函数奇偶性及单调性习题

函数奇偶性练习

一、选择题

1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（ ）

A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数

2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（ ）

A．31a，b＝0 B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝3，b＝0

3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（ ）

A．y＝x（x－2） B．y ＝x（｜x｜－1） C．y ＝｜x｜（x－2） D．y＝x（｜x｜－2）

4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（ ）

A．－26 B．－18 C．－10 D．10

5．函数1111)(22xxxxxf是（ ）

A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

6．若)(x，g（x）都是奇函数，2)()(xbgaxf在（0，＋∞）上有最大值5，

则f（x）在（－∞，0）上有（ ）

A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3

二、填空题

7．函数2122)(xxxf的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．

8．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．

9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若11)()(xxgxf，则f（x）的解析式为_______．

10．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为________．

三、解答题

11．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．

12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0，

试证f（x）是偶函数．

13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．

14.f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．

15.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），

求证f（x）是偶函数．

函数的奇偶性练习参考答案

1． 解析：f（x）＝ax2＋bx＋c为偶函数，xx)(为奇函数，

∴g（x）＝ax3＋bx2＋cx＝f（x）·)(x满足奇函数的条件． 答案：A

2．解析：由f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0．

又定义域为［a－1，2a］，∴a－1＝2a，∴31a．故选A．

3．解析：由x≥0时，f（x）＝x2－2x，f（x）为奇函数，

∴当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x）＝－x2－2x＝x（－x－2）．

∴,,)0()0()2()2()(xxxxxxxf即f（x）＝x（|x|－2）

答案：D

4．解析：f（x）＋8＝x5＋ax3＋bx为奇函数，

f（－2）＋8＝18，∴f（2）＋8＝－18，∴f（2）＝－26． 答案：A

5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f（－x）＋f（x）＝0． 答案：B

6．解析：)(x、g（x）为奇函数，∴)()(2)(xbgxaxf为奇函数．

又f（x）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f（x）－2有最大值3．

∴f（x）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f（x）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C

7．答案：奇函数

8．答案：0解析：因为函数y＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，

∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．

9．解析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，

可得11)()(xxgxf，联立11)()(xxgxf，∴11)1111(21)(2xxxxf．

答案：11)(2xxf 10．答案：0 11．答案：21m

12．证明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x＝0，

∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）f（－y）＝f（y），故f（x）为偶函数．

13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．

f（x）＝x3＋2x2－1．因f（x）为奇函数，∴f（0）＝0．

当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1，

∴f（x）＝x3－2x2＋1．

因此，.)0()0()0(12012)(,,2323xxxxxxxxf

点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．

14．解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．

因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）f（x1）＜－f（x2）f（x1）＞f（x2），即单调减函数．

点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．

15．解析：由x1，x2R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1代入可证，

f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．

又令x1＝x2＝－1，

∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，

∴（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，

∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．

点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．

函数单调性练习题

1.（1）已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是 .

（2）已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a的取值范围是 .

（3）已知x∈[0，1]，则函数

的最大值为_______最小值为_________

（4）设y=f(x)的单增区间是(2，6)，求函数y=f(2－x)的单调区间 .

（5） 已知函数f(x)＝3－axa－1(a≠1)．

(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；

(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

(6) 已知f(x)在其定义域R+上为增函数， f(2)=1， f(xy)=f(x)+f(y)，

不等式f(x)+f(x－2) ≤3的解集________；

2．函数21)(xaxxf在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是（ ）

A.210a B.21a C.a<-1或a>1 D.a>-2

3. 已知函数f(x)＝ x2＋4x，x≥0，4x－x2，x<0.若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( )、A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

4.已知：f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－1)

5. 讨论函数f(x)＝21xax (a≠0)在区间(-1，1)内的单调性.

6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()21xx=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.

（1）求f(1)的值；

（2）判断f(x）的单调性；

（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

xxy122

7.函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.

（1）求证：f(x)是R上的增函数；

（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.

8.设f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(yfxfyxf

（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；

（2）设f（2）=1，解不等式2)31()(xfxf。

9.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－23.

(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．