08乌鲁木齐高考数学第二次诊断性测验试卷理科数学（理科：必修+选修Ⅱ）注意事项：1．本卷分为问卷（共4页）和答卷（共4页），答案务必书写在答卷的指定位置处． 2．答卷前先将密封线内的项目填写清楚．3．第Ⅰ卷（选择题，共12小题，共60分），在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．如果选用答题卡，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；如果未选用答题卡请将所选项前的字母代号填写在答卷上．不要答在问卷上．4. 第Ⅱ卷（非选择题，共10小题，共90分），用钢笔或圆珠笔直接答在问卷中．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1.若复数2(1)(,)a bi i a b +=+∈R ,则a bi -=A ． 2iB ．2i -C ．22i +D ．22i - 2．设两个不相等的非空集合M ，N ，那么“a M ∈”是“a M N ∈”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．在公差为2的等差数列{}n a 中,124,,a a a 成等比数列,则2a = A ．4 B ．6 C ．8 D ．104. 实数,x y 满足约束条件42,21x y x y z x y x +⎧⎪-=+⎨⎪⎩≤≤则≥的最小值是A ． 1B ． 3C ． 5D ．7 5. 若函数()f x 满足sin 2f x x π⎛⎫+=⎪⎝⎭()x ∈R ，则()f x = A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x -6．从正方体的八个顶点中任取四个点，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是A ．30B ．45C ．60D ．90 7．函数()f x 的导函数为()1xf x x-'=，则()f x 的单调增区间是A ．(),0-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．(),0-∞[)1,+∞8．设()21xf x =-的反函数为1()f x -，若01x >-，则必有A ．100()0x f x -> B ．100()0x f x -≥ C ．100()0x fx -< D ．100()x f x -≤09．一束光线从点()1,1A -发出并经x 轴反射，到达圆()()22231x y -+-=上一点的最短路程是A ．4B ．5C ．1D ． 10．与直线230x y ++=垂直的抛物线2x y =的切线方程是A ．032=--y xB ．012=--y xC ．012=+-y xD ．032=+-y x11．若椭圆上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为A ．2 B C D 1 12．三个半径为R 的球互相外切，且每个球都同时与另两个半径为r 的球外切．如果这两个半径为r 的球也互相外切，则R 与r 的关系是A ．R r =B ．2R r =C ．3R r =D ．6R r =第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）请将答案直接填在答卷的相应各题的横线上. 13．若向量a 、b 满足1=a ，2=b 且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角的度数为 ． 14．已知△ABC 的面积等于6,最大边5AB =，4AC =，则BC = ．15．某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至少选修一门，则不同的选课方案有 种（以数字作答）．16.已知62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为15a ，则非零实数a 的值是 ．三、解答题（共6小题，共70分）解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）已知1cos 2cos 2662x x ππ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求tan x 的值．18.（本题满分12分）如图直三棱柱111ABC A B C -的底面是等腰直角三角形，1CA CB ==，且二面角1A CB A --的度数为45°（1）求1AA 的长；（2）求证1C A ⊥平面1A CB .19.（本题满分12分）函数()2f x x x =-(01)x ≤≤，P 、Q 是其图象上任意不同的两点．（1）求直线PQ 的斜率的取值范围；（2）求函数()f x 图象上一点M 到直线1x =-、 直线1y =距离之积的最大值．20．（本题满分12分）将数字1,2,3,4分别写在大小、形状都相同的4张卡片上，将它们反扣后（数字向下），再从左到右随机的依次摆放，然后从左到右依次翻卡片：若第一次就翻出数字3则停止翻卡片；否则就继续翻，若将翻出的卡片上的数字依次相加所得的和是3的倍数则停止翻卡片；否则将卡片依次翻完也停止翻卡片．设翻卡片停止时所翻的次数为随机变量ξ，求出ξ的分布列和它的数学期望．21.（本题满分12分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过F 作两条互相垂直的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为M 、N ．（1）求证直线MN 恒过定点； （2）求MN 的最小值．22．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项之积与第n 项的和等于1()n ∈*N ．