南京市2018届高三数学二轮专题复习资料
第 1 页 共 14 页 专题4：平面向量
问题归类篇
类型一：向量的运算
一、 前测回顾
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.
答案：－3．
2． (1)已知向量a＝(0，2)，|b|＝2，则|a－b|的取值范围是 ．
(2)若a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是 ．
(3) 已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________．
答案：(1)[0,4]； (2)[0,1]； (3) 90°．
3．(1)已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________．
(2)若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，|a－2b|＝19，则向量a，b的夹角是 ．
(3) 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________．
(4)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于____ __．
答案：(1)－32； (2)2π3； (3) 32； (4)12．
4．(1)在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD．则AD·BC＝ ．
(2)如图，在边长为2的菱形ABCD中，BAD＝60，E为CD中点，
则AEBD＝ ．
(3)已知OA＝2，OB＝23, OA·OB＝0，点C在线段AB上，且∠AOC＝60，则AB·OC＝________________．
(4)在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD，E为BC边上的点，且AE·BC＝0．则AD·BC＝ ；AD·AE＝ ．
小初高教案试题导学案集锦
K12资源汇总，活到老学到老 专题二 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量练习
一、选择题
1.设a，b是两个非零向量.( )
A.若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B.若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C.若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D.若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
解析 对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立.
答案 C
2.已知点A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，－1)、D(3，4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为( )
A.322 B.3152
C.－322 D.－3152
解析 AB→＝(2，1)，CD→＝(5，5)，|CD→|＝52，故AB→在CD→方向上的投影为AB→·CD→|CD→|＝1552＝32 2.
答案 A
3.已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p1：|a＋b|＞1⇔θ∈0，2π3
p2：|a＋b|＞1⇔θ∈2π3，π
p3：|a－b|＞1⇔θ∈0，π3
p4：|a－b|＞1⇔θ∈π3，π
其中的真命题是( )
A.p1，p4 B.p1，p3
C.p2，p3 D.p2，p4
解析 |a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|＞1，则(a＋b)2＞1，∴a2＋2a·b＋b2＞1，即a·b＞－12，∴cos θ＝a·b|a|·|b|＝a·b＞－12， 小初高教案试题导学案集锦
K12资源汇总，活到老学到老 ∴θ∈0，2π3；
若|a－b|＞1，同理求得a·b＜12，
∴cos θ＝a·b＜12，∴θ∈π3，π，故p1，p4正确，应选A.
第1页共14页2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》
§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.
会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
1．平面向量基本定理
如果e
1，e
2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有
一对实数λ
1，λ
2，使a＝λ
1e
1＋λ
2e
2.
其中，不共线的向量e
1，e
2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x
1，y
1)，b＝(x
2，y
2)，则
a＋b＝(x
1＋x
2，y
1＋y
2)，a－b＝(x
1－x
2，y
1－y
2)，
λa＝(λx
1，λy
1)，|a|＝x2
1＋y2
1.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x
1，y
1)，B(x
2，y
2)，则AB→
＝(x
2－x
1，y
2－y
1)，|AB→
|＝x
2－x
12＋y
2－y
12.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x
1，y
1)，b＝(x
2，y
2)，其中b≠0.a，b共线⇔x
1y
2－x2y
1＝0.
概念方法微思考
1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？
提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直
线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．
2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？
提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能
作为一组基底表示平面内的任一向量．
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)第2页共14页(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)
(2)若a，b不共线，且λ
1a＋μ
1b＝λ
2a＋μ
2b，则λ
1＝λ
2，μ
1＝μ
2.(√)
(3)在等边三角形ABC中，向量AB→
高三数学第二轮专题复习---平面向量
一、本章知识结构
二、高考要求
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。
3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
三、热点分析
对本章内容的考查主要分以下三类：
1、以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.
2、以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.
3、向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.
在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。 四、复习建议
由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
