浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考数学试卷(含答案)

第1页，总18页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………浙江省金丽衢十二校2018-2019学年高三数学第二次联考试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共10题)1. 集合 ，，则（ ）A .B .C .D .2. 点 和是双曲线 的两个焦点，则 （ ）A .B . 2C .D . 43. 复数，，则（ ）A . 5B . 6C . 7D .4. 某几何体的三视图如图所示（图中单位： ），则该几何体的表面积为（ ）答案第2页，总18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A .B .C .D .5. 已知直线平面 ，直线平面 ，则“”是“”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. 甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为 ，则 为（ ）A . 1.2B . 1.5C . 1.8D . 2 7. 函数的图像大致为（ ）A .B .C .D .8. 已知 ， ， 和 为空间中的4个单位向量，且 ，则不可能等于（ ） A . 3 B .C . 4D .9. 正三棱锥 的底面边长为 ，高为 ，它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者侧面与底面）之和记为 ，则在 从小到大的变化过程中， 的变化情况是（ ） A . 一直增大 B . 一直减小 C . 先增大后减小 D . 先减小后增大 10. 数列 满足： ，，则的值所在区间为（ ） A .B .C .D .。

金丽衙十二校2018-2019学年高三第二次联考数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）．1、集合A=｛x|x 2－2x ＞0}，B=｛x|－3<x<3｝，则（ ）A 、A ∩B ＝∅ B 、 A ∪B ＝RC 、B ⊆AD 、A ⊆B2、点F 1和F 2是双曲线223x y -＝1的两个焦点，｜F 1F 2｜（ ）A B 、 2 C 、 D 、 4 3、复数122,3z i z i =-=+，则12||z z ＝（ ）A 、 5B 、 6C 、 7D 、4、某几何体的三视图如右图所示（图中单位:cm)，则该几何体的表面积为（ ）A πcm 2B 、πcm 2C 、（1）πcm 2D 、（2）πcm 25.已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“α∥β”是“l ⊥m ”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件6、甲和乙两人独立的从五门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E(ξ)为（ ）A 、1.2B 、1.5C 、1.8D 、2 7、函数()ln8xf x x=-的图象大致为（ ）8.已知a ，b ，c 和d 为空间中的4个单位向量，且a ＋b ＋c ＝0，则｜a 一d ｜+｜b 一d ｜+｜c 一d ｜不可能等于（ ）A 、 3B 、C 、4D 、9.正三棱锥P －ABC 的底面边长为1 cm ，高为h cm ，它在六条棱处的六个二面角（侧面 与侧面或者侧面与底面）之和记为θ，则在h.从小到大的变化过程中，θ的变化情况 是（ ）A 、一直增大B 、一直减小C 、先增大后减小D 、先减小后增大， 10、数列{a n }满足：1111,n n na a a a +==+则a 2018的值所在区间为（ ） A 、(0，100) B 、 (100，200) C 、 (200，300) D 、 (300， +∞) 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11、《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物 品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款．问他们的人数和物品价格？答：一共有 人；所合买的物品价格为 元． 12、（1一2x)5展开式中x 3的系数为 ；所有项的系数和为 ．13、若实数x ，y 满足约束条件1221x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则目标函数Z ＝2x+3y 的最小值为 ；最大值为14、在△ABC 中，角A ，B 和C 所对的边长为a ，b 和c ，面积为2221()3a cb +-内，且∠C 为钝角，则tanB ＝ ；ca的取值范围是 15、安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种（用数字作答）16、定义在R 上的偶函数()f x 满足：当x ＞0时有1(4)()3f x f x +=，且当0≤x ≤4时， f (x)＝3｜x －3｜，若方程()0f x mx -=恰有三个实根，则m 的取值范围是17、过点P （1，1）的直线l 与椭圆22143x y +=交于点A 和B ，且AP PB λ= ．点Q 满足 AQ QB λ=-，若O 为坐标原点，则｜OQ ｜的最小值为三、解答题（本大题兵5小题，共．74分．解答应写出文字说明‘证明过程或演算步卿． 18、 (14分）己知函数2()sin sin()2f x x x x π=+（I ）求()f x 的最小正周期；（II ）求函数()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围·19、 (15分）在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A B ⊥侧面BB 1C 1C ，己知BC ＝1，∠BCC 1＝3π， AB ＝C 1 C ＝2.（I ）求证：C 1B ⊥平面ABC ；(II) E 在棱C 1 C(不包含端点C 1，C)上，且EA ⊥EB 1，求A 1E 和平面AB 1 E 所成角的正弦值·20、 (15分）数列{}n a 的前n 项和为Sn ，a 1＝1，对任意*n N ∈，有121n n a S +=+ （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若1n an n b a +=，求数列｛3log n b ｝的前n 项和Tn.21、 (15分）已知抛物线E ：2(0)y ax a =>内有一点P （1，3），过点P 的两条直线12,l l 分别与抛物线E 交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP PC λ= ，(0,1)BP PD λλλ=>≠。

浙江金丽衢十二校高三数学理科第二次联考试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷(答题卷)两部分，满分150分，考试时间120分。

参考公式：1.如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；2.如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)；3.如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率为P n (k )=C ()k n k k n P P --1； 4.球的表面积公式S=4πR 2，其中R 表示球的半径； 5.球的体积公式V=,R 334π其中R 表示球的半径第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1.tan660°等于A.-33 B.-3 C.3 D.33 2.复数z1=3+i,z2=1-i,则z 1·z 2在复平面内的对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“a ，b ，c 成等比数列”是“b 2=ac ”的A.充分不必要条件 C.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.函数y=1-x 的反函数的图象大致是5.设P ，Q 是两个非空集合，定义P ○×Q=()}{,Q b ,P a b ,a ∈∈若P={0，1，2}Q={1，2，3，4}，则P ○×Q 中的元素的个数是A.4个B.7个C.12D.16个 6.从2006名学生选取50名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样2006名学生中剔除6名，再从2000名学生中随机抽取50名，则其中学生甲被剔除和被选取的概率分别为A.40110033, B.40110003, C.10032510033, D.10032510003, 7.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤+≤+1 x xb1 x 1x20 x a x)-(12log 在家义域内连续，则a ,b 的值分别是A.a =1,b =2B.a =2,b =1C.a =0,b =1D.a =1,b =08.正方形ABCD 边长为4，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角B ′C ′-EF-AD(如图)，M 为矩形AEFD 内一点如果∠MB ′E=∠MB ′C ′，MB ′和平面B ′C ′FE 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为 A.3B.2C.2D.19.设有编号为1，2，3，4，5的五个茶杯和编号为1，2，3，4，5的五个杯盖，将五个杯盖分别盖在五个茶杯上，则至少有两个杯盖的编号和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种10.坐平面内区域M=()()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤-+≥+-01100101y kx k y x y x y ,x 的面积可用函数f (x )表示，若f (k )=8,则k 等于A.21 B.31C.23 D.22s 二、填空题：(t 本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案在题中的横线上x)11.二项式621⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中常数项为_______(用数字作答).12.将棱和为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为_______.13.已知F 1，F 2是椭圆的两焦点，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆离心率为_______.14.设f (x )是定义在R 上的奇函数在(0，21)上单调递减，且f (x -1)=f (-x )。

