2第二课时4.1.1(2)分数指数幂教学设计教案

分数指数幂一、 教学目标1、 知识与技能目标（1） 掌握分数指数幂的含义；（2） 掌握分数指数幂与根式之间的互化； （3） 掌握分数指数幂的运算性质. 2、 过程与方法目标通过引导学生观察、比较、归纳得到分数指数幂的含义，并提高学生观察问题、解决问题的能力.3、 情感态度与价值观培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透“转化”的数学思想；以及对“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂”这一知识体系的不断扩充和完善的过程的学习，增强学生对数学本质的认识.二、 教学重难点1、 重点：分数指数幂的含义理解及其运算性质；2、 难点：分数指数幂与根式之间的互化.三、 教学方法：启发式教学法 四、 教学过程1、 复习引入(1) n 次方根一般地，如果*(,1)n x a n N n =∈>，那么x 叫做a 的n 次方根.练习：①9的平方根为 ； ②16的四次方根为 ；③8的立方根为 ； ④—32的五次方根为 .(2)n 次根式*,1)n N n ∈>的式子叫做a 的n 次根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.其中na =；当n a =；当n ||a =.练习：①4= ；3= ；5= ；= = = .2、 新课内容22==，102522=1052=；53==，155333=1533=；3a ==，1234a a =124a =.（0a >）通过计算并观察能得到什么结论？m na =其中0a >且*,1n N n ∈>.(1) 引出正分数指数幂的含义：规定：m na=*,,1n m N n ∈>，①当n 为奇数时，a R ∈，② 当n 为偶数时，a ≥0.练习：47a = ；35(3)-= ；832= ；344= ；问：正数a 的负分数指数幂该怎么处理呢？即m na -=？.回忆：初中学过的负整数指数幂1(0)mm aa a-=≠. 类似的，正数a 的的负分数指数幂的含义就可以得到解释了. （2）引出负分数指数幂的含义 规定：0m naa -=≠）. 练习：32a-= ；122-= ；23(3)--= ； 23(3)--= ；（3）知识巩固例1：将下列各根式写成分数指数幂的形式分析：要把握好形式互化过程中字母的位置关系，按照公式，先正确找出公式的m 和n ,再逆向进行形式的转化.解：①3,2n m ==23x =；②3,4n m ==43a =； ③5,3n m ==35a -=；④5,7n m ==753-=.练习1：66P 1题，2题3、小结（1）理解分数指数幂的含义（2）熟练掌握分数指数幂与根式之间的互化五、 作业布置：71P 1题，2题六、 教学反思我认为本节课直接将知识呈现于学生，他们可能会更易接受，但失去了探索知识的过程，且不能启发学生对问题的思考，而由特殊到一般要分几种情况，同学们易混乱。

2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时）第一课时 根式教案目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教案方法：学导式教案过程：（I ）复习回顾引例：填空 *)n a a a n N ⋅∈个（； m n a += (m,n ∈Z)； _____=； （II ）讲授新课1.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m na a ÷可看作m n a a -⋅,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +⋅=；又因为n ba )(可看作m na a -⋅，所以n nn b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =⋅(n ∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。

为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。

（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。

如：分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。

由此，可有：2.n 次方根的定义：（板书）问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？ 分析过程：解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为5)2(-=-32，所以-2是-32的5次方根；因为632a )a (=，所以a 2是a 6的3次方根。

结论1：当n 为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。

此时，a 的n 次方根可表示为n a x =。

从而有：3273=，2325-=-，236a a =解：因为4216=，16)2(4=-，所以2和-2是16的4次方根；因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。

分数指数幂课程设计二。

一、教学大纲1.分数指数的概念（1）分数指数的定义：正实数的分数指数幂是指一个正实数的幂次方的指数是一个分数。

（2）分数指数的含义：分数指数表示的是指数为分数时，底数的幂次方需要根号或分数幂次方来表示。

如2的1/2次方表示为根号下2，2的1/3次方表示为2的开3次方。

（3）分数指数与整数指数的联系：整数指数是分数指数的特殊情况。

当指数为自然数时，分数指数的定义就是整数指数的拓展。

2.分数指数的性质（1）分数指数的加减法：分数指数的加减法可以用指数乘法公式进行推导。

如：a^(b+c)=a^b * a^ca^(b-c)=a^b / a^c（2）分数指数的乘除法：分数指数的乘除法需要用到指数运算法则和根号的概念。

如：a^(b*c)=(a^b)^ca^(b/c)=c√a^b（3）分数指数的零次幂和负次幂：分数指数的零次幂等于1，分数指数的负次幂可以用整数指数的规律进行推导。

