2020年新疆高考数学二诊试卷(理科)(问答) (含答案解析)

2020年新疆高考数学二诊试卷(理科)(问答)

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设全集𝑈=𝑅，集合𝐴={𝑥|(𝑥−4)(𝑥+1)≥0}，则∁𝑈𝐴= ( )

A. (−1,4] B. [−1,4) C. (−1,4) D. [−1,4]

2. 已知复数𝑧=−2𝑖+3−𝑖𝑖，则复数z的共轭复数𝑧−在复平面内对应的点在(

)

A.

第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 若𝑠𝑖𝑛𝛼=513，𝛼为第二象限角，则𝑐𝑜𝑠𝛼=( )

A. −513 B. −1213 C. 513 D. 1213

4. 调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布扇形统计图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示．给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30％；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生．其中正确的个数为( )

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

5. 双曲线𝐶:𝑥24−𝑦22=1 的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|𝑃𝑂|=|𝑃𝐹|，则△𝑃𝐹𝑂的面积为( )

A. 3√24 B. 3√22 C. 2√2 D. 3√2

6. 已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将▵𝐴𝐵𝐶折成直二面角𝐵−𝐴𝐷−𝐶，则过A，B，C，D四点的球的表面积为( )

A. 3𝜋 B. 4𝜋 C. 5𝜋 D. 6𝜋

7. 下列函数中为偶函数的是( )

A. 𝑦=|ln 𝑥| B. 𝑦=𝑥2−2𝑥 C. 𝑦=2𝑥 D. 𝑓(𝑥)=2|𝑥| 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为( )

A. 3√3

B.

2√6

C.

√21

D.

2√5

9.

分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能𝑈.其计算式子为𝑈=𝑘𝑐𝑞2(1𝑅+1𝑅+𝑥1−𝑥2−1𝑅+𝑥1−1𝑅−𝑥2)，其中，kc为静电常量，𝑥1、𝑥2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知𝑅+𝑥1−𝑥2=𝑅(1+𝑥1−𝑥2𝑅)，𝑅+𝑥1=𝑅(1+𝑥1𝑅)，𝑅−𝑥2=𝑅(1−𝑥2𝑅)，且(1+𝑥)−1≈1−𝑥+𝑥2，则U的近似值为( )

A. 𝑘𝑐𝑞2𝑥1𝑥2𝑅3 B. −𝑘𝑐𝑞2𝑥1𝑥2𝑅3 C. 2𝑘𝑐𝑞2𝑥1𝑥2𝑅3 D. −2𝑘𝑐𝑞2𝑥1𝑥2𝑅3

10. 设𝑎=log23，𝑏=21.2，𝑐=0.53.2，则( )

A. 𝑏<𝑎<𝑐 B. 𝑐<𝑎<𝑏 C. 𝑐<𝑏<𝑎 D. 𝑎<𝑐<𝑏

11. 已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0,|𝜑|<𝜋2)的最小正周期为6𝜋，且其图象向右平移2𝜋3个单位后得到函数𝑔(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥的图象，则𝜑等于( )

A. 4𝜋9 B. 2𝜋9 C. 𝜋6 D. 𝜋3

12. 函数𝑓(𝑥)=|2𝑥−1|−𝑚有两个零点，则m的取值范围是( )

A. (0,+∞) B. (0,1) C. (0,1] D. (1,+∞)

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 的展开式中常数项为__________.(以数字作答)

14. 在平行四边形ABCD中，𝐴𝐷=√2，𝐴𝐵=2，若𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，则𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =______．

15. 在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知𝑐𝑜𝑠𝐴−2𝑐𝑜𝑠𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵=2𝑐−𝑎𝑏，则𝑎𝑐=______．

16. 𝐹1、𝐹2为某椭圆的两个焦点，过𝐹2的直线交椭圆于P、Q两点，若𝑃𝐹1⊥𝑃𝑄，且|𝑃𝐹1|=|𝑃𝑄|，则椭圆的离心率𝑒=______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，且满足𝑆𝑛=𝑛2+𝑛，𝑛∈𝑁∗

(1)求{𝑎𝑛}的通项公式；

(2)求数列{1(𝑛+1)𝑎𝑛}的前n项和．

18. 已知直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，△𝐴𝐵𝐶为正三角形，𝐴𝐵=𝐴𝐴1=4，F为BC的中点.点E在棱𝐶1𝐶上，且𝐶1𝐸=3𝐸𝐶．

(1)求证：直线𝐵1𝐹⊥平面AEF；

(2)求二面角𝐵1−𝐴𝐸−𝐹的余弦值．

19. 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示.据统计，随机变量X的概率分布如表所示． X 0 1 2 3

