最新(毕业)数学中的化归思想方法

高中数学解题中化归思想的运用化归是高中数学解题中经常运用的一种方法，它指的是通过某种操作，将一个复杂的问题转化为一个更为简单的问题，以便于解决。

化归思想的应用广泛，下面我们来看看在高中数学解题中，化归思想是如何运用的。

一、化式化式即将一个式子，通过某种运算，转化为另外一个式子。

在高中数学中，经常会用到多项式式子化简、换元、配方法、公式代入等方法。

1、多项式式子化简多项式式子的化简，是将多项式式子中的一个或多个同类项进行合并，以达到简化的目的。

如：将多项式2x³+5x²-3x-7与4x³-2x²+x+5相加，可以化简成为6x³+3x²-2x-2。

2、换元高中学习中，经常会碰到求导题目，这时可以通过换元，将高阶函数转化为低阶函数，以便进行求导运算。

如：设y=e^x，求y’/y。

y’/y=e^x/e^x=1又如：将x²+1=t，代入y=ln(t)中，则y’=1/(x²+1) * 2x =2x/(x²+1)3、配方法配方法是指通过某种运算，将一个含有有理式的式子转化为分子含有多项式，分母含有完全平方的式子，进而简化解题。

如：将分式1/(x-2)(x+3)进行配方法：1/(x-2)(x+3)=(A/(x-2))+(B/(x+3))，化简得：令x=2，则得到A=-1/5；令x=-3，则得到B=1/5。

4、公式代入高中数学中，很多题目都有相应的公式，可以将公式代入到试题中，从而进行解题。

如：已知一条直线经过点P（2，3），斜率为2，求该直线在y轴上的截距。

直线的一般式为：Ax+By+C=0已知斜率为2，可得到：A=2，B=-1将点P代入一般式中，则可得到C=1将A=2，B=-1，C=1代入公式中，可得到y轴截距为1。

二、化形化形是将一个复杂的问题转化为一个更加简单的问题，通过分析问题、变换思路，重构问题的形式，从而使问题更容易得到解决。

新梦想教育中高考名校冲刺教育中心 【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之化归思想一、注解：“化归”就是转化和归结的简称。

所谓化归就是将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题。

具体说就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”。

如将分式方程转化为整式方程，将高次方程转化为低次方程，将二元转化为一元，将四边形转化为三角形，将非对称图形转化为对称图形…..实现转化的方法通常有：换元法，待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由具体到抽象等方法。

二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】今年2月份某市一天的最高气温11℃，最低气温-6℃，那么这一天的最高气温比最低气温高（ ）A -17℃B 17℃C 5℃D 11℃【例2】 计算：()()02324732+-++2. 在代数式的化简求值中的运用【例3】计算：111x x x ++-【例4】已知31x =-，求代数式11x x x x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值。

3.在方程（组）中的运用【例5】用配方法解方程：x 2-4x+1=0【例6】解方程组：728x y x y +=⎧⎨-=⎩【例7】用换元法解方程：226212x x x x +-=+4.在确定函数解析式中的运用【例8】某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系，如图为电流与电阻之间的函数图象，则电阻R 与电流I 的函数解析式为：（ ）A. 2I R =B. 3I R =C. 6I R =D. 6I R=-【例9】某商场的营业员小李销售某种商品，他的月收入与他的该月销售量成一次函数关系，如图所示，根据图象提供的信息解答下列问题：（1）求小李个人月收入y （元）与月销售量x （件）（x ≥0）之间的函数关系式。

（2）已知小李4月份的销售量为250件，求小李4月份的收入是多少元？【例10】已知二次函数y=ax 2+bx+c 过点O （0，0），A （1，3），B （-2，43）和C （-1，m ）四个点。