a^0=1a^(-n)=1/a^n, (a不等于0)（4）分数指数与根号的关系：分数指数可以使用根号来表示。

二、教学策略1.针对分数指数概念的教学策略（1）引导学生理解分数指数的概念：可以通过实际应用来引导学生去理解分数指数的概念，如温度的变化规律以及物体的增长规律。

（2）梳理分数指数概念的难点：针对学生理解分数指数概念的难点，可以利用多媒体课件、数据分析软件、教学视频等教学资源。

（3）给予学生分数指数各类例题的练习：通过让学生多做几个分数指数的例题，可以让学生更加清晰分数指数的概念与性质。

2.针对分数指数性质的教学策略（1）强调分数指数的运算法则：可以通过多个例子引导学生去理解分数指数的运算法则，让学生能够更加清晰分数指数的乘除和加减法。

（2）引导学生树立自主思考的意识：在教学过程中，需要引导学生养成自主思考的习惯，让学生能够根据已经学习到的基本知识，去发掘新的知识点。

（3）引导学生发现分数指数的特殊性质：通过引导学生去发现分数指数的特殊性质，可以让学生通过掌握少量分数指数的性质，就能够快速掌握分数指数的运算法则。

分数指数幂（2）教案苏教版必修1 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址3.1.1 分数指数幂（2）教学目标：．理解正数的分数指数幂的含义，了解正数的实数指数幂的意义；2．掌握有理数指数幂的运算性质，会进行根式与分数指数幂的相互转化，灵活运用乘法公式幂的运算法则进行有理数指数幂的运算和化简．教学重点：分数指数幂的含义及有理数指数幂的运算和化简．教学难点：分数指数幂含义的理解；有理数指数幂的运算和化简．教学过程：一、情景设置．复习回顾：说出下列各式的意义，并说出其结果（1）（2）（3）（4）2．情境问题：将25，24推广到一般情况有：（1）当m为偶数时，；（2）当m为n的倍数时，．如果将表示成2s的形式，s的最合适的数值是多少呢？二、数学建构．正数的正分数指数幂的意义：（）2．正数的负分数指数幂的意义：（）3．有理数指数幂的运算法则：，，三、数学应用（一）例题：．求值：（1）；（2）；（3）（4）2．用分数指数幂的形式表示下列各式（式中a＞0）（1）；（2）；（3）（4）小结：有理数指数幂的运算性质．3．化简：；4．化简：（1）（2）．5．已知求的值．（二）练习：化简下列各式：．；2．；3．4．当时，求的值四、小结：．分数指数幂的意义；2．有理数指数幂的运算性质；3．整式运算律及乘法公式在分数指数幂运算中仍适用；4．指数概念从整数指数幂推广到有理数指数幂，同样可以推广到实数指数幂．五、作业：课本P63习题3.1（1）2，4，5．。

2.1.1第二课时分数指数幂教案【教学目标】1.通过与初中所学知识进行类比，理解分数指数幂的概念进而学习指数幂的性质.2.掌握分数指数幂和根式的互化，掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分析、抽象类比的能力3.能熟练地运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.【教学重难点】教学重点：（1）分数指数幂概念的理解.（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质.（3）运用有理数指数幂性质进行化简求值.教学难点：（1）分数指数幂概念的理解（2）有理数指数幂性质的灵活应用.【教学过程】1、导入新课同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题—分数指数幂2、新知探究提出问题（1）整数指数幂的运算性质是什么？（2）观察以下式子，并总结出规律：0a>1025a a===；842a a===；1234a a===；1052a a===.（3）利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？*(0,,,x m n N>∈且n>1)(4)你能用方根的意义来解释（3）的式子吗？（5）你能推广到一般情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比（2）的规律表示，借鉴（2）（3），我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他同学鼓励提示.讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结果和分数指数幂是相通的.综上我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)nma a m n N n=>∈>.提出问题（1）负整数指数幂的意义是怎么规定的？（2） 你能得出负分数指数幂的意义吗？（3） 你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义？（4） 综合上述，如何规定分数指数幂的意义？（5） 分数指数幂的意义中，为什么规定0a >，去掉这个规定会产生什么样的后果？（6） 既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？活动：学生回顾初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明0a >的必要性，教师及时作出评价.讨论结果：有了人为的规定后指数的概念就从整数推广到了有理数.有理数指数幂的运算性质如下：对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质：①(0,,)r s r s a a a a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈3、应用示例例1 求值：21332416(1)8;(2)25;(3)()81-- 点评：本题主要考察幂值运算，要按规定来解.要转化为指数运算而不是转化为根式.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.320)a a a>点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算.对结果不强求统一用什么形式但不能不伦不类.变式训练求值：（1）（24、拓展提升已知11223,a a+=探究下列各式的值的求法.（1）33221221122;(2);(3)a aa a a aa a-----++-点评:：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值5、课堂小结（1）分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)nma a m n N n=>∈>，正数的负分数指数幂的意义是*10,,,1),nmnma a m n N na-==>∈>零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义.（2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.（3） 有理数指数幂的运算性质： ①(0,,)r s r s a a a a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈【板书设计】一、分数指数幂二、例题例1变式1例2变式2【作业布置】课本习题2.1A 组 2、4.。

教学设计：《分数指数幂》教学目标〖知识与技能〗（1） 理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。

（2） 会对根式、分数指数幂进行互化。

（3） 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。

〖情感、态度与价值观〗通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。

教学重难点根式、分数指数幂的概念及其性质。

教学情景设计1、复习讨论（1）根式的相关概念（2）整数指数幂：a a a a n⨯⨯⨯= 运算性质：n n n mn n m nm nmb a ab a a a a a ===⋅+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。

2、问题情境设疑问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP =，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。

例如：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为21，2)21(，3)21(，…… 21，2)21(，3)21(，……是正整数指数幂。

当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(。

设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ 问题2：如何计算：322⨯？ 分析：66236263332222222=⨯=⨯=⨯，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？3、分数指数幂 实例引入：5102552510)(a a a a===，4123443412)(a a a a===问题：1、从以上两个例子你能发现什么结论？当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成根指数被开方数的指数a的形式2、4532,,c b a 如何表示？ 结论：规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm问题3、正数的负分数指数幂是：)1,,,0?(*>∈>=-n N n m a a nm分析：)1,,,0(1*00>∈>===--n N n m a a aa a anmnm nm nm如：3434515=-，)0(13232>=-a aa。

