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类型一
函数的概念及求值问题
【典例1】(1)(2017·汕头高一检测)下列四个等式中,
能表示y是x的函数的是 ①x-2y=2; ②2x2-3y=1; ( )
③x-y2=1; (2)已知函数f(x)=
1 ,g(x)=2x+1. 2 x 2
①求f(1),g(1)的值;②求f(g(2))的值;
选C.
3.下列区间与集合{x|x<-2或x≥0}相对应的
是 ( ) B.(-∞,-2]∪[0,+∞)
A.(-2,0)
C.(-∞,-2)∪[0,+∞)
D.(-∞,-2]∪(0,+∞)
【解析】选C.集合{x|x<-2或x≥0}可表示为: (-∞,-2)∪[0,+∞).
4.区间[5,8)表示的集合是 A.{x|x≤5或x>8} C.{x|5≤x<8}
y
(
)
【解析】选A.一个x对应的y值不唯一,故A不能表示函 数.
2.函数f(x)= 1 x 2 的定义域是
x
(
)
A.[-1,+∞) C.[-1,0)∪(0,+∞)
B.(-∞,0)∪(0,+∞) D.R
x 0,
1 x 0, 【解析】选C.由题意知 解得x≥-1且x≠0,故
(2)无穷区间的几种表示: 定义 {x|x≥a} {x|x>a} 符号 [a,+∞) ________ 数轴表示
(a,+∞) ________
(-∞,b] ________ (-∞,b) ________
{x|x≤b}
{x|x<b}
【微思考】 1.区间的左、右端点值之间有什么关系? 提示:区间的左端点值必须小于右端点值.
{x|a<x<b}
开区间
(a,b) ______
定义
名称
符号
数轴表示
[a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 ______ (a,b] {x|a<x≤b} 半开半闭区间 ______
2.无穷大的概念 (-∞,+∞) (1)实数集R用区间表示为__________. “无穷大” “-∞”读作_____________, “负无穷大” “∞”读作___________, “正无穷大” “+∞”读作_____________.
(
)
B.{x|5<x≤8} D.{x|5≤x≤8}
【解析】选C.区间[5,8)表示大于等于5且小于8的数, 即5≤x<8.
5.下列各函数中,与y=2x-1是相等函数的是______.
4x 2 1 ①y= ; 2x 1
②y=2x-1(x>0); ④y= 2x 12 .
③u=2v-1;
【解析】①定义域为{x|x∈R且x≠- 1 },与y=2x-1
2
的定义域不同;②定义域为{x|x>0},与y=2x-1的
定义域不同;
④y= 2x 12
关系不同;而③定义域是R,值域是R,对应关系是乘
2减1,与y=2x-1完全相同. 答案:③
1 2x 1, x , 2 与y=2x-1的对应 2x 1 1 2x, x 1 , 2
2
成的集合,则A={t|0≤t≤3},用B表示s的取值构成的集 合,则B={s|0≤s≤44.1}.
2.根据上述关系式,试着填写下表:
t
1 2 gt 2
0
1.2
1.5
2
2.3
2.5
3
0 ______ 7.056 _______ 11.025 _____ 19.6 _______ 25.921 _______ 30.625 _____ 44.1 __
③求f(a-1),g(a+1)的值.
【解题指南】(1)根据函数的概念对每一式子进行判断.
(2)利用函数的解析式,直接将相应的自变量的值代入 即可.
主题2
区间的概念
满足1<x<3的实数x构成的集合如何表示?是否还有其他 表示形式?1≤x≤3呢? 提示:满足1<x<3的实数x构成的集合可表示为:
{x|1<x<3}.还可用区间表示为(1,3).满足1≤x≤3的实
数x构成的集合可表示为{x|1≤x≤3},还可用区间表示
为[1,3].
结论:
1.区间的有关概念(a,b为实数,且a<b) 定义 {x|a≤x≤b} 名称 闭区间 符号 [a,b] ______ 数轴表示
函数值的集合{f(x)|x∈A} 值域:指的是________________________.
【微思考】 1.任何两个集合都可以建立函数关系吗? 提示:不能,只有在非空数集之间才能建立函数关系. 2.对于函数y=f(x),x∈A,f(x)与f(a)有什么不同? 提示:f(x)为变数,f(a)表示函数f(x)当x=a时的函数值, 是一个常数.
通过对应值表你发现了什么?
提示:对于集合A={t|0≤t≤3}中的任一个元素,按照对 应关系f,在集合B={s|0≤s≤44.1}中都有唯一元素和
它对应.
结论:函数的定义 数集 如果按照某种确定的对应关系f, 设A,B是非空的_____, 唯一 使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有_____ 确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A y=f(x),x∈A 到集合B的一个函数,记作:____________. x的取值范围A 定义域:指的是_____________.
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
主题1
函数的概念
根据下面的题目,回答有关问题: 某物体从高度为44.1 m的空中自由下落,物体下落的
距离s与所用时间t的平方成正比,这个规律用数学式子
可以描述为s= 1 gt2,其中g=9.8 m/s2.
2
1.时间t和物体下落的距离s所满足的条件用集合如何 表示? 提示:由44.1= 1 ×9.8t2⇒t=3,用A表示时间t的取值构
2.集合{x|a≤x≤b}与区间[a,b]的区别是什么?
提示:区间[a,b]一定是无限集,且隐含a<b,集合 {x|a≤x≤b}中对实数a,b大小关系无限制条件.
当a=b时,{x|a≤x≤b}={a}是单元素集;当a>b
时,{x|a≤x≤b}=∅.这两种情况均不能用区间[a,b]表 示.
【预习自测】 1.下列式子中不能表示函数y=f(x)的是 A.x=y2+1 C.x-2y=6 B.y=2x2+1 D.x=
