考研数学二真题(1999年)

x y 2
2 2
的极值.
(17)(本题满分 12 分) 过 (0,1) 点作曲线 L : y ln x 的切线,切点为 A ,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域 D 由 L 与直线 A B 围成,求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. (18)(本题满分 10 分) 计算二重积分 xy d ，其中区域 D 为曲线 r 1 cos 0 与极轴围成.
D
(19)(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) 满足方程 f ( x ) f ( x ) 2 f ( x ) 0 及 f ( x ) f ( x ) 2 e x , (I) 求 f ( x ) 的表达式; (II) 求曲线 y f ( x 2 ) f ( t 2 )d t 的拐点.
(6) 设区域 D 由曲线 y sin x , x
, y 1 围成，则 ( x y 1)d x d y
5 D
( (A) (B) 2 (C) -2 (D) -
)
0 0 1 1 (7) 设 α 1 0 , α 2 1 , α 3 1 , α 4 1 ,其中 c1 , c 2 , c 3 , c 4 为任意常数，则下列向量 c c c c 2 3 4 1
*
1 T （8）设 A ， P 均为 3 阶矩阵， P 为 P 的转置矩阵，且 P A P = 0 0
T
0 1 0
0 0 ，若 2
）
T ，则 Q A Q 为（ P= （ 1， 2， 3） ， Q = （ 1 + 2， 2， 3）
2 A . 1 0 2 C . 0 0

u v , . x x
3 0 1 (2)设矩阵 A 和 B 满足关系式 A B = 2 B , 其中 A 1 1 0 , 求矩阵 B. 0 1 4
四、(本题满分 8 分) 求微分方程 y 6 y (9 a 2 ) y 1 的通解,其中常数 a 0.

L
(2 xy 2 y )dx ( x 2 4 x)dy =
_____________. (5) 已 知 三 维 向 量 空 间 的 基 底 为 α1 (1,1, 0), α 2 (1, 0,1), α 3 (0,1,1), 则 向 量
β ( 2 , 0 , 0 ) 在此基底下的坐标是_____________.
五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.每小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(a ) (1)设 lim f ( x ) f 2 1, 则在 x a 处
xa
( x a)
( (B) (D)
f (x) f (x)
) 取得极大值 的导数不存在 的值( )
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(含 33 年共 33 套研究生《数学一》历年真 题)1985 年—2018 年全国硕士研究生入学统一考 试《数学一》真题试卷及参考答案(含 33 年历年 真题 33 套)
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y 1 t z 2 t y ln x
与两直线
y e 1 x
及
y0
所围成的平面图形的面积是
及 x 1 y 2 z 1 都平行且过原点的平面方

[考研类试卷]考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编33一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

0 函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1且满足等式f'(x)+f(x)－∫0x f(t)dt=0。

1 求导数f'(x)；2 证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1成立。

3 利用代换y=u／cosx将方程y"cosx－2y'sinx+3ysinx=e x化简，并求出原方程的通解。

4 设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值。

5 某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V／6，流入湖泊内不含A的水量为V／6，流出湖泊的水量为V／3，已知1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标。

为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过m0／V。

问至多需要经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以内。

(注：设湖水中A的浓度是均匀的)6 设函数f(x)，g(x)满足f'(x)=g(x)，g'(x)=2e x－f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，求∫0π[]dx。

7 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1／2，0)。

(Ⅰ)试求曲线L的方程；(Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。

7 设函数y=y(x)在(－∞，+∞)内具有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。

8 试将x=x(y)所满足的微分方程+(y+sinx)(dx／dy)3=0变换为y=y(x)满足的微分方程；9 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y'(0)=2／3的解。

（A）充分条件但非必要条件
（B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件又非必要条件
8 (1998年试题，二)设数列xn满足 xnyn=0，则下列断言正确的是( )．
（A）若xn发散，则yn必发散
（B）若xn无界，则yn必有界
（C）若xn有界，则yn必为无穷小
（D）若 为无穷小，则yn必为无穷小
[考研类试卷]考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (2005年试题，二)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“ ”表示“M的充分必要条件是N”，则必有( )。
（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数
（B）F(x)是奇函数 (x)是偶函数
（A）充分必要条件
（B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件
（D）非充分也非必要条件
6 (2003年试题，二)设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且 =∞，则必有( )。
（A）ann对任意n成立
（B）bnn对任意n成立
（C）极限 ancn不存在
（D）极限 bncn不存在
7 (1999年试题，二)“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有｜xn一a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的( )．
35 (2002年试题，一)
36 (1999年试题，十)设f(x)是区间[0，+∞)上单调减少且非负的连续函数， 证明数列{an}的极限存在．
9 (2002年试题，二)设y=y(x)是二阶常系数微分方程yn+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解，则当x→0时，函数 的极限( )．