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坐标变换总结Clark变换和Park变换⼀个坐标系的坐标变换为另⼀种坐标系的坐标的法则。
由于交流异步电动机的电压、电流、磁通和电磁转矩各物理量之间是相互关联的强耦合，并且其转矩正⽐与主磁通与电流，⽽这两个物理量是随时间变化的函数，在异步电机数学模型中将出现两个变量的乘积项，因此，⼜为多变量，⾮线性系统（关键是有⼀个复杂的电感矩阵），这使得建⽴异步电动机的准确数学模型相当困难。
为了简化电机的数学模型，需从简化磁链⼊⼿。
解决的思路与基本分析：1.已知，三相( ABC )异步电动机的定⼦三相绕组空间上互差120度，且通以时间上互差120ω的旋转磁场。
度的三相正弦交流电时，在空间上会建⽴⼀个⾓速度为1⼜知，取空间上互相垂直的（α，β）两相绕组，且在绕组中通以互差90度的两相平衡交流电流时，也能建⽴与三相绕组等效的旋转磁场。
此时的电机数学模型有所简化。
2. 还知, 直流电机的磁链关系为：F---励磁绕组轴线---主磁通的⽅向，即轴线在d轴上,称为直轴(Direct axis)。
A---电枢绕组轴线---由于电枢绕组是旋转的，通过电刷馈⼊的直流电产⽣电枢磁动势，其轴线始终被限定在q轴，即与d轴成90度，称为交轴(Quadrature axis)。
由于q轴磁动势与d轴主磁通成正交，因此电枢磁通对主磁通影响甚微。
换⾔之，主磁通唯⼀地由励磁电流决定，由此建⽴的直流电机的数学模型⼗分简化。
如果能够将三项交流电机的物理模型等效的变换成类似的模型，分析和控制就变得⼤⼤简单了。
电机模型彼此等效的原则：不同坐标系下产⽣的磁动势(⼤⼩、旋转）完全⼀致。
关于旋转磁动势的认识：1) 产⽣旋转磁动势并不⼀定⾮要三相绕组不可。
结论是：除了单相电机之外，两相、三相或四相等任意对称（空间）的多相绕组，若通以平衡的多相电流，都可产⽣旋转磁动势。
根据这⼀道理，利⽤其在空间上互差90度的静⽌绕组，并通以时间上互差90度的平衡交流电流，同样可产⽣旋转磁场（或磁动势F），因⽽可等效代替三相绕组的作⽤。
派克变换，是将abc相变量系统各电磁量(电流、电压、磁链等)，转换到以转子纵轴d、横轴q及静止轴0为坐标轴的dqo轴变量系统，使按相坐标建立的具有时变电感的变系数微分方程，变换为轴坐标表示的电感为常数的常系数微分方程。
由于定子与转子之间有相对运动及转子纵轴、横轴磁路不对称，绕组间的磁祸合将随转子转角不同而周期变化。
不仅互感是转子角度的函数，定子绕组自感也受转子位置的影响。
同步电机的坐标变换首先，我们以同步电机中各绕组的空间位置以及电流的方向来看电磁之间的关系：db图1 同步发电机的绕组空间位置由于各绕组是相互耦合的，与各绕组相交链的磁通将包括本绕组电流所产生的磁通和由其他绕组的电流产生而与本绕组交链的那部分磁通。
所以磁链方程为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Q D f c b a QQ QDQfQcQbQaDQ DD Df Dc Db Da fQ fD ff fc fb fa cQ cD cf cc cb ca bQ bD bf bc bb ba aQ aD af ac ab aa Q D f c b a i i i i i i L M M M M M M L M M M M M M L M M M M M M L M M M M M M L M M M M M M L ψψψψψψ 下面我们分析一下各自的自感与互感的系数。
首先我们知道电机的旋转磁场与各定子绕组相交链的磁通的磁路发生周期性变换且周期为，由于电感与磁阻成反比，与绕组匝数的平方成正比。
所以定子绕组的自感也成周期性变化。
)120(2cos )120(2cos 2cos 202020︒++=︒-+=+=θθθl l L l l L l l L cc bb aa0l 为自感的平均值，2l 为自感的变化部分。
由于定子绕组间的空间位置相差120度，使得定子绕组间的互感恒为负值。
[][][])150(2cos )90(2cos )30(2cos 202020︒++-==︒-+-==︒++-==θθθm m M M m m M M m m M M ac ca cb bc ba ab 0m 为互感的平均值，2m 为互感变化部分。
坐标变换的作用
在一个机器人系统中，每个测量元件测量同一物体得出的信息是不一样的，原因
实现坐标变换所需的数据
我们常用出发与坐标系原点终止于坐标系中坐标点的向量来表示坐标系中坐标点相对于坐标原点的位置（距离+方位）。
坐标系的相互转化必须以地球坐标系为媒介才可以实现，即坐标系的相互转化必须已知“任意坐标系中各个坐标轴在world坐标系中的坐标”：
位姿
坐标变换中旋转的实质
坐标变换的实质就是“投影”。
首先，我们解读一下向量是如何转化为坐标的：
其实，这个矩阵的乘法与卷积有着异曲同工之妙。
旋转矩阵的性质：
从B到A的转化：
从A到B的转化：
、都是单位正交仿真，因此