P 0.1 0.3 2a a

求a的值和X的数学期望．

20. 已知定点𝐹(0,1)，定直线m：𝑦=−1，动圆M过点F，且与直线m相切．

(1)求动圆M的圆心的轨迹C的方程；

(2)过点F的直线与轨迹C交于A，B两点，分别过点A，B作轨迹C的切线𝑙1，𝑙2，𝑙1与𝑙2相交于点P，求△𝑃𝐴𝐵外接圆的面积的最小值．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥2．

(Ⅰ)求曲线𝑓(𝑥)在𝑥=1处的切线方程；

(Ⅱ)求证：当𝑥>0时，𝑒𝑥+(2−𝑒)𝑥−1𝑥≥𝑙𝑛𝑥+1．

22. 已知曲线C的参数方程为为参数)，P是曲线C上的点且对应的参数为𝛽，0<𝛽<𝜋2，直线l过点P且倾斜角为𝜋−𝛽．(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程．

(2)已知直线l与x轴，y轴分别交于A，B，求证：|𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵|为定值．

23. 已知函数𝑓(𝑥)=|3𝑥+1|−|3𝑥−4|.

(Ⅰ)求不等式𝑓(𝑥)≤3的解集；

(Ⅱ)关于x的不等式𝑓(𝑥)≤|3𝑥+1|+|3𝑥+𝑎|−4恒成立，求实数a的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：解：𝐴={𝑥|𝑥≤−1或𝑥≥4}，𝑈=𝑅，

∴∁𝑈𝐴=(−1,4)．

故选：C．

可以求出集合A，然后进行补集的运算即可．

本题考查补集的运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．

2.答案：B

解析：

本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．

解：复数𝑧=−2𝑖+3−𝑖𝑖=−2𝑖+−𝑖(3−𝑖)−𝑖⋅𝑖=−2𝑖−3𝑖−1=−1−5𝑖，

则复数z的共轭复数𝑧−=−1+5𝑖在复平面内对应的点(−1,5)在第二象限．

故选B．

3.答案：B

解析：

本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．

解：∵𝑠𝑖𝑛𝛼=513，𝛼为第二象限角，

∴𝑐𝑜𝑠𝛼=−√1−si𝑛2𝛼=−√1−(513)2=−1213．

故选：B． 4.答案：C

解析：

本题考查扇形统计图、条形图的性质等基础知识，是基础题．

利用该行业从业者学历分布扇形统计图、从事该行业岗位分布条形图直接求解．

解：在①中，由该行业从业者学历分布扇形统计图得到：

该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上，为55%，故①正确；

在②中，由从事该行业岗位分布条形图得到：

该高科技行业中从事技术岗位的人数占39.6%，超过总人数的30%，故②正确；

在③中，由该行业从业者学历分布扇形统计图、从事该行业岗位分布条形图，

无法得到该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，故③错误．

故选：C．

5.答案：A

解析：

本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．

首先求出双曲线的渐近线方程，再求出三角形POF的顶点P的纵坐标，然后求解面积即可．

解：双曲线C：𝑥24−𝑦22=1的右焦点为𝐹(√6,0)，

则渐近线方程为：𝑦=±√22𝑥，

不妨设P在第一象限，可得tan∠𝑃𝑂𝐹=√22，

过P作𝑃𝐻⊥𝑂𝐹，垂足为H，由题意△𝑂𝑃𝐹为等腰三角形，

𝑂𝐻=√62，从而得𝑃𝐻=√32，

所以△𝑃𝐹𝑂的面积为：12×√6×√32=3√24．

故选A．

6.答案：C

解析： 本题考查外接球的表面积问题．

解：将几何体补成长方体，所以(2𝑅)2=1+1+3=5，

所以球的表面积为4𝜋𝑅2=5𝜋．

故选C ．

7.答案：D

解析：

本题主要考查函数奇偶性的判断，结合函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键，比较基础．

根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

解：𝐴.函数的定义域为(0,+∞)，函数为非奇非偶函数；

B.函数的对称轴为𝑥=1，为非奇非偶函数；

C.函数为奇函数，不满足条件；

D.𝑓(−𝑥)=2|−𝑥|=2|𝑥|=𝑓(𝑥)，函数为偶函数，满足条件，

故选：D．

8.答案：B

解析：

本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于中档题．

首先由三视图得到几何体的形状，然后根据图中数据计算最长棱的长度．

解：由三视图得到几何体为四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷，如图所示：

侧面𝑃𝐴𝐵⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，过点P作𝑃𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为点E，

𝐴𝐸=1，𝐵𝐸=2，𝐴𝐷=2，𝑃𝐸=4．

其中最长棱长为𝑃𝐶=√42+22+22=2√6，

故选B.