故答案为；,22⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭. 【点睛】本题考查二元方程组的解集的求解，在求出方程组的解之后，表示解集时需注意解集中的元素应表示为有序实数对，考查计算能力，属于基础题.9．已知命题:2P x >，命题2:230Q x x --=，则命题“P 或Q ”为真的运算结果为______.【答案】2x >-或1x =-【解析】解方程2230x x --=，将P 、Q 中x 的取值或取值范围合并可得出命题“P 或Q ”为真的运算结果.【详解】解方程2230x x --=，得1x =-或3x =，因此，命题“P 或Q ”为真的运算结果为2x >-或1x =-. 故答案为：2x >-或1x =-. 【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数，解题时要结合复合命题的真假得出简单命题的真假，从而得出参数的取值范围，考查计算能力，属于基础题.10．若关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R ，则实数a 的取值范围是______. 【答案】(]1,0-【解析】分两种情况0a =和0a <⎧⎨∆<⎩，可求出实数a 的取值范围.【详解】关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R .当0a =时，原不等式为10-<，该不等式在R 上恒成立； 当0a ≠时，则有2440a a a <⎧⎨∆=+<⎩，解得10a -<<. 综上所述，实数a 的取值范围是(]1,0-.故答案为：(]1,0-. 【点睛】本题考查二次不等式在实数集上恒成立问题，一般要对首项系数的符号和判别式的符号进行讨论，由此列出不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于中等题. 11．若集合201x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，{}2B x x =<，则A B =______.【答案】{}21x x -<<【解析】解出集合A 、B ，然后利用交集的定义可得出集合A B .【详解】{}20211x A x x x x ⎧⎫+=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭，{}{}222B x x x x =<=-<<，因此，{}21A B x x ⋂=-<<. 故答案为：{}21x x -<<. 【点睛】本题考查集合交集的运算，同时也考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，解题的关键就是解出题中涉及的集合，考查计算能力，属于基础题. 12．已知集合{}41,A x x k k Z ==±∈，U Z =，则UA______ .【答案】{}2,x x k k Z =∈【解析】将集合A 表示为{}{}41,41,A x x k k Z x x k k Z ==+∈⋃=-∈，并进行化简，再利用补集的定义可得出集合UA .【详解】由题意可得{}{}41,41,A x x k k Z x x k k Z ==+∈⋃=-∈，{}{}41,221,x x k k Z x x k k Z =+∈==⨯+∈，{}(){}41,2211,x x k k Z x x k k Z =-∈==⨯-+∈，所以，{}{}{}41,41,21,A x x k k Z x x k k Z x x k k Z ==+∈⋃=-∈==+∈， 因此，{}2,UA x x k k Z ==∈.故答案为：2,x x k k Z =∈.【点睛】本题考查补集的运算，解题的关键就是弄清楚题中集合的含义，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.13．设关于x 的不等式0ax b +>的解集是()1,+∞，则关于x 的不等式06ax bx ->-的解集为______.【答案】{1x x <-或}6x >【解析】由题意得出1为关于0ax b +=的根，且0a >，然后将分式不等式化为106x x +>-，解出该不等式即可. 【详解】由于关于x 的不等式0ax b +>的解集是()1,+∞，则1为关于0ax b +=的根，且0a >，0a b ∴+=，得=-b a ，不等式06ax b x ->-即为06ax a x +>-，即106x x +>-， 解该不等式得1x <-或6x >. 故答案为：{1x x <-或}6x >. 【点睛】本题考查不等式与解集之间的关系，同时也考查了分式不等式的求解，解题的关键就是确定两参数的等量关系，并确定出参数的符号，考查运算求解能力，属于中等题. 14．a 、b 、c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 的年龄不是最小，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a 、b 、c 的年龄由小到大依次为______. 【答案】c a b <<【解析】若命题A 为真命题，可得出a b c <<或c a b <<，若命题B 为真命题，可得出b c a <<或c a b <<，进而得出结论. 【详解】若命题A ：“如果b 的年龄不是最大，那么a 的年龄最小”是真命题，则a 是最小，b 不是最大，即c 最大，或a 不是最小，b 最大，c 最小，即a b c <<或c a b <<； 若命题B ：“如果c 的年龄不是最小，那么a 的年龄最大”是真命题，则c 不是最小，a 最大，b 最小，或a 不是最大，c 最小，b 最大，即b c a <<或c a b <<. 若两个命题均为真命题，则c a b <<. 故答案为：c a b <<.本题考查了命题真假性的判断与应用，也考查了逻辑推理能力，解题的关键是正确理解互为逆否的两个命题的真假性相同，考查推理能力，属于中等题.15．Q 是有理数集，集合{},,,0M x x a a b Q x ==∈≠，在下列集合中：①}x M ∈；②1x M x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③{}1212,x x x M x M +∈∈；④{}1212,x x x M x M ∈∈.与集合M 相等的集合序号是______. 【答案】①②④【解析】利用集合的定义以及集合相等的定义进行验证，即可得出结论. 【详解】对于①中的集合，x M ∈，设x a =，a Q ∈，b Q ，)2a b ==，则2b Q ∈，①中的集合与集合M 相等；对于②中的集合，x M ∈，设x a =，a Q ∈，b Q ，且a 、b 不同时为零.则2212a x a b ===-222a Q a b ∈-，222bQ a b -∈-，②中的集合与集合M 相等；对于③中的集合，取1x a =，2x a =-，a Q ∈，b Q ，则120x x M +=∉，③中的集合与集合M 不相等；对于④中的集合，设111x a =，222x a =，其中1a 、2a 、1b 、2b Q ∈，则()()()(121122*********x x a a a a b b a b a b =+=+++12122a a b b Q +∈，1221a b a b Q +∈，④中的集合与集合M 相等.因此，集合M 相等的集合序号是①②④. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查集合相等的定义，解题时要充分利用集合的定义进行验证，考查计算能力，属于中等题.16．设集合{}1,2,3,4,5I =，若非空集合A 同时满足①A I ⊆，②()min A A ≤（其好子集，I 的所有好子集的个数为______. 【答案】12【解析】对()min A 的取值为1、2、3、4、5进行分类讨论，列举出在()min A 在对应取值下集合A ，由此得出符合条件的集合A 的个数. 【详解】由题意可知，()min A 的取值为1、2、3、4、5. （1）当()min 1A =时，1A ≤，则{}1A =；（2）当()min 2A =时，2A ≤，则符合条件的集合A 有：{}2、{}2,3、{}2,4、{}2,5，共4个；（3）当()min 3A =时，3A ≤，则符合条件的集合A 有：{}3、{}3,4、{}3,5、{}3,4,5，共4个；（4）当()min 4A =时，4A ≤，则符合条件的集合A 有：{}4、{}4,5，共2个； （5）当()min 5A =时，5A ≤，则符合条件的集合A 为{}5. 综上所述，I 的所有好子集的个数为1442112++++=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查符合集合新定义的集合个数，解题时要明确题中集合的定义，采用列举法列举出符合条件的集合，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三、解答题17．解不等式：2024x x <+-<. 【答案】()()3,21,2--【解析】分别解出不等式220x x +->和224x x +-<，然后将两个解集取交集即可得出原不等式的解集. 【详解】解不等式220x x +->，得2x <-或1x >.解不等式224x x +-<，即260x x +-<，解得32x -<<. 因此，不等式2的解集为3,21,2--.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.18．设0m n >>，试比较2222m n m n -+与m nm n -+的大小关系. 【答案】2222m n m nm n m n-->++ 【解析】由()()()()2222m n m n m n m n m n m n m n -+--==+++，再利用不等式的性质可得出2222m n m n -+与m nm n-+的大小关系. 【详解】()()()()222222222m n m n m n m n m n m n m mn n m n m n -+---===+++++，0m n >>，222202m n m mn n ∴<+<++且220m n ->，2222112m n m mn n ∴>+++，因此，222222222m n m n m n m mn n -->+++，即2222m n m nm n m n-->++. 【点睛】本题考查利用不等式的性质比较代数式的大小，常用的比较大小方法有：作差法、作商法、不等式的性质、函数单调性法、中间值法以及图象法等，可以结合代数式的结构选择合适的方法来比较大小，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 19．