数学教学过程中的化归思想化归是数学教学中非常重要的思想之一，它在数学的各个领域都有广泛的应用。

化归思想可以通过将问题简化为更容易处理的形式，帮助学生解决复杂的数学问题，同时也能够帮助学生培养抽象思维能力和逻辑思维能力。

化归思想最早用于解决代数方程中的问题。

对于一个复杂的代数方程式，通过使用化归思想，可以将方程式转化为更简单的形式，从而更容易得到解。

例如，若要求解$x^2-3x+2=0$，我们可以使用化归思想，将其转化为 $(x-1)(x-2)=0$，从而得到$x=1$ 或 $x=2$ 两个解。

这个例子表明了化归思想在代数问题中的应用，使得我们可以通过简化问题来更容易地解决它。

化归思想也可以用于几何中的问题。

例如，考虑如何证明一个三角形是等边三角形。

我们可以通过化归思想，将等边三角形的性质转化为更容易证明的形式。

具体来说，我们可以首先证明等腰三角形的两边相等，然后证明等腰三角形的底边垂直于两条边，最后再证明等腰三角形的底边也相等。

通过这样的化归思想，我们将问题简化为单个的证明步骤，使得证明过程更加简单清晰。

化归思想还可以用于解决组合问题。

例如，我们可以使用化归思想来解决古典概型问题，如从一个有限的集合中随机地抽取若干个元素的问题。

我们可以将这个问题化归为计算每个元素是否被抽中的问题，然后计算每个元素被抽中的概率。

通过这样的化归思想，我们可以更清晰地解决组合问题，更好地理解古典概率问题的基本原理。

化归思想还可以在数论中得到广泛应用。

例如，我们可以使用化归思想来证明欧几里得算法的正确性。

欧几里得算法用于计算两个自然数的最大公约数。

通过使用化归思想，我们可以将证明主要分为两部分。

首先证明两个自然数的公约数也必定是两个数的最大公约数的公约数，从而最大公约数是一个有限集合中的一个元素。

然后我们验证最大公约数集合具有偏序关系和最大元素，从而得到两个自然数的最大公约数是唯一确定的。

总的来说化归思想是数学教学过程中非常重要、必不可少的思想，有利于学生更好地理解数学概念和方法，提高数学思维能力和解决问题的能力。

一、化归的思想方法化归是解决数学问题常用的思想方法。

化归,是指将有待解决或未解决的问题,通过转化过程,归结为一类已经解决或较易解决的问题中去,以求得解决。

客观事物是不断发展变化的,事物之间的相互联系和转化,是现实世界的普遍规律。

数学中充满了矛盾,如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等,实现这些矛盾的转化,化未知为已知,化复杂为简单,化陌生为熟悉,化困难为容易,都是化归的思想实质。

任何数学问题的解决过程,都是一个未知向已知转化的过程,是一个等价转化的过程。

化归是基本而典型的数学思想。

在教学平面图形求积公式中,就以化归思想、转化思想等为理论武器,实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应,从而构建和完善了学生的认知结构。

二、归纳的思想方法在研究一般性性问题之前,先研究几个简单的、个别的、特殊的情况,从而归纳出一般的规律和性质,这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。