2. 1.1第二課時分數指數冪教案【教學目標】1.通過與初中所學知識進行類比，理解分數指數冪的概念進而學習指數冪的性質.2.掌握分數指數冪和根式的互化，掌握分數指數冪的運算性質培養學生觀察分析、抽象類別比的能力3.能熟練地運用有理數指數冪運算性質進行化簡、求值，培養學生嚴謹的思維和科學正確的計算能力.【教學重難點】教學重點：（1）分數指數冪概念的理解.（2）掌握並運用分數指數冪的運算性質.（3）運用有理數指數冪性質進行化簡求值.教學難點：（1）分數指數冪概念的理解（2）有理數指數冪性質的靈活應用.【教學過程】1、導入新課同學們，我們在初中學習了整數指數冪及其運算性質，那麼整數指數冪是否可以推廣呢？答案是肯定的.這就是本節的主講內容，教師板書本節課題—分數指數冪2、新知探究提出問題（1）整數指數冪的運算性質是什麼？a>（2）觀察以下式子，並總結出規律：01051025525===；a a a a()884242===；()a a a a③1212344434()a a a a ===； ④1010522252()aa a a ===.（3） 利用（2）的規律，你能表示下列式子嗎？435,57a ，n m x *(0,,,x m n N >∈且n>1)(4)你能用方根的意義來解釋（3）的式子嗎？（5）你能推廣到一般情形嗎？ 活動：學生回顧初中學習的整數指數冪及運算性質，仔細觀察，特別是每題的開始和最後兩步的指數之間的關係，教師引導學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發學生類比（2）的規律表示，借鑒（2）（3），我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他同學鼓勵提示.討論結果：形式變了，本質沒變，方根的結果和分數指數冪是相通的.綜上我們得到正數的正分數指數冪的意義，教師板書：規定：正數的正分數指數冪的意義是*(0,,,1)n nm ma a a m n N n =>∈>.提出問題（1） 負整數指數冪的意義是怎麼規定的？ （2） 你能得出負分數指數冪的意義嗎？（3） 你認為應該怎樣規定零的分數指數冪的意義？ （4） 綜合上述，如何規定分數指數冪的意義？（5） 分數指數冪的意義中，為什麼規定0a >，去掉這個規定會產生什麼樣的後果？ （6） 既然指數的概念從整數指數推廣到了有理數指數，那麼整數指數冪的運算性質是否也適用於有理數指數冪呢？活動：學生回顧初中學習的情形，結合自己的學習體會回答，根據零的整數指數冪的意義和負整數指數冪的意義來類比，把正分數指數冪的意義與負分數指數冪的意義融合起來，與整數指數冪的運算性質類比可得有理數指數冪的運算性質，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具體的實例說明0a >的必要性，教師及時作出評價.討論結果：有了人為的規定後指數的概念就從整數推廣到了有理數.有理數指數冪的運算性質如下：對任意的有理數r,s,均有下面的運算性質：①(0,,)r s r s a a a a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈3、應用示例例1 求值：21332416(1)8;(2)25;(3)()81--點評：本題主要考察冪值運算，要按規定來解.要轉化為指數運算而不是轉化為根式. 例2 用分數指數冪的形式表示下列各式.33223;;(0)a a a a a a a ••>點評：利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算.對結果不強求統一用什麼形式但不能不倫不類.變式訓練求值：（1）363333••； （2）346627()125mn4、拓展提升已知11223,a a +=探究下列各式的值的求法.（1）33221221122;(2);(3)a a a a a a a a-----++-點評:：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯繫，然後採取“整體代換”或“求值後代換”兩種方法求值5、課堂小結 （1）分數指數冪的意義就是：正數的正分數指數冪的意義是*(0,,,1)n n m ma a a m n N n =>∈>，正數的負分數指數冪的意義是*1(0,,,1),n mn nmmaa m n N n a a-==>∈>零的正分數次冪等於零，零的負分數指數冪沒有意義. （2） 規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數. （3）有理數指數冪的運算性質：①(0,,)r s r s a a a a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈ 【板書設計】 一、分數指數冪 二、例題 例1 變式1 例2 變式2【作業佈置】課本習題2.1A 組 2、4.2.1.1-2分數指數冪課前預習學案一． 預習目標 1. 通過自己預習進一步理解分數指數冪的概念 2.能簡單理解分數指數冪的性質及運算二． 預習內容１．正整數指數冪：一個非零實數的零次冪的意義是： ． 負整數指數冪的意義是： ．２．分數指數冪：正數的正分數指數冪的意義是： ．正數的負分數指數冪的意義是： ． ０的正分數指數冪的意義是： ．０的負分數指數冪的意義是： ．３．有理指數冪的運算性質：如果ａ＞０，ｂ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ，那麼rsaa ⋅＝ ；)(a rs＝ ；)(ab r＝ ．４．根式的運算，可以先把根式化成分數指數冪，然後利用 的運算性質進行運算．三． 提出疑惑通過自己的預習你還有哪些疑惑請寫在下面的橫線上課內探究學案一． 學習目標 1. 理解分數指數冪的概念2.掌握有理數指數冪的運算性質，並能初步運用性質進行化簡或求值學習重點：（1）分數指數冪概念的理解.（2）掌握並運用分數指數冪的運算性質. （3）運用有理數指數冪性質進行化簡求值.學習難點：（1）分數指數冪概念的理解 （2）有理數指數冪性質的靈活應用.二． 學習過程 探究一１．若0a >，且,m n 為整數，則下列各式中正確的是 （ ） A 、mmnna a a ÷= B 、mn m n aa a = C 、()nm m n a a += D 、01n n a a -÷=２．c ＜0，下列不等式中正確的是（ ）A c 2B cC 2D 2c cc cc c．≥．＞．＜．＞()()()121212３．若)2143(x --有意義，則ｘ的取值範圍是（ ）Ａ．ｘ∈Ｒ Ｂ．ｘ≠０．５ Ｃ．ｘ＞０．５ Ｄ．Ｘ＜０．５ 4．比較a=0.70.7、b=0.70.8、c=0.80.7三個數的大小關係是________． 探究二例１：化簡下列各式：（1）()()()2233111a a a -+-+-；（２）)3324()3(5621121231b a baba-÷---例２：求值：（１）已知a xx =+-22（常數）求88xx -+的值；（２） 已知ｘ＋ｙ＝１２，ｘｙ＝９ｘ，且ｘ＜ｙ，求yxy x 21212121++的值例３：已知ax212+=，求aa aaxxx x --++33的值．三． 當堂檢測１．下列各式中正確的是（ ）Ａ．1)1(0-=- Ｂ．1)1(1-=-- Ｃ．aa 22313=- Ｄ．x x x 235)()(=--2.44等於（ ） A 、16aB 、8a C 、4a D 、2a３．下列互化中正確的是（ ）Ａ．)0(()21≠=--x x x Ｂ．)0(3162<=y yyＣ．)0,((4343)()≠=-y x xy yx Ｄ．331x x-=４．若1,0a b ><,且22bba a -+=,則b b a a --的值等於（ ）A 、6B 、2±C 、2-D 、2５．使)23(243x x ---有意義的ｘ的取值範圍是（ ）Ａ．Ｒ Ｂ．1≠x 且3≠x Ｃ．－３＜Ｘ＜１ Ｄ．Ｘ＜－３或ｘ＞１課後練習與提高１．已知ａ＞０，ｂ＞０，且b aab=，ｂ＝９ａ，則ａ等於（ ）Ａ．43 Ｂ．９ Ｃ．91Ｄ．39 ２．2222=+-x x且ｘ＞１，則x x 22--的值（ ）Ａ．２或－２ Ｂ．－２ Ｃ．6 Ｄ．２３．=⨯⨯61125.1323 ． ４．已知N n +∈則)1](1[812)1(---n n ＝ ．５．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>-n n a a x a 1121,0,求()nx x 21++的值．。