设函数()f x x a =-.（1）当2a =时，解不等式()71f x x ≥--； （2）若()1f x ≤解集为[]0,2，求a 的值. 【答案】（1）(][),25,-∞-+∞；（2）1a =. 【解析】（1）将2a =代入不等式()71f x x ≥--，得出127x x -+-≥，然后分1x ≤、12x <<、2x ≥三种情况来解不等式()71f x x ≥--，即可得出该不等式的解集；（2）解出不等式()1f x ≤得出11a x a -≤≤+，由题意得出[][]0,21,1a a =-+，然后列出方程组求出实数a 的值.（1）当2a =时，由()71f x x ≥--，得271x x -≥--，即127x x -+-≥. 当1x ≤时，则有12327x x x -+-=-≥，解得2x -≤，此时，2x -≤； 当12x <<时，则有1217x x -+-=>，该不等式不成立；当2x ≥时，则有12237x x x -+-=-≥，解得5x ≥，此时，5x ≥. 综上所述，当2a =时，不等式()71f x x ≥--的解集为(][),25,-∞-+∞；（2）解不等式()1f x ≤，即1x a -≤，即11x a -≤-≤，解得11a x a -≤≤+.由题意可得[][]0,21,1a a =-+，所以，1012a a -=⎧⎨+=⎩，因此，1a =.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了利用绝对值不等式的解集求参数，对于绝对值不等式的求法，一般利用零点分段法与绝对值的几何意义来求解，考查运算求解能力，属于中等题.20．已知集合()4,6A =-，集合()(){}30,B x x a x a x R =--≤∈. （1）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围； （2）若AB =∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）423,⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）(][),46,-∞-+∞【解析】（1）由A B A ⋃=得出B A ⊆，然后对a 与3a 的大小分三种情况讨论，结合条件B A ⊆列关于a 的不等式组，即可求出实数a 的取值范围； （2）然后对a 与3a 的大小分三种情况讨论，结合条件A B =∅，列出关于a 的不等式，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】 （1）A B A =，B A ∴⊆.当0a =时，{}0B A =⊆成立；当0a <时，3a a <，则[]3,B a a =，由B A ⊆，得346a a >-⎧⎨<⎩，解得463a -<<，此时，403a -<<； 当0a >时，3a a >，则[],3B a a =，由B A ⊆，得436a a >-⎧⎨<⎩，解得42a -<<，此时，02a <<.综上所述，实数a 的取值范围是423,⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）当0a =时，{}0B A =⊆，此时，{}0AB =≠∅，舍去；当0a <时，30a a <<，此时，[]3,B a a =，由A B =∅，得4a ≤-； 当0a >时，30a a >>，此时，[],3B a a =，由A B =∅，得6a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是(][),46,-∞-+∞.【点睛】本题考查利用集合包含关系、集合运算的结果求参数，解题时要对参数的符号进行分类讨论，并求出相应的集合，结合数轴来得出不等关系，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.21．已知数集{}()1212,,,1,2n n A a a a a a a n =⋅⋅⋅≤<<⋅⋅⋅<≥具有性质P ：对任意的i 、()1j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .（1）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（2）证明：11a =且1211112nn na a a a a a a ---++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+； （3）证明：当5m =时，53424321a a a a a a a a ===. 【答案】（1）{}1,3,4不具有性质P ，{}1,2,3,6具有性质P ，理由详见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）由定义直接判断集合{}1,3,4和{}1,2,3,6是否具有性质P ； （2）由已知得n n a a 和nna a 中至少有一个属于A ，从而得到11a =，再由121n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，得到()2,3,,k n a a A k n ∉=，由A 具有性质P 可知()1,2,3,,nka A k n a ∈=，由此能证明1211112nn na a a a a a a ---++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+； （3）当5n =时，25243a a a a ==，从而34a a A ∈，43a A a ∈，由此能证明53424321a a a a a a a a ===. 【详解】（1）由于34⨯和43均不属于数集{}1,3,4，所以，数集{}1,3,4不具有性质P . 由于12⨯、13⨯、16⨯、23⨯、62、63、11、22、33、66都属于数集{}1,2,3,6，所以，数集{}1,2,3,6具有性质P ； （2）数集{}()1212,,,1,2n n A a a a a a a n =⋅⋅⋅≤<<⋅⋅⋅<≥具有性质P ，所以，n n a a 和nna a 中至少有一个属于A ，121n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，所以n n n a a a >，则n n a a A ∉，从而1nna A a =∈，故11a =. 121n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，所以，k n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n ∉=.因为，数集A 具有性质P 可知，()1,2,3,,nk a A k n a ∈=.又因为121n nn n n n a a a a a a a a -<<<<，1n n a a a ∴=，21nn a a a -=，，12n n a a a -=，1nn a a a =. 所以，1212n nnn na a a a a a a a a +++=+++.因此，()111121212*********121212n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ------------+++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+===++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+；（3）由（2）知，542a a a =，533a a a =，即25243a a a a ==， 因为123451a a a a a =<<<<，所以，34245a a a a a >=，则34a a A ∉，由于数集A 具有性质P ，43a A a ∴∈. 由2243a a a =，可得3423a a A a a =∈，且3321a a a <<，所以，34232a aa a a ==， 故534224321a a a a a a a a a ====，因此，53424321a a a a a a a a ===.【点睛】本题考查集合中的新定义，考查等式的证明，考查了运算求解能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想的应用，能较好地考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于难题.。

2019-2020中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{4,5} D .{1,4}【答案】A【解析】将阴影部分对应的集合的运算表示出来，然后根据集合AB 表示元素的范 围计算结果. 【详解】因为阴影部分是：A （C R B ）；又因为x （4—x ）<0,所以x>4或x<0,所以B = {x|x ）4或x<0},所以 C R B = {X |0<X <4},又因为 A = {1,2,3,4,51，所以 A （QB ）= {1,2,3,4}, 故选：A. 【点睛】本题考查根据已知集合计算伽"图所表示的集合，难度较易.对于图中的阴影部 分首先要将其翻译成集合间运算，然后再去求解相应值.3.设a, b 是非零向量，是“a//b”的（）4 3 . A. 1B. —1C.—I —I5 5【答案】D 【解析】【详解】由题意可得：忖=（¥ +3? = 5,且：乞=4一3几z 4-3/4 3 .据此有：旧-丁十一尹 本题选择D 选项.D.-3. —I52.若集合A = {1,2,3,4,5}傑合B = {x|x （4-x ）<0}侧图中阴影部分表示（）ZA.充分而不必要条件 C.充分必要条件【答案】A 【解析1 a-b =|a|-|Z?|cos^,Z?^ ,由已知得cos(a,b 〉= l,即仏巧=0,加/方.而当 a 〃Q 时,仏方)还可能是兀，此时a-b =-|®|j^|,故“a"=问”| ”是“a//b ”的充分 而不必要条件，故选A. 【考点】充分必要条件、向量共线.4. 设 a = log 4S,b = log 0A 8, c = 204,!S!l ()A.b<c<aB.c<b<aC.c<a<bD.b< a<c【答案】A【解析】根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小. 【详解】因为 a = log 4 8 = ^-log 2 2 =扌’b = log 04 8 < log 041 = 0, c = 20'4< 20'5 = A /2 < 扌, 所以b<c<a , 故选：A. