新人教B版2012届高三单元测试3必修1第三章《基本初等函数I》

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作单元测评(三) 基本初等函数(Ⅰ)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分． 1．化简[3(－5)2]34 的结果为( ) A ．5 B. 5 C ．－ 5D ．－5解析：[3(－5)2]34 ＝(352)34 ＝523×34 ＝512＝ 5. 答案：B2．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A ．9 B.19 C ．25D.125解析：由换底公式，得lg 13lg5·lg6lg3·lg xlg6＝2， ∴－lg xlg5＝2.∴lg x ＝－2lg5＝lg 125，∴x ＝125. 答案：D 3．若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝⎛⎦⎥⎤－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：f (x )要有意义，需log 12(2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1，解得－12＜x ＜0. 答案：A4．函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．|a |＞1 B ．|a |＞2 C ．a ＞ 2D ．1＜|a |＜ 2解析：由0＜a 2－1＜1得1＜a 2＜2，∴1＜|a |＜ 2. 答案：D5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝512－x B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 D ．y ＝1－2x解析：y ＝512－x 的值域是(0,1)∪(1，＋∞)；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x 的值域为(0，＋∞)；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1的值域为[0，＋∞)；y ＝1－2x 值域为[0,1)，故选B.答案：B6．函数y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x |x |的图像的大致形状是( )A.B.C.D.解析：原函数式化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ＞0)，－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ＜0).答案：D7．函数y ＝⎩⎨⎧3x －1－2，(x ≤1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1－2，(x ＞1)的值域是( )A ．(－2，－1)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－2，－1]解析：当x ≤1时，0＜3x －1≤31－1＝1， ∴－2＜3x －1－2≤－1.当x ＞1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫131，∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1，∴－2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1－2＜1－2＝－1.答案：D8．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像为( )A. B.C. D.解析：由题意知前3年年产量增大速度越来越快，可知在单位时间内，C 的值增大的很快，从而可判定结果．答案：A9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2(x －1) (x ≥2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 (x ＜2)，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3)解析：当x 0≥2时，∵f (x 0)＞1，∴log 2(x 0－1)＞1，即x 0＞3；当x 0＜2时，由f (x 0)＞1得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0－1＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴x 0＜－1，∴x 0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．答案：C10．函数f (x )＝log a (bx )的图像如图，其中a ，b 为常数．下列结论正确的是( )A ．0＜a ＜1，b ＞1B ．a ＞1,0＜b ＜1C ．a ＞1，b ＞1D ．0＜a ＜1,0＜b ＜1解析：由于函数单调递增，∴a ＞1， 又f (1)＞0，即log a b ＞0＝log a 1，∴b ＞1. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．若函数y ＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ， x ∈[－1，0]，3x ， x ∈(0，1]，则f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝__________.解析：∵－1＝log 313＜log 312＜log 31＝0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 312 ＝3－log 312＝3log 32＝2. 答案：212．已知函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]的最大值比最小值大2，则它的反函数在[1,4]上的最大值为__________．解析：当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上是减函数． 由题意a －a 2＝2，无解．当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上是增函数． 由题意a 2－a ＝2, 解得a ＝2，a ＝－1(舍去)． ∴函数y ＝2x 的反函数为y ＝log 2x ，最大值为log 24＝2. 答案：213．若函数y ＝2x ＋1，y ＝b ，y ＝－2x －1三图像无公共点，结合图像求b 的取值范围为__________．解析：如图．当－1≤b ≤1时，此三函数的图像无公共点．答案：[－1,1]14．已知f (x )＝log 3x 的值域是[－1,1]，那么它的反函数的值域为__________．解析：∵－1≤log 3x ≤1， ∴log 313≤log 3x ≤log 33，∴13≤x ≤3.∴f (x )＝log 3x 的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3， ∴f (x )＝log 3x 的反函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3三、解答题：本大题共4小题，满分50分． 15．(12分)设函数y ＝2|x ＋1|－|x －1|. (1)讨论y ＝f (x )的单调性，作出其图像； (2)求f (x )≥22的解集．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧22， (x ≥1)，22x， (－1≤x ＜1)，2－2 (x ＜－1).(2分)当x ≥1或x ＜－1时，y ＝f (x )是常数函数不具有单调性， 当－1≤x ＜1时，y ＝4x 单调递增，(4分)故y ＝f (x )的单调递增区间为[－1,1)，其图像如图．(6分)(2)当x ≥1时，y ＝4≥22成立，当－1≤x ＜1时，由y ＝22x≥22＝2×212＝232，得2x ≥32，x ≥34，∴34≤x＜1.当x ＜－1时，y ＝2－2＝14≥22不成立，(10分)综上，f (x )≥22的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.(12分) 16．(12分)设a ＞1，若对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，求a 的取值范围．解：∵log a x ＋log a y ＝3， ∴log a (xy )＝3.(4分)∴xy ＝a 3，∴y ＝a3x .(6分)∴函数y ＝a 3x (a ＞1)为减函数．(8分)又当x ＝a 时，y ＝a 2，当x ＝2a 时，y ＝a 32a ＝a22，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 22，a 2⊆[a ，a 2]． ∴a 22≥a .(10分)又a ＞1，∴a ≥2.∴a 的取值范围为a ≥2.(12分)17．(12分)当1≤x ≤64时，求y ＝(log 2x )4＋12(log 2x )2·log 28x 的最大值． 解：y ＝(log 2x )4＋12(log 2x )2·log 28x＝(log 2x )2[(log 2x )2－12log 2x ＋36] ＝(log 2x )2(6－log 2x )2 令log 2x ＝t ，则y ＝t 2(6－t )2. ∵1≤x ≤64，∴0≤log 2x ＝t ≤6，t (6－t )≥0. 当t ＝3时，t (6－t )取最大值9， ∴y 的最大值为81.18．(14分)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.