高二数学(理)参考答案

2022-2023学年四川省内江市高二下学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．已知三维数组(2,1,0)a =- ，(1,,7)b k = ，且a b ⊥，则实数k 的值为（）A ．-2B ．2C ．27D ．-9【答案】B【分析】根据两个向量垂直可得其数量积为0，然后解方程即可【详解】根据a b ⊥，可得：0a b ⋅= 则有：20k -=解得：2k =故选：B2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．至少有一个黑球与都是红球B ．至少有一个红球与都是红球C ．至少有一个红球与至少有1个黑球D ．恰有1个红球与恰有2个红球【答案】D【分析】A.至少有一个黑球与都是红球,是对立关系，因此能判断A 不符合要求；B.至少有一个红球包括两球都是红球，二者不互斥，不符合要求；C.至少有一个红球与至少有1个黑球，含有同时发生的情况，不符合要求；D.恰有1个红球与恰有2个红球，二者符合题目要求.【详解】A.至少有一个黑球与都是红球,二者不会同时发生，是互斥关系，任取2个球时，这两个事件又一定会有一个发生，因此二者又是对立事件，不符合题目要求；B.至少有一个红球包括两球都是红球，因此二者会同时发生，不是互斥关系，不符合要求；C.至少有一个红球与至少有1个黑球，二者都含有恰有一个红球和一个黑球的情况，会有同时发生的可能，不是互斥关系，不符合要求；D.恰有1个红球与恰有2个红球，二者不会同时发生，是互斥事件，但二者有可能都不会发生，比如取到的两球都是黑球，故二者不是对立事件，符合题目要求.故选：D3．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，且m α⊂，n β⊂，下列命题正确的是（）A ．如果//m β，那么//αβB ．如果//αβ，那么//m nC ．如果m β⊥，那么αβ⊥D ．如果αβ⊥，那么m β⊥【答案】C【分析】根据已知条件判断线线、线面以及面面位置关系，可判断ABD 选项的正误，利用面面垂直的判定定理可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为m α⊂，n β⊂，//m β，则α、β平行或相交，A 错；对于B 选项，因为m α⊂，n β⊂，//αβ，则m 、n 平行或异面，B 错；对于C 选项，因为m α⊂，n β⊂，m β⊥，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 对；对于D 选项，因为m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则//m β或m β⊂或m 与β相交，D 错.故选：C.4．设a R ∈，若直线1:280l ax y +-=与直线2:(1)50l x a y +++=平行，则a 的值为（）A ．1B ．2-C ．1或2-D ．23-【答案】C【分析】根据直线的一般式判断平行的条件进行计算.【详解】10a +=时，容易验证两直线不平行，当10a +≠时，根据两直线平行的条件可知：28115a a -=≠+，解得1a =或2a =-.故选：C.5．过点(1,1)P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，则k 的范围是（）A ．2k >B ．07k <<C ．7k <D ．27k <<【答案】D【分析】过点(1,1)P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，即点(1,1)P 在圆外，即P 到圆心的距离大于圆的半径，则把圆的方程化为标准方程后，找出圆的圆心和半径，利用两点间的距离公式求出点(1,1)P 到圆心的距离，由d r >且70k ->，即可求解.【详解】把圆的方程化为标准方程得()()22127x x k ++-=-，即圆心坐标为()1,2-，半径为7r k =-，点(1,1)P 到圆心的距离为()()221+1+125d =-=，∵P 在圆外时，过点P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，∴d r >，即57k >-,且70k ->，解得27k <<，故选：D .6．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，12AA AB ==，D ，E ，F 分别是1BB ，1AA ，11AC 的中点，则直线EF 与CD 所成角的余弦值为（）A ．12B ．22C ．12-D ．0【答案】D【分析】方法一：根据异面直线夹角的定义，延长11,AC AC ，使111,C M AC CN AC ==，连接111,,,,,AC CM DM B M B F MN ，分析图形结合余弦定理可求直线EF 与CD 所成角的余弦值；方法二：将三棱柱补成四棱柱，结合异面直线夹角的定义确定夹角，根据余弦定理与勾股定理可求得直线EF 与CD 所成角的余弦值；方法三：根据三棱柱的几何性质，建立空间直角坐标系，按照空间坐标运算求解直线EF 与CD 所成角的余弦值即可.【详解】解：方法一：延长11,AC AC ，使111,C M A C CN AC ==，连接111,,,,,AC CM DM B M B F MN ，如图所示．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，12AA AB ==，易知1////,5,22EF AC CM CD CM ==，22222222111113313DM B D B M B D B F FM =+=++=++=．设直线EF 与CD 所成角为θ，易知()22222252213cos cos 022522DC CM DMDCM DC CMθ+-+-=∠===⋅⨯⨯，∴直线EF 与CD 所成角的余弦值为0．故选：D ．方法二：如图，将三棱柱补成四棱柱，其中两个三棱柱全等．取PB 中点Q ，连接DQ ，由棱柱性质易知//EF DQ ，∴CDQ ∠为EF 与CD 所成角或其补角．