坐标变换中平移的实质
向量可以在坐标系中任意移动，只要不改变向量的方向和大小，向量的属性不会发生变化。
但是我们研究的是坐标系B中一个坐标点在坐标系A中的映射，因此
多坐标变换
首先，我们要知道世界坐标系下坐标系A/坐标系B的各个坐标轴在世界坐标系（参
如何实现坐标变换
其中O1O2是从O1指向O2的向量。
0、前言本文主要介绍了三相电力变换设备中常用的坐标变换理论已经多端口网络的功率计算方法。
不是什么创新内容，目的是帮助理解而已。
因为坐标变换本来很简单，但是还是有好多人在其中纠结，或者搞不明白为什么，或者不理解为什么会有多种变换形式。
同时也表达我的一些观点：一、任何高深的理论经过在实际应用中总是会转化为简单的计算或者简单的计算式，尤其以信号处理为代表。
很厚的一本书，看了半天也看不懂什么是IIR ，但是拿到别人的程序，其中只有一句话。
因为用的人不一定要懂很多，只要知道是什么，如果需要修改怎么改就可以了，所以本文的介绍力求深入浅出。
二、恰恰相反，实际应用中很简单的过程可能都有特定的甚至十分深奥的理论支持。
所以，搞工程的人很可能对所有的过程讲的头头是道，但是在深问为什么就打不上来了。
这样就是深度达不到，眼界也达不到。
所以，本文避免了许多论文里一上来就“在三相对称系统中通常采用……坐标变换”，而是尽可能地把自己了解到的相关的知识加进来。
种水稻的人可能没有系统的理论知识，但是袁隆平不可能在没有系统的知识的前提下就发现了天然不孕系水稻，并培育出两系、三系杂交水稻。
注：相关知识的拓展可以自行上网搜索；另外，本文没有仔细检查，难免有疏忽和错误之处，请阅读时注意。
一、背景知识介绍1.巴拿赫（Banach ）空间：完备的赋范线性空间。
略去完备性定义。
2.希尔伯特（Hilbert ）空间：定义了内积的Banach 空间或者完备的内积空间。
设U 为数域K （实数或者复数）上的线性空间，对于U y x ∈∀,，如果存在唯一的K y x >∈<,，内积满足下列三条（内积定理）： a ）对第一变元的线性：><+><>=+<z y z x z y x ,,,βαβα b ）共轭对称性：><>=<x y y x ,,c ）正定性：0,>≥<x x ，当且仅当0=x 时有0,>=<x x则称><y x ,为x 和y 的内积，U 为内积空间。
坐标变换原理
坐标变换是一种数学操作，用来在不同的坐标系间进行转换。
它是将一个点或对象的位置从一个坐标系转换到另一个坐标系的方法。
在二维平面坐标系中，通常使用笛卡尔坐标系和极坐标系。
笛卡尔坐标系使用x和y轴来表示一个点的位置，而极坐标系使用半径和角度来表示。
坐标变换可以通过简单的公式来实现：
1. 笛卡尔坐标系转换为极坐标系：给定一个点的笛卡尔坐标(x, y)，可以通过以下公式计算其极坐标(r, θ)：
r = √(x² + y²)
θ = arctan(y/x)
2. 极坐标系转换为笛卡尔坐标系：给定一个点的极坐标(r, θ)，可以通过以下公式计算其笛卡尔坐标(x, y)：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
这些公式将一个点在不同坐标系中的位置进行相互转换。
通过这些转换，可以在不同坐标系之间准确地描述和定位对象的位置。
除了坐标系之间的转换，还可以进行其他类型的坐标变换，如平移、缩放和旋转。
在平移中，点的位置通过添加一个固定的偏移量来改变。
在缩放中，点的位置通过乘以一个缩放因子来改变。
在旋转中，点的位置通过应用旋转矩阵来改变。
通过这些坐标变换，可以单独或组合地对对象进行不同类型的变换，使其在平面内按照所需的方式移动、缩放和旋转。
这在计算机图形学和计算机视觉中经常使用，用于实现图像转换、模型变换等应用。
坐标变换为我们提供了一种非常有用的工具，可以方便地在不同坐标系中进行准确的位置描述与处理。
坐标变换讲解
坐标变换是指将一个坐标系中的点或向量转换到另一个坐标系中的过程。
在二维情况下，一般使用2x2的矩阵来表示坐标变换，而在三维情况下则使用3x3的矩阵。
在二维情况下，假设有两个坐标系A和B，坐标系A中的点P(x,y)需要转换到坐标系B中的点P'(x',y')。
坐标变换可以通过以下公式来实现：
[x'] = [a b] [x]
[y'] [c d] [y]
其中，a、b、c和d是转换矩阵的元素，它们定义了从坐标系A 到坐标系B的转换关系。
具体来说，a和d表示坐标轴的缩放因子，b和c表示坐标轴的旋转因子。
在三维情况下，坐标变换的方式稍有不同。
假设有两个坐标系A 和B，坐标系A中的点P(x,y,z)需要转换到坐标系B中的点P'(x',y',z')。
坐标变换可以通过以下公式来实现：
[x'] = [a b c] [x]
[y'] [d e f] [y]
[z'] [g h i] [z]
其中，a、b、c、d、e、f、g、h和i是转换矩阵的元素，它们定义了从坐标系A到坐标系B的转换关系。
具体来说，a、e和i表示坐标轴的缩放因子，b、c、d、f、g和h表示坐标轴的旋转和剪切因子。