(1)证明函数f (x )是R 上的增函数； (2)求函数f (x )的值域；(3)令g (x )＝xf (x )，判定函数g (x )的奇偶性，并证明．解：(1)证明：f (x )＝2x －12x ＋1＝2x ＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1.设x 1，x 2是R 内任意两个值，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0， y 2－y 1＝f (x 2)－f (x 1) ＝22x 1＋1－22x 2＋1 ＝2·2x 2－2·2x 1(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2(2x 2－2x 1)(2x 1＋1)(2x 2＋1). 当x 1＜x 2时，2x 1＜2x 2，∴2x 2－2x 1＞0. 又2x 1＋1＞0,2x 2＋1＞0， ∴y 2－y 1＞0，∴f (x )是R 上的增函数．(5分) (2)f (x )＝1－22x ＋1.∵2x＋1＞1，∴0＜22x ＋1＜2，即－2＜－22x ＋1＜0，∴－1＜1－22x ＋1＜1.∴f (x )的值域为(－1,1)．(10分)(3)由题意知g (x )＝x f (x )＝2x＋12x －1·x ，易知函数g (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，g (－x )＝(－x )·2－x ＋12－x －1＝(－x )·1＋2x 1－2x ＝x ·2x ＋12x －1＝g (x )，∴函数g (x )为偶函数．(14分)。

本章测评(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知全集I ＝R ，集合M ＝{y |y ＝2|x |，x ∈R }，N ＝{x |y ＝lg(3－x )}，则(I M )∩N 等于( ) A ．(－∞，1) B ．[1,3) C ．[3，＋∞) D ．2设函数f (x )＝log 2(4－x 2)，下列命题中正确的是 …( ) A ．f (x )有最小值4，无最大值 B ．f (x )有最小值2，无最大值 C ．f (x )无最小值，有最大值2 D ．f (x )无最小值，有最大值23设a ＞1，则log 0.2a,0.2a ，a 0.2的大小关系是…( )A ．0.2a ＜log 0.2a ＜a 0.2B ．log 0.2a ＜0.2a ＜a 0.2C ．log 0.2a ＜a 0.2＜0.2aD ．0.2a ＜a 0.2＜log 0.2a4某人2008年7月1日到银行存入一年期款a 元，若按年利率x 复利计算，则到2011年7月1日可取款( )A ．a (1＋x )3元B ．a (1＋x )4元C ．a ＋(1＋x )3元D ．a (1＋x 3)元5为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移3个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移3个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移3个单位，再向下平移1个单位6已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )，若f (x )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致为( )7已知a ＝log 23，那么log 38－2log 29用a 表示为( )A ．－aB ．－1a C.3a －4a D.3a －2a 28幂函数y ＝x－1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①②③④⑤⑥⑦⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象经过的“卦限”是 ( )A ．④⑦B ．④⑧C ．③⑧D ．①⑤9函数f (x )＝log a |x ＋b |是偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系为( )A ．f (b －2)＝f (a ＋1)B ．f (b －2)＞f (a ＋1)C ．f (b －2)＜f (a ＋1)D ．不能确定10设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |.当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11若f (2x )＝log 3(7－x )，则f (14)＝__________.12已知函数f (x )＝log 12x ，则方程f －1(x )＝4的解x ＝__________.13函数f (x )＝log a (x －3)＋2无论a 取什么值时，恒过定点__________．14已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥1，f (x ＋2)，x <1，则f (log 232)＝__________.15如图，P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆形纸板P 2，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)形纸板P 3，P 4，…，P n ，则P n 的半径r n 是__________．三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16(8分)不用计算器求下列各式的值： (1)(214)12－(－9.6)0－(338)－23＋(1.5)－2；(2)log 34273＋lg25＋lg4＋7log 72. 17(10分)已知函数f (x )＝2＋log 3x (181≤x ≤9)，求函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值和最小值．18(10分)科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变．死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的碳14含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的碳14含量P ；(2)湖南长沙马王堆古墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代．19(12分)对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，求f (0)的值；(2)判断函数g (x )＝2x －1(x ∈[0,1])是否为理想函数，并说明理由．参考答案1解析：由M ＝{y |y ≥1}，N ＝{x |x ＜3}，I M ＝{y |y ＜1}，所以(I M )∩N ＝{x |x ＜1}． 答案：A 2答案：C3解析：∵a ＞1，∴log 0.2a ＜0,0.2a ∈(0,1)，a 0.2＞1. 答案：B4解析：若2009年7月1日取款，有a (1＋x )元； 若2010年7月1日取款，有a (1＋x )(1＋x )＝a (1＋x )2元； 若2011年7月1日取款，有a (1＋x )2(1＋x )＝a (1＋x )3元． 答案：A5解析：∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，∴只需把y ＝lg x 的图象向左平移3个单位，再向下平移1个单位，即可得到y ＝lg x ＋310的图象．答案：C6解析：由题意可知a ∈(0,1)，b ＜－1， ∴结合选项易判断只有A 符合． 答案：A7解析：log 38－2log 29＝3log 32－4log 23＝3log 23－4log 23＝3a －4a .答案：C8解析：对幂函数y ＝x α，当α∈(0,1)时，在区间(0,1)上，其图象在直线y ＝x 的上方，在区间(1，＋∞)上，其图象在直线y ＝x 的下方，且图象经过点(1,1)．∴y ＝x 12的图象经过①⑤两个“卦限”．答案：D9解析：由f (x )为偶函数得b ＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴0＜a ＜1.∴b －2＝－2,1＜a ＋1＜2. ∴|b －2|＞|a ＋1|＞0. ∴f (b －2)＜f (a ＋1)． 答案：C10解析：函数f (x )＝2－|x |＝(12)|x |，作图易知 f (x )≤K ＝12x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．答案：D11解析：∵f (14)＝f (2－2)，∴f (14)＝log 3[7－(－2)]＝log 39＝2.答案：212解析：根据互为反函数的自变量和因变量的互换关系，得x ＝f (4)＝log 124＝－2，∴方程f －1(x )＝4的解为x ＝－2.答案：－213解析：由y ＝log a x 过定点(1,0)可知y ＝log a (x －3)过定点(4,0)， ∴f (x )＝log a (x －3)＋2过定点(4,2)． 答案：(4,2)14解析：f (log 232)＝f (log 232＋2)＝f (log 232＋log 24)＝f (log 26)＝2log 26＝6. 答案：615解析：由已知可得r 1＝(12)0，r 2＝(12)1，r 3＝(12)2，r 4＝(12)3，依次类推，r n ＝(12)n －1.答案：(12)n －116解：(1)原式＝(94)12－1－(278)－23＋(32)－2＝(32)2×12－1－(32)－3×23＋(32)－2. ＝32－1－(32)－2＋(32)－2＝12. (2)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg102＋2＝－14＋2＋2＝154.17解：g (x )＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.