连接CQ ，由题知2,1,1BC BQ BD ===，∴5,2CD DQ ==，又120CBQ ∠=︒，∴在CBQ △中由余弦定理可得2222212cos 1221272CQ BQ BC BQ BC CBQ ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭∴7CQ =在CDQ 中，2227CQ CD DQ =+=，∴90CDQ ∠=︒∴直线EF 与CD 所成角的余弦值为0．故选：D ．方法三：如图，取AC 中点为O ，连接,OB OF ，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，12AA AB ==，易得FO ⊥平面ABC ，则,FO OB FO AC ⊥⊥，又2AB BC ==，O 为AC 中点，所以OB AC ⊥，则以O 为原点，以,,OB OC OF 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．所以()()()()()0,0,0,0,1,0,3,0,1,0,0,2,0,1,1O C DF E -，则()()0,1,1,31,1EF CD ==-，，所以011cos ,025EF CD EF CD EF CD⋅-+===⨯⋅∴直线EF 与CD 所成角的余弦值为0．故选：D ．7．甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（）A ．从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定B ．从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力C ．从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好D ．从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好【答案】D【分析】由图找出甲乙打靶的成绩，分别计算出甲乙的平均数、方差、中位数，结合折线图逐项分析可得答案.【详解】由图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，甲的平均数为24687789910710甲+++++++++==v ，甲的方差为()()()()()()()222222222747672772872971075.410甲-+-+-+⨯-+⨯-+⨯-+-==s乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙的平均数为9578768677710乙+++++++++==v ，乙的方差为()()()()()2222229757267477287 1.210乙-+-+⨯-+⨯-+⨯-==s ，所以22乙甲<s s ，从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定，故A 正确；从两人射击命中环数折线统计图走势看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，甲更有潜力，故B 正确；甲打靶的成绩为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，中位数为7.5，乙打靶的成绩为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，中位数为7，甲9环及9环以上的次数3次，甲9环及9环以上的次数1次，甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，故从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好，故C 正确；甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，甲的中位数7.5大于乙的中位数7，从平均数和中位数相结合看，甲成绩较好，故D 错误.故选：D.8．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（）A ．100πB ．600C ．200πD ．300π【答案】C【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为π3的圆弧构成，所以该零件底面周长为π32020π3⨯⨯=，故其侧面积为200π．故选：C.9．已知三棱锥S ABC -所有顶点都在球O 的球面上，且SA ⊥平面ABC ，若1SA AB AC BC ====，则球O 的表面积为（）A ．52πB ．5πC ．53πD ．73π【答案】D【分析】设O '为ABC 的外接圆的圆心，取SA 的中点E ，求得ABC 的外接圆的半径33r =，且12O A '=，得到三棱锥S ABC -外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，设O '为ABC 的外接圆的圆心，取SA 的中点E ，分别连接OO '和OE ，则OO '⊥平面ABC ，OE ⊥SA ，因为SA ⊥平面ABC ，若1SA AB AC BC ====，可得ABC 的外接圆的半径33r O A '==，且12O O AE '==，在直角O OA '△中，可得22222317()()3212OA OO O A ''=+=+=，即三棱锥S ABC -外接球的半径为2712R =，所以球O 的表面积为2743S R ππ==.故选：D.10．若直线y kx =与圆22(2)(1)1x y ++-=的两个交点关于直线20x y b -+=对称，则k ，b 的值分别为（）A ．12k =-，5b =B ．12k =，3b =-C ．12k =-，4b =-D ．2k =，5b =【答案】A【分析】由题意分析得知直线20x y b -+=经过圆心求出b ；由直线y kx =与直线20x y b -+=垂直求出k 即可.