需要注意的是，坐标变换不仅仅可以用矩阵表示，还可以使用四元数、欧拉角等方式进行表示。
此外，在实际应用中，坐标变换经常涉及到平移操作，可以通过引入齐次坐标进行处理。
总之，坐标变换是将一个坐标系中的点或向量转换到另一个坐标系中的过程，通过定义适当的转换矩阵或其他表示方式，可以实现不同坐标系之间的转换。
§2.3.1 坐标系的分类正如前面所提及的,所谓坐标系指的是描述空间位置的表达形式,即采用什么方法来表示空间位置。
人们为了描述空间位置，采用了多种方法，从而也产生了不同的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。
在测量中常用的坐标系有以下几种：一、空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标系原点位于参考椭球的中心，Z 轴指向参考椭球的北极，X 轴指向起始子午面与赤道的交点，Y 轴位于赤道面上且按右手系与X 轴呈90°夹角。
某点在空间中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
空间直角坐标系可用图2-3来表示：图2-3 空间直角坐标系二、空间大地坐标系空间大地坐标系是采用大地经、纬度和大地高来描述空间位置的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间中的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高是空间点沿参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
空间大地坐标系可用图2-4来表示：图2-4空间大地坐标系三、平面直角坐标系平面直角坐标系是利用投影变换，将空间坐标空间直角坐标或空间大地坐标通过某种数学变换映射到平面上，这种变换又称为投影变换。
投影变换的方法有很多，如横轴墨卡托投影、UTM 投影、兰勃特投影等。
在我国采用的是高斯-克吕格投影也称为高斯投影。
UTM 投影和高斯投影都是横轴墨卡托投影的特例，只是投影的个别参数不同而已。
高斯投影是一种横轴、椭圆柱面、等角投影。
从几何意义上讲，是一种横轴椭圆柱正切投影。
如图左侧所示，设想有一个椭圆柱面横套在椭球外面，并与某一子午线相切（此子午线称为中央子午线或轴子午线），椭球轴的中心轴CC ’通过椭球中心而与地轴垂直。
高斯投影满足以下两个条件：1、 它是正形投影；2、 中央子午线投影后应为x 轴，且长度保持不变。
将中央子午线东西各一定经差（一般为6度或3度）范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面沿某一棱线展开，便构成了高斯平面直角坐标系，如下图２－５右侧所示。
坐标变换总结
姓名：
日期：2011.11.4
坐标变换的总结
一．由三项坐标系变换到两相旋转坐标系
1.三相到两相静止坐标系的变换首先，确定三相电压的相序：
cos()
2cos()34cos()3A m B m c m u U wt u U wt u U wt ππ==-
=-
在坐标图上表示三相到两相静止坐标系上的变换，如图所示：
图13-2s 变换
由上图，我们可以将A u 、B u 、c u
转化到两相静止坐标系上，具体等式如下：
211()3222()322A B C B C u u u u u αβ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
插入系数2、
3是为了保证两相坐标系中合成矢量的模与各相电压的模相同。
后面会推导为什么可以保证模不变。
整理成状态方程的形式，如下：
1112223022A B C u u u u u αβ⎡⎤⎡⎤--
⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦2.两相静止坐标系到两相旋转坐标系的变换
我们知道，在两相静止坐标系中，合成矢量是旋转的，我们令旋转坐标系的d 轴与旋转矢量重合，则可将其转换到旋转坐标系中。
坐标变换如图所示：
图22s-2r 变换
此时，我们可以得到，两相静止坐标系到两相旋转坐标系的公式，其中θ一般取为A 相的相角。
cos sin sin cos d q u u u u αβθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
⎣⎦二．反向变换
1.若需要将旋转坐标系转化到静止坐标系上，只需相应的将d-q 向αβ-投影即
可，根据图二，我们可以得到：
cos sin sin cos d q u u u u αβθθθθ⎡⎤⎡⎤-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2.同理，根据图1，我们可以将αβ-分别投影到A 、B 、C 上，获得其逆变换：
102133221322A B C u u u u u αβ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