∵f (x )的定义域为[181，9]，∴⎩⎨⎧181≤x ≤9，181≤x 2≤9，解得⎩⎨⎧181≤x ≤9，－3≤x ≤－19，或19≤x ≤3.∴19≤x ≤3，即g (x )的定义域为[19，3]． ∴－2≤log 3x ≤1.∴当log 3x ＝－2，即x ＝19时，[g (x )]min ＝－2；当log 3x ＝1，即x ＝3时，[g (x )]max ＝13.18解：(1)设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1,1年后的残留量为x ，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的碳14含量P 有如下关系：因此，生物死亡t 年后体内碳14的含量P ＝x t .由于大约每过5 730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730，于是x ＝(12)15 730，这样生物死亡t 年后体内碳14的含量P ＝(12)t5 730.(2)由对数与指数的关系，指数式P ＝(12)t 5 730可写成对数式t ＝5 730log 12P .湖南长沙马王堆女尸中碳14的残留量约占原始含量的76.7%，即P ＝0.767，那么t ＝5 730log 120.767，由计算器可得t ≈2 193.所以马王堆古墓约是2 100多年前的遗址． 19解：(1)取x 1＝x 2＝0，可得f (0)≥f (0)＋ff (0)≤0.又由条件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.(2)函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数．理由如下：显然g(x)＝2x－1在[0,1]上满足条件①g(x)≥0，也满足条件②g(1)＝1.若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③，故g(x)为理想函数．。

章末综合测评(三) 基本初等函数(Ⅰ)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x的图象关于直线y ＝x 对称的函数是( )A ．y ＝4xB ．y ＝4－xC ．y ＝log 14xD ．y ＝log 4x【解析】 由指数、对数函数图象性质知，与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x的图象关于直线y ＝x 对称的函数是对数函数y ＝log 14x ，故选C.【答案】 C2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x 2－2x【解析】 y ＝ln(x ＋2)的定义域为(－2，＋∞)，在(0，＋∞)上递增;y ＝－x ＋1的定义域为[－1，＋∞)，在(0，＋∞)上递减；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为R ，在(0，＋∞)上递减；y ＝x 2－2x 的定义域为R ，在(1，＋∞)上递增，在(0,1)上递减．故选A.【答案】AA ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(1,2] 【解析】得0<x －1≤1， ∴1<x ≤2. 【答案】 D4．设幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设0<a <1，则f (a )与f －1(a )的大小关系是( )A ．f －1(a )>f (a )B ．f －1(a )＝f (a )C ．f －1(a )<f (a )D ．不确定【解析】 设f (x )＝x α，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3的坐标代入得：3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13α，∴α＝－12.∴f (x )＝x -12，即y ＝x -12， ∴x ＝y －2， ∴f －1(x )＝x －2. 又0<a <1， ∴f －1(a )>f (a )．故选A. 【答案】 A5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，(x ≤0)，log 2(x 2＋x )，(x >0)，若f (a )＝1，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－1或1或－2【解析】 ∵f (a )＝1， ∴⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－1＝1，a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧log 2(a 2＋a )＝1，a 2＋a >0，a >0，(a 2＋a >0与a >0的公共解为a >0)∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，a ≤0或⎩⎨⎧a 2＋a －2＝0，a >0. ∴a ＝－1或a ＝1. 【答案】 C6．若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( ) A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b cD ．c a ＞c b【解析】 对于选项A ：log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定．对于选项B ：log c a ＝lg a lg c ，log c b ＝lg blg c ，而lg a ＞lg b ，两边同乘一个负数1lg c 不等号方向改变，∴log c a ＜log c b ，∴选项B 正确．对于选项C ：利用y ＝x c (0＜c ＜1)在第一象限内是增函数，可得a c ＞b c ，∴选项C 错误．对于选项D ：利用y ＝c x (0＜c ＜1)在R 上为减函数，可得c a ＜c b ，∴选项D 错误，故选B.【答案】 B7．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1，x ∈(－1,1)的图象关于( )【导学号：97512061】A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称【解析】 f (x )＝lg 1＋x1－x，x ∈(－1,1)，∴f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－lg 1＋x1－x ＝－f (x )． 即f (x )为奇函数，关于原点对称． 【答案】 C8．若f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，f (x )的反函数为g (x )，且g (2)<1，则f (x )的图象是( )【解析】 g (x )＝a x (a >0且a ≠1)，∴g (2)＝a 2<1，故0<a <1， ∴f (x )＝log a x 是减函数，应选B.【答案】 B9．已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x ，x ∈R .( ) A ．若f (a )≤|b |，则a ≤b B ．若f (a )≤2b ，则a ≤b C ．若f (a )≥|b |，则a ≥b D ．若f (a )≥2b ，则a ≥b【解析】 ∵f (x )≥|x |，∴f (a )≥|a |.若f (a )≤|b |，则|a |≤|b |，A 项错误．若f (a )≥|b |且f (a )≥|a |，无法推出a ≥b ，故C 项错误．∵f (x )≥2x ，∴f (a )≥2a .若f (a )≤2b ，则2b ≥2a ，故b ≥a ，B 项正确．若f (a )≥2b 且f (a )≥2a ，无法推出a ≥b ，故D 项错误．故选B.【答案】 B10．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a【解析】 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2， b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4， c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b . 【答案】 C11．若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)【解析】 因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a .化简可得a ＝1，则2x ＋12x －1＞3，即2x ＋12x －1－3＞0，即2x ＋1－3(2x －1)2x－1>0，故不等式可化为2x －22x －1＜0，即1＜2x ＜2，解得0＜x ＜1，故选C.【答案】 C12．函数y ＝a x －2(a ＞0且a ≠1，－1≤x ≤1)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53，1，则实数a ＝( )A ．3 B.13 C ．3或13D.23或32【解析】 当a ＞1时，y ＝a x －2在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎨⎧a －2＝1，1a －2＝－53，解得a ＝3；当0＜a ＜1时，y ＝a x －2在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝－53，1a －2＝1，解得a ＝13.综上可知a ＝3或13. