2019-2021北京高中数学期中、期末汇编：对数函数(教师版)

2019-2021北京高中数学二模汇编：函数的性质综合一．选择题（共32小题）1．（2020•朝阳区二模）函数f（x）＝的定义域为（）A．（0，+∞）B．（0，1）∪（1，+∞）C．[0，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）2．（2020•丰台区二模）函数f（x）＝的定义域为（）A．（0，2）B．[0，2]C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[2，+∞）3．（2020•东城区二模）已知函数f（x）＝log a x+b的图象如图所示，那么函数g（x）＝a x+b的图象可能为（）A．B．C．D．4．（2020•东城区二模）已知三个函数y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（）A．定义域都为RB．值域都为RC．在其定义域上都是增函数D．都是奇函数5．（2020•顺义区二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝﹣x2B．C．y＝cos x D．6．（2020•房山区二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t分钟后物体的温度θ℃可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80℃的物体，放在20℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40℃，则k约等于（）（参考数据：ln3≈1.099）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.37．（2021•丰台区二模）将函数y＝log2（2x+2）的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝（）A．log2（2x+1）﹣1B．log2（2x+1）+1C．log2x﹣1D．log2x8．（2021•海淀区二模）已知指数函数f（x）＝a x，将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，则a的值是（）A．B．C．D．9．（2021•丰台区二模）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y＝x﹣1C．y＝（x﹣1）2D．y＝lnx10．（2021•朝阳区二模）下列函数是奇函数的是（）A．y＝cos x B．y＝x2C．y＝ln|x|D．y＝e x﹣e﹣x11．（2020•西城区二模）函数f（x）＝x﹣是（）A．奇函数，且值域为（0，+∞）B．奇函数，且值域为RC．偶函数，且值域为（0，+∞）D．偶函数，且值域为R12．（2020•海淀区二模）下列函数中，值域为[0，+∞）且为偶函数的是（）A．y＝x2B．y＝|x﹣1|C．y＝cos x D．y＝lnx13．（2020•平谷区二模）在下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．B．f（x）＝ln|x|C．f（x）＝2x+2﹣x D．f（x）＝x cos x14．（2020•丰台区二模）已知函数f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则f（x）（）A．是奇函数，且在定义域上是增函数B．是奇函数，且在定义域上是减函数C．是偶函数，且在区间（0，1）上是增函数D．是偶函数，且在区间（0，1）上是减函数15．（2019•东城区二模）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x3B．y＝cos x C．y＝e x D．y＝|x|+116．（2019•海淀区二模）若关于x的方程在（0，+∞）上有解，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．[3，+∞）17．（2020•密云区二模）在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝x|x|D．y＝ln|x|18．（2020•房山区二模）已知函数f（x）＝lg|1+x|+lg|1﹣x|，则f（x）（）A．是奇函数，且在（1，+∞）上是增函数B．是奇函数，且在（1，+∞）上是减函数C．是偶函数，且在（1，+∞）上是增函数D．是偶函数，且在（1，+∞）上是减函数19．（2020•密云区二模）已知函数y＝f（x）满足f（x+1）＝2f（x），且f（5）＝3f（3）+4，则f（4）＝（）A．16B．8C．4D．220．（2020•房山区二模）函数f（x）＝e x﹣x2的零点个数为（）A．0B．1C．2D．321．（2019•朝阳区二模）已知函数f（x）＝，若函数f（x）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）22．（2021•东城区二模）有三个因素会影响某种产品的产量，分别是温度（单位：℃）、时间（单位：min）、催化剂用量（单位：g），三个因素对产量的影响彼此独立．其中温度有三个水平：80、85、90，时间有三个水平：90、120、150，催化剂用量有三个水平：5、6、7．按全面实验要求，需进行27种组合的实验，在数学上可以证明：通过特定的9次实验就能找到使产量达到最大的最优组合方案．如表给出了这9次实验的结果：实验号温度（℃）时间（min）催化剂用量（g）产量（kg）180905312801206543801507384859065358512074968515054279090757890120562990150664根据上表，三因素三水平的最优组合方案为（）A．85℃120min 7g B．90℃120min 6gC．85℃150min 6g D．90℃150min 7g23．（2021•朝阳区二模）某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理．该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中15万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的q倍，若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的50%，则q的值至少为（）A．B．C．D．24．（2021•顺义区二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃．那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是38℃，则k的值约为（）（ln3≈1.10，ln7≈1.95）A．0.25B．﹣0.25C．0.89D．﹣0.8925．（2020•怀柔区二模）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝a x﹣a﹣x+2（a＞0且a≠1），若g（2）＝a，则函数f（x2+2x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）26．（2020•密云区二模）已知函数f（x）的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4，8]，且x1≠x2，都有＞0；②f（x+8）＝f（x）；③y＝f（x+4）是偶函数；若a＝f（﹣7），b＝f（11），c＝f（2020），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a27．（2019•昌平区二模）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足，若函数F （x）＝f（x）﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．28．（2021•房山区二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s（万元）与机器运转时间t（年数，t∈N*）的关系为s＝﹣t2+23t﹣64．要使年平均利润最大．则每台机器运转的年数t为（）A．5B．6C．7D．829．（2021•顺义区二模）设函数f（x）＝，若f（x）恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．30．（2021•海淀区二模）已知函数f（x）＝，若对于任意正数k，关于x的方程f（x）＝k都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为（）A．0B．1C．2D．无数31．（2020•顺义区二模）已知函数，若实数m∈[﹣2，0]，则|f（x）﹣f（﹣1）|在区间[m，m+2]上的最大值的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，4]C．[1，3]D．[1，2]32．（2019•丰台区二模）某码头有总重量为13.5吨的一批货箱，对于每个货箱重量都不超过0.35吨的任何情况，都要一次运走这批货箱，则至少需要准备载重1.5吨的卡车（）A．12辆B．11辆C．10辆D．9辆二．填空题（共5小题）33．（2021•门头沟区二模）函数y＝log（3x﹣2）+的定义域是．34．（2020•东城区二模）配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件．由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）．配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）．在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为．35．（2019•房山区二模）已知函数当a＝0时，f（x）的最小值等于；若对于定义域内的任意x，f（x）≤|x|恒成立，则实数a的取值范围是．36．（2019•房山区二模）已知函数f（x）＝当a＝0时，f（x）的值域为；若f（x）有三个零点，则a的取值范围是．37．（2021•朝阳区二模）“S”型函数是统计分析、生态学、人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S“型曲线．某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量y（单位：个）与时间t（单位：小时）的关系近似为一个“S“型函数y＝．已知函数f（t）＝（t≥0）的部分图象如图所示，f′（t）为（t）的导函数．给出下列四个结论：①对任意t1∈（0，24），t3∈（96，144），存在t2∈（24，96），使得f'（t2）＞；②对任意t1∈（0，24），t3∈（96，144），存在t2∈（24，96），使得f'（t2）＝；③对任意t2∈（24，96），存在t1∈（0，24），t3∈（96，144），使得f（t2）＞；④对任意t2∈（24，96），存在t1∈（0，24），t3∈（96，144），使得f'（t2）＝．其中所有正确结论的序号是．2019-2021北京高中数学二模汇编：函数的性质综合参考答案与试题解析一．选择题（共32小题）1．（2020•朝阳区二模）函数f（x）＝的定义域为（）A．（0，+∞）B．（0，1）∪（1，+∞）C．[0，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）【分析】根据函数f（x）的解析式，求出使解析式有意义的自变量取值范围即可．【解答】解：函数，∴，解得x＞0且x≠1，∴f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了根据解析式求函数定义域的应用问题，是基础题．2．（2020•丰台区二模）函数f（x）＝的定义域为（）A．（0，2）B．[0，2]C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[2，+∞）【分析】由分母中根式内部的代数式大于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由x2﹣2x＞0，得x＜0或x＞2．∴函数f（x）＝的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．3．（2020•东城区二模）已知函数f（x）＝log a x+b的图象如图所示，那么函数g（x）＝a x+b的图象可能为（）A．B．C．D．【分析】结合已知函数的图象可知，f（1）＝b＜﹣1，a＞1，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，y＝a x+b的图象单调递增，且由y＝a x的图象向下平移超过1个单位，结合选项即可判断．【解答】解：结合已知函数的图象可知，f（1）＝b＜﹣1，a＞1，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，y＝a x+b的图象单调递增，且由y＝a x的图象向下平移超过1个单位，结合选项可知，D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象变换的简单应用，属于基础试题．4．（2020•东城区二模）已知三个函数y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（）A．定义域都为RB．值域都为RC．在其定义域上都是增函数D．都是奇函数【分析】根据指数、对数和幂函数的图象与性质进行分析即可．【解答】解：函数y＝log3x的定义域为（0，+∞），即A错误；函数y＝3x的值域是（0，+∞），即B错误；函数y＝3x和y＝log3x是非奇非偶函数，即D错误，故选：C．【点评】本题考查指数、对数和幂函数的图象与性质，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解题的关键，属于基础题．5．（2020•顺义区二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝﹣x2B．C．y＝cos x D．【分析】由二次函数的图象及性质，直接可以判断选项A符合题意．【解答】解：二次函数f（x）＝﹣x2为开口向下的抛物线，且对称轴为x＝0，由二次函数的性质可知，其在（0，+∞）上为减函数，又f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2＝f（x），故函数f（x）＝﹣x2为定义在R上的偶函数．故选：A．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题．6．（2020•房山区二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t分钟后物体的温度θ℃可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80℃的物体，放在20℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40℃，则k约等于（）（参考数据：ln3≈1.099）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3【分析】列方程，根据对数运算性质计算即可．【解答】解：由题意可得：40＝20+（80﹣20）e﹣4k，∴e﹣4k＝，两边取对数可得：﹣4k＝ln＝﹣ln3＝﹣1.099，∴k＝≈0.3．故选：D．【点评】本题考查了对数性质，对数运算，属于基础题．7．（2021•丰台区二模）将函数y＝log2（2x+2）的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝（）A．log2（2x+1）﹣1B．log2（2x+1）+1C．log2x﹣1D．log2x【分析】根据函数平移变换进行求解即可．【解答】解：将函数y＝log2（2x+2）的图象向下平移1个单位长度，得到y＝log2（2x+2）﹣1，再向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，级g（x）＝log2[2（x﹣1）+2]﹣1＝log22x﹣1＝1+log2x﹣1＝log2x，故选：D．【点评】本题主要考查函数的图象变换，根据平移关系是解决本题的关键，是基础题．8．（2021•海淀区二模）已知指数函数f（x）＝a x，将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，则a的值是（）A．B．C．D．【分析】根据函数图象变换法则求出函数的解析式，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝3a x，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，得到y＝3a x﹣2＝•a x，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，则＝1，即a2＝3，a＝，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的变换，利用平移变换求出函数的解析式是解决本题的关键，是基础题．9．（2021•丰台区二模）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y＝x﹣1C．y＝（x﹣1）2D．y＝lnx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝（）x，是指数函数，在R上为减函数，不符合题意，对于B，y＝x﹣1＝，是反比例函数，在区间（0，+∞）上为减函数，不符合题意，对于C，y＝（x﹣1）2，是二次函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意，对于D，y＝lnx，是对数函数，在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意，故选：D．【点评】本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．10．（2021•朝阳区二模）下列函数是奇函数的是（）A．y＝cos x B．y＝x2C．y＝ln|x|D．y＝e x﹣e﹣x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝cos x，是余弦函数，是偶函数，不符合题意，对于B，y＝x2，是二次函数，是偶函数，不符合题意，对于C，y＝ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，有ln|﹣x|＝lnx，是偶函数，不符合题意，对于D，y＝e x﹣e﹣x，其定义域为R，e x﹣e﹣x＝﹣（y＝e x﹣e﹣x），则函数为奇函数，符合题意，故选：D．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．11．（2020•西城区二模）函数f（x）＝x﹣是（）A．奇函数，且值域为（0，+∞）B．奇函数，且值域为RC．偶函数，且值域为（0，+∞）D．偶函数，且值域为R【分析】根据题意，其出函数的定义域，分析可得f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数；进而求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x﹣，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（）＝﹣（x﹣）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，其导数f′（x）＝1+，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；其图象大致如图：其值域为R；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断以及值域的计算，注意分析函数的定义域，属于基础题．12．（2020•海淀区二模）下列函数中，值域为[0，+∞）且为偶函数的是（）A．y＝x2B．y＝|x﹣1|C．y＝cos x D．y＝lnx【分析】由已知结合函数奇偶性分别进行检验，然后求出函数的值域进行检验，即可求解．【解答】解：A：y＝x2为偶函数，且值域[0，+∞），符合题意；B：y＝|x﹣1|为非奇非偶函数，不符合题意；C：y＝cos x的值域[﹣1，1]，不符合题意；D：y＝lnx为非奇非偶函数，且值域R，不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．13．（2020•平谷区二模）在下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．B．f（x）＝ln|x|C．f（x）＝2x+2﹣x D．f（x）＝x cos x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性、值域，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝，其定义域为[0，+∞），值域为[0，+∞），不符合题意；对于B，f（x）＝ln|x|＝，是值域为R的偶函数，符合题意；对于C，f（x）＝2x+2﹣x，有f（﹣x）＝2﹣x+2x＝f（x），为偶函数，有f（x）＝2x+2﹣x≥2，其值域为[2，+∞），不符合题意；对于D，f（x）＝x cos x，有f（﹣x）＝（﹣x）cos x＝﹣x cos x，不是偶函数，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断以及函数值域的计算，注意常见函数的奇偶性以及值域，属于基础题．14．（2020•丰台区二模）已知函数f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则f（x）（）A．是奇函数，且在定义域上是增函数B．是奇函数，且在定义域上是减函数C．是偶函数，且在区间（0，1）上是增函数D．是偶函数，且在区间（0，1）上是减函数【分析】根据题意，先求出函数的定义域，进而分析可得f（﹣x）＝﹣f（x），即可得函数为奇函数，求出函数的导数，分析可得f（x）为（﹣1，1）上的减函数；即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则有，解可得﹣1＜x＜1，即f（x）的定义域为（﹣1，1）；设任意x∈（﹣1，1），f（﹣x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数；f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）＝ln，其导数f′（x）＝，在区间（﹣1，1）上，f′（x）＜0，则f（x）为（﹣1，1）上的减函数；故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，涉及对数的运算性质，属于基础题．15．（2019•东城区二模）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x3B．y＝cos x C．y＝e x D．y＝|x|+1【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x3，为奇函数，不符合题意；对于B，y＝cos x，在区间（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，y＝|x|+1，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．16．（2019•海淀区二模）若关于x的方程在（0，+∞）上有解，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．[3，+∞）【分析】根据函数与方程之间的关系，结合基本不等式求出x+≥2，即可得到结论．【解答】解：当a＞0时，x+＝2，当且仅当x＝．即x＝1时，取等号，要使方程在（0，+∞）上有解，则a≥2，即实数a的取值范围是[2，+∞），故选：C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合基本不等式求出x+的范围是解决本题的关键．17．（2020•密云区二模）在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝x|x|D．y＝ln|x|【分析】分别结合奇偶性及定义域对各选项中的函数进行检验即可判断．【解答】解：A：y＝sin x为奇函数，不符合题意；B：y＝cos x的定义域R且为偶函数，符合题意；C：y＝x|x|为奇函数，不符合题意；D：y＝ln|x|的定义域{x|x≠0}，不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断及定义域的判断，属于基础试题．18．（2020•房山区二模）已知函数f（x）＝lg|1+x|+lg|1﹣x|，则f（x）（）A．是奇函数，且在（1，+∞）上是增函数B．是奇函数，且在（1，+∞）上是减函数C．是偶函数，且在（1，+∞）上是增函数D．是偶函数，且在（1，+∞）上是减函数【分析】结合奇偶函数的定义先判断f（﹣x）与f（x）的关系，然后结合x＞1时函数的解析式及复合函数的单调性即可判断．【解答】解：f（﹣x）＝lg|1﹣x|+lg|1+x|＝f（x），故f（x）为偶函数，当x＞1时，f（x）＝lg（1+x）+lg（x﹣1）＝lg（x2﹣1）单调递增，故选：C．【点评】本题考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．19．（2020•密云区二模）已知函数y＝f（x）满足f（x+1）＝2f（x），且f（5）＝3f（3）+4，则f（4）＝（）A．16B．8C．4D．2【分析】根据关系式得到f（4）＝2f（3）且f（5）＝2f（4），进而求得结论．【解答】解：因为函数y＝f（x）满足f（x+1）＝2f（x），所以：f（4）＝2f（3）且f（5）＝2f（4），又f（5）＝3f（3）+4，即2f（4）＝3×f（4）+4；则f（4）＝8；故选：B．【点评】本题考查了抽象函数的性质的应用，属于基础题目．20．（2020•房山区二模）函数f（x）＝e x﹣x2的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】由f（x）＝e x﹣x2＝0，得e x＝x2，设y＝e x，y＝x2，分别作出两个函数的图象，利用图象的交点个数，确定函数零点的个数．【解答】解：由f（x）＝e x﹣x2＝0，得e x＝x2，设y＝e x，y＝x2，分别作出两个函数的图象，当x＜0时，两个函数图象有一个交点，当x＞0时，f′（x）＝e x﹣2x，f″（x）＝e x﹣2，x＝ln2时，f″（x）＝0，函数f′（x）取得最小值，f′（ln2）＝2﹣2ln2＞0，所以f（x）在x＞0时，是增函数，两个函数y＝e x，y＝x2，则x＞0时，没有公共点．可知函数f（x）＝e x﹣x2的零点个数为1个．故选：B．【点评】本题主要考查函数与方程之间的关系，利用数形结合是解决函数交点问题中最基本的方法，要求熟练掌握．21．（2019•朝阳区二模）已知函数f（x）＝，若函数f（x）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）【分析】由指数函数的值域和函数零点的定义，即可得到所求范围．【解答】解：由2x＞0，函数f（x）存在零点，则f（x）的零点为0，可得a＞0，故选：B．【点评】本题考查函数的零点判断，注意运用指数函数的值域和定义法，属于基础题．22．（2021•东城区二模）有三个因素会影响某种产品的产量，分别是温度（单位：℃）、时间（单位：min）、催化剂用量（单位：g），三个因素对产量的影响彼此独立．