数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。

在解决数学问题时运用归纳思想,既可认由此发现给定问题的解题规律,又能在实践的基础上发现新的客观规律,提出新的原理或命题。

因此,归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法,也是思维过程中的一次飞跃。

三、符号化的思想方法数学发展到今天,已成为一个符号化的世界。

符号就是数学存在的具体化身。

英国著名数学家罗素说过:“什么是数学?数学就是符号加逻辑。

”数学离不开符号,数学处处要用到符号。

怀特海曾说:“只要细细分析,即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便,甚至是必不可少的。

”数学符号除了用来表述外,它也有助于思维的发展。

如果说数学是思维的体操,那么,数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。

现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。

人教版教材从一年级就开始用“□”或“()”代替变量x,让学生在其中填数。

例如:1+2=□,6+()=8,7=□+□+□+□+□+□+□;再如:学校有7个球,又买来4个。

数学中的思想方法数学是一门基础学科，它不仅是一种工具，更是一种思维方式和思想方法。

数学中的思想方法是指数学家们在解决数学问题时所采用的一种系统的、抽象的、逻辑的思维方式。

这些思想方法不仅可以帮助我们理解和解决数学问题，还可以应用于其他领域，如自然科学、社会科学、工程技术和金融经济等。

下面将介绍一些数学中常用的思想方法。

一、化归思想化归思想是指在解决一个复杂问题时，将其转化为一个或多个较为简单的问题，通过对这些简单问题的解决，最终解决原始问题。

化归思想的核心是将复杂问题转化为简单问题，通过逐步转化，使得问题变得更容易解决。

例如，在解多元一次方程组时，我们可以将其转化为解一元一次方程的问题；在求解多面体的体积时，我们可以将其转化为求解长方体的体积的问题。

二、数形结合思想数形结合思想是指在解决数学问题时，将数量关系和空间形式结合起来，通过图形和数值的相互转换，使得问题变得更容易解决。

数形结合思想的核心是将抽象的数量关系转化为具体的空间形式，通过图形和数值的结合，使得问题更加形象化和直观化。

例如，在解平面解析几何问题时，我们常常将点坐标转化为几何图形中的点；在解立体解析几何问题时，我们常常将空间结构转化为平面图形进行求解。

三、分类讨论思想分类讨论思想是指在解决数学问题时，将问题按照不同的分类标准划分成不同的类别，对每一类问题进行分别讨论和解决。

分类讨论思想的核心是将一个复杂的问题划分成多个较为简单的问题，通过对每一类问题的分别解决，最终解决原始问题。

例如，在解排列组合问题时，我们常常需要按照不同的分类标准对问题进行分类讨论；在解函数问题时，我们常常需要按照不同的分类标准对函数的性质进行分类讨论。

四、函数与方程思想函数与方程思想是指在解决数学问题时，将问题转化为函数或方程的形式，通过对函数或方程的分析和求解，最终解决原始问题。

函数与方程思想的核心是将问题转化为函数或方程的形式，通过对函数或方程的分析和求解，使得问题更加清晰和明确。

数学解题思想【数学解题中的化归思想】一、化归的基本思想“化归”就是转化与归结的简称.化归方法是数学上解决问题的一般方法，其基本思想是：在解决问题数学问题时，常常将有待解决的问题P，通过某种转化手段，归结为另一个问题Q，而问题Q是一个相对比较容易解决或者已有明确解决方法的问题，且通过对问题Q的解决可以联想到问题P的解决.用框图可以直观表示如下：其中，问题P常被称作化归对象，问题Q常被称作化归目标或方向，其转化的手段也就被称作化归途径或者化归策略.二、化归的基本原则在处理数学问题的过程中，常将有待解决的陌生、不熟悉的问题通过转化，将它归结为一个或几个比较熟悉或者比较简单的问题来解决.这样就可以充分运用我们已有的知识、经验与方法来帮助我们处理和解决问题；将抽象的问题转化为具体直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际的问题转化为数学问题；将不同数学分支的知识相互转化，较多见于平面与空间、解析与三角、代数与几何，等等，从而使问题易于解决.三、化归的基本类型1.常量与变量的转化在处理多变元的数学问题时，可以选取原来是常量或参数看做“主元”，而把原来的变元看做“常量”，从而简化其运算的策略.例1.已知方程ax+2（2a-1）x+4a-7=0中，a为正整数，问a何值时，原方程至少有一个整数根.分析：若采用方程求根公式x=来讨论x的整数值，显然十分复杂.在原方程中，x是变元，a是参数，不妨把a与x的位置换一下，把a看做变元，x看做参数来处理.解：将原方程以a作变元，重新整理，得a（x+2）=2x+7①显然，当x=-2时，①式不成立.因此，有a=（x≠-2）②若要a为正整数，则须2x+7≥（x+2）解得-3≤x≤1（x∈Z，x≠-2），因此x只能在-3，-1，0，1中取值.分别代入②式中即知，仅当x=-3，x=-1和x=1时能使a 为正整数，此时分别有a=1和a=5，即当a为1或5时原方程至少有一个整数根.2.数与形之间的转化数与形是数学的两个主要研究对象，通过数与形的转化，可以利用数量关系的讨论来研究图形的性质，也可以利用几何图形直接地反映函数或方程中变量之间的关系.例2.求函数f（x）=的值域.分析：本题的难点在于根号难以处理，若使用单纯换元法难以奏效.结合直线的斜率的几何意义，可以构造半圆来处理根号.解：设y=，则f（x）==，于是所求y的值域就是求定点A（1，-2）与半圆y=即（x-2）+y=1（y≥0且x≠1）上的动点P（x，y）所确定的直线PA的斜率的范围.由图1知直线PA的A（1，-2）斜率为［1，+∞），即f（x）的值域为［1，+∞）.图13.一般与特殊的转化若要处理的数学问题从正面不易找到着手点时，一般性难以解决的问题，可以考虑从特殊性的问题来解决；反过来，特殊性难以解决的问题，也可以考虑从一般性的问题来解决.例3.设f（n）=++。