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________.【导学号：97512062】【解析】 原式＝lg 1425÷(102) -12＝lg10－2÷110＝－2×10＝－20. 【答案】 －20 14．化简： a a a ＝________. 【解析】a a a ＝a ·(a ·a 12)12＝a 78.【答案】 a 7815．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________.【解析】 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的图象对称轴为x ＝1， ∴当－2<a ≤1时，y min ＝g (a )＝a 2－2a ；当a >1时， y min ＝g (a )＝－1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ， (－2<a ≤1)－1， (a >1)【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ， (－2<a ≤1)－1， (a >1)16．对于下列结论：①函数y ＝a x ＋2(x ∈R )的图象可以由函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象平移得到；②函数y ＝2x 与函数y ＝log 2x 的图象关于y 轴对称； ③方程log 5(2x ＋1)＝log5(x 2－2)的解集为{－1,3}；④函数y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )为奇函数．其中正确的结论是________．(把你认为正确结论的序号都填上) 【解析】 y ＝a x ＋2的图象可由y ＝a x 的图象向左平移2个单位得到，①正确；y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，②错误；由log 5(2x ＋1)＝log 5(x 2－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝x 2－2，2x ＋1>0，x 2－2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，3，x >－12，x >2或x <－2，∴x ＝3，③错误；设f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，定义域为(－1,1)，关于原点对称，f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－[ln (1＋x )－ln (1－x )]＝－f (x )．∴f (x )是奇函数，④正确．故正确的结论是①④. 【答案】 ①④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求下列函数的定义域． (1)f (x )＝1log 2(x ＋1)－3；(2)f (x )＝92x －1－127.【解】 (1)要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，log 2(x ＋1)≠3＝log 28，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠7， ∴函数的定义域为{x |x >－1且x ≠7}． (2)要使函数有意义，须满足：92x －1－127≥0， ∴34x －2≥3－3，∴x ≥－14，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥－14. 18．(本小题满分12分)若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，求lg(ab )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2的值． 【解】 ∵lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，∴⎩⎨⎧lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴⎩⎨⎧lg (ab )＝2，lg a ·lg b ＝12.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝[lg (ab )]2－4lg a ·lg b ＝22－4×12 ＝2.∴lg(ab )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝2×2＝4.19．(本小题满分12分)求y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值.【导学号：60210100】【解】 ∵2≤x ≤4， ∴－2≤log 12x ≤－1.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，y ＝t 2－12t ＋5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋7916.∵对称轴t ＝14∉[－2，－1]，∴y ＝t 2－12t ＋5在[－2，－1]上是减函数．∴y (－1)≤y ≤y (－2)， 即当t ＝－1时，y min ＝132， 当t ＝－2时，y max ＝10.20．(本小题满分12分)已知f (x )＝log a 1＋x1－x (a >0，且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)求使f (x )>0的x 的取值范围．【解】 (1)要使f (x )有意义，x 的取值必须满足1＋x1－x>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，1－x >0或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x <0，1－x <0，解得－1<x <1.故f (x )的定义域为(－1,1)．(2)当a >1时，由log a 1＋x 1－x>0＝log a 1， 得1＋x 1－x>1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，1＋x >1－x . 解得0<x <1.当0<a <1时，由log a 1＋x 1－x>0＝log a 1， 得0<1＋x 1－x<1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，1＋x <1－x . 解得－1<x <0.故当a >1时，所求x 的取值范围为0<x <1；当0<a <1时，所求x 的取值范围为－1<x <0.21．(本小题满分12分)分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把声压P 0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝值y 与声压P 的函数关系式；(2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？(3)某晚会中，观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时的声压是多少？【解】 (1)由已知，得y ＝20lg P P 0. 又P 0＝2×10－5，则y ＝20lg P 2×10－5. (2)当P ＝0.002时，y ＝20lg 0.0022×10－5＝20lg 102＝40(分贝)． 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以该地区为无害区．(3)由题意，得90＝20lg P P 0，则P P 0＝104.5， 所以P ＝104.5P 0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕)．22．(本小题满分12分)已知指数函数y ＝g (x )满足g (2)＝4，定义域为R 的函数f (x )＝－g (x )＋n 2g (x )＋m是奇函数． (1)确定y ＝g (x )的解析式；(2)求m ，n 的值；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．【解】 (1)g (x )＝2x .(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋n 2x ＋1＋m. ∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (0)＝0，即n －12＋m＝0，∴n ＝1. ∴f (x )＝1－2x2x ＋1＋m. 又由f (1)＝－f (－1)知1－24＋m ＝－1－12m ＋1，解得m ＝2.(3)由(2)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1， 易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，∴t 2－2t >k －2t 2，即3t 2－2t －k >0.由判别式Δ＝4＋12k <0可得k <－13.。

第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算【目标要求】1． 理解根式的概念。

2． 理解分数指数的概念，掌握根式与分数指数幂的关系。

3． 掌握有理数幂的运算性质并注意灵活运用。

4． 掌握用计算器计算有理指数幂的值。

