浙江省金丽衢十二校2018届高三第二次联考数学试题(含答案)

第1页，总18页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………浙江省金丽衢十二校2018-2019学年高三数学第二次联考试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共10题)1. 集合 ，，则（ ）A .B .C .D .2. 点 和是双曲线 的两个焦点，则 （ ）A .B . 2C .D . 43. 复数，，则（ ）A . 5B . 6C . 7D .4. 某几何体的三视图如图所示（图中单位： ），则该几何体的表面积为（ ）答案第2页，总18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A .B .C .D .5. 已知直线平面 ，直线平面 ，则“”是“”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. 甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为 ，则 为（ ）A . 1.2B . 1.5C . 1.8D . 2 7. 函数的图像大致为（ ）A .B .C .D .8. 已知 ， ， 和 为空间中的4个单位向量，且 ，则不可能等于（ ） A . 3 B .C . 4D .9. 正三棱锥 的底面边长为 ，高为 ，它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者侧面与底面）之和记为 ，则在 从小到大的变化过程中， 的变化情况是（ ） A . 一直增大 B . 一直减小 C . 先增大后减小 D . 先减小后增大 10. 数列 满足： ，，则的值所在区间为（ ） A .B .C .D .。

2017-2018学年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．平行直线l1：3x+4y﹣12=0与l2：6x+8y﹣15=0之间的距离为（）A．B．C．D．2．“∃a∈[0，+∞），sina＞a”的否定形式是（）A．∀a∈[0，+∞），sina≤a B．∃a∈[0，+∞），sina≤aC．∀a∈（﹣∞，0），sina≤a D．∃a∈（﹣∞，0），sina＞a3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A．4+B．4+πC．6+D．6+π4．若直线l交抛物线C：y2=2px（p＞0）于两不同点A，B，且|AB|=3p，则线段AB中点M到y轴距离的最小值为（）A．B．p C．D．2p5．已知φ是实数，f（x）=cosx•cos（x+），则“”是“函数f（x）向左平移φ个单位后关于y轴对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．如图，将四边形ABCD中△ADC沿着AC翻折到AD l C，则翻折过程中线段DB中点M 的轨迹是（）A．椭圆的一段B．抛物线的一段 C．一段圆弧 D．双曲线的一段7．已知双曲线C：﹣=1（a，b＞0）虚轴上的端点B（0，b），右焦点F，若以B为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．8．已知非零正实数x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列，设函数f（x）=xα，α∈{﹣1，，2，3}，并记M={﹣1，，2，3}．下列说法正确的是（）A．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等差数列B．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列C．当α=2时，存在正数λ，使得f（x1），f（x2），f（x3）﹣λ依次成等差数列D．任意α∈M，都存在正数λ＞1，使得λf（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．设集合A={x∈N|∈N}，B={x|y=ln（x﹣l）），则A=，B=，A∩（∁R B）=．10．设函数f（x）=Asin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π，f（）=﹣2，则φ=，A=，f（x）在[﹣，]上的单调减区间为．11．设a＞0且a≠l，函数f（x）=为奇函数，则a=，g（f （2））=．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，AC=2，M是AC的中点，则异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为．13．设实数x，y满足x+y﹣xy≥2，则|x﹣2y|的最小值为．14．已知非零平面向量，，满足•=•=3，|﹣|=||=2，则向量在向量方向上的投影为，•的最小值为．15．设f（x）=4x+1+a•2x+b（a，b∈R），若对于∀x∈[0，1]，|f（x）|≤都成立，则b=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin（A﹣B）=asinA﹣bsinB，a≠b．（Ⅰ）求边c；（Ⅱ）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．17．在几何体ABCDE中，矩形BCDE的边CD=2，BC=AB=1，∠ABC=90°，直线EB⊥平面ABC，P是线段AD上的点，且AP=2PD，M为线段AC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面ECP；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣P的余弦值．18．设函数f（x）=ax2+b，其中a，b是实数．（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy=l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f （x）f（y）成立．19．已知椭圆L：=1（a，b＞0）离心率为，过点（1，），与x轴不重合的直线，过定点T（m，0）（m为大于a的常数），且与椭圆L交于两点A，B（可以重合），点C为点A关于x轴的对称点．（Ⅰ）求椭圆L的方程；（Ⅱ）（i）求证：直线BC过定点M，并求出定点M的坐标；（ii）求△OBC面积的最大值．20．设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=ca n+（c为正实数，n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）证明：当c=2时，2n+1﹣2≤S n≤3n﹣l（n∈N*）；（Ⅱ）求实数c的取值范围，使得数列{a n}是单调递减数列．2016年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．平行直线l1：3x+4y﹣12=0与l2：6x+8y﹣15=0之间的距离为（）A．B．C．D．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：平行直线l1：3x+4y﹣12=0与l2：6x+8y﹣15=0之间的距离为：=．故选：B．2．“∃a∈[0，+∞），sina＞a”的否定形式是（）A．∀a∈[0，+∞），sina≤a B．∃a∈[0，+∞），sina≤aC．∀a∈（﹣∞，0），sina≤a D．∃a∈（﹣∞，0），sina＞a【考点】的否定．【分析】利用特称的否定是全称写出结果即可．【解答】解：因为特称的否定是全称，所以，“∃a∈[0，+∞），sina＞a”的否定形式是∀a∈[0，+∞），sina≤a，故选：A．3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A．4+B．4+πC．6+D．6+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原图形，得到原几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，然后利用柱体体积公式求得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为3；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为2），高为3．∴V=．故选：D．4．若直线l交抛物线C：y2=2px（p＞0）于两不同点A，B，且|AB|=3p，则线段AB中点M到y轴距离的最小值为（）A．B．p C．D．2p【考点】抛物线的简单性质．【分析】l：x=﹣，分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H，要求M到y轴的最小距离，只要先由抛物线的定义求M到抛物线的准线的最小距离d，然后用d﹣，即可求解．【解答】解：由题意可得抛物线的准线l：x=﹣分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H在直角梯形ABDC中，MH=（AC+BD），由抛物线的定义可知AC=AF，BD=BF（F为抛物线的焦点）MH=（AE+BF）≥AB=p即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为p，∴线段AB中点M到y轴距离的最小值为p﹣=p，故选：B．5．已知φ是实数，f（x）=cosx•cos（x+），则“”是“函数f（x）向左平移φ个单位后关于y轴对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】将f（x）转换为f（x）=cos（2x+）+，根据三角函数的性质结合充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：f（x）=cosxcos（x+）=cosx（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sinxcosx=（1+cos2x）﹣sin2x=cos（2x+）+，故“”是“函数f（x）向左平移φ个单位后关于y轴对称”的充分不必要条件，故选：A．6．如图，将四边形ABCD中△ADC沿着AC翻折到AD l C，则翻折过程中线段DB中点M 的轨迹是（）A．椭圆的一段B．抛物线的一段 C．一段圆弧 D．双曲线的一段【考点】轨迹方程．【分析】过B作AC的垂线BE，过D作AC的垂线DF，连接DE，BF，然后证明在翻折过程中，BD中点到BE的中点的距离为定值得答案．【解答】解：如图，过B作AC的垂线BE，过D作AC的垂线DF，连接DE，BF，取BE中点为O，则在△BDE中，OM为△BDE的中位线，则OM=，当△ADC沿着AC翻折到AD l C时，△DEF翻折到△D1EF，在△BD1E中，OM1为△BD1E的中位线，则，而翻折过程中，DE=D1E，∴OM=OM1，∴翻折过程中线段DB中点M的轨迹是以O为圆心，以为半径的一段圆弧．故选：C．7．已知双曲线C：﹣=1（a，b＞0）虚轴上的端点B（0，b），右焦点F，若以B为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=x，求出a，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．【解答】解：由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=x，∵k BF=﹣，∴﹣=﹣1，∴b2﹣ac=0，∴c2﹣a2﹣ac=0，∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=．故选：D．8．已知非零正实数x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列，设函数f（x）=xα，α∈{﹣1，，2，3}，并记M={﹣1，，2，3}．下列说法正确的是（）A．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等差数列B．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列C．当α=2时，存在正数λ，使得f（x1），f（x2），f（x3）﹣λ依次成等差数列D．任意α∈M，都存在正数λ＞1，使得λf（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列【考点】等比关系的确定．【分析】由等差数列得x2=，假设各结论成立，将x2=代入结论推导结果看是否与条件一致进行判断．【解答】解：∵x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列，∴x2=，且x1，x2，x3两两不相等．（1）∵当α∈M时，f（x）的变化率随x的变化而变化，∴f（x1），f（x2），f（x3）不可能成等差数列，故A错误；（2）若f（x1），f（x2），f（x3）成等比数列，则x1αx3α=（）2α，∴x1x3=（）2，整理得（x1﹣x3）2=0，∴x1=x3．与x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列相矛盾，故B错误．（3）当α=2时，假设f（x1），f（x2），f（x3）﹣λ依次成等差数列，则x12+x32﹣λ=2（）2，∴λ=x12+x32﹣=＞0．故C正确；（4）假设λf（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列，则λx1αx3α=（）2α，∴λ=，∵=≥1，当且仅当x1=x3取等号．∴当α＞0时，λ＞1，当α＜0时，λ＜1．故D错误．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．设集合A={x∈N|∈N}，B={x|y=ln（x﹣l）），则A={0，1，2，5} ，B={x|x＞1} ，A∩（∁R B）={0，1} ．【考点】对数函数的定义域；交、并、补集的混合运算．【分析】根据x∈N，∈N，确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由x∈N，∈N，得到x=0，1，2，5，即A={0，1，2，5}，由B中y=ln（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴B={x|x＞1}，∁R B={x|x≤1}，则A∩（∁R B）={0，1}，故答案为：{0，1，2，5}；{x|x＞1}；{0，1}10．设函数f（x）=Asin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π，f（）=﹣2，则φ=，A=2，f（x）在[﹣，]上的单调减区间为[﹣，]．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，正弦函数的图象，正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：函数f（x）=Asin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π，则tanφ==﹣1，∴φ=．再根据f（）=Asin（π+）=﹣Asin=﹣A=﹣2，∴A=2．∴f（x）=2sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z．结合x∈[﹣，]，可得减区间为[﹣，]，故答案为：；2；[﹣，]．11．设a＞0且a≠l，函数f（x）=为奇函数，则a=2，g（f（2））=2﹣．【考点】分段函数的应用；函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用函数是奇函数f（0）=0求出a，然后求解函数值．【解答】解：a＞0且a≠l，函数f（x）=为奇函数，可知f（0）=0，可得a﹣2=0，解得a=2．则函数f（x）=，g（f（2））=g（2）=2﹣．故答案为：2，2﹣．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，AC=2，M是AC的中点，则异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作AC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CB1与C1M所成角的余弦值．【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，AC=2，M是AC的中点，∴BM⊥AC，BM==1，以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作AC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，C（﹣，0，0），B1（0，1，2），C1（﹣，0，2），M（0，0，0），=（），=（﹣，0，2），设异面直线CB1与C1M所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为．故答案为：．13．设实数x，y满足x+y﹣xy≥2，则|x﹣2y|的最小值为2﹣1．【考点】不等式的证明．【分析】作出曲线（x﹣1）（y﹣1）=﹣1的图象，由题意可得|x﹣2y|即为曲线上任一点到直线x﹣2y=0的距离的倍的最小值．可得与曲线相切，且与直线x﹣2y=0平行的直线距离的倍，求出函数的导数，求出切线的斜率，求得切点，代入即可得到所求最小值．【解答】解：实数x，y满足x+y﹣xy≥2，即为（x﹣1）（y﹣1）≤﹣1，作出曲线（x﹣1）（y﹣1）=﹣1的图象，由题意可得|x﹣2y|即为曲线上任一点到直线x﹣2y=0的距离的倍的最小值．可得与曲线相切，且与直线x﹣2y=0平行的直线距离的倍．设切点为（m，n），由y=1﹣的导数为y′=，即有切线的斜率为=，解得m=1+（负的舍去），切点为（1+，1﹣），则|x﹣2y|的最小值为|1+﹣2（1﹣）|=2﹣1．故答案为：2﹣1．14．已知非零平面向量，，满足•=•=3，|﹣|=||=2，则向量在向量方向上的投影为，•的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件容易求出向量在方向上的投影为，并且根据条件可得到，从而可设，可设，由便可得出x=，从而，这便可得到，配方便可求出的最小值．【解答】解：向量在向量方向上的投影为：；由得，；∴；∵；∴设，设，则；∴；∴；∴；∴；∴的最小值为．故答案为：．15．设f（x）=4x+1+a•2x+b（a，b∈R），若对于∀x∈[0，1]，|f（x）|≤都成立，则b=．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据指数函数的性质，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次不等式恒成立问题转化一元二次函数的最值进行求解即可．【解答】解：f（x）=4x+1+a•2x+b=4•（2x）2+a•2x+b，设t=2x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]，则函数等价y=4t2+a•t+b，t∈[1，2]，若于∀x∈[0，1]，|f（x）|≤都成立，即于∀t∈[1，2]，|4t2+a•t+b|≤都成立，即﹣≤4t2+a•t+b≤恒成立，设g（t）=4t2+a•t+b，要使∀a∈R，不等式恒成立，则函数g（t）的对称轴t=，即﹣=，即a=﹣12，此时g（t）=4t2﹣12t+b，则抛物线开口向上，要使﹣≤4t2+a•t+b≤恒成立，则函数g（t）max，且g（t）min≥﹣，当t=1或2时，g（t）max=g（1）=4﹣12+b=b﹣8≤，即b≤，当t=时，g（t）min=g（）=b﹣9≥﹣，即b≥，即b=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin（A﹣B）=asinA﹣bsinB，a≠b．（Ⅰ）求边c；（Ⅱ）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由2sin（A﹣B）=asinA﹣bsinB，a≠b．可得2sinAcosB﹣2cosAsinB=asinA﹣bsinB，a≠b．利用正弦定理及其余弦定理即可得出．（II）由于tanC==2，且sin2C+cos2C=1，解得sinC，cosC；由于S△ABC=sinC=×=1，可解得ab；由余弦定理可得：cosC==即可得出a+b的值．【解答】解：（I）在△ABC中，∵2sin（A﹣B）=asinA﹣bsinB，a≠b．∴2sinAcosB﹣2cosAsinB=asinA﹣bsinB，a≠b．利用正弦定理可得：2acosB﹣2bcosA=a2﹣b2，a≠b．由余弦定理可得：﹣2b×=a2﹣b2，化为：c=2．（II）∵tanC==2，且sin2C+cos2C=1，解得sinC=，cosC=．∴S△ABC=sinC=×=1，解得ab=．由余弦定理可得：cosC===，∴a2+b2=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=6+2，解得a+b==1．17．在几何体ABCDE中，矩形BCDE的边CD=2，BC=AB=1，∠ABC=90°，直线EB⊥平面ABC，P是线段AD上的点，且AP=2PD，M为线段AC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面ECP；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣P的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结BD、MD，BD∩CE=F，MD∩CP=N，连结FN，取AP中点Q，连结QM，推导出QM∥CP，FN∥BM，由此能证明BM∥平面ECP1．（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣EC﹣P的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD、MD，BD∩CE=F，MD∩CP=N，连结FN，∵矩形BCDE，∴F为BD中点，∵EB⊥平面ABC，∴DC⊥平面ABC，如图，在直角△ACD中，取AP中点Q，连结QM，∵M是AC的中点，∴QM∥CP，又由AP=2PD，∴QP=PD，∴DN=MN，∴FN∥BM，又∵FN⊂平面ECP，而BN⊄平面ECP，∴BM∥平面ECP1．解：（Ⅱ）如图，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），E（0，0，2），P（），设平面ACE的法向量=（x，y，z），∵=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，2），∴，取z=1，得=（2，2，1），设平面PCE的法向量=（a，b，c），∵=（﹣），=（﹣），∴，取c=1，得=（﹣2，2，1），∴cos＜＞==，∴二面角A﹣EC﹣P的余弦值为．18．设函数f（x）=ax2+b，其中a，b是实数．（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy=l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f （x）f（y）成立．【考点】抽象函数及其应用；二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）若ab＞0，求函数f[f（x）]的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质建立方程关系进行求解即可；（Ⅱ）由xy=l得y=，代回不等式，将不等式进行转化，利用换元法结合基本不等式的性质进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax2+b，∴f[f（x）]=a3x4+2a2bx2+ab2+b，设t=x2，当ab＞0，且二次函数y=a3t2+2a2bt+ab2+b的对称轴t=﹣＜0，当a＜0时，不满足条件．∴a＞0，b＞0，当t=0时，函数f[f（x）]取得最小值，即ab2+b=2，从而ab=0，得0＜b＜2，即b的取值范围是（0，2）；（Ⅱ）∵xy=l，∴y=，则由f（x）+f（y）≥f（x）f（y）得f（x）+f（）≥f（x）f（），即a（x2+）+2b≥ab（x2+）+a2+b2，令t=x2+，则t≥2，则a（1﹣b）t≥a2+b2﹣2b恒成立，需要a（1﹣b）≥0，此时y=a（1﹣b）t在[2，+∞）上为增函数，∴2a（1﹣b）≥a2+b2﹣2b，即（a+b）2﹣2（a+b）≤0，得0≤a+b≤2，则实数a，b满足的条件为．19．已知椭圆L：=1（a，b＞0）离心率为，过点（1，），与x轴不重合的直线，过定点T（m，0）（m为大于a的常数），且与椭圆L交于两点A，B（可以重合），点C为点A关于x轴的对称点．（Ⅰ）求椭圆L的方程；（Ⅱ）（i）求证：直线BC过定点M，并求出定点M的坐标；（ii）求△OBC面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）（i）由对称性可得直线BC过定点，定点在x轴上，设直线l的方程为x=ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），代入椭圆方程，运用韦达定理，求得直线BC的方程，可令y=0，求得x，化简整理，代入韦达定理，可得定点M；（ii）记△OBC的面积为S，则S=|OM|•|y2+y1|，代入韦达定理和定点坐标，讨论m的范围，结合对号函数的性质，即可得到最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，+=1，a2﹣b2=c2，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）（i）证明：由对称性可得直线BC过定点，定点在x轴上，设直线l的方程为x=ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），代入椭圆方程x2+2y2=2，可得（2+t2）y2+2tmy+m2﹣2=0，即有△=4t2m2﹣4（2+t2）（m2﹣2）＞0，即为8（t2﹣m2+2）＞0，y1+y2=﹣，y1y2=，设BC：y+y1=（x﹣x1），令y=0，可得x===+m=+m=，则直线BC过定点M（，0）；（ii）记△OBC的面积为S，则S=|OM|•|y2+y1|=•||=，由△＞0可得|t|＞（m＞），①若＞＞，即m＞2时，S max=；②若＜m≤2时，S≤=，即有S max=．20．设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=ca n+（c为正实数，n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）证明：当c=2时，2n+1﹣2≤S n≤3n﹣l（n∈N*）；（Ⅱ）求实数c的取值范围，使得数列{a n}是单调递减数列．【考点】数列的求和；数列的函数特性．【分析】（Ⅰ）易知a n＞0且{a n}是递增数列，从而可得=2+＜3，从而可得a n+1＜3a n＜32a n﹣1＜…＜3n a n=2•3n，从而证明S n≤2（1+3+…+3n﹣1）=3n﹣l，再证明另一部分即可；（Ⅱ）由a2=2c+＜2解得c＜，且=c+＜1，从而可得a n＞，化简可得a n＞，再由a n＜c n﹣1（2﹣t）+t可得＜t，从而解得c＞；再检验即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：易知a n＞0，∵a n+1=ca n+，且c=2，∴{a n}是递增数列，故=2+＜3，故a n+1＜3a n＜32a n＜…＜3n a n=2•3n，﹣1故S n≤2（1+3+…+3n﹣1）=3n﹣l，同理可得，S n≥2+22+23…+2n=2n+1﹣2，故当c=2时，2n+1﹣2≤S n≤3n﹣l（n∈N*）成立；（Ⅱ）由a1=2，a2=2c+＜2解得，c＜；若数列{a n}是单调递减数列，则=c+＜1，故a n＞，记t=，①，又a n+1﹣t=（a n﹣t）（c﹣），故c﹣＞0；即a n＞，②，由（Ⅰ）a n＞0及从c，t＞0可知，a n+1﹣t＜c（a n﹣t）＜…＜c n（2﹣t），故a n＜c n﹣1（2﹣t）+t，③，由②③两式可得，对任意的自然数n，＜c n﹣1（2﹣t）+t恒成立，故＜t，即＜t2=，故c＞；当＜c＜时，a n+1﹣a n=（a n﹣a n）（c﹣），﹣1∵a n+1=ca n+≥2，∴a n+1a n＞4c＞，故对对任意的自然数n，a n+1﹣a n＜0恒成立；综上所述，实数c的取值范围为＜c＜．2016年8月2日。