分数指数幂(二)三维目标 一、知识与技能1.理解分数指数幂的含义，了解有理数指数幂的意义.2.掌握有理指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行有理指数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化.二、过程与方法1.教学时不仅要关注幂运算的基本知识的学习，同时还要关注学生思维迁移能力的培养.2.通过指数幂概念及其运算性质的拓展，引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性.3.通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂之间的内在联系，培养学生能辩证地分析问题、认识问题.三、情感态度与价值观1.通过分数指数幂概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣.2.教学过程中，通过教师与学生、学生与学生之间的相互交流，加深理解分数指数幂的意义.3.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程，使学生认同科学是在不断的观察、实验、探索和完善中前进的.教学重点1.分数指数幂的含义的理解.2.根式与分数指数幂的互化.3.有理指数幂的运算性质的掌握. 教学难点1.分数指数幂概念的理解.2.有理指数幂的运算和化简. 教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程一、回顾旧知，探索规律，引入新课师：上节课学习了n 次方根的有关知识，请同学们根据有关知识快速完成下列练习. （多媒体显示如下练习，生口答）①532=________；②481=________；③102=________；④3123=________.生：①2 ②3 ③25 ④34.师：注意观察最终化简结果的指数、被开方数的指数以及根指数这三者之间有什么关系？ （组织学生交流，及时捕捉与以下结论有关的信息并板书）102=25=2210，3123=34=3312.师：你对上面的总结是什么呢?生：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式.师：当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，是否也可将根式写成分数指数幂的形式？ （生思考片刻，师继续阐述）师：这个问题我们的先辈早已解决了，人们在不断探索中发现，这么做不但是可以的，并且还会给计算带来很大方便.于是就建立了分数指数幂的概念.这就是我们本课所要研究的内容.二、讲解新课（一）分数指数幂的意义师：32a ，b ，45c 等通过类比可以写成什么形式？说明了什么问题?生：a 32，b 21，c 45.当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，也可以写成分数指数幂的形式. 师：通过上面的例子你能给出一般性的结论吗? （生在师的指导下，得出一般性的结论） （师板书正分数指数幂的意义）规定：正数的正分数指数幂的意义是a nm =nm a （a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.师：初中我们学习了负整数指数幂的意义，你还能说出来吗？生：负整数指数幂的意义为a －n =n a1（a ≠0，n ∈N *）. 师：负分数指数幂的意义如何规定呢？你能否根据负整数指数幂的意义，类比出正数的负分数指数幂的意义呢？（组织学生讨论交流，得出如下结论）正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿.规定：anm -=nm a1=nma 1（a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.师：细心的同学可能已经发现了，我们这里讨论分数指数幂的意义时，对底数都是有大于0这个规定的，为什么要作这个规定呢？如果去掉这个规定会产生怎样的局面？合作探究：在规定分数指数幂的意义时，为什么底数必须是正数？ （组织学生讨论，通过具体例子说明规定底数a ＞0的合理性）若无此条件会引起混乱，例如，（－1）31和（－1）62应当具有同样的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的结果：（－1）31=31-=－1；（－1）62=62)1(-=61=1.这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义.方法引导：在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大于0，在例子32a =a 32（a ＞0）中，若无a ＞0这个条件，32a =|a |32；同时，负数开奇次方根是有意义的，所以当奇数次根式要化成分数指数幂时，先要把负号移到根号外面去，然后再按规定化成分数指数幂，例如，53)2(-=－532=－253.知识拓展：负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负号只是出现在指数上. （二）有理数指数幂的运算法则师：规定分数指数幂的意义之后，指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数.对有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质依然可以进行推广，请回顾一下它们共同的运算性质.（生口答，师板书）对于任意的有理数r 、s ，均有下面的运算性质：①a r a s =a r +s （a ＞0，r 、s ∈Q ）； ②（a r ）s =a rs （a ＞0，r 、s ∈Q ）； ③（ab ）r =a r b r （a ＞0，b ＞0，r 、s ∈Q ）. （三）例题讲解【例1】 求值：832；2521-；（21）－5；（8116）43-.（师多媒体显示，生板演，师组织学生评析，强调严格按照解题步骤书写）解：832=（23）32=23×32=22=4；2521-=（52）21-=5)21(2-⨯=5－1=51； （21）－5=（2－1）－5=25=32； （8116）43-=（32）)43(4-⨯=（32）－3=827.【例2】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a ＞0）：a 3·a ；a 2·32a ；3a .（生板演，师组织学生总结解决此类问题的一般方法和步骤） 解：a 3·a =a 3·a 21=a 213+=a 27； a 2·32a =a 2·a 32=a322+=a 38；3a =（a ·a 31）21=（a 34）21=a 32.方法引导：利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【例3】 计算下列各式（式中字母都是正数）： （1）（2a 32b 21）（－6a 21b 31）÷（－3a 61b 65）； （2）（m 41n83-）8.解：（1）（2a 32b 21）（－6a 21b 31）÷（－3a 61b 65）=［2×（－6）÷（－3）］a 612132-+b653121-+=4ab 0=4a ；（2）（m 41n83-）8=（m41）8（n83-）8=m 2n －3=32n m . 【例4】 计算下列各式： （1）（325－125）÷425；（2）322aa a ⋅（a ＞0）.解：（1）（325－125）÷425=（532－523）÷521=532÷521－523÷521=52132-－52123-=561－5=65－5；（2）322a a a ⋅=32212a a a ⋅=a 32212--=a 65=65a .三、巩固练习课本P 63练习：1，2，3.（生完成后，同桌之间互相交流解答过程） 解：1.a 21=a ；a 43=43a ；a53-=531a；a32-=321a.2.（1）32x =x 32；（2）43)(b a +=（a +b ）43；（3）32)(n m -=（m －n ）32； （4）4)(n m -=（m －n ）24=（m －n ）2； （5）56q p =（p 6q 5）21=p216⨯q215⨯=|p |3q 25；（6）mm 3=m213-=m 25.3.（1）（4936）23=［（76）2］23=（76）3=343216；（2）23×35.1×612=2×321×（32）31×（22×3）61=231311+-×3613121++=2×3=6；（3）a 21a 41a83-=a834121-+=a 83（a ＞0）；（4）2x 31-（21x 31－2x 32）=2×21×x 3131+-－2×2×x )32(31-+-=x 0－4x －1=1－x4.四、课堂小结师：本节课你有哪些收获?能和你的同桌互相交流一下你们各自的收获吗？请把你们的交流过程作简单记录.（生交流，师投影显示如下知识要点） 1.分数指数幂的意义规定：正数的正分数指数幂的意义是a nm =nm a （a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，规定：a nm =nm a1=nma1（a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.2.分数指数幂意义的一种规定，规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数，并把整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂的运算性质.3.有理数指数幂的运算法则①a r a s=a r+s（a＞0，r、s∈Q）；②（a r）s=a rs（a＞0，r、s∈Q）；③（ab）r=a r b r（a＞0，b＞0，r、s∈Q）.五、布置作业板书设计2.1.1 指数与指数幂的运算（2）1.分数指数幂的意义0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义2.有理数指数幂的运算法则3.例题讲解与学生训练4.课堂小结5.布置作业。