高中数学解题中化归思想的运用化归是高中数学中常用的一种解题思想，通常能够将乍一看十分复杂的数学问题化简为简单的形式，并有助于提高解题效率。

以下就是在高中数学解题中常用的化归思想。

1. 化简式子在高中数学中，经常会遇到一些复杂的式子需要进行化简。

这时，可以利用代数恒等式、特殊值、分子分母约分、公因式等方法进行化简，使得式子更加简单明了。

例如，对于下面的式子：$$\frac{3x^2+6x}{3}$$可以通过将分子分母都除以3来化简：2. 找出规律在高中数学中，很多数列题需要找出其中的规律以求得下一项或任意一项。

通常可以通过对前几项进行观察来找出规律，并据此求出剩余的项。

例如，对于下面的题目：已知数列$\{a_n\}$的前3项$a_1=1,a_2=3,a_3=7$，且$a_n-a_{n-1}-a_{n-2}=0$，求$a_{10}$。

3. 取特例在高中数学中，有时候我们需要回归到一些基本的数学概念，通过取特例来探究问题的本质。

例如，对于下面的问题：已知$a,b>0$，且$a+b=2$，求$ab$的最大值。

由于$a+b=2$，可以取$b=2-a$，则$ab=a(2-a)=-a^2+2a$。

此时，问题就变成了求$-a^2+2a$的最大值。

该函数在$a=1$处取得最大值1，从而得到$ab$的最大值为1。

4. 对称化在高中数学中，一些问题可以通过对称化的方法得到简洁的解决方式。

例如，对于下面的问题：已知正整数$x,y,z$满足$x+y+z=1$，求$x^2+y^2+z^2$的最小值。

由于$x+y+z=1$，可以令$a=\frac{x+y}{2},b=\frac{y+z}{2},c=\frac{z+x}{2}$，则$x=a+c-b,y=b+a-c,z=c+b-a$。