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小，难度一般•利用指、对数函数单调 性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：0,1.5. 若直线 lax-by + 2 = 0(a > 0,b > 0)被圆 x 2 + y 2+2x-4_y+ 1 = 0 截得弦长为 4,4 1一则—：的最小值是()a b1 1 A. 9B. 4C.-D.-24【答案】A 【解析】圆x2+ y 2 + 2x-4y + l = 0的标准方程为：(x+1) 2+ (y - 2) 2 =4,它表示以(-1, 2)为圆心、半径等于2的圆； 设弦心距为d,由题意可得22+d 2=4,求得d=0,可得直线经过圆心，故有-2a - 2b+2=0, 即a+b=l,再由a>0, b>0,可得B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件4 14 1I =(Ia ba b4Z? a4 ]当且仅当一=—时取等号，•••一 + 〒的最小值是9. a b a b故选：A.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表 示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.① 一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一 个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.6.函数/(%) = x 2-cos%在-彳冷 的图像大致是()【解析】先判断奇偶性，然后通过计算导函数在特殊点的导函数值正负来判断相应结果. 【详解】因为/ (兀)定义域关于原点对称且=- cos (-%) = X 2 - cos % = /(%),所以/(X )是偶函数，排除A 、C ；又因为/,(x) = x (2cosx-xsinx),所以【点睛】 本题考查函数图象的辨别，难度一般•辨别函数图象一般可通过奇偶性、单调性、特殊 点位置、导数值正负对应的切线斜率变化等来判断.7.如图,长方体 ABCD-A.B^D, ^,AA l =AB^2,AD = l,^E,F,G 分别是 D0, AB, CC,的中点，则异面直线与GF 所成角的余弦值是71所以“护对应的切线斜率大于零，所以排除D,)(a+b) =5+ —+ ->5+2 a b=9故选：B.【答案】D 【解析】以DA,DC,DD ［所在直线为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，可得4疋和GF 的坐标，进而可得cos^EGF,从而可得结论. 【详解】以DA, DC, DD,所在直线为X, % z 轴，建立空间直角坐标系, 则可得 4（l,0,2）,E （0,0,l ）,G （0,2,l ）,F （l,l,0）,设异面直线4E 与GF 所成的角为0,【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种： 一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向 量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位 线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.& 在AABC 中，ZA, ZB, ZC 的对边分别为 a, b, c, cos 2— =,贝U ABC2 2c的形状一定是（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】Byk h + C【解析】在△ ABC 中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos?—=——，转化为2 2c cosA=^-,整理即可判断△ ABC 的形状.sinC【详解】 亠亠 c A b + c在AABC 中，Vcos2—=-------- , 2 2cD.O则 cos 0 = |cos 4E, GF | =-lxl + 0 + （-l ）x （-l ）72x^2=0, 故选D..l + cosA = sinB + sinC=j_ sinB+j_2 2sinC 2 sinC 2sinB an sinB・°・ 1+cosA = 1,艮卩cosA = ----- ,sinC sinCcosAsinC = sinB = sin (A+C) = sinAcosC+cosAsinC,:.sinAcosC=0, *.* sin A#),cosC=0,・・・c为直角.故选：B.【点睛】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用, 属于中档题.9.若函数f(x) = ^x2-2x + alnx有两个不同的极值点，则实数。

2019-2020学年上海市浦东新区南汇中学高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下面的结论正确的是()A. ax∈Q，则a∈NB. a∈N，则a∈{正整数}C. x2−1=0的解集是{−1,1}D. 正偶数集是有限集2.已知命题p：若△ABC为钝角三角形，则sinA<cosB；命题q：∀x，y∈R，若x+y≠2，则x≠−1或y≠3，则下列命题为真命题的是()A. p∨(¬q)B. (¬p)∧qC. p∧qD. (¬p)∧(¬q)3.“a+b=0”的充分不必要条件是()A. a=−bB. a2=b2C. 1a +1b=0 D. e a⋅e b=14.已知集合A={x|0<x<3}，B={x|x−2>0}，则集合A∩B=()A. {x|0<x<2}B. {x|2<x<3}C. {x|x>2}D. {x|x>0}二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5.设A={x|1<x≤3}，B={x|−1≤x<2}，则A∪B=______ ．6.满足关系式{2,3}⊆A⊆{1,2，3，4}的集合A的个数是______．7.若“x≥a”是“x2−x−2≥0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______．8.已知集合P={y|y≥1}，Q={x|y=ln(x−2)}，则P∩Q=______ ．9.设U={x|x≤1}，A={x|x<0}，则∁U A=______．10.有下列四个命题：(1)“若b=3，则b2=9”的逆命题；(2)“全等三角形的面积相等”的否命题；(3)“若c≤1，则x2+2x+c=0有实根”的逆命题；(4)“若A∪B=A，则A⊆B”的逆否命题。

其中真命题的个数是_______．11.若集合M={x|−1<x⩽3}，N={x|x<a}，M∩N=M，则实数a的取值范围是________．12.设集合M={x|−1≤x<2}，N={x|x−k≤0}，若M∩N=⌀，则k的取值范围是______ ．13.己知不等式ax2−5x+b>0的解集是{x|−3<x<−2}，则不等式bx2−5x+a<0的解集是______ ．14.已知对任意实数x，不等式ax2+ax+1>0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.已知集合A={x|1x−2≤−1}，设a∈A，判别b=29a2−24a+17元素与A的关系．16.已知全集U=R，A={x|y=log2(2+x)}，B=[4,+∞)，C={x|y=√1−x}．①计算A∩(∁U B)；②计算A∩C．≤0}若A∩B=A，求实数a的取值范围．17.已知集合A={x|(x−2)(x−3a−1)<0}，B={x|x+1x−518.已知命题p：若关于x的方程x2+2mx−4m−3=0无实数根，则−3<m<−1；命题q：若关于x的方程x2+tx+1=0有两个不相等的正实数根，则t<−2．(1)写出命题p的否命题r，并判断命题r的真假；(2)判断命题“p且q”的真假，并说明理由．19.某地方政府为地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国t 内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府征收附加税率为t元时，则每年减少85万件．(1)将税金收入表示为征收附加税率的函数；(2)在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？20.解关于x的不等式(1)−6x2−x+2≤0(2)mx2−2mx−2x+4>0．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A、a∈Q，则a∈N，若a=12∈Q，但a∉N，故A不正确；B、a∈N，则a∈{自然数}，{正整数}表示以正整数作为元素的集合，故不正确；C、x2−1=0的解为−1，1，所以它的解集是{−1,1}，故正确；D、正偶数集是无限集，故不正确．故选C．A、根据N⊂≠Q，因此a∈Q，则a∈N不正确；B、{正整数}表示以非0自然数作为元素的集合，对集合概念的理解；C、x2−1=0的解为−1，1，正确；D、正偶数集是无限集．逐个排除，即可得到答案．此题是个基础题．考查对集合的理解和记忆，特别是常用数集的理解与记忆．2.答案：B解析：【分析】本题考查了复合(或、且、非)命题真假的判定．先得出命题p、q的真假，再由复合(或、且、非)命题真假的判定即可得出结论．【解答】解：命题p：若△ABC为钝角三角形，当B为钝角时，可得sinA>0，cosB<0，sinA>cosB，可知命题p是假命题；命题q的逆否命题为：若x=−1且y=3，则x+y=2，是真命题，因此命题q是真命题，则选项中命题为真命题的是(¬p)∧q．故选B．3.答案：C解析：解：a+b=0⇔a=−b．∴a=−b是a+b=0的充要条件，故A错误；由a=−b，可得a2=b2，反之，由a2=b2，不一定有a=−b，∴a2=b2是a=−b，即a+b=0的必要不充分条件，故B错误；1 a +1b=0⇔a+bab=0⇒a+b=0，反之，由a+b=0，不一定有1a+1b=0，如a=b=0，∴1a +1b=0是a+b=0的充分不必要条件；故C正确；e a⋅e b=1⇔e a+b=1⇔a+b=0，∴e a⋅e b=1是a+b=0的充要条件，故D错误．故选：C．由必要条件、充分条件的判定方法逐一核对四个选项得答案．