其中温度有三个水平：80、85、90，时间有三个水平：90、120、150，催化剂用量有三个水平：5、6、7．按全面实验要求，需进行27种组合的实验，在数学上可以证明：通过特定的9次实验就能找到使产量达到最大的最优组合方案．如表给出了这9次实验的结果：实验号温度（℃）时间（min）催化剂用量（g）产量（kg）180905312801206543801507384859065358512074968515054279090757890120562990150664根据上表，三因素三水平的最优组合方案为（）A．85℃120min 7g B．90℃120min 6gC．85℃150min 6g D．90℃150min 7g【分析】利用题中的数据信息，分别对温度，时间，催化剂的量进行分析，即可得出．【解答】解：利用数表分析可知，从不同的温度来看，温度对其影响比较大，几乎成正比关系；其次催化剂的量对其影响比较大，从9组数据分析可知当催化剂为6克时，在组内产量都比较大；再次，从时间上看，9组数据显示，当时间为120分钟时，相对产量较高，故选：B．【点评】本题考查了函数模型的实际应用，学生数据处理能力，逻辑推理能力，属于基础题．23．（2021•朝阳区二模）某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理．该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中15万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的q倍，若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的50%，则q的值至少为（）A．B．C．D．【分析】由题意分析可知，2024年的生活垃圾为24万吨，根据题意列出不等关系，即可解出．【解答】解：由题意可知2024年的生活垃圾为24万吨，有题意可知2024年通过环保方式处理的生活垃圾量为5×q4（万吨），∴，解得：，故选：C．【点评】本题考查了函数的实际应用，方程思想，学生的数学运算能力，属于基础题．24．（2021•顺义区二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃．那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是38℃，则k的值约为（）（ln3≈1.10，ln7≈1.95）A．0.25B．﹣0.25C．0.89D．﹣0.89【分析】由题意可知当θ1＝46℃，θ0＝10℃，t＝1min时，θ＝38℃，代入θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，再结合指数的运算性质即可求出k的值．【解答】解：∵θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，且当θ1＝46℃，θ0＝10℃，t＝1min时，θ＝38℃，∴38＝10+（46﹣10）e﹣k，∴e﹣k＝，∴﹣k＝＝ln7﹣ln9，∴k＝ln9﹣ln7＝2ln3﹣ln7≈0.25，故选：A．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数函数的性质，是基础题．25．（2020•怀柔区二模）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝a x﹣a﹣x+2（a＞0且a≠1），若g（2）＝a，则函数f（x2+2x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【分析】由已知可求f（x），g（x），然后结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解．【解答】解：因为奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝a x﹣a﹣x+2，所以f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣a x+a﹣x+2＝﹣f（x）+g（x），联立可得f（x）＝a x﹣a﹣x，g（x）＝2，因为g（2）＝a，所以a＝2，f（x）＝2x﹣2﹣x，故f（x）在R上单调递增，因为y＝x2+2x的单调递增区间（﹣1，+∞），根据复合函数的单调性可知，函数f（x2+2x）的单调递增区间为（﹣1，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，函数的性质，要熟悉复合函数单调性的判断方法，属于中档试题．26．（2020•密云区二模）已知函数f（x）的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4，8]，且x1≠x2，都有＞0；②f（x+8）＝f（x）；③y＝f（x+4）是偶函数；若a＝f（﹣7），b＝f（11），c＝f（2020），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a【分析】根据函数对称性和单调性之间的关系，结合函数的周期进行转化即可得到结论．【解答】解：由①对任意的x1，x2∈[4，8]，且x1≠x2，都有＞0可得f（x）在[4，8]上单调递增，由②f（x+8）＝f（x）可得函数的周期T＝8，由③y＝f（x+4）是偶函数可得f（x）关于x＝4对称，故a＝f（﹣7）＝f（1）＝f（7），b＝f（11）＝f（3）＝f（5），c＝f（2020）＝f（4），则f（7）＞f（5）＞f（4），即a＞b＞c．故选：D．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．27．（2019•昌平区二模）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足，若函数F （x）＝f（x）﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据函数与方程的关系，结合偶函数的性质，转化为当当x＞0时，函数F（x）＝f（x）﹣m有3个零点，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，若函数F（x）＝f（x）﹣m有6个零点，∴等价为当x＞0时，函数F（x）＝f（x）﹣m有3个零点，且0不是函数F（x）＝f（x）﹣m的零点，即当x＞0时，f（x）＝m有3个根，当0≤x＜1时，f（x）＝x2﹣＝（x﹣）2﹣，当x≥1时，f（x）＝，则f′（x）＝＝当x＞2时，f′（x）＜0，函数为减函数，当1≤x＜2时，f′（x）＞0，函数为增函数，即当x＝2时，函数f（x）为极大值，极大值为f（2）＝，当x≥1时，f（x）≥0，作出f（x）在x≥0时的图象如图，要使y＝m与y＝f（x）在x≥0时有三个交点，则0＜m＜，即实数m的取值范围是（0，），故选：C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当x＞0时，函数F（x）＝f（x）﹣m有3个零点，以及利用数形结合是解决本题的关键．28．（2021•房山区二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s（万元）与机器运转时间t（年数，t∈N*）的关系为s＝﹣t2+23t﹣64．要使年平均利润最大．则每台机器运转的年数t为（）A．5B．6C．7D．8【分析】先求出年平均利润的关系式，再利用基本不等式即可求解．【解答】解：由已知可得年平均利润为Z＝＝，（t＞0），所以Z＝﹣（t+）+23+23＝﹣16+23＝7，当且仅当，即t＝8时取等号，此时年平均利润的最大值为7，故选：D．【点评】本题考查了函数的实际应用，涉及到利用基本不等式求解最值的问题，属于中档题．29．（2021•顺义区二模）设函数f（x）＝，若f（x）恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】通过函数的导数求解函数的极值点，作出f（x）的图象，讨论a的范围，根据图象判断即可得出结论．【解答】解：函数y＝﹣x3+3x，x∈R，则y'＝﹣3x2+3＝﹣3（x+1）（x﹣1），所以当﹣1＜x＜1时，y'＞0，故函数单调递增，当x＜﹣1或x＞1时，y'＜0，故函数单调递减，当x＝﹣1时，y＝﹣2，当x＝1时，y＝2，作出函数y＝﹣x3+3x，x∈R的图象与y＝2x，x∈R的图象，如图所示，在图象中作直线x＝a，通过x＝a左右平移，得到函数f（x）＝的图象，因为f（x）恰有两个零点，则f（x）的图象与x轴恰有两个交点，所以实数a的取值范围是．故选：C．【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数的导数的应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题30．（2021•海淀区二模）已知函数f（x）＝，若对于任意正数k，关于x的方程f（x）＝k都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为（）A．0B．1C．2D．无数【分析】分情况讨论，并作出大致图象，由图象结合题意分析即可得解．【解答】解：函数y＝|x+a|的图象形状大致如下，①当a＞0时，要使f（x）＝k有两个不相等的实数根，即f（x）的图象与直线y＝k有两个交点，如图，当y＝x2﹣ax+2的对称轴在x＝a的左边，且两段在a处相交时，可满足题意，此时，解得a＝1；②当a＜0时，如图，要满足条件，需在x＝a处相接，且y＝x2﹣ax+2在处的函数值为0，则，无解；③当a＝0时，，显然不合题意；综上，满足条件的a有1个．故选：B．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论思想及数形结合思想，属于中档题．31．（2020•顺义区二模）已知函数，若实数m∈[﹣2，0]，则|f（x）﹣f（﹣1）|在区间[m，m+2]上的最大值的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，4]C．[1，3]D．[1，2]。

2023北京重点校高一（上）期末数学汇编对数函数一、单选题1．（2023秋·北京东城·高一统考期末）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A ．y =B ．ln y x=C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．3y x =2．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）下列函数在其定义域内是增函数的是（）A ．2xy =B ．2log y x=-C ．1y x=-D ．23y x =3．（2023秋·北京西城·高一统考期末）若a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b<B ．22a b >C ．e e a b--<D ．ln ln a b>4．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）若函数1()x f x a -=的图象经过点(4，2)，则函数g (x )＝log a 11x +的图象是（）A ．B ．C ．D ．5．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a6．（2023秋·北京海淀·高一统考期末）已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a b c<<D ．b a c<<7．（2023秋·北京海淀·高一统考期末）已知()14log f x x =，则不等式()()413f x x ≥--的解集为（）A ．[)1,1,4∞∞⎛⎤-⋃+ ⎥⎝⎦B ．11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．110,,42∞⎛⎤⎡⎫⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．[)10,1,4∞⎛⎤⋃+ ⎥⎝⎦8．（2023秋·北京朝阳·高一统考期末）定义在R 上的偶函数()y f x =满足(1)()f x f x -=-，且在[0,1]上单调递增，2023,(2022)2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a>>D ．c b a>>9．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知0.20.233,log 3,log 2a b c ===，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>10．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）下列函数中，既是奇函数又在()0,∞+上是增函数的是（）A ．()f x x x =B ．()1f x x x=+C ．()ln f x x=D ．()2xf x =11．（2023秋·北京顺义·高一统考期末）已知12211log ,2,22a b c ⎛=== ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a12．（2023秋·北京顺义·高一统考期末）下列函数中，在区间()0,∞+上是减函数的是（）A ．3log y x =B ．y =C ．3xy =D ．2y x =-13．（2023秋·北京顺义·高一统考期末）已知函数()()3log 2f x x =-，那么()f x 的定义域是（）A ．{0}x x >∣B ．{2}xx <∣C ．{}2xx ≠∣D ．{2}xx >∣14．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）已知12212log 3,log 3,3a b c -===，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b>>D ．c b a>>15．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）已知0.6log 0.5a =，0.60.5b =，0.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c a b>>D ．c b a>>16．（2023秋·北京怀柔·高一统考期末）设0.32=a ，30.2b =，0.2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c<<B ．b c a<<C ．c a b<<D ．c b a<<17．（2023秋·北京·高一清华附中校考期末）已知0.50.2lg12,log 5,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a>>C ．a c b>>D ．b a c>>二、填空题18．（2023秋·北京东城·高一统考期末）函数()()ln 12f x x =-的定义域是__________.19．（2023秋·北京西城·高一统考期末）写出一个同时满足下列两个条件的函数()f x =_____________．①对12,(0,)x x ∀∈+∞，有()()()1212f x x f x f x =+；②当(4,)x ∈+∞时，()1f x >恒成立．20．（2023秋·北京西城·高一统考期末）函数2()log (1)f x x =-+的定义域是_____________．21．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）函数()()0.5log 1f x x =-的定义域是___________.22．（2023秋·北京海淀·高一统考期末）函数()()ln 1f x x =-的定义域是_____.23．（2023秋·北京朝阳·高一统考期末）已知下列五个函数：21,,ln ,,e x y x y y x y x y x=====，从中选出两个函数分别记为()f x 和()g x ，若()()()F x f x g x =+的图象如图所示，则()F x =______________．24．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知函数()()2log 1f x x =+，若()f x x >，则x 的范围是___________．25．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）函数()f x =___________．26．（2023秋·北京·高一清华附中校考期末）函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.三、解答题27．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）已知函数()21log 1x f x x -=+．(1)若()1f a =，求a 的值；(2)判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；(3)若()f x m ≥对于[)3,x ∈+∞恒成立，求实数m 的范围．28．（2023秋·北京朝阳·高一统考期末）已知函数()12()log 21,xf x mx m =+-∈R ．(1)当0m =时，解不等式()1f x >-；(2)若函数()f x 是偶函数，求m 的值；(3)当1m =-时，若函数()y f x =的图象与直线y b =有公共点，求实数b 的取值范围．29．（2023秋·北京顺义·高一统考期末）已知函数()2ln ,1e,22, 1.x x f x x x x <≤⎧=⎨-++≤⎩其中，e 2.71828= .(1)求()e f 与()1f -的值；(2)求()f x 的最大值.四、双空题30．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）已知函数()211,,221log ,2x x f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≥⎪⎩，则()2f -=__________；()f x 的最小值为__________.参考答案1．C【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性即可得到答案.【详解】根据幂函数图像与性质可知，对A选项y =(0,)+∞单调递增，故A 错误，对D 选项3y x =在(0,)+∞单调性递增，故D 错误，根据指数函数图像与性质可知12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(0,)+∞单调递减，故C 正确，根据对数函数图像与性质可知ln y x =在(0,)+∞单调性递增.故选：C.2．A【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性依次判断即可.【详解】选项A ：2x y =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，正确；选项B ：2log y x =在定义域(0,)+∞上是增函数，所以2log y x =-在定义域(0,)+∞上是减函数，错误；选项C ：1y x =-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，1y x=-在(,0)-∞和(0,)+∞上是增函数，当120x x <<时，1211x x ->-，C 错误；选项D ：23y x =的定义域为(,)-∞+∞，因为203>，由幂函数的性质可得23y x =在(0,)+∞上单调递增，又因为23y x =是偶函数，由对称性可得23y x =在(,0)-∞单调递减，D 错误；故选：A 3．C【分析】利用特殊值判断AB ，由不等式的性质及指数函数的单调性判断C ，由特殊值及对数的意义判断D.【详解】当1,1a b ==-时，11a b>，故A 错误；当1,1a b ==-时，22a b =，故B 错误；由a b a b >⇒-<-，因为e x y =为增函数，所以e e a b --<，故C 正确；当1,1a b ==-时，ln b 无意义，故ln ln a b >不成立，故D 错误.故选：C 4．D【分析】根据函数1()x f x a -=的图象经过点(4，2)可求出a 的值，把a 的值代入函数()g x 的解析式，从而根据函数()g x 的定义域及单调性排除选项.【详解】由题意可知f (4)＝2，即a 3＝2，所以a.所以)1()11g x x x ==-++，因为函数()g x 的定义域为()1,-+∞，且函数()g x 在定义域内单调递减，所以排除选项A ，B ，C.故选：D.5．B【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．6．A【分析】化简a ，通过讨论函数()2xf x =和()4log g x x =的单调性和取值范围即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a ==，在()2xf x =中，函数单调递增，且()0f x >，∴0.20.6022b a <<==，在()4log g x x =中，函数单调递增，且当01x <<时，()0g x <，∴4log 0.60c =<，∴c<a<b ，故选：A.7．D【分析】化简不等式()()413f x x ≥--，结合解方程组以及函数的图象确定正确答案.【详解】()f x 的定义域是()0,∞+，AB 选项错误.()()()144444log log 1,log 133f x x x x x x ==-≥--≤-①，由()4log 413y xy x =⎧⎪⎨=-⎪⎩解得11141x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩或2210x y =⎧⎨=⎩，画出()44log ,13y x y x ==-的图象如下图所示，由图可知，不等式①的解集为[)10,1,4∞⎛⎤⋃+ ⎥⎝⎦.故选：D8．A【分析】由(1)()f x f x -=-得(2)()f x f x -=，则()f x 的周期为2，结合函数的奇偶性，即可化简a ，b ，c ，最后根据单调性比较大小.【详解】由(1)()f x f x -=-得(2)(1)()f x f x f x -=--=，∴()f x 的周期为2，又()f x 为偶函数，则202311110122222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(2022)(0)c f f ==，∵102<<=，()f x 在[0,1]上单调递增，∴c b a <<.故选：A 9．B【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断各数的范围，可比较大小.【详解】根据指数函数、对数函数性质可得，0.20331a =>=，0.20.2log 3log 10b =<=，3log 2c =，由3330log 1log 2log 31=<<=，则01c <<，所以a c b >>，故选∶B ．10．A【分析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性是否符合题意.【详解】对A ，函数()f x x x =，定义域为R ，()()f x x x x x f x -=--=-=-，函数为奇函数，当()0,x ∞∈+时，()2f x x =，在()0,∞+上单调递增，A 选项正确；对B ，函数()1f x x x =+，1111424422f f ⎛⎫⎛⎫=+>=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足在()0,∞+上是增函数，B 选项错误；对C ，函数()ln f x x =，定义域为()0,∞+，不是奇函数，C 选项错误；对D ，函数()2xf x =，定义域为R ，值域为()0,∞+，函数图象在x 轴上方，不关于原点对称，不是奇函数，D 选项错误.故选：A 11．B【分析】由对数运算直接求出10a =-<，由2x y =为增函数可得0c b <<，即可判断.【详解】21log 102a ==-<，由2x y =为增函数可知12022<<，即0a c b <<<.故选：B 12．D【分析】由解析式直接得到函数的单调性，选出正确答案.【详解】3log y x =在()0,∞+上单调递增，A 错误；y =在()0,∞+上单调递增，B 错误；3x y =在()0,∞+上单调递增，C 错误；2y x =-在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，D 正确.故选：D 13．D【分析】根据真数大于0求解可得.【详解】由20x ->解得2x >,所以函数()f x 的定义域为{}2x x .故选：D 14．B【分析】根据指对数的性质判断,,a b c 的大小关系.【详解】由121122022lo 31g 3log 10l 3log 23og -<==<<=<，所以a c b >>.故选：B 15．A【分析】利用指数函数、对数函数单调性并借助特殊值1为“桥梁”，即可判断作答.【详解】因函数0.6log y x =在(0,)+∞上单调递减，而0.50.6<，于是得0.60.6log 0.5log 0.61>=，函数0.5x y =在R 上单调递减，而00.61<<，于是得又10.600.50.50.51<<=，即1a b c >>>，所以a b c >>.故选：A 16．D【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质，再结合“媒介”数比较大小作答.【详解】0.30221a =>=，3000.20.21<<=，即01b <<，0.20.2log 5log 10c =<=，因此01c b a <<<<，即D 正确.故选：D 17．C【分析】根据题意得到1a >，0b <，01c <<，即可得到答案.【详解】1lg12lg 01a =>=，即1a >.0.20.2log 5log 10b =<=，即0b <.00.544-<<0，即01c <<.所以a c b >>.故选：C18．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】根据对数真数大于零可构造不等式求得结果.【详解】由120x ->得：12x <，()f x \的定义域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.19．2l og x (答案不唯一)【分析】由()f x 满足的两个条件可以联想到对数函数，再根据对数函数的性质时行判断即可得答案.【详解】解：因为由()f x 满足的两个条件可以联想到对数函数，当2()log f x x =时，对12,(0,)x x ∀∈+∞，()12212212212log ()log log ()()f x x x x x x f x f x ==+=+,满足条件①；当(4,)x ∈+∞时，2()log 421f x >=>，满足条件②.故答案为：2l og x (答案不唯一)20．[0,1)【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.【详解】由题意可知：10010x x x ->⎧⇒≤<⎨≥⎩，所以该函数的定义域为[0,1)，故答案为：[0,1)21．()1,+∞【分析】根据对数函数定义求对数函数的定义域.【详解】解：要使函数()()0.5log 1f x x =-有意义就要10x ->，即1x >，所以函数()()0.5log 1f x x =-的定义域是()1,+∞.故答案为：()1,+∞22．{}|1x x <【分析】直接令真数大于0可得定义域.【详解】函数()()ln 1f x x =-，由10x ->，得1x <，所以定义域为{}|1x x <.