保密★考试结束前金丽衢十二校2018学年高三第二次联考理科综合试题可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Na-23 S-32 Ba-137选择题部分（共120分）一、单项选择题（本题共17个小题，每小题6分，共102分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）1．洋葱根尖分生区细胞分裂间期，细胞核中发生着复杂的变化。

下列叙述最准确的是A．DNA复制B．蛋白质和RNA合成C．DNA复制和RNA合成D．DNA复制和有关蛋白质合成2．右图为波森和詹森实验，有关叙述正确的是A. 本实验证明生长素由苗尖向下传递B．插有明胶的苗发生向光弯曲证明苗尖是感光部位C．显微镜观察表明，弯曲部位背面细胞分裂速率快、数量多D．要使本实验更有说服力，还应设置不放苗尖仅放明胶或云母片的对照实验3．研究发现，老鼠处于不同特定地点时，大脑的海马体里会有不同的“位置细胞”会激活，同时大脑内嗅皮层里不同的“网格细胞”也被激活。

这两类细胞共同组成了大脑内的综合定位系统。

下列说法正确的是A．两种细胞未被激活时，Na+和K+不会进行跨膜运输B．两种细胞被激活时，膜外Na+大量内流，这个过程不需要ATP提供能量C．两种细胞未激活时，细胞膜外Na+和K+多于细胞膜内，电位表现为外正内负D．两种细胞被激活后，膜外Na+大量内流，使膜内外Na+浓度相同，维持细胞的正常代谢4．四环素和链霉素等抗生素通过干扰细菌核糖体的形成，阻止tRNA和mRNA的结合来抑制细菌的生长。

下列相关说法正确的是A．细菌核糖体的形成与其核仁有关B．tRNA和mRNA的结合场所在核糖体C．抗生素的使用能引发机体产生特异性免疫D．细菌遗传物质的基本组成单位是核糖核苷酸5．以酒待客是我国的传统习俗，乙醇进入人体后的代谢途径如下图所示。

会“红脸”的人体内有乙醇脱氢酶但不含有乙醛脱氢酶。

下列说法正确的是4号染色体上的12号染色体上的显性基因（A）隐性基因（b）乙醇脱氢酶（ADH）乙醛脱氢酶（ALDH）氧化分解乙醇乙醛 乙酸 CO 2+H 2OA ．“白脸”人的基因型有5种B ．饮酒后酒精以易化扩散方式被吸收进入血液，并且在肝细胞光面内质网中“解毒”C ．一对“白脸”夫妇后代出现白脸与红脸比为3∶1，其原理与孟德尔一对相对性状的杂交试验相同D ．若ADH 基因仅一条母链上的G 被A 所替代，则该基因连续复制n次后，突变型ADH 基因占的比例为1/2n6．下表是美国的生态学家H.T.Odum 对佛罗里达州的银泉生态系统营养级和能量流动的调查结果（单位：102kJ/（m 2·a ））。