【详解】因为直线y kx =与圆22(2)(1)1x y ++-=的两个交点关于直线20x y b -+=对称，所以直线20x y b -+=经过圆心()21，-，且直线y kx =与直线20x y b -+=垂直，所以()221021⎧⨯--+=⎨=-⎩b k 解得：512=⎧⎪⎨=-⎪⎩b k ，故选：A.11．已知直线:10l x y -+=，点(),0A a -、()(),00B a a >，若直线l 上存在点P 满足90APB ∠= ，则实数a 的取值范围为（）A ．2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．2,2⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】B【分析】设点(),P x y ，由勾股定理可得出222x y a +=，则直线l 与圆222x y a +=有公共点，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的取值范围.【详解】设点(),P x y ，因为90APB ∠= ，则222PA PB AB +=，即()()222224x a y x a y a +++-+=，整理可得222x y a +=，所以，点P 既在直线l 上，又在圆222x y a +=上，所以，直线l 与圆222x y a +=有公共点，因为0a >，且圆222x y a +=的圆心为原点，半径为a ，所以，()22111a ≤+-，可得22a ≥，故实数a 的取值范围为2,2⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭∞.故选：B.12．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不包含端点），若正方体棱长为1，则下列结论正确的有（）①直线1D P 与AC 所成角的取值范围是ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭②存在P 点，使得平面1APD ∥平面1C BD③三棱锥1D CDP -的体积为16④平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③【答案】D【分析】①建立平面直角坐标系，利用异面直线所称角的向量坐标法，即可求解；②当点P 为中点时，即可判断面面平行；③结合等体积转化11D CDP P CDD V V --=，即可求解；④讨论点P 的位置，作出截面，即可判断.【详解】①如图，连结1,AC D P ，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()11,0,1A ，()0,0,0D ，()10,0,1D ，()0,1,0C ，则有()1,1,0AC =- ，设11A P A B λ= ，()()()11111,0,00,1,11,,D P D A A B λλλλ=+=+-=-，()01λ∈，，所以()212211cos ,42221AC D P λλλλ--+==++，令()()22142f λλλ-=+，()0,1λ∈，则()()()()()22222421184404242f λλλλλλλ+---'==<++，所以()()22142f λλλ-=+在()0,1上单调递减，因为()102f =，()10f =，设直线1D P 与AC 所成角为α，所以120cos cos ,2AC D P α<=< ，又π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故直线1D P 与AC 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故①错误；②当点P 为1A B 的中点时，有1//AP C D ，AP ⊄平面1C BD ，1C D ⊂平面1C BD ，所以//AP 平面1C BD ，同理，1//AD 平面1C BD ，且1AD AP A = ，1,AD AP ⊂平面1APD ，所以平面11//APD C BD ，故②正确；③三棱锥1D CDP -的体积11111111113326D CDP P CDD CDD V V S AD --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ，故③正确；④设1A B 的中点为O ，连结11,,AP AD D P ，当点P 在线段OB （不包括端点）上时，此时平面1APD 截正方体所得的截面为梯形1AEFD ，如图，当点P 在O 点时，此时平面1APD 截正方体所得的截面为正三角形11AB D ,如图，当点P 在线段1OA （不包括端点）时，此时平面1APD 截正方体所得的截面为等腰三角形1AD G ，如图，12AD =，11D G AG =>，所以22211D G AG AD +>，1AGD ∠为锐角，该等腰三角形不可能为直角三角形，综上，可得④错误.故选：D二、填空题13．某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为01，02，…，80的80个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为03，13，…则样本中的最后一个个体编号是_______.【答案】73【分析】以系统抽样抽取样本规则解之即可.【详解】由抽取样本中的个体编号依次为03，13，…，可知抽取的两个相邻号码之差为10.说明样本以10个为一组，被分成了8组.抽出的编号依次为：3，13，23，33，43，53，63，73.则样本中的最后一个个体编号是73.故答案为：7314．若实数x 、y 满足约束条件131x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则31z x y =++的最小值是______．【答案】４【分析】按照简单的线性规划步骤逐步进行即可.对于可行域为封闭三角形，目标函数为截距型时，可用交点代入法求解.