故答案为：{}|1x x <.【点睛】本题主要考查了对数型函数的定义域，属于基础题.23．1e x x+【分析】观察图象确定函数()F x 的定义域和奇偶性和特殊点，由此确定()F x 的解析式.【详解】由已知()()()F x f x g x =+，()()21,,,,ln ,e x f x g x y x y y x y x y x ⎧⎫∈=====⎨⎬⎩⎭，观察图象可得()F x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以()f x 或()g x 中必有一个函数为1y x=，且另一个函数不可能为ln y x =，又()F x 的图象不关于原点对称，所以1()F x x x ≠+，所以21()F x x x =+或1()e x F x x=+，若21()F x x x =+，则1(1)101F -=+=-与函数()F x 图象矛盾，所以1()e x F x x =+，故答案为：1e x x+.24．()0,1【分析】作出两个函数的图像，利用数形结合解不等式.【详解】作出函数()2log 1y x =+和函数y x =的图像，如图所示，两个函数的图像相交于点()0,0和()1,1，当且仅当()0,1x ∈时，()2log 1y x =+的图像在y x =的图像的上方，即不等式()>f x x 的解集为()0,1.故答案为：()0,125．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】根据二次根式以及对数函数的性质，求出函数有意义所需的条件.【详解】函数()f x =01ln 0x x >⎧⎨+≥⎩，解得1e x ≥，即函数定义域为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭26．()()1,22,⋃+∞【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞27．(1)3-(2)奇函数，证明见解析(3)(],1-∞-【分析】（1）代入x a =，得到21log 11a a -=+，利用对数的运算即可求解；（2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算()(),f x f x -的数量关系，由此完成证明；（3）将已知转化为()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦，求出()f x 在[)3,+∞的最小值，即可得解.【详解】（1）()1f a = ，21log 11a a -∴=+，即121a a -=+，解得3a =-，所以a 的值为3-（2）()f x 为奇函数，证明如下：由10110x x x -⎧>⎪+⎨⎪+≠⎩，解得：1x >或1x <-，所以定义域为()(),11,-∞-⋃+∞关于原点对称，又()()122221111log log log log 1111x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-====-=- ⎪-+-++⎝⎭，所以()f x 为奇函数；（3）因为()2221122log log log 1111x x f x x x x -+-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，又外部函数2log y u =为增函数，内部函数211y x =-+在[)3,+∞上为增函数，由复合函数的单调性知函数()f x 在[)3,+∞上为增函数，所以()()22min 3113log log 1312f x f -====-+，又()f x m ≥对于[)3,x ∈+∞恒成立，所以()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦，所以1m ≤-，所以实数m 的范围是(],1-∞-28．(1)(),0∞-(2)12-(3)(),0∞-【分析】（1）()1f x >-即()11222log 21log x +>，结合对数、指数函数单调性求解即可；（2）()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，结合对数运算法则化简求值即可（3）由对数运算得121()log 21x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+在R 上单调递增，且值域为(),0∞-，即可由数形结合判断b 的取值范围.【详解】（1）当0m =时，()1f x >-即()11222log 211log x +>-=，即212x +<，解得(),0x ∈-∞；（2）函数()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，即()()1122log 21log 21x x mx mx -+-=++，即1221log 221x x mx -+=+，即12log 22x x mx =-=，∵x ∈R ，故12m =-；（3）当1m =-时，()()1111122222211()log 21log 21log log lo 2g 221x x x x x x f x x -⎪++⎛⎫=++=++== ⎝⎭，x ∈R .∵112x y =+为减函数，故121()log 21x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+在R 上单调递增，且值域为(),0∞-∵函数()y f x =的图象与直线y b =有公共点，故实数b 的取值范围为(),0∞-.29．(1)(e)f 1=,(1)1f -=-.(2)3【分析】（1）根据分段函数的解析式可求出结果；（2）利用函数的单调性分段求出最大值，再比较可得结果.【详解】（1）(e)f ln e=1=,2(1)(1)2(1)21f -=--+⋅-+=-.（2）当1e x <≤时，()ln f x x =为增函数，max ()(e)1f x f ==，当1x ≤时，()()222213f x x x x =-++=--+为增函数，()()max 13f x f ==，因为31>，所以()f x 的最大值为3.30．4-1【分析】根据单调性分别讨论分段函数每段的最小值，再综合判断.【详解】()21242f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，()11,22x x f x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭在区间内单调递减，故()f x 在12x <上无最小值，且1212⎛⎫ ⎪⎝⎭()21,log 2x f x x ≥=在区间内单调递增，故()2min 11log 122f x f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭故答案为：-1。

2019-2021北京高中期末数学汇编：函数的定义域一．选择题（共5小题）1．（2020秋•西城区期末）函数的定义域是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）2．（2019秋•西城区校级期末）已知函数，则f（x）的定义域是（）A．[﹣1，2）B．[﹣1，+∞）C．（2，+∞）D．[﹣1，2）∪（2，+∞）3．（2019秋•西城区期末）函数y＝的定义域是（）A．[0，1）B．（1，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）4．（2019秋•海淀区校级期末）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）5．（2019秋•石景山区期末）函数的定义域是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）二．填空题（共15小题）6．（2021春•丰台区期末）函数f（x）＝的定义域为．7．（2020秋•朝阳区期末）函数f（x）＝+lg（x﹣1）的定义域为．8．（2020秋•顺义区期末）函数f（x）＝ln（x﹣1）+的定义域是．9．（2020秋•房山区期末）函数y＝ln（2x+1）+2的定义域为．10．（2020秋•石景山区期末）函数f（x）＝+lnx的定义域为．11．（2020秋•东城区期末）函数f（x）＝+lnx的定义域是．12．（2020秋•东城区期末）函数f（x）＝的定义域为．13．（2019秋•海淀区期末）已知f（x）＝lgx，则f（x）的定义域为，不等式f（x﹣1）＜0的解集为．14．（2019秋•东城区期末）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是．15．（2019秋•海淀区校级期末）函数的定义域为．16．（2020秋•丰台区期末）函数f（x）＝log0.5（3x﹣2）的定义域为．17．（2021•怀柔区一模）函数的定义域为18．（2019春•海淀区校级期末）函数y＝的定义域是．19．（2021春•昌平区期末）函数f（x）＝的定义域为．20．（2020春•海淀区校级期末）函数f（x）＝的定义域为．三．解答题（共1小题）21．（2019秋•通州区期末）已知函数f（x）＝log a（1+x）+log a（1﹣x）（a＞0，a≠1），（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅰ）若f（0.5）≈0.42，求f（﹣0.5）的值（精确到0.01）．2019-2021北京高中期末数学汇编：函数的定义域参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2020秋•西城区期末）函数的定义域是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），故选：C．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．2．（2019秋•西城区校级期末）已知函数，则f（x）的定义域是（）A．[﹣1，2）B．[﹣1，+∞）C．（2，+∞）D．[﹣1，2）∪（2，+∞）【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x≥﹣1且x≠2，故函数的定义域是[﹣1，2）∪（2，+∞），故选：D．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．3．（2019秋•西城区期末）函数y＝的定义域是（）A．[0，1）B．（1，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）【分析】由偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可得到不等式组，解出即可求得定义域．【解答】解：依题意，，解得x≥0且x≠1，即函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞），故选：D．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．4．（2019秋•海淀区校级期末）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则ln（x+1）≠0，且x+1＞0，即x＞﹣1且x≠0，故函数的定义域为{x|x＞﹣1且x≠0}，故选：A．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．5．（2019秋•石景山区期末）函数的定义域是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数中，令，解得x≥﹣1且x≠1；所以f（x）的定义域是[﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，是基础题．二．填空题（共15小题）6．（2021春•丰台区期末）函数f（x）＝的定义域为{x|x＞0}．【分析】可看出，要使得f（x）有意义，则需满足x＞0，然后写出f（x）的定义域即可．【解答】解：要使f（x）有意义，则x＞0，∴f（x）的定义域为{x|x＞0}．故答案为：{x|x＞0}．【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．7．（2020秋•朝阳区期末）函数f（x）＝+lg（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意，得，解得x＞1，故函数f（x）的定义域是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及二次根式的性质，是基础题．8．（2020秋•顺义区期末）函数f（x）＝ln（x﹣1）+的定义域是（1，2）∪（2，+∞）．【分析】根据对数函数以及分母不为0，求出函数f（x）的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞1且x≠2，故函数f（x）的定义域是（1，2）∪（2，+∞），故答案为：（1，2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．9．（2020秋•房山区期末）函数y＝ln（2x+1）+2的定义域为．【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：2x+1＞0，解得：x＞﹣，故函数的定义域是（﹣，+∞），故答案为：（﹣，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．10．（2020秋•石景山区期末）函数f（x）＝+lnx的定义域为（0，+∞）．【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞0，故函数f（x）的定义域是（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．11．（2020秋•东城区期末）函数f（x）＝+lnx的定义域是[1，+∞）．【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x≥1，故函数的定义域是[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题．12．（2020秋•东城区期末）函数f（x）＝的定义域为{x|x＜0或0＜x≤2}．【分析】通过函数的分母不为0，开偶次方被开方数非负，列出不等式组求解即可．【解答】解：要使函数有意义，必有：，可得x≤2且x≠0．所以函数的定义域为：{x|x＜0或0＜x≤2}故答案为：{x|x＜0或0＜x≤2}．【点评】本题考查函数的定义域的求法，基本知识的考查．13．（2019秋•海淀区期末）已知f（x）＝lgx，则f（x）的定义域为（0，+∞），不等式f（x﹣1）＜0的解集为（1，2）．【分析】由对数式的真数大于0求得函数定义域，求解对数不等式可得不等式f（x﹣1）＜0的解集．【解答】解：函数f（x）＝lgx的定义域为（0，+∞）；由f（x﹣1）＜0，得lg（x﹣1）＜0＝lg1，得0＜x﹣1＜1，即1＜x＜2．∴不等式f（x﹣1）＜0的解集为（1，2）．故答案为：（0，+∞）；（1，2）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题．14．（2019秋•东城区期末）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是（﹣1，1）．【分析】解不等式1﹣x2＞0即可．【解答】解：令1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．15．（2019秋•海淀区校级期末）函数的定义域为（﹣∞，2）∪（2，3）．【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＜3且x≠2，故函数的定义域是（﹣∞，2）∪（2，3），故答案为：（﹣∞，2）∪（2，3）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．16．（2020秋•丰台区期末）函数f（x）＝log0.5（3x﹣2）的定义域为（，+∞）．【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：3x﹣2＞0，解得：x＞，故函数的定义域是（，+∞），故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．17．（2021•怀柔区一模）函数的定义域为[0，1）【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．【解答】解：要使原函数有意义，则：；∴0≤x＜1；∴原函数的定义域为[0，1）．故答案为：[0，1）．【点评】考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域．18．（2019春•海淀区校级期末）函数y＝的定义域是[2，+∞）．【分析】根据二次根式和对数函数的定义与性质，列出不等式求得解集即可．【解答】解：由题意，令log4（x﹣1）≥0，得x﹣1≥1，解得x≥2，所以函数y＝的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的性质与应用问题，是基础题．19．（2021春•昌平区期末）函数f（x）＝的定义域为（，1）．【分析】由题意根据函数的定义域的求法，得出x的范围．【解答】解：对于函数f（x）＝，应有2x﹣1＞0，1﹣x＞0，求得＜x＜1，可得函数的定义域为（，1），故答案为：（，1）．【点评】本题主要考查函数的定义域的求法，属于基础题．20．（2020春•海淀区校级期末）函数f（x）＝的定义域为{x|x≥1}．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0求解得答案．【解答】解：由，得：x≥1，∴函数f（x）＝的定义域为：{x|x≥1}．故答案为：{x|x≥1}．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．三．解答题（共1小题）21．（2019秋•通州区期末）已知函数f（x）＝log a（1+x）+log a（1﹣x）（a＞0，a≠1），（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅰ）若f（0.5）≈0.42，求f（﹣0.5）的值（精确到0.01）．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可；（Ⅰ）判断f（﹣x）＝f（x），从而求出f（﹣0.5）的值．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝log a（1+x）+log a（1﹣x），得解得﹣1＜x＜1；所以函数f（x）的定义域是（﹣1，1）；（Ⅰ）因为f（﹣x）＝log a[1+（﹣x）]+log a[1﹣（﹣x）]＝log a（1﹣x）+log a（1+x）＝f（x），所以f（﹣0.5）＝f（0.5）≈0.42．【点评】本题考查了求函数的定义域和计算函数值的问题，是基础题．。

2019-2021北京高中数学期末汇编：函数的图象与图象的变换一．选择题（共18小题）1．（2020秋•西城区校级期末）函数y＝|lg（x﹣1）|的图象是（）A．B．C．D．2．（2020春•海淀区校级期末）函数f（x）＝1+log2x与g（x）＝（）x﹣1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．3．（2019秋•平谷区期末）在同一直角坐标系中，y＝2x与y＝log2（﹣x）的图象可能是（）A．B．C．D．4．下列函数f（x）图象中，满足f（）＞f（3）＞f（2）的只可能是（）A．B．C．D．5．（2021春•昌平区期末）若不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，则函数f（x）＝cx2﹣x﹣a的图象可以为（）A．B．C．D．6．（2020春•海淀区校级期末）已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如表：f′（x）为f（x）的导函数，函数y＝f′（x）的图象如图所示．若实数a满足f（2a+1）≤1，则a的取值范围是（）x﹣20f（x）1﹣1A．（﹣，）B．（﹣，）C．[﹣，]D．[﹣，]7．（2020春•西城区期末）棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台．小棱锥的体积记为y，棱台的体积记为x，则y与x的函数图象为（）A．B．C．D．8．（2019秋•房山区期末）已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝a x+b 的图象可以是（）A．B．C．D．9．（2019秋•石景山区期末）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x≥0），g（x）＝log a x的图象可能是（）A．B．C．D．10．（2019春•朝阳区期末）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．11．（2020春•通州区期末）已知函数f（x）的图象如图所示，那么该函数可能为（）A．f（x）＝B．f（x）＝C．f（x）＝D．f（x）＝12．（2019秋•海淀区校级期末）对于函数f（x），若存在区间M＝[a，b]（a＜b）使得{y|y＝f（x），x∈M}＝M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间，给出下列四个函数：①f（x）＝，②f（x）＝x3，③f（x）＝cos x，④f（x）＝tan x其中存在“稳定区间”的函数有（）A．①②B．②③C．③④D．①④13．（2021春•通州区期末）已知指数函数f（x）＝a x，将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，则a的值是（）A．±3B．3C．D．14．（2020春•平谷区期末）已知函数f（x）的导函数图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减B．函数f（x）有三个零点C．当x＝0时，函数f（x）取得最大值D．当x＝0时，函数f（x）取得极大值15．（2020春•东城区期末）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．f（x）有极大值f（﹣2）B．f（x）有极小值f（﹣2）C．f（x）有极大值f（1）D．f（x）有极小值f（1）16．（2019秋•大兴区期末）某种新产品的社会需求量y是时间t的函数，记作：y＝f（t）．若f（0）＝y0，社会需求量y的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，f（t）的导函数f'（t）满足：f'（t）＝kf（t）（500﹣f（t））（k 为正的常数），则函数f（t）的图象可能为（）A．①②B．①③C．②④D．①②③17．（2021春•海淀区校级期末）已知曲线：①y2＝x②x2+y2＝1③y＝x3④x2﹣y2＝1．上述四条曲线中，满足：“若曲线与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切”的曲线条数是（）A．1B．2C．3D．418．（2019春•海淀区校级期末）已知函数y＝f（x）的图象如图，则函数f（x）的解析式可能是（）A．（x﹣）cos x B．（x+）cos x C．x cos x D．二．填空题（共1小题）19．（2019秋•海淀区校级期末）如图所示，为f（x）＝x3+1和g（x）＝﹣3x2+9x+a在同直角坐标系下的图象，当两函数图象在y轴右侧有两个交点时，a的范围为．三．解答题（共1小题）20．（2021春•通州区期末）已知函数y＝f（x）是图象经过点（2，4）的幂函数，函数y＝g（x）是定义域为R的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，g（x）＝f（x）﹣2x．（Ⅰ）求函数y＝f（x）的解析式；（Ⅰ）求当x∈（﹣∞，0）时函数y＝g（x）的解析式，并在给定的坐标系中画出y＝g（x）（x∈R）的图象；（Ⅰ）写出函数y＝g（x）（x∈R）的单调区间．2019-2021北京高中数学期末汇编：函数的图象与图象的变换参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2020秋•西城区校级期末）函数y＝|lg（x﹣1）|的图象是（）A．B．C．D．【分析】求出函数的定义域，利用定义域进行排除即可．【解答】解：由x﹣1＞0得x＞1，即函数的定义域为（1，+∞），排除A，B，D，故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用定义域是否满足，结合排除法是解决本题的关键，是基础题．2．（2020春•海淀区校级期末）函数f（x）＝1+log2x与g（x）＝（）x﹣1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据复数指数函数和对数函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可．【解答】解：f（x）＝1+log2x在（0，+∞）上为增函数，且f（1）＝1排除A，g（x）＝（）x﹣1在的定义域上为减函数，排除D，且g（0）＝（）﹣1＝2，排除B，故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法是解决本题的关键．3．（2019秋•平谷区期末）在同一直角坐标系中，y＝2x与y＝log2（﹣x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】因为y＝2x的图象为过点（0，1）的递增的指数函数图象，y＝log2（﹣x）的图象为过点（﹣1，0）的递减的函数图象，可排除选项A，C，D可得解．【解答】解：因为y＝2x的图象为过点（0，1）的递增的指数函数图象，故排除答案C，D，y＝log2（﹣x）的图象为过点（﹣1，0）的递减的函数图象，故排除答案A，故选：B．【点评】本题考查了函数的图象及图象的变换，本题利用了排除法解题的解题方法，属简单题4．下列函数f（x）图象中，满足f（）＞f（3）＞f（2）的只可能是（）A．B．C．D．【分析】根据所给的不等式，推测出函数图象可能的单调性，由此判断出正确选项．【解答】解：由所给的不等式可得，函数是先减后增型的，故排除A，B，由于C的图象关于x＝1对称，左减右增，有f（）＝f（）＜f（3），故排除CD图象在（0，1）上递减且递减较快，在（1，+∞）递增，递增较慢，可能满足f（）＞f（3）＞f（2），故选：D．【点评】本题考查函数图象的变化与函数值变化的对应关系，熟练掌握单调性变化与图象变化的对应是解答的关键5．（2021春•昌平区期末）若不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，则函数f（x）＝cx2﹣x﹣a的图象可以为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得方程ax2﹣x﹣c＝0的解为x1＝﹣1或x2＝，且a＜0，由根与系数的关系分析a、c的值，即可得f（x）的解析式，分析可得答案．【解答】解：根据题意，不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，则方程ax2﹣x﹣c＝0的解为x1＝﹣1或x2＝，且a＜0，则有，解可得，函数f（x）＝cx2﹣x﹣a＝﹣x2﹣x+2，是开口向下，对称轴为x＝﹣的二次函数，故选：C．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，涉及二次函数的性质，属于基础题．6．