乌鲁木齐地区2019年高三年级第一次诊断性测验文科数学试卷及答案
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2.复数
5.若函数 f (x) cos2x a sinx 在区间( , )上是减函数，则 a 的取值范围是
乌鲁木齐地区 2019 年高三年级第一次诊断性测验
文科数学（问卷）
（卷面分值：150 分 考试时间：120 分钟）
注意事项：
1.本卷分为问卷和答卷，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上 .
2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚 .
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合 M { x |0 < x < 2 }, N { x | x > 1 }，则 M∩N
A. [ 1, 2) B. ( 1, 2 ) C. [ 0, 1 ) D. ( 0, 1]
2i
1 i
A. 1 i B. 1 i C. 1 i D. 1 i
3.设 α，β，γ 为平面，m, n 为直线，则 m⊥β 的一个充分条件是
A. α⊥β, α∩β n, m⊥n B. α∩γ m, α⊥γ, β⊥γ
C. α⊥γ , β⊥γ, m⊥α D. n⊥α, n⊥β, m⊥α
4.等差数列{an}中，a3 5, S6 36，则 S9 A. 17 B. 19 C. 81 D. 100
π π
6 2
A. ( 2, 4 ) B. ( ∞, 2 ] C. ( ∞, 4] D. [ 4, ∞ )
1 1 6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标分别是( 1, 0, 2 ), ( 1, 1, 0 ), ( 0, 2, 1 ),
( 1, 0, 1 )，画该四面体三视图中的正视图时，以 yOz 平面为投影面，则得到的正视图可以为
A B C D.
7.执行如图的程序框图( n∈N * )，则输出的 S 开始
输入 a, q, n
A. a aq aq2 …… aqn 1 B. a(1 q n )
1 q i 0
S 0
C. a aq aq2 …… aqn 1 aqn D. a(1 q n1 )
1 q i i 1 a aq
S S a
i ≤ n ?
否
输出 S
结束 是 13.已知函数 f (x) x ,则 f ( log23 ) × ； 2 ， x > 1 8.凸四边形 OABC 中， OB (2, 4), AC (2, 1) ，则该四边形的面积为
A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 10
9.过抛物线焦点 F 的直线，交抛物线于 AB 两点，交准线于 C 点，若 AF 2 FB, CF FB ，
则 λ
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10.设 f (x) |ln( x 1 )|，已知 f (a) f (b) ( a < b )，则
A. a b > 0 B. a b > 1 C. 2a b > 0 D. 2a b > 1
11.P 是双曲线 x2 y 2 a 2 b2 1 (a 0, b 0) 上的一点，F1，F2 是焦点，PF1 与渐近线平行，∠F1PF2
90°，则双曲线的离心率为
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
12.设函数 f (x) 在 R 上存在导函数 f ′(x)，对任意 x∈R , 都有 f (x) f ( x ) x2，且 x∈( 0, ∞)
时，f ′(x) > x，若 f ( 2 a ) f ( a ) ≥ 2 2a，则实数 a 的取值范围是
A.[ 1, ∞ ) B. ( ∞, 1 ] C. ( ∞, 2] D. [ 2, ∞ )
第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分 . 第 13 题 ~ 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作
答. 第 22 题 ~ 第 24 题为选考题，考生根据要求作答 .
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分
x2， x ≤ 1
x ≥1 14.已知实数 x , y 满足约束条件x y ≤3 ，则 z 2x y 的最小值为 × ；
x 2y 3 ≤0
15.函数 f (x) x2 2x 3, x∈[ 4, 4]，任取一点 x0∈[ 4, 4]，则 f (x0) ≤0 的概率是 × ； 16.设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，且 Sn 1 a1( Sn 1 )，若 a1 2，则 an × .
三、解答题：第 17 ~ 21 题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程
或演算步骤.
π π 17.已知函数 f (x) sin( 2x 3 ) cos( 2x 6 ) 3cos2x ( x∈R ).