【巩固教材——稳扎马步】 1．下列说法中正确的是( )A.-2是16的四次方根B.正数的 次方根有两个C. 的 次方根就是D.2．下列等式一定成立的是( )A ．2331a a ⋅=a B ．2121a a⋅-=0 C ．（a 3）2=a 9 D.613121a a a =÷3. 431681-⎪⎭⎫⎝⎛的值是（ ） A.278 B.278- C.23 D.23- 4.将322-化为分数指数幂的形式为( )A ．212-B ．312- C ．212--D.652-【重难突破——重拳出击】 5. 下列各式中，正确的是 （ ）A ．100= B ．1)1(1=-- C ．74471aa=-D ．53531aa=-6.设b ≠0,化简式子()()()61531222133ab baba ⋅⋅--的结果是 （ ）A.aB.()1-ab C.1-ab D.1-a。

第三章基本初等函数（I）（人教B版必修1）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分1.计算的结果为（）A.3B.4C.5D.62.若，则x等于（）A.9B.C.25D.3.若f（x）=，则f（x）的定义域为（）A. B. C. D.（0，+∞）4.函数在（-∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A.|a|>1B.|a|>2C.a>D.1<|a|＜5.函数y=的定义域是（-∞，0］，则a的取值范围是（）A.a>0B.a>1C.0<a<1D.a ≠16.已知，则a，b，c的大小关系是（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.c＜a＜b7.函数y=的图象的大致形状是（）8.函数y=的值域是（）A.（-2，-1）B.（-2，+∞）C.（-∞，-1］D.（-2，-1］9.已知函数f（x）=，若f（a）=b，则f（-a）等于（）A.bB.-bC.D.-10.设函数f（x）=若>1，则的取值范围是（）A.（-∞，0）∪（2，+∞）B.（0，2）C.（-∞，-1）∪（3，+∞）D.（-1，3）11.函数的图象如图，其中a，b为常数.下列结论正确的是（）A.0<a<1，b>1B.a>1，0<b<1C.a>1，b>1D.0<a<1，0<b<112.设函数f（x），g（x）的定义域分别为F，G，且F G.若对任意的x∈F，都有g（x）= f（x），则称g（x）为f（x）在G上的一个“延拓函数”.已知函数（x≤0），若g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则函数g（x）的解析式是（）A. B.C. D.二、填空题（每小题4分，共16分）13.若函数（a>0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，-1），则a= .14.设f（x）=则f（f（2））的值为.15.若函数+1，y=b，-1的图象无公共点，则b的取值范围为.16.若函数在上单调递减，则正实数a的取值范围是.三、解答题（共74分）17.（本小题满分12分）求下列各式的值：（1）；（2）（a>0且a≠1）.18.（本小题满分12分）设函数.（1）讨论y=f（x）的单调性，并画出其图象；（2）求f（x）≥2的解集.19.（本小题满分12分）设a>1，若对于任意的x∈［a，2a］，都有y∈［a，］满足方程，求a的取值范围.20.（本小题满分13分）若，求f（x）=·的最大值和最小值.21.（本小题满分12分）已知M={x|x>3或x<1}，当x∈M时，求的最值.22.（本小题满分13分）已知函数f（x）=.（1）证明函数f（x）是R上的增函数；（2）求函数f（x）的值域；（3）令g（x）=，判定函数g（x）的奇偶性，并证明.第三章基本初等函数（I）（人教B版必修1）答题纸二、填空题13． 14． 15． 16．三、解答题17.18.19.20.21.22.第三章基本初等函数（I）（人教B版必修1）参考答案1.D 解析：原式··=··=6.2.D 解析：由换底公式，得··=2，∴-=-2.解得x=.3.A 解析：要使f（x）有意义，需>0，即0<2x+1<1，解得-<x<0.4.D 解析：由-1<1得<2，∴1<|a|＜.5.C 解析：由-1≥0得≥1.又知此函数的定义域为（-∞，0］，即当x≤0时，≥1恒成立，∴0<a<1.6.C 解析：将三个数与中间量0，1相比较.＞1.7.D 解析：原函数可化为y=8.D 解析：当x≤1时，=1，∴-2≤-1.当x>1时，＜，∴0＜＜=1，则.9.B 解析：由>0，得-1<x<1，∴f（-x）=lg =lg =lg lg ，∴f（x）是奇函数，∴f（-a）=-f（a）=-b.10.C 解析：当≥2时，∵，∴，即>3；当<2时，由，得，，∴.∴∈（-∞，-1）∪（3，+∞）.11.C 解析：∵函数单调递增，∴a>1.又f（1）>0，∴，∴b>1.12.C 解析：由题意得，当x≤0时，.又g（x）是偶函数，因此有g（-x）=g（x）恒成立.当x>0时，-x<0，.综上所述，g（x）.13. 解析：由互为反函数关系知f（x）过点（-1，2），代入得=2，所以a=.14.2 解析：=1，=2.15.［-1，1］解析：如图.当-1≤b≤1时，此三函数的图象无公共点.16.0＜a＜或a＞2 解析：令，则当a＞1时，在（0，+∞）上单调递增，在上单调递减，∴在上单调递减.又在上恒大于0，∴＞0，即＞0，∴＞或＜0（舍去），∴a＞2.同理当0＜a＜1时，有0＜a＜.17.解：（1）.18.解：（1）y=当x≥1或x<-1时，y=f（x）是常数函数不具有单调性；当-1≤x<1时，单调递增.故y=f（x）的单调递增区间为［-1，1），其图象如图.（2）当x≥1时，y=4≥2成立.当-1≤x<1时，由≥2，得2x≥，x≥，∴≤x<1.当x<-1时，=<2，不等式不成立.综上，f（x）≥2的解集为19.解：∵=3，∴=3.∴.∴y=.∴函数y=（a>1）为减函数.又当x=a时，；当x=2a时，y=，∴⊆［a，］.∴≥a.又a>1，∴a≥2.∴a的取值范围为a≥2.20.解：.又∵-3≤≤-，∴≤3.∴当时，；当时，.21.解：M={x|x>3或x<1}，.∵x>3或x<1，∴>8或<2，∴当=，即时，f（x）最大，最大值为，f（x）没有最小值. 22.（1）证明：设是R内任意两个值，且，则>0.∴===.当时，，∴.又+1>0，+1>0，∴∴f（x）是R上的增函数. （2）解：f（x）==1-.∵+1>1，∴，即.∴. ∴f（x）的值域为.（3）解：函数g(x)为偶函数.证明如下：由题意知g（x）==·x.易知函数g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），g（-x）=（-x）·=（-x）·=x·=g（x），∴函数g（x）为偶函数.。

《基本初等函数》单元测试题班级某某序号得分一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( )A ．()m nm na a +=B ．11mm a a=C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D43()mn =2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( )A ．(1,2)B ．(2,2)C ．(2,3)D ．2(,2)33．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为 （ ） A ．1B ． 2 C ．12D ．84．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 （ ）A ．122lg xx x >> B ．122lg xx x >> C ．122lg xx x >> D ．12lg 2xx x >>5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ）A ．(3,4)B ．(2,5)C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ） A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减7．若1005,102ab==，则2a b += （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8． 函数()lg(101)2xxf x =+-是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ）A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞ 10．给出幂函数①f (x )=x ；②f (x )=x 2；③f (x )=x 3；④f (xf (x )=1x． 其中满足条件f 12()2x x +>12()()2f x f x + (x 1＞x 2＞0)的函数的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二．填空题．(每小题5分，共25分)11．计算：459log 27log 8log 625⨯⨯=． 12．已知函数3log (0)()2(0)xx x >f x x ⎧=⎨≤⎩，， ,则1[()]3f f =． 13．若3())2f x a x bx =++，且(2)5f =，则(2)f -=．14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =． 15．已知01a <<，给出下列四个关于自变量x 的函数：①log x y a =，②2log a y x =， ③31(log )ay x = ④121(log )ay x =．其中在定义域内是增函数的有．三．解答题（6小题，共75分） 16．(12分)计算下列各式的值：（Ⅰ）4160.253216(22)4()849-+-⨯-．（Ⅱ）21log 32393ln(log (log 81)2log log 12543++++-17．（本小题满分12分）已知()2xf x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式．18．(共12分)（Ⅰ）解不等式2121()x x a a-->(01)a a >≠且．（Ⅱ）设集合2{|log (2)2}S x x =+≤，集合1{|()1,2}2xT y y x ==-≥-求ST ，S T ．19．