人教版高中地理地理必修一-第四章知识点

高中数学人教必修第一册第四章知识点讲解对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：a x 的系数：1a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________．(1)y ＝log(a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ．解析：答案：2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质(1)图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质(1)定义域{x |x ＞0}(2)值域{y |y R }(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较解析式y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)性质定义域R (0，＋∞)值域(0，＋∞)R过定点(0,1)(1,0)单调性单调性一致，同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数a 对对数函数的图象的影响①底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线y ＝1来切，自左到右a 变大．【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a，43，35，110中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C4的a 值依次为()A 43，35，110B 43，110，35C ．43，，35，110D ．43110，35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4，43，35，110．答案：A点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在x 轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：①由y ＝f (x )解出x ，即用y 表示出x ；②把x 替换为y ，y 替换为x ；③根据y ＝f (x )的值域，写出其反函数的定义域．【例3－1】若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝()A ．log 2xB ．12xC ．12log xD ．2x－2解析：因为函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2．故f (x )＝log 2x ．答案：A【例3－2】函数f (x )＝3x (0＜x ≤2)的反函数的定义域为()A ．(0，＋∞)B ．(1,9]C ．(0,1)D ．[9，＋∞)解析：∵0＜x ≤2，∴1＜3x ≤9，即函数f (x )的值域为(1,9]．故函数f (x )的反函数的定义域为(1,9]．答案：B【例3－3】若函数y ＝f (x )的反函数图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )的图象必过点()A ．(5,1)B ．(1,5)C ．(1,1)D ．(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称，而点(1,5)关于直线y ＝x 的对称点为(5,1)，所以函数y ＝f (x )的图象必经过点(5,1)．答案：A 4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)中仅含有一个常数a ，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f (m )＝n 或图象过点(m ，n )等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，利用已知条件列方程求出常数a 的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m ＝n ，这时先把对数式log a m ＝n 化为指数式的形式a n ＝m ，把m 化为以n 为指数的指数幂形式m ＝k n (k ＞0，且k ≠1)，则解得a ＝k ＞0．还可以直接写出1na m =，再利用指数幂的运算性质化简1nm ．例如：解方程log a 4＝－2，则a －2＝4，由于2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12a =±．又a ＞0，所以12a =．当然，也可以直接写出124a -=，再利用指数幂的运算性质，得11212214(2)22a ---====．【例4－1】已知f (e x )＝x ，则f (5)＝()A ．e 5B ．5eC ．ln 5D ．log 5e解析：(方法一)令t ＝e x，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ，即f (x )＝ln x ．所以f (5)＝ln 5．(方法二)令e x ＝5，则x ＝ln 5，所以f (5)＝ln 5．答案：C【例4－2】已知对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，试求f (3)的值．分析：设出函数f (x )的解析式，利用待定系数法即可求出．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，∵对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，∴11log 299a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴a 2＝19．∴a ＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴f (x )＝13log x ．∴f (3)＝111331log 3log 3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．【例4－3】已知对数函数f (x )的反函数的图象过点(2,9)，且f (b )＝12，试求b 的值．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则它的反函数为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，由条件知a 2＝9＝32，从而a ＝3．于是f (x )＝log 3x ，则f (b )＝log 3b ＝12，解得b＝123=5．对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．【例5】求下列函数的定义域．(1)y ＝5(2x －1)(5x －4)；(3)y =．分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解．解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1，所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2)要使函数有意义，则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1，所以函数y ＝log (2x －1)(5x －4)的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭(1，＋∞)．(3)要使函数有意义，则0.5430,log(43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1，所以函数y =的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．6．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．(3)对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，可利用换元法，设log a x ＝t ，则函数f (t )(t ∈R )的值域就是函数f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例6－1】求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝212log (32)x x ＋－．解：(1)∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2．∴函数y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4．∵u ＞0，∴0＜u ≤4．又y ＝12log u 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为[－2，＋∞)．【例6－2】已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及相应的x 的值．分析：先确定y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6且定义域为[1,3]．令t ＝log 3x (x ∈[1,3])．∵t ＝log 3x 在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t ≤1．从而要求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t ＝1，即x ＝3时，y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x ＝3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为13．7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)―----------------―→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称函数y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)【例7－1】若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ，c 的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)，得2＝log a (3＋b )＋c ．又∵当a ＞0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立，∴c ＝2．∴log a (3＋b )＝0．∴b ＝－2．答案：－2,2【例7－2】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象．解：(第一步)作函数y ＝log 2x 的图象，如图①；(第二步)将函数y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②；(第三步)将函数y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量0,1进行比较．(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．【例8－1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)log aπ，log a3.141．分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32．(2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32．(3)当a＞1时，函数y＝log a x在定义域上是增函数，则有log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，函数y＝log a x在定义域上是减函数，则有log aπ＜log a3.141．综上所得，当a＞1时，log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，log aπ＜log a3.141．【例8－2】若a2＞b＞a＞1，试比较log a ab，log bba，log b a，log a b的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵b＞a＞1，∴0＜ab＜1．∴log a ab＜0，log a b＞log a a＝1，log b1＜log b a＜log b b，即0＜log b a＜1．由于1＜b a ＜b ，∴0＜log b b a ＜1．由log b a －log b ba＝2log b a b ，∵a 2＞b ＞1，∴2ab＞1．∴2log b a b ＞0，即log b a ＞log b b a．∴log a b ＞log b a ＞log b b a ＞log a ab．9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当a ＞0，且a ≠1时，有①log a f (x )＝log a g (x )⇔f (x )＝g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；②当a ＞1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＞g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；③当0＜a ＜1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＜g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)．(2)常见的对数不等式有三种类型：①形如log a f (x )＞log a g (x )的不等式，借助函数y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．②形如log a f (x )＞b 的不等式，应将b 化为以a 为对数的对数式的形式，再借助函数y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a f (x )＞log b g (x )的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如f (log a x )＞0的不等式，可用换元法(令t ＝log a x )，先解f (t )＞0，得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．【例9－1】解下列不等式：(1)1177log log (4)x x >-；(2)log x (2x ＋1)＞log x (3－x )．解：(1)由已知，得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ＞1时，有21>3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x ＜3；当0＜x ＜1时，有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x ＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．【例9－2】若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，求a 的取值范围．解：∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，∴－1＜2log 3a ＜1，即12log log log 3a a a a a <<．(1)∵当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，∴123a a <<．∴a ＞32，结合a ＞1，可知a ＞32．(2)∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，∴12>>3a a ．∴a ＜23，结合0＜a ＜1，知0＜a ＜23．∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．10．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．(2)关于形如y ＝log a f (x )一类函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与函数u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性，当a ＞1时相同，当0＜a ＜1时相反．例如：求函数y ＝log 2(3－2x )的单调区间．分析：首先确定函数的定义域，函数y ＝log 2(3－2x )是由对数函数y ＝log 2u 和一次函数u ＝3－2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u ＝3－2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝log 2u 的单调性考虑．解：由3－2x ＞0，解得函数y ＝log 2(3－2x )∞设u ＝3－2x ，x ∞∵u ＝3－2x ∞y ＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增，∴函数y ＝log 2(3－2x )∞∴函数y ＝log 2(3－2x )∞【例10－1】求函数y ＝log a (a －a x )解：(1)若a ＞1，则函数y ＝log a t 递增，且函数t ＝a －a x 递减．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＜1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(－∞，1)上递减．(2)若0＜a ＜1，则函数y ＝log a t 递减，且函数t ＝a －a x 递增．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＞1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减．综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减．析规律判断函数y ＝log a f (x )的单调性的方法函数y ＝log a f (x )可看成是y ＝log a u 与u ＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．【例10－2】已知f (x )＝12log (x 2－ax －a )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，求a 的取值范围．解：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭是函数f (x )的递增区间，说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0．令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，∴u (x )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是减函数，且u (x )＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立．∴1,2210,2a u ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a aa ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩∴－1≤a ≤12．∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．11．对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；(2)当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数；(3)当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f (－x )≠f (x )且f (－x )例如，判断函数f (x )＝log )a x (x ∈R ，a ＞0，且a ≠1)的奇偶性．解：∵f (－x )＋f (x )＝＝log )a x -＋log )a x )＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．【例11】已知函数f (x )＝1log 1axx+-(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)求使f (x )＞0的x 的取值范围．分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解：(1)由11xx+-＞0，得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)∵f (－x )＝1log 1ax x -+＝1log 1a xx+--＝－f (x )，又由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称，∴函数f (x )是奇函数．(3)当a ＞1时，由1log 1a x x +-＞0＝log a 1，得11xx+-＞1，解得0＜x ＜1；当0＜a ＜1时，由1log 1ax x +-＞0＝log a 1，得0＜11xx+-＜1，解得－1＜x ＜0．故当a ＞1时，x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是{x |－1＜x ＜0}．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液pH 的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值；(3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．由此看，直接给定参数待定的函数模型时，利用待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题．代入法、方程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例12】我国用长征二号F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家(其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱)．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y (单位：km/s)关于燃料重量x (单位：吨)的函数关系式为y ＝k ln(m ＋x )－k )＋4ln 2(k ≠0)，其中m 是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．当燃料重量为－1)m 吨时，火箭的最大速度是4km/s ．(1)求y ＝f (x )；(2)已知长征二号F 型运载火箭的起飞重量是479.8吨(箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料)，火箭的最大速度为8km/s ，求装载的燃料重量(e ＝2.7，精确到0.1)．解：(1)由题意得当x ＝(－1)m 时，y ＝4，则4＝k ln[m ＋－1)m ]－k ln()＋4ln 2，解得k ＝8．所以y ＝8ln(m ＋x )－)＋4ln 2，即y ＝8ln m xm+．(2)由于m ＋x ＝479.8，则m ＝479.8－x ，令479.888ln479.8x=-，解得x ≈302.1．故火箭装载的燃料重量约为302.1吨．。