【详解】作出可行域，令Z =0，作直线l 0：310x y ++=，易知，将直线l 0平移过点A 时Z 取得最小值，将A 点坐标(1,0)代入目标函数得min 4Z =.故答案为：415．如图所示，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱1DD 上，12DE ED =，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度为__________．【答案】2【分析】设H 在棱1CC 上，且12CH HC =，I 在棱11C D 上，且112D I IC =，G 在棱CD 上，且2DG GC =，根据面面平行的判定定理，可得平面1//A BGE 平面1B HI ，结合已知中1//B F 平面1A BE ，可得F 落在线段HI 上，则答案可求.【详解】解：设H 在棱1CC 上，且12CH HC =，I 在棱11C D 上，且112D I IC =，G 在棱CD 上，且2DG GC=连接1B I ，1B H ，IH ，1CD ，EG ，BG ，则11////A B CD GE ，所以1A ，B ，E ，G 四点共面，由11//B H A E ，1A E ⊄平面1B HI ，1B H ⊂平面1B HI ，所以1//A E 平面1B HI ，同理1//A B 平面1B HI ，又111A B A E A = ，11,A B A E ⊂平面1A BGE ，所以平面1//A BGE 平面1B HI ，又因为1//B F 平面1A BE ，所以F 落在线段HI 上，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，所以1132233HI CD ===，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2．故答案为：2.16．若,A B 是圆()()()22:240C x y m m -+-=>上两点，且23AB =，若存在R a ∈，使得直线1:0l ax y -=与2:240l x ay a ++-=的交点P 恰为AB 的中点，则实数m 的取值范围为______.【答案】52,5⎡⎤-⎣⎦【分析】由直线与圆相交以及弦长23AB =，可得M 点的轨迹方程，又直线1:0l ax y -=与2:240l x ay a ++-=相交，可得交点P 的轨迹方程，由已知可得圆M 与圆P 有公共点，根据圆与圆的位置关系列出不等式，解出实数m 的取值范围．【详解】圆()()()22:240C x y m m -+-=>的半径2r =，M 为AB 的中点，且22223AB r MC=-=，解得1MC =，M ∴点的轨迹方程为()()()22210x y m m -+-=>，又直线1:0l ax y -=过定点()0,0Q ，2:240l x ay a ++-=即()420x a y -++=过定点()4,2S -，且12l l ⊥，则P 点是两垂线的交点，所以P 点在以QS 为直径的圆上，圆心为()2,1-，半径为11164522QS =+=，P ∴的轨迹方程为()()22215x y -++=，由于1l 的斜率存在，所以点P 的轨迹要去掉点()0,2-，由已知可得：圆M 与圆P 有公共点，5151MP ∴-≤≤+，即51151m -≤+≤+，又0m >，所以51151m -≤+≤+，解得525m -≤≤，故答案为：52,5⎡⎤-⎣⎦三、解答题17．已知直线()():231370l a x a y a +--++=，R a ∈.(1)证明直线l 过定点A ，并求出点A 的坐标；(2)在（1）的条件下，若直线l '过点A ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的12，求直线l '的方程.【答案】(1)定点A 的坐标为()2,1--(2)12y x =或122y x =--【分析】（1）整理方程为()23370x y a x y -++++=，然后解方程组230370x y x y -+=⎧⎨++=⎩可得答案；（2）设出直线方程，求出截距，利用截距之间的关系列方程求解.【详解】（1）直线()():231370l a x a y a +--++=可化为()23370x y a x y -++++=，则230370x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，∴直线l 过定点，且定点A 的坐标为()2,1--；（2） 直线l '过点()2,1--，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的12，则当直线l '过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为12y x =，即20x y -=；当直线l '的横纵截距均不为零时，设直线l '的方程为112x y a a +=，代入点()2,1--，得21112a a --+=，解得4a =-，此时直线l '的方程为142x y +=--，即240x y ++=，综上，直线l '的方程为20x y -=或240x y ++=.18．某小型企业甲产品生产的投入成本x （单位：万元）与产品销售收入y （单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.x （万元）357911y （万元）810131722（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率=-收入成本收入100%⨯）？相关公式：()()()1122211ˆ=nniii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---=--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-.【答案】（1）ˆ 1.75 1.75y x =+；（2）12万元的毛利率更大【分析】（1）根据题意代入数值分别算出ˆb与ˆa 即可得解；（2）分别把12x =与15x =代入线性回归方程算出ˆy再算出毛利率即可得解.