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中考数学知识点过关培优训练：相交弦定理(圆)(附答案)

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知识点过关培优训练：相交弦定理（圆）•选择题如图，？0的两条弦AB CD相交于点E, AC和DB的延长线交于点P,下列结论中成立的如图，正方形ABC呐接于O O,点P在劣弧AB上,连接DP,交AC于点Q若QP= QO1.2.3.A. PC?CA= PE P BDC. CECD= BE?BAB.D.如图，在O O 中，弦AC BD交于点E,连结ABC.CE?AE= BE?EDPE?PD= PC?PACD在图中的“蝴蝶”形中，若AE=£如图，O O的弦AB CD相交于点P,若AP= 6,BP= 8, CP= 4，贝U CD长为( )B. 24C.12D.不能确定4.BA. 167.如图，O 0的直径AB 与弦CD 交于点，AE= 6, BE= 2, CD= 2 '一|，则/ AED 的度数是（）&如图，点 P 为弦AB 上的一点，连接」0P 过点P 作PC!OP PC 交O O 于C,且O 0的半径为3.若AP= 4, PB= 1,贝U 0P 的长是（）AB= 2, BC= 3,点 E 为 BC 上一点，且 BE= 1,延C.亏6.如图，O 0的弦ABCD 相交于点P,若AF^= 3, D- 3 V 2 ~2BF ^ 4, Cl 2，贝U CD 长为（C. D.不能确定B. 60°C. 45°D. 36°5.如图，矩形 ABCD^O 0的内接四边形,B. 5 A.B. 12A.BB. 2 !C. 7D.-A. 29.如图，AB 为O O 的直径，AB= 10cm 弦CDL AB 垂足为E ,且AE EB= 2 ： 3,则AC=（ ）O O 于D,贝y CD 的长为（ ）B. 4cmC. 一 T cm10.如图，O O 的直径AB= 8,弧人*弧BC ,E 为OB 上一点，/ AEG 60°, CE 的延长线交11.如图在一次游园活动中有个投篮游戏，活动开始时四个人 A B 、C D 在距篮筐 P 都是5米处站好，篮球放在 AC 和BD 的交点O 处，已知取篮球时 A 要走6米，B 要走3米，C B. 3米 C. D. 5米12.如图，已知AB 为O O 的直径，C 为O O 上一点, CDL AB 于 D, AD= 9, BD= 4,以 C 为圆4 7要走2米，则D 要走A. 2米B. 9 PQ 交CD 于E ,则PE ?EQ 的值是（ ）C. 6D. 27O 相交于P, Q 两点，弦 A. 2413•如图，在O 0中，弦BC DE交于点P,延长BD EC交于点A BC= 10, Bl 2CR若型AD='，则DP的长为3 ----------14.如图，O0中两条弦AB CD相交于点P,已知PA= 3,PB= 4,PC= 2,那么PD长为____________15.如图，O 0的弦AB CD相交于点E，若AE DE= 3: 5,贝U AC BD= ___________16.如图，O O中弦AB CD相交于点P,已知AP= 3, BP= 2, CP= 1,贝U DP= _________17.已知弦AB和弦CD相交于O O内一点P, AP= 8, BP= 3, ____ PD= PC贝U CD= .18. _______________________________________________________________________ 在O O中，弦AB CD相交于点E , AE= 2cm BE= 6cm DE= 3cm 贝U CE= ______________ cm 学以致用：点P是直径为10的O Q中一点且PQ= 2,过点P作弦HK则线段PH与线段PK的积等于19.O 0的直径AB垂直弦CD于P,且P是半径0B的中点，CD= 6cm,则直径AB的长是cm20.如图，O 0的弦AB CD相交于点E ,若CE BE= 2: 3,贝U AE DE=B21.如图，弦AB与CD相交于O O内一点P, PO PD(1)试说明：△ PA3A PDB(2)设PA= 4, PB= 3, CD= 8，求PC PD的长.22•如图，在O O中，弦AD BC相交于点E,连接OE已知AD= BC, ADLCB(1)求证：AB= CD(2)如果O O的直径为10, DE= 1,求AE的长.23.如图，已知圆O弦AB CD相交于点M(1)求证：AM?MB= CMMD24.已知G是厶ABC的重心，过A G的圆与BG切于G CG的延长线交圆于D,求证：AG=GC?GD25•如图,(1)已知：P为半径为5的O O内一点，过P点最短的弦长为8，则0圧_____________(2)在(1)的条件下，若O 0内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6,且这两条弦平行，求PQ的长.(3)在(1 )的条件下，过P点任作弦MN AB试比较PM?PN与PA?PB的大小关系，且写出比较过程•你能用一句话归纳你的发现吗？