向量的加法

B C
aaaaaaaaaa
b b
b
b
b bA
b
b
b
作法：[1]在平面内任取一点A ，
[2]作AB= a , BC= b ，
[3]则向量AC叫 a 与 b 的和。
这种作法叫做三角形法则
特例：
a b
A
B
C
ACab
方向相同
注： a + 0 = 0 + a = a
a b
CA
B
ACab
方向相反
Hale Waihona Puke 例1、已知向量 a 、b （如图），求作向量 a + b 。
A
B
练习答案
1、（1）
ab
b
a
（3） a b b
a
b
2、（1）
b
ab
ba
（2） b
ab b
a
（4） a b
b
a
b
（2） b
a
ab
a
向量的减法
定义：向量 a叫做向a的 量相反向量。
(a) a
aba(b)
b(ab)a
a(ab)b
ab
b
a
已知 a、 b,求作 ab。
光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。
有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就 是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是 伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何 必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己 经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的 鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来， 我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！ 为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友 情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离 开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白 云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可 取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起 的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每 刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里， 故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的《童年》，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没 有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵�

向量的运算法则向量是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理、工程、计算机等各个领域。

在实际应用中，我们常常需要对向量进行各种运算，而向量的运算法则则是我们进行这些运算的基础。

本文将介绍向量的基本运算法则，包括向量的加法、减法、数乘等。

1. 向量的加法设有两个向量a和b，表示为a=(a1, a2, a3)，b=(b1, b2, b3)。

则这两个向量的加法定义为：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)即将两个向量对应分量相加，得到一个新的向量。

这个操作遵循向量加法的法则，不仅可以对二维向量进行加法，也可以对三维向量进行加法，甚至可以拓展到更高维度的向量。

2. 向量的减法与向量的加法类似，向量的减法也是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

设有两个向量a和b，则它们的减法定义为：a -b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)向量的减法在几何意义上可以理解为将向量b沿着负方向平移后，再进行向量的加法操作。

3. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量与一个标量相乘的操作。

设有一个向量a 和一个标量k，则向量a与标量k的乘积定义为：ka = (ka1, ka2, ka3)即将向量a的每个分量都乘以标量k，得到一个新的向量。

向量的数乘操作可以用来改变向量的大小和方向，是向量运算中一个非常重要的操作。

4. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积，是向量运算中一个重要的概念。

设有两个向量a和b，则它们的数量积定义为：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3数量积可以用来计算两个向量之间的夹角，还可以计算向量在某一方向上的投影长度，具有很多实际应用价值。

5. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积，是向量运算中另一个重要的概念。

设有两个向量a和b，则它们的向量积定义为：a ×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)向量积的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量所在的平面，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。

向量加法的性质
结合律
向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)， 表明向量的加法不依赖于其组合的顺序。
交换律
向量加法满足交换律，即a+b=b+a，表明向量加法 的结果与元素的组合顺序无关。
分配律
向量加法不满足分配律，即a×(b+c)不等于 a×b+a×c。
02
向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本加法规则之一，它 表示将两个向量首尾相接，并连接它们的起点和终点，所形 成的平行四边形的对角线向量即为这两个向量的和。
详细描述
根据平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，即不 论向量的顺序如何，也不论如何分组，向量加法的结果都相 同。
向量加法的三角形法则
分配律
总结词
向量加法的分配律是指向量加法满足分配性 ，即向量加法可以分配到括号内的各个向量 上。
详细描述
分配律是向量加法的另一个重要运算律。根 据分配律，对于任意两个向量$vec{a}$和任
意标量$k$，有$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。这意味着标量可以与括
总结词
向量加法的三角形法则是向量的另一种加法规则，它表示将一个向量的起点平 移到另一个向量的终点，所形成的向量即为这两个向量的和。
详细描述
三角形法则在几何中常用于表示力的合成或速度的合成等物理现象。通过三角 形法则，可以直观地理解向量加法的几何意义，并用于解决实际问题。
向量加法的向量场意义
总结词
向量加法的向量场意义是指向量加法可以看作是向量场中点的运动变化。在向量场中，任意两点之间 的连线可以表示为向量，而这个向量的加法运算则反映了这两点之间的相对运动关系。

向量的加法1. 引言在线性代数中，向量是一种常用的数学工具，用于表示具有方向和大小的物理量。

向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。

向量的加法在数学、物理、计算机图形学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍向量的加法的基本概念和运算规则，并给出一些常见例子。