【详解】（1）由题意7x =，14y =.()()()()()()()()5137814571014771314iii x x yy =--=--+--+--∑()()971714+--()117+-()221470-=，()()()()()()522222213757779711740i i x x=-=-+--+-+-=+∑，()()()51521ˆ 1.75iii ii x x y y bx x ==--==-∑∑，ˆ147 1.75 1.75a=-⨯=故y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.75 1.75yx =+.（2）当12x =时，ˆ22.75y=，对应的毛利率为22.7512100%47.3%22.75-⨯≈，当15x =时，ˆ28y=，对应的毛利率为2815100%46.4%28-⨯≈，故投入成本12万元的毛利率更大.【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面,ABCD ABCD 是直角梯形，,//AD DC AB DC ⊥，222AB AD CD ===，点E 在线段PB 上且12PE EB =.(1)证明直线//PD 平面AEC ;(2)证明直线BC ⊥平面PAC .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）作辅助线，即连接BD 交AC 于点O ，连接OE ,利用△DOC ∽△BOA 及12PE EB =，证明//PD OE ，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）通过计算证明AC BC ⊥，由PC ⊥平面ABCD 得到PC BC ⊥，利用线面垂直的判定定理证明即可.【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ,∵//AB DC ，2AB CD =,∴△DOC ∽△BOA ,即12DO DC OB AB ==，又∵12PE EB = ，∴12DO PE OB EB ==∴//PD OE又∵OE AEC ⊂面、PD AEC ⊄面∴//PD AEC面（2）∵PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PC BC ⊥，又∵2,1,AB AD CD AD DC ===⊥，且ABCD 是直角梯形，∴2AC BC ==，即222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，又∵PC AC C ⋂=，且,PC AC ⊂平面PAC ，∴BC ⊥平面PAC .20．某中学举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后，从中抽取了部分选手的成绩（百分制）作为样本进行统计，作出了茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：(1)求样本容量n 、抽取样本成绩的中位数及分数在[)80,90内的人数；(2)若从分数在[50,60)和[80,90)内的学生中任选两人进行调研谈话，求至少有一人分数在[50,60)内的概率．【答案】(1)25n =，中位数为73，4人(2)35【分析】（1）根据频率分布直方图可知组的频率等于该组的频数除以总的样本量，各个组的频率之和为1，根据茎叶图的特点直接可获得中位数所在位置；（2）总的事件总数是从分数在[50,60)和[80,90)内的学生中任选两人，待求的是至少有一人分数在[50,60)内，则分别计算出总的基本事件个数和至少有一人分数在[50,60)内的基本事件个数即可，然后根据概率的定义求出即可.【详解】（1）分数在[)50,60内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在[]90,100内同样有2人.由2100.008n=⨯解得：25n =根据茎叶图可知：抽测成绩的中位数为73分数在[80,90)之间的人数为：()25271024-+++=综上可得：样本容量25n =，中位数为73，分数在[80,90)内的人数为4人（2）设“若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，至少有一人分数在[50,60)内”为事件M .将[80,90)内的4人编号为a b c d ,,,；[50,60)内的2人编号为,A B 则在[50,60)和[80,90)内的任取两人的基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB ，共15个其中，至少有一人分数在[50,60)内的基本事件：,,,,,,,,aA aB bA bB cA cB dA dB AB ，共9个.故所求的概率得：93M =155P =()21．如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为22.(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角1A A C B --的大小.