（ 12分） 设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨≥⎩．（Ⅰ）求方程1()4f x =的解．（Ⅱ）求不等式()2f x ≤的解集．20．（ 13分）设函数22()log (4)log (2)f x x x =⋅的定义域为1[,4]4, （Ⅰ）若x t 2log =,求t 的取值X 围；（Ⅱ）求()y f x =的最大值与最小值，并求出最值时对应的x 的值．21．（14分）已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）证明函数()f x 在R 上是减函数；（Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值X 围．参考答案一．选择题二．填空题．11． 9 ． 12．12． 13． 1-． 14．． 15． ③，④．三．解答题：16．（Ⅰ）． 解：原式427272101=⨯+--=．（Ⅱ）解：原式33log (425)3315223223211222log ()25⨯=++⨯+=++⨯-=⨯．17．解： g(x)是一次函数 ∴可设g(x)＝kx+b (k ≠0)∴f []()g x =2kx b+ g []()f x =k 2x+b ………4分∴依题意得222225k b k b +⎧=⎪⎨+=⎪⎩………6分 即212453k b k k b b +==⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩………10分 ∴()23g x x =-．………12分 ．18．解：（Ⅰ）原不等式可化为：212x x aa -->．当1a >时，2121x x x ->-⇔>．原不等式解集为(1,)+∞． 当1a >时，2121x x x -<-⇔<．原不等式解集为(,1)-∞． （Ⅱ）由题设得：{|024}(2,2]S x x =<+≤=-,21{|1()1}(1,3]2T y y -=-<≤-=-．∴(1,2]ST =-，(2,3]S T =-．19．解：（Ⅰ） 11()1424x x f x -<⎧⎪=⇔⎨=⎪⎩（无解）或411log 4x x x ≥⎧⎪⇔=⎨=⎪⎩∴方程1()4f x =的解为x = （Ⅱ）1()222x x f x -<⎧≤⇔⎨≤⎩或41log 2x x ≥⎧⎨≤⎩11x x <⎧⇔⎨≥-⎩或116x x ≥⎧⎨≤⎩． 11x ⇔-≤<或116x ≤≤即116x -≤≤．∴不等式()2f x ≤的解集为：[1,16]-． 20．解：（Ⅰ）t 的取值X 围为区间221[log ,log 4][2,2]4=-． （Ⅱ）记22()(log 2)(log 1)(2)(1)()(22)y f x x x t t g t t ==++=++=-≤≤． ∵231()()24y g t t ==+-在区间3[2,]2--是减函数，在区间3[,2]2-是增函数∴当23log 2t x ==-即322x -==()y f x =有最小值31()24f g =-=-； 当2log 2t x ==即224x ==时，()y f x =有最大值(4)(2)12f g ==．21．解：（Ⅰ）∵()f x 是奇函数，所以1(0)014bf b -==⇔=(经检验符合题设) ． （Ⅱ）由（1）知21()2(21)x x f x -=-+．对12,x x R ∀∈，当12x x <时，总有2112220,(21)(21)0x x x x ->++> ．∴122112121212121122()()()0221212(21)(21)x x x x xx x x f x f x ----=-⋅-=⋅>++++，即12()()f x f x >． ∴函数()f x 在R 上是减函数． （Ⅲ）∵函数()f x 是奇函数且在R 上是减函数，∴22222(2)(2)0(2)(2)(2)f t t f t k f t t f t k f k t -+-<⇔-<--=-．22221122323()33t t k t k t t t ⇔->-⇔<-=--．（*）对于t R ∀∈（*）成立13k ⇔<-．∴k 的取值X 围是1(,)3-∞-．。

第三章 3.3一、选择题1．下列命题中正确的是( ) A ．幂函数的图象不经过点(－1,1) B ．幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)C ．若幂函数f (x )＝x a 是奇函数，则f (x )是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 [答案] D[解析]幂函数y ＝x 2经过点(－1,1)，排除A ；幂函数y ＝x －1不经过点(0,0)，排除B ；幂函数y ＝x－1是奇函数，但它在定义域上不具有单调性，排除C ，故选D ．2．函数y ＝(k 2－k －5)x 2是幂函数，则实数k 的值是( ) A ．k ＝3 B ．k ＝－2 C ．k ＝3或k ＝－2 D ．k ≠3且k ≠－2[答案] C[解析] 由幂函数的定义知k 2－k －5＝1，即k 2－k －6＝0，解得k ＝3或k ＝－2. 3．(2014～2015学年度江西鹰潭一中高一上学期月考)已知幂函数f (x )＝kx α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k －α＝( ) A ．12B ．1C ．32D ．2[答案] C[解析] 由题意得k ＝1，∴f (x )＝x α，∴2＝⎝⎛⎭⎫12α， ∴212＝2－α，∴α＝－12，∴k －α＝32.4．(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝(m 2－5m －5)x 2m＋1在(0，＋∞)上单调递减，则实数m ＝( )A ．1B ．－1C ．6D ．－1或6[答案] B[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m －5＝12m ＋1<0，解得m ＝－1.5．函数y ＝|x |12的图象大致为( )[答案] C[解析] y ＝|x |12＝|x |＝⎩⎨⎧x (x ≥0)－x (x <0)，函数y ＝|x |12为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、B ，又函数y ＝|x |12的图象向上凸，排除D ，故选C ．6．如图曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值，相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12[答案] B[解析] 根据幂函数性质，C 1、C 2在第一象限内为增函数，C 3、C 4在第一象限内为减函数，因此排除A 、C ．又C 1曲线下凸，所以C 1、C 2中n 分别为2、12，然后取特殊值，令x＝2,2－12>2－2，∴C 3、C 4中n 分别取－12、－2，故选B ．二、填空题7．(2014～2015学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2,8)，则f (x )＝______________.[答案] x 3[解析] 设f (x )＝x α，∴8＝2α，∴α＝3.∴f (x )＝x 3.8．若函数f (x )＝(2m ＋3)xm 2－3是幂函数，则m 的值为________． [答案] －1[解析] 由幂函数的定义可得，2m ＋3＝1，即m ＝－1. 三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是 (1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数．[解析] (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，解得m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， 解得m ＝－1±2.10．已知函数f (x )＝x 13－x －135，g (x )＝x 13＋x －135. (1)证明f (x )是奇函数，并求函数f (x )的单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，由此概括出f (x )和g (x )对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．[解析] (1)∵函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∴定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝(－x )13－(－x )－135＝－x 13－x －135＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．在(0，＋∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， 则x 113 <x 213，x 2－13<x 1－13，从而∴在(0，＋∞)上是增函数．又∵f (x )是奇函数，∴函数f (x )在(－∞，0)上也是增函数．故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．(2)f (4)－5f (2)g (2)＝413－4－135－5×213－2－135×213＋2－135＝0；f (9)－5f (3)g (3)＝913－9－135－5×313－3－135×313＋3－135＝0. 由此可推测出一个等式f (x 2)－5f (x )g (x )＝0(x ≠0)． 证明如下：f (x 2)－5f (x )g (x )＝(x 2)13－(x 2)－135－5×x 13－x －135×x 13＋x －135＝x 23－x －235－x 23－x －235＝0，故f (x 2)－5f (x )g (x )＝0成立.一、选择题1．下列关系中正确的是( )A ．(12)23 <(15)23 <(12)13 B ．