本题考查必要条件、充分条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：B解析：解：由B中不等式解得：x>2，即B={x|x>2}，∵A={x|0<x<3}，∴A∩B={x|2<x<3}，故选：B．求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5.答案：{x|−1≤x≤3}解析：解：由A={x|1<x≤3}，B={x|−1≤x<2}，得A∪B={x|1<x≤3}∪{x|−1≤x<2}={x|−1≤x≤3}．故答案为：{x|−1≤x≤3}．直接利用并集运算的概念求解．本题考查了并集及其运算，是基础的会考题型．6.答案：4解析：解：由题意知，满足关系式{2,3}⊆A⊆{1,2，3，4}的集合A有：{2,3}，{2,3，1}，{2,3，4}，{2,3，1，4}，故共有4个，故答案为：4．由题意一一列举出集合A的情况即可．本题考查了集合的化简运算及应用．7.答案：[2,+∞)解析：解：解不等式x2−x−2≥0可得x≤−1，或x≥2，要使“x≥a”是“x2−x−2≥0”的充分不必要条件，则需集合{x|x≥a}是集合{x|x≤−1，或x≥2}的真子集，故只需a≥2即可，故实数a的取值范围是[2,+∞)故答案为：[2,+∞)解不等式可得x≤−1，或x≥2，由充要条件的定义可得{x|x≥a}是集合{x|x≤−1，或x≥2}的真子集，结合数轴可得答案．本题考查充要条件的判断，涉及不等式的解集，属基础题．8.答案：{x|x>2}解析：解：Q={x|y=ln(x−2)}={x|x−2>0}={x|x>2}，∵P={y|y≥1}，∴P∩Q={x|x>2}，故答案为：{x|x>2}，求出集合P，Q，利用集合的基本运算即可得到结论．本题主要考查了集合的基本运算，根据不等式的性质求出集合Q是解决本题的关键．9.答案：{x|0≤x≤1}解析：解：U={x|x≤1}，A={x|x<0}，则∁U A={x|0≤x≤1}．故答案为：{x|0≤x≤1}．直接利用集合的基本运算求解即可．本题考查补集的运算法则的应用，基本知识的考查．10.答案：1解析：【分析】本题考查四种命题及其真假判定，属基础题．【解答】解：(1).“若b =3，则b 2=9”的逆命题是：“若b 2=9，则b =3”，为假命题，故(1)错误；(2).“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形的面积不相等”，为假命题，故(2)错误；(3).“若c ≤1，则x 2+2x +c =0有实根”的逆命题是：“若x 2+2x +c =0有实根，则c ≤1”，是真命题，故(3)正确；(4).“若A ∪B =A ，则A ⊆B ”是假命题，所以其逆否命题也是假命题，故(4)错误．故答案为1．11.答案：{a|a >3}解析：【分析】本题考查交集的性质，属于基础题．根据M ∩N =M 得到M 是N 的子集，利用包含关系即可求解．【解答】解：因为M ={x|−1<x ⩽3}，N ={x|x <a}，又M ∩N =M ，所以a >3．故答案为{a|a >3}．12.答案：k <−1解析：解：化简得M ={x|−1≤x <2}=[−1,2)，N ={x|x −k ≤0}=(−∞,k]，∵M ∩N =⌀∴结合数轴得，k <−1故答案为k <−1将集合N ={x|x −k ≤0}化简为(−∞,k]，根据M ∩N =⌀，说明两个集合没有公共的元素，再结合数轴就能得到正确答案．本题考查了集合关系中的参数取值问题，属于基础题．数形结合是解决此类问题的常用方法，本题利用了数轴，使问题变得一目了然．13.答案：{x|x <−12或x >−13}解析：解：∵ax 2−5x +b >0的解集为{x|−3<x <−2}，∴ax 2−5x +b =0的根为−3、−2，∴−3−2=5a ，(−3)×(−2)=b a∴a =−1，b =−6∴不等式bx 2−5x +a >0可化为−6x 2−5x −1<0∴6x 2+5x +1>0∴x <−12或x >−13故答案为：{x|x <−12或x >−13}.根据所给的一元二次不等式的解集，写出对应的一元二次方程的解，根据根与系数的关系得到不等式的系数的值，解出一元二次不等式得到解集．本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a ，b 的值，是解答本题的关键．14.答案：[0,4)解析：解：a =0时，不等式ax 2+ax +1>0化为1>0，对任意实数x 不等式恒成立，满足条件；a ≠0时，根据一元二次不等式恒成立的条件，应满足{a >0△<0， 即{a >0a 2−4a <0， 解得0<a <4；∴实数a 的取值范围是[0,4)．故答案为：[0,4)．讨论a =0时和a ≠0时不等式恒成立的条件是什么，从而求出实数a 的取值范围．本题考查了利用判别式求不等式恒成立的问题，是基础题．15.答案：解：集合A ={x|1x−2≤−1}={x|1≤x <2}，∵a ∈A ，b =29a −24a+17，当b ∈A 时，则需{1≤29a 2−24a+17<21≤a <2, 解得1≤a ≤53，且a ≠43，∴当1≤a ≤53，且a ≠43时，b ∈A ；当a =43或53<a <2时，b ∉A ．解析：求出集合A ={x|1≤x <2}，由此能求出元素b 与集合A 的关系．本题考查元素与集合的关系的判断，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 16.答案：解：①A ={x|x >−2}…(2分)B =[4,+∞)，C U B =(−∞,4)，…(4分)∴A ∩(C U B)=(−2,4)…(7分)②∵C =(−∞,1]…(10分)∴A ∩C =(−2,1]…(12分)解析：求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．17.答案：解：由B 中不等式解得：−1≤x <5，即B =[−1,5)，∵A ∩B =A ，∴A ⊆B ，由A 中的不等式(x −2)(x −3a −1)<0，当a <13，即3a +1<2时，解得：3a +1<x <2，此时有{3a +1≥−1a <13，即−23≤a <13；当a =13时，A =⌀，满足题意；当a >13，即3a +1>2时，解得：2<x <3a +1，此时有{a >133a +1≤5，即13<a ≤43， 综上，a 的取值范围为[−23,43].解析：求出B 中不等式的解集确定出B ，根据A 与B 的交集为A ，得到A 为B 的子集，分类讨论a 的范围确定出A 中不等式的解集，即可确定出满足题意a 的范围．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．18.答案：解：(1)命题p 的否命题r ：若关于x 的方程x 2+2mx −4m −3=0有实数根，则m ≤−3或m ≥−1，关于x 的方程x 2+2mx −4m −3=0有实数根，∴Δ≥0，即Δ=(2m)2−4×(−4m −3)=4m 2+16m +12≥0，化简，得m 2+4m +3≥0，解得m ≤−3或m ≥−1，∴命题r 为真命题；(2)对于命题p ：若关于x 的方程x 2+2mx −4m −3=0无实数根，则Δ=(2m)2−4×(−4m −3)=4m 2+16m +12<0，化简得m 2+4m +3<0，解得−3<m <−1，∴命题p 为真命题；对于命题q ：关于x 的方程x 2+tx +1=0有两个不相等的正实数根，有{t 2−4>0−t >0，解得t <−2， ∴命题q 为真命题，∴命题“p 且q ”为真命题．解析：本题考查四种命题关系及复合命题真假的判断，属于中档题．(1)先写出命题p 的否命题r ：若关于x 的方程x 2+2mx −4m −3=0有实数根，则m ≤−3或m ≥−1，再进行判断．(2)命题“p 且q ”为真，需要p ，q 都是真命题，当p ，q 一真一假或都假时，则“p 且q ”为假． 19.答案：解：(1)设每年国内销量为x 万件，则销售收入为每年250x 万元，征收附加税金为y =250x ⋅t%，这里x =40−85t ，则所求函数关系为y =250×(40−85t)×t%；(2)依题意，250×(40−85t)×t%≥600，即t 2−25t +150≤0，解得10≤t ≤15．即税率应控制在10%到15%之间．解析：(1)设出每年国内的销售量x 万件，则x =40−85t ，代入征收附加税金y =250x ⋅t%可得征收附加税率的函数；(2)直接由250×(40−85t)×t%≥600求解不等式得答案．本题考查了函数模型的选择及应用，考查了数学建模思想方法，关键是对题意得理解，是中档题． 20.答案：解：(1)∵−6x 2−x +2≤0，∴6x 2+x −2≥0，∴(2x −1)(3x +2)≥0，解得：x ≥12或x ≤−23，故不等式的解集是{x ≥12或x ≤−23}；(2)∵mx 2−2mx −2x +4>0，∴mx 2−2(m +1)x +4>0，m =0时，−2x +4>0，解得：x <2，m ≠0时，△=4(m −1)2≥0，x =2(m+1)±√4(m−1)2m(m+1)±(m−1)m ， x 1=2m ，x 2=2，0<m <1时，2m >2，故不等式的解集是：{x|x >2m 或x <2}，m =1时，△=0，x 1=2m =x 2=2，故不等式的解集是{x|x ≠2}，m >1时，2m >2，故不等式的解集是：{x|x <2m 或x >2}，m <0时，2m <2，<x<2}．故不等式的解集是：{x|2m解析：(1)通过因式分解求出不等式的解集即可；(2)通过讨论m的范围，求出对应的方程的根，求出不等式的解集即可．本题考查了解不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。