【答案】(1)2(2)π3【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则111111112211433333A A BC A A ABC A ABC AB BC C C B V S h h V S A A V ---=⋅===⋅== ，解得2h =，所以点A 到平面1A BC 的距离为2；（2）取1A B 的中点E ,连接AE ，如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥,又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以⊥AE 平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，122A B =，所以2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ，则1A B 的中点()0,1,1E ，所以()0,1,1AE =- ,()10,0,2AA =，()2,2,0AC =- ，设平面1AAC 的法向量为(),,n x y z =，则120220n AA z n AC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，解得0x y z =⎧⎨=⎩，取1x y ==，则平面1AAC 的一个法向量为()1,1,0n =r，由⊥AE 平面1A BC 可知，AE为平面1A BC 的一个法向量，设二面角1A A C B --为θ，则11cos cos ,222n AE n AE n AEθ⋅=<>===⨯⋅，且观察图可知，二面角1A A C B --为锐二面角，所以1cos 2θ=，则π3θ=，所以二面角1A A C B --的大小为π3.22．已知点()0,2P ，设直线l ：y =kx +b （b ，R k ∈）与圆22:4C x y +=相交于异于点P 的A ，B 两点.(1)若PA PB ⊥，求b 的值；(2)若||23AB =，且直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为233，求直线l 的斜率k 的值；(3)当||||4PA PB ⋅=时，是否存在一定圆M ，使得直线l 与圆M 相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)0(2)3k =±或33k =±(3)存在，定圆22:(2)1M x y +-=.【分析】（1）根据PA PB ⊥可知直线l 过圆224x y +=的圆心(0,0)，可得0b =；（2）由||23AB =得原点(0,0)O 到直线l 的距离为1，得221b k =+，再根据面积得243||3b k =，联立消去2b 可得k 的值；（3）联立直线与圆224x y +=，化为关于x 的一元二次方程，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理可得12y y +和12y y ，利用12y y +和12y y ，将||||4PA PB ⋅=化为2243k b b =-+，利用2243k b b =-+求出点(0,2)P 到直线y kx b =+的距离为1，由此可得结果.【详解】（1）因为PA PB ⊥，又(0,2)P 在圆224x y +=上，所以直线l 过圆224x y +=的圆心(0,0)，所以0b =.（2）因为||23AB =，圆224x y +=的半径为2，所以圆心(0,0)到直线l 的距离24(3)1d =-=，由点到直线的距离公式可得2||11b d k==+，得221b k =+，当0k =时，直线l 与坐标轴不能围成三角形，故0k ≠，在y kx b =+中，令0x =，得y b =；令0y =，得bx k =-，所以123||||23b b k ⋅-=，得243||3b k =，所以2431||3k k +=，解得||3k =或3||3k =，所以3k =±或33k =±.（3）联立224x y y kx b ⎧+=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(1)240k x kbx b +++-=，222244(1)(4)0k b k b ∆=-+->，即2244b k <+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221kb x x k +=-+，212241b x x k -=+，所以2121222()221k b y y k x x b b k +=++=-++221b k =+，2212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++2222222(4)211k b k b b k k -=-+++22241b k k -=+，所以||||PA PB ⋅22221122(2)(2)4x y x y =+-⋅+-=，所以222211224(2)4(2)16y y y y ⎡⎤⎡⎤-+-⋅-+-=⎣⎦⎣⎦，所以12(84)(84)16y y --=，所以12(2)(2)1y y --=，所以12122()30y y y y -++=，所以2222443011b k b k k --+=++，即2243k b b =-+，所以点(0,2)P 到直线y kx b =+的距离为2|2|1b k -++2|2|431b b b -=-++2|2|1(2)b b -==-，所以直线y kx b =+与以(0,2)P 为圆心，1为半径的圆相切，所以存在一个定圆22:(2)1M x y +-=，使得直线l 与圆22:(2)1M x y +-=相切.。

2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。

2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案命题教师：张金荣一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A 等于( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(－∞，0]D ．以上都不对2．函数f(x)=ln(x-2)-的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1,2） B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)3．函数f(x)=的定义域为（ ）A ． B. C. D.4．设a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b5．