2. 向量的表示方法向量可以用多种方式进行表示，常见的方法有以下几种：2.1. 笛卡尔坐标表示法笛卡尔坐标表示法是最常见的表示向量的方法。

在笛卡尔坐标系中，一个向量可以表示为一个有序数对或有序数组，例如 (x, y) 或 [x, y]。

其中，x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。

2.2. 线段表示法线段表示法是将向量表示为连接两个点的有向线段。

线段的起点表示向量的原点，终点表示向量的终点。

线段的长度表示向量的大小，线段的方向表示向量的方向。

2.3. 极坐标表示法极坐标表示法将向量表示为极坐标系中的一个点。

极坐标由极径和极角组成，极径表示向量的大小，极角表示向量与极径的夹角。

3. 向量的加法规则向量的加法遵循以下规则：3.1. 用向量的分量进行加法向量的加法可以通过对应分量之间的加法实现。

对于两个向量 A 和 B，它们的加法结果 C 的分量等于 A 和 B 对应分量之和。

C_x = A_x + B_xC_y = A_y + B_y3.2. 用向量的线段进行加法向量的加法可以通过将两个向量的线段相连实现。

对于两个向量 A 和 B，它们的加法结果 C 的起点为 A 的起点，终点为 B 的终点。

3.3. 用向量的极坐标进行加法向量的加法可以通过将两个向量的极坐标相加实现。

对于两个向量 A 和 B，它们的加法结果 C 的极径等于 A 的极径加上 B 的极径，极角等于 A 的极角加上 B 的极角。

4. 示例4.1. 示例一假设有两个向量 A 和 B，其分量表示如下：A = [3, 4]B = [1, -2]根据向量的加法规则，可以计算出它们的和 C：C = [3 + 1, 4 + (-2)] = [4, 2]所以向量 A 和 B 的和为 C = [4, 2]。

向量的加法运算
目录
CONTENTS
• 向量的基本概念 • 向量的加法运算 • 向量加法的运算律 • 向量加法的应用
01
CHAPTER
向量的基本概念
向量的定义
总结词
向量是一个有方向和大小的几何量， 表示为有起点和终点的线段。
详细描述
向量不仅表示大小，还表示方向，通 常用箭头表示。向量的大小或模表示 起点和终点之间的距离，而方向表示 从起点到终点的路径。
详细描述
向量的模是用于衡量向量的大小，计算公式取决于向量的维度。在二维空间中，向量的模是 $sqrt{x^2 + y^2}$；在三维空间中，向量的模是 $sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}$。
02
CHAPTER
向量的加法运算
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点作为结果向量的起点， 以第二个向量的终点作为结果向量的终点，得到一个新的向量。
04
CHAPTER
向量加法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法常用于表示力的 合成与分解。例如，两个力的合成可 以通过向量加法得到它们的合力，而 力的分解则可以将一个力分解为多个 分力。
速度和加速度的叠加
在运动学中，向量的加法可以用于表 示速度和加速度的叠加。例如，一个 物体在多个方向上的运动可以通过向 量加法得到其最终的运动状态。
向量的表示方法
总结词
向量可以用多种方式表示，包括文字描、坐标表示和箭头 表示等。
详细描述
文字描述是直接用起点和终点的位置来描述向量。坐标表示 是在二维或三维空间中，用起点和终点坐标来表示向量。箭 头表示是用起点、终点和箭头来表示向量的方向和大小。

向量公式之蔡仲巾千创作设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将暗示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。

若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

与b的和，记作： ab.
C A
B
一、向量加法的定义：
已知向量 a，b. 在平面内任取一点A， 作AB a，BC b， 则向量AC叫作 a
与b的和，记作： ab.
C A
B
一、向量加法的定义：
已知向量 a，b. 在平面内任取一点A， 作AB a，BC b， 则向量AC叫作 a
与b的和，记作： ab. 即 a b AB BC AC，
例1
已知向量a, b，求作向量a b .
例1
已知向量a, b，求作向量a b .
O
例1
已知向量a, b，求作向量a b .
O A
例1
已知向量a, b，求作向量a b .
O A
B
例1
已知向量a, b，求作向量a b .
O A
B
如果三个向量相加，四个向量相 加，…n 个向量相加，和向量又如何？
D C D
A
B
A
C B
思考: 向量的加法满足交换律和结合律吗?
D C D
A
B
A
C B
思考: 向量的加法满足交换律和结合律吗?
D C D
A
B
A
C B
思考: 向量的加法满足交换律和结合律吗?
D C D
A
B
A
C B
思考: 向量的加法满足交换律和结合律吗?
D C D
A
B
A
C B
思考: 向量的加法满足交换律和结合律吗?
A
B
如果三个向量相加，四个向量相 加，…n 个向量相加，和向量又如何？ F J 将n个向量首尾 E K 相接，以第一个向量 的起点为起点，最后 D 一个向量的终点为终 点的向量，即为这n C 个向量的和向量。