2017-2018学年浙江省金丽衢十二校高三（上）第二次联考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1. 设集合M={x| }，N={x|0＜x＜2}，则M∪N=（ ）A. [0，1）B. （0，1）C. [0，2）D. （0，2）【答案】C【解析】分析：解分式不等式得集合M,再根据集合的并集定义得结果.详解：因为，所以,因此M∪N= [0，2），选C.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 若双曲线的两条渐近线相互垂直，则它的离心率是（ ）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】双曲线两条渐近线互相垂直, ,计算得出.即为等轴双曲线.因此，本题正确答案是.3. 某四面体的三视图如图所示，正视图、左视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的最大面的面积是（ ）A. 2B.C.D. 4【答案】C【解析】分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式得结果.详解：因为几何体为一个四面体，六条棱长分别为，所以四面体的四个面的面积分别为因此四面体的最大面的面积是，选C.点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．4. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图，则φ=（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据图确定半个周期，得ω，再根据最大值求φ.详解：因为，所以因为|φ|＜因此，选B.点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.5. 已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z的虚部为（ ）A. 1B. ﹣1C. iD. ﹣i【答案】A【解析】分析：根据复数除法得，再得z，根据复数概念得结果.详解：因为（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i，所以因此，虚部为1,选A...............................6. 已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=2，（n≥2），则a6=（ ）A. B. 4 C. 16 D. 45【答案】B【解析】分析：先根据等差数列定义及其通项公式得，再根据正项数列条件得a n，即得a6.详解：因为，所以所以公差等差数列，，因为，因此，选B.点睛：证明或判断为等差数列的方法：(1)用定义证明：为常数）；(2)用等差中项证明：；(3)通项法：为的一次函数；(4)前项和法：7. 用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（ ）A. 20B. 24C. 36D. 48【答案】A【解析】分析：先根据能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，再分类讨论排列数，最后相加得结果.详解：因为能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，所以对应排列数分别为因此一共有，选A.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.8. 如果存在正实数a，使得f（x+a）为奇函数，f（x﹣a）为偶函数，我们称函数f（x）为“Θ函数”．给出下列四个函数：①f（x）=sinx ②f（x）=cosx ③f（x）=sinx﹣cosx④f（x）=sin2（x+）．其中“Θ函数”的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：根据奇偶性求出对应a的值，若存在就是“Θ函数”．详解：若f（x）=sinx是“Θ函数”，则，若f（x）=cosx是“Θ函数”，则，若f（x）=sinx﹣cosx =是“Θ函数”，则，若f（x）= sin2（x+）是“Θ函数”，则，因此“Θ函数”的个数为2，选B.点睛：函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.9. 设a＞b＞0，当取得最小值c时，函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为（ ）A. 3B.C. 5D.【答案】A【解析】分析：根据基本不等式求最值c，并确定a,b取值，再根据绝对值定义去掉绝对值，结合分段函数图像确定最小值.详解：因为，所以当且仅当时取等号，此时因为，所以因此当时，f（x）取最小值为3.选A.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=0.6，则当E、F移动时，下列结论中错误的是（ ）A. AE∥平面C1BDB. 四面体ACEF的体积为定值C. 三棱锥A﹣BEF的体积为定值D. 异面直线AF、BE所成的角为定值【答案】D【解析】分析：先证面AB1D1平行面C1BD，即得AE∥平面C1BD，通过计算四面体ACEF的体积、三棱锥A﹣BEF的体积以及异面直线AF、BE所成的角确定命题的真假.详解：因为B1D1// BD，C1D// AB1，所以面AB1D1平行面C1BD，因此AE∥平面C1BD，所以A正确，因为为定值，所以B正确，因为为定值，所以C正确，当E,F交换后，异面直线AF、BE所成的角发生变化，因此D错，选D.点睛：立体几何中定值或定位置问题，其基本思想方法是以算代证，或以证代证，即从条件出发，计算所求体积或证线面平行与垂直关系，得到结果为定值或位置关系为平行或垂直.二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）11. 若f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）=_____；方程[5f（x）﹣1][f（x）+5]=0的实根个数为_____．【答案】 (1). (2). 6【解析】分析：根据偶函数性质求对偶区间解析式，结合函数图像与确定交点个数.详解：因为f（x）为偶函数，所以当x＜0时，f（x）=,因为[5f（x）﹣1][f（x）+5]=0，所以研究与交点个数，如图：因此有6个交点.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 在的展开式中，常数项为_____；系数最大的项是_____．【答案】 (1). (2).【解析】分析：先根据二项展开式通项公式得项的次数与系数，再根据次数为零，算出系数得常数项，根据系数大小比较，解得系数最大的项.详解：因为，所以由得常数项为因为系数最大的项系数为正，所以只需比较大小因此r=2时系数最大，项是，点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.13. 已知向量满足的夹角为，则 =_____；与的夹角为_____．【答案】 (1). (2).【解析】分析：根据向量模的性质以及向量数量积求以及||，再根据向量数量积求向量夹角.详解：因为的夹角为，所以，，所以因此.点睛：求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法，从图形判断角的大小.14. 函数f（x）=x2+acosx+bx，非空数集A={x|f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，已知A=B，则参数a的所有取值构成的集合为_____；参数b的所有取值构成的集合为_____．【答案】 (1). (2).【解析】分析：根据条件A=B，得f（0）=0，解得a;再根据f（-b）=0，得f（x）=-b无解或仅有零根，解得b的取值范围.详解：因为A=B，所以f（x）=0成立时f（f（x））=0也成立，因此f（0）=0，，即参数a的所有取值构成的集合为，因为f（x）=x2+ bx，所以由f（x）=0得当-b=0时, f（f（x））= x4=0,满足A=B，当时,由f（f（x））=0得f（x）=0或f（x）=-b，因此f（x）=-b无解或仅有零根，因为，即方程无解，，综上b的取值范围为点睛：已知函数有零点或方程有解求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数交点或函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．15. 已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β④若m∥l，则α⊥β其中正确的命题的序号是_____．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）．【答案】①④【解析】分析：因为m⊥α，则m垂直与α平行所有平面中的直线；若m∥l，则β过垂直于α一条垂线，所以α⊥β；对于不成立的可以举反例说明.详解：因为m⊥α，则m垂直与α平行所有平面中的直线；所以若m⊥α，l⊂β，α∥β，则m⊥l；若m∥l，m⊥α，l⊂β，则β过垂直于α一条垂线，所以α⊥β；若α⊥β，m⊥α，l⊂β，则m,l位置关系不定；若m⊥l，m⊥α，l⊂β，则α，β也可相交，因此命题的序号是①④.点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16. 从放有标号为1、2、4、8、16、32的6个球的口袋里随机取出3个球（例如2、4、32），然后将3个球中标号最大和最小的球放回口袋（例子中放回2和32，留下4），则留在手中的球的标号的数学期望是_____．【答案】7.2【解析】分析：先确定随机变量的取法2，4，8，16，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望.详解：因为留在手中的球的标号可以为2，4，8，16，所以,,,因此点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.17. 设直线2x+y﹣3=0与抛物线Γ：y2=8x交于A，B两点，过A，B的圆与抛物线Γ交于另外两点C，D，则直线CD的斜率k=_____．【答案】2【解析】分析：根据圆以及抛物线的对称性可得直线AB与直线CD关于x轴对称，所以斜率和相反，即得结果.详解：因为根据圆以及抛物线的对称性可得直线AB与直线CD关于x轴对称，所以直线AB 与直线CD斜率和相反，因为直线AB斜率为-2，所以直线CD斜率为2.点睛：研究解几问题，一是注重几何性，利用对称性减少参数；二是巧记一些结论，简约思维、简化运算，如利用关于原点对称，为椭圆上三点).三、解答题（共5小题，满分74分）18. 已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，f（A）=，△ABC的面积为，AB=，求BC的长．【答案】（1）（2）2或【解析】分析：（1）先根据两角和与差正弦公式展开，再根据配角公式得基本三角函数形式，最后根据正弦函数周期公式求结果，（2）先求A,再根据面积公式求不，最后根据余弦定理求a.详解：解：函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．化简可得：f（x）=2sinxcos+cosx=sinx+cosx=2sin（x+）（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=；（Ⅱ）由f（A）=，即2sin（A+）=，∴sin（A+）=，∵0＜A＜π，∴＜（A+）．可得：（A+）=或则A=或A=．当则A=时，△ABC的面积为=bcsinA，AB=c=，∴b=AC=2余弦定理：BC2=22+（2）2﹣2××cos，解得：BC=2当A=时，△ABC的面积为=bc，AB=c=，∴b=AC=1直角三角形性质可得：BC2=22+（2）2，解得：BC=．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.19. 四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，则棱SB垂直于底面．（Ⅰ）求证：平面SBD⊥平面SAC；（Ⅱ）若SA与平面SCD所成角为30°，求SB的长．【答案】（1）见解析（2）1【解析】分析：（1）由正方形性质得AC⊥BD，由已知线面垂直关系得AC⊥SB，由线面垂直判定定理得AC⊥面SBD，再根据面面垂直判定定理得结论，（2）先将四棱锥补成正四棱柱ABCD﹣A′SC′D′，作AE⊥A′D于E，则根据线面垂直判定定理得AE⊥面SCD，即得∠ASE 即为SA与平面SCD所成角的平面角，最后根据解三角形得结果.详解：证明：（Ⅰ）连结AC，BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵SB⊥底面ABCD，∴AC⊥SB，∴AC⊥面SBD，又由AC⊂面SAC，∴面SAC⊥面SBD．解：（Ⅱ）将四棱锥补成正四棱柱ABCD﹣A′SC′D′，连结A′D，作AE⊥A′D于E，连结SE，由SA′∥CD，知平面SCD即为平面SCDA′，∵CD⊥侧面ADD′A′，∴CD⊥AE，又AE⊥A′D，∴AE⊥面SCD，∴∠ASE即为SA与平面SCD所成角的平面角，设SB=x，在直角△ABS中，SA=，在直角△DAA′中，∴=，解得x=1，∴SB的长为1．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20. 已知函数f（x）=a x﹣xlna（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意x1，x2∈R，有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【答案】（1）y=1（2）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减；（3）【解析】分析：（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程，（2）根据a与1大小分类讨论导函数符号，再根据导函数符号确定单调区间，（3）先将恒成立问题转化为对应函数最值，再根据单调性确定函数最值，通过构造函数解不等式，可得实数a的取值范围．详解：解：（Ⅰ）∵f′（x）=a x lna﹣lna=（a x﹣1）lna，∴f′（0）=0，又∵f（0）=1，∴所求切线方程是：y=1；（Ⅱ）当a＞1时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故对∀a＞0，且a≠1，f（x）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减；（Ⅲ）记f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值是M，最小值是m，要使对任意x1，x2∈R，有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2，只需M﹣m≤e﹣2即可，根据f（x）的单调性可知，m=f（0）=1，M为f（﹣1），f（1）的最大值，f（﹣1）=+lna，f（1）=a﹣lna，f（﹣1）﹣f（1）=﹣a+2lna，令g（x）=﹣x+2lnx，g′（x）=﹣≤0，故g（x）在（0，+∞）递减，又∵g（1）=0，∴a＞1时，g（a）＜g（1）=0，即f（﹣1）＜f（1），此时M=a﹣lna，要使M﹣m≤e﹣2，即有a﹣lna﹣1≤e﹣2，再令h（x）=x﹣lnx，由h′（x）=可知h（x）在（1，+∞）递增，不等式a﹣lna≤e﹣1可化为h（a）≤h（e），解得：1＜a≤e，当0＜a＜1时，g（a）＞g（1）=0，即f（﹣1）＞f（1），此时M=+lna，要使M﹣m≤e﹣2，即有+lna﹣1≤e﹣2，再令l（x）=+lnx，由l′（x）=，可知l（x）在（0，1）递减，不等式+lna≤e﹣1可化为l（a）≤l（），解得：≤a＜1，综上，a的范围是[，1）∪（1，e]．点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.21. 已知椭圆T的焦点在x轴上，一个顶点为A（﹣5，0），其右焦点到直线3x﹣4y+3=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆T的方程；（Ⅱ）设椭圆T的长轴为AA'，P为椭圆上除A和A'外任意一点，引AQ⊥AP，A'Q⊥A'P，AQ 和A'Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）根据条件列关于a,b,c方程组，解方程组可得a,b，（2）交轨法求轨迹，先设P,Q坐标,根据垂直关系得斜率乘积为-1，两式对应相乘，利用椭圆方程化简可得Q点轨迹方程，最后根据根据纯粹性去掉两点.详解：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：（a＞b＞0），设椭圆的右焦点为（c，0），则=3，解得：c=4，由题意的焦点在x轴上，则a=5，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设P（5cosθ，3sinθ），A'（5，0），θ≠kπ，k∈Z，设Q（x，y），x≠5且x≠﹣5，于是，×=﹣1，×=﹣1，两式相乘：×=1，化简，所求轨迹方程为：，x≠5且x≠﹣5，∴点Q的轨迹方程，x≠5且x≠﹣5．点睛：求轨迹方程，一般有以下方法，一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.22. 已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，且a n+1=S n+n+1（n∈N+）（Ⅰ）求证数列{a n+1}为等比数列；（Ⅱ）设数列{ }的前n项和为T n，求证：．（Ⅲ）设函数，令，求数列{b n}的通项公式，并判断其单调性．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再利用等比数列定义证数列{a n+1}为等比数列；（2）先根据等比数列通项公式求a n+1，解得a n，再放缩利用等比数列求和公式得结论，（3）先求导数，得，再利用错位相减法求其中部分和，即得，最后根据相邻两项差的关系判断数列单调性,这时可利用数学归纳法证明.详解：解：（Ⅰ）证明：a n+1=Sn+n+1，可得当n≥2时，a n=S n﹣1+n，两式相减可得，a n+1﹣a n=a n+1，可得a n+1+1=2（a n+1），n≥2，由a1+1=2，a2+1=4，可得数列{a n+1}为公比为2的等比数列；（Ⅱ）a n+1=2•2n﹣1=2n，即有a n=2n﹣1，当n=1时，T1=1，当n=2时，T2=1+，当n=3时，T3=1++=显然有；n＞3时，Tn=1++++…+＜1+++（++…+）=1+++＜1+++=1++＜1++=；（Ⅲ）设函数，令，f′n（x）=a n+2a n﹣1x+…+na1x n﹣1，则bn=f′n（1）=a n+2a n﹣1+…+na1=（2n﹣1）+2（2n﹣1﹣1）+3（2n﹣2﹣1）+…+n（21﹣1）=2n+2•2n﹣1+3•2n﹣2+…+n•21﹣．令A=2n+2•2n﹣1+3•2n﹣2+…+n•21，A=2n﹣1+2•2n﹣2+3•2n﹣3+…+n•20，两式相减可得，A=2n+2n﹣1+2n﹣2+…+2﹣n=2n+1﹣n﹣2，即A=2n+2﹣2n﹣4，bn=2n+2﹣2n﹣4﹣=2n+2﹣n2﹣n﹣4，{bn}递增，只需证明当n为自然数时，bn+1﹣bn=2n+2﹣n﹣3＞0．当n=1时，2n+2﹣n﹣3=4＞0，假设n=k时，2k+2﹣k﹣3＞0，则当n=k+1时，2k+3﹣k﹣4=（2k+2﹣k﹣3）+（2k+2﹣1）＞0恒成立，综上可得，当n为一切自然数时，b n+1＞b n．即数列{b n}为递增数列．点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.。