以下说法错误的是( )A ．命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2-3x+2≠0”B ．“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题D ．若命题p:∃x 0∈R,使得+x 0+1<0,则﹁p:∀x ∈R,则x 2+x+1≥06．函数y=lg|x |x 的图象在致是（ ）7．偶函数y=f （x ）在x ∈时，f （x ）=x-1，则f(x －1)＜0的解集是( )A ．{x|-1＜x ＜0B ．{x|x ＜0或1＜x ＜2C ．{x|0＜x ＜2D ．{x|1＜x ＜28．函数f(x)= 满足对任意成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若不等式x 2+ax+1≥0对于一切x(0,)恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a≥0B ．a≥-2C ．a≥-D ．a≥-310．已知函数f (x )＝的值域为[0，＋∞)，则它的定义域可以是（ ）A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0]11．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，() A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0，12]∪[2，＋∞) B ．[14，1)∪(1,4] C ．[12，1)∪(1,2] D ．(0，14]∪[4，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b= .14．已知函数f(x)是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x-1)<f()的x 的取值范围为__________15．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________．16．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝(12)1－x ，则 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝(12)x －3. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题(共70分)17．(12分)给定两个命题：：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果P ∨q 为真，P ∧q 为假，求实数的取值范围．18．（12分）对定义在实数集上的函数f (x )，若存在实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么称x 0为函数f (x )的一个不动点．(1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)有不动点(1,1)、(－3，－3)，求a 、b ；(2)若对于任意实数b ，函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围．19．(12分)已知f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，当x ∈[－1,0]时，函数解析式f (x )＝14x －a 2x (a ∈R)． (1)写出f (x )在[0,1]上的解析式；(2)求f (x )在[0,1]上的最大值．20．(12分)C D E AB P 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．21．(12分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，在正ΔABC 中，点D 、E 分别在边BC, AC 上,且,，AD ，BE 相交于点P.求证：(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆；(II) AP ⊥CP 。

年高二下学期数学（理）期末试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若复数z 满足()543=-z i ，则z 的虚部为 A. i 54- B.54- C. i 54 D.542. 命题“0232,2≥++∈∀x x R x ”的否定为A.0232,0200<++∈∃x x R xB. 0232,0200≤++∈∃x x R xC. 0232,2<++∈∀x x R xD. 0232,2≤++∈∀x x R x3. 已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，且(2)0.6P ξ<=，则(01)P ξ<<= A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.14. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A.()()q p ⌝∨⌝B.()q p ⌝∨C.()()q p ⌝∧⌝D.q p ∨5. 某校从高一中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[)[),60,50,50,40[)[),80,70,70,60 [)[)100,90,90,80加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知 高一共有学生600名，据此 统计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为A.588B.480C.450D.120 6. 