(4)在(1 )的条件下，过P点的弦CD=^，求PC PD的长.26•已知：如图所示，BC为圆0的直径，A、F是半圆上异于B C的一点，D是BC上的一点，BF 交AH于点E, A是弧BF的中点，AHL BC(1)求证：AE= BE；(2)如果BE?EF= 32, AD= 6, 求DE BD的长.27.如图1,在直角坐标系中，点A的坐标为(1 , 0),以OA为边在第四象限内作等边△ AOB点C为x轴的正半轴上一动点 (001)，连接BC,以BC为边在第四象限内作等边△ CBD直线DA交y轴于点E.(1)试问△ OBCf A ABD全等吗？并证明你的结论;(2)随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标;若有变化，请说明理由;(3)如图2,以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G,设AC= m AF= n，用含n的代数式表示m£GO副團X3•选择题 1 解」：•••/ P =Z P,Z A=Z D,•••△ PAB^A PDC•巴=坐 • _ ，• PB ?PD= PC ?PA 故选：D.72 .解:EC F = AC- AE= =由相交弦定理得，AE?EO DE?BE 则19• BD= DE^BE=., 故选：B.3.解：T AF ?BP= CF ?DP• PD="・,CP••• AP= 6 , BP= 8 , CP= 4 ,• PD= 12 ,• CD= PGPD= 12+4= 16. 故选：A.4.解：如图，设O O 的半径为r , QO= m 贝U QP= m QC= r +mQA= r - m2_ 2 即(r - m (r +m =m?QD 所以 QD= •丄卫连接DO 由勾股定理，得 Q D = D O +Q O,2 2即 一 f : ■ID解得参考答案在O O 中，根据相交弦定理，得QA ?QC= QF ?QD故选：A.6.解：T AP ?BF — CF P DPAF — 3, BF — 4, CF — 2,・ PD= 6,• CD= P （+PD= 2+6— 8.故选：C.7.解：连接 OD 过圆心 O 作OH L CD 于点H.故选: D.5.解：•••四边形 ABC ［是矩形，•••/ B = 90°,二AE =冷工:丁忙壬』为7 — 1心7, •/ BC= 3, BE= 1,「. CE= 2,由相交弦定理得：AE ?EF = BE ?CE.* BE ・CE_1X2 2^5・・ EF — , — ■------ , AE - V5 5 所以,•••DH= CH^—CD （垂径定理）；T CD= _I,•- DH= 1 !.又••• AE= 6, BE= 2,••• OA= OD= 4 （O O的半径）;•••OF 2;•••在Rt△ ODH中, OH= '|j|R ||：亠=：.一,_|=二（勾股定理）;在Rt △ OEH中, sin / OEH = ,OE 2•••/ OE H 45°,即/ AED= 45°.故选：C.&解：延长CP交圆于一点D,连接OC•/ PC! OP••• PC H PD••• P C=PA?PB••• AP= 4, PB= 1,pC= 4X 1,• PC H 2,•••OP=甘］匚：_兀=¥亍-;=「.故选：C.a9.解：T CD£ AB • CE= DE•••CE= AE?BE•/ AB= 10cm,且AE EB= 2：3 ,• AE= 4 cm, EB= 6cm•- CE= 2 「cm,二AC=甘比'CL 、m； I, I ：=么厂! ：cm故选：D.10.【解」答】解：连接OC OD过点o作0甩CD于点F.••• AB是O O的直径，C为弧AB的中点，•••/ AOC=Z B0& 90°（等弧所对的圆心角相等）；又••• 0是圆心，OFL CD•CF= DF=±CD （垂径定理）；在Rt △ OEC中,•••/ AEC= 60°,OCE= 30°（直角三角形的两个锐角互余）;•••在Rt△ OCF中, CF= OC cos30 ° ;又AB= 8,• OC= 4;• - CD= 2CF= 4'故选：D.11.解：根据题意得：A B C、D在以P为圆心，半径是5米的圆上.:.O/?OC= O^OD 即6 X2 = 3X OD解得OD= 4.故选：C.12 .解：延长DC交O C于M延长C□交O O于N.•••CD= AD?DB AD= 9, BD= 4,•- CD= 6.在O O O C中，由相交弦定理可知，PE?EQ= DE?EM= CE?EN 设CE= x，贝U DE= 6 - x, EN= 6 - x+6贝卩(6 - x)，(x+6)= x (6 - x+6),解得x= 3.所以，CE= 3, DE= 6- 3 = 3, EM= 6+3= 9.所以PE?EQ= 3X 9 = 27.故选：D..填空题（共8小题）13.解：如图，作CH/ DE交AB于H.设DP= 2a.••• PD// CH卫=坐=型=2■■===:CH= 3a,••• BD AD= 2：3,二AH AD= 2：3,•••CH/ DE匹=鲤=2=，g 9DE=：a,Q R• Pj a- 2a= : a,•/ BC= 10, BP PC= 2: 1,••• PB= , PG= 3 3•/ PB ?PG= PD ?PE• a = （负根已经舍弃）3 • PD= 2a = 一 旦 3故答案为二L ；314. 