模型检验

灰色系统GM(1,1)模型的检验

对所建立的模型要进行残差检验和后验差检验，模型检验合格后方能用于预

测。

（1）残差检验

残差序列：

))(,),2(),1(()0(

n



=

))(ˆ

)(,),2(ˆ

)2(),1(ˆ

)1(()0()0()0()0()0()0(

nxnxxxxx

相对误差序列为：



n

k

nxn

xx1

)0()0()0(

)()(

,,

)2()2(

,

)1()1(





以残差的大小来判断模型的好坏，残差大，说明模型精度低，反之，说明精

度高。对于nk,

称

)()(

)0(

kxk

k



为k点模拟相对误差，称

n

kk

n

11

为平均相

对误差。给定，当

且



n成立时，称模型为残差合格模型。精度等级

参照表3.1。

表 1精度检验等级参照表

精度等级 相对误差

指标临界值

一级 0.01

二级 0.05

三级 0.10

四级 0.20

（2）后验差检验

后验差检验是按照精度检验c

(后验差)和

p（小误差概率）两个指标进行检

验。

记原始数列及残差数列的方差分别是S

12

和S

22

,即 S

12=



n

kxkx

n

12)0()0(

))((

11

S

22=



n

kk

n

22)0()0(

))((

11



其中：



1

1)0()0(

)(1

kkx

nx



1

2)0()0(

)(1

kk

n

然后用下式计算后验差比值c及小概率误差

p：

c

=S

2/S

1，

p=P{0.6745S

1

＞)0()0(

)(eke}

根据表 2来判定模型的精度。

表 2 灰色预测模型精度表

精度等级 p

值 c

值

好 0.95≤p

c

≤0.35

合格 0.80≤p

＜0.95

0.35＜c

≤0.50

勉强合格 0.70≤p

＜0.80

0.50＜c

≤0.65

不合格 p

＜0.70

0.65＜c

如果模型满足后验差检验要求，即认为模型合格。

血样分组检验的数学模型

摘要：本文为了解决减少血样检验次数这个实际问题，通过把人群分为若干组，每组若干人，易得到混合血样检验次数、阳性组的概率，进而引入阳性组数的平均值，从而得到平均总检验次数，最后通过一个人的平均检验次数的一元函数，把问题归结为一个关于每组人数k的一元函数E(k) ,求解得kpkkE1)(;通过计算，得当p>0.307时不应分组;将第1次检验的每个阳性组再次分m组，通过建立一个关于k，m的二元函数E(k,m)，通过求导得稳定点函数，解方程组得:2/14/3,21pmpk。

关键词：先验概率 平均总检验次数 血样的阴阳性 组的基数

1 问题的提出

在一个很大的人群中通过血样检验普查某种疾病,假定血样为阳性的先验概率为p(通常p很小)。为减少检验次数,将人群分组,一组人的血样混合在一起化验。当某组的混合血样呈阴性时,即可不经检验就判定该组每个人的血样都为阴性；而当某组的混合血样呈阳性时,则可判定该组至少有一人血样为阳性,于是需要对这组的每个人再作检验。

(1)、当p固定时(如0.01%,…,0.1%,…,1%)如何分组,即多少人一组,可使平均总检验次数最少,与不分组的情况比较。

(2)、当p多大时不应分组检验。

(3)、当p固定时如何进行二次分组(即把混合血样呈阳性的组再分成小组检验,重复一次分组时的程序)。

(4)、讨论其它分组方式,如二分法(人群一分为二,阳性组再一分为二,继续下去)、三分法等。

2 模型假设与符号约定

2.1 血样检查到为阳性的则患有某种疾病,血样呈阴性时的情况为正常。

2.2 血样检验时仅会出现阴性、阳性两种情况,除此之外无其它情况出现,检验血样的药剂灵敏度很高，不会因为血样组数的增大而受影响。

2.3 阳性血样与阳性血样混合也为阳性。 2.4 阳性血样与阴性血样混合也为阳性。

2.5 阴性血样与阴性血样混合为阴性。

n 人群总数

第２８卷第２期　２００８年４月　河池学院学报　Ｊ０ＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＨＥＣＨＩ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ｖ０Ｊ．２８　Ｎ０．２　Ａｐｒ．２００８　