6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算知识点一 向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a ，规定a ＋0＝0＋a ＝a以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC →就是a 与b 的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.知识点二 向量加法的运算律 向量加法的运算律一、向量加法法则例1 (1)如图①所示，求作向量a ＋b . (2)如图②所示，求作向量a ＋b ＋c .解 (1)首先作向量OA →＝a ，然后作向量AB →＝b ，则向量OB →＝a ＋b .如图③所示.(2)方法一 (三角形法则)如图④所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求.方法二 (平行四边形法则)如图⑤所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ， 则OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b .再以OD ，OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ， 则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求.跟踪1 如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量.(1)OA →＋OC →＝________；(2)BC →＋FE →＝________；(3)OA →＋FE →＝________. 答案 (1)OB → (2)AD →(3)0解析 (1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 是其对角线，故OA →＋OC →＝OB →.(2)因为BC →＝FE →，故BC →＋FE →与BC →方向相同，长度为BC →的长度的2倍，故BC →＋FE →＝AD →. (3)因为OD →＝FE →，故OA →＋FE →＝OA →＋OD →＝0. 二、向量加法运算律的应用 例2 化简：(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →；(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A → ＝AF →＋F A →＝0.跟踪2 已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝________. 答案 22解析 |AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →|＝2 2. 三、向量加法的实际应用例3 河水自西向东流动的速度为10 km/h ，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 3 km/h ，求小船的实际航行速度.解 设a ，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O 作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作矩形OACB ，连接OC →，如图，则OC →＝a ＋b ，并且OC →即为小船的实际航行速度.∴|OC →|＝|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝20(km/h)， tan ∠AOC ＝10310＝3，∴∠AOC ＝60°，∴小船的实际航行速度为20 km/h ，沿北偏东30°的方向航行.跟踪3 如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)解 如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →.由题意可得∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°. ∴|CE →|＝|CG →|cos 30° ＝10×32＝53(N)， |CF →|＝|CG →|cos 60° ＝10×12＝5(N).∴A 处所受的力为5 3 N ，B 处所受的力为5 N.。

向量的加法法则
向量的加法法则是指两个向量在空间中进行相加的规则。

例如，将两个相同方向的向量相加可以得到一个更长的向量，相反方向的向量相加则会得到一个更短的向量。

向量的加法有以下几种情况：
①平行向量的加法
如果两个向量方向相同，那它们就是平行向量，它们可以直接相加。

其结果等于两个向量相加的模长值的向量。

例如，向量a和向量b都指向右方（平行），向量a的模长为3，向量b的模长为4，那么它们的和向量c的模长为7，并指向右方。

②反平行向量的加法
如果两个向量方向相反，那它们就是反平行向量，它们在相加前需要先取反其一。

其结果等于两个向量模长的差值向量。

例如，向量a和向量b方向相反，向量a的模长为3，向量b的模长为4，那么反平行向量a+b的模长为1（|3-4|=1），并指向a的反方向。

③垂直向量的加法
如果两个向量互相垂直，那它们的和向量等于它们之间组成的直角三角形的斜边长。

可以用勾股定理求出。

即：向量c²=向量a²+向量b²。

例如，向量a垂直于向量b，且向量a的模长为3，向量b的模长为4，那么它们的和向量c的模长等于根号(3²+4²)=5，同时c的方向和第一象限的y轴正方向夹角45°。