解：•••两条弦 AB CD 相交于点P ,••• PD ?PC= PA ?PB2X 6= 3X CE故答案为6.15.解：•••弦 AB CD 相交于点E , • C =Z B ,/ A =Z D,• △ ACEo ^ DBE.些=塑=丄•， 故答案为：3: 5.16.解：由相交弦定理得,AP ?BP= CP ?DP则DP= = 6, CP故答案为：6.17•解：•••弦 AB 和弦CD 相交于O 0内一点P ,• PA?PB= PC ?PD而 AP= 8, BP= 3, PD= PC• PC = 8X 3= 24,• PC = 2 7,• CD= 2PC = 4 7.故答案为4 ~.18•解：T AE ?BE= CRDE• PD=6.•••CE= 4;如图，过P点的直径为MN••• PQ= 2,•PM= QM- PQ= 5- 2= 3, PN= QN+PQ= 5+2 = 7,•/ PH?PK= PM?PN•PH?PK= 3 X 7= 21 .故答案为4; 21.K19.解：T ・：AB为O O的直径，ABL CD CD= 6cm•CF= PD= 3cm,T P是半径OB的中点，•••设PB= x,贝U AF= 3x,由相交弦定理得，CF?FD= AF?FB即 3 X 3= 3x?x，解得x= _cm•AF= 3 cm PB= cm•直径AB的长是3 _+ _= 4 _cm.20•解：TO O的弦AB CD相交于点E ,•AE?BE= CE?DE•AE DE= CE BE= 2: 3,故答案为：2: 3.三•解答题(共7小题)21. (1 )证明：由圆周角定理得，/ A=Z D, / C=Z B,(2)解：由相交弦定理得到，PA?PB= PC?PD即3X4 = PCX( 8- PC,解得，PO 2或6,则PD= 6或2,•PC= 2 或6, PD= 6 或2.22. (1)证明：如图，T AD= BC•「=丨,•「-丨J —,即上,•AB= CD(2)如图，过0作0吐AD于点F,作OGL BC于点G连接OA OC则AF= FD, BG= CG••• AD= BC•AF= CG-、 i 人i fAF=CG在Rt △ AOF与Rt△ COGK ・,0A=0C•Rt △ AO耳Rt △ CO( HL,•OF= OG•四边形OFEG^正方形，•OF= EF.设OF= EF= x,贝U AF= FD= x+1,在直角△ OAF K.由勾股定理得到：■' x2+ (x+1) 2= 52, 解得x= 5.则AF= 3+1 = 4,即AE= AF+3= 7.23.解：(1)vZ A=Z C,Z D=Z B,•△ ADMb^ CBM•如卫•^ -",即AM?MB= CM?MD•••OM L CD在Rt △ OMC中,•/ OC= 3, OM= 2•••CD= CW「| “::'-'.，由（1）知AM?MB= CMMD•AM?MB=匚？d! ■= 5.24.证明：延长GP至F,使PF= PG 连接AD BF, CF,•/ G是厶ABC的重心，•Ad 2GP BP= PC,•/ PF= PG ,•四边形GBF（是平行四边形，•GF= 2GP•AG= GF••• BG/ CF,•/ 1 = Z 2•••过A、的圆与BG切于G,•/ 3=Z D,又/ 2=Z 3 ,•/ 1 = Z 2 = Z 3=Z D,•A、D F、C四点共圆，• GA?GF= GC?GD即G A=G(?GD25•解：(1)连接OP过点P作CDL OP于点P,连接OD根据题意，得CD= 8, OD= 5•根据垂径定理，得PD= 4,根据勾股定理，得0P= 3;(2)根据平行线的性质和垂线的性质，知OP、Q三点共线.根据(1)的求解方法，得OQ= 4,贝U PQ= 1或7;(3)连接AM BN•••/ A=Z N,Z M=Z B,•••△ APE NPB…：畀.」即PM?PN= PA?PB(4)作直径AB根据相交弦定理，得PC?PD= PA?PB-( 5 - 3) (5+3)16, 又CD=,9R OR设PC= x，贝U PD)= - x,则有x ( - x)= 16,解得x= 3或x = —.即PC= 3 或一，PD=.或3.cBOCODP0 —「=丨26•解：（1）连接AB•/ BC 是直径，且BC 丄AH二 1 1 ；••• A 是丨：的中点,•••/ BAE=Z ABE••• AE=BE(2)易知 DH= AD= 6;••• AE= 6 - DE EH=6+DE由相交弦定理，得： AE ?EH= BE ?EF, 即: (6 - DE ( 6+DE = 32,解得 DE= 2; Rt △ BDE 中, BE= AE= AD - DE= 4, DE= 2;由勾股定理，得：BD=J.-» ; H -= 2 :-•27•解：(1)两个三角形全等.•••△ AOBA CBD都是等边三角形,•••OBA F Z CBDb60°,•••/ OBA/ ABC=/ CBD/ ABC 即/OBC=Z ABD•/ OB= AB BC= BD,△ OBC^ ABD；(2 )点E位置不变.•••△OBH ABD•/ BAO Z BOC= 60°,/ OAE= 180° - 60°- 60°= 60°;在Rt △ EOA中, EO= OA?tan60 ° = _,或/ AEO= 30°，得AE= 2,•OE=—•••点E的坐标为(0, 一)；(3)T AC= m AF= n,由相交弦定理知又••• OC是直径，• OE是圆的切线，OE= EGEF,在Rt△ EOA中, AE=—厂=2, ('')2=( 2 - —) (2+n)n2即2n +n - 2m- mn= 0解得m= .n+21 ?m= n?AG 即AG=工n。