若不等式62<+ax 的解集为()2,1-，则实数a 等于A.8B.2C.4-D.8- 7. 在极坐标系中，圆2cos 2sin ρθθ=+的圆心的极坐标是A. (1,)2πB. (1,)4πC. (2,)4πD. (2,)2π8. 已知2=x 是函数23)(3+-=ax x x f 的极小值点, 那么函数)(x f 的极大值为 A. 15 B. 16 C. 17 D. 189. 阅读如下程序框图， 如果输出5=i ,那么在空白矩形框中应填入的语句为 A. 22-*=i S B. 12-*=i S C. i S *=2 D. 42+*i10. 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号. 若η2-=ξa ，1)(=ηE , 则a 的值为A. 2B.2-C. 5.1D. 311. 观察下列数的特点：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是A ．10 B. 13 C. 14 D.10012. 若函数x x f a log )(=的图象与直线x y 31=相切，则a 的值为 A. 2e e B. e3e C. e e5D. 4ee第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13. 曲线⎩⎨⎧==ααsin 4cos 6y x （α为参数）与曲线⎩⎨⎧==θθsin 24cos 24y x （θ为参数）的交点个数 为__________个.14. 圆222r y x =+在点()00,y x 处的切线方程为200r y y x x =+，类似地，可以求得椭圆183222=+y x 在()2,4处的切线方程为________．15. 执行右面的程序框图，若输入的ε的值为25.0，则输出的n 的值为_______.16. 商场每月售出的某种商品的件数X 是一个随机变量, 其分布列如右图. 每售出一件可 获利 300元, 如果销售不出去, 每件每月需要保养费100元. 该商场月初进货9件这种商品, 则销售该商品获利的期望为____.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) X 1 2 3···12P121121 121 ···1210,1==S i1+=i i 输出i结束开始i 是奇数12+*=i S10<S是否否 是第9题图17. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在极 坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的单位长度，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为25sin ρθ=. （I ）求圆C 的直角坐标方程;（II ）设圆C 与直线l 交于,A B 两点，若点P 坐标为(3,5)，求PB PA ⋅的值.18. 目前四年一度的世界杯在巴西举行，为调查哈三中高二学生是否熬夜看世界杯用简单随机抽样的方法调查了110名高二学生，结果如下表：男 女 是 40 20 否2030（I ）若哈三中高二共有1100名学生，试估计大约有多少学生熬夜看球; （II ）能否有99%以上的把握认为“熬夜看球与性别有关”? 2()P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19. 数列{}n a 中，11=a ，且12111+=++n a a nn ，（*∈N n ）. (Ⅰ) 求432,,a a a ;(Ⅱ) 猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.20. 已知函数x x f ln )(=，函数)(x g y =为函数)(x f 的反函数.(Ⅰ) 当0>x 时, 1)(+>ax x g 恒成立, 求a 的取值范围; (Ⅱ) 对于0>x , 均有)()(x g bx x f ≤≤, 求b 的取值范围.性别是否熬夜看球21. 哈三中高二某班为了对即将上市的班刊进行合理定价，将对班刊按事先拟定的价格进行试销，得到如下单价x （元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y （元）908483807568（I ）求回归直线方程y bx a =+;（其中121()(),()n i i i ni i x x y y b a y bx x x ==∑--==-∑-）（II ）预计今后的销售中，销量与单价服从（I ）中的关系，且班刊的成本是4元/件，为了获得最大利润，班刊的单价定为多少元?22. 已知函数a x f -=)(x2ex a e )2(-+x +，其中a 为常数.(Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调区间;(Ⅱ) 设函数)e 2ln()(x ax h -=2e 2--+x a x (0>a ),求使得0)(≤x h 成立的x 的最小值; (Ⅲ) 已知方程0)(=x f 的两个根为21,x x , 并且满足ax x 2ln 21<<.求证: 2)e e (21>+x x a .数学答案一. 解答题:22. (Ⅰ) 因为)1)(12()(+-+='xxae e x f ,所以, 当0≤a 时, 函数)(x f 在),(+∞-∞上为单调递增函数; 当0>a 时, 函数)(x f 在)1ln,(a-∞上为单调递增, 在).1(ln ∞+a 上为单调递减函数.(Ⅲ) 由(Ⅰ)知当0≤a 时, 函数)(x f 在),(+∞-∞上为单调递增函数, 方程至多有一根,所以0>a ,211ln ,0)1(ln x ax a f <<>,又因为 =--)())2(ln(11x f e a f x 022)2ln(111>--+-x ae e a xx ,所以0)())2(ln(11=>-x f e a f x , 可得2)2ln(1x e ax<-.即212xx e e a<-, 所以2)(21>+x x e e a .。