高一上学期10月月考数学试题一、填空题1．集合且，且，则____．{|03A x x =≤<}x ∈Z 2{|9B x x =≤}x ∈Z A B = 【答案】{0,1,2}【分析】根据题意先求出集合的具体取值，然后利用交集的定义即可求解.,A B 【详解】因为集合且，且，{|03A x x =≤<}x ∈Z 2{|9B x x =≤}x ∈Z 则，且且，{0,1,2}A =2{|9B x x =≤}{|33x x x ∈=-≤≤Z }x ∈Z 所以，{3,2,1,0,1,2,3}B =---则有，{0,1,2}A B ⋂=故答案为：.{0,1,2}2．已知集合，且，则实数的取值范围为____．{|2},{|}A x x B x x a =≤=≥A B = R a 【答案】2a ≤【分析】数形结合，即可得到答案. 【详解】根据，结合数轴可知，在的左侧或与之重合，故.A B = R a 22a ≤故答案为：.2a ≤3．已知方程的两根为，，则______.230x x +-=1x 2x 12x x -=【分析】由方程易知，根据根与系数的关系写出、，由0∆>12x x +12x x 12x x -=即可求值.【详解】由题设知：，2Δ141(3)130=-⨯⨯-=>∴，，121x x +=-123x x =-∴12x x -===4．已知正实数满足及，则中至少有一128，，， a a a 12820a a a +++= 12812⋅⋅⋅= a a a 128，，， a a a 个小于1，用反证法证明该命题时，第一步是假设结论不成立，则____． 128，，， a a a 【答案】都不小于1【分析】存在量词命题的否定为全称量词命题，写出答案即可.【详解】至少有一个小于1的否定是都不小于1.故答案为：都不小于15．已知条件，，且p 是q 的必要条件，则实数k 的取值范围为:211p k x k -≤≤-:33q x -≤<_________．【答案】(,2]-∞-【分析】根据集合的包含关系得到关于的不等式组解出即可．k 【详解】∴，[)[]3,321,1k k -⊆--∴，解得， 32131k k -≥-⎧⎨≤-⎩2k ≤-故答案为：．(],2-∞-【点睛】结论点睛：一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；p q q p （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；p q p q （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；p q p q （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．p q q p 6．已知等式恒成立，其中为实数，则_____．22231(1)(1)x x a x b x c --=-+-+,,a b c a b c -+=【答案】1-【分析】方法一：将等式左边展开，比较系数可得答案；方法二：令可得答案.0x =【详解】法一：，222231(1)(1)(2)x x a x b x c ax b a x a b c --=-+-+=+-+-+所以；1a b c -+=-法二：在中，令得.22231(1)(1)x x a x b x c --=-+-+0x =1a b c -+=-故答案为：1-7．已知集合，，则____． |0,R 1x A x x x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭{}21,R B y y x x ==+∈A B = 【答案】(1,)+∞【分析】解分式不等式得到，得到，进而求出交集.A {|1}B y y =≥【详解】等价与，解得：或， 01x x ≥-()1010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩1x >0x ≤故或，{|0A x x =≤1}x >又，故，211y x =+≥{|1}B y y =≥所以．(1,)A B ⋂=+∞故答案为：.(1,)+∞8．已知若关于的方程有实根，则的取值范围是______________． ,a ∈R x 2104x x a a ++-+=a 【答案】 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】本题考查二次方程有关知识与绝对值不等式知识的综合应用；由于关于的二次方程有实x 根，那么即，而，从而，解得114()04a a ∆=--+≥1144a a -+≤11244a a a -+≤-11244a -≤． 104a ≤≤ 9．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是_____|3|4x b -<b 【答案】(5,7)【详解】由得 |3|4x b -<4433b b x -+<<由整数有且仅有1，2，3知，解得 40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩57b <<10．定义集合运算，集合，则集合所(){}|,,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈ {}{}0,1,2,3A B ==A B 有元素之和为________【答案】18【分析】由题意可得，进而可得结果.0,6,12=z 【详解】当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z 当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=18故答案为：1811．已知集合有整数解，非空集合满足条件：（1），（2）若2{|360M m x mx =∈+-=Z }A A M ⊆，则，则所有这样的集合的个数为____．a A ∈a A -∈A 【答案】31【分析】根据集合有整数解，结合韦达定理可求出集合，再由题目2{|360M m x mx =∈+-=Z }M 信息中集合满足的两个条件，得到集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集A M A 合，即可求解.A 【详解】因为的整数解只能是36的约数，2360x mx +-=当方程的解为，36时，；当方程的解为，18时，；1-35m =-2-16m =-当方程的解为，12时，；当方程的解为，9时，；3-9m =-4-5m =-当方程的解为，6时，；当方程的解为1，时，；6-0m =36-35m =当方程的解为2，时，；当方程的解为，时，；18-16m =312-9m =当方程的解为，时，；49-5m =故集合{35,16,9,5,0,5,9,16,35}M =----由非空集合满足条件：（1），（2）若，则，A A M ⊆a A ∈a A -∈即集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合，M A A 得这样的集合共有个，52131-=故答案为：.3112．已知集合，其中，，且{}230123|777A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯{}0,1,,6(0,1,2,3)i a i ∈⋅⋅⋅=30a ≠．若正整数m 、n ∈A ，且m+n=2 010(m>n)，则符合条件的正整数m 有_______个．【答案】662【详解】依题意，知m 、n 是七进制中的四位数，而七进制四位数中最大的一个数为，最小的一个数为.3267676762400⨯+⨯+⨯+=317343⨯=因为m+n=2010(m>n)，所以，1006≤m≤1667.故符合条件的正整数m 有1667-1006+1=662(个).二、单选题13．若集合中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）{},,M a b c =A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，{},,M a b c =ABC 则，所以一定不是等腰三角形．a b c ≠≠ABC 故选：D ．14．设集合，在上定义运算，其中为被4除的余数（其中0123,,},{S A A A A =S :i j k A A A ⊕⊕=k i j +，则满足关系式的的个数为（ ）,0,1,2,3i j =20()x x A A ⊕⊕=()x x S ∈A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【分析】根据题目信息，在集合中取值验证即可.S 【详解】当时，0x A =20020220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当时，1x A =2112220()()x x A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=当时，2x A =22220220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当时，3x A =23322200()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕==则满足关系式的的个数为2个，20()x x A A ⊕⊕=()x x S ∈故选：C ．15．已知，则满足关于的方程的充要条件是A ．B ． 220011x ,22R ax bx ax bx ∃∈-≥-220011x ,22R ax bx ax bx ∃∈-≤-C ． D ． 220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≤-【答案】C【详解】试题分析：满足关于的方程，则， 0ax b =220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-则处取得函数最小值，函数为二次函数，，所以满足关于0x ()212f x ax bx =-0122b b x a a -∴=-=⨯的方程的充要条件是 220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-【解析】充分条件与必要条件点评：若则是的充分条件，是的必要条件p q ⇒p q q p16．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 x 2664ax x ax ++--≥a A ．B ．C ．D ．(],1-∞[]1,1-[)1,-+∞(][),11,-∞-+∞ 【答案】B 【分析】分类讨论去绝对值求解.【详解】（1）当或时，，x≥x ≤260x ax --≥不等式为，2664ax x ax ++--≥24x ≥若不等式恒成立，必需2664ax x ax ++--≥2112a a ≥≥-⎧⇒⎨≤⎩≤-所以；11a -≤≤（2， x <<260x ax --<不等式为即，26(6)4ax x ax +---≥2280x ax --≤（ⅰ）当时，不等式对任意恒成立，0x =2280x ax--≤a （ⅱ）当时， 0x <<不等式恒成立即恒成立， 2280x ax --≤42x a x≥-所以，解得， a ≥1a ≥-（ⅲ时， 0x <<不等式恒成立即恒成立， 2280x ax --≤42x a x≤-所以 a ≤1a ≤综上，实数的取值范围是a []1,1-【点睛】本题考查绝对值不等式，含参数的二次不等式恒成立. 含参数的二次不等式恒成立通常有两种方法：1、根据二次函数的性质转化为不等式组；2、分离参数转化为求函数最值.17．