高中数学 综合素质检测1 北师大版高二选修1-1数学试题

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1 / 7 第一章综合素质检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列命题是真命题的是( )

A．若1x＝1y，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则x＝y D．若x

[答案] A

[解析] 相应选项中的式子为等式或不等式，通过取特殊值判断命题是假命题．当x＝－1时，B是假命题；当x＝y＝－1时，C是假命题；当x＝－2，y＝－1时，D是假命题．易知A是真命题．

2．设a∈R，则“a>1”是“1a<1”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案] A

[解析]a>1⇒1a<1，1a<1⇒/a>1，故选A.

3．“若a⊥α，则a垂直于α内任一条直线”是( )

A．全称命题 B．特称命题

C．不是命题 D．假命题

[答案] A

[解析] 命题中含有全称量词，故为全称命题，且是真命题．

4．“B＝60°”是“△ABC三个内角A、B、C成等差数列”的( )

A．充分而不必要条件

B．充要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

[答案] B

[解析] 在△ABC中，若B＝60°，则A＋C＝120°，

∴2B＝A＋C，则A、B、C成等差数列； word

2 / 7 若三个内角A、B、C成等差，则2B＝A＋C，

又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°.

5．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案] A

[解析] 由“m＝2”可知A＝{1,4}，B＝{2,4}，所以可以推得A∩B＝{4}，反之，如果“A∩B＝{4}”可以推得m2＝4，解得m＝2或－2，不能推得m＝2，所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．

6．(2014·某某理，5)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )

A．p或q B．p且q

C．(¬p)且(¬q) D．p或(¬q)

[答案] A

[解析] 取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；

∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，

∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．

∴p或q为真命题．

7．有下列四个命题

①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；

④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．

其中真命题的个数是( )

A．1 B．2

C．3 D．4

[答案] A

[解析] “若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”，假；

“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；

若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；

“若A∪B＝A，则A⊆B”为假，故其逆否命题为假． word

3 / 7 8．已知实数a>1，命题p：函数y＝log12(x2＋2x＋a)的定义域为R，命题q：x2<1是x

A．p或q为真命题 B．p且q为假命题

C．¬p且q为真命题 D．¬p或¬q为真命题

[答案] A

[解析]∵a>1，∴Δ＝4－4a<0，∴x2＋2x＋a>0恒成立，∴p为真命题；

由x2<1得－1

9．“a＝－1”是方程“a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0”表示圆的( )

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既非充分也非必要条件

[答案] C

[解析] 当a＝－1时，方程为x2＋y2－2x－1＝0，

即(x－1)2＋y2＝2表示圆，

若a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则应满足

 a2＝a＋2≠02a2－4a3>0，解得a＝－1，故选C.

10．已知命题p：存在x0∈R，使mx20＋1≤1；命题q：对任意x∈R，x2＋mx＋1≥0.若p∨(¬q)为假命题，则实数m的取值X围是( )

A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0,2]

C．[0,2] D．R

[答案] B

[解析] 对于命题p，由mx2＋1≤1，得mx2≤0，若p为真命题，则m≤0，若p为假命题，则m>0；

对于命题q，对任意x∈R，x2＋mx＋1≥0，若命题q为真命题，则m2－4≤0，即－2≤m≤2，若命题q为假命题，则m<－2或m>2.

因为p∨(¬q)为假命题，所以命题p为假命题且命题q为真命题，则有 m>0－2≤m≤2，得0

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)

11．命题：“在平面直角坐标系中，若直线l1垂直于直线l2，则它们的斜率之积为－1”word

4 / 7 的逆命题为________________________．

[答案] 在平面直角坐标系中，若直线l1与直线l2的斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直