浙江省金丽衢十二校20xx 届高三第二次联考数学（理）试题1.设全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{1,2,3,4}P =,集合{3,4,5}Q =,()U PC Q =（ ） A. {1,2,3,4,6} B. {1,2,3,4,5} C. {1,2,5} D. {1,2}2.等比数列{}n a 中143,24a a ==，则345a a a ++=（ ）A.33B.72C.84D.1893.二项式2111()x x -的展开式中，系数最大的项为（ ）A.第五项B.第六项C.第七项D.第六和第七项4、“函数()y f x =在[1,)+∞上单调递增”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数()f x 的导数'()f x 的图像是如图所示的一条直线l ，l 与x 轴交点坐标为(1,0)，则(0)f 与(3)f 的大小关系为（ ）A. (0)(3)f f <B. (0)(3)f f >C. (0)(3)f f =D.无法确定6.已知,,a b c 为三条不同的直线，且a ⊂平面M ，b ⊂平面N ，M N c =①若a 与b 是异面直线，则c 至少与,a b 中的一条相交；②若a 不垂直于c ，则a 与b 一定不垂直；③若a b ，则必有a c ；④若,a b a c ⊥⊥，则必有M N ⊥.其中正确的明确的命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.37.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A.B.C.D.x8. 已知三个正实数,,a b c 满足2,2b a c b a b c a <+≤<+≤，则a b 的取值范围为（ ） A. 23(,)32 B. 12(,)33 C. 2(0,)3 D. 3(,2)29.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()21(0)f x a x a a =-->若函数[()]y f f x =恰有10个零点，则a 的取值范围为（ ） A. 1(0,)2 B. 11(,)23 C. 1(0,]2 D. 3[,)2+∞10. 在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ） A. 17 B. 27 C. 37 D. 47第Ⅱ卷二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卷的相应位置.11.若复数12,1z a i z i =+=-(i 为虚数单位)且12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为_________.12. 已知等差数列{}n a 中，前n 项的和为n S ，若396a a +=，则11S =_________.13.若在平面直角坐标系内过点(1P 且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为___________.14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.15.设,a b 为向量，若a b +与a 的夹角为3π,a b +与b 的夹角为4π,则a b=______________. 16. 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A .若OA b =,则该双曲线的离心率为__________________. 17. 已知不等式20()ln()0m m n n-⋅≥对任意正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围是_______ 三、解答题（72分）18．（本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan ,32cos C A c C==-． (1) 求b a； (2) 若ABC ∆的面积为3，求cos C ．19．（本题满分14分）已知盒中有n 个黑球和m 个白球，连续不放回地从中随机取球，每次取一个，直到盒中无球，规定：第i 次取球若取到黑球得2分，取到白球不得分，记随机变量ξ为总的得分。

2017-2018学年浙江省金丽衢十二校高三（上）第二次联考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．设集合M={x|}，N={x|0＜x＜2}，则M∪N=（）A．[0，1）B．（0，1）C．[0，2）D．（0，2）2．若双曲线的两条渐近线相互垂直，则它的离心率是（）A．B．C．2 D．3．某四面体的三视图如图所示，正视图、左视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的最大面的面积是（）A．2 B． C． D．44．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图，则φ=（）A．B．C．D．5．已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i6．已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=2，（n≥2），则a6=（）A．B．4 C．16 D．457．用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（）A．20 B．24 C．36 D．488．如果存在正实数a，使得f（x+a）为奇函数，f（x﹣a）为偶函数，我们称函数f（x）为“Θ函数”．给出下列四个函数：①f（x）=sinx ②f（x）=cosx ③f（x）=sinx﹣cosx ④f（x）=sin2（x+）．其中“Θ函数”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．设a＞b＞0，当+取得最小值c时，函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为（）A．3 B．2 C．5 D．410．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=0.6，则当E、F移动时，下列结论中错误的是（）A．AE∥平面C1BDB．四面体ACEF的体积为定值C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AF、BE所成的角为定值二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）11．若f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）= ；方程[5f（x）﹣1][f（x）+5]=0的实根个数为．12．在的展开式中，常数项为；系数最大的项是．13．已知向量，满足，，与的夹角为，则= ；与的夹角为．14．函数f（x）=x2+acosx+bx，非空数集A={x|f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，已知A=B，则参数a的所有取值构成的集合为；参数b的所有取值构成的集合为．15．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β④若m∥l，则α⊥β其中正确的命题的序号是．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）．16．从放有标号为1、2、4、8、16、32的6个球的口袋里随机取出3个球（例如2、4、32），然后将3个球中标号最大和最小的球放回口袋（例子中放回2和32，留下4），则留在手中的球的标号的数学期望是．17．设直线2x+y﹣3=0与抛物线Γ：y2=8x交于A，B两点，过A，B的圆与抛物线Γ交于另外两点C，D，则直线CD的斜率k= ．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，f（A）=，△ABC的面积为，AB=，求BC的长．19．（15分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，则棱SB垂直于底面．（Ⅰ）求证：平面SBD⊥平面SAC；（Ⅱ）若SA与平面SCD所成角为30°，求SB的长．20．（15分）已知函数f（x）=a x﹣xlna（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意x1，x2∈R，有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．21．（15分）已知椭圆T的焦点在x轴上，一个顶点为A（﹣5，0），其右焦点到直线3x﹣4y+3=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆T的方程；（Ⅱ）设椭圆T的长轴为AA'，P为椭圆上除A和A'外任意一点，引AQ⊥AP，A'Q⊥A'P，AQ 和A'Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程．22．（15分）已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，且a n+1=S n+n+1（n∈N+）（Ⅰ）求证数列{a n+1}为等比数列；（Ⅱ）设数列{}的前n项和为T n，求证：．（Ⅲ）设函数，令，求数列{b n}的通项公式，并判断其单调性．2017-2018学年金丽衢十二校高三（上）第二次联考数学试卷参考答案三、解答题（共5小题，满分74分）18．解：函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．化简可得：f（x）=2sinxcos+cosx=sinx+cosx=2sin（x+）（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=；（Ⅱ）由f（A）=，即2sin（A+）=，∴sin（A+）=，∵0＜A＜π，∴＜（A+）．可得：（A+）=或则A=或A=．当则A=时，△ABC的面积为=bcsinA，AB=c=，∴b=AC=2余弦定理：BC2=22+（2）2﹣2××cos，解得：BC=2当A=时，△ABC的面积为=bc，AB=c=，∴b=AC=1直角三角形性质可得：BC2=22+（2）2，解得：BC=．19．证明：（Ⅰ）连结AC，BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵SB⊥底面ABCD，∴AC⊥SB，∴AC⊥面SBD，又由AC⊂面SAC，∴面SAC⊥面SBD．解：（Ⅱ）将四棱锥补成正四棱柱ABCD﹣A′SC′D′，连结A′D，作AE⊥A′D于E，连结SE，由SA′∥CD，知平面SCD即为平面SCDA′，∵CD⊥侧面ADD′A′，∴CD⊥AE，又AE⊥A′D，∴AE⊥面SCD，∴∠ASE即为SA与平面SCD所成角的平面角，设SB=x，在直角△ABS中，SA=，在直角△DAA′中，∴=，解得x=1，∴SB的长为1．20．解：（Ⅰ）∵f′（x）=a x lna﹣lna=（a x﹣1）lna，∴f′（0）=0，又∵f（0）=1，∴所求切线方程是：y=1；（Ⅱ）当a＞1时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故对∀a＞0，且a≠1，f（x）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减；（Ⅲ）记f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值是M，最小值是m，要使对任意x1，x2∈R，有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2，只需M﹣m≤e﹣2即可，根据f（x）的单调性可知，m=f（0）=1，M为f（﹣1），f（1）的最大值，f（﹣1）=+lna，f（1）=a﹣lna，f（﹣1）﹣f（1）=﹣a+2lna，令g（x）=﹣x+2lnx，g′（x）=﹣≤0，故g（x）在（0，+∞）递减，又∵g（1）=0，∴a＞1时，g（a）＜g（1）=0，即f（﹣1）＜f（1），此时M=a﹣lna，要使M﹣m≤e﹣2，即有a﹣lna﹣1≤e﹣2，再令h（x）=x﹣lnx，由h′（x）=可知h（x）在（1，+∞）递增，不等式a﹣lna≤e﹣1可化为h（a）≤h（e），解得：1＜a≤e，当0＜a＜1时，g（a）＞g（1）=0，即f（﹣1）＞f（1），此时M=+lna，要使M﹣m≤e﹣2，即有+lna﹣1≤e﹣2，再令l（x）=+lnx，由l′（x）=，可知l（x）在（0，1）递减，不等式+lna≤e﹣1可化为l（a）≤l（），解得：≤a＜1，综上，a的范围是[，1）∪（1，e]．21．解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：（a＞b＞0），设椭圆的右焦点为（c，0），则=3，解得：c=4，由题意的焦点在x轴上，则a=5，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设P（5cosθ，3sinθ），A'（5，0），θ≠kπ，k∈Z，设Q（x，y），x≠5且x≠﹣5，于是，×=﹣1，×=﹣1，两式相乘：×=1，化简，所求轨迹方程为：，x≠5且x≠﹣5，∴点Q的轨迹方程，x≠5且x≠﹣5．22．解：（Ⅰ）证明：a n+1=S n+n+1，可得当n≥2时，a n=S n﹣1+n，两式相减可得，a n+1﹣a n=a n+1，可得a n+1+1=2（a n+1），n≥2，由a1+1=2，a2+1=4，可得数列{a n+1}为公比为2的等比数列；（Ⅱ）a n+1=2•2n﹣1=2n，即有a n=2n﹣1，当n=1时，T1=1，当n=2时，T2=1+，当n=3时，T3=1++=显然有；n＞3时，T n=1++++…+＜1+++（++…+）=1+++＜1+++=1++＜1++=；（Ⅲ）设函数，令，f′n（x）=a n+2a n﹣1x+…+na1x n﹣1，则b n=f′n（1）=a n+2a n﹣1+…+na1=（2n﹣1）+2（2n﹣1﹣1）+3（2n﹣2﹣1）+…+n（21﹣1）=2n+2•2n﹣1+3•2n﹣2+…+n•21﹣．令A=2n+2•2n﹣1+3•2n﹣2+…+n•21，A=2n﹣1+2•2n﹣2+3•2n﹣3+…+n•20，两式相减可得，A=2n+2n﹣1+2n﹣2+…+2﹣n=2n+1﹣n﹣2，即A=2n+2﹣2n﹣4，b n=2n+2﹣2n﹣4﹣=2n+2﹣n2﹣n﹣4，{b n}递增，只需证明当n为自然数时，b n+1﹣b n=2n+2﹣n﹣3＞0．当n=1时，2n+2﹣n﹣3=4＞0，假设n=k时，2k+2﹣k﹣3＞0，则当n=k+1时，2k+3﹣k﹣4=（2k+2﹣k﹣3）+（2k+2﹣1）＞0恒成立，综上可得，当n为一切自然数时，b n+1＞b n．即数列{b n}为递增数列．。