（2020春•海淀区校级期末）已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如表：f′（x）为f（x）的导函数，函数y＝f′（x）的图象如图所示．若实数a满足f（2a+1）≤1，则a的取值范围是（）x﹣20f（x）1﹣1A．（﹣，）B．（﹣，）C．[﹣，]D．[﹣，]【分析】先根据导函数f'（x）的图象分析出函数f（x）的单调性，再结合表中数据可列出不等式2a+1≥﹣2，解之可得a的部分范围，最后对比选项作出选择．【解答】解：由图可知，f（x）在[﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，由表可知，f（﹣2）＝1，因为f（2a+1）≤1，所以2a+1≥﹣2，解得a≥．对比选项，发现只有C符合题意，故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力，属于基础题．7．（2020春•西城区期末）棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台．小棱锥的体积记为y，棱台的体积记为x，则y与x的函数图象为（）A．B．C．D．【分析】设棱锥的体积为V，则y＝V﹣x，即y是关于x的一次函数，且单调递减，故而得解．【解答】解：设棱锥的体积为V，则V为定值，所以y＝V﹣x，即y是关于x的一次函数，且单调递减，故选：A．【点评】本题考查函数的图象，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．8．（2019秋•房山区期末）已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝a x+b 的图象可以是（）A．B．C．D．【分析】根据条件先判断a，b的取值范围，结合指数函数的单调性和性质进行判断即可．【解答】解：由二次函数图象知函数的零点零点为a，b，其中a＞1或﹣1＜b＜0，则函数g（x）为增函数，排除C，D，g（0）＝1+b∈（0，1），排除B，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的单调性和二次函数的性质是解决本题的关键．比较基础．9．（2019秋•石景山区期末）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x≥0），g（x）＝log a x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得a＞0且a≠1，进而分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，结合幂函数和对数函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝x a（x≥0），g（x）＝log a x，必有a＞0且a≠1，分2种情况讨论：当a＞1时，f（x）＝x a（x≥0）过点（0，0）和（1，1），在第一象限为增函数，且图象变化越来越快，而g（x）＝log a x为对数函数，过点（0，1）且为增函数，没有选项符合；当0＜a＜1时，f（x）＝x a（x≥0）过点（0，0）和（1，1），在第一象限为增函数，且图象变化越来越慢，而g（x）＝log a x为对数函数，过点（0，1）且为减函数，只有A选项符合；故选：A．【点评】本题考查函数的图象分析，涉及幂函数和对数函数的图象，属于基础题．10．（2019春•朝阳区期末）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析函数f（x）的定义域、奇偶性以及当x＞0时，f（x）的符号，据此分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，当x＞0时，有f（x）＞0，函数的图象在第一象限，分析选项可得：C符合；故选：C．【点评】本题考查函数图象的判定分析，注意分析函数f（x）的奇偶性与值域，属于基础题．11．（2020春•通州区期末）已知函数f（x）的图象如图所示，那么该函数可能为（）A．f（x）＝B．f（x）＝C．f（x）＝D．f（x）＝【分析】由函数的奇偶性可排除选项A；由x→0+时，f（x）的值可排除选项C；对比B和D选项，发现当x∈（0，1）时，两个函数对应的函数值的正负性恰好相反，利用对数函数的图象，验证后即可得解．【解答】解：由图可知，函数f（x）为奇函数，而选项A中的函数是非奇非偶函数，排除选项A；对于选项C，当x→0+时，f（x）→﹣1，而图中f（x）→﹣∞，排除选项C；当x∈（0，1）时，从图象可知，f（x）＜0，而对于选项D，lnx＜0，x2＞0，所以f（x）＞0，与图象不符，排除选项D．故选：B．【点评】本题考查函数的图象，一般从函数的单调性、奇偶性和特殊点处的函数值等方面着手考虑，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．12．（2019秋•海淀区校级期末）对于函数f（x），若存在区间M＝[a，b]（a＜b）使得{y|y＝f（x），x∈M}＝M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间，给出下列四个函数：①f（x）＝，②f（x）＝x3，③f（x）＝cos x，④f（x）＝tan x其中存在“稳定区间”的函数有（）A．①②B．②③C．③④D．①④【分析】根据已知条件可得，要让函数f（x）存在稳定区间，则函数y＝x与f（x）的图象至少有两个交点，所以判断给出的四个函数和函数y＝x的交点情况即可．【解答】解：通过已知条件知：若f（x）存在稳定区间，则函数y＝x与f（x）图象至少有两个交点；①f（x）＝，通过图象可以看出，y＝x与f（x）＝的图象有1个交点，∴该函数不存在稳定区间；所以①不正确；②f（x）＝x3，x∈[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣1，1]，即存在M＝[﹣1，1]，使得{y＝f（x），x∈M}＝M；即该函数存在稳定区间；所以②正确；③f（x）＝cos x，画出函数的图象，y＝x的图象，通过图象可以看出y＝x与f（x）＝cos x的图象有1个交点，∴该函数存在稳定区间（0，1）；④f（x）＝tan x的图象以及y＝x的图象如图：即该函数不存在稳定区间．∴存在“稳定区间”的函数有：②③．故选：B．【点评】考查函数的定义域，值域，通过图象解决问题以及对稳定区间概念的理解．是中档题．13．（2021春•通州区期末）已知指数函数f（x）＝a x，将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，则a的值是（）A．±3B．3C．D．【分析】根据图象的变换，求出对应的解析式，建立方程进行求解即可．【解答】解：将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝3a x，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，得到y＝3a x﹣2，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，即3a x﹣2＝a x，即＝1，得a2＝3，a＝，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数图象变换关系求出相应的解析式是解决本题的关键，是中档题．14．（2020春•平谷区期末）已知函数f（x）的导函数图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减B．函数f（x）有三个零点C．当x＝0时，函数f（x）取得最大值D．当x＝0时，函数f（x）取得极大值【分析】由导函数的图象判断出导函数的符号；根据导函数的符号与函数的单调性的关系判断出函数的单调性并推出极值．【解答】解：由函数f（x）的导函数f′（x）的图象，可知x＜0时，f′（x）＞0，函数是增函数，0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数是减函数，x＞2时，f′（x）＞0，函数是增函数，所以x＝0时，函数f（x）取得极大值，但不是最大值，x＝2时，函数f（x）取得极小值．由导函数图象无法判断极大值与极小值的大小，故函数零点个数无法确定．结合选项只有D正确．故选：D．【点评】本题考查函数的单调性、函数的极值、最值及零点的判断，考查数形结合以及计算能力．15．（2020春•东城区期末）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．f（x）有极大值f（﹣2）B．f（x）有极小值f（﹣2）C．f（x）有极大值f（1）D．f（x）有极小值f（1）【分析】由函数y＝（1﹣x）f′（x）的图象，可得x＞1时，f′（x）＜0；﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0；x＜﹣2时，f′（x）＞0．由此可得函数f（x）的单调性，则答案可求．【解答】解：函数y＝（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，∴x＞1时，f′（x）＜0；﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0；x＜﹣2时，f′（x）＞0．∴函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递减．∴f（x）有极大值f（﹣2）．故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值、考查数形结合思想方法，考查了分类讨论方法，是中档题．16．（2019秋•大兴区期末）某种新产品的社会需求量y是时间t的函数，记作：y＝f（t）．若f（0）＝y0，社会需求量y的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，f（t）的导函数f'（t）满足：f'（t）＝kf（t）（500﹣f（t））（k 为正的常数），则函数f（t）的图象可能为（）A．①②B．①③C．②④D．①②③【分析】令f'（t）＝0，则f（t）＝0或500，即当f（t）＝0或500时，曲线的切线斜率接近0，即可得解．【解答】解：因为f'（t）＝kf（t）（500﹣f（t）），令f'（t）＝0，则f（t）＝0或500，即当f（t）＝0或500时，曲线的切线斜率接近0，由选项可知，只有①③符合题意，故选：B．【点评】本题考查函数的实际应用，涉及函数模型、导数概念与几何意义，考查学生将理论与实际联系的能力和分析问题的能力，属于中档题．17．（2021春•海淀区校级期末）已知曲线：①y2＝x②x2+y2＝1③y＝x3④x2﹣y2＝1．上述四条曲线中，满足：“若曲线与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切”的曲线条数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】分别根据直线和抛物线，圆，幂函数，双曲线有一个点的情况，进行讨论即可．【解答】解：①当直线和抛物线y2＝x对称轴平行时，曲线与直线有且仅有一个公共点，但此时直线不是切线，故①错误，②当直线和圆x2+y2＝1只有一个公共点时，直线与圆相切，故②正确，③当直线和x轴平行时，直线和y＝x3只有一个交点，但此时直线和曲线不相切，故③错误，④当直线和双曲线x2﹣y2＝1的渐近线平行时，直线和双曲线有一个交点，但此时直线和双曲线不相切，故④错误，故正确的只有②，故选：A．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及直线和曲线相切的位置关系的判断，要求掌握常见曲线和直线的位置关系．18．（2019春•海淀区校级期末）已知函数y＝f（x）的图象如图，则函数f（x）的解析式可能是（）A．（x﹣）cos x B．（x+）cos x C．x cos x D．【分析】根据函数图象可知，函数y＝f（x）为奇函数，排除D，定义域为{x|x≠0}，排除C，再结合函数在y轴附近的单调性即可得到答案．【解答】解：依题意，根据函数图象可知，函数y＝f（x）为奇函数，且定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），D为偶函数，排除D；C中函数定义域为R，排除C；又因为当x→0+（x＞0，且x无限接近0）时，f（x）＜0，而当当x→0+时，（x+）cos x＞0，排除B，故选：A．【点评】本题考查了函数的性质的应用，函数的图象变换，属于中档题．二．填空题（共1小题）19．（2019秋•海淀区校级期末）如图所示，为f（x）＝x3+1和g（x）＝﹣3x2+9x+a在同直角坐标系下的图象，当两函数图象在y轴右侧有两个交点时，a的范围为（﹣4，1）．【分析】设函数h（x）＝f（x）﹣g（x），使函数的交点转化为函数零点，由函数h（x）的单调性求出由两个正的零点值的aa的取值范围．【解答】解：令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x3+3x2﹣9x+1﹣a，h'（x）＝3x2+6x﹣9＝3（x+3）（x﹣1），x＞1或x＜﹣3，h'（x）＞0，h（x）单调递增，﹣3＜x＜1，h'（x）＜0，h（x）单调递减，由题意可得h（x）由两个正的零点，只需h（0）＞0，且h（1）＜0，即h（0）＝1﹣a＞0，可得a＜1，h（1）＝1+3﹣9+1﹣a＝﹣4﹣a＜0，可得a＞﹣4，综上所述，满足体积的a的取值范围为：（﹣4，1）；故答案为：（﹣4，1）．【点评】考查函数的零点与函数的交点的关系，属于中档题．三．解答题（共1小题）20．（2021春•通州区期末）已知函数y＝f（x）是图象经过点（2，4）的幂函数，函数y＝g（x）是定义域为R的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，g（x）＝f（x）﹣2x．（Ⅰ）求函数y＝f（x）的解析式；（Ⅰ）求当x∈（﹣∞，0）时函数y＝g（x）的解析式，并在给定的坐标系中画出y＝g（x）（x∈R）的图象；（Ⅰ）写出函数y＝g（x）（x∈R）的单调区间．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法进行求解即可；（Ⅰ）利用奇函数的对称性进行求解；（Ⅰ）利用图象进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设f（x）＝xα，幂函数过点（2，4），则2α＝4，得α＝2，即函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝x2；（Ⅰ）∵当x∈[0，+∞）时，奇函数g（x）满足g（x）＝f（x）﹣2x＝x2﹣2x∴当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞）时，g（﹣x）＝x2+2x＝﹣g（x），则g（x）＝﹣x2﹣2x，x∈（﹣∞，0），给定的坐标系中y＝g（x）（x∈R）的图象如图；（Ⅰ）由图象知函数y＝g（x）（x∈R）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）．单调递减区间为[﹣1，1]．【点评】本题主要考查函数解析式以及函数奇偶性的应用，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题．。

2019-2021北京高一数学期末汇编：函数零点一．选择题（共12小题）1．（2020秋•朝阳区期末）函数3()7f x x x =--的零点所在的区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)2．（2020秋•顺义区期末）函数()23f x lnx x =+-的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)3．（2020秋•大兴区期末）方程430x e x +-=的解所在的区间是( ) A ．1(,0)4-B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．13(,)244．（2020秋•海淀区期末）已知函数5()2x f x x=-，下列区间中含有()f x 的零点的是( )A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)5．（2020秋•昌平区期末）函数1()(1)f x ln x x=+-的一个零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6．（2019秋•密云区期末）已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如表对应值表：那么函数()f x 一定存在零点的区间是( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,)+∞7．（2019秋•海淀区校级期末）下列区间包含函数2()log 5f x x x =+-零点的为( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)8．（2019秋•丰台区期末）函数26y lnx x =+-的零点所在的区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)9．（2020秋•丰台区期末）已知函数22,0()11,0x x x f x x x⎧-⎪=⎨->⎪⎩，则()f x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．310．（2020春•大兴区期末）方程2x x e =的实根个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．311．（2019秋•昌平区期末）已知函数2()1f x mx x =++有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．1(,)4-∞B ．1(,0)(0,)4-∞ C ．1(0,)4D ．1(,)4+∞12．（2019秋•海淀区期末）已知函数22,2,()3,2x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的函数()y f x k =-有且只有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(3,1)-B ．(0,1)C ．(3-，0]D ．(0,)+∞二．填空题（共11小题）13．（2020秋•西城区期末）若方程220x x a -+=有两个不相等的正实数根，则实数a 的取值范围是 ． 14．（2020秋•西城区期末）已知函数0.52,0()2,0log x x f x x x x >⎧=⎨+⎩，那么f （2）= ；当函数()y f x a =-有且仅有三个零点时，实数a 的取值范围是 ．15．（2020春•海淀区校级期末）函数()f x lnx x =++的零点个数是 ． 16．（2019秋•昌平区期末）若函数()f x 满足下面三个条件： ①()f x 在其定义域上图象不间断； ②()f x 是偶函数； ③()f x 恰有3个零点．请写出一个满足上述条件的函数()f x = ．17．（2020春•通州区期末）已知函数,0()(1),0x lnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，则实数c的取值范围是 ．18．（2019秋•大兴区期末）已知0a ，函数2,,()xx a f x x a ⎧⎪=>⋅若0a =，则()f x 的值域为 ；若方程()20f x -=恰有一个实根，则a 的取值范围是 ．19．（2019秋•海淀区校级期末）已知函数212,1(),1x x x f x x x -⎧+=⎨>⎩，若函数()y f x k =-恰有两个不同的零点．则实数k的取值范围为 ．20．（2019秋•海淀区期末）函数2()2x f x x=-的零点个数为 ，不等式()0f x >的解集为 ．21．（2019秋•石景山区期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x 时，2()2f x x x =-．若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是 ．22．（2019秋•西城区期末）函数22,0,()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩的零点个数是 ；满足0()1f x >的0x 的取值范围是 ．23．（2019春•顺义区期末）已知函数2,0()1|1|,0x x f x x x -⎧<=⎨+-⎩，若函数()0f x m -=有三个零点，则实数m 的取值范围是 ．三．解答题（共2小题）24．（2019秋•朝阳区期末）已知函数2()()xf x x a x a=≠-． （Ⅰ）若2f （1）(1)f =--，求a 的值；（Ⅰ）若2a =，用函数单调性定义证明()f x 在(2,)+∞上单调递减；（Ⅰ）设()()3g x xf x =-，若函数()g x 在(0,1)上有唯一零点，求实数a 的取值范围． 25．（2020秋•昌平区期末）已知关于x 的方程222(1)30x m x m -++-=有两个不等实根． （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅰ）设方程的两个实根为1x ，2x ，且21212()()120x x x x +-+-=，求实数m 的值； （Ⅰ）请写出一个整数m 的值，使得方程有两个正整数的根．（结论不需要证明）2019-2021北京高一数学期末汇编：函数零点参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【分析】判断函数的连续性，由零点判定定理判断求解即可． 【解答】解：函数3()7f x x x =--是连续函数， f （2）81710=--=-<， f （3）2727180=--=>， f ∴（2）f （3）0<，由零点判定定理可知函数的零点在(2,3)． 故选：C ．【点评】本题考查了函数零点的判定定理的应用，属于基础题．2．【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得()23f x lnx x =+-在(0,)+∞上是增函数，再通过计算f （1）、f （2）的值，发现f （1）f ⋅（2）0<，即可得到零点所在区间． 【解答】解：()23f x lnx x =+-在(0,)+∞上是增函数，f （1）20=-<，f （2）210ln =+>，f ∴（2）f ⋅（1）0<，根据零点存在性定理，可得函数()23f x lnx x =+-的零点所在区间为(1,2)．故选：A ．【点评】本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题．3．【分析】()43x f x e x =+-，()f x 是增函数，0x 是()f x 的零点，由11()()042f f <，可得结论．【解答】解：设()43x f x e x =+-，显然()f x 是(0,)+∞上的增函数，0x 是连续函数()f x 的零点．因为1411()43044f e =+⨯-<，112211()431022f e e =+⨯-=->，11()()042f f <， 故01(4x ∈，1)2，故选：C ．【点评】本题主要考查了函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．4．【分析】利用函数的解析式，求出f （1），f （2）的值，再利用函数零点的判定定理分析即可得到答案． 【解答】解：因为函数5()2x f x x =-，所以15(1)2301f =-=-<，253(2)2022f =-=>， 所以f （1）f （2）0<，根据函数零点的判定定理可得，函数()f x 在区间(1,2)上有零点． 故选：C ．【点评】本题考查了函数零点的判定定理的应用，解题的关键是求出区间端点的函数值，判断函数值的乘积是否异号．5．【分析】由题意利用函数零点存在定理结合所给的选项即可确定函数零点所在的区间． 【解答】解：题中所给的函数具有连续性，且：1(1)2120,(2)3302f ln ln lne f ln ln =-=-<=-=->， 由函数零点存在定理可得函数的一个零点所在的区间是(1,2)． 故选：B ．【点评】题主要考查函数零点存在定理及其应用，属于基础题．6．【分析】由图表中的数据可得f （1）f （2）0<，再由定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，结合函数零点判定定理得答案．【解答】解：由图表可知，f （1）0>，f （2）0<，f （3）0<，f （4）0<， 得f （1）f （2）0<，又定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，∴由函数零点判断定理可得，函数()f x 一定存在零点的区间是(1,2)．故选：A ．【点评】本题考查函数零点判定定理的应用，是基础题．7．【分析】此类选择题可以用代入计算出函数值，利用零点判定定理解决【解答】解：经计算f （1）1540=-=-<，f （2）21520=+-=-<，f （3）223log 35log 320=+-=-<，f （4）42510=+-=>，故函数的零点所在区间为(3,4)， 故选：C ．【点评】本题考查函数零点判定定理，属于基础题．8．【分析】判断函数是连续增函数，利用函数的零点的判定定理，从而得到函数()26f x lnx x =+-的零点所在的区间．【解答】解：连续函数()26f x lnx x =+-是增函数，f ∴（2）246220ln ln =+-=-<，f （3）30ln =>， f ∴（2）f （3）0<，故函数()26f x lnx x =+-的零点所在的区间为(2,3)，故选：C ．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．9．【分析】根据22,0()11,0x x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩，分0x 和0x >两种情况，求出()f x 的零点．【解答】解：因为22,0()11,0x x x f x x x⎧-⎪=⎨->⎪⎩，所以当0x 时，由220x x -=，可得0x =， 当0x >时，由110x-=，解得1x =， 所以()f x 的零点个数为2． 故选：C ．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 10．【分析】法一：构造函数，利用函数的图象的交点，判断方程的根的个数即可． 法二：构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后求解即可．【解答】解：法一：方程2x x e =的实根即函数2y x =和x y e =的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中，作出2y x =和x y e =的图象如图，由图可知，有1个交点，也就是方程2x x e =实根的个数为1．法二：由法一，可知0x 时，有一个零点，令2()x g x e x =-，0x >，可得()2x g x e x '=-，()2x g x e ''=-，可知(0,2)x ln ∈是减函数，(2,)x ln ∈+∞函数是增函数； ()g x '的最小值为(2)2220g ln ln '=->，所以2()x g x e x =-，0x >，是增函数，(0)10g =>，所以函数2()x g x e x =-，0x >，没有零点．即方程2x x e =在0x >时没有实数根． 所以零点个数为1． 故选：B ．【点评】本题考查指数函数的图象，二次函数的图象的应用，考查数形结合思想与作图能力，属于中档题． 11．【分析】条件转化为方程210mx x ++=有两个不等根，结合根的判别式列出不等式即可 【解答】解：函数有两个零点等价于关于x 的一元二次方程210mx x ++=有两个不等根， 则0140m m ≠⎧⎨=->⎩，解得14m <且0m ≠， 即(m ∈-∞，0)(0⋃，1)4，故选：B ．