已知不等式：①，②，③． |3|2||x x +>22132x x x +≥-+2210x mx +-<(1)分别求出不等式①与②的解集；(2)若同时满足①②的值也满足③，求实数的取值范围．x m 【答案】(1)，或{|13}A x x =-<<{|01B x x =≤<24}x <≤(2) 173m ≤-【分析】（1）解一元二次不等式和高次不等式即可求解；（2）根据不等式的解集包2210x mx +-<含，结合二次函数的性质即可求解.[0,1)(2,3) 【详解】（1）由①得，即，故解集为， 22|3|4||x x +>23690x x --<{|13}A x x =-<<由②得，即， 224032x x x x -≤-+(4)(1)(2)0(1)(2)0x x x x x x ---≤⎧⎨--≠⎩解得解集或，{|01B x x =≤<24}x <≤（2）或，{|01A B x x =≤< 23}x <<由题意得不等式的解集包含，2210x mx +-<[0,1)(2,3) 令，只需， 2()21f x x mx =+-(0)10(3)18310f f m =-<⎧⎨=+-≤⎩解得． 173m ≤-18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下1|1A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭{|1}A x x =>{}11A x x =-<列横线中，求解下列问题．设集合__________，集合． {}22|210B x x x a =++-=（1）若集合B 的子集有2个，求实数a 的取值范围；（2）若，求实数a 的取值范围．A B A ⋃=注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【分析】（1）依题意集合B 元素个数为1，则，计算可得；0∆=（2）分别求出集合，再由，则，即可得到不等式组，解得即可；A AB A ⋃=B A ⊆【详解】解：（1）∵集合B 的子集有2个，∴集合B 元素个数为1∴2441()0a ∆=--=（2）选①集合 1|1(,0)(1,)A x x ⎧⎫=<=-∞⋃∞⎨⎬⎩⎭集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆显然有1a ≠±要满足条件，必有：，解，即，所以解得或111111a a⎧<⎪⎪--⎨⎪<⎪-+⎩111a <--1101a +>+201a a +>+1a >-2a <-；解，即，所以解得或； 111a <-+1101a +>-01a a >-1a >a<0综上可得()()(),21,01,a ∈-∞-⋃-⋃+∞选②，{|1}A x x =>集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆要满足条件，必有：解得； 1111a a ->⎧⎨-->⎩a ∈∅选③解得{}11A x x =-<{}02A x x =<<集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆要满足条件，必有：解得； 012012a a <-<⎧⎨<--<⎩a∈∅19．选修4-5不等式选讲设均为正数，且，证明：a b c d ,,,a b c d +=+（Ⅰ）若；ab cd>>（Ⅱ是的充要条件．>+a b c d -<-【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【详解】（Ⅰ）因为，，得2a b +=++2c d =++a b c d +=+ab cd >22>（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所a b c d -<-22()()a b c d -<-22()4()4a b ab c d cd +-<+-a b c d +=+以，由（Ⅰ．ab cd >+>（ⅱ，则，即>22>a b ++>c d ++，所以，于是．因此，a b c d +=+ab cd >22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-a b c d -<-是的充要条件．>a b c d -<-【解析】推理证明．20．已知关于的不等式的解集为；x 22(23)(1)10(R)k k x k x k --+++>∈M (1)若,求的取值范围；R M =k (2)若存在两个不相等负实数，使得，求实数的取值范围；,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞k (3)是否存在实数，满足：“对于任意，都有；对于任意的，都有”，若k *N n ∈n M ∈Z m -∈m M ∉存在，求出的值，若不存在，说明理由．k 【答案】(1)； 13(,1](,)3k ∈-∞-⋃+∞(2)；13(3,3k ∈(3)存在，3【分析】（1）讨论二次项系数和不为0时，求出原不等式的解集为R 时k 的取值范2230k k --=围；（2）若存在两个不相等负实数，使得，即和是方程,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞x a =x b =的两根，由判别式及韦达定理求解即可；22(23)(1)10k k x k x --+++=（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即M 223k k --可．【详解】（1）解：当时，解得或，2230k k --=3k =1k =-当时，不等式化为1＞0，1k =-∴时，解集为R ，1k =-当时，不等式化为，对任意实数x 不等式不成立，3k =410x +>当时，， R M =()()22223014230k k k k k ⎧-->⎪⎨+---<⎪⎩解得：, 13(,1)(,)3k ∈-∞-⋃+∞综上，的取值范围是； k 13(,1](,)3k ∈-∞-⋃+∞（2）解：若存在两个不相等负实数，使得， ,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞所以方程的两根分别为和,22(23)(1)10k k x k x --+++=x a =x b =所以，()()222222301423010231023k k k k k k k k k k ⎧-->⎪+--->⎪⎪⎪+⎨-<⎪--⎪⎪>⎪--⎩解得：；13(3,)3k ∈（3）解：根据题意，得出解集，；(,)M t =+∞[1,1)t ∈-当时，解得或， 2230k k --=3k =1k =-时，不等式的解集为，满足条件； 3k =1(,)4-+∞时，1＞0恒成立，不满足条件；1k =-当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件； 2230k k -->(,)t ∞+当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件； 2230k k --<(,)t ∞+综上，满足条件的值为3.k 21．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集{}12,,,(2)k A a a a k =≥ (1,2,,)i a i k ∈=Z A 合：，． {}(,)|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． (,)a b S T m n 若对于任意的，总有，则称集合具有性质．a A ∈a A -∉A P （Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合{}0,1,2,3{}1,2,3-P P 和．S T （Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明． P A (1)2k k n -≤（Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论．m n第 11 页 共 11 页【答案】（Ⅰ）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合，{}0,1,2,3P {}1,2,3-P (1,3)S =-(3,1)-，集合，（Ⅱ）见解析（Ⅲ）(2,1)T =-(2,3)m n =【详解】解：集合不具有性质． {}0123，，，P 集合具有性质，其相应的集合和是， {}123-，，P S T {}(13)(31)S =--，，，．{}(21)(23)T =-，，，（II ）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．A ()i j a a ，2k 因为，所以； 0A ∉()(12)i i a a T i k ∉= ，，，，又因为当时，时，，所以当时，． a A ∈a A -∉a A -∉()i j a a T ∈，()(12)j i a a T i j k ∉= ，，，，，从而，集合中元素的个数最多为， T 21(1)()22k k k k --=即． (1)2k k n -≤（III ）解：，证明如下：m n =（1）对于，根据定义，，，且，从而．()a b S ∈，a A ∈b A ∈a b A +∈()a b b T +∈，如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与()a b ，()c d ，S a c =b d =a b c d +=+b d =中也至少有一个不成立．故与也是的不同元素．()a b b +，()c d d +，T 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，S T m n ≤（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与()a b T ∈，a A ∈b A ∈a b A -∈()a b b S -∈，()a b ，是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不()c d ，T a c =b d =a b c d -=-b d =至少有一个不成立，故与也是的不同元素．()a b b -，()c d d -，S 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，T S n m ≤由（1）（2）可知，．m n =。