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2021年中考数学必考点培优系列 18 圆与相似：相交线定理、切割线定理(有答案)

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第18讲 圆与相似模型讲解圆与直角母子型（1）圆与直角母子型（2）ABE ∽AD CPAC ∽PBAPAB ∽PC DABE ∽D C EBCDPABCAB CEPDC BA【例题讲解】例题1 如图，AB 为⊙O 的直径， C 为⊙O上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，AB ＝6，AD ＝5，则AE 的长.A【解析】如图，连接BD 、CD ，A∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°∴BD＝ ∵弦AD 平分∠BAC ， ∴CD ＝BD∴∠CBD ＝∠DAB ， 在△ABD 和△BED 中， BAD EBD ADB BDE⎧⎨⎩∠＝∠∠＝∠∴△ABD ∽△BED ， ∴DE DB ＝DBAD解得DE ＝115． ∴AE ＝AD －DE ＝5－115＝145. 例题2 如图，在△ABC 中，以AC 边为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点B 作BG ⊥AC 交⊙O 于点E 、H ，连AD 、ED 、EC ．若BD ＝8，DC ＝6，求CE 的长．B【解析】∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°， ∵BG ⊥AC ，∴∠BGC ＝∠ADC ＝90°， ∵∠BCD ＝∠ACD , ∴△ADC ∽△BGC ， ∴DC CG＝ACBC ， ∴CG ·AC ＝DC ·BC ＝6×14＝84， 连接AE ，∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠AEC ＝90°， ∴∠AEC ＝∠EGC ＝90°， ∵∠ACE ＝∠ECG ， ∴△CEG ∽△CAE ， ∴CG CE ＝CE AC，∴CE＝．B【巩固练习】1.如图，已知D D为等腰三角形ABC的底边BC上的任意一点，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E，连接BE、CE，则图中相似三角形共有()A．8对B．6对C．4对D．2对2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D，E是OB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G．若AC＝AG·AF＝.BA3、如图，已知半圆的直径AB＝10，点C在半圆上，CB＝6，O为AB的中点，OD⊥AB交AC于点D，则OD＝.4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧AC的中点，BD交AC于点E，若BC＝52，CD，则DE ＝ ．B5、如图，已知△ABC 内接于⊙0，且AB ＝AC ，直径AD 交BC 于点E ，F 是OE 的中点，如果BD ∥CF ，BC ＝，则CD ＝ .BDA（第5题） （第6题） （第7题）6、如图，已知⊙0的半径为4，AB ＝6，锐角△ABC 内接于⊙0，BD ⊥AC 于点D ，OE ⊥AB于点M ，则sin ∠CBD 的值等于 .7、如图，AD 是圆内接△ABC 的高，AE 是OO 的直径，AB ，AC AE ·AD ＝ .8、如图，△ABC 是⊙0的内接三角形，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交⊙0于点D ，连接AD 、C D .作AE ⊥BD 于点E ，若AE ＝3，DE ＝1，则△ACD 的面积是 .A9、如图：M 、N 分别为直角坐标系x 、y 正半轴上两点，过M 、N 和原点0三点的圆和直线y ＝x 交于点P ，（1）试判断△PMN 的形状；（2）连接MN ，设直线y ＝x 交MN 于点G ，若PG :PN ＝3：4，△PGN 的周长为6，求△PON 的周长.10、如图，PB 为⊙O 0的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC 、AF 。