2018 金衢十二校联考数学参考答案及评分细则二、填空题(本大题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分)11．x ≥－1； 12．丙； 13．y =－2；14． 6 3；x15．2 或 ；16. (1)（m , 1－m ）； (2) m = -1 或m = -2三、解答题17. （1） 1 1= －1+1－……………………各 1 分9 3 =－2 9 18. 3x +3，…………………2 分……………………各 3 分19. 解：当α=45°时，小狗仍可以晒到太阳．理由如下：假设没有台阶，当α=45°时，从点 B 射下的光线与地面 AD 的交点为点 F ，与 MC 的交点为点 H ．当α=60°时，在 Rt △ABE 中， ∴AB =10•tan60°=10 3． ∵∠BFA =45°， 此时的影长 AF =AB =10 3米， ............. 3 分 ∴CF=AF-AC =10 3-17>0.3 米， ............. 2 分 ∴小狗能晒到太阳． ............. 1 分20. 解 ：(1) 故 y =－3（x －2.5）2+4.75， ............. 4 分5（2）当 x =4 时，y =－3.4=BC ，............. 3 分 故这次表演成功． ............. 1 分 21. 解（1）连结 OA ， .............................. 1 分C∴∠DAO =∠DAB +∠BAO =∠DAB +∠ABO=∠DAB +∠ABD= 90°， ............... 1 分∵A 为圆上一点， ∴DA 为圆 O 切线． ............................ 1 分（2）由题意可知：AD =BD ·tan ∠ABD =2， ................. 1 分∴AB = 5，∴cos ∠ABD = 1， ............... 1 分5(第 21 题图)5 ±3 6．AB O∵AD ⊥BF ，∴∠ABD +∠BAD =90°， 又∵BA 平分∠CBF ， ……………………1 分 F D∴∠ABD =∠ABO ， ……………………1 分又∵OA =OB ，∴∠ABO =∠OAB ， ……………………1 分∴BC =ABcos ∠ABD=5， ................ 1 分∴OB = 1BC =2.5．...................... 1 分 222. （1）12 ........................................................................................................................... 2 分频数分布直方图（略）（12 人，18 人）， ............................. 2 分 （2）三 .............................................................. 2 分（3）800×36=576(人) .................................................................................................. 2 分5023. 解：（1）∵△AME 沿直线 MN 翻折，点 A 落在点 P 处，∴△AME ≌△PME . ∴∠AEM =∠PEM ，AE=PE . ∵ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC . ∵EP ⊥BC ，∴AB // EP .∴∠AME =∠PEM . ∴∠AEM =∠AME . ∴AM =AE .∵ABCD 是矩形，∴AB // DC . ∴ AM = AE . ∴CN =CE .CNCE设 CN = CE =x .∵ABCD 是矩形，AB =4，BC =3，∴AC =5. ∴PE= AE=5- x .∵EP ⊥BC ，∴ EP = sin ∠ACB = 4.CE 5 ∴ 5 - x = 4 . ∴ x = 25 ，即CN = 25 ....................................... 3 分 x 5 99 （2）∵△AME 沿直线 MN 翻折，点 A 落在点 P 处，∴△AME ≌△PME . ∴AE=PE ，AM=PM .∵EP ⊥AC ，∴ EP = tan ∠ACB = 4. ∴AE = 4 . CE 3CE 3 ∵AC =5，∴AE = 20 ，15 .∴ PE = 20 .CE =77∵EP ⊥AC ，∴ PC =∴ PB = PC - BC = 25 - 3 = 4 .7 7=25 . 7在 Rt △PMB 中，∵ PM 2 = PB 2 + MB 2 ，AM=PM .∴ A M 2 = 4 2 2 . ∴AM =100 ........................................... 4 分( ) + (4 - AM ) 749（3）0 ≤ CP ≤ 5 , ............................... 2 分 当 CP 最大时 MN = 35 ............................... 1 分224．(1)当点 D 在 x 轴上时,点 C 与 O 重合,可求得 B 点坐标为（133,0） ................. 2 分7直线 AC 的解析式为 y = 23x ； ............... 2 分(2) ○1 由双曲线和正比例函数图象的中心对称性可知，点 D ，F 关于点 O 成中心对称，则OD =OF ；由轴对称可知 OB =OB ′，则四边形 DB ′FB 为平行四边形；………2 分○ 2 由○1 得，四边形 DB ′FB 为平行四边形，若四边形 DB ′FB 为矩形，则 OB =OD =t ，又∵点 D 是 Rt △BOC 的斜边 BC 的中点， ∴OD =BD ，∴△OBD 为等边三角形， y ∴OC = 3BO ，C过点 A 分别作 AG ⊥y 轴，AH ⊥x 轴，垂足为 G ，H ．则，易得△AGC ∽△AHB G D∴HB GC ∴ ＝AH AG 9－3t O B H x CG = ；2 ∴ 13－3t OC =2∴13－3t = 3t213 26 3－39t = =……………………………………………………………………2 分 2 3+3 3 (3)Ⅰ 0<t <3当点 E 与点 A 重合时，△CDE 为等腰三角形即直线 DE 经过点 A 13－3t ∴ ＝24 ∴t ＝53 ∴B ( 5 3,0)； ................................... 1 分 Ⅱ 3<t <13 3设 CD ＝CE过 A 作 AM ⊥y 轴， 易证△AMC ∽△DHC ∴HD HC t＝AM MC ∴2 3 ＝ 13－3t 13－3t 2－4 2 ∴t =± 13∴B ( 13 ,0)；……………………1 分yA ∴A13Ⅲt>3∠CED 为钝角，设CE＝DE ∴CG＝BG∴△OCG≌△ABG∴AB＝OC∴(13－3t2)2＝(t－3)2+22解得t1=3 (舍去)，t2=7.8∴B (7.8,0) .......................................................................... 1 分Ⅳt<0可求得OKyC 3t－13＝t－3当CD＝CE 时D E∴CB＝CK∴OB＝OK3t－13 A∴t－3＝－t解得t＝± 13 B O K x∴B (－13 ,0) .......................................................................................................................... 1 分综上所述,存在点 B 使△DCE 为等腰三角形,此时B 点坐标为B1(53,0)；B2( 13 ,0)；B3 (7.8,0)；B 4(－13 ,0)．AGOxBEDC。