可以看出：5√2可以由√2的不足近似值和过剩近似值进行无限逼近.
追问3：如何在数轴上找到与5√2对应的点？
无论是认识√2还是认识5√2，为了认识这些数的意义，我们在数轴上先选取这个数附近一个小区间内的数，通过不断缩小区间的长度，让区间端点的值从区间的左右两个方向，即从左侧不断增大的方向（单调递增），以及从右侧不断减小的方向（单调递减），逐渐向中间逼近，在“单调有界数列必有极限”的基本事实支持下，想象并判定√2，5√2不仅在数轴上确实存在，而且唯一. 这个过程可以用下图表示：
一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α为无理数）是一个确定的实数．进一步拓展到实数：任何正数的实数指数幂是一个确定的实数．
注意：在指数幂a x中，通常要限定a＞0这个条件. 这是为了保证后续的指数函数y=a x对于任意实数x都有意义．因为只有正数的任何实数次幂才都有意义。

如果底数是0，
a3
通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？。

课题 分数指数幂主备人教材分析本课的内容是人教版高一年级上册第2章第1节第2课时，就是课本50到52页的内容，是本章中的重点之一。

本节课安排在根式的概念之后。

通过这一节课的学习使学生掌握分数指数幂的概念和性质。

它既是整数指数幂的拓展，又是今后继续学习“指数函数及其图象”的基础，在本章中起着承上启下的作用。

本节教学内容还是学生进一步学习“数形结合”这一数学思想方法的很好素材。

作为一种数学模型，分数指数幂在日常生活中也有着极其广泛的应用。

教学目标（1）知识目标：通过对根式的概念和性质研究，使学生理解、掌握分数指数幂的概念和性质。

（2）能力目标：通过对分数指数幂的基本性质的探究和应用，帮助学生通过问题解决获得数学知识；在交流过程中，养成表述、抽象、类比、推理、总结的思维习惯。

（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度、勇于探索和敢于创新的精神。

（4）情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。

教学重点分数指数幂概念和性质 教学难点 负分数指数幂的理解教学方法 1、自学体验法——利用学生合作探究经历体验并发现问题，分析问题进一步归纳总结。

问题进一步归纳总结。

2、观察发现、启发引导、探索相结合。

课 型 新授课新授课教学准备 导学案 教学环节教学内容师生活动 设计意图备课组研讨修正预习内容知识回顾负整数指数幂的意义：=-pa),(+ιN p o a整数指数幂的运算性质 ①=·sr a a ),,(Z s r Î②=sr a )( ),,(Z s r Î③=rab )( ),(Z r Î课前布置复习任务。

习任务。

为分数指数幂的学习做准备。

还需复习前面一节课学习的重要知识点 n 次方根的定义及其性质。

n课创设情境导入新活动： 前面，前面，前面，我们已经研究了我们已经研究了整数指数幂运算性质，整数指数幂运算性质，并且并且知道指数取0和负数都是有意义的。

分数指数幂一、 教学目标1、 知识与技能目标（1） 掌握分数指数幂的含义；（2） 掌握分数指数幂与根式之间的互化； （3） 掌握分数指数幂的运算性质. 2、 过程与方法目标通过引导学生观察、比较、归纳得到分数指数幂的含义，并提高学生观察问题、解决问题的能力.3、 情感态度与价值观培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透“转化”的数学思想；以及对“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂”这一知识体系的不断扩充和完善的过程的学习，增强学生对数学本质的认识.二、 教学重难点1、 重点：分数指数幂的含义理解及其运算性质；2、 难点：分数指数幂与根式之间的互化.三、 教学方法：启发式教学法 四、 教学过程1、 复习引入(1) n 次方根一般地，如果*(,1)n x a n N n =∈>，那么x 叫做a 的n 次方根.练习：①9的平方根为 ； ②16的四次方根为 ；③8的立方根为 ； ④—32的五次方根为 .(2)n 次根式*,1)n N n ∈>的式子叫做a 的n 次根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.其中na =；当n a =；当n ||a =.练习：①4= ；3= ；5= ；= = = .2、 新课内容22==，102522=1052=；53==，155333=1533=；3a ==，1234a a =124a =.（0a >）通过计算并观察能得到什么结论？m na =其中0a >且*,1n N n ∈>.(1) 引出正分数指数幂的含义：规定：m na=*,,1n m N n ∈>，①当n 为奇数时，a R ∈，② 当n 为偶数时，a ≥0.练习：47a = ；35(3)-= ；832= ；344= ；问：正数a 的负分数指数幂该怎么处理呢？即m na -=？.回忆：初中学过的负整数指数幂1(0)mm aa a-=≠. 类似的，正数a 的的负分数指数幂的含义就可以得到解释了. （2）引出负分数指数幂的含义 规定：0m naa -=≠）. 练习：32a-= ；122-= ；23(3)--= ； 23(3)--= ；（3）知识巩固例1：将下列各根式写成分数指数幂的形式分析：要把握好形式互化过程中字母的位置关系，按照公式，先正确找出公式的m 和n ,再逆向进行形式的转化.解：①3,2n m ==23x =；②3,4n m ==43a =； ③5,3n m ==35a -=；④5,7n m ==753-=.练习1：66P 1题，2题3、小结（1）理解分数指数幂的含义（2）熟练掌握分数指数幂与根式之间的互化五、 作业布置：71P 1题，2题六、 教学反思我认为本节课直接将知识呈现于学生，他们可能会更易接受，但失去了探索知识的过程，且不能启发学生对问题的思考，而由特殊到一般要分几种情况，同学们易混乱。