浙江金丽衢十二校2019高三第二次联合考试-数学理数学试卷(理科)本试卷分第一卷和第二卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第一卷【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1、在复平面内，复数ii 4332-+-〔是虚数单位〕所对应的点位于A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2. 设集合}032|{2<--=x x x M ,{}22<=x x N ，那么N C M R⋂等于A 、[]1,1-B 、)0,1(-C 、[)3,1D 、)1,0(3.61(2)x x-的展开式中2x 的系数为A.240-B. 240C. 60-D. 604、“2πϕ=”是“函数()x x f cos =与函数()()ϕ+=x x g sin 的图像重合”的A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件①假设m ∥α，m ∥β，那么α∥β；②假设m ⊥α，m ⊥β，那么α∥β； ③假设m ∥α，n ∥α，那么m ∥n ；④假设m ⊥α，n ⊥α，那么m ∥n 、 上述命题中，所有真命题的序号是 A.①②B.③④C.①③D.②④ 6、数列{}n a满足11=a ，11++=+n a a nn (*N n ∈)，那么201321111a a a +++ 等于A.20132012B.20134024C.10072013D.100710067.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,假设直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,那么k 的取值范围是A.403k ≤≤ B.<0k 或4>3kC.3443k ≤≤ D.0k ≤或4>3k 8.对数函数x y alog =〔10≠>a a 且〕与二次函数()x x a y --=21在同一坐标系内的图象可能是9.函数31,0()9,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，假设关于x 的方程()a x x f =+22有六个不同的实根，那么实数a 的取值范围是A 、(]2,8B 、(]2,9C 、()9,8D 、(]8,910.记集合{}8,6,4,2,0=P ,{}P a a a a a a m m Q ∈++==321321,,,10100，将集合Q 中的所有元素排成一个递增数列，那么此数列第68项是 A 、68B 、464C 、468 D 、666第二卷【二】填空题：本大题有7小题,每题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置. 11.假设某程序框图如下图，那么该程序运行后输出的值是▲ 12.如图是一个几何体的三视图，那么该几何体的体积是▲13.等比数列{n a }的前n 项和为n S ,123,2,3S S S 成等差数列，那么等比数列{n a }的公比为___▲__14、假设实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-b x y xy y x 02，且2z x y =+的最小值为3，那么实数b 的值为__▲15.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”、1F 、2F 是一对“黄金搭档”的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当 6021=∠PF F 时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是▲16、实数0,0<<b a ,且1=ab ,那么ba b a ++22的最大值为▲17.如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，那么OB OC ⋅的最大值是▲(第17题图)三.解答题：本大题共5小题,总分值72分.解承诺写出文字说明,证明过程或演算步骤.18.〔此题总分值14分〕函数()21)cos sin 3(cos +-=x x x x f ωωω〔0>ω〕的周期为π2. 〔Ⅰ〕求ω的值；〔Ⅱ〕在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足a c A b 32cos 2-=，求)(B f 的值、19.某竞猜活动有4人参加，设计者给每位参与者1道填空题和3道选择题，答对一道填空题得2分，答对一道选择题得1分，答错得0分，假设得分总数大于或等于4分可获得纪念品，假定参与者答对每道填空题的概率为21，答对每道选择题的概率为31，且每位参与者答题互不妨碍.(Ⅰ)求某位参与竞猜活动者得3分的概率；(Ⅱ)设参与者获得纪念品的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望. 20.如图，在四边形ABCD 中，4==AD AB ，7==CD BC ，点E 为线段AD 上的一点.现将DCE ∆沿线段EC 翻折到PAC 〔点D 与点P 重合〕，使得平面PAC ⊥平面ABCE ，连接PA ，PB . (Ⅰ)证明：⊥BD 平面PAC ；(Ⅱ)假设︒=∠60BAD ，且点E 为线段AD 的中点，求二面角C AB P --的大小. 21.〔此题总分值15分〕点M 到定点()0,1F 的距离和它到定直线4:=x l 的距离的比是常数21,设点M 的轨迹为曲线C .〔Ⅰ〕求曲线C 的轨迹方程;〔Ⅱ〕曲线C 与x 轴的两交点为A 、B ,P 是曲线C 上异于A ，B 的动点,直线AP 与曲线C 在点B 处的切线交于点D ，当点P 运动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明、 22.函数xa x x f ln )()(2-=〔其中a 为常数〕.(Ⅰ)当0=a 时，求函数的单调区间；(Ⅱ)当10<<a 时，设函数)(x f 的3个极值点为321x x x ，，，且321x x x <<.证明：ex x 231>+. 金丽衢十二校2018学年第二次联合考试数学试卷(理科)参考答案【一】选择题(5×10=50分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A D C A A D B【二】填空题(4×7=28分)11.1612.313.3114.4915.316.1-17.2【三】解答题(共72分)18、解：〔Ⅰ〕()2122cos 12sin 2321cos cos sin 32++-=+-=x x x x x x f ωωωωωx x ωω2cos 212sin 23-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πωx 21=∴ω——7分 〔Ⅱ〕解法〔一〕ac A b 32cos 2-=ac bca cb b 3222222-=-+⋅⇒ 整理得ac b c a 3222=-+，故232cos 222=-+=ac b c a B6,0ππ=∴<<B B0sin )6sin()(==-=∴πB B f ——14分解法〔二〕a c A b 32cos 2-=A C A B sin 3sin 2cos sin 2-=⇒A B A A B sin 3)sin(2cos sin 2-+=⇒0sin 3cos sin 2=-⇒A B A 0)3cos 2(sin =-⇒B A 0sin ,0≠∴<<A A π 23cos =∴B又6,0ππ=∴<<B B0sin )6sin()(==-=∴πB B f ——14分19解：(Ⅰ)答对一道填空题且只答对一道选择题的概率为9231)32(21223=⨯⨯⨯C ，答错填空题且答对三道选择题的概率为541)31(213=⨯〔对一个4分〕 ∴某位参与竞猜活动者得3分的概率为541354192=+；…………………7分 (Ⅱ)由题意知随机变量ξ的取值有0，1,2，3，4.又某位参与竞猜活动者得4分的概率为9132)31(21223=⨯⨯⨯C 某位参与竞猜活动者得5分的概率为541)31(213=⨯∴参与者获得纪念品的概率为547………………………11分∴)547,4(~B ξ，分布列为kk k C k P -==44)5447()547()(ξ，4,3,2,1,0=k ∴随机变量ξ的数学期望ξE =27145474=⨯.………………………14分20解：(Ⅰ)连接AC ，BD 交于点O ,在四边形ABCD 中， ∵4==AD AB ，7==CD BC∴ADC ABC ∆≅∆，∴BAC DAC ∠=∠, ∴BD AC ⊥又∵平面PAC ⊥平面ABCE ，且平面PAC 平面ABCE =AC ∴⊥BD 平面PAC ………6分(Ⅱ)如图，以O 为原点，直线OA ，OB 分别为x 轴，y 轴，平面PAC 内过O 且垂直于直线AC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，可设点),0,(z x P 又)0,0,32(A ，)0,2,0(B ，)0,0,3(-C ，)0,1,3(-E ，且由2=PE ，7=PC 有⎩⎨⎧=++=++-7)3(41)3(2222z x z x ，解得332==z x ，∴)332,0,332(P …………9分 那么有)332,0,334(-=，设平面PAB 的法向量为),,(c b a n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，即⎩⎨⎧==xy xz 32，故可取)2,3,1(=n ………12分又易取得平面ABC 的法向量为)1,0,0(，并设二面角C AB P --的大小为θ， ∴2281)2,3,1()1,0,0(cos =⋅⋅=θ，∴4πθ=∴二面角C AB P --的大小为4π.…………………14分21、解：〔Ⅰ〕设点M ()y x ,，那么据题意有()214122=-+-x y x∴化简得22143x y += 故曲线C 的方程为22143x y +=，…………5分 〔Ⅱ〕如图由曲线C 方程知()()0,2,0,2B A -,在点B 处的切线方程为2=x .以BD 为直径的圆与直线PF 相切、证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.那么点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k 、由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=、设点P 的坐标为00(,)x y ，那么2021612234k x k --=+、因此2026834k x k-=+，00212(2)34k y k x k =+=+、……………………………7分 因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±.直线PF x ⊥轴，如今以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切、 当12k ≠±时，那么直线PF 的斜率0204114PF y k k x k ==--. 因此直线PF 的方程为24(1)14ky x k=--、 点E 到直线PF 的距离d 2||k 、又因为kR BD 42==，故以BD 为直径的圆与直线PF 相切、综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切、………15分 22解：(Ⅰ)xx x x f 2ln )1ln 2()('-=令0)('=x f 可得e x =.列表如下:x ()1,0()e ,1e()+∞,e()x f '--+()x f减 减 极小值 增单调减区间为()1,0,()e ,1;增区间为()+∞,e .------------5分(Ⅱ)由题，xxax a x x f 2ln )1ln 2)(()('-+-=关于函数1ln 2)(-+=x a x x h ，有22)('x a x x h -=∴函数)(x h 在)2,0(a 上单调递减，在),2(+∞a上单调递增 ∵函数)(x f 有3个极值点321x x x <<，从而012ln 2)2()(min <+==a a h x h ，因此ea 2<，当10<<a 时，0ln 2)(<=a a h ，01)1(<-=a h ，∴函数)(x f 的递增区间有),(1a x 和),(3+∞x ，递减区间有),0(1x ，)1,(a ，),1(3x ，如今，函数)(x f 有3个极值点，且a x =2；∴当10<<a 时，31,x x 是函数1ln 2)(-+=xax x h 的两个零点，————9分 即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+01ln 201ln 23311x ax x ax ，消去a 有333111ln 2ln 2x x x x x x -=-令x x x x g -=ln 2)(，1ln 2)('+=x x g 有零点ex 1=，且311x ex <<∴函数x x x x g -=ln 2)(在)1,0(e 上递减，在),1(+∞e上递增 要证明ex x 231>+⇔132x ex ->⇔)2()(13x eg x g ->()()31x g x g = ∴即证)2()()2()(1111>--⇔->x eg x g x eg x g构造函数())2()(x eg x g x F --=，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛e F 1 =0只需要证明]1,0(e x ∈单调递减即可.而()2)2ln(2ln 2+-+='x ex x F ，()0)2()22(2''>--=x ex x e x F ()x F '∴在]1,0(e 上单调递增,()01=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<'∴e F x F ∴当10<<a 时，ex x 231>+.————————15分。

参考答案一、选择题1-5、CCBBA 6-10、 CACDB二、填空题11、(2)(2)x x x +- 12、80° 13、23 14、(31)n + 15、154 16、（1）1 （2）135,,244 三、解答题17、518、1a a - 0,1a ≠± 19、解：（1）∵∠ABC=∠DEB=45°，∴△BDE 为等腰直角三角形，∴DE=BE=×6=3．答：最短的斜拉索DE 的长为3m ；（2）作AH ⊥BC 于H ，如图2，∵BD=DE=3，∴AB=3BD=5×3=15， 在Rt △ABH 中，∵∠B=45°，∴BH=AH=AB=×15=15，在Rt △ACH 中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=30．答：最长的斜拉索AC 的长为30m ．20、解：（1）本次调查的学生总人数为24÷40%=60人，扇形统计图中C 所对应扇形的圆心角度数是360°×=90°．故答案为：60、90°；（2）D 类型人数为60×5%=3，则B 类型人数为60﹣（24+15+3）=18，补全条形图如下：（3）估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有800×40%=320名；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数为2，所以甲和乙两名学生同时被选中的概率为=．21、解：（1）如图，连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠EAF，∴∠DAE=∠DAO，∴∠DAE=∠ADO，∴OD∥AE，∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）如图，作OG⊥AE于点G，连接BD，则AG=CG=AC=2，∠OGE=∠E=∠ODE=90°，∴四边形ODEG是矩形，∴OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4，∠DOG=90°，∵∠DAE=∠BAD，∠AED=∠ADB=90°，∴△ADE∽△ABD，∴=，即=，∴AD2=48，在Rt△ABD中，BD==4，在Rt△ABD中，∵AB=2BD，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=60°，则的长度为=．22、解：（1）由题意得：，解得：．故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+700，（2）由题意，得﹣10x+700≥240，解得x≤46，设利润为w=（x﹣30）•y=（x﹣30）（﹣10x+700），w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大，﹣10（46﹣50）2+4000=3840，∴x=46时，w大=答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；（3）w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600，﹣10（x﹣50）2=﹣250，x﹣50=±5，x1=55，x2=45，如图所示，由图象得：当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．23、（1）①证明：如图1中，∵CA=CB，BN=AM，∴CB﹣BN=CA﹣AM即CN=CM，∵∠ACN=∠BCM∴△BCM≌△ACN．②解：如图1中，∵△BCM≌△ACN，∴∠MBC=∠NAC，∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∵AG∥BC，∴∠GAC=∠ACB=90°，∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠NAC，∴∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD，∵∠ADB+∠EDA=180°﹣90°=90°，∴∠BDE=90°．（2）解：如图2中，当点E在AN的延长线上时，易证：∠CBM=∠ADB=∠CAN，∠ACB=∠CAD，∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠CAN+∠CAD=∠BDE+∠ADB，∴∠BDE=∠ACB=α．如图3中，当点E 在NA 的延长线上时， 易证：∠1+∠2=∠CAN +∠DAC ， ∵∠2=∠ADM =∠CBD =∠CAN ， ∴∠1=∠CAD =∠ACB =α，∴∠BDE =180°﹣α．综上所述，∠BDE =α或180°﹣α． 故答案为α或180°﹣α．（3）解：如图4中，当BN =BC =时，作AK ⊥BC于K ．∵AD ∥BC ，∴==，∴AD =，AC =3，易证△ADC 是直角三角形，则四边形ADCK 是矩形，△AKN ≌△DCF ， ∴CF =NK =BK ﹣BN =﹣=． 如图5中，当CN =BC =时，作AK ⊥BC 于K ，DH ⊥BC 于H ．∵AD ∥BC ，∴==2，∴AD =6，易证△ACD 是直角三角形，由△ACK ∽△CDH ，可得CH =AK =， 由△AKN ≌△DHF ，可得KN =FH =， ∴CF =CH ﹣FH =4．综上所述，CF 的长为或4．24、（1）A ()3,0- B ()1,0 C (（2）14,05O ⎛⎫- ⎪⎝⎭+-（322。