金丽衢十二校2018学年高三第二次联考数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.集合2{|20}A x x x =->，{}33}B x x =-<<，则（ ）A ．AB ⋂=∅ B ．A B R ⋃=C ．B A ⊆D ．A B ⊆2.点1F 和2F 是双曲线2213x y -=的两个焦点，则12||F F =A ． 2 C ．．4 3.复数12z i =-，23z i =+，则12||z z ⋅=（ ）A ．5B ．6C ．7D ． 4.某几何体的三视图如图所示（图中单位：cm ），则该几何体的表面积为（ ）A 2cm B ．2cm C.21)cm π D ．22)cm π 5.已知直线l ⊥平面α，直线m平面β，则“αβ”是“l m ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则()E ξ为（ ）A ．1.2B ．1.5 C. 1.8 D ．2 7.函数()ln8xf x x=-的图像大致为（ ） A ． B ．C.D ．8.已知a ，b ，c 和d 为空间中的4个单位向量，且0a b c ++=，则||||||a d b d c d -+-+-不可能等于（ ）A ．3B ．．9.正三棱锥P ABC -的底面边长为1cm ，高为hcm ，它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者侧面与底面）之和记为θ，则在h 从小到大的变化过程中，θ的变化情况是（ ）A ．一直增大B ．一直减小 C.先增大后减小 D ．先减小后增大 10.数列{}n a 满足：11a =，11n n na a a +=+，则2018a 的值所在区间为（ ） A ．(0,100) B ．(100,200) C. (200,300) D ．(300,)+∞二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有 人；所合买的物品价格为 元．12.5(12)x -展开式中3x 的系数为 ；所有项的系数和为 ．13.若实数x ，y 满足约束条件1,22,1,x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩则目标函数23Z x y =+的最小值为 ；最大值为 ．14.在ABC ∆中，角A ，B 和C 所对的边长为a ，b 和c ，面积为2221()3a cb +-，且C ∠为钝角，则tan B = ；ca的取值范围是 ． 15.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种（用数字作答）． 16.定义在R 上的偶函数()f x 满足：当0x >时有1(4)()3f x f x +=，且当04x ≤≤时，()3|3|f x x =-，若方程()0f x mx -=恰有三个实根，则m 的取值范围是 ．17.过点(1,1)P 的直线l 与椭圆22143x y +=交于点A 和B ，且AP PB λ=.点Q 满足AQ QB λ=-，若O 为坐标原点，则||OQ 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知函数2()sin sin()2f x x x x π=+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间2[0,]3π上的取值范围.19. 在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知1BC =，13BCC π=∠，12AB C C ==.（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）E 在棱1C C （不包含端点1C ，C ）上，且1EA EB ⊥，求1A E 和平面1AB E 所成角的正弦值. 20. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意*n N ∈，有121n n a S +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1n an n b a +=，求数列3{log }n b 的前n 项和n T .21. 已知抛物线E ：2(0)y ax a =>内有一点(1,3)P ，过P 的两条直线1l ，2l 分别与抛物线E 交于A ，C 和B ，D 两点，且满足AP PC λ=，(0,1)BP PD λλλ=>≠，已知线段AB 的中点为M ，直线AB 的斜率为k .（1）求证：点M 的横坐标为定值；（2）如果2k =，点M 的纵坐标小于3，求PAB ∆的面积的最大值.22. 函数()ln )f x n x =-，其中*n N ∈，(0,)x ∈+∞.（1）若n 为定值，求()f x 的最大值；（2）求证：对任意*m N ∈，有ln1ln 2ln3ln(1)m ++++21)>；（3）若2n =，ln 1a ≥，求证：对任意0k >，直线y kx a =-+与曲线()y f x =有唯一公共点.试卷答案一、选择题1-5: BDDBA 6-10: CAADA9.当0h +→（比0多一点点），有13θθπ=→；当h +∞→，有352πθθ=→；当h 刚好使得正三棱锥变为正四面体时，二面角之和记为2θ，则23341cos6233θ+-==⨯，于是2217cos2()1339θ=⨯-=-> 即253πθ<.所以与θ的变化情况相符合的只有选项D .10.因为22212123n n n n a a a a +=++≤+，所以2018100a <<=.二、填空题11. 7；53 12. -80；-1 13. 2；72 14. 43；5(,)3+∞ 15. 210 16.3113(,)(,)4884--⋃ 17.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)Q m n 则12121,(1),x x x x m λλλλ+=+⎧⎨-=-⎩于是22212()(1)x x m λλ-=-，同理22212()(1)y y n λλ-=-，于是我们可以得到222221122()()4343x y x y λ+++2(1)()43m n λ=++.即143m n+=，所以min 12||5OQ ==.18.（1）1()sin(2)62f x x π=-+，所以T π=； （2）3()[0,]2f x ∈.19.（1）∵1BC =，12CC =，13BCC π=∠，∴1BC =又∴22211BC BC CC +=，∴1BC BC ⊥.（1） ∵AB ⊥侧面11BB C C ，∴1AB BC ⊥.（2） 由（1）和（2）可得直线1C B ⊥平面ABC .（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则有(0,0,2)A，1(1B -，设(1,0)(01)E t t -<<，由10EA EB ⋅=可求得12t =.又1(1A -，13(2EA =-，1(2)2AE =-，13(,2B E =，则平面1AB E 的法向量(1,3,1)n =，设1A E 和平面1AB E 所成角为θ，于是332sin θ-++===20.（1）由121n n a S +=+求得13n n a a +=.所以1*3()n n a n N -=∈.（2）1311log (3)nnn n i i i T b n -====⋅∑∑1111(3(1)33)2n n n n i n n --===⋅--⋅-∑113113()32213244n n n n n -=⨯-⨯=-+-. 21.（1）设CD 中点为N ，则由AP PC λ=，BP PD λ=可推得AB DC λ=，MP PN λ=，这说明AB CD ，且M ，P 和N 三点共线.对A ，B 使用点差法，可得()()A B A B A B y y a x x x x -=-+，即2AB M k a x =⋅. 同理2CD N k a x =⋅.于是M N x x =，即MN x ⊥轴，所以1M P x x ==为定值.（2）由2k =得到1a =，设(1,3)M y t =∈，||3PM t =-，联立2,2(1),y x y t x ⎧=⎨-=-⎩得2220x x t -+-=，所以||A B x x -=于是(3PAB S t ∆=-53t =时，PAB S ∆. 22.（1）max ()(1)f x f n ==. （2）由前一问可知ln x n ≥，取2n =得ln 2x ≥，于是1112ln (2m m i i i ++==≥∑∑1224m i m +=>-1224m i m +==-∑24m =-21)=.（3）要证明当a e ≥，0k >时，关于xln )x kx a -=-+有唯一解，令t =2()22ln g t kt t t t a =+--有唯一零点.我们先证三个引理【引理1】(1ln )1x x -≤...................................（由第1问取1n =即可） 【引理2】1ln 1x x≥-.....................................（由【引理1】变形得到） 【引理3】ln 1x x ≤-..............................（可直接证明也可由【引理2推出】证明：11ln ln(1)11x x xx=-≤--=-. 证毕！下面我们先证明函数()g t 存在零点，先由【引理2】得到：221()22(1)2g t kt t t a kt a t≤+---=+-.令t =()0g t ≤.再由【引理3】得到ln x x <，于是()((2)g t t kt t a =-+-4)(2)t a >-.令216t k >，且2at >，可知()0g t >.由连续性可知该函数一定存在零点. 下面我们开始证明函数()g t 最多只能有一个零点.我们有ln ()22ln 2()tg t kt t t k t'=-=-. 令ln ()t h t t =，则21ln ()t h t t -'=，则()h t 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减，即max1()h t e=. 当1k e≥时，有()0g t '≥恒成立，()g t 在(0,)+∞上递增，所以最多一个零点. 当10k e<<时，令12()()0g t g t ''==，12t e t <<，即11ln t kt =，于是 111111()ln 22ln g t t t t t t a =+--11(2ln )t t a =--.再令1(01)t eT T =<<，由【引理1】可以得到1()(1ln )10g t eT T a e a =--<⨯-≤.因此函数()g t 在1(0,)t 递增，12(,)t t 递减，2(,)t +∞递增，1t t =时，()g t 有极大值但其极大值1()0g t <，所以最多只有一个零点.综上，当0k >，a e ≥时，函数()y f x =与y kx a =-+的图像有唯一交点.。