此时，$x^2+y^2+z^2$可以化成$a^2+b^2+c^2$的形式。

由于$x+y+z=1$，可以得到：$$2(a+b+c)=x+y+z+3(a+b+c)-3=2$$从而可得$a+b+c=1$。

数学教学过程中的化归思想化归思想是数学教学过程中重要的思维方法之一。

它通过将复杂的数学问题转化为相对简单的形式，从而便于问题的解决。

化归思想广泛应用于数学的各个分支，如代数、几何、概率等。

在代数中，化归思想对于解决方程和不等式问题非常有效。

通过将方程或不等式进行变形、合并和整理，可以将问题化简为更加简单和易于处理的形式。

在解一元二次方程时，可以通过配方法将方程化为标准形式，再利用求根公式求解。

同样，在解不等式问题时，可以通过考虑不等式条件的变换和合并，将不等式化为求解一元一次不等式的问题。

在几何中，化归思想可以帮助学生理解和解决复杂的几何问题。

通过将问题进行几何变形和转化，可以将几何问题简化为已知的几何定理或性质的运用。

在解决三角形的面积问题时，可以通过拆分三角形为多个已知几何形状的组合，然后计算各个组合形状的面积，再将结果进行合并得出最终答案。

在概率中，化归思想有助于分析和计算复杂的概率问题。

通过将问题进行转化和化简，可以将复杂的概率问题转化为已知的概率模型或分布的计算。

在计算复杂事件的概率时，可以通过拆分事件为多个互斥或独立事件的组合，然后利用概率的加法规则和乘法规则计算各个事件的概率，最后将结果进行合并得到最终答案。

在数学教学中，老师可以通过举一些具体的例子，引导学生运用化归思想解决数学问题。

老师可以提供一些复杂的问题，并引导学生思考如何将问题进行转化和化简。

然后，老师可以给予一些提示和指导，帮助学生找到问题的关键和思路。

老师可以让学生自己尝试解决问题，并及时反馈和指导学生的解题过程。

化归思想的重要性在于它能够提高学生的数学思维能力和问题解决能力。

通过将问题进行转化和化简，学生可以更好地理解和把握数学问题的本质和性质。

化归思想也能够培养学生的逻辑思维和创新能力。

通过运用化归思想，学生可以在解决数学问题的过程中发现问题的规律和模式，从而提高问题解决的效率和准确性。

化归思想在数学教学中起着重要的作用。

高考数学化归与转化思想及方法讲解化归与转化的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法.化归与转化的思想就是将复杂或陌生、新颖的数学问题、数学信息和数学情景转化为简单或已知的数学知识和成熟的经验方法，从而解决问题的策略.化归与转化的思想,遵循以下五项基本原则: (1)化繁为简的原则. (2)化生为熟的的原则. (3)等价性原则. (4)正难反则易即逆向思维原则.当问题从正面解决困难时,可以转化为问题的逆否命题或考虑反证法.(5)形象具体化原则.将抽象的数学信息转化为可以观察,或者能够定性研究的具体问题.下面通过一些具体例子说明化归与转化思想中主要的一些方法.1.用构造法实现化归与转化例1 已知,3232,x y y x R y x --+>+∈且那么（ ）0y x .<+A 0y x .>+B 0 x y .<C 0 x y .>D分析：已知不等式两边都含有y x ,两个变量，而学生目前只学习一元函数，为此先把不等式化为yyxx 3232->---，使它的两边都只含有一个变量，于是可以构造辅助函数xxx f --=32)(，通过构造函数,把不等式问题化归为函数单调性问题.解：把原不等式化为y yxx3232->---，即)(3232y yxx ----->-.设.32)(xx x f --=因为函数xx--3,2均为R 上的增函数,所以xxx f --=32)(是R 上的增函数. 不等式)(3232y yxx----->-即)()(y f x f ->,0>+->∴y x y x 即,故选B .2.转换变量实现化归与转化例2设1log)2()(log 222+--+=t x t x y ,若t 在]2,2[-上变化时,y 恒取正值,求x 的取值范围.分析:本题中,如果把y 看作x 的函数,则该题就是一个有限制条件的定义域问题,解法较为复杂.由于t 在]2,2[-上变化,所以如果转换思维角度,把y 看作t 的函数,则y 就是关于t 的一次函数或常数函数.原命题的陈述方式变为:关于t 的函数y ，当自变量t 在]2,2[-上变化时，y 恒大于零，求字母x 的取值范围.从而有以下简捷解法. 