4.1.1 n次方根与分数指数幂课时教学设计（高洪春）-高中数学新教材必修第一册小单元教学+专家指导（视频+教案）教学设计教学内容：n次方根与分数指数幂教学目标：知识目标：掌握求解正实数的n次方根和分数指数幂的运算方法。

了解相关概念，能够较好地运用所学知识解决实际问题。

能力目标：培养学生的数学思维能力，提高学生的计算能力、推理能力和问题解决能力。

情感目标：通过本节课的教学，让学生在掌握知识的同时，增强对数学的兴趣和信心。

教学重点：1.求解n次方根；2.分数指数幂的计算。

教学难点：1.根号下的有理数未提取因式；2.未化简的分数幂。

教学方法：（1）探究发现法：通过实物或数字，让学生自己发现n次方的内涵，并将其推广到n次方根。

（2）讲解法：对于本课重难点内容，采取讲解法进行讲解。

（3）练习法：通过大量的练习加深学生对于n次方根和分数指数幂的认识，提高计算和运用能力。

教学过程：一、引入1.仔细观察下面的算式：$a^2$+2ab+b^2，它是否有什么特点？2.让学生自己尝试展开：(a+b)²，并发现(a+b)²有什么规律？3.从这里推广到n次方，进而引入n次方根的概念。

通过自然数次方的练习，逐步引导学生了解n次方根。

二、讲解1.求解n次方根：即求解$x^n=a$的解。

2.分数指数幂的运算：$(a^m/n)^n$三、练习1.练习题目：（1）求解$10^6$的平方根；（2）求$(16/25)^{-3/4}$（3）求$(8x^2)^{2/3}+2(x^2)^{1/3}$2.互动练习：教师画图示意，让学生推理。

四、归纳1.在解题中有哪些需要注意的地方？2.回顾本节课所学的内容，有哪些值得学生深入思考或者总结的地方？五、作业1.课后作业：整理笔记，并完成相应练习题。

2.提出新问题：教师针对课堂中出现的一些问题，提出新问题，并带领学生继续探究。

教学反思本节课通过探究发现法、讲解法和练习法相结合，深入浅出地讲解了n次方根和分数指数幂的相关概念和运算方法。

分数指数幂教案教案标题：分数指数幂教案教学目标：1. 理解分数指数幂的概念和性质。

2. 掌握计算分数指数幂的方法。

3. 能够应用分数指数幂解决实际问题。

教学重点：1. 理解分数指数幂的定义和运算规则。

2. 掌握分数指数幂的计算方法。

3. 能够运用分数指数幂解决实际问题。

教学难点：1. 理解分数指数幂的概念和性质。

2. 掌握计算分数指数幂的方法。

教学准备：1. 教材：包含有关分数指数幂的知识点和例题的教材。

2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教案、练习题、实例题。

3. 学具：计算器。

教学过程：Step 1：导入新知1. 引入分数指数幂的概念，通过实例引发学生对分数指数幂的思考。

2. 提问学生：你们对分数指数幂有什么了解？它们与整数指数幂有何异同？Step 2：概念解释与讲解1. 通过示意图和实例，解释分数指数幂的定义和性质。

2. 引导学生理解分数指数幂的运算规则，并进行实例演示。

Step 3：练习与巩固1. 分发练习题，让学生进行个人或小组练习。

2. 指导学生解答练习题，解答过程中注重引导学生运用分数指数幂的计算方法。

Step 4：拓展与应用1. 提供一些实际问题，引导学生运用分数指数幂解决实际问题。

2. 鼓励学生思考并讨论其他应用场景，并进行分享和讨论。

Step 5：归纳总结1. 综合学生的学习情况，对分数指数幂的概念、性质和运算规则进行归纳总结。

2. 强调分数指数幂的重要性和应用价值。

Step 6：作业布置1. 布置相关的作业题目，巩固学生对分数指数幂的掌握程度。

2. 鼓励学生自主学习，通过课外阅读或网络资源进一步了解分数指数幂的应用。

教学延伸：1. 针对学生的学习情况，可以提供更多的练习题和拓展问题，以加深对分数指数幂的理解和应用。

2. 可以组织学生进行小组讨论或展示，分享他们在实际生活中发现的分数指数幂的应用案例。

教学评价：1. 课堂练习：通过学生在课堂上的练习情况，评估他们对分数指数幂的掌握程度。

分数指数幂教案一、学习任务分析本节课是人教版高中数学必修1第2章第一节的第二个课时，在此之前我们学习了根式表达，整数指数幂的概念与运算性质。

这一课时也算是对整数指数幂的一个推广，后面紧接着要学习指数函数及其性质，所以对分数指数幂的理解也至关重要。

二、学情分析学生们已经掌握了整个整数指数幂的概念，所以对于接受分数指数幂的概念及有关运算性质也比较容易，并且也刚刚学习过根式的内容，有助于对分数指数幂的规定。

对于学生来说，比较困难的可能是对负分数指数幂的理解，以及运用运算性质做一些相关计算。

但总体来说，本节课的内容难度都不打，容易接受。

三、教学目标知识与技能：理解分数指数幂的性质，掌握分数指数幂与根式的转化，掌握一些相关计算过程与方法：体会类比推广的数学思想情感态度与价值观：养成独立思考的良好习惯四、教学重难点重点：分数指数幂的概念和性质难点：负分数指数幂的理解，以及运用分数指数幂的运算性质解决问题 五、教学过程 （1） 实例引入问题1：请大家计算一下√a 105与√a 124。

设计意图：根据已有的知识，学生应该能对这两个式子进行计算，这两个式子的被开方数的指数数能被根指数整除，进而引出不能整除时的情况。

问题2：从以上的两个例子的算你能发现什么？ 教师可叫两个学生起来表述自己的想法，学生不难发现计算结果a 的指数正好是a 的指数与被开放数的商。

教师将学生的话转述成数学语言，带领大家得到结论：当根式的被开放数的指数能被根指数整除时，根式可以写成a被开方数的指数根指数的形式。

设计意图：由学生归纳总结共同得出以上结论，进一步引发学生对不能整除的情况的思考问题3：刚才我们对a 的指数能被根指数整除的情况作了计算，那再看看接下来几个例子，√a 23,√b ,√c 54又该如何表示？在前面的认知基础上，学生会比较容易想到√a 23=a 23,√b =b12,√c 54=c 54。