浙江省金丽衢十二校2018-2019学年高三数学第二次联考试卷一、单选题 (共10题；共10分)1．（1分）集合A={x|x2−2x>0}，B={x}−3<x<3}，则（）A．B．C．D．2．（1分）点F1和F2是双曲线y2−x23=1的两个焦点，则|F1F2|=（）A．B．2C．D．43．（1分）复数z1=2−i，z2=3+i，则|z1⋅z2|=（）A．5B．6C．7D．4．（1分）某几何体的三视图如图所示（图中单位：cm），则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．5．（1分）已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则“ α∥β”是“ l⊥m”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（1分）甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E(ξ)为（）A．1.2B．1.5C．1.8D．27．（1分）函数f(x)=lnx8−x的图像大致为（）A．B．C．D．8．（1分）已知a⇀，b⇀，c⇀和d⇀为空间中的4个单位向量，且a⇀+b⇀+c⇀=0，则|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|不可能等于（）A．3B．C．4D．9．（1分）正三棱锥P−ABC的底面边长为1cm，高为ℎcm，它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者侧面与底面）之和记为θ，则在ℎ从小到大的变化过程中，θ的变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大10．（1分）数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+1an，则a2018的值所在区间为（）A．B．C．D．二、填空题 (共7题；共11分)11．（2分）《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有人；所合买的物品价格为元．12．（2分）(1−2x)5展开式中x3的系数为；所有项的系数和为．13．（2分）若实数x，y满足约束条件{x+y≥1,x+2y≤2,x≤1,则目标函数Z=2x+3y的最小值为；最大值为．14．（2分）在ΔABC中，角A，B和C所对的边长为a，b和c，面积为13(a2+c2−b2)，且∠C为钝角，则tanB=；ca的取值范围是．15．（1分）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有种.（用数字作答）16．（1分）定义在R上的偶函数f(x)满足：当x>0时有f(x+4)=13f(x)，且当0≤x≤4时，f(x)=3|x−3|，若方程f(x)−mx=0恰有三个实根，则m的取值范围是．17．（1分）过点P(1,1)的直线l与椭圆x24+y23=1交于点A和B，且AP⇀=λPB⇀.点Q满足AQ⇀=−λQB⇀，若O为坐标原点，则|OQ|的最小值为．三、解答题 (共5题；共10分)18．（2分）已知函数f(x)=sin2x+√3sinxsin(x+π2 ).（1）（1分）求f(x)的最小正周期；（2）（1分）求函数f(x)在区间[0,23π]上的取值范围.19．（1分）在三棱拄ABC−A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC=1，∠BCC1=π3，AB=C1C=2.（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）试在棱C1C(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求AE和平面ABC所成角正弦值的大小.20．（2分）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，对任意n∈N∗，有a n+1=2S n+1.（1）（1分）求数列{a n}的通项公式；（2）（1分）若b n=a n+1a n，求数列{log3b n}的前n项和T n.21．（2分）已知抛物线E：y=ax2(a>0)内有一点P(1,3)，过P的两条直线l1，l2分别与抛物线E交于A，C和B，D两点，且满足AP⇀=λPC⇀，BP⇀=λPD⇀(λ>0,λ≠1)，已知线段AB的中点为M，直线AB的斜率为k.（1）（1分）求证：点M的横坐标为定值；（2）（1分）如果k=2，点M的纵坐标小于3，求ΔPAB的面积的最大值.n(n−lnx)，其中n∈N∗，x∈(0,+∞).22．（3分）函数f(x)=√x（1）（1分）若n为定值，求f(x)的最大值；（2）（1分）求证：对任意m∈N∗，有ln1+ln2+ln3+⋯ln(m+1)>2(√m+1−1)2；（3）（1分）若n=2，lna≥1，求证：对任意k>0，直线y=−kx+a与曲线y= f(x)有唯一公共点.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A={x|x＜0，或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜3}；∴A∩B={x|﹣3＜x＜0，或2＜x＜3}，A∪B=R；∵A∩B≠A，且A∩B≠B，∴B⊈A，A⊈B；即B符合题意．故答案为：B．【分析】通过解不等式求出集合A，根据集合的关系逐一判断即可. 2．【答案】D【解析】【解答】由y2−x 23=1可知a2=1,b2=3所以c2=a2+b2=4，则c=2,2c=4，所以|F1F2|=2c=4.故答案为：D【分析】根据双曲线的标准方程，得到两个焦点坐标，即可求出线段的长度.3．【答案】D【解析】【解答】因为|z1|=|2−i|=√5，|z2|=|3+i|=√10，所以|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|=√5×√10=5√2故答案为：D.【分析】根据复数的乘法运算，得到z1·z2，结合复数的模运算即可求出相应的值.4．【答案】B【解析】【解答】由三视图可知，该几何体的直观图为一个竖立的圆锥和一个倒立的圆锥组成，其表面积为S=2πrl=2×π×1×√2=2√2π，故答案为：B.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，即可求出几何体的表面积.5．【答案】A【解析】【解答】根据已知题意，由于直线l⊥平面α，直线m∥平面β，如果两个平面平行α//β，则必然能满足l⊥m，但是反之，如果l⊥m，则对于平面可能是相交的，故条件能推出结论，但是结论不能推出条件，故答案为：A【分析】根据直线与平面的位置关系，即可确定充分、必要性.6．【答案】C【解析】【解答】由已知得ξ=1,2,3，P(ξ=1)=C53C31C53C53=310, P(ξ=2)=C53C32C21C53C53=35, P(ξ=3)=C53C53C53=110,所以E(ξ)=1×310+2×610+3×110=1.8,故答案为：C【分析】求出随机变量的可能取值及相应的概率，即可求出数学期望. 7．【答案】A【解析】【解答】函数定义域为(0,8)，当x→0时，x8−x→0，lnx8−x→−∞，故排除B,D，当x→8时，x8−x→+∞，lnx8−x→+∞，故排除C,故答案为：A.【分析】根据函数的定义域及函数值的变化情况，逐一排除，即可确定函数的大致图象.8．【答案】A【解析】【解答】因为|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|≥|a⇀−d⇀+b⇀−d⇀+c⇀−d⇀|=|a⇀+b⇀+c⇀−3d⇀|而a⇀+b⇀+c⇀=0，所以|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|≥|−3d⇀|=3因为a⇀，b⇀，c⇀，d⇀是单位向量，且a⇀+b⇀+c⇀=0，所以a⇀−d⇀，b⇀−d⇀，c⇀−d⇀不共线，所以|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|>3，故答案为：A.【分析】根据向量的关系，求出|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|的最小值，即可确定|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+ |c⇀−d⇀|不可能的取值.9．【答案】D【解析】【解答】当ℎ→0+（比0多一点点），有θ→θ1=3π；当ℎ→+∞，有θ→θ3=5π2；当ℎ刚好使得正三棱锥变为正四面体时，二面角之和记为θ2，则cosθ26=3+3−42×3=13，于是cos θ23=2×(13)2−1=−79>−√32，所以θ23<5π6，即θ2<5π2，所以与θ的变化情况相符合的只有选项D.故答案为：D【分析】根据几何体的结构特征，求出角的余弦值，即可得到角的变化情况. 10．【答案】A【解析】【解答】因为a1=1，所以a n+12=a n2+2+1a n2≤a n2+3an+12≤an2+3≤an−12+3+3…可得：a n+12<a12+3n所以a2018<√a12+3×2017<√10000=100.故答案为：A【分析】根据递推关系式得到数列项之间的关系，解不等式即可确定a2018的值所在区间.11．【答案】7；53【解析】【解答】设共有x人，由题意知8x−3=7x+4，解得x=7，可知商品价格为53元.即共有7人，商品价格为53元.【分析】设共有x人，通过解方程即可求出共有人数和商品价格.12．【答案】-80；-1【解析】【解答】因为T r+1=C5r(−2)r x r，令r=3，T4=−80x3，所以x3的系数为-80，设(1−2x)5=a0+a1x+⋯+a5x5，令x=1，则a0+a1…+a5=−1，所以所有项的系数和为-1.【分析】写出二项展开式的通项，即可求出特定项的系数及所有项的系数之和. 13．【答案】2；【解析】【解答】作出可行域如下：由Z=2x+3y可得y=−23x+z，作出直线y=−23x,平移直线过B(1,0)时，z有最小值z=2+0=2，平移直线过A(1，12）时，z有最大值z=2×1+3×12=72.【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线即可求出目标函数的最大值和最小值.14．【答案】；【解析】【解答】因为S=12acsinB=13(a2+c2−b2)，所以34sinB=a2+c2−b22ac=cosB即tanB=43，因为∠C为钝角，所以sinB=45,cosB=35，由正弦定理知ca=sinCsinA=sin(B+A)sinA=cosB+sinBcosAsinA=35+45cotA因为∠C为钝角，所以A+B<π2,即A<π2−B所以cotA>cot(π2−B)=tanB=43所以ca>35+45×43=53，即ca的取值范围是(53,+∞).【分析】通过面积公式及正弦定理，确定三角形边和角的关系，即可求出相应的值和取值范围. 15．【答案】210【解析】【解答】分两类，（1）每校1人：A63=120；（2）1校1人，1校2人：C32A62=90，不同的分配方案共有120+90=210．故答案为：210【分析】根据加法原理和乘法原理，即可确定不同的分配方案种数.16．【答案】【解析】【解答】因为当0≤x≤4时，f(x)=3|x−3|，设4≤x≤8，则0≤x−4≤4，所以f(x−4)=3|x−4−3|=3|x−7|，又f(x+4)=13f(x)，所以f(x)=13f(x−4)=|x−7|，可作出函数y=f(x)在x∈[0,8]上的图象，又函数为偶函数，可得函数在[−8,8]的图象，同时作出直线y=mx，如图：方程f(x)−mx=0恰有三个实根即y=f(x)与y=mx图象有三个交点，当m>0时，由图象可知，当直线y=mx过（8,1），即m=18时有4个交点，当直线y=mx过（4,3），即m=34时有2个交点，当18<m<34时有3个交点，同理可得当m<0时，满足−34<m<−18时，直线y=mx与y=f(x)有3个交点.故填(−34,−18)∪(18,34).【分析】通过函数的性质，作出函数的图象，数形结合即可求出实数m的取值范围. 17．【答案】【解析】【解答】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(m,n)则{x1+λx2=1+λ,x1−λx2=m(1−λ),于是x12−(λx2)2=m(1−λ2)，同理y12−(λy2)2=n(1−λ2)，于是我们可以得到(x124+y123)+λ2(x224+y223)=(1+λ2)(m4+n3).即m4+n3=1，所以Q点的轨迹是直线，|OQ|min即为原点到直线的距离，所以|OQ|min=1√116+19=125【分析】设出点A 和B 的坐标，根据向量的关系，确定Q 的轨迹是直线，即可求出线段长度的最小值.18．【答案】（1）解： f(x)=sin 2x +√3sinxsin(2x +π2)=1−cos2x 2+√32sin2x =sin(2x −π6)+12所以 T =π（2）解：由 −π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ 得 −π6+kπ≤x ≤π3+kπ,k ∈z 所以函数 f(x) 的单调递增区间是 [−π6+kπ,π3+kπ],k ∈z ． 由 x ∈[0，2π3] 得 2x −π6∈[−π6,76π] ，所以 sin(2x −π6)∈[−12,1]所以 f(x)∈[0,32] ．【解析】【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式，结合辅助角公式，得到函数的表达式，即可求出函数的最小正周期；（2）根据正弦函数的单调性，确定函数f （x ）的单调区间，即可求出函数f （x ）的取值范围.19．【答案】解：（Ⅰ）因为 BC =1 ， ∠BCC 1=π3 ， C 1C =2 ，所以 BC 1=√3 ，BC 2+BC 12=CC 12 ，所以 BC 1⊥BC 因为 AB ⊥ 侧面 BB 1C 1C ， BC 1⊂ 平面 BB 1C 1C ，所以 BC 1⊥AB ，又 BC ∩AB =B ， 所以， C 1B ⊥ 平面 ABC（Ⅱ）取 C 1C 的中点 E ，连接 BE ， BC =CE =1 ， ∠BCC 1=π3 ，等边 ΔBEB 1 中， ∠BEC =π3同理， B 1C 1=C 1E 1=1 ， ∠B 1C E 1=2π3，所以 ∠B 1EC 1=π6 ，可得 ∠BEB 1=π2 ，所以EB 1⊥EB因为 AB ⊥ 侧面 BB 1C 1C ， EB 1⊂ 平面 BB 1C 1C ，所以 EB 1⊥AB ，且 EB ∩AB =B ，所以 B 1E ⊥ 平面 ABE ，所以；（Ⅲ） AB ⊥ 侧面 BB 1C 1C ， AB ⊂ 平面，得平面 BCC 1B 1⊥ 平面 ABC 1 ， 过 E 做 BC 1 的垂线交 BC 1 于 F ， EF ⊥ 平面 ABC 1连接AF，则∠EAF为所求，因为BC⊥BC1，EF⊥BC1，所以BC∥EF，E为CC1的中点得F为C1B的中点，EF=12，由（2）知AE=√5，所以sin∠EAF=12√5=√510【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；（2）根据线面垂直的定义，证明直线与平面垂直，即可说明直线与平面内任何一条直线垂直；（3）通过作垂线得到直线与平面所成的角，通过解三角形求出线面所成角的正弦即可. 20．【答案】（1）解：由a n+1=2S n+1知a n=2S n−1+1(n≥2)两式相减得：a n+1=3a n(n≥2)又a2=2s1+1=2a1+1=3，所以a2a1=3也成立，故a n+1=3a n,n∈N∗即数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以a n=3n−1(n∈N∗).（2）解：因为log3b n=log3a n+1an=3n−1log33n=n⋅3n−1，所以T n=1×30+2×31+3×32+⋯+n⋅3n−13T n=1×31+2×32+3×33+⋯+(n−1)⋅3n−1+n⋅3n两式相减得：−2Tn =(12−n)⋅3n−12，所以T n=(n2−14)3n+14.【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义确定数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，即可求出的通项公式；（2）根据对数恒等式，结合错位相消求和法，即可求出前n项和T n.21．【答案】（1）证明：设CD中点为N，则由AP⇀=λPC⇀，BP⇀=λPD⇀可推得AB⇀=λDC⇀，MP⇀=λPN⇀，这说明AB⇀∥CD⇀，且M，P和N三点共线.对A，B使用点差法，可得y A−y B=a(x A−x B)(x A+x B)，即k AB=2a⋅x M.同理k CD=2a⋅x N.于是x M=x N，即MN⊥x轴，所以x M=x P=1为定值.（2）解：由k=2得到a=1，设y M=t∈(1,3)，|PM|=3−t，联立{y=x2,y−t=2(x−1),得x2−2x+2−t=0，所以|x A−x B|=2√t−1, |AB|=√1+k2|x A−x B|=√5⋅2√t−1,根据点到直线的距离公式知P到AB的距离为d=|t−3|√5，于是SΔPAB=(3−t)√t−1，令x= √t−1，x∈(0,2),则S=−x3+2x，S′=−3x2+2，令S′=0得x=√63，当x∈(0,√63)时，S′>0,函数为增函数，当x∈(√63，2)时，S′<0，函数为减函数，故当x=√63，即t=53时，SΔPAB有最大值4√69.【解析】【分析】（1）根据向量之间的关系，采用点差法，即可确定点M的坐标为定值；（2）根据点斜式写出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，通过弦长公式和点到直线的距离，表示出三角形的面积，求导数，利用导数研究函数的单调性，即可求出三角形面积的最大值.22．【答案】（1）解：n为定值，故f′(x)=1n x 1n−1(n−lnx)+√xn(−1x)=−√xn lnxx（x>0)，令f′(x)=0，得x=1，当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，所以函数在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以当x=1时，函数有极大值f(1)，也是最大值，所以f(x)max=f(1)=n.（2）解：由前一问可知lnx≥n−n√xn，取n=2得lnx≥2−2√x，于是∑m+1 i=1lni≥∑(2−2i)m+1i=2>2m−4∑m+1i=21√i+√i−1=2m−4∑(√i−√i−1)m+1i=2=2m−4√m+1+4=2(√m+1−1)2.（3）解：要证明当a≥e，k>0时，关于x的方程√x(2−lnx)=−kx+a有唯一解，令t=√x，即证明g(t)=kt2+2t−2tlnt−a有唯一零点，先证明g(t)存在零点，再利用导数得函数单调性，极值确定函数只有唯一零点.我们先证三个引理【引理1】x(1−lnx)≤1（由第1问取n=1即可）【引理2】lnx≥1−1x（由【引理1】变形得到）【引理3】lnx≤x−1（可直接证明也可由【引理2推出】证明：lnx=−ln 1x≤−(1−11x)=x−1.下面我们先证明函数g(t)存在零点，先由【引理2】得到：g(t)≤kt2+2t−2t(1−1t)−a=kt2+2−a.令t=√a−2k，可知g(t)≤0.再由【引理3】得到lnx<x，于是g(t)=t(kt−4ln√t)+(2t−a)>t√t(k√t−4)(2t−a).令t>16k2，且t>a2，可知g(t)>0.由连续性可知该函数一定存在零点.下面我们开始证明函数g(t)最多只能有一个零点.我们有g′(t)=2kt−2lnt=2t(k−lnt t).令ℎ(t)=lntt ，则ℎ′(t)=1−lntt2，则ℎ(t)在(0,e)递增，在(e,+∞)递减，即ℎ(t)max=1e.当k≥1e时，有g′(t)≥0恒成立，g(t)在(0,+∞)上递增，所以最多一个零点.当0<k<1e时，令g′(t1)=g′(t2)=0，t1<e<t2，即lnt1=kt1，于是g(t1)=t1lnt1+2t1−2t1lnt1−a=t1(2−lnt1)−a.再令t1=eT(0<T<1)，由【引理1】可以得到g(t1)=eT(1−lnT)−a<e×1−a≤0.因此函数g(t)在(0,t1)递增，(t1,t2)递减，(t2,+∞)递增，t=t1时，g(t)有极大值但其极大值g(t1)<0，所以最多只有一个零点.综上，当k>0，a≥e时，函数y=f(x)与y=−kx+a的图像有唯一交点.【解析】【分析】（1）求导数，利用导数确定函数的单调性，结合单调性求出函数的最大值即可；（2）由（1）可得不等式lnx≥n−n√xn，结合放缩法，即可证明相应的不等式；（3）构造函数，求导数，利用导数确定函数的单调性，求出函数的极值，根据函数零点与函数图象交点横坐标的关系，数形结合，即可证明相应的结论.。