三．关于乘以2/3保持模不变的问题首先，我们已经能够确定了电压相序
cos()
2cos()34cos()3A m B m c m u U wt u U wt u U wt ππ==-
=-经过变换后：
211()322
A B c u u u u α=--
进而，我们可以推知：
211()322
B A
C U U U U α∙
∙∙∙=--22211()322211(1)32223()32A A A A A A U a U aU U a a U U ∙∙∙∙∙∙
=--=--==其中，a=23j e π。
同理，我们可以求的A
q U jU ∙∙=-即
cos()
cos(2d A m q m u u U wt u U wt π
===-合成矢量
sin t cos cos()cos()2
d q
m m t
jarc g t m U u ju U wt jU wt U e ωωπ
=+=+-=显然，此时空间相量的模和时间相量的模相等。
至于为什么要保持模不变，我没找到相关的说明，谈一下我的理解。
如果只考虑坐标变换的话，那么乘不乘这个系数并没有什么实际意义，也就是说，之所以乘这个系数是为了方便后续模块的使用。
在此次实验中，αβ-的输出主要是给SVPWM 使用。
而6个扇区的参考量i U 的大小一般取的是直流侧电压。
乘以2/3后，合成空间矢量的模就等于输出正弦信号的的模，我们知道输出正弦信号的最大值m U 必然会小于直流侧电压DC U ,这样取值后，在SVPWM 调制时带来的好处就是可以保证在任意扇区两个非零导通时间12PWM t t T +≤.我们知道，当12PWM t t T +=时合成矢量旋转形成一个圆，在该圆内，合成的输出信号为正弦信号，超出这个圆，输出为非正弦信号。
也就是说，乘以系数2/3之后，可以保证合成矢量在上述的圆内，保证输出为正弦信号。
四．MATLAB 中的abc-aq 变换
首先，MATLAB 中的电压参考量取得和我们常用的不同，为正弦信号，如下所示：
sin()
2sin()34sin()3A m B m c m u U wt u U wt u U wt ππ==-
=-和我们的相位相差了90度，相应的其dq 轴的选取也和我们不同（实际上MATLAB 中的q 轴和我们的d 轴重合）。
我们不关心他具体是怎么变换的，我们更关心他的输出和我们变换方式下的输出是否一致。
下面是我的推导过程：1.按照我们的的变换方式，输入为余弦信号，
cos()
2cos()34cos()3A m B m c m u U wt u U wt u U wt ππ==-
=-输出为：
224cos cos()cos()333224sin sin()sin()333d A B C q A B C u u t u t u t u u t u t u t ππωωωππωωω⎡⎤=
+-+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-----⎢⎥⎣⎦
在MATLAB 中，输入为正弦信号，和我们的相位相差了90度，其输出为：224sin sin()sin()333224cos cos()cos()333d A B C q A B C u u t u t u t u u t u t u t ππωωωππωωω⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=
+-+-⎢⎥⎣⎦我们知道，在两个变换中，旋转角都是取得A 相的相角，也就是说在MATLAB 的变换中，其相角相当于余弦量的相角加上90度，sin cos 2t t πωω=+，
将该式带入到MATLAB 的输出中，并化简，我们可以得到：
22224cos cos()cos()333224sin sin()sin()333d A B C q A B C u u t u t u t u u t u t u t ππωωωππωωω⎡⎤=
+-+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-----⎢⎥⎣⎦这个表达式和按照我们变换方式变换获得的输出是一致的，也就是说，MATLAB 的dq 相当于将我们的dq 轴旋转了90度，但是dq 本身就是一个旋转的坐标系，因而我们可以认为，这两种方式获得的输出是完全等价的。
另外，在MATLAB 中，为了验证两种变换方式下，控制方式相同，我们可以交换dq 的控制信号，观察实际的控制效果，来证明刚才的结论是否成立。
对于基于电压矢量的控制，如果我们令Iqref=0的话，那么输出电流应该和
电网电压同相位。
如果这两种变换方式不等效的话，则电流和电压不可能同相位。
按照这种思想，在MATLAB中仿真，得到输出结果如图所示，此时变换输出Iq 与Iqref=0做差，做为PI控制器的输入信号。
而将dq的控制信号交换后，可得下面的输出，也就是说，此时电流和电网电压相位相差了90度。
由上两图可知，两种变换的输出是等效的。