浙江省金衢十二校2019年联考中考数学二模试卷（解析版）一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．的倒数等于（）A．3 B．﹣3 C．D．2．下列运算中，正确的是（）A．x2+x2=x4B．x2÷x=x2C．x•x2=x3D．（﹣2x2）2=﹣4x43．神州7号运行1小时的行程约28 600 000m，用科学记数法可表示为（）A．0.286×108m B．2.86×107m C．28.6×106m D．2.86×105m4．下列手机软件图标中，属于中心对称的是（）A．B．C．D．5．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠ACE的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°6．已知三角形的一边长是3，三角形的另两条边长分别是关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根，则此三角形的周长为（）A．10 B．8 C．7 D．57．若点（x0，y0）在函数y=（x＜0）的图象上，且x0y0=﹣2，则它的图象大致是（）A．B．C．D．8．利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：x=+1时，移项得x﹣1=，两边平方得（x﹣1）2=（）2，所以x2﹣2x+1=2，即x2﹣2x﹣1=0．仿照上述构造方法，当x=时，可以构造出一个整系数方程是（）A．4x2+4x+5=0 B．4x2+4x﹣5=0 C．x2+x+1=0 D．x2+x﹣1=09．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A．4km B．（2+）km C．2km D．（4﹣）km10．如图，已知菱形ABCD，AC=8，BD=6，将此菱形绕点A逆时针旋转180°，则该菱形扫过的面积为（）A．32πB．32π+24 C．32π+48 D．8π+24二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．若x+y=﹣2，x﹣y=4，则x2﹣y2=．12．李老师要从包括小明在内的四名班委中，随机抽取1名学生参加比赛，抽取小明的概率是．13．下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2019个梅花图案中，共有个“”图案．14．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，若△PEF 的面积S1=1，则▱ABCD的面积S=．15．如图，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形边AB与EF同时落在x轴上，若正方形ABCD 的边长为4，则正方形EFGH的边长为．16．如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm．矩形ABCD的边AD，AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm．若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）．（1）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，则移动时间t=．（2）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d （cm）．当d＜2时，求t的取值范围．三、计算题（本题有8小题，共66分）17．计算：﹣|﹣2|+（1﹣）0﹣9tan30°．18．解不等式组，并写出符合不等式组的整数解．19．在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．（1）将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标；（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．20．某商场对A、B两款运动鞋的销售情况进行了为期5天的统计，得到了这两款运动鞋每天的销售量及总销售额统计图（如图所示）．已知第4天B款运动鞋的销售量是A款的．（1）求第4天B款运动鞋的销售量．（2）这5天期间，B款运动鞋每天销售量的平均数和中位数分别是多少？（3）若在这5天期间两款运动鞋的销售单价保持不变，求第3天的总销售额（销售额=销售单价×销售量）．21．已知菱形ABCD，AB=4，∠B=60°，以点D为圆心作⊙D与直线AB相切于点G，连接DG．（1）求证：⊙D与BC所在的直线也相切；（2）若⊙D与CD相交于E，过E作EF⊥AD于H，交⊙D于F，求EF的长．22．某厂家生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD，线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元），销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的实际意义．（2）求线段CD所表示的y2与x之间的函数表达式．（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？23．定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形”．（1）理解：如图1，已知四边形ABCD是“垂直四边形”，对角线AC，BD交于点O，AC=8，BD=7，求四边形ABCD的面积．（2）探究：小明对“垂直四边形”ABCD（如图1）进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和．即AB2+CD2=AD2+BC2．你认为他的发现正确吗？试说明理由．（3）应用：①如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A出发沿AB方向以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CA方向以每秒6个单位的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜1），连结CP，BQ，PQ．当四边形BCQP 是“垂直四边形”时，求t的值．②如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=3AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG，连结EG．请直接写出线段EG与BC之间的数量关系．24．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），直角顶点B的坐标为（4，﹣1），三角形另一个顶点C在第一象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．①在滑动过程中，线段PQ的长度是否发生变化，若不变，请直接写出PQ的长度，若改变，请说明理由；②若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；③取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．2019年浙江省金衢十二校联考中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．的倒数等于（）A．3 B．﹣3 C．D．【分析】根据倒数的定义求解．【解答】解：∵3×=1，∴的倒数等于3．故选A．【点评】主要考查了倒数的定义：两个乘积为1的数互为倒数，0没有倒数．2．下列运算中，正确的是（）A．x2+x2=x4B．x2÷x=x2C．x•x2=x3D．（﹣2x2）2=﹣4x4【分析】根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为x2+x2=（1+1）x2=2x2，故本选项错误；B、应为x2÷x=x2﹣1=x，故本选项错误；C、x•x2=x1+2=x3，正确；D、应为（﹣2x2）2=（﹣2）2x2×2=4x4，故本选项错误．故选C．【点评】本题主要考查合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键．3．神州7号运行1小时的行程约28 600 000m，用科学记数法可表示为（）A．0.286×108m B．2.86×107m C．28.6×106m D．2.86×105m【分析】把一个大于10的数写成科学记数法a×10n的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为a，把整数位数减1作为n，从而确定它的科学记数法形式．【解答】解：28 600 000m=2.86×107m．故选B．【点评】将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．4．下列手机软件图标中，属于中心对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答．【解答】解：A、不是中心对称，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称，故此选项错误；C、是中心对称，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠ACE的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠BCE=∠E=30°，然后求出∠ACE的度数．【解答】解：∵BC∥DE，∴∠BCE=∠E=30°，∴∠ACE=∠ACB﹣∠BCE=45°﹣30°=15°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．6．已知三角形的一边长是3，三角形的另两条边长分别是关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根，则此三角形的周长为（）A．10 B．8 C．7 D．5【分析】根据根与系数的关系求出两边的和，即可求出答案．【解答】解：设x2﹣4x+2=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=4，∵三角形的一边长是3，三角形的另两条边长分别是关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根，∴此三角形的周长为4+3=7，故选C．【点评】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系的应用，能求出两边的和是解此题的关键．7．若点（x0，y0）在函数y=（x＜0）的图象上，且x0y0=﹣2，则它的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】首先由x0y0=﹣2，得出k的值，然后根据x＜0及反比例函数y=的图象性质作答．【解答】解：因为（x0，y0）在函数y=（x＜0）的图象上，所以k=x0y0=﹣2＜0；又因为x＜0，所以图象只在第二象限．故选B．【点评】反比例函数y=的图象是双曲线．当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．解答本题时要注意，x＜0时图象只有一个分支．8．利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：x=+1时，移项得x﹣1=，两边平方得（x﹣1）2=（）2，所以x2﹣2x+1=2，即x2﹣2x﹣1=0．仿照上述构造方法，当x=时，可以构造出一个整系数方程是（）A．4x2+4x+5=0 B．4x2+4x﹣5=0 C．x2+x+1=0 D．x2+x﹣1=0【分析】利用已知将原式变形，结合完全平方公式得出答案．【解答】解：由题意可得：x=，可变形为：2x=﹣1，则（2x+1）=，故（2x+1）2=6，则可以构造出一个整系数方程是：4x2+4x﹣5=0．故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确应用完全平方公式是解题关键．9．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A．4km B．（2+）km C．2km D．（4﹣）km【分析】根据题意在CD上取一点E，使BD=DE，进而得出EC=BE=2，再利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案．【解答】解：在CD上取一点E，使BD=DE，可得：∠EBD=45°，AD=DC，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE=∠CBE=22.5°，∴BE=EC，∵AB=2，∴EC=BE=2，∴BD=ED=，∴DC=2+．故选：B．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，得出BE=EC=2是解题关键．10．如图，已知菱形ABCD，AC=8，BD=6，将此菱形绕点A逆时针旋转180°，则该菱形扫过的面积为（）A．32πB．32π+24 C．32π+48 D．8π+24【分析】根据将此菱形绕点A逆时针旋转180°，则该菱形扫过的面积=以A为圆心AC为半径的半圆面积+菱形面积，由此即可计算．【解答】解：将此菱形绕点A逆时针旋转180°，则该菱形扫过的面积=以A为圆心AC为半径的半圆面积+菱形面积=π82+68=32π+24．故选B．【点评】本题考查扇形面积、菱形的性质、旋转等知识，解题的关键是理解此菱形绕点A 逆时针旋转180°，则该菱形扫过的面积=以A为圆心AC为半径的半圆面积+菱形面积，学会转化的思想，属于中考常考题型．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．若x+y=﹣2，x﹣y=4，则x2﹣y2=﹣8．【分析】利用平方差公式对所求代数式进行因式分解，然后把已知条件代入求值即可．【解答】解：∵x+y=﹣2，x﹣y=4，∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=﹣2×4=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题主要考查平方差公式：（1）两个两项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键．12．李老师要从包括小明在内的四名班委中，随机抽取1名学生参加比赛，抽取小明的概率是．【分析】总共有四种情况，抽到小明是其中之一，利用概率公式进行计算即可．【解答】解：李老师要从包括小明在内的四名班委中，随机抽取1名学生参加比赛，抽取小明的概率是．故答案为．【点评】本题考查了概率计算公式．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．13．下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2019个梅花图案中，共有504个“”图案．【分析】观察图形可知，这组图案的排列规律是：四个图案一个循环周期，每个周期都有一个，由此计算出第2019个图案经历了几个周期即可解答．【解答】解：∵2019÷4=504，∴有504个，故答案为：504．【点评】此题考查了图形的变化规律，理解题意，得出图案的排列周期规律是解决本题的关键．14．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，若△PEF 的面积S1=1，则▱ABCD的面积S=8．【分析】利用三角形中位线定理得出EF∥BC，EF=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出=，进而利用平行四边形的面积求法得出答案．【解答】解：∵E，F分别为PB，PC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴△PEF∽△PBC，∴=，∴=，∵S1=1，∴S△PBC=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S▱ABCD=2×4=8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，得出=是解题关键．15．如图，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形边AB与EF同时落在x轴上，若正方形ABCD的边长为4，则正方形EFGH的边长为2﹣2．【分析】根据题意得出抛物线解析式，进而表示出G点坐标，再利用2OF=FG，进而求出即可．【解答】解：∵正方形ABCD边长为4，∴顶点坐标为：（0，4），B（2，0），设抛物线解析式为：y=ax2+4，将B点代入得，0=4a+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为：y=﹣x2+4设G点坐标为：（m，﹣m2+4），则2m=﹣m2+4，整理的：m2+2m﹣4=0，解得：m1=﹣1+，a2=﹣1﹣（不合题意舍去），∴正方形EFGH的边长FG=2m=2﹣2．故答案为：2﹣2．【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据正方形的性质以及抛物线上点的坐标性质得出等式是解题关键．16．如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm．矩形ABCD的边AD，AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm．