北师大版高中数学选修1-1课件本章高效整合

1．以选择题或填空题的形式考查导数的应用． 2．以解答题的形式考查利用导数研究函数的单调性，求单 调区间，求极值与最值． 3．以实际问题为背景，考查利用导数解决生活中的优化问 题． 4．以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、平面向 量等知识相结合的问题．
一、函数的单调性及单调区间
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，则f(x)在这个区间上为 增函数；如果f′(x)＜0，则f(x)在这个区间上为减函数．应注意： 在区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是f(x)在这个区间上为增函数(或减函 数)的充分条件，而不是必要条件．
(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ (3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减 在本题中的实际意义是什么？
解析： (1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 240x－5 000(x∈N＋，且1≤x≤20)；
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N＋，且 1≤x≤19)．
一、数形结合思想 本章应用数形结合思想比较广泛．例如应用导函数的图象 求极值点的个数，应用函数图象求函数的最值或值域，根据函 数式研究图象的性质等．
设a∈R，函数f(x)＝－x3＋3x＋a，当a为何值时，方 程f(x)＝0恰好有两个实数根．
解析： 方法一：由f(x)＝－x3＋3x＋a得f′(x)＝－3x2＋3. 令f′(x)>0，得－1<x<1.令f′(x)<0，得x>1或x<－1， 所以f(x)极小值＝f(－1)＝a－2，f(x)极大值＝f(1)＝a＋2. 当x→＋∞时，f(x)→－∞； 当x→－∞时，f(x)→＋∞. 故可画出f(x)的大致图象，如图所示．
于是 a＝－12，b＝2，则 f(x)＝－x3－12x2＋2x. x＝－2 时，f(－2)＝2，即(－2,2)在曲线上． 又切线斜率为 k＝f′(x)＝－3x2－x＋2， f′(－2)＝－8， 所求切线方程为 y－2＝－8(x＋2)， 即为 8x＋y＋14＝0.
(2)x在变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x－12)(x＋9)， ∵x>0，∴P′(x)＝0时，x＝12， ∴当0<x<12时，P′(x)>0， 当x>12时，P(x)<0. ∴x＝12时，P(x)有最大值． 即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3 275 ＝－30(x－1)2＋3 305. 所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为[1,19]， 且x∈N＋. MP(x)是减函数的实际意义，随着产量的增加，每艘利润与 前一艘利润比较，利润在减少．
解得a＝－21，b＝－2，
(2)∵a＝－21，b＝－2，
∴f(x)＝x3－
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x2－2x＋c，f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x
－1)．
当x∈－1，－23时，f′(x)>0； 当x∈－23，1时，f′(x)<0；
当x∈(1,2)时，f′(x)>0. ∴当x＝1时，f(x)取极小值． ∵f(1)<f(－1)， ∴当x∈[－1,2]时，最小值为f(1)＝c－32. ∵当x∈[－1,2]时，不等式f(x)>c＋1c恒成立， ∴只需使f(x)min>c＋1c即可，即c－32>c＋1c， 解得－32<c<0.
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和x＝1处都取极
值．
(1)求a，b的值；
(2)若x∈[－1,2]时，不等式f(x)>c＋1c恒成立，求c的取值
范围．
解析： (1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c， ∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b. ∵在x＝－23和x＝1处取得极值，
∴f′－23＝3×49＋2a×－23＋b＝0， f′1＝3＋2a＋b＝0，
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1．导数对于研究函数的意义 (1)认识导数对于研究函数的变化规律的作用． (2)会用导数的符号来判断函数的单调性． (3)会利用导数确定函数的极值点和最值点．
2．导数在实际问题中的应用 (1)进一步体会函数是描述客观世界变化规律的基本数学模 型． (2)联系实际生活和其他学科，进一步体会导数的意义． (3)从实际情境中抽象出一些基本的用导数刻画的问题，并 加以解决．
又因为a＋2>a－2，所以当极大值a＋2＝0时，方程f(x)＝0 有两个实根，所以a＝－2；当极小值a－2＝0时，方程f(x)＝0有 两个实数根，所以a＝2.综上所述，a＝±2时，f(x)＝0恰有两个 实数根．
方法二：将f(x)＝0变形为a＝x3－3x.由题意，得y＝a和y＝x3 －3x有两个交点，作出图象易得a＝±2.
设函数 f(x)＝xl1nx(x>0，且 x≠1)．求函数 f(x)的单调区间．
解析： (1)f′(x)＝－lxn2xl＋n2x1，令 f′(x)＝0，则 x＝1e； 令 f′(x)>0，则 0<x<1e； 令 f′(x)<0，则1e<x<1 或 x>1.故函数 f(x)的单调递增区间 是0，1e，单调递减区间是1e，1和(1，＋∞)．
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二、利用导数研究函数的极值和最值 函数的最值是函数的整体性质，要区别于函数的极值，求 函数在闭区间上的最值，应先求开区间的极值，再与闭区间的 端点值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值；反过来， 已知最值时，要能求相应参数及与最值有关的其他问题．
已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋bx 在区间(－2,1)内 x＝－1 时 取极小值，x＝23时取极大值．
(1)求函数 y＝f(x)在 x＝－2 时的对应点的切线方程； (2)求函数 y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．
解析： (1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b. 又 x＝－1，x＝23分别对应函数取得极小值、极大值， 所以－1，23为方程－3x2＋2ax＋b＝0 的两个根． 所以23a＝－1＋23，－b3＝(－1)×23.
Δ＝4＋4a＞0， －1a＞0.
解得－1＜a＜0. ③当a＝0时，显然符合题意． 综上所述，a的取值范围为(－1，＋∞)．
三、转化与化归思想 本章应用转化与化归思想的题型较多，如几何问题转化为 函数问题，不等式恒成立问题转化为最值问题，实际问题转化 为导数问题等．
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－
二、分类讨论思想 若函数f(x)＝lnx－12ax2－2x存在单调递减区间，求实数a
的取值范围．
解析： f′(x)＝1x－ax－2＝－ax2＋x2x－1. 因为函数f(x)存在单调递减区间． 所以f′(x)＜0有解．又因为x∈(0，＋∞)， 所以ax2＋2x－1＞0，在(0，＋∞)上有解．
①当a＞0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线， 故ax2＋2x－1＞0在(0，＋∞)上恒有解． ②当a＜0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线， 而ax2＋2x－1＞0在(0，＋∞)上有解，则
某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函 数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝ 460x＋5 000(单元：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数 Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产 值－成本)
x
－ (－2， －1
2 －1)
－1，23
2 3
23，1
1
f′
－0
＋
0
－
(x)
f(x) 2
－32
22 27
1 2
则f(x)在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－32.
三、导数的实际应用 利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题： (1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去 考查，不符合实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断 函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数 值就是所求的最大(小)值．