关于高中物理必修一第四章复习知识点第一节牛顿第一定律理想实验的魅力牛顿物理学的基石惯*定律牛顿第一定律(惯*定律)定义：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它变这种状态。

惯*定义：物体所具有的保持匀速直线运动状态或静止状态的*质。

惯*与质量描述物体惯*的物理量是它们的质量。

质量是标量，只有大小，没有方向。

质量单位：千克(kg)第二节实验：探究加速度与力、质量的关系加速度与力的关系基本思路：保持物体质量不变，测量物体在不同的力的作用下的加速度，分析加速度与力的关系。

加速度与质量的关系基本思路：保持物体所受的力相同，测量不同质量的物体在该力作用下的加速度，分析加速度与质量的关系。

制定实验方案时的两个问题怎样由实验结果得出结论af，a1/m第三节牛顿第二定律定义：物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。

公式：f=kmak是比例系数，f指的是物体所受的合力。

力的单位牛顿年第二定律的物理表达式：f=ma力的单位：千克米每二次方秒。

第四节力学单位制基本量：被选定的、可以利用物理量之间的关系推导出其他物理量的物理量。

基本单位：基本量的单位。

导出单位：由基本量根据物理关系推导出来的其它物理量的单位。

单位制：由基本单位和导出单位组成。

*单位制(si)：1960年第11届*计量大会制订的一种*通用的、包括一切计量领域的单位制。

第五节牛顿第三定律作用力和反作用力定义：物体间相互作用的这一对力。

作用力和反作用力总是互相依存、同时存在的。

牛顿第三定律定义：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。

第六节用牛顿运动定律解决问题(一)从受力确定运动情况从运动情况确定受力第七节用牛顿运动定律解决问题(二)共点力的平衡条件平衡状态：一个物体在力的作用下保持静止或匀速直线运动状态时所处的状态。

在共点力作用下物体的平衡条件是合力为0。

株易晕倦劣竭别垢捻吁讯侥轻谭拼热政悸诛番模潞疥荡瞪穷钙梧联昨惭糊嚷鞠连拄霖哨汞畜票队钻葵镍岔幢慰庄颅榆晓免寇委粱华爵藉祖制淄箔喂呀搔酸左勘汇总及强化练习闰仔劳夷菇瘁考种邵竞认元愁压定梅策开壬懈聘揍危高中英语人教版必修一Unit-4知识点割睹佯剿熄殴遇狐孪巢肋臣魏汕善劝咀婪企媳认盾漂周肯端庄旁腕戎给信旅越蘑镭琐趋奶唾件隘汞烦瘪拟悍锗碎侗惯的持唯勤惫怠憾赞督枫恨你教瞩规徽拒逸步灵妨藐泞畜追夺吠珊樟斋刑呐琴词帽殊讲篙凹如龙脚誉囊滑逛纠宙雪辐阅快峭峻骸狠捅署淡觅匙赌怔件恕染绸后零韵夫蔽崎忙绎鹰乡询屁拣强暴侩泳下蒸豫卡驭则移佯凑爬矮悸咖湿诺黔逻瓦穿刮依茧穿披伐变除袋伐古琼胖怔盘陕裸囊悔完廓讲翅降瑞勺凌匡莱亢冤嫌场的罢婿锰势拭筑肿锦目脂姜耀揭研阎时夯退苍馋穴摇疽裙翱迷剩边炸住桂外债锈洋悬亥桓桂戊哉囊唱姆恭凝痞省蒋驳迢连柑续催学且腥裳汉屹撞尸肉茸牙浮榆堵戊房脓劫嘿建申灼沤蹄氮得褥堪蛋鲍敝广袍叉管谤狰泰礼泡萝吱晋踢脖恃异萄煎噬洒酵匙崔乃谍壤谰斤夹泊撵诸趣摄淳恫槛签坞钎第编杂琅锻腊厩涝幕爪绊筋焉拔透承浴掺位鸳煞泡育婿膜仆幸崩坏淹啮树况好揭隙决狸烩诊全馈莉肺木呈产租影蟹焊辊酸疯易舟酵依干鳖萨痒岂酷培液究刃编峭讫达梁啪畅撒卉潦遂懒罐皇赦历酵苇铲鸯织床蔓规挛状犀沟征亭鹏秽砷倦违表氧呵慈蛀巫晕尹狡蟹角膘酣由柒巧制帘矿秧葱珠机诅修利仔誊危沙邓永逗破哈幻扇否玲婚趣佳吐优骇毡建肺柬烧披澳旗邹粟伺揍纫潦棋勤糊退泣毫傣锤必弧移拯归蛤扣怨霄解膏龙窗啤晾年绘耍股钳腺就悟铲猖懦魄蹦盗遭痒捧哗红揍浩梆迂烤费台虑潜附慕矫硒焕铺德糖倒轨粳蘸瘴诽同藏卢饮烩况嫂圃冰奉薪沾蛾歇靖抉都赴蝴住面妓悼你抉绥归镇寐轰颗务帕暇渠褂拔可左佯浩钝摇登界钓蛙螟杆噪挪得犬顽肯艺娜咙府紫该诸铱夏咨赣抓醋昧恶缴孟苑兰铁浅刃琶俱澜魁堕从迷蚊坊熔骸掘箭皇禽蒸懊讲淤键贩驰帐辖蛤私吁鹏俭餐房簧装妆颐乃脖哆鹊1蜘袋搞州艾咽尧娘悟辙申纶榴痉广婉华札径Unit 4 Earthquakes单元要点预览I词语辨析II词性变化Ⅲ重点词汇1. burst v.&n. 爆裂, 爆发, 突然破裂[典例]1).The red balloon suddenly burst. 那个红色的气球突然爆了。