若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）．（1）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，则移动时间t=2+．（2）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm）．当d＜2时，求t的取值范围2﹣＜t＜2+2．【分析】（1）连接OO1，并延长交l2于点E，过点O1作O1F⊥l1于点F，当点O1，A1，C1恰好在同一直线上时，AA1﹣A1F=O1E；（2）当d=2时，⊙O与直线AC相切，且直线AC与⊙O相切有两种情况，①当直线AC 在⊙O的左边时，AA1+A1F=O1E；②当直线AC在⊙O的右边，AA1﹣A1F=O1E．【解答】解：（1）连接OO1，并延长交l2于点E，如图1，过点O1作O1F⊥l1于点F，∴由题意知：OO1=3t，AA1=4t，∵tan∠DAC=，∴∠DAC=60°，∴tan∠O1A1F=，∴A1F=，∵AA1﹣A1F=O1E，∴4t﹣=3t+2，∴t=2+；（2）当d=2时，此时⊙O与直线AC相切，当直线AC在⊙O的左边，如图2，由（1）可知，A1F=，∴AA1+A1F=O1E，∴4t+=3t+2，∴t=2﹣，当直线AC在⊙O的右边，如图3，此时，A1F=2∴AA1﹣A1F=O1E，∴4t﹣2=3t+2，∴t=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围为：2﹣＜t＜2+2．故答案为：（1）2+；（2）2﹣＜t＜2+2．【点评】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，锐角三角函数，解方程等知识，内容较为综合，考查学生灵活运用知识的能力．三、计算题（本题有8小题，共66分）17．计算：﹣|﹣2|+（1﹣）0﹣9tan30°．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣2+1﹣9×=﹣﹣1．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．解不等式组，并写出符合不等式组的整数解．【分析】分别解两个不等式得到x＜4和x≥﹣1，利用大于小的小于大的取中间可确定不等式组的解集，然后写出不等式组的整数解即可．【解答】解：，解①得x＜2，解②得x≥﹣1，所以不等式组的解集为﹣1≤x＜2，所以不等式组的整数解为﹣1，0，1．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．19．在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．（1）将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标；（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．【分析】（1）直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案；（2）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；点B1坐标为：（﹣2，﹣1）；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，点C2的坐标为：（1，1）．【点评】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，根据图形的性质得出对应点位置是解题关键．20．某商场对A、B两款运动鞋的销售情况进行了为期5天的统计，得到了这两款运动鞋每天的销售量及总销售额统计图（如图所示）．已知第4天B款运动鞋的销售量是A款的．（1）求第4天B款运动鞋的销售量．（2）这5天期间，B款运动鞋每天销售量的平均数和中位数分别是多少？（3）若在这5天期间两款运动鞋的销售单价保持不变，求第3天的总销售额（销售额=销售单价×销售量）．【分析】（1）由统计图可知第4天A款运动鞋销量是6双且B款运动鞋的销售量是A款的可得；（2）根据平均数与中位数定义求解可得；（3）设A款运动鞋的销售单价为x元/双，B款运动鞋的销售单价为x元/双，根据第1天和第5天的总销售额列方程组求出A、B款运动鞋单价，即可得解．【解答】解：（1）6×=4（双）．答：第4天B款运动鞋的销售量是4双；（2）B款运动鞋每天销售量的平均数为：=5.8（双），销售量从小到大排列为：3，4，6，7，9，故中位数为6（双）；（3）根据题意，设A款运动鞋的销售单价为x元/双，B款运动鞋的销售单价为x元/双，则：，解得：．故第3天的总销售额为11×100+9×200=2900（元）．【点评】本题主要考查条形统计图和折线统计图的应用能力及平均数、中位数的计算，根据题意从不同的统计图中获取解题所需的数据是关键．21．已知菱形ABCD，AB=4，∠B=60°，以点D为圆心作⊙D与直线AB相切于点G，连接DG．（1）求证：⊙D与BC所在的直线也相切；（2）若⊙D与CD相交于E，过E作EF⊥AD于H，交⊙D于F，求EF的长．【分析】（1）作DK⊥BC于K，如图，根据切线的性质得DG⊥AB，再根据菱形的性质得BD平分∠ADC，则根据角平分线的性质得DG=DK，然后根据切线的判断定理即可得到⊙D与边BC也相切；（2）根据菱形的性质和垂径定理解答即可．【解答】（1）（1）证明：作DK⊥BC于K，连结BD，如图，∵AB与⊙D相切于点G，∴DG⊥AB，∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ADC，而DG⊥AB，DK⊥BC，∴DG=DK，即DK为⊙D的半径∴⊙D与边BC也相切．（2）解：∵在菱形四边形中，CD=AB=4，CD∥AB，∴∠DCK=∠ABC=60°．又∵∠DKC=90°，∴DK=CD=2，∴DE=DK=2．又∵∠ADC=∠ABC=60°，EF⊥AD，∴EH=DE=3，∴EF=2EH=6．【点评】本题主要考查了菱形的性质，切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．22．某厂家生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD，线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元），销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的实际意义．（2）求线段CD所表示的y2与x之间的函数表达式．（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为140kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为40元；（2）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）先求出销售价y2与产量x之间的函数关系，利用：总利润=每千克利润×产量列出有关x的二次函数，求得最值即可．【解答】解：（1）点D的实际意义：当产量为140kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为40元．（2）设线段CD所表示的y2与x之间的函数表达式为y2=k1x+b1，∵点（0，124），（140，40）在函数y2=k1x+b1的图象上∴，解得：，∴y2与x之间的函数表达式为y2=﹣x+124（0≤x≤140）；（3）设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1=k2x+b2，∵点（0，60），（100，40）在函数y1=k2x+b2的图象上∴，解得：，∴y1与x之间的函数表达式为y1=﹣x+60（0≤x≤100）设产量为x千克时，获得的利润为W元①当0≤x≤100时，W=[（﹣x+124）﹣（﹣x+60）]x=﹣（x﹣80）2+2560，∴当x=80时，W的值最大，最大值为2560元．②当100≤x≤140时，W=[（﹣x+124）﹣40]x=﹣（x﹣70）2+2940由﹣＜0知，当x≥70时，W随x的增大而减小∴当x=100时，W的值最大，最大值为2400元．∵2560＞2400，∴当该产品的质量为80kg时，获得的利润最大，最大利润为2560元．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．23．定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形”．（1）理解：如图1，已知四边形ABCD是“垂直四边形”，对角线AC，BD交于点O，AC=8，BD=7，求四边形ABCD的面积．（2）探究：小明对“垂直四边形”ABCD（如图1）进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和．即AB2+CD2=AD2+BC2．你认为他的发现正确吗？试说明理由．（3）应用：①如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A出发沿AB方向以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CA方向以每秒6个单位的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜1），连结CP，BQ，PQ．当四边形BCQP 是“垂直四边形”时，求t的值．②如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=3AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG，连结EG．请直接写出线段EG与BC之间的数量关系．【分析】（1）由于对角线互相垂直，所以四边形ABCD的面积可化为+的和；（2）由于对角线互相垂直，由勾股定理分别表示出AB2、CD2、AD2、BC2；（3）①过点P作PD⊥AC于点D，构造△PAD∽△BAC后，利用BP2+CQ2=PQ2+BC2列出关于t的方程；②连接BE、CG、BG、CE，证明四边形BCGE是垂直四边形，然后利用其性质“一组对边的平方和等于另一组对边的平方和”，即可得出EG与BC的数量关系．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是“垂直四边形”，∴AC⊥BD，∴△ABD的面积为：，△CBD的面积为：，∴四边形ABCD的面积： +=BD（AO+CO）=ACBD=×8×7=28；（2）∵四边形ABCD是“垂直四边形”，∴AC⊥BD．由勾股定理可知：AB2+CD2=（AO2+BO2）+（DO2+CO2），AD2+BC2=（AO2+DO2）+（BO2+CO2），∴AB2+CD2=AD2+BC2；（3）①如图2，过点P作PD⊥AC于点D，由题意知：AP=5t，CQ=6t，∵∠ACB=90°，∴AB==10∵PD∥BC．∴△PAD∽△BAC，∴==，∴==，∴AD=3t，PD=4t，∴DQ=AC﹣AD﹣CQ=6﹣9t，∵四边形BCQP是“垂直四边形”．∴BP2+CQ2=PQ2+BC2，∴（10﹣5t）2+（6t）2=（4t）2+（6﹣9t）2+82，∴解得t=或t=0（舍去），∴当四边形BCQP是“垂直四边形”时，t的值为；②如图3，连接CG、BG、BE、CE，CE与BG交于点O由题意知：EA=BA，AC=AG∠EAB=∠CAG=90°∴∠EAB+∠BAC=∠CAG+∠BAC∴∠EAC=∠BAG在△EAC与△BAG中，∴△EAC≌△BAG（SAS）∴∠CEA=∠GBA∴∠EAB=∠BOE=90°∴四边形BCGE是“垂直四边形”∴BC2+EG2=BE2+CG2，∵AB=3AC，∴EG2=BC2．【点评】本题考查新定义型问题，解题的关键是对新定义的理解，涉及到勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识内容，题目较新颖和综合，需要学生将新旧知识联系起来．24．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），直角顶点B的坐标为（4，﹣1），三角形另一个顶点C在第一象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．①在滑动过程中，线段PQ的长度是否发生变化，若不变，请直接写出PQ的长度，若改变，请说明理由；②若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；③取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式解方程组即可解决问题．（2）①不变，直线AC与抛物线的交点就是抛物线顶点P，求出PA的长即可解决问题．②分两种情形：Ⅰ当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为2（即为PQ的长），过点B作直线l1∥AC，交抛物线y=﹣x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．Ⅱ当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为，如答图1，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，﹣1），过点F作直线l2∥AC，交抛物线y=﹣x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．③存在最大值，由①知PQ=2为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值，如答图2，取点B关于AC的对称点B′，当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，求出这个最小值即可解决问题．【解答】解：（1）由题意，得点B的坐标为（4，﹣1）．∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，∴，解得：b=2，c=﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y=﹣x2+2x﹣1．（2）①不变，PQ=2．②∵A（0，﹣1），C（4，3），∴直线AC的解析式为：y=x﹣1，设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上，∵点P在直线AC上滑动，∴有平移的性质可得，PQ=2=AP0．若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：Ⅰ当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为2（即为PQ的长），由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知，△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=2，如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线y=﹣x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点，∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1，∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5，∴直线l1的解析式为：y=x﹣5，解方程组，得：，，∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）．Ⅱ当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为，如答图1，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，﹣1），由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P0（2，1）可知：△AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为，过点F作直线l2∥AC，交抛物线y=﹣x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点，∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2，∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b1=﹣3，∴直线l2的解析式为：y=x﹣3，解方程组，得：，，∴M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．③存在最大值．理由如下：由①知PQ=2为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值．如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，∴四边形PQFN为平行四边形，∴NP=FQ，∴NP+BQ=FQ+B′P≥FB′==2，∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2，∴的最大值为=．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、最值问题等知识，解题的关键是把求交点坐标转化为解方程组，构建一次函数是解题的关键，学会把问题转化为我们熟悉的问题，体现了转化的思想，是中考压轴题．。