非参数回归模型的模型检验　

赵培信　

（１．河池学院数学系，广西宜州５４６３００；２．北京Ｔ业大学应用数理学院，北京　

［摘要］　在此考虑非参数回归模型的模型检验问题．基于Ｐｌｕｇ—ｉｎ经验似然方法。构造经验似然比检验统　计量．证明其满足Ｗｉｌｋｓ’现象，而得到了一定显著性水平的拒绝域．最后通过数据模拟。讨论了其检验功效．　［关键词］　非参数回归模型；经验似然；模型检验　［中图分类号］０２１２．４　［文献标识码］　Ａ　［文章编号］　１６７２—９０２１（２００８）０２—０００１—０４　

［作者简介］　赵培信（１９８１一），男，山东曹县人，河池学院数学系讲师，北京工业大学应用数学理学院博士研　究生，主要研究方向为非参数统计．　［基金项目］　高等学校博士学科点专项科研基金资助项目（编号：２００７０００５００３）；北京工业大学研究生科技基　金资助项目（编号：ｙｋｊ一２００７—２３２７）．　

０　引言　

回归分析在统计领域占有重要的地位，在现实生活中各种因素之间往往存在着某种非线性关系．因此，　非参数回归以及半参数回归越来越受到统计学者的重视．但是目前对非参数回归的研究主要集中在对非参数　函数的估计问题上，而对非参数回归的模型的检验却不是太多．本文考虑如下非参数回归模型的模型检验问题　

＝ｍ（Ｘ　）＋　ｆ，ｉ＝１，２，…，ｎ　（１．１）　这里Ｅ（　）＝０，Ｘ　为Ｐ维协变量，　为响应变量，ｍ（・）为未知光滑函数．　在模型（１．１）的结构下，本文考虑如下检验问题　

风ｍ（　）＝　卢Ｈ。ｍ（　）≠　卢　（１．２）　其中　为Ｐ维未知参数向量．　

经典的极大似然比检验要求误差项　服从正态分布，而且须求出残差平方和ＲＳＳ。＝　（　一ｘｌ卢）　及　

ＲＳＳ。＝．　（　一ＤＺＭＬＥ（Ｘ　））　，其中卢为原假设风成立条件下卢的最小二乘估计量，ＤＺＭＬＥ（・）为在日。成立的　

粮食总产量的多元线性回归分析

根据理论和经验分析，影响粮食总产量的主要因素有：播种面积、使用化肥量、农业劳动人数。本文主要对粮食总产量进行多因素分析，建立以粮食总产量为被解释变量，以使用化肥量、农业劳动人数为解释变量的多元线性回归模型，利用模型对粮食总产量进行分析、检验、应用。

1模型设定

粮食总产量受播种面积、使用化肥量、农业劳动人数的影响程度，我们选取了1952-1986年粮食总产量及其影响因素播种面积、使用化肥量、农业劳动人数这35年的数据为样本。

粮食总产量为被解释变量()Y，播种面积、使用化肥量、农业劳动人数为解释变量123(,,)XXX设定的线性回归模型为：

0112233YXXX

2数据来源

从《统计年鉴》收集到以下数据，如下表：

表1 粮食总产量及其相关数据

年份 粮食总产量Y（万吨） 粮食播种面积X1

（万公顷） 使用化肥量X2

（kg/公顷） 农业劳动者人数X3

（百万人）

1952 16,392.00 12,398.00 0.55 182.40

1953 16,683.00 12,664.00 0.81 186.10

1954 16,952.00 12,899.00 1.13 190.10

1955 18,394.00 12,984.00 1.63 195.30

1956 19,275.00 13,634.00 2.12 200.30

1957 19,505.00 13,363.00 2.39 205.70

1958 20,000.00 12,761.00 3.74 213.00

1959 17,000.00 11,602.00 3.74 207.80

1960 14,350.00 12,243.00 4.41 197.60

1961 14,750.00 12,144.00 3.29 202.50

1962 16,000.00 12,162.00 4.65 213.70