(12)23 <(12)13 <(15)23 C ．(15)23 <(12)13 <(12)23 D ．(15)23 <(12)23 <(12)13 [答案] D [解析]∵y ＝x 13在(0，＋∞)上是增函数，且125＜14＜12，∴(125)13 ＜(14)13 ＜(12)13 ，即(15)23 ＜(12)23 ＜(12)13 . 2．如图所示为幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＜1D ．n ＜－1，m ＞1[答案] B[解析] 由幂函数图象的性质知n ＜0,0＜m ＜1. 3．函数y ＝x 3与函数y ＝x 13的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称[答案] D [解析] y ＝x 3与y ＝x 13互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，故选D ．4．设函数y ＝a x －2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在幂函数y ＝x α的图象上，则该幂函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[答案] C[解析] 函数y ＝a x －2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A (2，12)，又点A (2，12)在幂函数y ＝x α的图象上，∴12＝2α，∴α＝－1.∴幂函数y ＝x －1，其单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． 二、填空题5．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2的图象不过原点，则m 是__________．[答案] 1或2[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0，解得m ＝1或m ＝2.6．如果幂函数y ＝x a 的图象，当0<x <1时，在直线y ＝x 的上方，那么a 的取值范围是________．[答案] a <1[解析] 分a >1，a ＝1,0<a <1，a <0分别作图观察，知a <1. 三、解答题7．已知幂函数y ＝x m2－2m －3(m ∈Z )的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求出m 的值，并画出它的图象．[解析] 由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3. 当m ＝0或m ＝2时，y ＝x－3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不合题意；当m ＝－1，或m ＝3时，有y ＝x 0，适合题意； 当m ＝1时，y ＝x －4，适合题意．∴所求m 的值为－1,3或1. 画出函数y ＝x 0及y ＝x－4的图象，函数y ＝x 0的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，其图象是除点(0,1)外的一条直线，故取点A (－1,1)，B (1,1)，过A ，B 作直线(除去(0,1)点)即为所求．如图①所示．函数y ＝x－4的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，列出x ，y 的对应值表：8．定义函数f (x )＝max{x 2，x －2}，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f (x )的最小值．[解析] ∵f (x )＝max{x 2，x －2}，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∴f (x )总是取x 2和x－2中最大的一个值．令x 2>x －2，得x 2>1，∴x >1或x <－1. 令x 2≤x －2，得－1≤x ≤1且x ≠0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x >1)x －2(－1≤x <0或0<x ≤1)，x 2 (x <－1)函数f (x )的图象如图所示：∴函数f(x)的最小值为1.。

本章测评(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)已知全集＝，集合＝{＝，∈}，＝{＝(－)}，则()∩等于( )．(－∞，) ．[)．[，＋∞) ．设函数()＝(－)，下列命题中正确的是…( )．()有最小值，无最大值．()有最小值，无最大值．()无最小值，有最大值．()无最小值，有最大值设＞，则，的大小关系是…( )．＜＜．＜＜．＜＜．＜＜某人年月日到银行存入一年期款元，若按年利率复利计算，则到年月日可取款( ) ．(＋)元．(＋)元．＋(＋)元．(＋)元为了得到函数＝的图象，只需把函数＝的图象上所有的点( )．向左平移个单位，再向上平移个单位．向右平移个单位，再向上平移个单位．向左平移个单位，再向下平移个单位．向右平移个单位，再向下平移个单位已知函数()＝(－)(－)(其中＞)，若()的图象如下图所示，则函数()＝＋的图象大致为( )已知＝，那么－用表示为( )．－．－－－幂函数＝－及直线＝，＝，＝将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①②③④⑤⑥⑦⑧(如图所示)，那么幂函数＝的图象经过的“卦限”是 ( )．④⑦．④⑧．③⑧．①⑤函数()＝＋是偶函数，且在区间(，＋∞)上单调递减，则(－)与(＋)的大小关系为( ) ．(－)＝(＋) ．(－)＞(＋)．(－)＜(＋) ．不能确定设函数＝()在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数，定义函数()＝(\\(((，((≤，，((>.))取函数()＝－.当＝时，函数()的单调递增区间为( ) ．(－∞，) ．(，＋∞) ．(，＋∞) ．(－∞，－)二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中的横线上)若()＝(－)，则()＝.已知函数()＝，则方程－()＝的解＝.函数()＝(－)＋无论取什么值时，恒过定点．已知()＝(\\(，≥，(＋(，<，))则()＝.如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆形纸板，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)形纸板，，…，，则的半径是．。

第三章 根本初等函数(Ⅰ)测评(B 卷)【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题答案填入答题栏内，第二卷可在各题后直接作答．共120分，考试时间90分钟．第一卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分)1．f (x )＝log 2(x －3)定义域为A ．{x|x≤3，x∈R }B ．{x|x≥3} C．{x|x>3} D ．{x|x<3}2．假设0<b<1，且log a b<1，那么A ．0<a<bB ．0<b<aC ．0<b<a<1D ．0<a<b 或a>13．方程log 2(x 2－x)＝1解集为M ，方程22x ＋1－9·2x ＋4＝0解集为N ，那么M 与N 关系是A ．M ＝NB ．N ⊂MC ．N ⊃MD ．M∩N＝∅4．0<x<y<a<1，那么有A ．log a (xy)<0B ．0<log a (xy)<1C ．1<log a (xy)<2D ．log a (xy)>25．函数y ＝3x 图象与函数y ＝(13)x －2图象关于 A ．直线x ＝1对称 B ．点(－1,0)对称 C ．直线x ＝－1对称D ．点(1,0)对称6．幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系第一象限分成八个“卦限〞：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如下图)，那么幂函数y ＝x 12图象经过“卦限〞是 A ．④⑦ B．④⑧C ．③⑧ D．①⑤7．函数y ＝e |－lnx|－|x －1|图象大致是8．函数f(x)＝log a |x ＋b|是偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，那么f(b －2)与f(a ＋1)大小关系为A ．f(b －2)＝f(a ＋1)B ．f(b －2)>f(a ＋1)C ．f(b －2)<f(a ＋1)D ．不能确定9．函数f(x)＝(13)x －log 2x ，假设实数x 0是方程f(x)＝0解，且0<x 1<x 0，那么f(x 1)值A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于010．假设y ＝e |x|(x∈[a，b])值域为[1，e 2]，那么点(a ，b)轨迹是右图中A ．线段BC 与OCB ．线段AB 与BCC ．线段AB 与OAD ．线段OA 与OC第二卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分．答案需填在题中横线上)11．幂函数y ＝x －12p 2＋p ＋32(p∈Z )为偶函数，且f(1)<f(4)，那么实数p ＝__________.12．设方程2lnx ＝7－2x 解为x 0，那么关于x 不等式x －2<x 0最大整数解为__________．13．f(x)＝k x ＋2(k∈R )，假设f(lg2)＝0，那么f(lg 12)＝__________. 14．函数f(x)＝log (a ＋2)[ax 2＋(a ＋2)x ＋a ＋2]有最大值或最小值，那么a 取值范围为__________．三、解答题(本大题共5小题，共54分．解容许写出必要文字说明、解题步骤或证明过程)15．