浙江省金丽衢十二校2018-2019学年高三数学第二次联考试卷一、单选题 (共10题；共10分)1．（1分）集合A={x|x2−2x>0}，B={x}−3<x<3}，则（）A．B．C．D．2．（1分）点F1和F2是双曲线y2−x23=1的两个焦点，则|F1F2|=（）A．B．2C．D．43．（1分）复数z1=2−i，z2=3+i，则|z1⋅z2|=（）A．5B．6C．7D．4．（1分）某几何体的三视图如图所示（图中单位：cm），则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．5．（1分）已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则“ α∥β”是“ l⊥m”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（1分）甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E(ξ)为（）A．1.2B．1.5C．1.8D．27．（1分）函数f(x)=lnx8−x的图像大致为（）A．B．C．D．8．（1分）已知a⇀，b⇀，c⇀和d⇀为空间中的4个单位向量，且a⇀+b⇀+c⇀=0，则|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|不可能等于（）A．3B．C．4D．9．（1分）正三棱锥P−ABC的底面边长为1cm，高为ℎcm，它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者侧面与底面）之和记为θ，则在ℎ从小到大的变化过程中，θ的变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大10．（1分）数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+1an，则a2018的值所在区间为（）A．B．C．D．二、填空题 (共7题；共11分)11．（2分）《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有人；所合买的物品价格为元．12．（2分）(1−2x)5展开式中x3的系数为；所有项的系数和为．13．（2分）若实数x，y满足约束条件{x+y≥1,x+2y≤2,x≤1,则目标函数Z=2x+3y的最小值为；最大值为．14．（2分）在ΔABC中，角A，B和C所对的边长为a，b和c，面积为13(a2+c2−b2)，且∠C为钝角，则tanB=；ca的取值范围是．15．（1分）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有种.（用数字作答）16．（1分）定义在R上的偶函数f(x)满足：当x>0时有f(x+4)=13f(x)，且当0≤x≤4时，f(x)=3|x−3|，若方程f(x)−mx=0恰有三个实根，则m的取值范围是．17．（1分）过点P(1,1)的直线l与椭圆x24+y23=1交于点A和B，且AP⇀=λPB⇀.点Q满足AQ⇀=−λQB⇀，若O为坐标原点，则|OQ|的最小值为．三、解答题 (共5题；共10分)18．（2分）已知函数f(x)=sin2x+√3sinxsin(x+π2 ).（1）（1分）求f(x)的最小正周期；（2）（1分）求函数f(x)在区间[0,23π]上的取值范围.19．（1分）在三棱拄ABC−A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC=1，∠BCC1=π3，AB=C1C=2.（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）试在棱C1C(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求AE和平面ABC所成角正弦值的大小.20．（2分）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，对任意n∈N∗，有a n+1=2S n+1.（1）（1分）求数列{a n}的通项公式；（2）（1分）若b n=a n+1a n，求数列{log3b n}的前n项和T n.21．（2分）已知抛物线E：y=ax2(a>0)内有一点P(1,3)，过P的两条直线l1，l2分别与抛物线E交于A，C和B，D两点，且满足AP⇀=λPC⇀，BP⇀=λPD⇀(λ>0,λ≠1)，已知线段AB的中点为M，直线AB的斜率为k.（1）（1分）求证：点M的横坐标为定值；（2）（1分）如果k=2，点M的纵坐标小于3，求ΔPAB的面积的最大值.n(n−lnx)，其中n∈N∗，x∈(0,+∞).22．（3分）函数f(x)=√x（1）（1分）若n为定值，求f(x)的最大值；（2）（1分）求证：对任意m∈N∗，有ln1+ln2+ln3+⋯ln(m+1)>2(√m+1−1)2；（3）（1分）若n=2，lna≥1，求证：对任意k>0，直线y=−kx+a与曲线y= f(x)有唯一公共点.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A={x|x＜0，或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜3}；∴A∩B={x|﹣3＜x＜0，或2＜x＜3}，A∪B=R；∵A∩B≠A，且A∩B≠B，∴B⊈A，A⊈B；即B符合题意．故答案为：B．【分析】通过解不等式求出集合A，根据集合的关系逐一判断即可. 2．【答案】D【解析】【解答】由y2−x 23=1可知a2=1,b2=3所以c2=a2+b2=4，则c=2,2c=4，所以|F1F2|=2c=4.故答案为：D【分析】根据双曲线的标准方程，得到两个焦点坐标，即可求出线段的长度.3．【答案】D【解析】【解答】因为|z1|=|2−i|=√5，|z2|=|3+i|=√10，所以|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|=√5×√10=5√2故答案为：D.【分析】根据复数的乘法运算，得到z1·z2，结合复数的模运算即可求出相应的值.4．【答案】B【解析】【解答】由三视图可知，该几何体的直观图为一个竖立的圆锥和一个倒立的圆锥组成，其表面积为S=2πrl=2×π×1×√2=2√2π，故答案为：B.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，即可求出几何体的表面积.5．【答案】A【解析】【解答】根据已知题意，由于直线l⊥平面α，直线m∥平面β，如果两个平面平行α//β，则必然能满足l⊥m，但是反之，如果l⊥m，则对于平面可能是相交的，故条件能推出结论，但是结论不能推出条件，故答案为：A【分析】根据直线与平面的位置关系，即可确定充分、必要性.6．【答案】C【解析】【解答】由已知得ξ=1,2,3，P(ξ=1)=C53C31C53C53=310, P(ξ=2)=C53C32C21C53C53=35, P(ξ=3)=C53C53C53=110,所以E(ξ)=1×310+2×610+3×110=1.8,故答案为：C【分析】求出随机变量的可能取值及相应的概率，即可求出数学期望. 7．【答案】A【解析】【解答】函数定义域为(0,8)，当x→0时，x8−x→0，lnx8−x→−∞，故排除B,D，当x→8时，x8−x→+∞，lnx8−x→+∞，故排除C,故答案为：A.【分析】根据函数的定义域及函数值的变化情况，逐一排除，即可确定函数的大致图象.8．【答案】A【解析】【解答】因为|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|≥|a⇀−d⇀+b⇀−d⇀+c⇀−d⇀|=|a⇀+b⇀+c⇀−3d⇀|而a⇀+b⇀+c⇀=0，所以|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|≥|−3d⇀|=3因为a⇀，b⇀，c⇀，d⇀是单位向量，且a⇀+b⇀+c⇀=0，所以a⇀−d⇀，b⇀−d⇀，c⇀−d⇀不共线，所以|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|>3，故答案为：A.【分析】根据向量的关系，求出|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|的最小值，即可确定|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+ |c⇀−d⇀|不可能的取值.9．【答案】D【解析】【解答】当ℎ→0+（比0多一点点），有θ→θ1=3π；当ℎ→+∞，有θ→θ3=5π2；当ℎ刚好使得正三棱锥变为正四面体时，二面角之和记为θ2，则cosθ26=3+3−42×3=13，于是cos θ23=2×(13)2−1=−79>−√32，所以θ23<5π6，即θ2<5π2，所以与θ的变化情况相符合的只有选项D.故答案为：D【分析】根据几何体的结构特征，求出角的余弦值，即可得到角的变化情况. 10．【答案】A【解析】【解答】因为a1=1，所以a n+12=a n2+2+1a n2≤a n2+3an+12≤an2+3≤an−12+3+3…可得：a n+12<a12+3n所以a2018<√a12+3×2017<√10000=100.故答案为：A【分析】根据递推关系式得到数列项之间的关系，解不等式即可确定a2018的值所在区间.11．【答案】7；53【解析】【解答】设共有x人，由题意知8x−3=7x+4，解得x=7，可知商品价格为53元.即共有7人，商品价格为53元.【分析】设共有x人，通过解方程即可求出共有人数和商品价格.12．【答案】-80；-1【解析】【解答】因为T r+1=C5r(−2)r x r，令r=3，T4=−80x3，所以x3的系数为-80，设(1−2x)5=a0+a1x+⋯+a5x5，令x=1，则a0+a1…+a5=−1，所以所有项的系数和为-1.【分析】写出二项展开式的通项，即可求出特定项的系数及所有项的系数之和. 13．【答案】2；【解析】【解答】作出可行域如下：由Z=2x+3y可得y=−23x+z，作出直线y=−23x,平移直线过B(1,0)时，z有最小值z=2+0=2，平移直线过A(1，12）时，z有最大值z=2×1+3×12=72.【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线即可求出目标函数的最大值和最小值.14．