人教B版数学选修1-1 章末综合测评2 圆锥曲线与方程

章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程

(满分：150分 时间：120分钟)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．椭圆9x2＋y2＝36的短轴长为( )

A．2 B．4 C．6 D．12

B [椭圆9x2＋y2＝36变形为x24＋y236＝1，∴a2＝36，b2＝4，∴b＝2，短轴长为2b＝4.]

2．抛物线y＝16x2的准线方程是( )

A．x＝4 B．x＝－4

C．y＝164 D．y＝－164

D [由抛物线方程x2＝116y，可知抛物线的准线方程是y＝－164.]

3．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是 ( )

A．x2＋y2＝2

B．x2＋y2＝4

C．x2＋y2＝2(x≠±2)

D．x2＋y2＝4(x≠±2)

D [点P的轨迹是以MN为直径的圆，又P为直角三角形的顶点，∴点P不能与M，N两点重合，故x≠±2.]

4．已知椭圆x225＋y29＝1上不同的三点A(x1，y1)，B4，95，C(x2，y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列，则x1＋x2的值为( )

A．4 B．8

C．16 D．无法确定

B [由题意，得5－45x1＋5－45x2＝2×5－45×4，化简得x1＋x2＝8.]

5．双曲线x2m－y2n＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦

点重合，则mn的值为( )

A．316 B．38 C．163 D．83

A [抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，

故双曲线的一个焦点是(1,0)，

所以m＋n＝1，且1m＝2，

解得m＝14，n＝34，故mn＝316.]

6．一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于点O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后展开纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为( )

A．椭圆 B．双曲线

C．抛物线 D．圆

A [∵折痕所在的直线是线段AQ的垂直平分线，

∴|PA|＝|PQ|.又|PA|＋|OP|＝r(r为圆形纸片的半径)，∴|PQ|＋|OP|＝r＞|OQ|.由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆．]

7．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为 ( )

A．y2＝±4x B．y2＝±8x

C．y2＝4x D．y2＝8x

B [由题可知抛物线的焦点坐标为a4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y＝2x－a4，令x＝0，可得点A的坐标为0，－a2，所以S△OAF＝12×|a|4×|a|2＝4，得a＝±8，故抛物线的方程为y2＝±8x.]

8．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为A(3,4)，则此双曲线的方程为( )

A．x216－y29＝1 B．x23－y24＝1

C．x29－y216＝1 D．x24－y23＝1

C [由已知可得交点A(3,4)到原点O的距离为圆的半径，则半径r＝32＋42＝5，故c＝5，所以a2＋b2＝25，又双曲线的一条渐近线y＝bax过点A(3,4)，故3b＝4a.联立 a2＋b2＝25，3b＝4a，解得 a＝3，b＝4，故选C.]

9．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )

A．5 B．2 C．3 D．2

D [不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，

∴M点的坐标为(2a，3a)．

∵M点在双曲线上，∴4a2a2－3a2b2＝1，a＝b，

∴c＝2a，e＝ca＝2，故选D.]

10．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若PF→＝3QF→，则|QF|＝( )

A．52 B．83 C．3 D．6

B [如图所示，

抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线l的方程为x＝－2，准线与x轴的交点为N(－2,0)，|FN|＝4.过点Q作准线的垂线，垂足为M，则由抛物线的定义

知|QM|＝|QF|.因为PF→＝3QF→，所以|PQ|＝2|QF|＝2|QM|.又由三角形相似，得|QM||FN|＝|PQ||PF|，所以|QM|＝23×4＝83，所以|QF|＝|QM|＝83.故选B.]

11．直线y＝x与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为( )

A．－1＋52 B．1＋52

C．3－52 D．12

A [设直线y＝x与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1在第一象限的交点为A，依题意有，点A的坐标为(c，c)，又点A在椭圆C上，故有c2a2＋c2b2＝1，因为b2＝a2－c2，所以c2a2＋c2a2－c2＝1，所以c4－3a2c2＋a4＝0，即e4－3e2＋1＝0，解得e2＝3±52，又C是椭圆，所以0

12．已知抛物线y2＝x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA→·OB→＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO的面积之和的最小值是 ( )

A．2 B．3 C．1728 D．10

B [如图，可设A(m2，m)，

B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，

则OA→＝(m2，m)，OB→＝(n2，n)，

OA→·OB→＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.

∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)·(x－n2)，

即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，

解得x＝－mn＝2，∴C(2,0)，点C为直线AB与x轴的交点．

S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝12×2×m＋12×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝12×14×m＝18m，则S△AOB＋S△AOF＝m－n＋18m＝98m－n＝98m＋2m≥298m·2m＝3，当且仅当98m＝2m，即m＝43时等号成立．故△ABO与△AFO的面积之和的最小值为3.]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.

2 [设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，∴x1＝1，直线AF的方程是x＝1，故|BF|＝|AF|＝2.]

14．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a，b＞0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________．

3x2－y2＝1 [由题意可得e＝ca＝2，则c＝2a，

设其一焦点为F(c,0)，渐近线方程为bx±ay＝0，

那么d＝bcb2＋a2＝bcc＝b＝1，

而c2＝4a2＝a2＋b2，解得a2＝13，

则所求的双曲线方程为3x2－y2＝1.]

15．若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为________．

6 [由x24＋y23＝1可得F(－1,0)．

设P(x，y)，－2≤x≤2，则OP→·FP→＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31－x24＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2.

当且仅当x＝2时，OP→·FP→取得最大值6.]

16．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．

y＝±22x [设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由 x2a2－y2b2＝1，x2＝2py，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，

∴y1＋y2＝2pb2a2.

又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，

∴y1＋p2＋y2＋p2＝4×p2，即y1＋y2＝p，

∴2pb2a2＝p，即b2a2＝12，∴ba＝22，

∴双曲线的渐近线方程为y＝±22x.]

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．

[解] 依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．

∵点P32，6在抛物线上，∴6＝2p×32，∴p＝2，

∴所求抛物线的方程为y2＝4x.

∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，

∴c＝1，即a2＋b2＝1.

又点P32，6在双曲线上，∴94a2－6b2＝1.

由 a2＋b2＝1，94a2－6b2＝1，得 a2＝14，b2＝34，或 a2＝9，b2＝－8(舍去)．

∴所求双曲线的方程为4x2－43y2＝1.

18．(本小题满分12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．

[解] (1)因为ca＝63，且c＝2，

所以a＝3，b＝a2－c2＝1，

所以椭圆C的方程为x23＋y2＝1.

(2)由题意知P(0，t)(－1＜t＜1)．

由 y＝t，x23＋y2＝1得x＝±31－t2，

所以圆P的半径为31－t2.

当圆P与x轴相切时，|t|＝31－t2，解得t＝±32.

所以点P的坐标是0，±32.

19．(本小题满分12分)已知抛物线x2＝2py(p>0)与直线3x－2y＋1＝0交于A，B两点，如图，|AB|＝5813，点M在抛物线上，MA⊥MB.