总之，向量的加法法则虽然简单，但也需要在实际问题中加以注意，需要根据向量所处的情况而进行不同的运算处理，才能得到正确的结果。

向量公式设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。

若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。

B
a b
a
b
C
a+b
A
首 尾 顺 次 相 连
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为
向量加法的三角形法则。
注意： 1 两个向量的和仍是一个向量。
２．三角形法则：两向量首尾相连，和向 量由第一个向量的起点指向第二个向量的 终点. ３．当向量 a 与 b 不共线时，则 向量 a ＋ b , a , b 不同向，且/a+b/</a/+/b/
用向 形 注 。量 法 意 共则： 线对平 时于行 不两四 适个边
2. 平行四边形法则：
思考：两种方法作出的和向量是否一致？
ab
b
b ab a
a
注1：两种法则具有一致性. 注2：平行四边形法则对于两 个向量共线的情况不适用.
例1:如图，已知 a , b , c ，请作出 a + b , b + a , b + c
D
AB BC CD DE AE
C
C
c
A
b
a
B
AB BC CA 0
A
B
例 2 ．一艘船从 A 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对 岸的方向行驶，同时江水的流速为向东2km/h
(1) 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度 （ 2 ）求船实际航行的速度的大小与方向 . （用与江水速 度间的夹角表示，精确到度）
（1）
ab a b
b
（2）
b
ab
a
b
（3）
ab
（ 4）
C
a b
B
a
b
b
ab
O
b a

线性代数中的向量
运算
在线性代数中，向量加法是基本 的线性运算之一，可以用来解决 线性方程组、矩阵运算等问题。
解析几何中的向量
运算
在解析几何中，向量加法可以用 来表示点的位置、直线的方向等 几何量，以及进行相关的几何运 算。
在计算机图形学中的应用
图形变换
在计算机图形学中，向量加法可 以用来实现图形的平移、旋转、
结合律
$(overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{CD}) + overset{longrightarrow}{EF} = overset{longrightarrow}{AB} + (overset{longrightarrow}{CD} + overset{longrightarrow}{EF})$
详细描述
几何法中，向量被表示为有方向的线段。向量加法通过将一个向量的起点与另一个向量的终点相连， 形成一个新的向量，该向量的长度和方向即为两个向量相加的结果。这种方法直观易懂，适用于初学 者理解向量加法的几何意义。
代数法
总结词
代数法是一种基于向量的模和夹角进行 加法运算的方法。
VS
详细描述
在代数法中，向量被表示为模长和夹角的 形式。向量加法通过将两个向量的模长相 加，再根据两个向量的夹角来计算合力的 方向和模长。这种方法适用于解决向量问 题时，特别是涉及向量的合成与分解等问 题。
详细描述
三角形法则是一种更直观的向量加法方法。通过将一个向量 分解为两个部分，一部分是另一个向量的相反向量，另一部 分是与原向量共线的向量，然后将这两个部分相加，即可得 到原向量的和。
标量与向量的加法

04
物理中的向量加法主要用于描述速度、力等矢量量，通过向量加法可以计算出矢量的合成效果。
总结词
在物理中，速度和力等都是矢量量，它们的合成不能简单地进行标量相加，而需要使用向量加法。例如，当有两个力同时作用于一个物体时，其合力的方向和大小可以通过向量加法来计算。
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解析几何中的向量加法主要用于研究几何图形的位置关系和变换。
总结词
向量加法的几何意义是将两个向量首尾相连，形成一个更长的向量。
总结词
向量加法的几何意义是将两个向量首尾相连，形成一个更长的向量。这个新的向量的长度等于两个原始向量长度的和。同时，向量加法满足交换律和结合律，即不论向量的顺序如何，也不论如何分组，向量的和都是相同的。
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向量加法的性质
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在解析几何中，向量加法被广泛应用于研究几何图形的位置关系和变换。例如，在平面向量中，两个向量的和可以表示为从起点到终点的有向线段，从而可以研究几何图形的位置和方向。
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总结词：向量加法的结合律是指向量加法满足结合律，即改变向量加法的组合顺序不会影响向量的和。
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总结词：向量加法与数乘的结合律是指数乘和向量加法满足结合律，即根据向量加法和数乘的定义，数乘和向量加法满足结合律。具体来说，对于任意实数$k$和$l$以及任意两个向量$overset{longrightarrow}{A}$和$overset{longrightarrow}{B}$，有$(koverset{longrightarrow}{A}) + (loverset{longrightarrow}{B}) = (kl)(overset{longrightarrow}{A} + overset{longrightarrow}{B})$。这意味着我们可以自由地改变数乘和向量的组合顺序，结果仍然是相同的。