2017-2018学年浙江省金丽衢十二校高三（上）第二次联考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．设集合M={x|}，N={x|0＜x＜2}，则M∪N=（）A．[0，1）B．（0，1） C．[0，2） D．（0，2）2．若双曲线的两条渐近线相互垂直，则它的离心率是（）A．B．C．2 D．3．某四面体的三视图如图所示，正视图、左视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的最大面的面积是（）A．2 B．C．D．44．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图，则φ=（）A．B．C．D．5．已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i6．已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=2，（n≥2），则a6=（）A．B．4 C．16 D．457．用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（）A．20 B．24 C．36 D．488．如果存在正实数a，使得f（x+a）为奇函数，f（x﹣a）为偶函数，我们称函数f（x）为“Θ函数”．给出下列四个函数：①f（x）=sinx ②f（x）=cosx ③f（x）=sinx﹣cosx ④f（x）=sin2（x+）．其中“Θ函数”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．设a＞b＞0，当+取得最小值c时，函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为（）A．3 B．2 C．5 D．410．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=0.6，则当E、F移动时，下列结论中错误的是（）A．AE∥平面C1BDB．四面体ACEF的体积为定值C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AF、BE所成的角为定值二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）11．若f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）=；方程[5f（x）﹣1][f（x）+5]=0的实根个数为．12．在的展开式中，常数项为；系数最大的项是．13．已知向量，满足，，与的夹角为，则=；与的夹角为．14．函数f（x）=x2+acosx+bx，非空数集A={x|f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，已知A=B，则参数a 的所有取值构成的集合为；参数b的所有取值构成的集合为．15．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β④若m∥l，则α⊥β其中正确的命题的序号是．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）．16．从放有标号为1、2、4、8、16、32的6个球的口袋里随机取出3个球（例如2、4、32），然后将3个球中标号最大和最小的球放回口袋（例子中放回2和32，留下4），则留在手中的球的标号的数学期望是．17．设直线2x+y﹣3=0与抛物线Γ：y2=8x交于A，B两点，过A，B的圆与抛物线Γ交于另外两点C，D，则直线CD的斜率k=．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，f（A）=，△ABC的面积为，AB=，求BC的长．19．（15分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，则棱SB垂直于底面．（Ⅰ）求证：平面SBD⊥平面SAC；（Ⅱ）若SA与平面SCD所成角为30°，求SB的长．20．（15分）已知函数f（x）=a x﹣xlna（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意x1，x2∈R，有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．21．（15分）已知椭圆T的焦点在x轴上，一个顶点为A（﹣5，0），其右焦点到直线3x﹣4y+3=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆T的方程；（Ⅱ）设椭圆T的长轴为AA'，P为椭圆上除A和A'外任意一点，引AQ⊥AP，A'Q⊥A'P，AQ和A'Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程．22．（15分）已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，且a n+1=S n+n+1（n∈N+）（Ⅰ）求证数列{a n+1}为等比数列；（Ⅱ）设数列{}的前n项和为T n，求证：．（Ⅲ）设函数，令，求数列{b n}的通项公式，并判断其单调性．2017-2018学年金丽衢十二校高三（上）第二次联考数学试卷参考答案三、解答题（共5小题，满分74分）18．解：函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．化简可得：f（x）=2sinxcos+cosx=sinx+cosx=2sin（x+）（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=；（Ⅱ）由f（A）=，即2sin（A+）=，∴sin（A+）=，∵0＜A＜π，∴＜（A+）．可得：（A+）=或则A=或A=．当则A=时，△ABC的面积为=bcsinA，AB=c=，∴b=AC=2余弦定理：BC2=22+（2）2﹣2××cos，解得：BC=2当A=时，△ABC的面积为=bc，AB=c=，∴b=AC=1直角三角形性质可得：BC2=22+（2）2，解得：BC=．19．证明：（Ⅰ）连结AC，BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵SB⊥底面ABCD，∴AC⊥SB，∴AC⊥面SBD，又由AC⊂面SAC，∴面SAC⊥面SBD．解：（Ⅱ）将四棱锥补成正四棱柱ABCD﹣A′SC′D′，连结A′D，作AE⊥A′D于E，连结SE，由SA′∥CD，知平面SCD即为平面SCDA′，∵CD⊥侧面ADD′A′，∴CD⊥AE，又AE⊥A′D，∴AE⊥面SCD，∴∠ASE即为SA与平面SCD所成角的平面角，设SB=x，在直角△ABS中，SA=，在直角△DAA′中，∴=，解得x=1，∴SB的长为1．20．解：（Ⅰ）∵f′（x）=a x lna﹣lna=（a x﹣1）lna，∴f′（0）=0，又∵f（0）=1，∴所求切线方程是：y=1；（Ⅱ）当a＞1时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故对∀a＞0，且a≠1，f（x）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减；（Ⅲ）记f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值是M，最小值是m，要使对任意x1，x2∈R，有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2，只需M﹣m≤e﹣2即可，根据f（x）的单调性可知，m=f（0）=1，M为f（﹣1），f（1）的最大值，f（﹣1）=+lna，f（1）=a﹣lna，f（﹣1）﹣f（1）=﹣a+2lna，令g（x）=﹣x+2lnx，g′（x）=﹣≤0，故g（x）在（0，+∞）递减，又∵g（1）=0，∴a＞1时，g（a）＜g（1）=0，即f（﹣1）＜f（1），此时M=a﹣lna，要使M﹣m≤e﹣2，即有a﹣lna﹣1≤e﹣2，再令h（x）=x﹣lnx，由h′（x）=可知h（x）在（1，+∞）递增，不等式a﹣lna≤e﹣1可化为h（a）≤h（e），解得：1＜a≤e，当0＜a＜1时，g（a）＞g（1）=0，即f（﹣1）＞f（1），此时M=+lna，要使M﹣m≤e﹣2，即有+lna﹣1≤e﹣2，再令l（x）=+lnx，由l′（x）=，可知l（x）在（0，1）递减，不等式+lna≤e﹣1可化为l（a）≤l（），解得：≤a＜1，综上，a的范围是[，1）∪（1，e]．21．解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：（a＞b＞0），设椭圆的右焦点为（c，0），则=3，解得：c=4，由题意的焦点在x轴上，则a=5，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设P（5cosθ，3si nθ），A'（5，0），θ≠kπ，k∈Z，设Q（x，y），x≠5且x≠﹣5，于是，×=﹣1，×=﹣1，两式相乘：×=1，化简，所求轨迹方程为：，x≠5且x≠﹣5，∴点Q的轨迹方程，x≠5且x≠﹣5．22．解：（Ⅰ）证明：a n+1=S n+n+1，可得当n≥2时，a n=S n﹣1+n，两式相减可得，a n﹣a n=a n+1，+1+1=2（a n+1），n≥2，可得a n+1由a1+1=2，a2+1=4，可得数列{a n+1}为公比为2的等比数列；（Ⅱ）a n+1=2•2n﹣1=2n，即有a n=2n﹣1，当n=1时，T1=1，当n=2时，T2=1+，当n=3时，T3=1++=显然有；n＞3时，T n=1++++…+＜1+++（++…+）=1+++＜1+++=1++＜1++=；（Ⅲ）设函数，令，f′n（x）=a n+2a n﹣1x+…+na1x n﹣1，则b n=f′n（1）=a n+2a n﹣1+…+na1=（2n﹣1）+2（2n﹣1﹣1）+3（2n﹣2﹣1）+…+n（21﹣1）=2n+2•2n﹣1+3•2n﹣2+…+n•21﹣．令A=2n+2•2n﹣1+3•2n﹣2+…+n•21，A=2n﹣1+2•2n﹣2+3•2n﹣3+…+n•20，两式相减可得，A=2n+2n﹣1+2n﹣2+…+2﹣n=2n+1﹣n﹣2，即A=2n+2﹣2n﹣4，b n=2n+2﹣2n﹣4﹣=2n+2﹣n2﹣n﹣4，{b n}递增，只需证明当n为自然数时，b n+1﹣b n=2n+2﹣n﹣3＞0．当n=1时，2n+2﹣n﹣3=4＞0，假设n=k时，2k+2﹣k﹣3＞0，则当n=k+1时，2k+3﹣k﹣4=（2k+2﹣k﹣3）+（2k+2﹣1）＞0恒成立，综上可得，当n为一切自然数时，b n＞b n．+1即数列{b n}为递增数列．。

金丽衢十二校2018学年高三第二次联考部分试题解析8.已知,,a b c 和d 为空间中的4个单位向量，且0a b c ++= ，则||||||a d b d c d -+-+- 不可能为（）A.3B.C.4D.【解析】0a b c ++= 且,,a b c 为单位向量，所以它们首尾相连构成单位正三角形。

|||||||3()|3||3a db dcd d a b c d -+-+-≥-++== 当且仅当a d - ，b d - ，c d - 共线时取等号，矛盾，所以||||||3a d b d c d -+-+-> ，故选A。

9.正三棱锥P ABC -的底面边长为1，高为h ，它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或侧面与底面）之和为θ，则在h 从小到大的变化过程中，θ的变化情况为（）A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大【分析】根据正三棱锥特性，3个侧面与侧面的二面角是相等，3个侧面与底面所成的二面角也是相等的。

用极限思想就可以了。

【解析】记侧面与侧面构成的二面角为α，侧面与底面构成的二面角为β，则3()θαβ=+cos S S S β=影子影子原来（不变，S 原来随h 变大而变大）当0h →时，0,0,3540απβθπ→→→=；当h →+∞时，05,,450322πππαβθ→→→=；当63h =时（此时正三棱锥为正四面体），1cos cos 3αβ==，070αβ=→，420θ→故选D。

10.数列{}n a 满足：1111,n n n a a a a +==+，则2018a 的值所在的区间为（）A.(0,100) B.(100,200) C.(200,300) D.(300,400)【分析】此类题在数列中会经常遇到这类递推关系，而往往处理它，一是考虑单调性，而是考虑简单的放缩。

【解析】1111,0n n na a a a +=-=>，所以数列单调递增，22121223n n n a a +<-=+<，利用累加法得：2212(1)3(1)n n a a n -<-<-n a ≤≤20186378a <<<，故选A。