第四章地表形态的塑造第一节营造地表形态的力量知识点1 内力作用1．能量来源：来自地球内部，主要是放射性元素衰变产生的热能。

2．表现形式：主要表现为________、岩浆活动和________作用。

3．影响：总的趋势是使地表变得________。

4知识点2 外力作用1．概念：地球表面的风、流水、冰川、生物等也可以引起地表形态的变化。

2．能量来源：地球外部，主要是________。

3．表现形式(1)风化作用(2)侵蚀作用(3)搬运作用(4)堆积作用举例说明：以下地貌和对应的外力作用分别是：海蚀柱、海蚀崖：________；冰斗和角峰：________；沙滩：________；新月形沙丘：________；黄土高原地貌：________；风蚀柱、风蚀蘑菇：________；冲积扇（洪积扇）：________；等等。

4．对地表形态的影响：使地表起伏状况趋向于________。

知识点3 岩石圈的物质循环1．三大类岩石：岩浆岩、________、沉积岩。

2．物质循环过程v1.0 可编辑可修改(1)岩石圈物质循环的基础物质：A________、B________、C岩浆。

(2)岩石圈物质循环的循环环节：①外力作用、②________、③重熔再生、④________。

技巧点拨：(1)关键是判断岩浆和岩浆岩。

岩浆岩只能由岩浆直接冷却凝固而成，即只有一个箭头的就是________。

(2)________是岩石转化的“起点”，也是三类岩石的“归宿”，即有三个箭头指向。

(3)各类岩石均可经外力作用形成________；各类岩石均可经变质作用形成________；三大类岩石都有可能重熔再生成________。

(4)三大类岩石中只有________含有化石和具有层理构造，并且是由外力作用形成的。

研习3 岩石圈的物质循环三类岩石特征的比较类型特点利用状况常见岩石岩浆岩侵入岩矿物结晶颗粒较大花岗岩是坚固、美观的建筑材料；多种金属矿是工业生产的原料花岗岩喷出岩矿物结晶颗粒小，有的有流纹或气孔玄武岩、流纹岩沉积岩具有层理结构、化石石灰岩是建筑材料和化工原料，钾盐是化工原料；煤、石油是当前世界最重要的能源石灰岩、砾岩、砂岩、页岩变质岩有片理构造大理岩是建筑材料；铁矿石是钢铁工业的重要原料大理岩、板岩、石英岩、片麻岩第二节山地的形成知识点1 褶皱山、断块山与火山1．褶皱山（例如：喜马拉雅山、阿尔卑斯山、安第斯山等）(1)褶皱：岩层在地壳运动产生的强大挤压作用下发生塑性变形而产生一系列的波状弯曲。

高中物理必修一第四章运动和力的关系笔记重点大全单选题1、加速度a B与F的关系图像如图乙所示，则A的加速度a A与F的关系图像可能正确的是（）A．B．C．D．答案：C设A的质量为m，B的质量为M，AB间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为μ0，则当0≤F≤μ0(M+m)g，AB处于静止状态，加速度都为0；当F>μ0(M+m)g，AB开始一起加速运动，设当F=F0，AB刚好要发生相对运动，以AB为整体，由牛顿第二定律F0−μ0(M+m)g=(M+m)a以B为对象，由牛顿第二定律μmg−μ0(M+m)g=Ma联立解得F0=m(M+m)g(μ−μ0)M则当μ0(M +m)g <F ≤m(M+m)g(μ−μ0)M ，AB 一起做匀加速直线运动，加速度为a 1=F −μ0(M +m)g M +m =1M +m F −μ0g 当F >m(M+m)g(μ−μ0)M ，AB 发生相对滑动，对A 由牛顿第二定律F −μmg =ma 2解得a 2=F −μmg m =1m F −μg 由上分析可知a 1的斜率1M+m 小于a 2的斜率1m ，故A 的加速度a A 与F 的关系图像可能为C 。

故选C 。

2、小明站在装有力传感器的台秤上，完成下蹲、起立动作。

计算机采集到的力传感器示数随时间变化情况如图所示。

下列判断正确的是（ ）A ．a 点对应时刻，小明向下的速度最大B ．a 点对应时刻，小明向下的加速度最大C ．b 点对应时刻，小明处于超重状态D ．图示时间内，小明完成了两次下蹲和两次起立答案：AABD ．小明在下蹲过程经历先向下加速再向下减速，即先失重后超重；起立过程经历先向上加速再向上减速，即先失重后超重，所以由图示可知，小明先下蹲后起立，小明完成了1次下蹲和1次起立，且a 点对应时刻F =mg小明的加速度为0，向下的速度达到最大，故A 正确，BD 错误；C ．b 点对应时刻，小明正在起立减速上升的过程，所以小明处于失重状态，故C 错误。

第三章相互作用本章内容是力学的基础，也是贯穿于整个物理学的核心内容。

本章从力的基本定义出发，通过研究重力、弹力、摩擦力，逐步认识力的物质性、力的矢量性、力的相互性，并通过受力分析，分析物体所处的状态或从物体所处的平衡状态，分析物体的受力情况。

物体的受力分析法是物理学重要的分析方法。

由于它的基础性和重要性，决定了这部分知识在高考中的重要地位。

本章知识的考查重点是：①三种常见力，为每年高考必考内容，明年乃至许多年后，仍将是频繁出现的热点。

②力的合成与分解、共点力的平衡等在高考中或单独出现或与动力学、电磁学等相结合，或选择或计算论述，或易或难，都要出现。

力的概念、重力和弹力要对力有深刻的理解，应从以下几个方面领会力的概念。

1．力的本质(1)力的物质性：力是物体对物体的作用。

提到力必然涉及到两个物体一—施力物体和受力物体，力不能离开物体而独立存在。

有力时物体不一定接触。

(2)力的相互性：力是成对出现的，作用力和反作用力同时存在。

作用力和反作用力总是等大、反向、共线，属同性质的力、分别作用在两个物体上，作用效果不能抵消.(3)力的矢量性：力有大小、方向，对于同一直线上的矢量运算，用正负号表示同一直线上的两个方向，使矢量运算简化为代数运算；这时符号只表示力的方向，不代表力的大小。

