北师大版2018-2019学年度九年级上学期第一次月考数学试题

2018-2019学年度九年级上学期第一次月考数学试题

一．填空题（满分30分，每小题3分）

1．一元二次方程x2+2x﹣6＝0的根是

．

2．方程x（x﹣5）＝2x的根是 ．

3．若二次函数y＝ax2+2x+1的图象与x轴有两个不相同的交点，则a的取值范围是 ．

4．已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+1，那么这个二次函数的图象在对称轴右侧部分是

的．（填“上升”或“下降”）

5．如图，抛物线y＝x2﹣2x+k（k＜0）与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，其中x1＜0＜x2，当x＝x1+2时，y 0（填“＞”“＝”或“＜”号）．

6．两抛物线y＝﹣x2+1，y＝﹣x2﹣1与两条和y轴平行的直线x＝﹣2，x＝2围成的封闭图形的面积为 ．

7．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1＝0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为 ．

8．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x（x＞0），十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是 ．

9．设a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为 ．

10．为响应“足球进校园”的号召，我县教体局在今年11月份组织了“县长杯”校园足球比赛．在某场比赛中，一个球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可用公式h＝﹣5t2+v0t表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，v0（m/s）是足球被踢出时的速度，如果足球的最大高度到20m，那么足球被踢出时的速度应达到 m/s．

二．选择题（满分30分，每小题3分）

11．下列方程是一元二次方程的是（ ）

A．x2﹣y＝1 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+＝3 D．x﹣5y＝6

12．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）

13．二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．b＜0，c＞0 B．b＜0，c＜0 C．b＞0，c＜0 D．b＞0，c＞0

14．若一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为（ ）

A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣6

15．已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，代数式a2﹣3a+4的值为（ ）

A．6 B．9 C．14 D．﹣6

16．如图，A1、A2、A3是抛物线y＝ax2（ a＞0）上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C．A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数n﹣1、n、n+1，则线段CA2的长为（ ）

A．a B．2a C．n D．n﹣1

17．某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（ ）

A．（80﹣x）（200+8x）＝8450 B．（40﹣x）（200+8x）＝8450

C．（40﹣x）（200+40x）＝8450 D．（40﹣x）（200+x）＝8450

18．如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（ ）

A． B． C． D． 19．某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（ ）

A．56元 B．57元 C．59元 D．57元或59元

20．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（ ）

A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝2 D．（x+1）2＝4

三．解答题（满分60分，每小题10分）

21．（10分）解方程：

（1）x2+2x＝1；

（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0．

22．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+b的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若将抛物线y＝ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y＝|ax2+b|图象上的任意一点P，直线l是经过（0，1）且平行与x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．

（注：在解题过程中，如果你觉得有困难，可以阅读下面的材料）

附阅读材料：

1．在平面直角坐标系中，若A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为|AB|＝，这个公式叫两点间距离公式．

例如：已知A，B两点的坐标分别为（﹣1，2），（2，﹣2），则A，B两点间的距离为|AB|＝＝5．

2．因式分解：x4+2x2y2+y4＝（x2+y2）2．

23．（10分）如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；

（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．

24．（10分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是

斤（用含x的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

（3）当每斤的售价定为多少元时，每天获利最大？最大值为多少？

25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA：OB＝1：5，OB＝OC，△ABC的面积S△ABC＝15，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）点P（2，﹣3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；

（3）设点E是抛物线上异于点A，B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F．以EF为直径画⊙Q，则在点E的运动过程中，是否存在与x轴相切的⊙Q？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（10分）用配方法证明：代数式﹣x2+6x﹣10恒小于零． 参考答案

一．填空题

1．x1＝，x2＝﹣3．

2．x1＝0，x2＝7．

3．a＜1且a≠0．

4．下降．

5．＜．

6．8

7．

8．y＝10（x+1）2

9．2010．

10．20m/s．

二．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

11．B．12．A．13．A．14．A．15．B．

16．A．17．B．18．A．19．A．20．D．

三．解答题（共6小题，满分60分，每小题10分）

21．解：（1）方程配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2，

开方得：x+1＝±，

解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；

（2）分解因式得：（x﹣3）（x﹣3+2）＝0，

解得：x1＝3，x2＝1．

22．解：（1）根据题意设抛物线解析式为y＝ax2﹣1，

将点A（﹣2，0）代入，得：4a﹣1＝0，

解得：a＝，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣1；

（2）如图， 根据题意，当﹣2≤x≤2时，y＝﹣x2+1；

当x＜﹣2或x＞2时，y＝x2﹣1；

由可得点M（﹣2，1）、点N（2，1），

①当﹣2≤x≤2时，设点P坐标为（a，﹣a2+1），

则PO﹣PD＝﹣[1﹣（﹣a2+1）]

＝a2+1﹣a2

＝1；

②当﹣2≤x＜﹣2或2时，设点P的坐标为（a， a2﹣1），

则PO﹣PD＝﹣[1﹣（a2﹣1）]

＝a2+1﹣2+a2

＝a2﹣1；

③当x＜﹣2或x＞2时，设点P的坐标为（a， a2﹣1），

则PO﹣PD＝﹣[（a2﹣1）﹣1]

＝a2+1﹣a2+2

＝3；

综上，当x＜﹣2、﹣2≤x≤2或x＞2时，PO与PD的差为定值．

23．解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣＝2…①，

抛物线过是A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，

把B点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…②，

联立①、②解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣3，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，

当x＝2时，y＝﹣，即顶点D的坐标为（2，﹣）；

（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB＝13， ①当AB＝AC时，设点C坐标（m，0），

则：（m）2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4，

即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；

②当AB＝BC时，设点C坐标（m，0），

则：（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5，

即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0），

③当AC＝BC时，设点C坐标（m，0），

则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点，

则点C坐标为（，0），

故：存在，

点C的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或（5，0）或（5﹣2，0）或（，0）；

（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，

设：AB所在的直线过点A（0，﹣3），则设直线AB的表达式为y＝kx﹣3，

把点B坐标代入上式，9＝5k﹣3，则k＝，

故函数的表达式为：y＝x﹣3，

设：点P坐标为（m， m2﹣m﹣3），则点H坐标为（m， m﹣3），

S△PAB＝•PH•xB＝（﹣m2+12m），

当m＝2.5时，S△PAB取得最大值为：，

答：△PAB的面积最大值为．

24．解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x（斤）；

故答案为：100+200x；