（1）求证11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设1n n nb a a =+，求证123221n n b b b b n <++++<+．08乌鲁木齐高考数学第二次诊断性测验试卷理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1．选B ．∵2(1)2a bi i i +=+= ∴0,2a b ==，故a bi -=2i -． 2．选B ．根据题意有MN M Ü．3．选A ．根据题意，有2214a a a =⋅ ()()2224a a =-+，解得24a =．4．选A ．在A(1,-1)处目标函数达到最小值1.5．选D ．()sin cos 222f x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．6．选A ．两条棱所在直线异面时所成角的度数是90；面对角线与棱异面时所成角的度数是45或90；两条面对角线异面时所成角的度数是60或90；体对角线与棱所在直线异面时所成角的度数是；体对角线与面对角线异面时所成角的度数是90．7．选C ．当()10xf x x-'=≥，即01x <≤时，()f x 单调递增. 8．选B ．12()log (1)fx x -=+，其图像上的点100(,())x f x -在一，三象限或与原点重合．∴()1000x f x -≥9．选A ．原问题可转化为：点()1,1A -关于x 轴的对称点()1,1A '--到达圆C 的最短路程，画图可知其值为14A C r '-==．10．选B ．易知与直线230x y ++=垂直的直线方程的斜率是2，设切点为()00,x y ，则2x y =在此处的切线斜率是02x ，故022x =，∴001, 1.x y ==∴所求切线方程是()121y x -=-．11．选C ．不妨设椭圆的方程为22221x y a b +=，由题意得椭圆上的点P 坐标为,22a a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程可得221144a b+=，即223a b =，∴222233()a b a c ==-，∴2223ac =，∴3e =． 12．选D ．设123,,O O O 分别是半径为R 的三个球的球心，A 112,C C 分别是半径为r 的两个球的球心，则它们构成立体图形（如图），H 是△123O O O 的中心．因为△123O O O 是边长为2R 的正三角形，所以，13O H R =．又11C O H ∆是以11C HO ∠为直角的直角三角形， 故2221111C O C H O H =+，即()2223R r r R ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得6R r =．2O O 1二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．23π14．3 15．50 16．1 13．由()⊥a a +b ，得()0⋅=a a +b ，即+⋅2a ab =0，又1=a 故⋅a b =1-，∴ 1cos 2⋅==-a b a b a b , ∴a 与b 的夹角的度数为23π． 14．1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅⋅，即1654sin ,2A =⨯⨯⨯3sin 5A =， ∵AB 是最大边，∴C ∠是最大角，故A ∠不可能是钝角，∴4cos 5A =2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅9=， ∴3BC =．15．从8门课程中选修5门，有58C 种方案；甲、乙两门课程都没选有56C 种方案，故不同的选课方案有558650C C -=种．16．2616()rrr r a T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭1236()r r r a C x -=-,令1230r -=得4r =,所以常数项为446()15a C a -=，解得1a =.三、解答题（共6小题，共70分）17.cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin 2sin 666666x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12sin 2sinsin 262x x π=-=-=，即1sin 22x =- 又3,24x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ∴32,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，于是，726x π=即712x π= ∴tan x =tantan734tantan 12341tan tan 34πππππππ+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭-2=-- …10分18.解法一：（1）由题意知90ACB ∠=°，即AC CB ⊥，又1A A ⊥平面ABC ，∴1A C CB ⊥于是1A CA ∠就是二面角1A CB A --的平面角且1A CA ∠45=°在1Rt A AC ∆中，190A AC ∠=°，1AC =，∴1AA 1= …6分 （2）由（1）知11A ACC 是正方形，11AC CA ⊥，又111ABC A B C -是直棱柱且BC CA ⊥ ∴BC ⊥平面11A ACC ，于是1BC AC ⊥，故1C A ⊥平面1A CB . …12分 解法二：(1) 由题意知90ACB ∠=°，又111ABC A B C -是直棱柱 设1A A m =，如图建立直角坐标系易知()()()()()110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,,1,0,C A B C m A m于是()11,0,CA m =， ()0,1,0CB =，()10,0,CC m =， 易知平面ABC 的一个法向量为()10,0,CC m =，设平面1A CB 的法向量为()a,b,c n =由10CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得 00a cm b +=⎧⎨=⎩，取1c =所以a m =-，则()0,1-m,n =由于二面角1A CB A --等于45°∴11cos 45CC CC ⋅==n n得1m = ∴1AA 1= …6分（2）由（1）得()11,0,1CA =，()11,0,1C A =-，易知110C A CA ⋅=，故11C A CA ⊥ 10C A CB ⋅=，故1C A CB ⊥ ∴1C A ⊥平面1A CB . …12分19．