设计意图：引出分数指数幂的概念。

（2） 分数指数幂的概念形成由教师直接给出正数的正分数指数幂的概念：a mn =√a m n(a >0,m 、n ∈N ∗,且n >1) 问题4：正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂意义相仿，a −m =1am,那么a −mn 等于什么呢？根据所提示的a −m =1a m，学生比较容易得出结论。

4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计1．掌握n次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算；2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化；3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质．教学重难点【教学重点】理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)【教学难点】能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)课前准备引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础．二、教学过程：（一）自主预习——探新知：问题导学预习教材P104－P109，并思考以下问题：1．n次方根是怎样定义的？2．根式的定义是什么？它有哪些性质？3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？4．有理指数幂有哪些运算性质？（二）创设情景，揭示课题（1）以牛顿首次使用任意实数指数引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．（2）简单复习正整数指数幂的概念和运算，并且思考一下问题：４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？ -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，类似的，（±2）4＝16，我们可以把±2叫做16的4次方根，（2）5＝32，2叫做32的5次方根？推广到一般情形，a的n次方根是一个什么概念？给出定义．（3）当n是奇数时，a的n n是偶数时，若a>0，则a的n次方根为若a=0，则a的n次方根为0；若a<0，则a的n次方根不存在．即：负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.,1)n N n ∈>叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． （4）一起看354分别等于什么？一般地n等于什么？n a =由n 次方根的意义，可得 ，换一下呢？n na 等于什么？当na =； 当n||a =，然后对a 的正负分类考虑，以夏天、冬天穿衣服为例子帮助记忆。

学科：数学班级：13秋学前教育2班教师：焦学文
【课题】4.1.1分数指数幂
【教学目标】
知识目标：
⑴复习整数指数幂的知识；
⑵了解n次根式的概念；
⑶理解分数指数幂的定义.
能力目标：
⑴掌握根式与分数指数幂之间的转化；
情感目标：
⑵经历合作学习的过程，树立团队合作意识.
【教学重点】
分数指数幂的定义．
【教学难点】
根式和分数指数幂的互化．
【教学设计】
⑴通过复习二次根式而拓展到n次根式，为分数指数幂的介绍做好知识铺垫；
⑵复习整数指数幂知识以做好衔接；
【课时安排】
1课时．(40分钟)
【教学过程】。

【新教材】4.1.1 n次方根与分数指数幂（人教A版）1. 理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念．2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3. 掌握分数指数幂的运算性质。

1.数学抽象：n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念；2.逻辑推理：分数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值；4.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。

重点：（1）根式概念的理解；（2）分数指数幂的理解；（3）掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解．一、预习导入阅读课本104-106页，填写。

1．n次方根2．根式(1)定义：式子 叫做根式，这里n 叫做 ，a 叫做． (2)性质：(n ＞1，且n ∈N *) ①(na )n＝ . ②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧，n 为奇数， ，n 为偶数.3．分数指数幂的意义4．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q)．(2)(a r )s ＝ (a ＞0，r ，s ∈Q)． (3)(ab )r＝ (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意实数的奇次方根只有一个． ( ) (2)正数的偶次方根有两个且互为相反数． ( ) (3)π－42＝4－π. ( )n 是偶数a ＞0x 有两个值，且互为相反数，记为a ＜0x 不存在分数 指 数幂正分数 指数幂规定：am n＝na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)负分数 指数幂规定：am n＝1am n ＝1n am(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)0的分数 指数幂0的正分数指数幂等于 , 0的负分数指数幂(4)分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘． ( )(5)0的任何指数幂都等于0. ( )2.-25a可化为( )A．a2-5B．a52C．a25D．－a523．化简2532的结果是( )A．5 B．15 C．25 D．1254．计算：022π-+×⎝⎛⎭⎪⎫21412＝________.题型一根式的化简(求值)例1 求下列各式的值跟踪训练一1.化简(1)n(x－π)n(x＜π，n∈N*)；(2)64a2－4a＋1⎝⎛⎭⎫a≤12.题型二分数指数幂的简单计算问题例2 求值跟踪训练二1.计算(1)(12527)-23; (2)0.008-23; (3)(812401)-34; (4)(2a+1)0; (5)[56-(35)-1]-1.33(1)(8)-2(2)(10)-44(3)(3)π-2(4)()a b-题型三 根式与分数指数幂的互化例3 用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）跟踪训练三1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ．－x ＝(－x )12(x ＞0)B.6y 2＝y 13(y ＜0)C ．x －34＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)D ．x －13＝－3x (x ≠0)题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值 例4 计算:0.064-13−(-78)0+[(-2)3]-43+16-0.75+|-0.01|12.跟踪训练四1.计算:(235)0+2-2×(214)-12-(0.01)0.5;2 .化简:√a 72√a -33÷√√a -83·√a 153√√a -3·√a -13(a>0).1．计算(94)12=（ ）A.8116 B.32C.98D.232．若x y <，则222y xy x +-的值为( )A ．x y -B ．y x -C ．y x -D ．()x y ±-3．下列各式正确的是A a =B =C ．01a =D ．=4．已知0a > ）A ．712aB ．512a C ．56aD ．13a5=______．6．计算：化简552261a a a ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的结果是____________。