、向量的加法向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量的加法OB+OA=OC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0向量的减法AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被向量的减法减”a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；向量的数乘当λ＜0时，λa与a反方向；向量的数乘当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。

o
1.向量的加法：
2 5 3
0
1
2
3
4
5
6
7
A
a+b=? a b
A
C
a+b a
=
AC
b
B
a+b=
AB + BC
例1：已知向量a、 b,求作向量a+b。 b a
O A
三 角 形 法 则
B
作法：在平面内任取一点O，作OA=AB=b, 则
OB=a+b.
a+b=b+a
D
a
C
a+b
A
b
B
b+a
a
（a+b)+c=a+(b+c)
0 1 2 3 4 5 6
5-3=?
7 8
例3.已知：向量a、b如图所示，则ab=? O a A a b b a-b B
BA= a-b
注意方向呦！
例4.已知：如图，a//b,怎样做出
a-b?
a -b b
O
A
b -b b
B OB=
a
O
OA=
a-b
a-b
例5.已知：向量a,b,c,d,求作向量ab,c-d。
b d c
B A
BA =a-b
DC =c-d
a
a
b
O
d c
D C
例：如图：平行四边形ABCD中， AB=a,AD=b,用a,b表示向量 AC,DB。
解：由作向量和的平 行四边形法则，得 AC=a+b; 由作向量差的方法， 知DB=AB-AD=a-b.
A
D b a

2.2 平面向量的线性运算
2．2.1 向量加法运算及其几何意义
1．向量加法的定义
两个向量和求的运算源自叫做向量的加法．2.向量加法的三角形法则和平行四边形法则
(1)三角形法则：已知向量 a，b，在平面上 → → 任取一点 A，作AB＝a，BC＝b，则向量
AC
叫做 a 与 b 的和(或和向量)。
→ → 即 a＋b＝AB＋BC＝
AC .上述求两个向量和的作图法则，
叫做向量求和的三角形法则． 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝a.
向量加法的三角形法则讲究:首尾相接
(2)平行四边形法则：已知两个不共线向量 → → a，b，作OA＝a，OB＝b，以 OA，OB 为
邻边作▱OACB，则向量 OC 就是 a 与 b 的和．
(3)当 a 与 b 反向时，且|a|≥|b|，
结论则 a＋b 与 a 的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.
(4)当 a 与 b 反向时，且|a|<|b|
结论则 a＋b 与 b 的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
易错题 因忽略特殊向量而出错 【示例】 下列命题： ①如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反， 那么 a＋b 的方向必 与 a，b 之一的方向相同；
→ → BE＝GE； → → → → → → → → → → → ②EG＋CG＋DA＋EB＝EG＋GD＋DA＋AE＝ED＋DA＋AE＝ → → EA＋AE＝0.
题型二
利用向量证明几何问题
【例 2】 已知四边形 ABCD 的对角线 → → → → AC 与 BD 相交于点 O，且AO＝OC，DO＝OB. 用向量法证明：四边形 ABCD 是平行四边形． → → [思路探索] 证明四边形 ABCD 为平行四边形，只需证AB＝DC. 解 → → → → → → AB＝AO＋OB，DC＝DO＋OC.

向量加减法公式
向量加法和减法是在向量空间中进行的基本操作。

它们可以帮助我们计算多个向量之间的总和或差异。

向量加法的公式如下：
对于两个n维向量A和B，它们的和向量C可以表示为：
C = A + B = (A1 + B1, A2 + B2, ..., An + Bn)
例如，如果有两个二维向量A = (2, 3)和B = (1, -4)，它们的和向量C可以计算为：
C = (2 + 1, 3 + (-4)) = (3, -1)
向量减法的公式如下：
对于两个n维向量A和B，它们的差向量D可以表示为：
D = A - B = (A1 - B1, A2 - B2, ..., An - Bn)
例如，如果有两个二维向量A = (2, 3)和B = (1, -4)，它们的差向量D可以计算为：
D = (2 - 1, 3 - (-4)) = (1, 7)
向量加法和减法具有一些重要的性质：
1. 交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A
2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)，(A - B) - C ≠ A - (B -
C)
3. 零向量：对于任意向量A，都有A + 0 = A，A - 0 = A，其中0是全为零的向量。

在实际应用中，向量加法和减法可以用于计算两个向量的合力、位置变化等。

同时，它们也可以用于解决几何和物理问题，如平面几何中的位移、速度、加速度等概念。