【答案】；【解析】【解答】因为S=12acsinB=13(a2+c2−b2)，所以34sinB=a2+c2−b22ac=cosB即tanB=43，因为∠C为钝角，所以sinB=45,cosB=35，由正弦定理知ca=sinCsinA=sin(B+A)sinA=cosB+sinBcosAsinA=35+45cotA因为∠C为钝角，所以A+B<π2,即A<π2−B所以cotA>cot(π2−B)=tanB=43所以ca>35+45×43=53，即ca的取值范围是(53,+∞).【分析】通过面积公式及正弦定理，确定三角形边和角的关系，即可求出相应的值和取值范围. 15．【答案】210【解析】【解答】分两类，（1）每校1人：A63=120；（2）1校1人，1校2人：C32A62=90，不同的分配方案共有120+90=210．故答案为：210【分析】根据加法原理和乘法原理，即可确定不同的分配方案种数.16．【答案】【解析】【解答】因为当0≤x≤4时，f(x)=3|x−3|，设4≤x≤8，则0≤x−4≤4，所以f(x−4)=3|x−4−3|=3|x−7|，又f(x+4)=13f(x)，所以f(x)=13f(x−4)=|x−7|，可作出函数y=f(x)在x∈[0,8]上的图象，又函数为偶函数，可得函数在[−8,8]的图象，同时作出直线y=mx，如图：方程f(x)−mx=0恰有三个实根即y=f(x)与y=mx图象有三个交点，当m>0时，由图象可知，当直线y=mx过（8,1），即m=18时有4个交点，当直线y=mx过（4,3），即m=34时有2个交点，当18<m<34时有3个交点，同理可得当m<0时，满足−34<m<−18时，直线y=mx与y=f(x)有3个交点.故填(−34,−18)∪(18,34).【分析】通过函数的性质，作出函数的图象，数形结合即可求出实数m的取值范围. 17．【答案】【解析】【解答】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(m,n)则{x1+λx2=1+λ,x1−λx2=m(1−λ),于是x12−(λx2)2=m(1−λ2)，同理y12−(λy2)2=n(1−λ2)，于是我们可以得到(x124+y123)+λ2(x224+y223)=(1+λ2)(m4+n3).即m4+n3=1，所以Q点的轨迹是直线，|OQ|min即为原点到直线的距离，所以|OQ|min=1√116+19=125【分析】设出点A 和B 的坐标，根据向量的关系，确定Q 的轨迹是直线，即可求出线段长度的最小值.18．【答案】（1）解： f(x)=sin 2x +√3sinxsin(2x +π2)=1−cos2x 2+√32sin2x =sin(2x −π6)+12所以 T =π（2）解：由 −π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ 得 −π6+kπ≤x ≤π3+kπ,k ∈z 所以函数 f(x) 的单调递增区间是 [−π6+kπ,π3+kπ],k ∈z ． 由 x ∈[0，2π3] 得 2x −π6∈[−π6,76π] ，所以 sin(2x −π6)∈[−12,1]所以 f(x)∈[0,32] ．【解析】【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式，结合辅助角公式，得到函数的表达式，即可求出函数的最小正周期；（2）根据正弦函数的单调性，确定函数f （x ）的单调区间，即可求出函数f （x ）的取值范围.19．【答案】解：（Ⅰ）因为 BC =1 ， ∠BCC 1=π3 ， C 1C =2 ，所以 BC 1=√3 ，BC 2+BC 12=CC 12 ，所以 BC 1⊥BC 因为 AB ⊥ 侧面 BB 1C 1C ， BC 1⊂ 平面 BB 1C 1C ，所以 BC 1⊥AB ，又 BC ∩AB =B ， 所以， C 1B ⊥ 平面 ABC（Ⅱ）取 C 1C 的中点 E ，连接 BE ， BC =CE =1 ， ∠BCC 1=π3 ，等边 ΔBEB 1 中， ∠BEC =π3同理， B 1C 1=C 1E 1=1 ， ∠B 1C E 1=2π3，所以 ∠B 1EC 1=π6 ，可得 ∠BEB 1=π2 ，所以EB 1⊥EB因为 AB ⊥ 侧面 BB 1C 1C ， EB 1⊂ 平面 BB 1C 1C ，所以 EB 1⊥AB ，且 EB ∩AB =B ，所以 B 1E ⊥ 平面 ABE ，所以；（Ⅲ） AB ⊥ 侧面 BB 1C 1C ， AB ⊂ 平面，得平面 BCC 1B 1⊥ 平面 ABC 1 ， 过 E 做 BC 1 的垂线交 BC 1 于 F ， EF ⊥ 平面 ABC 1连接AF，则∠EAF为所求，因为BC⊥BC1，EF⊥BC1，所以BC∥EF，E为CC1的中点得F为C1B的中点，EF=12，由（2）知AE=√5，所以sin∠EAF=12√5=√510【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；（2）根据线面垂直的定义，证明直线与平面垂直，即可说明直线与平面内任何一条直线垂直；（3）通过作垂线得到直线与平面所成的角，通过解三角形求出线面所成角的正弦即可. 20．【答案】（1）解：由a n+1=2S n+1知a n=2S n−1+1(n≥2)两式相减得：a n+1=3a n(n≥2)又a2=2s1+1=2a1+1=3，所以a2a1=3也成立，故a n+1=3a n,n∈N∗即数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以a n=3n−1(n∈N∗).（2）解：因为log3b n=log3a n+1an=3n−1log33n=n⋅3n−1，所以T n=1×30+2×31+3×32+⋯+n⋅3n−13T n=1×31+2×32+3×33+⋯+(n−1)⋅3n−1+n⋅3n两式相减得：−2Tn =(12−n)⋅3n−12，所以T n=(n2−14)3n+14.【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义确定数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，即可求出的通项公式；（2）根据对数恒等式，结合错位相消求和法，即可求出前n项和T n.21．【答案】（1）证明：设CD中点为N，则由AP⇀=λPC⇀，BP⇀=λPD⇀可推得AB⇀=λDC⇀，MP⇀=λPN⇀，这说明AB⇀∥CD⇀，且M，P和N三点共线.对A，B使用点差法，可得y A−y B=a(x A−x B)(x A+x B)，即k AB=2a⋅x M.同理k CD=2a⋅x N.于是x M=x N，即MN⊥x轴，所以x M=x P=1为定值.（2）解：由k=2得到a=1，设y M=t∈(1,3)，|PM|=3−t，联立{y=x2,y−t=2(x−1),得x2−2x+2−t=0，所以|x A−x B|=2√t−1, |AB|=√1+k2|x A−x B|=√5⋅2√t−1,根据点到直线的距离公式知P到AB的距离为d=|t−3|√5，于是SΔPAB=(3−t)√t−1，令x= √t−1，x∈(0,2),则S=−x3+2x，S′=−3x2+2，令S′=0得x=√63，当x∈(0,√63)时，S′>0,函数为增函数，当x∈(√63，2)时，S′<0，函数为减函数，故当x=√63，即t=53时，SΔPAB有最大值4√69.【解析】【分析】（1）根据向量之间的关系，采用点差法，即可确定点M的坐标为定值；（2）根据点斜式写出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，通过弦长公式和点到直线的距离，表示出三角形的面积，求导数，利用导数研究函数的单调性，即可求出三角形面积的最大值.22．【答案】（1）解：n为定值，故f′(x)=1n x 1n−1(n−lnx)+√xn(−1x)=−√xn lnxx（x>0)，令f′(x)=0，得x=1，当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，所以函数在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以当x=1时，函数有极大值f(1)，也是最大值，所以f(x)max=f(1)=n.（2）解：由前一问可知lnx≥n−n√xn，取n=2得lnx≥2−2√x，于是∑m+1 i=1lni≥∑(2−2i)m+1i=2>2m−4∑m+1i=21√i+√i−1=2m−4∑(√i−√i−1)m+1i=2=2m−4√m+1+4=2(√m+1−1)2.（3）解：要证明当a≥e，k>0时，关于x的方程√x(2−lnx)=−kx+a有唯一解，令t=√x，即证明g(t)=kt2+2t−2tlnt−a有唯一零点，先证明g(t)存在零点，再利用导数得函数单调性，极值确定函数只有唯一零点.我们先证三个引理【引理1】x(1−lnx)≤1（由第1问取n=1即可）【引理2】lnx≥1−1x（由【引理1】变形得到）【引理3】lnx≤x−1（可直接证明也可由【引理2推出】证明：lnx=−ln 1x≤−(1−11x)=x−1.下面我们先证明函数g(t)存在零点，先由【引理2】得到：g(t)≤kt2+2t−2t(1−1t)−a=kt2+2−a.令t=√a−2k，可知g(t)≤0.再由【引理3】得到lnx<x，于是g(t)=t(kt−4ln√t)+(2t−a)>t√t(k√t−4)(2t−a).令t>16k2，且t>a2，可知g(t)>0.由连续性可知该函数一定存在零点.下面我们开始证明函数g(t)最多只能有一个零点.我们有g′(t)=2kt−2lnt=2t(k−lnt t).令ℎ(t)=lntt ，则ℎ′(t)=1−lntt2，则ℎ(t)在(0,e)递增，在(e,+∞)递减，即ℎ(t)max=1e.当k≥1e时，有g′(t)≥0恒成立，g(t)在(0,+∞)上递增，所以最多一个零点.当0<k<1e时，令g′(t1)=g′(t2)=0，t1<e<t2，即lnt1=kt1，于是g(t1)=t1lnt1+2t1−2t1lnt1−a=t1(2−lnt1)−a.再令t1=eT(0<T<1)，由【引理1】可以得到g(t1)=eT(1−lnT)−a<e×1−a≤0.因此函数g(t)在(0,t1)递增，(t1,t2)递减，(t2,+∞)递增，t=t1时，g(t)有极大值但其极大值g(t1)<0，所以最多只有一个零点.综上，当k>0，a≥e时，函数y=f(x)与y=−kx+a的图像有唯一交点.【解析】【分析】（1）求导数，利用导数确定函数的单调性，结合单调性求出函数的最大值即可；（2）由（1）可得不等式lnx≥n−n√xn，结合放缩法，即可证明相应的不等式；（3）构造函数，求导数，利用导数确定函数的单调性，求出函数的极值，根据函数零点与函数图象交点横坐标的关系，数形结合，即可证明相应的结论.。