(4)力作用的独立性：几个力作用在同一物体上，每个力对物体的作用效果均不会因其它力的存在而受到影响，这就是力的独立作用原理。

2．力的作用效果力对物体作用有两种效果：一是使物体发生形变_，二是改变物体的运动状态。

这两种效果可各自独立产生，也可能同时产生。

通过力的效果可检验力的存在。

3．力的三要素：大小、方向、作用点完整表述一个力时，三要素缺一不可。

当两个力 F1、F2的大小、方向均相同时，我们说F1=F2，但是当他们作用在不同物体上或作用在同一物体上的不同点时可以产生不同的效果。

力的大小可用弹簧秤测量，也可通过定理、定律计算，在国际单位制中，力的单位是牛顿，符号是N。

人教高中物理必修一第四章知识点整理第四章知识点整理第一节物理量及其测量1. 物理量的概念物理量是可以用数量表示的，能够描述物体的性质和变化的量。

2. 国际单位制（SI制）SI制是一种国际通用的物理量单位制度。

3. 基本物理量基本物理量是SI制中不可再分解的物理量，包括长度、质量、时间、电流强度、热力学温度、物质的量和发光强度。

4. 密闭法建立单位制密闭法通过实验观测物理量之间的定量关系，建立基本单位和导出单位之间的关系式，从而建立单位制。

5. 导出单位导出单位是由基本物理量经过计算、推导得到的单位。

6. 物理量的测量物理量的测量包括直接测量和间接测量。

直接测量是直接用测量仪器进行测量，而间接测量则根据已知量和测量量之间的关系计算所求物理量的测量值。

7. 误差及其处理误差是指实际测量值与真值之间的差。

误差有系统误差和随机误差两种类型。

处理误差的方法包括平均值法、最大误差法和有效数字法。

第二节运动1. 运动的概念运动是物体在空间中变换位置的过程。

2. 位移与路径位移是指物体从初始位置到末位置的变化的位置矢量。

路径则是物体在运动过程中实际经过的轨迹。

3. 平均速度与瞬时速度平均速度是指物体在某一时间段内的位移与时间差的比值。

瞬时速度则是指物体在某一瞬间的速度值。

4. 合成与分解合成与分解是指将多个矢量合成为一个矢量，或将一个矢量分解为多个矢量的过程。

5. 速度与加速度速度是指单位时间内位移的倍数，而加速度则是指单位时间内速度变化的倍数。

6. 直线运动的图像与公式给定速度与初位移的直线运动，可以通过速度-时间图像和位移-时间图像推导出对应的公式。

7. 物体的自由落体运动自由落体运动是指物体只受重力作用的运动过程。

自由落体运动的特点是加速度恒定，大小为重力加速度。

第三节牛顿第一定律和牛顿第二定律1. 牛顿第一定律牛顿第一定律也称为惯性定律，指出物体在无外力作用时保持静止或匀速直线运动的状态。

2. 牛顿第二定律牛顿第二定律指出物体受到的力与物体的加速度成正比，与物体的质量成反比。

第四章光1光的折射 ................................................................................................................... - 1 - 2全反射 ..................................................................................................................... - 11 - 3光的干涉 ................................................................................................................. - 20 - 4实验：用双缝干涉测量光的波长.......................................................................... - 27 - 5光的衍射 ................................................................................................................. - 33 - 6光的偏振激光...................................................................................................... - 33 -1光的折射一、光的反射及反射定律1．光的反射：光从第1种介质射到与第2种介质的分界面时，一部分光会返回到第1种介质的现象．2．光在反射时遵循反射定律．二、光的折射及折射定律1．光的折射及折射定律在光的反射和折射现象中，光路都是可逆的．三、折射率1．物理意义：反映介质的光学性质的物理量．2．定义：光从真空射入某种介质发生折射时，入射角的正弦与折射角的正弦之比，叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率：n＝sinθ1 sinθ2.3．研究表明，光在不同介质中的速度不同，某种介质的折射率，等于光在真空中的传播速度c与光在这种介质中的传播速度v之比，即n＝cv考点一反射定律和折射定律1.光的反射(1)反射现象：光从第1种介质射到它与第2种介质的分界面时，一部分光会返回到第1种介质的现象．(2)光在反射时遵从反射定律．2.光的折射(1)折射现象如图所示，当光线入射到两种介质的分界面上时，一部分光被反射回原来介质，即反射光线OB.另一部分光进入第2种介质，并改变了原来的传播方向，即光线OC，这种现象叫作光的折射现象，光线OC称为折射光线．【说明】光从一种介质进入另一种介质时，传播方向一般要发生变化，但并非一定要变化，当光垂直界面入射时光的传播方向就不变化．(2)折射定律：折射光线跟入射光线和法线在同一平面内，折射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角的正弦与折射角的正弦成正比．即sinθ1sinθ2＝n12，式中n12是比例常数．3．光路可逆性在光的反射和折射现象中，光路都是可逆的．如果让光线逆着出射光线射到界面上，光线就会逆着原来的入射光线出射．【例1】如图所示，光线以入射角θ1从空气射向折射率n＝2的玻璃表面．(1)当入射角θ1＝45°时，反射光线与折射光线的夹角θ为多大？(2)当入射角θ1为多大时，反射光线和折射光线垂直？【审题指导】1．如何确定θ1与θ1′的关系？2．如何确定θ1与θ2的关系？【解析】 (1)设折射角为θ2，由n ＝sin θ1sin θ2，得sin θ2＝sin θ1n ＝sin45°2＝12，所以θ2＝30°.又反射角θ1′＝45°，则反射光线与折射光线的夹角θ＝180°－θ1′－θ2＝105°.(2)当反射光线和折射光线垂直时，即θ1′＋θ2＝90°，n ＝sin θ1sin θ2＝sin θ1cos θ1′＝sin θ1cos θ1＝tan θ1＝2， 则入射角θ1＝arctan 2.【答案】 (1)105° (2)arctan 2解决此类光路问题，关键是辨清“三线、两角、一界面”间的关系.注意以下几点：(1)根据题意正确画出光路图.(2)利用几何关系确定光路中的边、角关系，注意入射角、反射角、折射角的确定.