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及二次函数根的判别式，属于中档题．12．【分析】求出分段函数在各自范围上的取值范围，作出对应的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：当2x 时，2()(0f x x=∈，1]，当2x <时，2()33f x x =--， 作出函数()f x 的图象如图：若方程()f x k =有三个不相等的实数根， 则01k <<， 故选：B ．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键． 二．填空题（共11小题）13．【分析】利用根的分布以及韦达定理列出关于a 的不等式组，求解即可得到答案． 【解答】解：设方程220x x a -+=有两个不相等的正实数根为1x ，2x ， 则10x >，20x >，所以21212(2)4102010a x x x x a ⎧=--⨯⋅>⎪-⎪+=->⎨⎪=>⎪⎩， 解得01a <<，故实数a 的取值范围是(0,1)． 故答案为：(0,1)．【点评】本题考查了根的分布问题，涉及了根与系数关系的应用，属于基础题．14．【分析】利用函数的解析式求解函数值即可得到第一问；画出函数的图象，通过数形结合求解a 的范围即可．【解答】解：函数0.52,0()2,0log x x f x x x x >⎧=⎨+⎩，f （2）0.52log 2log 21==-=-； 函数0.52,0()2,0log x x f x x x x >⎧=⎨+⎩的图象如图：函数()y f x a =-有且仅有三个零点时，(1a ∈-，0]． 故答案为：1-；(1-，0]．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．15．【分析】条件等价于y lnx =与y x =--【解答】解：令()0f x lnx x =++=，即lnx x =-则函数零点个数等价于y lnx =与y x =-- 作出两函数图象如图：由图可得只有1个交点， 故答案为：1．【点评】本题考查方程零点个数与函数图象交点个数之间的转化，数形结合思想，数基础题．16．【分析】由题意同时满足3个条件的函数可得为2()(1)||f x x x =-． 【解答】解：由题意可得满足条件的函数2()(1)||f x x x =-． 故答案为：2()(1)||f x x x =-．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，及函数的奇偶性的性质，属于基础题． 17．【分析】利用导数判断出函数()f x 的单调区间，作出函数()f x 的图象，数形结合即可 【解答】解：当0x >时，函数()f x lnx =单调递增；当0x 时，()(1)x f x e x =+，则()(2)0x f x e x '=+=时，2x =-，且2x <-时，()0f x '<，20x -<时，()0f x '>， 故当0x 时，()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，()f x 在2x =-处取极小值，极小值为2(2)f e --=-；作出函数()f x 的图象如图：函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，等价于函数()f x 与y c =的图象有且仅有3个零点， 由图可知，20e c --<<， 故答案为：2(e --，0)．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及利用导数判断函数单调性，数形结合思想等，属于中档题． 18．【分析】第一空当0a =时分段求出函数的值域即可；第二空数形结合可得a 取值范围．【解答】解：当0a =时，2,0()xx f x x ⎧⎪=>，当0x 时，()2(0x f x =∈，1]，当0x >时，()0f x =>， 故0a =时，()f x 的值域为(0,)+∞；当方程()20f x -=恰有一个实根即函数()f x 与2y =图象只有一个交点，如图：由图可知，0,22a a ⎧⎨<⎩或02a x ⎧⎪，解得01a <或4a ， 故a 的取值范围是[0，1)[4，)+∞． 故答案为(0,)+∞，[0，1)[4，)+∞．【点评】本题考查分段函数值域的求法，考查函数零点与方程根的关系，数形结合思想，属于中档题．19．【分析】题目等价于函数()f x 与y k =的图象有2个不同的交点，作出图象，数形结合即可【解答】解：条件等价于方程()f x k =有2个不等实根，也即函数()f x 与y k =的图象有2个不同的交点， 作出函数()f x 的图象如图：由图象可知，10k -<或13k ，故(1k ∈-，0][1，3]，故答案为(1-，0][1，3]．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．20．【分析】本题根据题意可将函数2()2x f x x=-转化为2x y =与2y x =两个函数图象的交点问题，然后根据数形结合法可得零点个数和不等式的解集．【解答】解：由题意， 可将函数2()2x f x x=-的零点个数问题转化为2x y =与2y x =两个函数图象的交点个数， 2x y =与2y x=两个函数图象如下： 根据图象，可知2x y =与2y x=两个函数图象只有1个交点， 故函数2()2x f x x=-的零点个数为1． 不等式()0f x >，即22x x>的解集， 结合图象，可知不等式()0f x >的解集为(-∞，0)(1⋃，)+∞．故答案为：1；(-∞，0)(1⋃，)+∞．【点评】本题主要考查函数零点问题，考查了转化思想的应用和数形结合法的运用．本题属中档题．21．【分析】依题意，函数()y f x =与函数y m =的图象有四个交点，由函数为偶函数，结合已知条件可求得函数()f x 的解析式，进而作图观察得到答案．【解答】解：方程()0f x m -=有四个不同的实数解，即函数()y f x =与函数y m =的图象有四个交点， 设0x <，则0x ->，依题意，22()()2()2f x x x x x -=---=+，又函数()f x 为偶函数，故2()2(0)f x x x x =+<，作函数()f x 的图象如下图所示，由图可知，要使函数()y f x =与函数y m =的图象有四个交点，则10m -<<，故答案为：(1,0)-．【点评】本题考查函数与方程的综合运用，已知方程根的个数求参数取值范围通常转化为两个函数的交点个数问题，通过数形结合得到答案，本题属于基础题．22．【分析】利用分段函数求解函数的零点，列出不等式去即可．【解答】解：函数22,0,()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩可得0x <时，20x +=，解得2x =-；0x >时，230x -=，解得x =函数的零点有2个．满足0()1f x >，可得00021x x <⎧⎨+>⎩，解得0(1,0)x ∈-． 020031x x >⎧⎨->⎩，解得0(2,)x ∈+∞． 故答案为：2；(1-，0)(2⋃，)+∞．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23．【分析】由()0f x m -=可得()f x m =，转化为求解()y f x =与y m =的交点个数，结合函数的图象即可求解．【解答】解：数2,02,0()2,011|1|,0,1x xx x f x x x x x x x --⎧<⎧<⎪==-<⎨⎨+-⎩⎪⎩，由()0f x m -=可得()f x m =，其图象如图所示，结合函数的图象可知，12m <，故答案为：(1，2]．【点评】本题主要函数图象在求解函数零点中的应用，体现了数形结合思想的应用．三．解答题（共2小题）24．【分析】（Ⅰ）由已知，建立关于a 的方程，解出即可；（Ⅰ）将2a =代入，利用取值，作差，变形，判号，作结论的步骤证明即可；（Ⅰ）问题转化为2()233h x x x a =-+在(0,1)上有唯一零点，由二次函数的零点分布问题解决．【解答】解：（Ⅰ）由2f （1）(1)f =--得，4211a a =---，解得3a =-； （Ⅰ）当2a =时，2()2x f x x =-，设1x ，2(2,)x ∈+∞，且12x x <， 则1221121212224()()()22(2)(2)x x x x f x f x x x x x --=-=----， 1x ，2(2,)x ∈+∞，且12x x <，210x x ∴->，12(2)(2)0x x -->，12()()f x f x ∴>，()f x ∴在(2,)+∞上单调递减；（Ⅰ）22233()3x x x a g x x x a x a-+=-=--， 若函数()g x 在(0,1)上有唯一零点，即2()233h x x x a =-+在(0,1)上有唯一零点(x a =不是函数()h x 的零点）， 且二次函数2()233h x x x a =-+的对称轴为34x =，若函数()h x 在(0,1)上有唯一零点，依题意， ①当(0)hh （1）0<时，3(31)0a a -<，解得103a <<；②当△0=时，9240a -=，解得38a =，则方程()0h x =的根为34x =，符合题意； ③当h （1）0=时，解得13a =，则此时2()231h x x x =-+的两个零点为1211,2x x ==，符合题意． 综上所述，实数a 的取值范围为13(0,]{}38． 【点评】本题考查函数单调性的证明及二次函数的零点分布问题，考查推理论证及运算求解能力，属于中档题．25．【分析】（Ⅰ）根据根与系数的关系得到关于m 的不等式，求出m 的范围即可；（Ⅰ）求出122(1)x x m +=+，得到关于m 的方程，解出即可；（Ⅰ）写出满足条件的m 的值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：△224(1)4(3)0m m =+-->，解得2m >-，故m 的取值范围是(2,)-+∞；（Ⅰ）由题意：122(1)x x m +=+，故21212()()120x x x x +-+-=，即24(1)2(1)120m m +-+-=，解得1m =或52m =-， 由（Ⅰ）得：2m >-，故1m =；（Ⅰ）满足要求的6m =，此时13x =，211x =．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查根与系数的关系以及转化思想，是基础题．。

2019-2021北京高中数学汇编：对数运算一．选择题（共16小题）1．（2020秋•昌平区期末）已知2x＝3，，则2x+y＝（）A．3B．4C．8D．92．（2020秋•大兴区期末）等于（）A．0B．1C．2D．33．log42﹣log48等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．（2020春•海淀区校级期中）若实数a，b满足3a＝4b＝12，则＝（）A．B．C．D．15．（2020秋•房山区期末）太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是2×1030千克．地球是太阳系八大行星之一，其质量m大约是6×1024千克．下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.4771，lg6≈0.7782）A．10﹣5.519B．10﹣5.521C．10﹣5.523D．10﹣5.5256．（2019秋•海淀区期末）声音的等级f（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足．喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A．106倍B．108倍C．1010倍D．1012倍7．（2020春•延庆区期中）当强度为x的声音对应的等级为f（x）分贝时，有f（x）＝10lg（其中A0为常数）．装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝．则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（）A．B．C．e4D．1048．（2019秋•昌平区期末）下列各式正确的是（）A．π2•π3＝π6B．C．lg2+lg5＝1D．9．（2020•平谷区二模）溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH＝﹣lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5×10﹣2摩尔/升，则胃酸的pH是（参考数据：lg2≈0.3010）（）A．1.398B．1.204C．1.602D．2.60210．（2019秋•房山区期末）当强度为x的声音对应的等级为f（x）分贝时，有f（x）＝10lg（其中A0为常数），装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝．则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（）A．B．10C．104D．e411．（2020•大兴区一模）如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，CQ＝x；点P 沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB＝y）．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底．当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为（）A．ln2B．ln3C．D．12．（2021•房山区二模）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA﹣lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅.2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（）A．10﹣0.2B．100.2C．lg D．13．（2020秋•海淀区校级期末）甲、乙两人解关于x的方程：log2x+b+c log x2＝0，甲写错了常数b，得到根为，；乙写错了常数c，得到根为，x＝64．那么原方程的根正确的是（）A．x＝4B．x＝3C．x＝4或x＝8D．x＝2或x＝314．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．109315．已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c16．（2019春•海淀区校级期末）2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为的结论．若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为（）（素数即质数，lge≈0.43429，计算结果取整数）A．768B．144C．767D．145二．填空题（共9小题）17．（2020秋•丰台区期末）＝．18．（2019秋•密云区期末）＝．19．（2019秋•房山区期末）计算：4＝；lg2+lg5＝．20．（2019秋•丰台区期末）（）+log39＝．21．（2019秋•平谷区期末）2lg2+lg250的值等于．22．（2019春•朝阳区期末）8+log26﹣log23＝．23．（2020•大兴区一模）已知A（a，r），B（b，s）为函数y＝log2x图象上两点，其中a＞b．已知直线AB的斜率等于2，且，则a﹣b＝；＝．24．（2012•北京）已知函数f（x）＝lgx，若f（ab）＝1，则f（a2）+f（b2）＝．25．（2019春•密云区期末）lg2+lg5＝；＝．三．解答题（共5小题）26．（2020秋•东城区校级期中）计算：（1）；（2）2log32﹣log332+log38；（3）2；（4）log23×log34×log45×log52．27．（2019秋•海淀区校级期末）化简求值：（1）0.0081﹣（）0.5+（ln2）0．（2）lg4+lg25+log3﹣e ln2．28．（2020春•海淀区校级期中）化简求值．（1）（2）．29．（2019秋•海淀区校级期中）计算题：（Ⅰ）；（Ⅰ）（log23+log43）•（log98﹣log34）．30．（2019秋•顺义区校级期中）求下列式子的值（要求有解答过程）+log98×log227﹣3+（log29﹣log236）．2019-2021北京高中数学汇编：对数运算参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2020秋•昌平区期末）已知2x＝3，，则2x+y＝（）A．3B．4C．8D．9【分析】利用指数式与对数式的互化求出x＝log23，再由对数的运算法则能求出2x+y．【解答】解：∵2x＝3，，∴x＝log23，∴2x+y＝＝log28＝3．故选：A．【点评】本题考查对数的运算，考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（2020秋•大兴区期末）等于（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：＝2﹣1＝1．故选：B．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．log42﹣log48等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】根据对数的运算法则计算即可．【解答】解：log42﹣log48＝log4＝log44﹣1＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．4．（2020春•海淀区校级期中）若实数a，b满足3a＝4b＝12，则＝（）A．B．C．D．1【分析】由对数的定义可得a＝log312，b＝log412，再由换底公式的倒数公式：log a b•log b a＝1，结合对数的运算法则，即可得答案．【解答】解：3a＝4b＝12，即有a＝log312，b＝log412，则＝＝log123+log124＝log1212＝1．故选：D．【点评】本题考查对数的运算法则，对数的换底公式，考查运算能力，属于基础题．5．（2020秋•房山区期末）太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是2×1030千克．地球是太阳系八大行星之一，其质量m大约是6×1024千克．下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.4771，lg6≈0.7782）A．10﹣5.519B．10﹣5.521C．10﹣5.523D．10﹣5.525【分析】由已知可得，两边取常用对数，即可求解的近似值．【解答】解：由题意可得，所以，故．故选：C．【点评】本题考查对数运算的应用（估算数量级），考查转化与化归的数学思想与数据处理能力．6．（2019秋•海淀区期末）声音的等级f（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足．喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A．106倍B．108倍C．1010倍D．1012倍【分析】由函数f（x）的解析式，分别求出喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度，即可求出结果．【解答】解：∵喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB，∴10×lg＝140，解得x1＝102，又∵一般说话时，声音的等级约为60dB，∴10×lg＝60，解得x2＝10﹣6，∴喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，故选：B．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．7．（2020春•延庆区期中）当强度为x的声音对应的等级为f（x）分贝时，有f（x）＝10lg（其中A0为常数）．装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝．则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（）A．B．C．e4D．104【分析】由解析式分别求出装修电钻的声音强度和室内谈话的声音强度，再求比值即可．【解答】解：设装修电钻的声音强度为x1，普通室内谈话的声音强度为x2．由题意得：，解得，∴装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为：＝＝104．故选：D．【点评】本题考查装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值的求法，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（2019秋•昌平区期末）下列各式正确的是（）A．π2•π3＝π6B．C．lg2+lg5＝1D．【分析】由已知结合指数与对数的运算性质及对数的换底公式分别检验各选项即可．【解答】解：根据指数的运算性质可知，π2•π3＝π5，A错误；根据分数指数幂可知，＝，B错误；由对数的运算性质可得，lg2+lg5＝lg10＝1，C正确；由对数的换底公式可得，＝log36≠ln2，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查指数与对数的运算性质，对数的换底公式的简单应用，属于基础试题．9．（2020•平谷区二模）溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH＝﹣lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5×10﹣2摩尔/升，则胃酸的pH是（参考数据：lg2≈0.3010）（）A．1.398B．1.204C．1.602D．2.602【分析】由已知结合对数的运算性质即可直接求解．【解答】解：由可得，PH＝﹣lg（2.5×10﹣2）＝﹣（lg2.5+lg10﹣2）＝﹣（1﹣2lg2﹣2）＝1+2lg2≈1.6020．故选：C．【点评】本题主要考查了对数的运算性质在实际问题中的应用，属于基础试题．10．（2019秋•房山区期末）当强度为x的声音对应的等级为f（x）分贝时，有f（x）＝10lg（其中A0为常数），装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝．则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（）A．B．10C．104D．e4【分析】由装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝．列出方程组求出装修电钻的声音强度x1＝1010，普通室内谈话的声音强度，由此能求出装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值．【解答】解：∵装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝．∴，解得装修电钻的声音强度x1＝1010，普通室内谈话的声音强度，∴装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为：＝＝104．故选：C．【点评】本题考查装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值的求法，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（2020•大兴区一模）如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，CQ＝x；点P 沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB＝y）．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底．当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为（）A．ln2B．ln3C．D．【分析】易知，它们的初速度相等，故Q点的速度为107，然后可以根据，求出P在中点、分点时的x，则Q点移动的距离可求，结合速度，时间可求．【解答】解：由题意，P点初始速度107即为Q点的速度．当P在靠近A点的三等分点时：，解得：x＝，当P在二等分点时：，解得：x＝107ln2，所以经过的时间为：＝．故选：D．【点评】本题考查对数的计算和指数式和对数式的互化，要注意对题意的准确理解．属于基础题．12．（2021•房山区二模）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA﹣lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅.2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（）A．10﹣0.2B．100.2C．lg D．【分析】先根据M＝lgA﹣lgA0求得地震最大振幅关于M的函数，将震级代入分别求出最大振幅，最后求出两次地震的最大振幅之比即可．【解答】解：由M＝lgA﹣lgA0可得M＝lg，即＝10M，A＝A0•10M．当M＝8时，地震的最大振幅为A1＝A0•108，当M＝7.8时，地震的最大振幅为A2＝A0•107.8，所以，两次地震的最大振幅之比是＝＝108﹣7.8＝100.2．故选：B．【点评】本题主要考查了对数函数的应用，以及对数的运算，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．13．（2020秋•海淀区校级期末）甲、乙两人解关于x的方程：log2x+b+c log x2＝0，甲写错了常数b，得到根为，；乙写错了常数c，得到根为，x＝64．那么原方程的根正确的是（）A．x＝4B．x＝3C．x＝4或x＝8D．x＝2或x＝3【分析】先将原方程进行变形得到，然后利用甲和乙写错后得到的根求出b和c，再求解对数方程即可．【解答】解：原方程可变形为：，因为甲写错了常数b，得到根为，，所以，又因为乙写错了常数c，得到根为，x＝64，所以，所以原方程为，解得log2x＝2或3，所以x＝4或8．故选：C．【点评】本题考查了对数方程的求解，涉及了对数的运算性质和运算法则的运用，解题的关键是分别利用甲和乙先求出b和c．14．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．1093【分析】根据对数的性质：T＝，可得：3＝10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈＝1093，故选：D．【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T＝，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题．15．已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】因为三个实数a，b，c都大于1，所以lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，原等式可化为lgalg+lgblg＝0，分别分析选项的a，b，c的大小关系即可判断出结果．