设P 、Q 两点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则2111y x x =-，2222y x x =-于是，()()221122121212PQx x x x y y k x x x x ----==--=()()1212121x x x x x x -+--=121x x +- ∵[]12,0,1x x ∈且12x x ≠， ∴12111x x -<+-<.故直线PQ 斜率的取值范围是()1,1-. …5分（2）设点()00,M x y ,其中[]00,1x ∈，则M 到直线1x =-的距离101d x =+M 到直线1y =的距离201d y =-则d =()()120011d d x y =+-=()()200011x x x ⎡⎤+--⎣⎦=30021x x -++2032d x '=-+，当003x <≤0d '>，d 递增01x <≤时，0d '<，d 递减；∴当0x =12d d d =1+． …12分 20．由题意知1,2,3,4.ξ=ξ=1，表示仅翻了1张卡片，则翻出的一定是写有3的卡片，∴()114P ξ==； ξ=2，表示依次翻了2张卡片，若用有序数组(),a b 表示这个事件所包含的结果，其中a ，b 分别表示第一次、第二次翻出的卡片上的数字， a 3≠且a b +是3的整数倍，此时共有以下四种情形()1,2、()2,1、()2,4、()4,2，试验所包含的结果总数为2412A = ∴()412123P ξ===； ξ=3，表示依次翻了3次卡片， 同理用有序数组(),,a b c 表示这个事件所包含的结果，其中a 3≠，且a b +不是3的整数倍，只有a b c ++是3的整数倍．此时共有以下四种情形()1,3,2、()2,3,1、()2,3,4、()4,3,2，试验所包含的结果总数为3424A = ∴()413246P ξ===； ξ=4，表示依次翻了4次卡片， 用有序数组(),,,a b c d 表示这个事件所包含的结果，其中a 3≠，且a b +、a b c ++都不是3的整数倍，此时共有以下六种情形()1,3,4,2、()1,4,2,3、()1,4,3,2、()4,1,2,3、()4,1,3,2、()4,3,1,2，试验所包含的结果总数为4424A = ∴()614244P ξ===． ∴ξ的分布列为2912E ξ=…12分21．（1）由题意可知直线AB 、CD 的斜率都存在且不等于零，()1,0F ．设():1AB l y k x =-，代入24y x =，得()2222220k x k x k -++=∴2222A B M x x k x k ++==，()21M M y k x k =-=，故2222,k M k k⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 因为CD AB ⊥，所以，将点M 坐标中的k 换为1k-，得()221,2N k k +- ① 当1k ≠±时，则()222222:221221MNk k l y k x k k k k --+=--++-， 即()()213ky k x -=-此时直线MN 恒过定点()3,0T ；② 当1k =±时，MN 的方程为3x =，也过()3,0点．故不论k 为何值，直线MN 恒过定点()3,0T ． …7分（2）由（1）知2222,k M k k⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()221,2N k k +-， ∴MN ====4=当且仅当221k k=，即1k =±时，上式取等号，此时MN 的最小值是4． …12分 22．（1）1231()n n a a a a a n +=∈*N ，易知0,1,1,2,i i a a i ≠≠=则1231n n a a a a a ⋅⋅=-…① ，123111()n n a a a a a n ++⋅⋅=-∈N …②两式相除得1111n n n a a a ++-=-，即112n na a +=-，∴121111111112n n n n na a a a a +-===------． ∴11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以111a -为首项，1-为公差的等差数列，在已知中令1n =可得11.2a =∴111(1)(1)111n n n a a =+-⋅-=----，∴1n n a n =+ …6分2019年10月14日整理第 11 页 / 共 11 页 （2）由1121n n n n n b a a n n +=+=+>=+（1,2,n =）所以122n b b b n +++> （1,2,n =） 又因为n b =11n n n n +++1121n n =+-+，(1,2,)n = ∴1211111212231n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1211n n =+-+21n <+综上 12221(1,2,)n n b b b n n <+++<+=成立． …12分以上各题的其它解法，限于篇幅从略，请相应评分．。