第二课时 分数指数幂、无理数指数幂新知探究牛顿(Newton 1643～1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa ，aaa ，aaaa ，…写成a 2，a 3，a 4，…所以可将a ，a 2，a 3，…写成a 12，a 22，a 32，…，将1a ，1aa ，1aaa，…写成a －1，a －2，a －3，…”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程，下面我们就进入本课的学习.牛顿问题 1.amn 、a －mn (a >0)写成根式会是怎样的形式？ 2.a mn 、a －mn 的根式形式中a ≤0又如何？提示 1.a mn ＝na m，a －mn ＝1a m n＝1na m(其中a >0，m ，n ∈N *，且n >1).2.若a≤0，a mn、a－mn不一定有意义，例如(－4)12、(－4)－12无意义，故规定a>0.1.分数指数幂根式与分数指数幂的互化是化简的重要依据(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－mn＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.2.有理数指数幂的运算性质记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q).(2)拓展：a ra s＝ar－s(a>0，r，s∈Q).3.无理数指数幂实数指数幂是一个确定的实数一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.拓展深化[微判断]1.(－2)64＝(－2)32.(×)提示(－2)64>0，而(－2)32无意义，故错误.2.[(－2)×(－3)]12＝(－2)12(－3)12.(×)提示左侧＝6，右侧无意义.3.当a>0时，(a r)s＝(a s)r.(√)4.22∈R.(√)[微训练]1.a－35(a>0)化为根式的形式为________.解析a－35＝1a35＝15a3.答案1 5a32.3（m－n）2(m>n)表示为分数指数幂的形式为________.解析3（m－n）2＝(m－n)23.答案(m－n)2 33.化简2723＝________.答案9[微思考]1.分数指数幂与根式有什么关系？提示(1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化.(2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知a≤0时，a mn可能会有意义.当amn有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算.2.分数指数幂a mn可以理解为mn个a相乘吗？提示不可以.分数指数幂a mn不可以理解为mn个a相乘.事实上，它是根式的一种新写法.题型一根式与指数幂的互化角度1分数指数幂化根式【例1－1】用根式的形式表示下列各式(x>0).(1)x 25；(2)x－53.解(1)x 25＝5x2；(2)x－53＝13x5.角度2根式化分数指数幂【例1－2】把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.(1)5a6；(2)13a2；(3)4b3a2；(4)（－a）6.解(1)5a6＝a65.(2)13a2＝1a23＝a－23.(3)4b3a2＝⎝⎛⎭⎪⎫b3a214＝b34a－24＝a－12b34.(4)（－a）6＝a6＝a 62＝a3.规律方法根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.【训练1】用分数指数幂表示下列各式：(1)b3a·a2b6(a>0，b>0)；(2)a－4b23ab2(a>0，b>0).解(1)b3a·a2b6＝b3a·ab3＝1.(2)a－4b23ab2＝a－4b2·（ab2）13＝a－4b2a13b23＝a－113b83＝a－116b43.题型二利用分数指数幂的运算性质化简求值【例2】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＝________.解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝278. 答案 278(2)计算下列各式(式中字母均为正数)：①⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －23y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13y －16； ②(0.064)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[]（－2）3－43＋16－0.75.解 ①原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x －23＋(－1)＋13·y 12＋12－16＝2524x －43y 56. ②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716. 规律方法 1.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质. 2.根式化简的步骤(1)将根式化成分数指数幂的形式. (2)运用分数指数幂的运算性质求解. 3.对于化简结果的要求对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序.【训练2】 计算下列各式： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748； (3)614－3338＋40.062 5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫0.06413－2.525－π0. 解 (1)原式＝1＋14·23－110＝1615.(2)原式＝53＋100＋916－3＋3748＝100＋14448－3＝100.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25412－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62510 00014＋⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00013×（－2.5）×25－1＝52－32＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－1－1＝3.题型三 整体代换法求分数指数幂【例3】 (1)若x 23＝2，则(x ＋3)12＝________. (2)(多空题)若x 12－x －12＝1，则x ＋x －1＝________；x 2＋x －2＝________.解析 (1)因为x 23＝2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 233＝23＝8，得x 2＝23，解得x ＝±22，所以(x ＋3)12＝(3±22)12＝[(2±1)2]12＝2±1.(2)将x 12－x －12＝1，两边平方得x ＋x －1－2＝1，则x ＋x －1＝3.x ＋x －1＝3两边平方得x 2＋x －2＋2＝9，所以x 2＋x －2＝7. 答案 (1)2±1 (2)3 7规律方法 利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.x 2＋x －2＝(x ±x －1)2∓2，x ＋x －1＝(x 12±x －12)2∓2，x 12＋x －12＝(x 14±x －14)2∓2.【训练3】 (1)已知x 12＋x －12＝5，则x 2＋x －2＝________.(2)(多空题)已知x ＋x －1＝7，则x 12＋x －12＝________；x 2－x －2________.解析 (1)将x 12＋x －12＝5，两边平方得x ＋x －1＋2＝5，则x ＋x －1＝3，两边再平方得x 2＋x －2＋2＝9，所以x 2＋x －2＝7.(2)①设m ＝x 12＋x －12，两边平方得m 2＝x ＋x －1＋2＝7＋2＝9，因为m >0，所以m ＝3，即x 12＋x －12＝3.②设n ＝x 12－x －12，两边平方得n 2＝x ＋x －1－2＝7－2＝5，因为n ∈R ，所以n ＝±5，即x 12－x －12＝± 5.所以x －x －1＝(x 12＋x －12)(x 12－x －12)＝±35，x 2－x －2＝(x ＋x －1)(x －x －1)＝±21 5.答案 (1)7 (2)3 ±215一、素养落地1.通过理解分数指数幂的含义提升数学抽象素养，通过进行根式与分数指数幂的互化及运用指数幂的运算性质培养数学运算素养.2.根式一般先转化成分数指数幂，然后运用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解. 二、素养训练1.下列运算结果中，正确的是( ) A.a 2·a 3＝a 5 B.(－a 2)3＝(－a 3)2 C.(a －1)0＝1 D.(－a 2)3＝a 6答案 A 2.a 3a ·5a 4(a >0)的值为________.解析 原式＝a 3·a －12·a －45＝a 3－12－45＝a 1710.答案 a 17103.计算：0.25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4－4÷20－⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＝________.解析 原式＝14×16－4÷1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝4－4－4＝－4.答案 －44.已知a 12－a －12＝5，则a 12＋a －12＝________.解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122＝a ＋a －1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12－a －122＋4＝5＋4＝9，又因为a 12＋a －12>0，所以a 12＋a －12＝3. 答案 35.化简下列各式(式中字母均为正数)： (1)b 3a a 6b 6；(2)4x 14⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 14y －13÷⎝⎛⎭⎪⎫－6x －12y －23(结果化为分数指数幂形式).解 (1)b 3a a 6b 6＝b 32×a －12×a 64×b －64＝a .(2)4x 14⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 14y －13÷⎝⎛⎭⎪⎫－6x －12y －23＝2x 14＋14＋12·y －13＋23＝2xy 13.。