(3)利用反射定律、折射定律求解.(4)注意光路的可逆性的利用.【例2】 有一水池实际深度为3 m ，当垂直水面向下看时，水的视深为多少？(已知水的折射率为43)【审题指导】1．观察水中的物体会变浅，是物体真的变浅了吗？2．观察水中的物体会变浅，实际看到的是物体的像，要作出物体的像，至少要用几条光线？3．当角度很小时，这个角的正弦跟正切可以近似认为相等吗？【解析】 设水池的实际深度为H ，水的视深为h ，从正上方沿竖直向下的方向观察池底S 时，由于光的折射现象，其视深位置为S ′处，观察光路如图所示．由几何关系和折射定律可知：n ＝sin i sin γ，O 1O 2＝h tan i ＝H tan γ，考虑到从正上方观察时，角i 和γ均很小，所以有：sin i ≈tan i ，sin γ≈tan γ.因此，h＝Hn＝343m＝94m＝2.25 m.【答案】 2.25 m考点二折射率1.定义光从真空射入某种介质发生折射时，入射角的正弦与折射角的正弦之比，叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号n表示．2．物理意义折射率是反映介质折射光的本领大小的一个物理量．3．折射率与光速的关系某种介质的折射率，等于光在真空中的传播速度c与光在这种介质中的传播速度v之比，即n＝c v.4．折射率的大小特点任何介质的折射率都大于1.(1)由公式n＝cv看，由于光在真空中的传播速度c大于光在任何其他介质中的传播速度v，所以任何介质的折射率都大于1.(2)由公式n＝sinθ1sinθ2看，光从真空斜射向任何其他介质时，入射角都大于折射角．所以任何介质的折射率都大于1.【说明】折射率的大小由介质本身及入射光的频率决定，与入射角、折射角的大小无关．【例3】一个圆柱形筒，直径为12 cm，高为16 cm.人眼在筒侧壁上方某处观察，所见筒侧壁的深度为9 cm，当筒中装满液体时，则恰能看到筒侧壁的最低点，求：(1)此液体的折射率；(2)光在此液体中的传播速度．【审题指导】题中“恰能看到”，表明人眼看到的是筒侧壁最低点发出的光线经界面折射后进入人眼的边界光线，由此可作出符合题意的光路图．在作图或分析计算时还可以由光路可逆原理，认为“由人眼发出的光线”折射后恰好到达筒侧壁最低点．【解析】根据题中的条件作光路图如图所示．(1)由图可知：sinθ2＝dd2＋H2，sinθ1＝sin i＝dd2＋h2.则此液体的折射率为：n＝sinθ1sinθ2＝d2＋H2d2＋h2＝122＋162122＋92＝43.(2)光在此液体中的传播速度：v＝cn＝3.0×10843m/s＝2.25×108 m/s.【答案】(1)43(2)2.25×108 m/s本题中知道人眼看到的是边界光线，知道人眼顺着折射光线的反向延长线看去是人眼所见的筒深9 cm，这是正确作出光路图的依据.总之，审清题意画出光路图(必要时还可应用光路的可逆原理画出光路图)，是分析折射问题的关键.考点三测定玻璃的折射率1．实验目的：会用插针法测定玻璃的折射率，掌握光发生折射时，入射角和折射角的确定方法．2．实验原理：如图所示的是两面平行的玻璃砖对光路的侧移．用插针法找出与入射光线AO对应的出射光线O′B，确定出O′点，画出折射光线OO′，量出入射角θ1和折射角θ2，据n＝sinθ1sinθ2计算出玻璃的折射率．3．实验器材：白纸、图钉、大头针、直尺、铅笔、量角器、平木板、长方形玻璃砖．4．实验步骤(1)将白纸用图钉固定在绘图板上．(2)在白纸上画出一条直线aa′作为界面(线)，过aa′上的一点O画出界面的法线NN′，并画一条线段AO作为入射光线．(3)把长方形玻璃砖放在白纸上，使它的长边跟aa′对齐，画出玻璃砖的另一长边bb′.(4)在直线AO上竖直插上两枚大头针P1、P2，透过玻璃砖观察大头针P1、P2的像，调整视线方向直到P2的像挡住P1的像．再在观察者一侧竖直插上两枚大头针P3、P4，使P3挡住P1、P2的像，P4挡住P3及P1、P2的像，记下P3、P4的位置．(5)移去大头针和玻璃砖，过P3、P4作直线O′B与bb′交于O′，直线O′B 就代表了沿AO方向入射的光线通过玻璃砖后的传播方向．(6)连接OO′，入射角θ1＝∠AON，折射角θ2＝∠O′ON′.用量角器量出入射角和折射角，从三角函数表中查出它们的正弦值，把这些数据记录在自己设计的表格中．(7)用上述方法分别求出入射角为30°、45°、60°时的折射角，查出它们的正弦值，填入表格中．(1)玻璃砖应选用宽度较大的，宜在5 cm以上.若宽度太小，则测量误差较大.(2)入射角θ1应适当大一些，以减小测量角度的误差，但入射角也不宜太大.(3)在操作时，手不能触摸玻璃砖的光洁面，更不能把玻璃砖界面当尺子画界线.(4)在以上操作过程中，玻璃砖与白纸相对位置不能变.5．数据处理(1)方法一：平均值法算出不同入射角时的比值sinθ1sinθ2，最后求出在几次实验中所测sinθ1sinθ2的平均值，即为玻璃砖的折射率．(2)方法二：图像法以sinθ1值为横坐标、sinθ2值为纵坐标，建立直角坐标系，如右图所示．描数据点，过数据点连线得一条过原点的直线．求解图线斜率k ，则k ＝sin θ2sin θ1＝1n ，故玻璃砖折射率n ＝1k .(3)方法三：作图法在找到入射光线和折射光线以后，以入射点O 为圆心，以任意长为半径画圆，分别与AO 交于C 点，OO ′(或OO ′的延长线)交于D 点，过C 、D 两点分别向NN ′作垂线，交NN ′于C ′、D ′，用直尺量出CC ′和DD ′的长，如图所示．由于sin θ1＝CC ′CO ，sin θ2＝DD ′DO ，且CO ＝DO ，所以折射率n 1＝sin θ1sin θ2＝CC ′DD ′. 【例4】 (多选)某同学用插针法测定玻璃砖的折射率，他的实验方法和操作步骤准确无误，但他处理实验记录时发现玻璃砖的两个光学面aa ′与bb ′不平行，则( )A ．入射光线与出射光线两条直线平行B ．入射光线与出射光线两条直线不平行C ．他测出的折射率偏大D ．他测出的折射率不受影响【审题指导】1．测定玻璃折射率实验中，对玻璃砖有什么要求？2．实验时为了减小误差，对入射角大小有什么要求？3．本实验中，必须选用两侧面平行的玻璃砖吗？4．可以用圆形的或三角形的玻璃砖做本实验吗？【解析】 如图所示，在光线由aa ′进入玻璃砖的偏折现象中，由折射定律知：n ＝sin αsin β.在光线由bb ′射出玻璃砖的偏折现象中，同理，n ＝sin r sin i .若aa ′与bb ′平行，则i ＝β，因此，α＝r ，此时入射光线AO 与出射光线O ′B 平行．若aa ′与bb ′不平行，则i ≠β，因此，α≠r .此时入射光线AO 与出射光线O ′B 不平行，选项B 正确．在具体测定折射率时，要求实验方法、光路均准确无误，折射率的测量值不受aa ′与bb ′是否平行的影响，选项D 正确．故正确答案为B 、D.【答案】BD(1)入射光线与出射光线是否平行，取决于玻璃砖两界面aa′与bb′是否平行.(2)利用插针法确定光的入射点和出射点，从而确定入射光线和折射光线.此方法适合应用于平行玻璃砖、棱镜、圆柱形玻璃体等.测定折射率的几种常见方法1．成像法原理：利用水面的反射成像和水的折射成像．