【解答】解：∵三个实数a，b，c都大于1，∴lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，∵（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，∴（lga）2﹣lgalgb+lgblgc﹣lgalgb＝0，∴lga（lga﹣lgb）+lgb（lgc﹣lga）＝0，∴lgalg+lgblg＝0，对于A选项：若a＝b＝c，则lg＝0，lg＝0，满足题意；对于B选项：若a＞b＞c，则，0＜＜1，∴lg＞0，lg＜0，满足题意；对于C选项：若b＞c＞a，则0＜＜1，＞1，∴lg＜0，lg＞0，满足题意；对于D选项：若b＞a＞c，则0＜＜1，0＜＜1，∴lg＜0，lg＜0，∴lgalg+lgblg＜0，不满足题意；故选：D．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是中档题．16．（2019春•海淀区校级期末）2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为的结论．若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为（）（素数即质数，lge≈0.43429，计算结果取整数）A．768B．144C．767D．145【分析】由对数的运算得：ln10＝，再阅读能力及进行简单的合情推理得：π（1000）≈144.3，得解【解答】解：由题意可知：π（1000）≈＝lge＝＝144.3．∴根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为144+1＝145．故选：D．【点评】本题考查了对数的运算及阅读能力及进行简单的合情推理．考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．填空题（共9小题）17．（2020秋•丰台区期末）＝．【分析】直接利用指数和对数的运算性质分析求解即可．【解答】解：原式＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了指数与对数的运算，涉及了指数与对数的运算性质的理解和应用．18．（2019秋•密云区期末）＝6．【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可求．【解答】解：＝3+1+2＝6．故答案为：6【点评】本题主要考查了指数与对数的基本运算，属于基础试题．19．（2019秋•房山区期末）计算：4＝8；lg2+lg5＝1．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：4＝23＝8；lg2+lg5＝车0＝1．故答案为：8，1．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（2019秋•丰台区期末）（）+log39＝4．【分析】利用指数对数运算性质即可得出．【解答】解：原式＝+2＝2+2＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了指数对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21．（2019秋•平谷区期末）2lg2+lg250的值等于3．【分析】利用对数运算性质即可得出．【解答】解：原式＝lg（22×250）＝lg103＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22．（2019春•朝阳区期末）8+log26﹣log23＝5．【分析】进行分数指数幂和对数的运算即可．【解答】解：原式＝4+log22＝4+1＝5．故答案为：5．【点评】考查分数指数幂和对数的运算．23．（2020•大兴区一模）已知A（a，r），B（b，s）为函数y＝log2x图象上两点，其中a＞b．已知直线AB的斜率等于2，且，则a﹣b＝1；＝4．【分析】利用对数性质、直线的斜率公式、两点间距离公式列出方程组，能求出a，b，s，r，由此能求出结果．【解答】解：∵A（a，r），B（b，s）为函数y＝log2x图象上两点，其中a＞b．直线AB的斜率等于2，且，∴，解得a＝，b＝，s＝﹣log23，r＝2﹣log23，∴a﹣b＝1，．故答案为：1，4．【点评】本题考查两数差与两数商的求法，考查对数性质、直线的斜率公式、两点间距离公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．24．已知函数f（x）＝lgx，若f（ab）＝1，则f（a2）+f（b2）＝2．【分析】由函数f（x）＝lgx，f（ab）＝lg（ab）＝1，知f（a2）+f（b2）＝lga2+lgb2＝2lg（ab）．由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）＝lgx，f（ab）＝lg（ab）＝1，f（a2）+f（b2）＝lga2+lgb2＝lg（ab）2＝2lg（ab）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查对数的运算性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．25．（2019春•密云区期末）lg2+lg5＝1；＝1．【分析】根据指数幂和对数运算性质计算即可．【解答】解：lg2+lg5＝lg（2×5）＝lg10＝1，＝3﹣＝3﹣2＝1，故答案为：1，1【点评】本题考查了指数幂和对数运算性质，属于基础题．三．解答题（共5小题）26．（2020秋•东城区校级期中）计算：（1）；（2）2log32﹣log332+log38；（3）2；（4）log23×log34×log45×log52．【分析】结合对数的运算性质及对数的换底公式及根式与分数指数幂的相互转化可求．【解答】解：（1）＝2+4﹣5＝1，（2）2log32﹣log332+log38＝log34﹣log332+log38＝log3（）＝0，（3）2＝6[××]＝6×3＝18，（4）log23×log34×log45×log52＝＝1【点评】本题主要考查了对数的运算性质及根式与分数指数幂的相互转化，还考查了运算能力．27．（2019秋•海淀区校级期末）化简求值：（1）0.0081﹣（）0.5+（ln2）0．（2）lg4+lg25+log3﹣e ln2．【分析】（1）利用指数运算性质即可得出．（2）利用对数运算性质即可得出．【解答】解：（1）原式＝﹣+1＝﹣+1＝3．（2）原式＝lg100+﹣2＝．【点评】本题考查了指数对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．28．（2020春•海淀区校级期中）化简求值．（1）（2）．【分析】（1）利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．（2）利用指数性质、运算法则直接求解．【解答】解：（1）＝+lg（25×4）+2+1＝＝．（2）＝＝＝﹣45．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数性质、运算法则、换底公式的合理运用．29．（2019秋•海淀区校级期中）计算题：（Ⅰ）；（Ⅰ）（log23+log43）•（log98﹣log34）．【分析】（I）根据分式指数幂与根式的相互转化即可求解；（II）根据对数的运算性质即可求解．【解答】解：（I）原式＝÷（1﹣2a b），＝÷（1﹣2a b），＝（a）÷（1﹣2a b），＝（a）÷＝a，（II）（log23+log43）•（log98﹣log34），＝（log23+log23）•（log32﹣2log32）．＝•（﹣）＝﹣【点评】本题主要考查了根式与分数指数幂的相互转化及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．30．（2019秋•顺义区校级期中）求下列式子的值（要求有解答过程）+log98×log227﹣3+（log29﹣log236）．【分析】利用分数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解．【解答】解：原式＝＝4+﹣4+2[log23﹣（1+log23）]＝＝．【点评】本题考查的知识点是对数的运算性质，换底公式，熟练掌握对数的运算性质及换底公式及其推论是解答对数化简求值类问题的关键．。

2017-2021北京高中数学合格性考试汇编：函数一．选择题（共17小题）1．（2021•北京学业考试）函数2()log f x x =的定义域是( ) A ．(1,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞2．（2021•北京学业考试）已知函数21,0()1,0x x x f x a x ->⎧=⎨+⎩，若(1)3f -=，则不等式()5f x 的解集为( )A ．[2-，1]B ．[3-，3]C ．[2-，2]D ．[2-，3]3．（2021•北京学业考试）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，22()f x x x=+，则(1)(f -= )A ．2-B ．2C ．3-D ．34．（2019•北京学业考试）函数()(1)f x lg x =-的定义域为( ) A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞5．（2019•北京学业考试）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且(1)2f -=-，那么f （1）的值为( ) A ．0B ．12C ．1D ．26．（2019•北京学业考试）给出下列四个函数： ①2y x =； ②3y x =； ③|1|y x =+； ④x y e =．其中偶函数的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④7．（2018•北京学业考试）在2018年3月5日召开的第十三届全国人民代表大会第一次会议上，李克强总理代表国务院向大会报告政府工作，报告中指出：十八大以来的五年，是我国发展进程中极不平凡的五年．五年来，国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，经济实力跃上新台阶，居民消费价格年均上涨1.9%，保持较低水平． 2018年2月国家统计局发布了《2017年国民经济和社会发展统计公报》，其中 “2017年居民消费价格月度涨跌幅度”的折线图如图：说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2017年12月与2016年12月相比较；同比增长率=（本期数一同期数）÷同期数100%⨯．环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2017年12月与2017年11月相比较；环比增长率=（本期数一上期数）÷上期数100%⨯．根据上述信息，下列结论中错误的是( )A ．从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌B ．从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较1月涨幅最大C ．从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较有涨有跌D ．从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较1月涨幅最大 8．（2018•北京学业考试）给出下列四个函数：①21y x =-+； ②y ③2log y x =； ④3x y =． 其中在区间(0,)+∞上是减函数的为( ) A ．①B ．②C ．③D ．④9．（2018•北京学业考试）给出下列四个函数①1y x=；②||y x =； ③y lgx =； ④31y x =+，其中奇函数的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④10．（2017•北京学业考试）给出下列四个函数： ①1y x =-；②2y x =；③y lnx =；④3y x =． 其中偶函数的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④11．（2017•北京学业考试）已知定义在R 上的函数()f x 是单调函数，其部分图象如图所示，那么不等式()3f x <的解集为( )A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(2,)-+∞D ．(,2)-∞-12．（2021•北京学业考试）下列函数中是偶函数，且在(,0)-∞上单调递增的是( ) A ．23()f x x = B ．||()2x f x = C ．21()log |1|f x x =+ D ．1()||||f x x x =- 13．（2018•北京学业考试）在函数①1y x -=；②2x y =；③2log y x =；④tan y x =中，图象经过点(1,1)的函数的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④14．（2018•北京学业考试）已知函数2()1xf x x =+，关于()f x 的性质，有以下四个推断： ①()f x 的定义域是(,)-∞+∞； ②()f x 的值域是11[,]22-；③()f x 是奇函数；④()f x 是区间(0,2)上的增函数． 其中推断正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．415．（2018•北京学业考试）为应对我国人口老龄化问题，某研究院设计了延迟退休方案，第一步：2017年女干部和女工人退休年龄统一规定为55岁；第二步：从2018年开始，女性退休年龄每3年延迟1岁，至2045年时，退休年龄统一规定为65岁，小明的母亲是出生于1964年的女干部，据此方案，她退休的年份是( ) A ．2019B ．2020C ．2021D ．202216．（2021•北京学业考试）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是( )A ．2y x =B ．y =C ．2x y =D ．1()2x y =17．（2018•北京学业考试）已知函数2()|2|f x x x a a =--+在区间[1-，3]上的最大值是3，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．[0，)+∞D ．1[,)2+∞二．填空题（共1小题）18．（2021•北京学业考试）已知函数1()f x x x=+，则()f x 是 函数（填“奇”或“偶” )；()f x 在区间(0,)+∞上的最小值是 ． 三．解答题（共3小题）19．（2021•北京学业考试）阅读下面题目及其解答过程． 已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）求(2)f -与f （2）的值； （2）求()f x 的最大值．解：（1）因为20-<，所以(2)f -= ． 因为20>，所以f （2）= ． （2）因为0x 时，有()33f x x =+，而且(0)3f =，所以()f x 在(-∞，0]上的最大值为 ． 又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+， 而且 ，所以()f x 在(0,)+∞上的最大值为1． 综上，()f x 的最大值为 ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ” )．20．（2021•北京学业考试）已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，且f （3）1=． （1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；（2）若不等式(4)(2)x x f t f t ⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立，求实数t 的取值范围．21．（2018•北京学业考试）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为()x xf x ae be -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数 2.71828)e =⋯． （1）当1a =，()f x 为偶函数时，b = ；（2）如果()f x 为R 上的单调函数，请写出一组符合条件的a ，b 值； （3）如果()f x 的最小值为2，求a b +的最小值．2017-2021北京高中数学合格性考试汇编：函数参考答案一．选择题（共17小题）1．【分析】利用对数函数的性质可得答案． 【解答】解：2()log f x x =，0x ∴>，∴函数2()log f x x =的定义域是(0,)+∞，故选：B ．【点评】本题考查函数的定义与及其求法，属于基础题．2．【分析】由1(1)13f a --=+=，解得12a =，从而21,0()1()1,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩，由此能求出不等式()5f x 的解集．【解答】解：函数21,0()1,0x x x f x a x ->⎧=⎨+⎩，(1)3f -=，1(1)13f a -∴-=+=，解得12a =， ∴21,0()1()1,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩，()5f x ，∴当0x >时，215x -，解得03x <，当0x 时，1()152x +，20x -．综上，不等式()5f x 的解集为[2-，3]． 故选：D ．【点评】本题考查不等式的解集的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得(1)f f -=-（1），运算求得结果． 【解答】解：已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，22()f x x x=+，(1)f f ∴-=-（1）(12)3=-+=-，故选：C ．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．4．【分析】由函数的解析式可得10x ->，解得1x >，从而得到函数的定义域． 【解答】解：由函数()(1)f x lg x =-可得10x ->，解得1x >，故函数()(1)f x lg x =-的定义域为(1,)+∞， 故选：C ．【点评】本题主要考查求对数函数的定义域，属于基础题．5．【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （1）(1)f =--，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数()f x 是定义域为R 的奇函数，则()()f x f x -=-， 又由(1)2f -=-，则f （1）(1)2f =--=； 故选：D ．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的性质，属于基础题． 6．【分析】判断每个函数的奇偶性即可．【解答】解：2y x =是偶函数，3y x =是奇函数，|1|y x =+和x y e =都是非奇非偶函数． 故选：A ．【点评】考查奇函数、偶函数和非奇非偶函数的定义及判断．7．【分析】根据已知中的图表，结合；同比增长率和环比增长率的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：由折线图知：从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌，故A 正确；在B 中，从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较1月涨幅最大，故B 正确； 在C 中，从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较有涨有跌，故C 错误； 在D 中，从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较1月涨幅最大，故D 正确． 故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．【分析】根据常见函数的性质分别判断即可．【解答】解：①21y x =-+，在区间(0,)+∞上是减函数，符合题意；②y =，在区间(0,)+∞上是增函数，不合题意； ③2log y x =，在区间(0,)+∞上是增函数，不合题意； ④3x y =，在区间(0,)+∞上是增函数，不合题意； 故选：A ．【点评】本题考查了函数的单调性问题，熟练掌握常见函数的性质是解题的关键，本题是一道常规题．9．【分析】运用奇函数的定义，即可得到所求结论． 【解答】解：①1y x=满足()()f x f x -=-，为奇函数；②||y x =满足()()f x f x -=，为偶函数； ③y lgx =为对数函数，为非奇非偶函数； ④31y x =+不满足()()f x f x -=-，不为奇函数． 故选：A ．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法解题，考查运算能力，属于基础题． 10．【分析】根据题意，依次分析所给四个函数是不是偶函数，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析所给的4个函数： 对于①，1y x =-，为一次函数，不是偶函数； 对于②，2y x =，为二次函数，是偶函数， 对于③，y lnx =，为对数函数，不是偶函数， 对于④，3y x =，为幂函数，是奇函数不是偶函数， 则四个函数中只有②是偶函数． 故选：B ．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题． 11．【分析】结合图象即可求得不等式的解集．【解答】解：由图象可知，(0)3f =，且函数()f x 为减函数， 所以不等式()3f x <，即()(0)f x f <的解集为(0,)+∞． 故选：A ．【点评】本题主要考查利用函数图象解不等式，属于基础题．12．【分析】选项A 和B 对应的函数在(,0)-∞上均单调递减，选项C 的函数是非奇非偶，故可以作出判断；也可以从函数单调性和奇偶性的定义出发，对选项D 的函数进行证明． 【解答】解：函数23()f x x =在(,0)-∞上单调递减，即A 错误； 函数||()2x f x =在(,0)-∞上单调递减，即B 错误； 函数21()log |1|f x x =+的定义域为(-∞，1)(1--⋃，)+∞，是非奇非偶函数，即C 错误； 对于选项D ，定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，11()||||()||||f x x x f x x x -=--=-=-，是偶函数， 当0x <时，1()f x x x-=-+，任取120x x <<，则1212121212111()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=-++-=-+， 120x x <<，∴121210,10x x x x -<+>，12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，即D 正确．故选：D ．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，熟练掌握基本初等函数的图象与性质、及图象的变换法则是解题的关键，本题既可以用排除法，也可以从函数单调性和奇偶性的定义出发，直接进行证明，考查学生的逻辑推理能力和分析能力，属于基础题．13．【分析】把点(1,1)代入各个选项检验，可得结论．【解答】解：把点(1,1)代入各个选项检验，可得只有1y x -=的图象经过点(1,1)， 故选：A ．【点评】本题主要考查函数的图象经过定点问题，属于基础题．14．【分析】根据()f x 的表达式求出其定义域，判断①正确；根据基本不等式的性质求出()f x 的值域，判断②正确；根据奇偶性的定义，判断③正确；根据函数的单调性，判断④错误． 【解答】解：①函数2()1xf x x =+， ()f x ∴的定义域是(,)-∞+∞，故①正确； ②1()1f x x x=+，0x >时：1()2f x ， 0x <时：1()2f x -， 故()f x 的值域是11[,]22-，故②正确；③()()f x f x -=-，()f x 是奇函数， 故③正确；④由2221()(1)x f x x -'=+，令()0f x '>，解得：11x -<<， 令()0f x '<，解得：1x >或1x <-， ()f x ∴在区间(0,2)上先增后减，故④错误； 故选：C ．【点评】本题考查了函数的定义域、值域问题，考察函数的奇偶性和单调性，是一道中档题．15．【分析】按原来的退休政策，她应该于：1964552019+=年退休，再据此方案，能求出她退休的年份． 【解答】解：小明的母亲是出生于1964年的女干部，∴按原来的退休政策，她应该于：1964552019+=年退休，从2018年开始，女性退休年龄每3年延迟1岁， ∴据此方案，她退休的年份是2020年．故选：B ．【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 16．【分析】利用基本初等函数单调性的性质对四个选项逐一判断即可． 【解答】解：对于A ，2y x =在区间(0,)+∞上单调递增，故A 错误；对于B ，y =在区间(0,)+∞上单调递增，故B 错误； 对于C ，2x y =在区间(0,)+∞上单调递增，故C 错误； 对于D ，1()2x y =在区间(0,)+∞上单调递减，故D 正确，故选：D ．【点评】本题考查基本初等函数单调性的性质与判断，属于基础题．17．【分析】先求出22x x -的范围，再去绝对值，分类讨论，根据二次函数的性质即可求出a 的范围． 【解答】解：22()|2||(1)1|f x x x a a x a a =--+=---+， 其对称轴为1x =，(1)f f -=（3）|3|a a =-+， 当0a >时，f （1）|1|123a a a =++=+，解得1a ， 此时|3|33a a a a -+=-+=，满足题意，当0a 时，f （1）|1|123a a a =++=+，解得1a ， 此时|3|33a a a a -+=-+=，满足题意， 综上所述a 的取值范围为(-∞，1] 故选：B ．【点评】本题考查了二次函数的性质，以及分段函数，考查了函数的最值问题，属于中档题 二．填空题（共1小题）18．【分析】由函数奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性，由对勾函数的单调性即可求解()f x 在区间(0,)+∞上的最小值．【解答】解：1()f x x x =+的定义域为{|0}x x ≠，且1()()f x x f x x-=--=-， 所以()f x 是奇函数， 1()f x x x=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以()f x 在区间(0,)+∞上的最小值是f （1）2=．故答案为：奇；2．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，函数最值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．三．解答题（共3小题）19．【分析】依据题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得出答案．【解答】解：因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩， （1）因为20-<，所以(2)231f -=-+=，因为20>，所以f （2）22220=-+⨯=．（2）因为0x 时，有()33f x x =+，而且(0)3f =，所以()f x 在(-∞，0]上的最大值为3，又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+，而且f （1）1=，所以()f x 在(0,)+∞上的最大值为1，综上，()f x 的最大值为3．故答案为：（1）①A ②B ．（2）③A ④A ⑤B ．【点评】本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．20．【分析】（1）由()log a f x x =，且f （3）1=，可得3a =及函数()f x 的定义域；（2）依题意，(4)(2)x x f t f t ⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立42x x t t ⇔⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立，可转化为[1x ∀∈，2]，2114122x x x x t =--恒成立，即1()122max x x t -，又122x x y =-为增函数，[1x ∈，2]时，14[15y ∈，2]3，从而可得实数t 的取值范围．【解答】解：（1）()log (0,1)a f x x a a =>≠，且f （3）1=，log 31a ∴=，3a =，函数()f x 的定义域为(0,)+∞；（2）由（1）知，3()log f x x =，为定义域上的增函数，(4)(2)x x f t f t ∴⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立42x x t t ⇔⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立，即(41)2x x t -对任意[1x ∈，2]恒成立．0410x x >⇒->，[1x ∴∀∈，2]，2114122x x x x t =--恒成立，即1()122max x x t -， 又122x x y =-为增函数，[1x ∴∈，2]时，3[2y ∈，15]4，14[15y ∈，2]3， 23t ∴，即实数t 的取值范围为2[3，)+∞． 【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数的单调性的判定与应用，突出考查等价转换思想与运算能力，属于中档题．21．【分析】（1）当1a =时，结合函数是偶函数，利用偶函数的定义进行求解即可．（2）根据指数函数的单调性进行求解即可．（3）利用函数的最值，结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：（1）当1a =时，()x x f x e be -=+，()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，即x x x x e be e be --+=+，则1b =．（2）当1a =时，1b =-时，()x x f x e e -=-，为增函数．（3）当0ab 时，()f x 为单调函数，此时函数没有最小值，若()f x 有最小值为2，则必有0a >，0b >，此时()222x x x x fx ae be ae be --=+==， 1=，即1ab =，则22a b ab +=，即a b +的最小值为2．故答案为：1【点评】本题主要考查函数奇偶性和最值的应用，结合指数函数的性质是解决本题的关键．。