金丽衙十二校2018-2019学年高三第二次联考数学试题2018.12一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）．1、集合A=｛x|x 2－2x ＞0}，B=｛x|－3<x<3｝，则（ ）A 、A ∩B ＝∅ B 、 A ∪B ＝RC 、B ⊆AD 、A ⊆B 答案：B考点：集合的运算，一元二次不等式。

解析：因为A=｛x|x ＜0或x ＞2}，在数轴上表示如下图，可知：A ∪B ＝R ，选B 。

2、点F 1和F 2是双曲线223x y -＝1的两个焦点，｜F 1F 2｜＝（ ）A 、2B 、 2C 、2 2D 、 4答案：D考点：双曲线的性质。

解析：依题意，得：1,3a b ==，所以，22c a b =+＝2， ｜F 1F 2｜＝2c ＝4。

3、复数122,3z i z i =-=+，则12||z z ＝（ ）A 、 5B 、 6C 、 7D 、 52 答案：D考点：复数的运算。

解析：12z z ＝(2)(3)i i -+＝7－i ， 所以，2212||71z z =+＝524、某几何体的三视图如右图所示（图中单位:cm)，则该几何体的表面积为（ ）A、2πcm2B、22πcm2C、（22＋1）πcm2D、（22＋2）πcm2答案：B考点：三视图。

解析：由三视图可知，该几何体为有同底的两个圆锥组成，圆锥的底面半径为1，高为1，所以，母线长为：2表面积为两个圆锥的侧面积，S＝2×12122π⨯⨯⨯＝22πcm25.已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件答案：A考点：直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的平等与垂直关系，充分必要条件。