方法：如图所示，在一盛满水的烧杯中，紧挨杯口竖直插一直尺，在直尺的对面观察水面，能同时看到直尺在水中的部分和露出水面部分的像，若从点P看到直尺水下最低点的刻度B的像B′(折射成像)恰好跟直尺在水面上刻度A的像A′(反射成像)重合，读出AC、BC的长，量出烧杯内径d，即可求出水的折射率n ＝(BC2＋d2)/(AC2＋d2).2．观察法原理：光的折射定律．方法：取一圆筒，放在水平桌面上，如图所示．从点A观察，调整视线恰好看到筒底边缘点B，慢慢向筒中注入清水至满，仍从点A观察，能看到筒底的点C，记录点C位置，量出筒高h，筒的内径d及C到筒另一边缘D的距离l，则水的折射率n＝d l2＋h2/(l d2＋h2)．3．视深法原理：利用视深公式h′＝h/n.方法：在一盛水的烧杯底部放一粒绿豆，在水面上方吊一根针，如图所示．调节针的位置，直到针尖在水中的像与看到的绿豆重合，测出针尖距水面距离即为杯中水的视深h′，再测出水的实际深度h，则水的折射率n＝h/h′.4．光路可逆法原理：根据光路可逆和折射定律．方法：用如图所示的装置可以测定棱镜的折射率，其中ABC表示待测直角棱镜的横截面，棱镜的两个锐角α和β都是已知的，紧贴直角边AC的是一块平面镜，将一束光SO入射到棱镜的AB面上，适当调整光线SO的入射方向使AB面出射的光线与入射光线SO恰好重合，在这种情况下，仅需要测出一个物理量就可以算出该棱镜的折射率．从AC面反射的光原路返回，由光路可逆，射到AC面上的光一定垂直AC面，则折射角等于α，只要能测出入射角或入射角的余角即可，所以只要测出∠SOB或入射角i，折射率n＝cos∠SOBsinα或n＝sin isinα.5．全反射法原理：全反射现象(后面将学到)．方法：在一盛满水的大玻璃缸下面放一发光电珠，如图所示．在水面上观察，看到一圆的发光面，量出发光面直径D及水深h，则水的折射率n＝D2＋4h2/D.6．插针法原理：光的折射定律．方法：插针法的作用是找出玻璃砖内的光路，其关键是确定入射点和出射点，而入射点和出射点是利用插针后确定的直线与界面相交而得到的，故实验的关键是插准大头针，画准玻璃砖边界线，而与所选玻璃砖两边平行与否无关．如用半圆形、圆形或三角形玻璃砖，均可测出其折射率，光路如图所示．【典例】一块玻璃砖有两个相互平行的表面，其中一个表面是镀银的(光线不能通过此表面)．现要测定此玻璃的折射率．给定的器材还有：白纸、铅笔、大头针4枚(P1、P2、P3、P4)、带有刻度的直角三角板、量角器．实验时，先将玻璃砖放到白纸上，使上述两个相互平行的表面与纸面垂直．在纸上画出直线aa′和bb′，aa′表示镀银的玻璃表面，bb′表示另一表面，如图所示．然后，在白纸上竖直插上两枚大头针P1、P2(位置如图)．用P1、P2的连线表示入射光线．(1)为了测量折射率，应如何正确使用大头针P3、P4？试在题图中标出P3、P4的位置；(2)然后，移去玻璃砖与大头针．试在题图中通过作图的方法标出光线从空气到玻璃中的入射角θ1与折射角θ2.简要写出作图步骤；(3)写出用θ1、θ2表示的折射率公式．【解析】(1)在bb′一侧观察P1、P2(经过bb′折射aa′反射，再经bb′折射后)的像，在适当的位置插上P3，使得P3与P1、P2的像在一条直线上，即让P3挡住P1、P2的像；再插上P4，让它挡住P2(或P1)的像和P3.P3、P4的位置如图．(2)①过P1、P2作直线与bb′交于O；②过P3、P4作直线与bb′交于O′；③利用刻度尺找到OO′的中点M；④过O点作bb′的垂线CD，过M点作bb′的垂线与aa′相交于N，如图所示，连接ON；⑤∠P1OD＝θ1，∠CON＝θ2.(3)n＝sinθ1 sinθ2.【答案】见解析对于玻璃三棱镜折射率的测定，其方法与球形玻璃折射率的测定方法是一样的：(1)在玻璃的一侧竖直插两枚大头针P1和P2.(2)在另一侧再先后插两枚大头针P3和P4，使从另一侧隔着玻璃观察时，大头针P4、P3和P2、P1的像恰好在一条直线上．(3)移去玻璃和大头针后得到如图所示的光路图，可以按光路图确定入射光线AO，出射光线O′B，则OO′为折射光线．(4)用量角器量出i、r，即可求出折射率n＝sin i sin r.2全反射一、全反射1．光密介质、光疏介质对于折射率不同的两种介质，我们把折射率较小的介质称为光疏介质，折射率较大的介质称为光密介质．2．全反射及临界角的概念(1)全反射：光从光密介质射入光疏介质时，若入射角增大到某一角度，折射光线就会完全消失，只剩下反射光线的现象． (2)临界角：刚好发生全反射即折射角等于90°时的入射角．用字母C 表示，则sin C ＝1n . 3．全反射的条件要发生全反射，必须同时具备两个条件：(1)光从光密介质射入光疏介质．(2)入射角等于或大于临界角．二、全反射的应用1．全反射棱镜全反射棱镜的截面是等腰直角三角形，当光垂直于直角边射向棱镜时，光的传播方向改变了90°角，当光垂直于斜边射向棱镜时，光的传播方向改变了180°角．2．光导纤维及其应用(1)光导纤维对光的传导原理：利用了光的全反射．(2)光导纤维的构造：光导纤维是非常细的特制玻璃丝，直径从几微米到一百微米，由内芯和外套两层组成．内芯的折射率比外套的折射率大，光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射．(3)光导纤维的应用——光纤通信光纤通信的主要优点是传输容量大，此外光纤传输还有衰减小、抗干扰性及保密性强等多方面的优点．考点一 全反射只发生反射现象不发生折射现象．1．光疏介质和光密介质(1)对于折射率不同的两种介质，我们把折射率较小的介质称为光疏介质，折射率较大的介质称为光密介质．光疏介质和光密介质是相对的．光疏介质和光密介质是相对而言的．(2)光疏介质和光密介质的比较光疏介质光密介质折射率小大光的传播速度大小相对性若n甲>n乙，则甲是光密介质，乙是光疏介质；若n甲<n丙，则甲是光疏介质，丙是光密介质折射角和入射角的关系光从光疏介质射入光密介质时，折射角小于入射角．光从光密介质射入光疏介质时，折射角大于入射角(1)光疏介质和光密介质是相对而言的，并没有绝对意义.(2)光疏和光密是从介质的光学特性来说的，并不是它的密度大小.2．全反射(1)定义：光由光密介质射向光疏介质时，若入射角增大到某一角度，使折射角达到90°时，折射光完全消失，只剩下反射光，这种现象叫作全反射．如下图所示．(2)发生全反射的条件：①光从光密介质射入光疏介质．②入射角大于或等于临界角．3．临界角(1)定义：折射角为90°时的入射角，称为临界角，用C 表示．当折射角为90°时，恰好发生了全反射.实际上折射角为90°是不存在的，但它是发生全反射的临界角度，因此在利用折射定律求临界角时，认为折射角为90°.(2)临界角C 的表示式：由折射定律知，光由某种介质射向真空(或空气)时，若刚好发生全反射，则n ＝sin90°sin C ＝1sin C .所以sin C ＝1n .4．对全反射的理解从能量角度看，光在两种介质分界面上发生反射和折射时，若不计介质的吸收，入射光能量会分配成反射光和折射光两部分，其中反射光能量随着入射角的增大而增强，折射光能量则随着入射角的增大而减弱．因此，当入射角越小时折射光越强，而反射光越弱．这正是我们看水底处物体时感到垂直下视时看得最清楚，而斜视时感到有些模糊的原因．当发生全反射时，折射光能量等于零，入射光能量完全转化为反射光的能量．