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中考数学培优 (含解析 )之圆与相似及详细答案一、相似1．如图，在四边形ABCD 中， AD//BC，， BC=4， DC=3， AD=6.动点P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向 ,在射线 DA 上以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P、 Q 分别从点Q从点C D,C 同时出发出,当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动.设运动的时间为t(秒 ).（ 1）设的面积为，直接写出与之间的函数关系式是________（不写取值范围） .（2）当 B,P,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时的值.（3）当线段PQ 与线段 AB 相交于点O，且 2OA=OB 时，直接写出=________.（4）是否存在时刻，使得若存在，求出的值；若不存在,请说明理由 .【答案】（1）（2）解：如图1，过点 P 作 PH⊥ BC 于点 H，∴∠ PHB=∠ PHQ=90 ，°∵∠ C=90 ，°AD∥ BC，∴∠ CDP=90 ，°∴四边形 PHCD是矩形，∴PH=CD=3， HC=PD=2t，∵CQ=t， BC=4，∴H Q=CH-CQ=t，BH=BC-CH=4-2t，BQ=4-t，∴BQ2=，BP2=，PQ2=，由 BQ2=BP2可得：，解得：无解；由 BQ2=PQ2可得：，解得：；由 BP2= PQ2可得：，解得：或，∵当时， BQ=4-4=0，不符合题意，∴综上所述，或；（3）（4）解：如图 3，过点 D 作 DM∥ PQ 交 BC的延长线于点 M，则当∠ BDM=90°时， PQ⊥ BD，即当 BM2=DM2+BD2时， PQ⊥ BD，∵AD∥ BC， DM∥ PQ，∴四边形 PQMD 是平行四边形，∴Q M=PD=2t ，∵QC=t,∴CM=QM-QC=t，∵∠ BCD=∠MCD=90 °，∴BD2=BC2+DC2=25， DM2=DC2 +CM2=9+t 2，∵B M2=(BC+CM)2=(4+t)2，∴由 BM2=BD2+DM2可得：，解得：，∴当时，∠ BDM=90 °，即当时， PQ⊥ BD.【解析】【解答】解：（1）由题意可得BQ=BC-CQ=4-，t点 P 到 BC 的距离 =CD=3，∴S△PBQ= BQ × 3=；（ 3 ）解：如图2，过点 P 作 PM⊥ BC交 CB的延长线于点M ，∴∠ PMC=∠ C=90 ，°∵AD∥ BC，∴∠ D=90 ，°△ OAP∽ △ OBQ，，∴四边形PMCD 是矩形，∴PM=CD=3，CM=PD=2t，∵AD=6， BC=4，CQ=t，∴P A=2t-6， BQ=4-t， MQ=CM-CQ=2t-t=t,∴，解得：，∴MQ=，又∵ PM=3，∠ PMQ=90°，∴tan ∠ BPQ=；【分析】（ 1）点 P 作 PM⊥ BC，垂足为M，则四边形PDCM 为矩形，根据梯形的面积公式就可以利用t 表示，就得到s 与 t 之间的函数关系式。

中考数学知识点过关培优 易错 难题训练∶圆与相似含答案解析

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中考数学知识点过关培优易错难题训练∶圆与相似含答案解析一、相似1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵B（2，t）在直线y=x上，∴t=2，∴B（2，2），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x（2）解：如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，∵点C是抛物线上第四象限的点，∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，∴S△OBC=S△CDO+S△CDB= CD•OE+ CD•BF= （﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，∵△OBC的面积为2，∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，∴C（1，﹣1）（3）解：存在．设MB交y轴于点N，如图2，∵B（2，2），∴∠AOB=∠NOB=45°，在△AOB和△NOB中∴△AOB≌△NOB（ASA），∴ON=OA= ，∴N（0，），∴可设直线BN解析式为y=kx+ ，把B点坐标代入可得2=2k+ ，解得k= ，∴直线BN的解析式为y= x+ ，联立直线BN和抛物线解析式可得，解得或，∴M（﹣，），∵C（1，﹣1），∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），∴OB=2 ，OC= ，∵△POC∽△MOB，∴ = =2，∠POC=∠BOM，当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，∵∠COA=∠BOG=45°，∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，∴△MOG∽△POH，∴ = = =2，∵M（﹣，），∴MG= ，OG= ，∴PH= MG= ，OH= OG= ，∴P（，）；当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，同理可求得PH= MG= ，OH= OG= ，∴P（﹣，）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，）【解析】【分析】（1）根据已知抛物线在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t），可求出点B的坐标，再将点A、B的坐标分别代入y=ax2+bx，建立二元一次方程组，求出a、b 的值，即可求得答案。

2019年中考数学知识点精选提高练习：弦切角定理(圆)(附解析答案)

2019年中考数学知识点精选提高练习：弦切角定理(圆)(附解析答案)

2019年中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理（圆）一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（）A．97°B．104°C．116°D．142°3．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（）A．70°B．55°C．70°或110°D．55°或125°4．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（）A．50°B．60°C．100°D．120°5．如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE＝40°，则∠A的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°7．如图，△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于点B，AB＝AC，若∠CBD＝40°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC．AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°9．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知：如图，E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点，且ME⊥NE，AB为外公切线，切点分别为A，B 连接AE，BE，则∠AEB的度数为（）A．145°B．140°C．135°D．130°二．填空题11．已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A 的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝度．12．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于度．13．如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝度，∠ACB＝度．14．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，且∠BAC＝35°，则∠P＝度．15．如图，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径．若∠BCD＝35°，则∠ABC的大小等于度．16．如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝130°，则∠ADP＝．17．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D点的切线PD 与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为．18．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径．已知∠APB＝70°，则∠ACB 的度数为°．19．如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径是AB＝2，弦AC＝1，则∠CAD＝度．20．如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC＝100°，∠BCT＝40°，则∠AOB＝度．三．解答题21．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．（1）求证：∠DAC＝∠BAC；（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的直径．