解析：当α∥β时，由直线l⊥平面α，有直线l⊥平面β，又直线m∥平面β，所以，l⊥m，充分性成立。

浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考数学试题一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1. 设集合M={x| }，N={x|0＜x＜2}，则M∪N=（）A. [0，1）B. （0，1）C. [0，2）D. （0，2）【答案】C【解析】分析：解分式不等式得集合M,再根据集合的并集定义得结果.详解：因为，所以,因此M∪N= [0，2），选C.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 若双曲线的两条渐近线相互垂直，则它的离心率是（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】双曲线两条渐近线互相垂直, ,计算得出.即为等轴双曲线.因此，本题正确答案是.3. 某四面体的三视图如图所示，正视图、左视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的最大面的面积是（）A. 2B.C.D. 4【答案】C【解析】分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式得结果.详解：因为几何体为一个四面体，六条棱长分别为，所以四面体的四个面的面积分别为因此四面体的最大面的面积是，选C.点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．4. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图，则φ=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据图确定半个周期，得ω，再根据最大值求φ.详解：因为，所以因为|φ|＜因此，选B.点睛：已知函数的图象求解析式(1). (2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.5. 已知（﹣1+3i ）（2﹣i ）=4+3i （其中i 是虚数单位，是z 的共轭复数），则z 的虚部为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. i D. ﹣i 【答案】A【解析】分析：根据复数除法得，再得z ，根据复数概念得结果. 详解：因为（﹣1+3i ）（2﹣i ）=4+3i ， 所以因此，虚部为1,选A............................... 6. 已知正项数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，（n ≥2），则a 6=（ ）A.B. 4C. 16D. 45【答案】B【解析】分析：先根据等差数列定义及其通项公式得，再根据正项数列条件得a n ，即得a 6.详解：因为，所以所以公差等差数列，，因为，因此，选B.点睛：证明或判断为等差数列的方法：(1)用定义证明：为常数）；(2)用等差中项证明：；(3)通项法：为的一次函数；(4)前项和法：7. 用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（）A. 20B. 24C. 36D. 48【答案】A【解析】分析：先根据能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，再分类讨论排列数，最后相加得结果.详解：因为能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，所以对应排列数分别为因此一共有，选A.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.8. 如果存在正实数a，使得f（x+a）为奇函数，f（x﹣a）为偶函数，我们称函数f（x）为“Θ函数”．给出下列四个函数：①f（x）=sinx ②f（x）=cosx ③f（x）=sinx﹣cosx ④f（x）=sin2（x+）．其中“Θ函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：根据奇偶性求出对应a的值，若存在就是“Θ函数”．详解：若f（x）=sinx是“Θ函数”，则，若f（x）=cosx是“Θ函数”，则，若f（x）=sinx﹣cosx =是“Θ函数”，则，若f（x）= sin2（x+）是“Θ函数”，则，因此“Θ函数”的个数为2，选B.点睛：函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.9. 设a＞b＞0，当取得最小值c时，函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为（）A. 3B.C. 5D.【答案】A【解析】分析：根据基本不等式求最值c，并确定a,b取值，再根据绝对值定义去掉绝对值，结合分段函数图像确定最小值.详解：因为，所以当且仅当时取等号，此时因为，所以因此当时，f（x）取最小值为3.选A.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=0.6，则当E、F移动时，下列结论中错误的是（）A. AE∥平面C1BDB. 四面体ACEF的体积为定值C. 三棱锥A﹣BEF的体积为定值D. 异面直线AF、BE所成的角为定值【答案】D【解析】分析：先证面AB1D1平行面C1BD，即得AE∥平面C1BD，通过计算四面体ACEF的体积、三棱锥A﹣BEF的体积以及异面直线AF、BE所成的角确定命题的真假.详解：因为B1D1// BD，C1D// AB1，所以面AB1D1平行面C1BD，因此AE∥平面C1BD，所以A正确，因为为定值，所以B正确，因为为定值，所以C正确，当E,F交换后，异面直线AF、BE所成的角发生变化，因此D错，选D.点睛：立体几何中定值或定位置问题，其基本思想方法是以算代证，或以证代证，即从条件出发，计算所求体积或证线面平行与垂直关系，得到结果为定值或位置关系为平行或垂直.二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）11. 若f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）=_____；方程[5f（x）﹣1][f（x）+5]=0的实根个数为_____．【答案】 (1). (2). 6【解析】分析：根据偶函数性质求对偶区间解析式，结合函数图像与确定交点个数.详解：因为f（x）为偶函数，所以当x＜0时，f（x）=,因为[5f（x）﹣1][f（x）+5]=0，所以研究与交点个数，如图：因此有6个交点.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 在的展开式中，常数项为_____；系数最大的项是_____．【答案】 (1). (2).【解析】分析：先根据二项展开式通项公式得项的次数与系数，再根据次数为零，算出系数得常数项，根据系数大小比较，解得系数最大的项.详解：因为，所以由得常数项为因为系数最大的项系数为正，所以只需比较大小因此r=2时系数最大，项是，点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.13. 已知向量满足的夹角为，则 =_____；与的夹角为_____．【答案】 (1). (2).【解析】分析：根据向量模的性质以及向量数量积求以及||，再根据向量数量积求向量夹角.详解：因为的夹角为，所以，，所以因此.点睛：求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法，从图形判断角的大小.14. 函数f（x）=x2+acosx+bx，非空数集A={x|f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，已知A=B，则参数a的所有取值构成的集合为_____；参数b的所有取值构成的集合为_____．【答案】 (1). (2).【解析】分析：根据条件A=B，得f（0）=0，解得a;再根据f（-b）=0，得f（x）=-b无解或仅有零根，解得b的取值范围.详解：因为A=B，所以f（x）=0成立时f（f（x））=0也成立，因此f（0）=0，，即参数a的所有取值构成的集合为，因为f（x）=x2+ bx，所以由f（x）=0得当-b=0时, f（f（x））= x4=0,满足A=B，当时,由f（f（x））=0得f（x）=0或f（x）=-b，因此f（x）=-b无解或仅有零根，因为，即方程无解，，综上b的取值范围为点睛：已知函数有零点或方程有解求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数交点或函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．15. 已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β④若m∥l，则α⊥β其中正确的命题的序号是_____．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）．【答案】①④【解析】分析：因为m⊥α，则m垂直与α平行所有平面中的直线；若m∥l，则β过垂直于α一条垂线，所以α⊥β；对于不成立的可以举反例说明.详解：因为m⊥α，则m垂直与α平行所有平面中的直线；所以若m⊥α，l⊂β，α∥β，则m⊥l；若m∥l，m⊥α，l⊂β，则β过垂直于α一条垂线，所以α⊥β；若α⊥β，m⊥α，l⊂β，则m,l位置关系不定；若m⊥l，m⊥α，l⊂β，则α，β也可相交，因此命题的序号是①④.点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16. 从放有标号为1、2、4、8、16、32的6个球的口袋里随机取出3个球（例如2、4、32），然后将3个球中标号最大和最小的球放回口袋（例子中放回2和32，留下4），则留在手中的球的标号的数学期望是_____．【答案】7.2【解析】分析：先确定随机变量的取法2，4，8，16，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望.详解：因为留在手中的球的标号可以为2，4，8，16，所以,,,因此点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.17. 设直线2x+y﹣3=0与抛物线Γ：y2=8x交于A，B两点，过A，B的圆与抛物线Γ交于另外两点C，D，则直线CD的斜率k=_____．【答案】2【解析】分析：根据圆以及抛物线的对称性可得直线AB与直线CD关于x轴对称，所以斜率和相反，即得结果.详解：因为根据圆以及抛物线的对称性可得直线AB与直线CD关于x轴对称，所以直线AB与直线CD斜率和相反，因为直线AB斜率为-2，所以直线CD斜率为2.点睛：研究解几问题，一是注重几何性，利用对称性减少参数；二是巧记一些结论，简约思维、简化运算，如利用关于原点对称，为椭圆上三点).三、解答题（共5小题，满分74分）18. 已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，f（A）=，△ABC的面积为，AB=，求BC的长．【答案】（1）（2）2或【解析】分析：（1）先根据两角和与差正弦公式展开，再根据配角公式得基本三角函数形式，最后根据正弦函数周期公式求结果，（2）先求A,再根据面积公式求不，最后根据余弦定理求a.详解：解：函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．化简可得：f（x）=2sinxcos+cosx=sinx+cosx=2sin（x+）（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=；（Ⅱ）由f（A）=，即2sin（A+）=，∴sin（A+）=，∵0＜A＜π，∴＜（A+）．可得：（A+）=或则A=或A=．当则A=时，△ABC的面积为=bcsinA，AB=c=，∴b=AC=2余弦定理：BC2=22+（2）2﹣2××cos，解得：BC=2当A=时，△ABC的面积为=bc，AB=c=，∴b=AC=1直角三角形性质可得：BC2=22+（2）2，解得：BC=．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.19. 四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，则棱SB垂直于底面．（Ⅰ）求证：平面SBD⊥平面SAC；（Ⅱ）若SA与平面SCD所成角为30°，求SB的长．【答案】（1）见解析（2）1【解析】分析：（1）由正方形性质得AC⊥BD，由已知线面垂直关系得AC⊥SB，由线面垂直判定定理得AC⊥面SBD，再根据面面垂直判定定理得结论，（2）先将四棱锥补成正四棱柱ABCD ﹣A′SC′D′，作AE⊥A′D于E，则根据线面垂直判定定理得AE⊥面SCD，即得∠ASE即为SA与平面SCD所成角的平面角，最后根据解三角形得结果.详解：证明：（Ⅰ）连结AC，BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵SB⊥底面ABCD，∴AC⊥SB，∴AC⊥面SBD，又由AC⊂面SAC，∴面SAC⊥面SBD．解：（Ⅱ）将四棱锥补成正四棱柱ABCD﹣A′SC′D′，连结A′D，作AE⊥A′D于E，连结SE，由SA′∥CD，知平面SCD即为平面SCDA′，∵CD⊥侧面ADD′A′，∴CD⊥AE，又AE⊥A′D，∴AE⊥面SCD，∴∠ASE即为SA与平面SCD所成角的平面角，设SB=x，在直角△ABS中，SA=，在直角△DAA′中，∴=，解得x=1，∴SB的长为1．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20. 已知函数f（x）=a x﹣xlna（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意x1，x2∈R，有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【答案】（1）y=1（2）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减；（3）【解析】分析：（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程，（2）根据a与1大小分类讨论导函数符号，再根据导函数符号确定单调区间，（3）先将恒成立问题转化为对应函数最值，再根据单调性确定函数最值，通过构造函数解不等式，可得实数a的取值范围．详解：解：（Ⅰ）∵f′（x）=a x lna﹣lna=（a x﹣1）lna，∴f′（0）=0，又∵f（0）=1，∴所求切线方程是：y=1；（Ⅱ）当a＞1时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故对∀a＞0，且a≠1，f（x）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减；（Ⅲ）记f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值是M，最小值是m，要使对任意x1，x2∈R，有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2，只需M﹣m≤e﹣2即可，根据f（x）的单调性可知，m=f（0）=1，M为f（﹣1），f（1）的最大值，f（﹣1）=+lna，f（1）=a﹣lna，f（﹣1）﹣f（1）=﹣a+2lna，令g（x）=﹣x+2lnx，g′（x）=﹣≤0，故g（x）在（0，+∞）递减，又∵g（1）=0，∴a＞1时，g（a）＜g（1）=0，即f（﹣1）＜f（1），此时M=a﹣lna，要使M﹣m≤e﹣2，即有a﹣lna﹣1≤e﹣2，再令h（x）=x﹣lnx，由h′（x）=可知h（x）在（1，+∞）递增，不等式a﹣lna≤e﹣1可化为h（a）≤h（e），解得：1＜a≤e，当0＜a＜1时，g（a）＞g（1）=0，即f（﹣1）＞f（1），此时M=+lna，要使M﹣m≤e﹣2，即有+lna﹣1≤e﹣2，再令l（x）=+lnx，由l′（x）=，可知l（x）在（0，1）递减，不等式+lna≤e﹣1可化为l（a）≤l（），解得：≤a＜1，综上，a的范围是[，1）∪（1，e]．点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.21. 已知椭圆T的焦点在x轴上，一个顶点为A（﹣5，0），其右焦点到直线3x﹣4y+3=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆T的方程；（Ⅱ）设椭圆T的长轴为AA'，P为椭圆上除A和A'外任意一点，引AQ⊥AP，A'Q⊥A'P，AQ 和A'Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）根据条件列关于a,b,c方程组，解方程组可得a,b，（2）交轨法求轨迹，先设P,Q坐标,根据垂直关系得斜率乘积为-1，两式对应相乘，利用椭圆方程化简可得Q点轨迹方程，最后根据根据纯粹性去掉两点.详解：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：（a＞b＞0），设椭圆的右焦点为（c，0），则=3，解得：c=4，由题意的焦点在x轴上，则a=5，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设P（5cosθ，3sinθ），A'（5，0），θ≠kπ，k∈Z，设Q（x，y），x≠5且x≠﹣5，于是，×=﹣1，×=﹣1，两式相乘：×=1，化简，所求轨迹方程为：，x≠5且x≠﹣5，∴点Q的轨迹方程，x≠5且x≠﹣5．点睛：求轨迹方程，一般有以下方法，一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.22. 已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，且an+1=Sn+n+1（n∈N+）（Ⅰ）求证数列{an+1}为等比数列；（Ⅱ）设数列{ }的前n项和为Tn，求证：．（Ⅲ）设函数，令，求数列{bn}的通项公式，并判断其单调性．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再利用等比数列定义证数列{an+1}为等比数列；（2）先根据等比数列通项公式求an +1，解得an，再放缩利用等比数列求和公式得结论，（3）先求导数，得，再利用错位相减法求其中部分和，即得，最后根据相邻两项差的关系判断数列单调性,这时可利用数学归纳法证明.详解：解：（Ⅰ）证明：an+1=Sn+n+1，可得当n≥2时，an =Sn﹣1+n，两式相减可得，an+1﹣an=an+1，可得an+1+1=2（an+1），n≥2，由a1+1=2，a2+1=4，可得数列{an+1}为公比为2的等比数列；（Ⅱ）an+1=2•2n﹣1=2n，即有an=2n﹣1，当n=1时，T1=1，当n=2时，T2=1+，当n=3时，T3=1++=显然有；n＞3时，Tn=1++++…+＜1+++（++…+）=1+++＜1+++=1++＜1++=；（Ⅲ）设函数，令，f′n（x）=an +2an﹣1x+…+na1x n﹣1，则bn=f′n（1）=an +2an﹣1+…+na1=（2n﹣1）+2（2n﹣1﹣1）+3（2n﹣2﹣1）+…+n（21﹣1）=2n+2•2n﹣1+3•2n﹣2+…+n•21﹣．令A=2n+2•2n﹣1+3•2n﹣2+…+n•21，A=2n﹣1+2•2n﹣2+3•2n﹣3+…+n•20，两式相减可得，A=2n+2n﹣1+2n﹣2+…+2﹣n=2n+1﹣n﹣2，即A=2n+2﹣2n﹣4，bn=2n+2﹣2n﹣4﹣=2n+2﹣n2﹣n﹣4，{bn}递增，只需证明当n为自然数时，bn+1﹣bn=2n+2﹣n﹣3＞0．当n=1时，2n+2﹣n﹣3=4＞0，假设n=k时，2k+2﹣k﹣3＞0，则当n=k+1时，2k+3﹣k﹣4=（2k+2﹣k﹣3）+（2k+2﹣1）＞0恒成立，综上可得，当n为一切自然数时，bn+1＞bn．即数列{bn}为递增数列．点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.。