2.5 对数与对数函数挖命题【考情探究】分析解读 1.对数函数在高考中的重点是图象、性质及其简单应用,同时考查数形结合的思想方法,以考查分类讨论、数形结合及运算能力为主.2.以选择题、填空题的形式考查对数函数的图象、性质,也有可能与其他知识结合,在知识的交汇点处命题,以解答题的形式出现.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中档题.破考点【考点集训】考点一对数的概念及运算1.计算:lg 2-lg +3lg 5= .答案 32.在log23,2-3,cos π这三个数中最大的数是.答案log23考点二对数函数的图象与性质3.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-的零点个数是( )A.4B.3C.2D.1答案B炼技法【方法集训】方法1 对数式的化简、求值、比大小1.若a=log3,b=log39.1,c=20.8,则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b答案C2.(2018天津文,5,5分)已知a=log3,b=,c=lo,则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b答案D3.(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若log a b+log b a=,a b=b a,则a= ,b= . 答案4;2方法2 对数函数的图象、性质及应用4.(2015福建,14,4分)若函数f(x)=-(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是. 答案(1,2]过专题【五年高考】A组自主命题·北京卷题组1.(2017北京文,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )(参考数据:lg 3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093答案D2.(2011北京文,3,5分)如果lo x<lo y<0,那么( )A.y<x<1B.x<y<1C.1<x<yD.1<y<x答案D3.(2012北京文,12,5分)已知函数f(x)=lg x.若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)= .答案 2B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一对数的概念及运算1.(2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b答案D2.(2017课标Ⅰ,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( )A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z答案D3.(2016课标Ⅰ,8,5分)若a>b>1,0<c<1,则( )A.a c<b cB.ab c<ba cC.alog b c<blog a cD.log a c<log b c答案C考点二对数函数的图象与性质1.(2018课标Ⅲ,7,5分)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是( )A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)答案B2.(2018课标Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a= .答案-7C组教师专用题组考点一对数的概念及运算1.(2016浙江,5,5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1.若log a b>1,则( )A.(a-1)(b-1)<0B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0D.(b-1)(b-a)>0答案D2.(2016四川,5,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年答案B3.(2015陕西,9,5分)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是( )A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案C4.(2014辽宁,3,5分)已知a=-,b=log2,c=lo,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a答案C5.(2014天津,4,5分)设a=log2π,b=loπ,c=π-2,则( )A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a答案C6.(2013浙江,3,5分)已知x,y为正实数,则( )A.2lg x+lg y=2lg x+2lg yB.2lg(x+y)=2lg x·2lg yC.2lg x·lg y=2lg x+2lg yD.2lg(xy)=2lg x·2lg y答案D7.(2013课标Ⅱ,8,5分)设a=log36,b=log510,c=log714,则( )A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c答案D8.(2015浙江,9,6分)计算:log2= ,= .答案-;3考点二对数函数的图象与性质1.(2014山东文,6,5分)已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1答案D2.(2014福建,8,5分)若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )答案B3.(2014四川,9,5分)已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:①f(-x)=-f(x);②f=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正确命题的序号是( )A.①②③B.②③C.①③D.①②答案A【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019届北京四中期中文,7)已知函数f(x)=-若∃x0∈R,使得f(x0)≤5m-4m2成立,则实数m的取值范围为( )A.-B.C.-D.答案B2.(2019届北京杨镇一中10月月考,3)若a=20.5,b=logπ3,c=log2sin,则( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a答案A3.(2019届北京顺义一中9月月考,3)若a=log3π,b=log76,c=log20.8,则( )A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.b>c>a答案C4.(2019届北京人大附中期中,8)在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位mol/L,记作[H+])和氢氧根离子的物质的量浓度(单位mol/L,记作[OH-])的乘积等于常数10-14.已知pH的定义为=( )pH=-lg[H+],健康人体血液的pH保持在7.35~7.45之间,那么健康人体血液中的-(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)A. B. C. D.答案C5.(2018北京二十七中期中,8)对于函数f(x)=lg|x-2|+1,有如下三个命题:①f(x+2)是偶函数;②f(x)在区间(-∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数;③f(x+2)-f(x)在区间(2,+∞)上是增函数.其中正确命题的序号是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③答案A二、填空题(每小题5分,共10分)6.(2019届北京通州期中文,10)log25,2-3,三个数的大小关系是.答案log25>>2-37.(2019届北京海淀期中,9)计算lg 4+lg 25= .答案 2。

2021-2023北京重点校高一（下）期中数学汇编指数函数与对数函数章节综合6．（2023春·北京·高一北京师大附中校考期中）我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I （W/cm 2）.但在实际生活中，常用声音的声强级D （分贝dB ）来度量，为了描述声强级D （dB ）与声强I （W/cm 2）之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据:组别 1 2 3 4 5 6 7声强I （W/cm 2） 10-11 2×10-11 3×10-11 4×10-11 10-10 ① 9×10-7声强级D （dB ） 10 13.01 14.77 16.02 20 40 ②现有以下三种函数模型供选择:Dkl b =+，2D a I c =⋅+，lg D m I n =+. (1)试根据第1-5组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式；(2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①、②数据的值（参考数据:lg 30.477)≈；(3)已知烟花的噪声分贝一般在(90,100)，其声强为1I ；鞭炮的噪声分贝一般在(100,110)，其声强为2I ；飞机起飞时发动机的噪声分贝一般在(135,145)其声强为3I ，试判断13I I 与22I 的大小关系，并说明理由.6．(1)lg D m I n =+，理由见解析，10lg 120D I =+ (2)810−，59.54(3)2132I I I ⋅>，理由见解析【分析】（1）根据表格中的数据进行分析，可排除一次函数和二次函数，再根据待定系数法，即可得到结果；（2）由（1），令10lg 12040I +=，可求出I 的值，即可知道①处的值；由已知可得11310I −=×时，可得lg 30.477=，进而可求出当7910I −=×时D 的值，进而求出②处的值；（3）设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为123,,D D D ，由已知可得1322D D D +>，代入关系式，即可判断13I I 与22I 的大小关系.【详解】（1）选择lg D m I n =+. 由表格中的前四组数据可知，当自变量增加量为1110−时，函数值的增加量不是同一个常数，所以不应该选择一次函数；同时当自变量增加量为1110−时，函数值的增加量从3.01变为1.76，后又缩小为1.25，函数值的增加量越来越小，也不应该选择二次函数；故应选择lg D m I n =+. 由已知可得111010lg1020lg10m n m n −− =+ =+，即10112010m n m n =−+ =−+ ，解得10120m n = = ， 所以解析式为10lg 120D I =+. （2）由（1）知10lg 120D I =+， 令10lg 12040I +=，可得lg 8I =−，810I −=，故①处应填810−； 又当7910I −=×时，10lg 95020lg 350200.4775059.54D =+=+=×+=，故②处应填59.54.（3）解：设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为123,,D D D ，由已知12390100,100110,135145D D D <<<<<<，故有1322D D D +>，所以()13210lg 12010lg 120210lg 120I I I +++>+，因此132lg lg 2lg I I I +>，即()2132lg lg I I I ⋅>，所以2132I I I ⋅>.。

2021北京重点校高一（上）期中数学汇编指数函数与对数函数2一、单选题1．（2021·北京·清华附中高一期中）下列函数中能说明“若函数()f x 满足()()020f f ⋅>，则()f x 在()0,2内不存在零点”为假命题的函数是（ ） A ．2(1)y x =-B ．1y x =-C ．221y x x =-++D ．211y x =+ 2．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知2log 3a =，则44a a -+的值为（ ） A ．52B ．103C ．376D ．8293．（2021·北京·人大附中高一期中）某商人将进货单价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，如果要使每天所赚的利润最大，那么他应将销售价每件定为（ ） A ．11元B ．12元C ．13元D ．14元4．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）若0.52a =，0.62b =，20.6c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．a c b <<D ．c a b <<5．（2021·北京·人大附中高一期中）某同学用二分法求方程2580x x +-=在()1,2x ∈内近似解的过程中，设()258x f x x =+-，且计算()()()10,20, 1.50f f f <>>，则该同学在下次应计算的函数值为（ ） A ．()0.5fB ．()1.125fC ．()1.25fD ．()1.75f6．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ） A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭7．（2021·北京市第十三中学高一期中）在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时，现在已经将一根锁定在（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为（ ） A ．（1.4，2） B ．（1，1.4） C ．(1,1.5) D ．(1.5,2)二、填空题8．（2021·北京八十中高一期中）设方程23x a -=的解的个数为m ，则m 可能的值有________．9．（2021·北京八十中高一期中）函数1()1f x x=--的零点有________个．10．（2021·北京·2“>”或“<”）.11．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）计算：2lg5lg12lg3+-=___________.12．（2021·北京·人大附中高一期中）设a ∈R ，函数2(),0()1,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，若函数()()3g x f x =-有且仅有3个零点，则a 的取值范围是___________.13．（2021·北京·人大附中高一期中）对任意的实数x ，[]x 表示不大于x 的最大整数，则函数()[]21f x x x =--的零点为______.14．（2021·北京市第十三中学高一期中）若方程2210ax -=在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是______.15．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）()2531433234(0,0)a b a b a b a b -----⎛⎫⎛⎫⋅-÷>>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____________. 三、双空题16．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）某电热元件在通电状态下仅有两种模式，在A 模式下元件温度保持不变；从A 模式切换到B 模式后，在B 模式下，元件温度T （单位℃）与通电累积时间t （即从通电时刻开始累积计时，单位min ）的乘积保持不变；从B 模式再切换到A 模式后，原件温度继续保持不变……现将该元件通电，初始温度为0T ，已知在1,3,6,12t =这四个时刻下的元件温度如表所示，而在440~(12)t t ≥时间内T 随t 变化的图像如图所示.请根据以上信息推断：0T =___________；123t t t ++=___________.四、解答题17．（2021·北京八十中高一期中）已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在R 上的奇函数，且1225f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的解析式，以及零点．(2)判断函数()f x 在区间()0,1上的单调性，并用函数单调性的定义证明． (3)判断函数()f x 在区间(1,)+∞上的单调性．（只需写出结论） (4)在所给出的平面直角坐标系上，作出()f x 在定义域R 上的示意图．18．（2021·北京八十中高一期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：(2)若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？19．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，且满足()()12f f -=．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；（3）若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点．函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等的不动点1x ，2x ，且1>0x ，20x >，求1221x x x x +的最小值． 20．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）在对口扶贫活动中，甲将自己经营某种消费品的一个小店以优惠价2万元转让给身体有残疾的乙经营，并约定从该店经营的利润中，首先保证乙的每月最低生活开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）.在甲提供的资料中，有：①这种消费品进价每件14元；②该店月销量Q （百件）与销售价格p （元）的关系如图；③每月需要各种开支2000元.（Ⅰ）为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在什么范围内？（Ⅱ）当商品价格每件多少元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，并求最大余额. （Ⅲ）若乙只依靠该店，能否在3年内脱贫（偿还完转让费）？参考答案1．A【分析】根据已知条件逐一检验四个函数，满足()()020f f ⋅>，在()0,2内存在零点即为符合题意的函数.【详解】对于A ：对于函数2(1)y x =-，()()()()2202012110f f ⋅=-⨯-=>，()21(101)f =-=，所以函数2(1)y x =-满足()()020f f ⋅>，在()0,2内存在零点1x =，所以2(1)y x =-可说明命题为假命题符合题意，故选项A 符合题意；对于B ：对于函数1y x =-， ()()()()02012110f f ⋅=-⨯-=-<，所以不满足()()020f f ⋅>，故选项B 不符合题意；对于C ：对于函数221y x x =-++，()()()2021222110f f ⋅=⨯-+⨯+=>，由2210y x x =-++=可得()10,2x =，此函数在()0,2内不存在零点，不能说明命题是假命题，故选项C 不符合题意；对于D ：对于函数211y x =+，()()21021021f f ⋅=⨯>+，2101y x =≠+，此函数在()0,2内不存在零点，不能说明命题是假命题，故选项D 不符合题意； 故选：A. 2．D【分析】根据对数恒等式及幂的运算性质计算可得； 【详解】解：因为2log 3a =，所以44a a -+22log 3log 344-=+ ()()22log 3log 32222-=+()()2222log 3log 3228222339--=+=+=故选：D 3．D【分析】列出利润关于售价的函数关系式，结合二次函数即可求解【详解】解：设售价为x 元，则提高价格为10x -元，少买商品数为()1010x -，实际单品利润为8x -元，实际卖出()100101020010x x --=-，实际利润为()()()()82001010820y x x x x =--=---，当8+20142x ==时，利润有最大值. 故选：D 4．D【解析】利用指数函数比较a 、b 、1三个数的大小关系，利用指数函数的单调性比较c 与1的大小关系，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】0.60.502221>>=，即1b a >>，又200.60.61c =<=，因此，c a b <<. 故选：D. 5．C【分析】根据二分法分析即可求解.【详解】()()()10,20, 1.50f f f <>>，∴零点在(1,1.5)内，∴下次应计算的函数值()1.25f故选：C 6．B【解析】根据定义的运算法则化简函数22()(2)()f x x x x =-⊗-的解析式，并求出()f x 的取值范围，函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点转化为()y f x =，y c =图象的交点问题，结合图象求得实数c 的取值范围． 【详解】由题意知，若222()1x x x ---≤，即312x -≤≤时，2()2f x x =-； 当222()1x x x --->，即1x <-或32x >时，2()f x x x =-， 所以函数()()()222232,1223,12x x f x x x x x x x x ⎧--⎪⎪=-⊗-=⎨⎪-<->⎪⎩或，由图可知，当3(,2](1,)4c ∈-∞---时函数()f x 与y c =的图象有两个公共点，c ∴的取值范围是3(,2](1,)4-∞---，故选：B.【点睛】本题主要考查新定义的理解和应用，考查零点问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．D【分析】本题由二分法可知对于区间（1，2）内下一个取值为1和2的平均数，结合1和2的函数值正负与平均数的正负即可得到结果【详解】解：由已知令f （x ）＝x 3﹣2x ﹣1，所以f （1）＝﹣2，f （2）＝3； 由二分法知计算f （1.5）＝﹣0.625＜0，故由f （1）＜0，f （2）＞0； 所以方程的跟位于区间（1.5，2）内． 故选D【点睛】本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型． 8．0或2或3或4【分析】作出图形，通过数形结合得到答案.【详解】设()()2|3|,f x x g x a =-=，如图所示（直线仅画出一种情形）：则当a >3或a =0时，有2个交点； 当a =3时，有3个交点； 当0<a <3时，有4个交点； 当a <0时，没有交点. 故答案为：0或2或3或4. 9．1【分析】令()0f x =解方程，即可得解；【详解】解：因为1()1f x x =--，令()0f x =，即110x --=，解得1x =-故函数1()1f x x=--有1个零点1-；故答案为：1 10．<2==2=2><2< 故答案为：< 11．2【分析】直接利用对数的运算性质求解即可 【详解】122lg5lg12lg32lg5lg 2lg5lg 42(lg5lg 2)2lg1023+-=+=+=+==， 故答案为：212．(##1x <<【分析】问题转化为函数()f x 与直线3y =有三个不同交点，分0,0a a ≤>作出函数图象，数形结合即可求解. 