解:设.1log2)(log)1(log)(2222+-+-==x x t x t f y 则)(x f 为一次函数或常数函数.当]2,2[-∈t 时,0)(>x f 恒成立,则⎩⎨⎧>>-,0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-01log3log 4log22222x x x ,解得1l o g 2-<x 或210,3log2<<∴>x x 或8>x ,所以x 的取值范围是).,8()21,0(+∞3.用换元法实现化归与转化例3已知,R a ∈求函数)cos )(sin (x a x a y --=最小值.分析:把函数)cos )(sin (x a x a y --=展开后,可以观察到该函数是关于x x x x cos sin cos sin +⋅与的三角函数式,因此可以把x x cos sin +看作一个量,把该函数式转化为一个二次函数在给定区间上的最值问题. 解:设xx t cos sin +=,则].2,2[),4sin(2-∈+=t x t π而),1(21]1)cos [(sin 21cos sin 22-=-+=⋅t x x x x所以x x x x a a t f y co s s i n )c o s (s i n )(2⋅++-==2121)1(212222-+-=-+-=a at t t at a ].2,2[,2121)(2122-∈-+-=t a a t（1）若22≤≤-a 时，当;2121)(,2m i n -==a t f a t （2）若2>a 时，)(t f 在]2,2[-上单调递减，;212)2()(2m in +-==a a f t f （3）若2-<a ，)(t f 在]2,2[-上单调递增，212)2()(2min ++=-=a af t f .4．用数形结合实现化归与转化例4 已知不等式22)12(x a x ⋅<-的解集中只有三个整数解,求实数a 的取值范围. 分析:如果本题从不等式的角度去考虑,将比较繁琐.如果画出函数22)(,)12()(ax x g x x f =-= 的大致图像（如图1所示）,从图像上可以看到,要使不等式成立,必须 0>a ,而且满足22)12(x a x ⋅<-的图像在y 轴的右边,由此看到，解集中三个整数解分别为3,2,1，而4不再是不等式的解，从而由函数值的大小关系，解得实数a 的取值范围. 通过数形结合,把求不等式中字母a 的问题,化归为两个二次函数在几个关键值的大小问题. 解:在同一坐标系中画出22)(,)12()(ax x g x x f =-=（0>a ）的大致图像图像,如图1所示.从图1中看到,要使不等式22)12(x a x ⋅<-的解集中只有三个整数解,那么这三个解只能是3,2,1.所以⎩⎨⎧≥<)4()4()3()3(g f g f 即⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅<22224735a a 解得.1649925≤<a 这就是实数a 的取值范围. 5.用分离变量法实现化归与转化例5 若不等式012≥++ax x 对一切]21,0(∈x 成立,则a 的最小值为 .分析:要求a 的最小值,需要求出a 的取值范围.若通过讨论一元二次不等式在给定区间上恒成立，可能较繁琐.若把字母a 单独分离出来,放于不等式的一边,则另一边是关于x 的函数关系式.通过求函数式的值域或范围,可以求得字母a 的取值范围.解:因为]21,0(∈x ,所以可以把不等式012≥++ax x 化为:)1(x x a +-≥.设x x x f 1)(+=, ]21,0(∈x .因为xx x f 1)(+=在]21,0(∈x 时单调递减,所以25)1( ,25)(-≤+-≥x x x f .要使不等式)1(xx a +-≥对一切]21,0(∈x 成立,则25-≥a ,所以a 的最小值为25-.6.用特殊化法实现化归与转化例6 已知|,0,3||,1|=⋅==OB OA OB OA 点C 在ABC ∠内,且30=∠AOC .设),(R n m OB n OA m OC ∈+=,则=nm ( )31 .A 3 .B 33.C 3 .D图1解析：本题若按通常解法，需要根据向量所给出的平面几何关系，把OB n OA m OC +=两边平方后，得到n m ,关系式，从中求出nm ,比较繁琐.现在如果把n m ,特殊化,如取1=m 则OB AC //.由AC OA AOC OA ⊥=∠=,30,1|| 得33||=AC ,所以31=n ,则3=nm ,由此判断选择支D C A ,,错误,故B 正确.7.