2024-2025学年上海市浦东新区南汇中学高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若a，b∈R，则“a>b>0”是“a2>b2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.下列结论中正确的是( )A. 所有的集合都可以用列举法表示B. 集合{⌀}表示空集C. 集合A={(x,y)|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，则A=BD. 已知(x−y)2>0，P={x,y}，Q={y,x}，则P=Q3.x<y<0，则下列不等式不成立的是( )A. 1−x2<1−y2B. x2n+1<y2n+1(n∈N)C. 1x <1yD.yx+y>04.设集合P1={x|x2+ax+1>0}，P2={x|x2+ax+2>0}，Q1={x|x2+x+b>0}，Q2={x|x2 +2x+b>0}，其中a，b∈R，下列说法正确的个数是( )①对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集；②对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集；③存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集；④存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

5.已知集合A={1,2,4,6,8}，B={x|x>3}，则A∩B=______．6.陈述句“x<1或y>1”的否定形式是______．7.已知集合A={1,3,4m−3}，B={3,m2}，若B⊆A，则实数m=______．8.若“x=2”是“x<a”的充分条件，则实数a的取值范围为______．9.已知一元二次方程x2+mx+8=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2=6，则实数m的值为______．10.若m <1，则关于x 的不等式mx−2<x +m 的解集为______．11.已知A ={x|15x +2∈N,x ∈N}，则集合A 的非空真子集的个数为______．12.已知2x 2+x +1=a(x +1)2+b(x +1)+c 对任意x ∈R 恒成立，则abc = ______．13.已知集合{x|(m−1)x 2−(m−1)x−1<0}=R ，则实数m 的取值范围是______．14.若不等式ax 2+bx +1>0的解集是(−12,1)，则bx 2+ax +1≤0的解集为______．15.设集合S ={a 1,a 2,a 3,a 4,a 5}，S 的所有非空子集的元素之和为128，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5= ______．16.设集合I ={1,3,5,7}，若非空集合A 同时满足：①A ⊆I ，②|A|≤min(A)，(其中|A|表示A 中元素的个数，min(A)表示集合A 中最小的元素)称集合A 为I 的一个好子集，则I 的所有好子集的个数为______．三、解答题：本题共5小题，共52分。

2021-2022学年上海市南汇中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知a b c R ∈、、，a b >，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b > C ．a c b c > D ．2211a bc c >++ D【分析】通过反例1a =，1b ，0c 可排除ABC ；利用不等式的性质可证得D 正确.【详解】若1a =，1b，则1111a b=>=-，221a b ==，则AB 错误； 若a b >，0c ，则0a c b c ==，则C 错误；211c +≥，21011c ∴<≤+，又a b >，2211a b c c ∴>++，则D 正确.故选：D2．下列①A B A =；②A B B ⋃=；③()UA B =∅；④A B U ⋃=，其中与命题A B⊆等价的共有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个C由集合的运算结合集合间的关系逐个判断即可得解. 【详解】由集合的运算可得命题A B A =、A B B ⋃=、()UA B =∅均与命题A B⊆等价；命题A B U ⋃=与命题A B ⊆不等价. 所以与命题A B ⊆等价的命题共有3个. 故选：C.本题考查了集合的运算及集合间关系的应用，牢记知识点是解题关键，属于基础题. 3．已知全集(){},,U x y x y =∈∈R R ，集合(){},1A x y x y =+=，(),11y B x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A ．{}1,0 B ．∅C ．(){}1,0D ．AC【分析】首先确定集合,A B 的意义，根据补集和交集定义可得结果.【详解】由题意知：全集U 是平面直角坐标系中所有的点构成的集合；集合A 是直线1x y +=上所有点构成的集合；集合B 是直线1x y +=上除()1,0外的所有点构成的集合；B ∴是平面上的点()1,0和不在1x y +=上的所有点构成的集合，(){}1,0A B ∴=. 故选：C.4．已知（1）若()a A B ∈⋃，则a A ∈；（2）若x A B ∈，则x A B ∈；（3）“0a b <<”的必要非充分条件是“11a b -<-”；（4）43x y <⎧⎨<⎩是712x y xy +<⎧⎨<⎩成立的必要非充分条件.其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B【分析】由集合间的交并运算的的性质即可判断(1)(2)；对于(3)，首先化简11a b-<-，然后利用必要不充分条件的概念即可判断；对于(4)，利用特殊值法即可判断. 【详解】对于(1)：因为()a A B ∈⋃，所以a A ∈或a B ∈，故(1)错误； 对于(2)：因为()()A B A B ⋂⊆⋃，所以若x A B ∈，则x A B ∈，故(2)正确； 对于(3)：当0a b <<时，0a b ->->，从而110a b<-<-，必要性成立； 当11a b -<-时，0a b >>也满足，故推不出0a b <<，充分性不成立； 所以11a b-<-是0a b <<的必要不充分条件，(3)正确； 对于(4)：若43x y <⎧⎨<⎩，则7x y +<成立，但当4x <-且3y <-时，12xy >，故43x y <⎧⎨<⎩推不出712x y xy +<⎧⎨<⎩；若712x y xy +<⎧⎨<⎩，取5x =，1y =满足条件，但此时不满足43x y <⎧⎨<⎩，从而43x y <⎧⎨<⎩是712x y xy +<⎧⎨<⎩的既不充分也不必要条件，故(4)错误.从而真命题的个数为2. 故选：B.二、填空题5．设{|21}A x x =-<<，{|03}B x x =<<，则A B ⋃=__________. {|23}x x -<<【分析】结合已知条件，利用并集概念及运算即可求解. 【详解】因为{|21}A x x =-<<，{|03}B x x =<<， 所以{|23}A Bx x.故答案为.{|23}x x -<<6．若1x ，2x 是方程2630x x -+=的两根，则1211x x +=__________. 2【分析】结合已知条件，利用一元二次方程的根与系数之间的关系即可求解. 【详解】由题意及根与系数之间的关系可知，126x x +=，123x x =， 所以121212112x x x x x x ++==. 故2.7．已知集合{1,2,3}A =，则满足{1,2,3,4}A B ⋃=的集合B 共有__________个. 8【分析】结合已知条件可知，4B ∈，然后分类讨论集合B 中元素的个数即可求解. 【详解】因为{1,2,3}A =，{1,2,3,4}A B ⋃=， 所以4B ∈，当B 只有1个元素时，则{4}B =；当B 只有2个元素时，则{1,4}B =，{2,4}，{3,4}； 当B 只有3个元素时，则{1,2,4}B =，{2,3,4}，{1,3,4}； 当B 只有4个元素时，则{1,2,3,4}B =； 综上所述，所求集合B 共有8个. 故8.8．用反证法证明命题“若实数a 、b 满足220a b +=，则0a =且0b =”时，反设的内容应为假设__________.0a ≠或0b ≠【分析】结合已知条件，利用反证法的证明步骤即可求解. 【详解】由反证法的证明步骤可知，首先要假设0a ≠或0b ≠. 故0a ≠或0b ≠.9．已知集合{}1,32A a =-，集合{}21,B a =，且A B =，则实数=a __________.3-【分析】由集合相等可构造方程求得a 的可能的取值，代回集合验证可得结果.【详解】A B =，232a a ∴=-，解得：1a =或3a =-；当1a =时，2321a a -==，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当3a =-时，{}1,9A B ==，满足题意； 综上所述.3a =- 故答案为.3-10．若1m <，则关于x 的不等式2x mx <-的解集为_______; 2{|}1x x m <- 【分析】由题设条件确定10m ->，再按一元一次不等式的解法求解即得. 【详解】因1m <，则10m ->，不等式2x mx <-变形为不等式(1)2m x -<-，解得21x m <--，即21x m <-， 所以不等式2x mx <-的解集为2{|}1x x m <-. 故2{|}1x x m <- 11．命题“若x a >，则(1)0x x ->”是真命题，实数a 的取值范围是__________. [1,)+∞【分析】利用充分条件的概念和集合间的包含关系即可求解. 【详解】由题意得，x a >是(1)0x x ->的充分条件， 由(1)0x x ->可得0x <或1x >， 从而{|}{|0x x a x x >⊆<或1}x >， 从而1a ≥.故数a 的取值范围是[1,)+∞. 故答案为.[1,)+∞12．设全集10{|},U x x x N =<∈，若{}()1,4,5U A B ⋂=，{}U ()6,8B A ⋂=，U U ()(){1,2,4,5,6,7,8}A B ⋃=，则A =______.{0,1,3,4,5,9}【分析】写出全集U ，作出韦恩图，将全集U 中的元素放置在合适的区域内即可求出集合A .【详解】依题意，全集{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，作出韦恩图，如下图所示：观察韦恩图知集合{0,1,3,4,5,9}A =. 故{0,1,3,4,5,9} 13．