22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC＝∠BAC．（1）试说明：AD⊥CD；（2）若AD＝4，AB＝6，求AC．23．如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．求证：（1）AD＝AE；（2）AB•AE＝AC•DB．24．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD．（1）求证：PA∥BC；（2）求⊙O的半径及CD的长．25．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E．（1）求证：BC∥DE；（2）若AB＝3，BD＝2，求CE的长；（3）在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件（不要求证明）．26．如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB＝CE．求证：（1）BE∥DG；（2）CB2﹣CF2＝BF•FE．参考答案1．解：连接BC，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．故选：A．2．解：∵BD是圆O的直径，∴∠BAD＝90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∵直线ED为圆O的切线，∴∠ADE＝∠ABD＝19°，∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．故选：C．3．解：如图，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴∠OAP＝∠O BP＝90°，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝110°，∴∠ACB＝55°，当点C在劣弧AB上，∵∠AOB＝110°，∴弧ACB的度数为250°，∴∠ACB＝125°．故选：D．4．解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝50°．∵此圆与直线BC相切于C点，∴的度数＝2∠C＝100°．故选：C．5．解：∵AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，∠CBE＝40°，∴∠A＝∠CBE＝40°．故选：B．6．解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，∴∠CAD＝∠B＝60°．（弦切角定理）故选：B．7．解：∵BD切⊙O于点B，∴∠DBC＝∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．故选：D．8．解：如图，连接AC，由弦切角定理知∠ACB＝∠BAT＝55°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝55°，∴∠B＝180°﹣2∠ACB＝70°，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°．故选：A．9．解：∵直线MN切⊙O于C点，∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°．故选：C．10．解：连接AM，BN，∵∠BAE＝∠AME，∠ABM＝∠BNE，∴∠B AE+∠ABE＝（∠AME+∠BNE），∵MA⊥AB，NB⊥A B，∴MA∥NB，∴∠AMN+∠BNM＝180°．∵∠MEN＝90°，∴∠EMN+∠ENM＝90°，∴∠AME+∠BNE＝180°﹣90°＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝×90°＝45°，∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°．故选：C．二．填空题（共10小题）11．解：∵AB＝2，OA＝，∴cos∠BAO＝＝，∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°；∵OC是⊙M的切线，∴∠BOC＝∠BAO＝30°，∴∠ACO＝∠OBA﹣∠BOC＝30°．故答案为：30．12．解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，∴∠A＝∠PCB＝35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴35°+∠B＝90°，解得∠B＝55°．故答案为：55．13．解：由弦切角定理知，∠C＝∠BAP＝30°；由圆周角定理知，∠AOB＝2∠C＝60°．14．解：连接OB；∵PA、PB都是⊙O的切线，且切点为A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB+∠P＝180°；在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝180°﹣2∠BAC；∴∠P＝2∠BAC＝70°．