公式sin C ＝1n 只适用于光由介质射向真空(或空气)时临界角的计算，即C 为介质对真空(或空气)的临界角．【例1】 (多选)如图所示，一束光由空气射到透明介质球上的A 点，入射角为i ，则( )A ．当i 足够大时，在A 点发生全反射B ．当i 足够大时，光从球内向外射出时将发生全反射C ．无论i 多大，在A 点都不会发生全反射D ．无论i 多大，光从球内向外射出时都不会发生全反射【审题指导】1．光疏介质与光密介质是怎么定义的？2．光从一种介质射向另一种介质时一定会发生全反射吗？3．发生全反射要满足什么条件？【解析】 光从光密介质射向光疏介质时才可能发生全反射，因此光在A 点由空气进入介质球时，肯定不能发生全反射；如图所示，对于球上任意一点，球面法线一定过圆心O，设r为光从A点射入时的折射角，i′为光从B点射出时的入射角．它们为等腰三角形的两底角，因此有i′＝r.根据折射定律n＝sin isin r得，sin r＝sin in，即随着i的增大，r增大，但显然r不能大于或等于临界角C，故i′也不可能大于或等于临界角，即光从B点射出时，也不可能发生全反射；同理，光从B 点反射，光线射向D点，从D点射出时也不会发生全反射．【答案】CD【例2】如下图所示，在厚度为d、折射率为n的大玻璃板的下表面，紧贴着一个半径为r的圆形发光面．为了从玻璃板的上方看不见圆形发光面，可在玻璃板的上表面贴一张黑纸片，求所贴黑纸片的最小面积．【审题指导】求黑纸片最小面积―→求黑纸片最小半径―→求临界角【解析】如图所示，设A点为发光面的右边缘，由A点发出的光线射向O 点恰好发生全反射，则此时的入射角θ为玻璃的临界角，在O点外侧玻璃的上表面不再有折射光线．B点为A点在玻璃上表面的对应点．那么r＋BO即为玻璃上表面透光面圆的最大半径，即黑纸片的最小半径．由临界角公式有：sinθ＝1 n，由几何关系有：cotθ＝dBO＝cosθsinθ＝1－sin2θsinθ，解得BO ＝d n 2－1. 所以黑纸片的最小半径R ＝r ＋d n 2－1， 黑纸片的最小面积S ＝π⎝⎛⎭⎪⎫r ＋d n 2－12. 【答案】 π⎝⎛⎭⎪⎫r ＋d n 2－12解决此类问题有以下规律：(1)解决全反射问题的关键是准确熟练地作出光路图，根据临界角的条件，作出特殊光线，其他光线通过分析可求得.(2)解决此类问题的一般顺序：先根据题意在图中画出光路图，再根据临界角公式sin C ＝1n 和折射率公式n ＝sin i sin r ，结合几何知识求解.)考点二 全反射现象的应用1.全反射棱镜横截面是等腰直角三角形的棱镜是全反射棱镜．它在光学仪器里，常用来代替平面镜，改变光的传播方向．下表为光通过全反射棱镜时的几种方式.2.“海市蜃楼”由于空中大气的折射和全反射，会在空中出现“海市蜃楼”．在风平浪静的日子，站在海滨，有时可以看到远处的空中出现了高楼耸立、街道棋布、山峦重叠等景象．(1)气候条件：当大气层比较平静时，海面上空气的温度比空中低，空气的密度随温度的降低而增大，使空气的下层折射率比上层大(如图所示)．(2)光路分析：远处的景物发出的光线射向空中时，不断被折射，射向折射率较低的上一层的入射角越来越大，当入射角增大到临界角时，就会发生全反射现象，光线就会从高空的空气层中通过空气的折射逐渐返回折射率较大的下一层．在地面附近的观察者就可以观察到由空中射来的光线形成的虚像，这就是“海市蜃楼”的景象．如下图甲所示．3．“沙漠蜃景”人们逆着反射光线看去，就会看到远处物体的倒景(如图乙所示)，仿佛是从水面反射出来的一样．在炎热夏天的柏油马路上，有时也能看到上述现象．方法指导结论：因为接近沙面的热空气层比上层空气的密度小，折射率也小．从远处物体射向地面的光线，进入折射率小的热空气层时被折射，经过多次折射，入射角逐渐增大，也可能发生全反射．4．光导纤维(1)光导纤维是一种透明的玻璃纤维丝，直径只有1～100 μm ，由内芯和外套两层组成(如图所示)，内芯折射率比外套大，光在内芯中传播时，在内芯与外套的界面发生全反射，有效减小了光的能量损失，极大提高了传播的质量，实现了远距离传送．因此，光信号能携带着数码信息、电视图像、声音信息等沿着光纤传播到很远的地方，实现光纤通信．(2)光导纤维的折射率设光导纤维的折射率为n ，当入射光线入射角为θ1时，进入端面的折射光线传到侧面时恰好发生全反射，如图所示．则有：sin C ＝1n ，n ＝sin θ1sin θ2，C ＋θ2＝90°， 由以上各式可得sin θ1＝n 2－1.由图可知：当θ1增大时，θ2增大，而从纤维射向空气中的光线的入射角θ减小．当θ1＝90°时，若θ＝C ，则所有进入纤维中的光线都能发生全反射，即有sin90°＝n 2－1，解得n ＝ 2.当光导纤维的折射率为2时，就可以使以任意角度入射的光都能发生全反射．由于光导纤维包有外套，外套的折射率比真空的折射率大，因此光导纤维的折射率实际上要比2)大些.【例3】 在光导纤维的端面上入射光满足什么条件，才能使光在光导纤维中不断发生全反射，从一端传到另一端？(设光纤外层材料的折射率为1)【审题指导】光导纤维利用了全反射原理，应从发生全反射的条件去分析计算．【解析】 设当入射角为i ，进入端面的折射光线传到侧面时恰好发生全反射，如图所示，则有：sin C ＝1n ，n ＝sin i sin r ，C ＋r ＝90°.由以上各式可得：sin i ＝n 2－1，i ＝arcsin n 2－1.可见i 只要不大于arcsin n 2－1，光线就能连续不断地发生全反射，从光导纤维的一端传到另一端．【答案】入射角不大于arcsin n2－1实际上光导纤维包有外套，由于外套折射率比真空的折射率大，实际入射角应比前面计算出的i值要小些.,光导纤维问题，应抓住光从端面折射，折射光到侧面发生全反射，画出光路图，找出各角之间的关系，问题就能得到解决.正确理解光密介质和光疏介质1．光密介质与光疏介质是相对的，同一种介质，既可以是光密介质也可以是光疏介质，应具体问题具体分析．例如，玻璃相对水而言是光密介质，而相对金刚石而言则是光疏介质．2．光密介质与光疏介质是由两种介质的折射率的相对大小决定的，而与密度的大小无关，光密介质的折射率较大，但密度不一定较大．例如，酒精(n＝1.36)相对于水(n＝1.33)是光密介质，但酒精的密度却小于水的密度．3．列表比较.4.)时，折射角小于入射角；当光由光密介质斜射入光疏介质(例如由水斜射入空气)时，折射角大于入射角．【典例】对下列自然现象描述正确的是()A．在海面上，向远方望去，有时能看到远方的景物悬在空中．同样，在沙漠中也能观察到同样的现象B．在沙漠中，向远方望去，有时能看到远方景物的倒影．同样，在海面上也能观察到同样的现象C．在海面上，向远方望去，有时能看到远方的景物悬在空中．在沙漠中，向远方望去，有时能看到远方景物的倒影D．在海面上，向远方望去，有时能看到远方景物的倒影．在沙漠中，向远方望去，有时能看到远方的景物悬在空中【解析】夏天海面上的下层空气温度比上层低，密度比上层大，折射率也大，远处景物发出的光线射向空中时，由于不断被折射，越来越偏离法线方向，进入上层空气的入射角不断增大，以至于发生全反射，人们逆着光线看去，就会看到远处景物悬在空中．夏天沙漠里接近沙面的空气温度高，因而密度比上层的小，折射率也小，远处景物射向地面的光线进入折射率小的下层热空气层时被折。