（Ⅰ）求 f (x)的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC 中，锐角 B 满足 f (B) 3，AC △3， ABC 周长为 3 3，求 AB，BC. 18.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB⊥AC，E，F 分别是 BB1，A1C1 的中点. （Ⅰ）求证 EF∥平面 A1BC； （Ⅱ）若 AB AC AA1 1，求点 E 到平面 A1BC 的距离 A1 F
B1 C1
E
A C
B
1.6t ， 0 ≤t < 2 19.某城市居民生活用水收费标准为 W(t) 2.7t ， 2 ≤t < 3.5 （ t 为用水量，单位：吨；
4.0t ， 3.5 ≤t ≤4.5
W 为水费，单位：元 ），从该市抽取的 100 户居民的月用水量的频率分布直方图如图所示.
频率/组距
0.50
0.44
0.30
0.28
0.16 0.12 0.08 0.04 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
（Ⅰ）求这 100 户居民的月均用水量的中位数及平均水费；
（Ⅱ）从每月所交水费在 14 元 ~ 18 元的用户中，随机抽取 2 户，求此 2 户的水费都超过 16
元的概率.
20.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 x2 y 2 a 2 b2 2 1 (a b 0) 的离心率为 2 ，过焦点 F 作 x 轴的
2 垂线交椭圆于点 A，且| AF | 2 .
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若点 A 关于点 O 的对称点为 B，直线 BF 交椭圆于点 C，求∠BAC 的大小 （Ⅱ）若 C 上点 M 处的切线斜率的取值范围是 [ 3, ]，求点 M 横坐标的取值范围.
（Ⅱ）求 的最小值
21.已知函数 f (x) e x a
e x a (a 0) .
（Ⅰ）若曲线 y f (x) 在点 ( 0, f (0) ) 处的切线与直线 x 2y 1 0 平行，求 a 的值；
1 （Ⅱ）若 x ≥0 时，f (x) ≤ 2x 成立，求实数 a 的取值范围.
请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑
22.（本题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲
如图，PA 是圆的切线，A 是切点，M 是 PA 的中点，过点 M 作圆的割线交圆于点 C，B，
连接 PB，PC，分别交圆于点 E、F, EF 与 BC 的交点为 N.
求证：（Ⅰ）EF∥PA； （Ⅱ）MA·NE MC·NB . M A
F C P N
E 23.（本题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 B
点 P 是曲线 ρ 2 ( 0 ≤ θ ≤π )上的动点，A( 2, 0 ), AP 的中点为 Q .
（Ⅰ）求点 Q 的轨迹 C 的直角坐标方程；
3
3
24.(本题满分 10 分) 选修 4 5：不等式选讲
已知函数 f (x) | x a | 2| x b | ( a > 0, b > 0 )的最小值为 1.
（Ⅰ）求 a b 的值；
1 2
a b 3
1 d 2 2
得 t ,1 ，依题意有 g t 2t 2 at 1 在 t ,1 是减函数， 由 x 1 1
1 nl 1b ，即 ab a b 乌鲁木齐地区 2019 年高三年级第一次诊断性测验
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1~5 BADCB 6~10 ACCAA 11~12 DB
1.选 B .【解析】 M N 1,2 ,故选 B.
2.选 A.【解析】∵ 2i
1 i 2i 1 i
1 i 1 i 1 i ，故选 A.
3.选 D．【解析】∵ n , m ,∴ m ∥ n ,又 n ,∴ m ，故选 D.
a a 2d 5 1 4.选 C ．【解析】 6 5d 6a 36 2
a 1 9 8d ，得 1 ，∴ S 9a 9a 36d 81 ，故选 C . 9 1 1
5.选 B ．【解析】∵ f x cos2 x a sin x 1 2sin 2 x a sin x ，令 t sin x ，
, 6 2 2 2
a 1 ∴ ，即 a 2 ，故选 B . 4 2
6.选 A．【解析】如右图得，故选 A.
7.选 C .【解析】执行第一次循环体运算，得i 1,s a ；
执行第二次， i 2, s a aq ；
执行第 n 1次， i n 1,s a aq aq n ，故选 C .
8.选 C .【解析】∵ OB AC 0 ，∴ OA BC ，∴ S 1 OABC 2 OB AC 5 ，故选 C .
9.选 A .【解析】如图， AF 2 FB ,
∴ AA 2 BB ，∴ BB 是 CAA 的中位线， 1 1 1 1
∴ CB AB 3 FB , CF 4 FB ,∴ 4 ,故选 A .
10.选 A .【解析】依题意 f x ln x 1 的图像如图所示，
