高考数学专题03数列求和问题（第二篇）（解析版）
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⾼考数学专题03数列求和问题（第⼆篇）（解析版）
备战2020年⾼考数学⼤题精做之解答题题型全覆盖⾼端精品 第⼆篇
数列与不等式【解析版】
专题03 数列求和问题
【典例1】【福建省福州市2019-2020学年⾼三上学期期末质量检测】
等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等⽐数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满⾜12112n n n
c c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和． 【思路引导】
(1)根据题意同时利⽤等差、等⽐数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利⽤错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和.
解：(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，
所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = 2.n a n ∴= 设等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，所以342282,4
b a q b a ==== ⼜2224,422.n n n b a b -==∴=?= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b ==因为1112
1212n n n n n
c c c c a a a a +--++++= ① 当2n ≥时,
112
1212n n n c c c a a a --+++= ②由①-②得，2n n n
c a =，即12n n c n +=?，
⼜当1n =时，31122c a b ==不满⾜上式，18,1
2,2
n n n c n n +=?∴=?
≥ .
数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+?+?++?2342021412223220202=+?+?+?++?
设2342020202120201222322019220202T =?+?+?++?+? ③， 则34520212022202021222322019220202T =?+?+?++?+? ④， 由③-④得：234202120222020222220202T -=++++-?
2202020222(12)2020212
-=-?-2022420192=--? ，
所以20222020201924T =?+， 所以2020S =202220204201928T +=?+.
【典例2】【河南省三门峡市2019-2020学年⾼三上学期期末】
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满⾜221n S n n =-+，数列{}n b 中，213
3a b a =
+，对任意正整数2n ≥，113n
n n b b -??
+=
.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）是否存在实数µ，使得数列{}3n
n b µ+是等⽐数列？若存在，请求出实数µ及公⽐q 的值，若不存在，
请说明理由；
（3）求数列{}n b 前n 项和n T . 【思路引导】
（1）根据n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=?=?-≥?即可求出；
（2）假设存在实数µ，利⽤等⽐数列的定义列式，与题⽬条件1331n nn n b b -?+?=，⽐较对应项系数即可
求出µ，即说明存在这样的实数；
（3）由（2）可以求出1111(1)4312
n
n n b -??=?+?- ，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．
解：（1）因为221n S n n =-+，当1n =时，110a S ==；
当2n ≥时，22121(1)2(1)123n n n a S S n n n n n -=-=-+-----=-． 故*0,123,2,n n a n n n N =?=?-∈?…
；
（2）假设存在实数µ，使得数列{}3x
n b µ?+是等⽐数列，数列{}n b 中，2
13
3a b a =
+， 对任意正整数2n (113)
n n b b -??+=
.可得116b =，且1331n n
n n b b -?+?=， 由假设可得()1
1333n
n n n b b µµ--?+=-?+，即1334n n n n b b µ-?+?=-，
则41µ-=，可得14µ=-
，可得存在实数14µ=-，使得数列{}3n
n b µ?+是公⽐3q =-的等⽐数列； （3）由（2）可得11111133(3)(3)444n
n n n b b ---=-?-=?- ，则1111(1)4312n
n n b -??=?+?- ， 则前n 项和11111111(1)1236431212
12n
n n T -
=+
+?+?+-+?+?-?? ? ????????? 当n 为偶数时，111111*********n n n T ??- =+=- ???- 当n 为奇数时，11111115112311128312248313n n n nT ??- =+=-+=- ????- 则51,21248311,2883
n
n n n k T n k ?-=-=??-=（*k N ∈）．
【典例3】【福建省南平市2019-2020学年⾼三上学期第⼀次综合质量检查】 已知等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*
21,n
n S a a n =?-∈∈R N
．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11
n n n n a b S S ++=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【思路引导】
（1）利⽤临差法得到12n n a a -=?，再根据11a S =求得1a =，从⽽求得数列通项公式；
（2）由题意得111
2121
n n n b +=
---，再利⽤裂项相消法求和. 解：（1）当1n =时，1121a S a ==-.
当2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=?()*,因为{}n a 是等⽐数列，所以121a a =-满⾜()*式，所以21a a -=，即1a =， 因此等⽐数列{}n a 的⾸项为1,公⽐为2,
所以等⽐数列{}n a 的通项公式12n n a -=.
（2）由（1）知21nn S =-，
则11n n n n a b S S ++=,即()()
1
12112121
2121n n n n n n b ++==-----， 所以121111111
113377152121n n n n T b b b +?
=++???+=-+-+-+???+- ? ? ? ?--?
,
所以11121n n T +=-
-.
【典例4】【⼭东省⽇照市2019-2020学年上学期期末】
已知数列{}n a 的⾸项为2，n S 为其前n 项和，且()120,*n n S qS q n +=+>∈N （1）若4a ，5a ，45a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；
（2）设双曲线2221n
y x a -=的离⼼率为n e ，且23e =，求2222
12323n e e e ne ++++L .
【思路引导】
（1）先由递推式()120,*n n S qS q n +=+>∈N 求得数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列，然后结合已知条件求数列通项即可；
（2）由双曲线的离⼼率为求出公⽐q ，再结合分组求和及错位相减法求和即可得解. 解：
解：（1）由已知，12n n S qS +=+，则212n n S qS ++=+，
两式相减得到21n n a qa ++=，1n ≥.⼜由212S qS =+得到21a qa =，
故1n n a qa +=对所有1n ≥都成⽴.
所以，数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列. 由4a ，5a ，45+a a 成等差数列，可得54452=a a a a ++，
所以54=2,a a 故=2q .所以*2()n n a n N =∈.
（2）由（1）可知，12n n a q
-=，所以双曲线22
21n
y x a -=
的离⼼率n e ==
由23e ==，得q =.
所以()()()()21
2
2
2
2
2
123231421414n n e e e n e q
n q -++++?=++++++
()
()()
21214122
n n n q nq -+=
++++， 记()21
2123n n T q q nq -=++++①
()()
2122221n n n q T q q n q
nq -=+++-+②
①-②得
()()
2212
2
222
1111n n nn n
q q T
q q q nq
nq q ---=++++-=-- 所以()
()()
()22222
2222211122121(1)111n
n n n n n n n q nq q nq T n n q q q q --=
-=-=-+?=-+----. 所以()()
222212121242
n n n n e e n e n +++++?=-+
+. 【典例5】已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满⾜()()1
126
n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等⽐数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()1
11n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .
【思路引导】
（1）根据n a 与n S 的关系，利⽤临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代⼊递推关系求1a ；
（2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采⽤并项求和法，求其前2n 项和. 解：（1）Q 对任意*n ∈N ，有()()1
126
n n n S a a =
++，① ∴当1a =时，有()()11111
126
S a a a ==
++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111
126
n n n S a a ---=
++.② ①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. ⽽数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=.
当11a =时，()13132n a n n =+-=-，此时2429a a a =成⽴；
当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成⽴，舍去.
32n a n ∴=-，*n ∈N .
（2）2122n n T b b b =+++=L 12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-L()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-L
242666n a a a =----L ()2426n a a a =-+++L