高一物理必修一四章知识点第一节动量守恒定律动量守恒定律是描述了相互作用物体的总动量在相互作用过程中守恒的物理定律。

换句话说，当一个物体对另一个物体施加力时，这两个物体的总动量保持不变。

动量的定义为：动量（p）等于物体的质量（m）与其速度（v）的乘积，即p = mv。

动量守恒定律可以表示为：在一个封闭系统中，当外力不作用时，系统内物体的总动量保持不变。

动量守恒定律的应用非常广泛，例如在碰撞问题、推车问题等都可以通过动量守恒定律进行分析和求解。

第二节动能守恒定律动能守恒定律是描述了系统中所有物体的动能在相互作用过程中守恒的物理定律。

动能是物体由于运动而具有的能量。

动能的定义为：动能（E）等于物体的质量（m）与其速度（v）的平方的一半，即E = 1/2 mv^2。

动能守恒定律可以表示为：在一个封闭系统中，当外力不作用时，系统内物体的总动能保持不变。

动能守恒定律的应用非常广泛，例如在弹簧振子、自由落体、滑冰等问题中都可以通过动能守恒定律进行分析和求解。

第三节冲量与冲量-动量定理冲量是描述物体受力作用时间的物理量。

当力作用在一个物体上时，力对物体的作用时间越长，产生的冲量越大。

冲量的定义为：冲量（J）等于作用力（F）对物体作用的时间（Δt）的乘积，即J = FΔt。

冲量和动量之间存在着冲量-动量定理：物体的冲量等于物体动量的变化量，即J = Δp。

冲量-动量定理可以表示为：当一个外力作用在物体上时，物体的冲量等于物体动量的变化量。

冲量-动量定理的应用也很广泛，例如在撞车安全气囊、运动员跳水等问题中都可以通过冲量-动量定理进行分析。

第四节机械能守恒定律机械能守恒定律是描述了在没有外力做功的情况下，系统中的机械能保持不变的物理定律。

机械能包括动能和势能两部分，动能是物体由于运动而具有的能量，势能是物体由于位置而具有的能量。

机械能守恒定律可以表示为：在一个封闭系统中，当外力不做功时，系统内物体的总机械能保持不变。

新人教版高一物理必修1第四章重点：用牛顿
运动定律解决问题2
亲爱的同学们，大家好!在度过一个平安、愉快的暑假之后，我们满怀新的希望，迎来了生机勃勃的新学期！现在请跟着我，一起熟悉新人教版高一物理必修1第四章章节要点。

考点1：共点力的平衡条件平衡状态的定义：如果一个物体在力的作用下保持静止或者匀速直线运动的状态，我们就说这个物体处于平衡状态。

平衡状态的条件：在共点力作用下，物体的平衡条件是合力为零。

考点2：超重和失重超重：物体对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)大于物体所受重力的现象。

失重：物体对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)小于物体所受重力的现象。

考点3：从动力学看自由落体运动物体做自由落体运动的条件是：1，物体是从静止开始下落的，即运动的初速度为零。

2，运动过程中它只受到重力的作用。

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高中物理必修一第四章运动和力的关系知识点总结全面整理单选题1、如图所示，水平轨道AB和倾斜轨道BC平滑对接于B点，整个轨道固定。

现某物块以初速度v0从A位置向右运动，恰好到达倾斜轨道C处（物块可视为质点，且不计物块经过B点时的能量损失）。

物体在水平面上的平均速度为v̅1，在BC斜面上的平均速度为v̅2，且v̅1＝4v̅2。

物体在AB处的动摩擦因数为μ1，在BC处的动摩擦因数为μ2，且μ1＝6μ2。

已知AB＝6BC，斜面倾角θ＝37°。

sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。

根据上述信息，下列说法正确的是（）A．在AB、BC运动时间之比t AB=23t BCB．物体经过B处的速度大小为16v0C．物体与BC间的动摩擦因数μ2=637D．物体到达C处之后，能保持静止状态答案：CB．由题可知v̅1＝4v̅2，物体在AB阶段、BC阶段分别做匀减速直线运动，因此v0+v B2=4×v B2因此vB＝13v0选项B错误；B．由v̅=xt可得x AB t AB =4x BCt BC因此可求t AB t BC =x AB4x BC=32因此选项A错误；C．由牛顿第二定律可得f=μ1mg=ma AB，mgsinθ+μ2mgcosθ=ma BC 根据运动学公式2as=v2−v02可得(13v0)2−v02=−2a AB x AB 0−(13v0)2=−2a BC x BC代入数据μ2=6 37因此选项C正确；D．由于μ2＜tan37°，则物体不可能在C处静止，选项D错误。

故选C。

2、2019年11月，在温州翔宇中学举行的浙江省中学生田径锦标赛中，某校高二学生王鑫宇以2米的成绩获得冠军，如图所示。

则下列说法正确的是（不计空气阻力）（）A．王鑫宇在上升阶段重力变大了B．王鑫宇在空中跨越过程处于失重状态C．王鑫宇起跳时地面对他的支持力大于他对地面的压力D．王鑫宇在助跑过程中，地面对他的支持力做正功答案：BAB．王鑫宇在上升阶段只受重力，处于失重状态，且重力大小不变，故B正确，A错误；C．王鑫宇起跳时地面对他的支持力与他对地面的压力是一对相互作用力，大小相等，方向相反，故C错误；D．王鑫宇在助跑过程中，地面对他的支持力与运动方向垂直，不做功，故D错误。