15．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵直线CD与⊙O相切，∴∠A＝∠BCD，∵∠BCD＝35°，∴∠A＝35°，∴∠ABC＝55°．故答案为：55°．16．解：连接BD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，∴∠BAD＝50°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠40°∵PD切⊙O于D，∴∠ADP＝∠ABD＝40°，故答案为：40°．17．解：连接BD，则∠ADB＝90°，又∠BCD＝130°，故∠DAB＝50°，所以∠DBA＝40°；又因为PD为切线，故∠PDA＝∠ABD＝40°，即∠PDA＝40°．18．解：∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴PA＝PB；∵∠APB＝70°，∴∠PBA＝（180°﹣∠APB）＝55°，∵PB切⊙O于B，∴∠ACB＝∠PBA＝55°．19．解：∵AB是圆的直径，∴∠C＝90°；又AB＝2，AC＝1，∴∠B＝30°，∵AD为⊙O的切线，∴∠CAD＝∠B＝30°．20．解：∵CT切⊙O于C∴∠BAC＝∠BCT＝40°；在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ABC＝100°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣40°﹣100°＝40°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°．三．解答题（共6小题）21．证明：（1）连接BC，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠B，∠OCD＝90°，∵AD⊥CD，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BAC；（2）∵cos∠BAC＝，∴＝，∵AC＝6，∴AB＝10，故⊙O的直径为10．22．（1）证明：连接OC；∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在△ADC与△ACB中，，∴△ADC∽△ACB，∴＝，即AC2＝AD•AB，∵AD＝4，AB＝6，∴AC＝＝2．23．证明：（1）∵∠ADE＝∠APD+∠PAD，∠AED＝∠CPE+∠C，又∠APD＝∠CPE，∠PAD＝∠C．∴∠ADE＝∠AED．∴AD＝AE．（2）∵∠APB＝∠CPA，∠PAB＝∠C，∴△APB∽△CPA，得．∵∠APE＝∠BPD，∠AED＝∠ADE＝∠PDB，∴△PBD∽△PEA，得．∴．∴AB•AE＝AC•DB．24．（1）证明：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAB＝∠2．又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∴∠PAB＝∠1．∴PA∥BC．（2）解：连接OA交BC于点G，则OA⊥PA；由（1）可知，PA∥BC，∴OA⊥BC．∴G为BC的中点，∵BC＝24，∴BG＝12．又∵AB＝13，∴AG＝5．设⊙O的半径为R，则OG＝OA﹣AG＝R﹣5，在Rt△BOG中，∵OB2＝BG2+OG2，∴R2＝122+（R﹣5）2，∴R＝16.9，OG＝11.9；∵BD是⊙O的直径，∴DC⊥BC．又∵OG⊥BC，∴OG∥DC．∵点O是BD的中点，∴DC＝2OG＝23.8．25．（1）证明：连接CD；∵DE是圆O的切线，∴∠CDE＝∠CBD．∵∠CBD＝∠DAC，∴∠CDE＝∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴∠CDE＝∠BAD．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CDE＝∠BCD．∴BC∥DE．（2）解：如图，连接CD；∵AD平分∠BAC，∴＝．∴∠BCD＝∠CBD．∴BD＝CD＝2．∵BC∥DE，∴∠E＝∠ACB＝∠ADB．又由（1）中已证得∠CDE＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE．∴AB：BD＝CD：CE．∴CE＝BD•CD÷AB＝．（3）解：应该是∠BAC＝2∠ACB．26．证明：（1）∵CB＝CE，∴∠E＝∠CBE．∵CG为⊙O切线，∴∠BCD＝∠E．∴∠CBE＝∠BCD．∴BE∥DG．（2）∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠CBE．∵∠ACB＝∠ACB，∴△CBF∽△CAB，．∴CB2＝CF•AC＝CF•（CF+AF）＝CF2+CF•AF．即CB2﹣CF2＝AF•CF．由相交弦定理，得AF•CF＝BF•FE．∴CB2﹣CF2＝BF•FE．。