已知集合2|(1)320Ax a x x 有且仅有两个子集，则实数=a __________.1或18-【分析】结合已知条件，求出2(1)320a x x -+-=的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可. 【详解】若A 恰有两个子集，所以关于x 的方程恰有一个实数解， ①当1a =时，23x =，满足题意； ②当0a ≠时，810a ∆=+=，所以18a =-，综上所述，1a =或18a =-.故1或18-.14．已知集合2{|440}P x mx mx R =+-<=，则m 的取值范围为______．(]1,0-【分析】当0m =时，不等式恒成立，可知符合题意；当0m <时，由恒成立可得∆<0；当0m >时，不可能在实数集上恒成立，由此可得结果. 【详解】当0m =时，40-<恒成立，P R ∴=，符合题意 当0m <时，()24160m m ∆=+<，解得：10m -<< 当0m >时，集合P 不可能为R 综上所述：(]1,0m ∈- 故答案为(]1,0-本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，易错点是忽略二次项系数是否为零的讨论，造成求解错误.15．关于不等式组()2220330x x x k x k ⎧-->⎪⎨+--<⎪⎩的整数解的集合为{2}-，则实数k 的取值范围是__________.(]2,3-【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论，并结合不等式组的整数解的集合即可求解.【详解】由2201x x x -->⇒<-或2x >， 由2(3)3()(3)0x k x k x k x +--=-+<可知， 当3k >-时，3x k -<<，因为不等式组整数解的集合为{2}-，所以23k -<≤；当3k <-时，2(3)3()(3)0x k x k x k x +--=-+<的解为3k x <<-， 则此时不等式组的整数解的集合为{Z |3x k x ∈<<-}，不满足题意； 当3k =-时，2(3)3()(3)0x k x k x k x +--=-+<的解为∅， 则此时不等式组的整数解的集合为空集，不满足题意， 综上所述，实数k 的取值范围为(]2,3-. 故答案为.(]2,3-16．设a 、b 、c 为实数，记集合(){}2|()0,R S x x a x bx c x =+++=∈，(){}2|(1)10,R T x ax cx bx x =+++=∈.若||S 、||T 分别为集合S 、T 的元素个数，则下列结论不可能的是_______________.①||1S =且|||0T = ②||1S =且||1T = ③||2S =且||2T = ④||2S =且||3T = ④【分析】结合已知条件，利用根的个数和一元二次方程的判别式之间的关系分类讨论即可求解.【详解】(1)当||1S =时，由题意知，a S -∈，从而a -是20x bx c ++=的根且240b c ∆=-=或者20x bx c ++=无实数根，即240b c ∆=-<，(i)若a -是20x bx c ++=的根且240b c ∆=-=，则a -是2()02bx +=的根，即22b a b a -=-⇒=，且24b c =，当0a =时，则0b c ==，此时T =∅，即||0T =；当0a ≠时，此时0b ≠，210cx bx ++=的解为21x b a=-=-， 此时1{}T a=-，即||1T =；(ii)当240b c ∆=-<时，210cx bx ++=无解， 当0a =时，此时T =∅，即||0T =；当0a ≠时，此时1{}T a=-，即||1T =；故AB 正确；(2)当||2S =时，可知a -不是20x bx c ++=的根，且240b c ∆=-=， 可得2b x a =-≠-，即2b a ≠，且24b c =，(i)当0b =时，0c ，0a ≠，此时1{}T a =-，即||1T =；(ii)当0b ≠时，210cx bx ++=的解为2=-x b，若0a =，显然||1T =；若0a ≠时且2b a ≠，此时12{,}T a b=--，||2T =，故C 正确；(3)当||3T =时，10ax +=有一个解，210cx bx ++=有两个解， 且10ax +=的解1x a=-不是210cx bx ++=的解，所以21110c b a a ⎛⎫⎛⎫-+-+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20a ab c -+≠，所以0x a +=的解不是20x bx c ++=的解， 又210cx bx ++=有两个解，故240b c ∆=->， 即20x bx c ++=有两个不等的根，所以()2()0x a x bx c +++=有3个解，即||3S =，故④不可能成立.故④.三、解答题17．试比较22a a -与3-的大小.223a a ->-【分析】利用作差法可得到大小关系.【详解】()()2222323120a a a a a ---=-+=-+>恒成立，223a a ∴->-. 18．已知不等式2430x x -+≤的解集为集合A ，不等式220x x -->的解集为集合B ，全集U =R . (1)求A B ⋂； (2)求R ()A B ⋃. (1){|23}A B x x ⋂=<≤ (2)R (){|13}A B x x ⋃=-≤≤【分析】结合已知条件，通过求解一元二次不等式分别求解集合A 和B ，然后利用集合的交并补运算求解即可.【详解】(1)因为243(1)(3)013x x x x x -+=--≤⇒≤≤， 所以13{|}A x x =≤≤，因为22(1)(2)01x x x x x --=+->⇒<-或2x >， 所以{|1B x x =<-或2}x >， 从而{|23}A B x x ⋂=<≤.(2)由(1)中知，13{|}A x x =≤≤，{|1B x x =<-或2}x >， 所以R {|12}B x x =-≤≤， R (){|13}A B x x ⋃=-≤≤.19．设不等式22320x ax a -+<的解集为A ，不等式20x bx c ++>的解集为B ，且()(),21,B =-∞-+∞.(1)求实数,b c ；(2)若A B A =，求实数a 的取值范围. (1)1b =，2c =- (2)(][){},21,0-∞-+∞【分析】（1）根据一元二次不等式的解和一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可求得,b c ；（2）根据交集结果可知A B ⊆；分别在0a =、0a >和0a <的情况下，解不等式得到集合A ，由包含关系可构造不等式求得结果. 【详解】(1)()(),21,B =-∞-+∞，2∴-和1是方程20x bx c ++=的两根，2121b c -=-+⎧∴⎨=-⨯⎩，解得：1b =，2c =-. (2)A B A =，A B ∴⊆；当0a =时，222320x ax a x -+=<无解，即A =∅，满足A B ⊆；当0a >时，由()()223220x ax a x a x a -+=--<得：2a x a <<，22a ∴≤-或1a ≥，解得：1a ≤-（舍）或1a ≥；当0a <时，由()()223220x ax a x a x a -+=--<得：2a x a <<，2∴≤-a 或21a ≥，解得：2a ≤-或12a ≥（舍）； 综上所述：实数a 的取值范围为(][){},21,0-∞-+∞.20．已知集合{}2|0A x x px q =++=，集合{}2|0B x x x r =-+=，且{1}A B ⋂=-，{1,2}A B ⋃=-.(1)求实数p 、q 、r 的值；(2)若集合{|1}C x ax =<，且B C ⊂，求实数a 的取值范围. (1)2r =-，2p =，1q = (2)1(1,)2-.【分析】(1)结合已知条件，可知1B -∈，将=1x -代入20x x r -+=可得r ，然后利用集合间的交并运算求出A ，然后利用一元二次方程根的个数即可求p 和q ；(2)利用集合间的包含关系以及元素与集合间的关系即可求解.【详解】(1)因为{1}A B ⋂=-，所以1B -∈，所以110r ++=，解得2r =-， 由22201x x r x x x -+=--=⇒=-或2x =， 故{1,2}B =-，因为{1}A B ⋂=-，{1,2}A B ⋃=-，所以{}2|0{1}A x x px q =++==-，从而240p q ∆=-=且10p q -+=，解得2p =，1q =. (2)因为{1,2}B =-，B C ⊂， {|1}C x ax =<， 所以<1a -且21a <，即112a -<<， 故实数a 的取值范围为1(1,)2-.21．若集合A 具有以下性质：①0A ∈，1A ∈；②若x 、y A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈.则称集合A 是“好集”. (1)分别判断集合{1,0,1}A =-是否是“好集”，并说明理由； (2)设集合A 是“好集”，求证：若x 、yA ，则x y A +∈；(3)对任意的一个“好集”A ，证明：若x 、y A ，则必有2xy A ∈.(1)A 不是“好集”；理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）根据定义验证{}1121,0,1--=-∉-，从而可说明集合{}1,0,1-不是“好集”； （2）根据定义由0A ∈，yA ，得到0y y A -=-∈，从而可得到()x y x y A --=+∈；（3）分x ，y 为0或1和x ，y 均不为0且不为1两种情况，根据定义分别证明若x ，y A ，则xy A ∈，进而利用（2）的结论，证明2x A ∈，2y A ∈和2()x y A +∈，最后有2222()xy x y x y A =+--∈.【详解】(1)集合A 不是“好集”，理由是1A -∈，1A ∈，而112A --=-∉， 所以A 不是“好集”；(2)因为集合A 是“好集”，所以0A ∈， 若,x y A ∈，则0y A -∈，即y A -∈， 所以()x y A --∈，即x y A +∈； (3)对任意一个“好集”A ，任取x 、yA ；若x 、y 中有0和1时，显然xy A ∈； 下设x 、y 均不含0，1，由定义得1x -，11x -，1A x∈， 所以1111(1)A x x x x -=∈--，所以(1)x x A -∈， 由（2）得2(1)x x x x A -+=∈，同理2y A ∈，若0x y +=或1x y +=，显然2()x y A +∈；若0x y +≠，且1x y +≠，则2()x y A +∈；所以2222()xy x y x y A =+--∈.。