【详解】2(),0()1,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩,若函数()()3g x f x =-有且仅有3个零点,则函数()f x 的图象与直线3y =有三个不同的交点，12y x a a a x =++≥=+，当且仅当1x =时等号成立， ∴当0a ≤时，如图：2(0)3a ∴-<即可，解得0a ≤， ∴当0a>时, 如图：2233a a +<⎧∴⎨<⎩即可，解得01a <<，综上，1a <<故答案为：(13【解析】将问题转化为[]21x x =-的根的问题，结合[]1x x x -<≤，211x x x -<-≤，求解不等式，分别讨论即可得解.【详解】由题意得，[]1x x x -<≤. 令0f x得，[]21x x =-，所以211x x x -<-≤0x ≤<或1x <≤ 从而[]1x =-或[]1x =.当[]1x =-时，20x =，解得0x =，[]0x =，与[]1x =-矛盾，故舍去；当[]1x =时，22x =，x .故函数()[]21f x x x =--.【点睛】此题考查函数零点问题，将问题等价转化为分类讨论求解，关键在于准确进行等价转化. 14．12a >【分析】解方程得到x =(0,1)内恰有一解，代入得到不等式解得答案. 【详解】当0a ≤时，方程无解，不满足当0a >时，2210ax -=则x =方程2210ax -=在(0,1)内恰有一解1 解得12a >故答案为12a >【点睛】本题考查了方程的解，也可以利用函数的零点来求解，忽略掉0a ≤的情况是容易犯的错误. 15．232b -【分析】根据指数幂的运算性质与运算法则计算.【详解】()252513143140223333633234.422a b a b a b ab a b b ---++-----+⎛⎫⎛⎫⋅-÷=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查指数幂的乘除混合运算，考查指数幂的运算性质和乘除运算法则，考查了推理能力与计算能力. 16． 30 14【分析】根据图像得到分段函数解析式，得到030T =，01203T t =，01215T t t =，01321012T t t t =⋅， 解得答案. 【详解】根据题意知：[](](](]01011201232013342,0,,,,,,,T t t T t t t t t T t T t t t tT t t t t t t t ⎧∈⎪⎪∈⎪⎪=⎨∈⎪⎪⎪∈⎪⎩，1303205151210⨯≠⨯≠⨯≠⨯，故030T =，01203T t =，即12t =，01215T t t =，即24t =，01321012T t t t =⋅，即38t =， 故12324814t t t ++=++=. 故答案为：30；14. 17．(1)2()1xf x x =-+，零点为0； (2)()f x 在(0,1)上是单调递减，证明见解析． (3)函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增． (4)函数图象见解析；【分析】（1）依题意根据奇函数的性质得到(0)0f =，再由1225f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即可求出a 、b ，从而求出函数解析式，再令()0f x =，求出x ，即可得到函数的零点． （2）利用函数单调性的定义进行证明即可 （3）结合函数单调性的性质给出结论即可 （4）结合函数的单调性作出草图即可． (1) 解：2()1ax bf x x +=+是定义在R 上的奇函数， ∴(0)01bf ==，0b ∴=，又1122()5254a f ==-，解得1a =-，∴2()1xf x x =-+． 令()0f x =，即201xx -=+，解得0x =，所以函数的零点为0； (2)解：2()1xf x x =-+在(0,1)上是单调递减． 证明：设1201x x ，则1212121222221212()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x -----=-=-++++， 1201x x <<<，120x x ∴-<，1210x x ->，2212(1)(1)0x x ++>，12()()0f x f x ∴->，即12()()f x f x >，∴2()1xf x x =-+在(0,1)上单调递减． (3)解：函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增． 证明：设121x x <<， 则1212121222221212()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x -----=-=-++++， 121x x <<，120x x ∴-<，1210x x -<，2212(1)(1)0x x ++>，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <， ∴2()1xf x x =-+在(1,)+∞上单调递增． (4)解：因为2()1xf x x =-+，函数图象如下所示：18．(1)3,012636,1218990,18x x y x x x x ⎧⎪=-<⎨⎪->⎩(2)153m【分析】（1）先分别求出每一段的函数解析式，再写成分段函数的形式即可； （2）由（1）分012x ，1218x <，18x >三种情况讨论即可的解． (1)解：当012x 时，3y x =，当1218x <时，3126(12)636y x x =⨯+⨯-=-， 当18x >时，312669(18)990y x x =⨯+⨯+⨯-=-，y ∴关于x 的函数解析式为：3,012636,1218990,18x x y x x x x ⎧⎪=-<⎨⎪->⎩； (2)解：当012x 时，354y x ==，解得18x =舍去， 当1218x <时，63654y x =-=，解得15x =， 当18x >时，99054y x =-=，解得16x =舍去，综上所述，若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为153m .19．（1）2()221f x x x =--；（2）2min23263,,2331[()],,2221221,.2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩；（3）6.【分析】（1）根据函数2()2f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，得到1n =-，再根据(1)(2)f f -=，由对称性求得m 即可；（2）根据2213()221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，[,2]x a a ∈+，分122a +≤， 122a a <<+，12a ≥，讨论求解；（3）根据不动点的定义得到方程22(3)10x t x t -++-=有两个不相等的正实根1x ，2x ，由222(3)8(1)0302102t t t x x t xx ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，求得t 的范围，再由1221x x x x +18221t t -=++-，利用基本不等式求解. 【详解】（1）因为函数2()2f x x mx n =++的图象过点(0,1)-， 所以1n =- 又(1)(2)f f -=， 所以1224m-+=-，解得2m =-， 所以函数()f x 的解析式为：2()221f x x x =--．（2）2213()221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，[,2]x a a ∈+，当122a +≤，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减，所以2min [()](2)263f x f a a a =+=++，当122a a <<+，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，所以min 13[()]22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当12a ≥时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增，所以2min [()]()221f x f a a a ==--．综上：2min23263,,2331[()],,2221221,.2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩（3）因为函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等的不动点1x ，2x ， 且1>0x ，20x >所以()g x x =，即方程22(3)10x t x t -++-=有两个不相等的正实根1x ，2x ． 所以222(3)8(1)0302102t t t x x t xx ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，即R 31t t t ∈⎧⎪>-⎨⎪>⎩，所以1t >． ()()222212121212122112121222x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+++===-2(3)184221212t t t t +-=-=++--， 因为1t >，所以102t ->，801t >-，所以18421t t -+≥=- 当且仅当1821t t -=-，即5t =时，取“=”． 所以1221426x x x x +≥+=，所以1221x x x x +的最小值为6．20．（Ⅰ）[]18,22；（Ⅱ）当商品价格每件19.5元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，且最大余额为450元；（Ⅲ）不能.【解析】根据题中条件，先确定月销量Q （百件）与销售价格p （元）的函数关系式，设每月的利润余额为L ，得出L 与p 之间函数关系式；（Ⅰ）令0L ≥，求解对应不等式，即可求出结果；（Ⅱ）根据L 与p 之间函数关系式，结合二次函数的性质，求出L 的最大值，以及取最大值时的p 值，即可确定结果；（Ⅲ）由（Ⅱ）中最大值，计算三年的利润余额的最大值，即可判断出结果. 【详解】由该店月销量Q （百件）与销售价格p （元）的关系图可得， 当1420p ≤≤时，()221020102501420Q p p -=-+=-+-；当2026p <≤时，()10132614020262Q p p -=-+=-+-，设每月的利润余额为L ，由题意，()()()()()20025145600,1420100143600200050380145600,2026p p p L Q p p p p ⎧-+--≤≤⎪=⨯---=⎨-+--<≤⎪⎩，（Ⅰ）为使该店至少能够维持乙的生活，则0L ≥；当1420p ≤≤时，由0L ≥得()()200251456000p p -+--≥，整理得2393780p p -+≤，解得1821p ≤≤，则1820p ≤≤；当2026p <≤时，由0L ≥得()()503801456000p p -+--≥，整理得2312212320p p -+≤，解得56223p ≤≤，则2022p <≤，综上，1822p ≤≤，即为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在[]18,22内；（Ⅱ）当1420p ≤≤时，()()()223920025145600200393782004502L p p p p p ⎛⎫=-+--=--+=--+ ⎪⎝⎭，当且仅当3919.52p ==（元）时，max 450L =； 当2026p <≤时，()()()2261125050380145600503122123215033L p p p p p ⎛⎫=-+--=--+=--+ ⎪⎝⎭，当且仅当613p =（元）时，max 12503L =； 因为12504503<，所以当商品价格每件19.5元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，且最大余额为450元； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，月利润余额最大为450元，则三年利润余额的总和最大为4501231620020000⨯⨯=<，故不能在3年内脱贫. 【点睛】思路点睛：求解函数模型问题时，通常需要根据题中所给条件，建立适当的函数模型（有时题中会给定函数模型），再利用函数基本性质，即可求解.。

2019-2021北京高中数学一模、二模汇编：对数函数一．选择题（共14小题）1．（2020•怀柔区一模）函数y＝|log2x|的图象是（）A．B．C．D．2．（2020•海淀区校级三模）已知定义在R上的函数f（x）＝2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a＝f（2﹣3），b＝f （3m），c＝f（log0.53），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a3．（2021•东城区二模）已知a＝log0.33，b＝log0.34，c＝30.3，那么（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．（2021•海淀区二模）已知a＝0.31.5，b＝log1.50.3，c＝1.50.3，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a5．（2020•顺义区一模）若a＝log30.2，b＝20.2，c＝0.22，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a6．（2019•西城区二模）若实数x，y，z互不相等，且满足2x＝3y＝log4z，则（）A．z＞x＞y B．z＞y＞xC．z＞x，z＞y D．以上三个答案都不正确7．（2019•西城区二模）若实数x，y，z互不相等，且满足2x＝3y＝log4z，则（）A．z＞x＞y B．z＞y＞x C．x＞y，x＞z D．z＞x，z＞y8．（2019•朝阳区二模）已知a＝log3e，b＝ln3，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c9．（2019•大兴区一模）已知a＝30.4，，，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b10．（2019•大兴区一模）已知a＝30.4，，，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b11．（2019•延庆区一模）已知x∈（0，1），令a＝log3x，b＝sin x，c＝2x，那么a，b，c之间的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b12．（2020•昌平区二模）设a＝20.3，b＝（）﹣0.5，c＝ln2，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c13．（2020•丰台区一模）已知，，，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a14．（2019•延庆区一模）已知x∈（0，1），令a＝log x3，b＝sin x，c＝2x，那么a，b，c之间的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二．填空题（共6小题）15．（2019•海淀区二模），则这三个数中最大的是16．（2019•朝阳区二模）已知a＝log3e，b＝ln3，c＝log32，则a，b，c中最小的是．17．（2019•东城区二模）已知a＝log26，b＝log515，若a＞log3m＞b，m∈N*，则满足条件的m可以为．18．（2019•东城区二模）已知a＝log29，b＝log3m，c＝log515，则满足a＞b＞c的一个正整数m为．19．（2019•怀柔区一模）函数y＝ln（x﹣1）的定义域为．20．（2021•石景山区一模）已知函数f（x）＝|lnx|，若，，c＝f（2），则a，b，c从小到大排序为．2019-2021北京高中数学一模、二模汇编：对数函数参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2020•怀柔区一模）函数y＝|log2x|的图象是（）A．B．C．D．【分析】要想判断函数f（x）＝|log2x|的图象，我们可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象．【解答】解：∵f（x）＝则函数的定义域为：（0，+∞），即函数图象只出现在Y轴右侧；值域为：（0，+∞）即函数图象只出现在X轴上方；在区间（0，1）上递减的曲线，在区间（1，+∞）上递增的曲线．分析A、B、C、D四个答案，只有D满足要求故选：D．【点评】要想判断函数的图象，我们先要求出其定义域，再化简解析式，分析其单调性、奇偶性、周期性等性质，根据定义域、值域分析函数图象所处的区域，根据函数的性质分析函数图象的形状，如果还不能判断的话，可以代入特殊值，根据特殊点的位置进行判断．2．（2020•海淀区校级三模）已知定义在R上的函数f（x）＝2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a＝f（2﹣3），b＝f （3m），c＝f（log0.53），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】由题意可得m＝0，可得f（x）＝2|x|﹣1在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，比较三个变量的绝对值大小可得．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）＝2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，∴f（﹣1）＝f（1），即2|﹣1﹣m|﹣1＝2|1﹣m|﹣1，解得m＝0，∴f（x）＝2|x|﹣1在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，∵2﹣3＝∈（0，1），3m＝1，|log0.53|＝log23＞1，∴f（2﹣3）＜f（3m）＜f（log0.53），即a＜b＜c故选：A．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，属基础题．3．（2021•东城区二模）已知a＝log0.33，b＝log0.34，c＝30.3，那么（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】可得出，然后即可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵log0.34＜log0.33＜log0.31＝0，30.3＞0，∴b＜a＜c．故选：C．【点评】本题考查了对数函数的单调性，指数函数的值域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4．（2021•海淀区二模）已知a＝0.31.5，b＝log1.50.3，c＝1.50.3，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．【解答】解：∵0＜a＝0.31.5＜0.30＝1，b＝log1.50.3＜log1.51＝0，c＝1.50.3＞1.50＝1，∴b＜a＜c．故选：B．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．5．（2020•顺义区一模）若a＝log30.2，b＝20.2，c＝0.22，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可得出．【解答】解：a＝log30.2＜0，b＝20.2＞1，c＝0.22∈（0，1），∴a＜c＜b．故选：A．【点评】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（2019•西城区二模）若实数x，y，z互不相等，且满足2x＝3y＝log4z，则（）A．z＞x＞y B．z＞y＞xC．z＞x，z＞y D．以上三个答案都不正确【分析】由指数值、对数值大小的比较得：x＝log2k，y＝log3k，z＝4k，则z＞x，z＞y，得解．【解答】解：设2x＝3y＝log4z＝k＞0，则x＝log2k，y＝log3k，z＝4k，由指数函数图象与对数函数图象的关系易得：z＞x，z＞y，故选：C．【点评】本题考查了指数值、对数值大小的比较，属简单题．7．（2019•西城区二模）若实数x，y，z互不相等，且满足2x＝3y＝log4z，则（）A．z＞x＞y B．z＞y＞x C．x＞y，x＞z D．z＞x，z＞y【分析】由指数、对数值比较大小得：x＝log2k，y＝log3k，z＝4k，则易得：4k＞log2k，4k＞log3k，得解．【解答】解：设2x＝3y＝log4z＝k＞0，则x＝log2k，y＝log3k，z＝4k，则易得：4k＞log2k，4k＞log3k，即z＞x，z＞y，故选：D．【点评】本题考查了指数、对数值比较大小，属简单题．8．（2019•朝阳区二模）已知a＝log3e，b＝ln3，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【分析】由对数的运算得：b＝ln3＞1，1＞log3e＞log32＞0，得解．【解答】解：因为b＝ln3＞1，1＞log3e＞log32＞0，所以c＜a＜b，故选：D．【点评】本题考查了对数的运算，属简单题．9．（2019•大兴区一模）已知a＝30.4，，，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】容易得出：，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：30.4＞30＝1，，；∴a＞c＞b．故选：B．【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，增函数和减函数的定义．10．（2019•大兴区一模）已知a＝30.4，，，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b【分析】容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：，；∴a＞c＞b．故选：D．【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，增函数、减函数的定义．11．（2019•延庆区一模）已知x∈（0，1），令a＝log3x，b＝sin x，c＝2x，那么a，b，c之间的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】根据x范围，利用搭桥法即可比较a，b，c的大小．【解答】解：∵0＜x＜1＜，∵y＝log3x在（0，+∞）上单调递增．∴log3x＜＜log31＝0，即a＜0又∵y＝sin x在（0，）单调递增，0＜sin x＜1，即0＜b＜1，y＝2x在（0，+∞）上单调递增．∴2x＞1．∴a＜b＜c，故选：A．【点评】本题考查基本初等函数的性质，利用搭桥法容易得到结果．属于基础题．12．（2020•昌平区二模）设a＝20.3，b＝（）﹣0.5，c＝ln2，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵b＝20.5，又0＜0.3＜0.5，∴20＜20.3＜20.5，即b＞a＞1，∵ln1＜ln2＜lne＝1，∴0＜c＜1，∴b＞a＞c，故选：B．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．13．（2020•丰台区一模）已知，，，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵，，∴b＞a＞1，又∵，∴b＞a＞c，故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．14．（2019•延庆区一模）已知x∈（0，1），令a＝log x3，b＝sin x，c＝2x，那么a，b，c之间的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】根据x∈（0，1）即可得出，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵x∈（0，1）；∴log x3＜log x1＝0，0＜sin x＜1，2x＞20＝1；∴a＜b＜c．故选：A．【点评】考查对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义，正弦函数的图象．二．填空题（共6小题）15．（2019•海淀区二模），则这三个数中最大的是【分析】利用对数函数、正弦函数的性质直接求解．【解答】解：∵，∴b＝log43＞log42＝，sin＜sin＝．∴这三个数中最大的是b．故答案为：b．【点评】本题考查三个数的大小的求法，考查对数函数、正弦函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（2019•朝阳区二模）已知a＝log3e，b＝ln3，c＝log32，则a，b，c中最小的是c．【分析】由对数值大小的比较得：b＝ln3＞1，又2＜e＜3，所以log32＜log3e＜1，即c＜a＜b，得解．【解答】解：b＝ln3＞1，又2＜e＜3，所以log32＜log3e＜1，即c＜a＜b，故a，b，c中最小的是c．故答案为：c【点评】本题考查了对数值大小的比较，属简单题．17．（2019•东城区二模）已知a＝log26，b＝log515，若a＞log3m＞b，m∈N*，则满足条件的m可以为9．【分析】由对数值的运算得：＝log26＞log24＝2，b＝log515＜log525＝2，即取m＝9即log39＝2满足题意，得解．【解答】解：由a＝log26＞log24＝2，b＝log515＜log525＝2，即取m＝9即log39＝2满足a＞log3m＞b，m∈N*，故满足条件的m可以为9．故答案为：9【点评】本题考查了对数值的运算，属简单题．18．（2019•东城区二模）已知a＝log29，b＝log3m，c＝log515，则满足a＞b＞c的一个正整数m为27．【分析】由对数值的运算得：a＝log29＞log28＝3，c＝log515＜log525＝2，即当m＝27时，b＝log3m＝log327＝3满足a＞b＞c，得解．【解答】解：因为a＝log29＞log28＝3，c＝log515＜log525＝2，即当m＝27时，b＝log3m＝log327＝3满足a＞b＞c，故满足a＞b＞c的一个正整数m为27．故答案为：27．【点评】本题考查了对数值的运算，属简单题．19．（2019•怀柔区一模）函数y＝ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．【分析】根据对数函数的性质求函数的定义域即可．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1＞0，解得x＞1．∴函数的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础，要求熟练掌握对数函数的性质．20．（2021•石景山区一模）已知函数f（x）＝|lnx|，若，，c＝f（2），则a，b，c从小到大排序为c＜b＜a．【分析】根据条件可得出a＝ln8，b＝ln4，c＝ln2，然后根据对数函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：，c＝|ln2|＝ln2，∵ln2＜ln4＜ln8，∴c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．【点评】本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．。