12．存在实数x0，y0，使得2x20＋3y20≤0，用符号“∀”或“∃”可表示为____________，其否定为________________．

[答案]∃x0，y0∈R,2x20＋3y20≤0 ∀x，y∈R,2x2＋3y2>0

13．在平面直角坐标系中，点(2m＋3－m2，2m－32－m)在第四象限的充要条件是________．

[答案] －1

[解析] 点(2m＋3－m2，2m－32－m)在第四象限⇔ 2m＋3－m2>02m－32－m<0⇔－1

14．给出下列四个命题：

①∀x∈R，x2＋2x>4x－3均成立；

②若log2x＋logx2≥2，故x>1；

③命题“若a>b>0，且c<0，则ca>cb”的逆否命题是真命题；

④“a＝1”是“直线x＋y＝0与直线x－ay＝0互相垂直”的充分不必要条件．

其中正确的命题为________(只填正确命题的序号)．

[答案]①②③

[解析]①中，x2＋2x>4x－3⇔x2－2x＋3>0⇔(x－1)2＋2>0，故①正确．

②中，显然x≠1且x>0，若01，故②正确

③中，命题“若a>b>0，且c<0，则ca>cb”为真命题，故其逆否命题是真命题，∴③正确．

④“a＝1”是直线x＋y＝0与直线x－ay＝0互相垂直的充要条件，故④不正确．

15．在下列所示电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：

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5 / 7 (1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件；

(2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件；

(3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件；

(4)如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件．

[答案] 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要

[解析] (1)A闭合，B亮；而B亮时，A不一定闭合，故A是B的充分不必要条件．(2)A闭合，B不一定亮；而B亮，A必须闭合，故A是B的必要不充分条件．(3)A闭合，B亮；而B亮，A必闭合，所以A是B的充要条件．(4)A闭合，B不一定亮；而B亮，A不一定闭合，所以A是B的既不充分也不必要条件．

三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)

16．写出命题“若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”

[答案] 逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.

逆命题为真．

否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.

否命题为真．

逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.

逆否命题为真．

17．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．

(1)对数函数都是单调函数；

(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；

(3)∀x∈{x|x>0}，x＋1x≥2；

(4)∃x0∈Z，log2x0>2.

[答案] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题，都是真命题

[解析] (1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．

(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．

(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题．

(4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．

18．指出下列各题中，p是q的什么条件．

(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；

(2)p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形．

[答案] (1)p是q的必要不充分条件 (2)p是q的既不充分也不必要条件 word

6 / 7 [解析] (1)p是q的必要不充分条件．这是因为：若(x－2)(x－3)＝0，则x－2＝0或x－3＝0，即(x－2)(x－3)＝0⇒/x－2＝0，而由x－2＝0可以推出(x－2)(x－3)＝0.

(2)p是q的既不充分也不必要条件．这是因为：四边形的对角线相等⇒/四边形为平行四边形；反之，四边形是平行四边形⇒/四边形的对角线相等．

19．对于下列命题p，写出¬p的命题形式，并判断¬p命题的真假：

(1)p：91∈(A∩B)(其中全集U＝N*，A＝{x|x是质数}，B＝{x|x是正奇数})；

(2)p：有一个素数是偶数；

(3)p：任意正整数都是质数或合数；

(4)p：一个三角形有且仅有一个外接圆．

[答案] (1)(2)(4)¬p为假命题 (3)¬p为真命题

[解析] (1)¬p：91∉A或91∉B；假命题．

(2)¬p：所有素数都不是偶数；假命题．

(3)¬p：存在一个正整数不是质数且不是合数；真命题．

(4)¬p：存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆；假命题．

20．已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若¬p是¬q的充分而不必要条件，某某数m的取值X围．

[答案] [2,4]

[解析] 由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.

∴¬p：x<1或x>5.

q：m－1≤x≤m＋1，

∴¬q：xm＋1.

又∵¬p是¬q的充分而不必要条件，

∴ m－1≥1m＋1≤5，∴2≤m≤4.

经检验m＝2，m＝4适合条件，即实数m的取值X围为2≤m≤4.

∴m的取值X围为[2,4]．

21．(2014·马某某二中期中)设命题p：f(x)＝2x－m在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q：x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，且不等式m2＋5m－3≥|x1－x2|对任意的实数a∈[－1,1]恒成立，若(¬p)且q为真，试某某数m的取值X围．

[答案]m>1

[解析] 对命题p：x－m≠0，又x∈(1，＋∞)，故m≤1，

对命题q：|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝a2＋8对a∈[－1,1]有a2＋8≤3，