用导数实现化归与转化例7 已知函数22()ln (0)f x x a x x x=++>， （I ）令1a =，求函数()f x 在2x =处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围.分析:本题是一个非基本初等函数在某点处切线和单调性的问题.在（I ）中,把1a =代入函数的解析式后,再求函数的导数,得()f x 在2x =处的切线斜率,最后写出方程.在（Ⅱ）中,先求函数22()ln (0)f x x a x x x=++>的导函数)(x f ',再令0)(≥'x f 在[1,)+∞上恒成立,求得a 的取值范围. 通过导数的几何意义,把非基本初等函数的切线和单调性问题,化归为求导函数值和不等式恒成立问题,这是导数的重要贡献之一. 解:（I ）由2222()ln ,'()2af x x a x f x x x x x=++=-+得切线的斜率k '(2)4f ==切点坐标（2，5+ln 2）， 所求切线方程为(5ln 2)4(2)y x -+=-,即02ln 34=+--y x（Ⅱ）若函数为[1,)+∞上单调增函数，则()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，即不等式2220ax x x-+≥在[1,)+∞上恒成立 也即222a x x ≥-在[1,)+∞上恒成立.令22()2,x x xϕ=-上述问题等价于m ax (),a x ϕ≥而22()2x x xϕ=-为在[1.)+∞上的减函数， 则max ()(1)0,x ϕϕ==于是0a ≥为所求.8.用定义、公式、定理、图形和已知结论等实现化归与转化例8已知数列{}n a 的前n 项和322+=n S n ,求数列{}n a 的通项n a .分析:数列{}n a 的前n 项和已知,根据前n 项和定义n n a a a S +++= 21得,当2≥n 时,1--=n n n S S a ,把数列{}n a 的前n 项和问题转化为数列的通项问题. 这是最常见和应用最广泛的解题方法,它蕴含着最直接的化归与转化的思想.解:因为322+=n S n ,所以当2≥n 时, 1--=n n n S S a 243)1(23222-=---+=n n n , 又当1=n 时,53211=+==S a ,所以⎩⎨⎧=≥-=1,52,24n n n a n .9.利用命题的否定或反证法实现化归与转化例9 已知下列三个方程: 03442=+-+a ax x , 0)1(22=+-+a x a x ,0222=-+a ax x 至少有一个方程有实数根,求实数a 的取值范围.分析:若从题设入手,三个方程至少有一个有实数根,则需要分为三类,即有一个方程有实根,有两个方程有实根, 有三个方程有实根.而且前两类中又各有三种情况,比较复杂.因此考虑该问题的相反情况即:三个方程都没有实根.求得a 的范围后,再在R 上求补集.该转化较好的体现了正难反则易的思想.解:假设三个方程均无实根，则有⎪⎩⎪⎨⎧<--<-<+--）（）（）（30)2(4)2(2 041)-(a 1 0)34(4)4(2222a a a a a ，解（1）得：,2123<<-a 解（2）得：,311>-<a a 或解（3）得：.02<<-a 所以三个方程均无实数解时.123-<<-a 因此三个方程至少有一个实数解时a 的取值范围是123-≥-≤a a 或.10.利用归纳类比实现化归与转化例10 在球面上有四个点C B A P 、、、,如果PC PB PA 、、两两互相垂直，如图2所示,且,a PC PB PA ===那么这个球面的面积是( )223.a A π 223 .a B π 23 .a C π 2433.a D π解析:本题若只从题设条件入手,不易确定PC PB PA 、、与球心及球的半径的关系，因此不易找到等量关系进行计算.若类比我们熟悉的球与多面体的组合体,则可以联想到球的内接正方体. PC PB PA 、、看作正方体顶点P 处的三条棱（如图3）,正方体的体对角线PD 就是球的直径. 通过类比, 确定了球心及半径与已知条件的关系,把问题转化为球的内接正方体P C B AD图3P ABC图2问题.所以球的半径a r 23=,球的表面积2234a rS ππ==.故选C .化归与转化的思想贯穿于解题行为的始终,化归与转化的方法精彩纷呈,不胜枚举.让我们深刻理解化归与转化的精髓,把握化归与转化的方法,进一步提高分析问题和解决问题的能力.。