(本小题总分值10分)设函数y ＝f(x)，且lg(lgy)＝lg(3x)＋lg(3－x)．(1)求f(x)表达式及定义域；(2)求f(x)值域．16．(本小题总分值10分)假设函数f(x)＝log a x(a>0且a≠1)在x∈[2，＋∞)上总有|f(x)|>1成立，求a取值范围．17．(本小题总分值10分)函数f(x2－3)＝lg x2x2－6.(1)求f(x)定义域；(2)求f(x)反函数f－1(x)．18．(本小题总分值12分)设函数f(x)＝log3(x2－4mx＋4m2＋m＋1m－1)，其中m∈R，m≠1，集合M＝{m|m>1}．(1)求证：当m∈M时，f(x)对所有实数x都有意义；反之，如果f(x)对所有实数x都有意义，那么m∈M；(2)当m∈M时，求函数f(x)最小值．19．(本小题总分值12分)科学研究说明，宇宙射线大气中能够产生放射性碳14，碳14衰变极有规律，其准确性可以称为自然界“标准时钟〞．动植物在生长过程中衰变碳14，可以通过与大气相互作用得到补充，所以活着动植物每克组织中碳14含量保持不变．死亡后动植物，停顿了与外界环境相互作用，机体中原有碳14按确定规律衰减，我们已经知道其“半衰期〞为5 730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织碳14含量为1，试推算生物死亡t年后体内每克组织中碳14含量P；(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14剩余量约占原始含量76.7%，试推算马王堆汉墓年代．答案与解析1．C 由题意需x－3>0，即x>3.2．D 当a>1时，log a b<0<1；当0<a<1时，log a b<1＝log a a，∴0<a<b.3．A 由题意M＝{x|log2(x2－x)＝1}＝{x|x2－x＝2}＝{－1,2}；N＝{x|22x＋1－9·2x＋4＝0}＝{x|(2x－4)(2·2x－1)＝0}＝{－1,2}，∴M＝N.4．D ∵0<x<a<1，∴log a x>log a a ＝1.又0<y<a<1，∴log a y>log a a ＝1.∴log a x ＋log a y ＝log a (xy)>2.5．A 函数y ＝3x图象与函数y ＝(13)x 图象关于直线x ＝0对称，y ＝(13)x －2图象是由y ＝(13)x 图象向右平移了两个单位， ∴两函数图象关于直线x ＝1对称．6．D 对幂函数y ＝x α，当α∈(0,1)时，其图象在直线y ＝x 上方，且图象经过(1,1)点，当x>1时，其图象在直线y ＝x 下方，∴y＝x 12图象经过①⑤两个“卦限〞． 7．D y ＝e |－lnx|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x＋x －1，0<x<1，1，x≥1，分两段画出即可．当x≥1时，图象为射线，排除A 、C ；当0<x<1时，1x＋x －1>0，排除B. 8．C 由f(x)为偶函数得b ＝0，又在(0，＋∞)上单调递减， ∴由复合函数单调性判断可知0<a<1.∴b－2＝－2,1<a ＋1<2.∴|b－2|>|a ＋1|>0.∴f(b－2)<f(a ＋1)．9．A 由题意知f(x)为定义域上单调递减函数，∴f(x 1)>f(x 0)＝0.∴f(x 1)值恒为正值．10．B 据题意，当0≤b≤2，a ＝－2时，函数值域符合条件，其轨迹为题图中线段AB ，当－2≤a≤0，b ＝2时，函数值域符合条件，此时轨迹为题图中线段BC.11．1 ∵f(x)为偶函数且f(1)<f(4)，∴－12p 2＋p ＋32>0，解得－1<p<3.又p∈Z ，∴p＝0或1或2.当p ＝0或p ＝2时，幂函数y ＝x 32是非奇非偶函数； 当p ＝1时，幂函数y ＝x 2为偶函数，∴p＝1.12．4 设f(x)＝2lnx －7＋2x ，又f(2)＝2ln2－3<0，f(3)＝2ln3－1>0，∴x 0∈(2,3)．∴x－2<x 0最大整数解为4.13．4 f(lg2)＝k lg2＋2＝0， 那么k ＝－2lg2，f(lg 12)＝f(－lg2)＝k －lg2＋2＝2＋2＝4. 14．(－2，－1)∪(－1,0)∪(23，＋∞) 当a>0时，Δ＝(a ＋2)2－4a(a ＋2)<0，解得a>23，函数有最小值； 当a ＝0时，f(x)＝log 2(2x ＋2)无最值；当a<0时，由于a ＋2>0且a ＋2≠1，∴－2<a<0且a≠－1，此时Δ>0，函数有最值．∴a∈(－2，－1)∪(－1,0)∪(23，＋∞)． 15．解：(1)∵lg(lgy)＝lg(3x)＋lg(3－x)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x>0，3－x>0，lgy>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x<3，y>1.又∵lg(lgy)＝lg[3x·(3－x)]，∴lgy＝3x·(3－x)．∴y＝103x(3－x)＝10－3x 2＋9x(0<x<3)．(2)∵－3x 2＋9x ＝－3(x －32)2＋274，0<x<3， ∴0<－3x 2＋9x≤274. ∴1<y≤10274，即值域为(1,10274]． 16．解：假设a>1，当x∈[2，＋∞)时，log a x>0，由|f(x)|>1，得f(x)>1，即log a x>1恒成立，∴x>a 恒成立．∴1<a<2.假设0<a<1，当x≥2时，log a x<0，由|f(x)|>1，得f(x)<－1，即log a x<－1恒成立，∴x>1a恒成立． ∴1a <2.∴12<a<1. 综上，a 取值范围为(12，1)∪(1,2)． 17．解：(1)设t ＝x 2－3，那么x 2＝t ＋3，t≥－3，f(t)＝lg t ＋3t －3. 又t ＋3t －3>0，∴t>3或t<－3. ∴f(x)定义域为(3，＋∞)．(2)设y ＝lgu ，u ＝x ＋3x －3(x>3)， 那么u>1，∴lgu>0，即y>0.由y ＝lg x ＋3x －3得10y ＝x ＋3x －3， ∴x＝3(10y ＋1)10y －1. ∴f(x)反函数为f －1(x)＝3(10x ＋1)10x －1(x>0)．18．(1)证明：当m∈M 时，有m>1，从而对所有实数x ，都有x 2－4mx ＋4m 2＋m ＋1m －1＝(x －2m)2＋m ＋1m －1≥m＋1m －1>0. ∴当m∈M 时，函数f(x)对x∈R 均有意义．反之，假设函数f(x)对x∈R 均有意义，即x 2－4mx ＋4m 2＋m ＋1m －1>0对x∈R 恒成立． 又x 2－4mx ＋4m 2＋m ＋1m －1≥m＋1m －1， ∴只需m ＋1m －1>0恒成立即可， 即m 2－m ＋1m －1>0. ∵m 2－m ＋1＝(m －12)2＋34≥34>0， ∴必须m －1>0，即m>1，从而m∈M.(2)解：当f(x)取最小值时，x 2－4mx ＋4m 2＋m ＋1m －1取最小值．x 2－4mx ＋4m 2＋m ＋1m －1 ＝(x －2m)2＋m ＋1m －1. 令t ＝m ＋1m －1，那么m 2－(1＋t)m ＋t ＋1＝0， ∴Δ＝(1＋t)2－4(t ＋1)≥0.∴t≥3或t≤1(舍去)．∴m＋1m －1≥3. ∴当x ＝2m 时，f(x)取最小值log 33＝1.19．解：(1)设生物体死亡时，体内每克组织中碳14含量为1,1年后残留量为x ，由于死亡机体中原有碳14按确定规律衰减，所以生物体死亡年数t 与其体内每克组织碳14含量P 有如下关系：死亡年数 1 2 3 … t …碳14含量P x x 2 x 3 … x t …因此，生物死亡t 年后体内碳14含量P ＝x t .由于大约每过5 730年，死亡生物体碳14含量衰减为原来一半，所以12＝x 5 730，于是x ＝5 73012＝(12)15 730，这样生物死亡t 年后体内碳14含量P ＝(12)t 5 730. (2)由对数与指数关系，指数式P ＝(12)t 5 730可写成对数式t ＝5 730log 12P. 湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳14残留量约占原始含量76.7%，即P ＝0.767，那么t ＝5 730log 120.767.由计算器可得t≈2 193. 所以马王堆古墓约是2 100多年前遗址．。

人教B版必修1第3章基本初等函数Ⅰ测试题AB卷(含答案)第三章综合测试(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是正确的)1．(2013～2014学年度黑龙江哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)已知集合M＝{－1,1}，N＝{x|14;0，∴x＝log2t，∴f(x)＝log2x，∴f(7)＝log27.4．已知a＝log23，那幺log38－2log29用a表示为()A．－a B．－1aC.3a－4a D．3a－2a2[答案] C[解析]log38－2log29＝3log32－4log23＝3log23－4log23＝3a－4a.5．若集合A＝{y|y＝x13 ，－1≤x≤1}，B＝{x|y＝1－x}，则A∩B＝() A．(－∞，1] B．[－1,1]C．D．{1}[答案] B[解析]∵y＝x13 ，－1≤x≤1，∴－1≤y≤1，∴A＝{y|－1≤y≤1}，又B＝{x|y＝1－x}＝{x|x≤1}，∴A∩B＝{x|－1≤x≤1}，故选B.6.12523＋116－12＋4912 12 的值是()A．4B．5C．6D．7[答案] C[解析]原式＝[(53) 23 ＋(2－4)－12＋(72)12 ]12＝(52＋22＋7) 12 ＝3612 ＝6.7．(2013～2014学年度湖南怀化市怀化三中高一期中测试)设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1);0，f(1.25);0，f(1.25);0lgx－1≠0，解得x≥4且x≠10，故选D.9．f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，则a等于()A. 12 B．－1C．－12 D．0[答案] C[解析]解法一：f(－x)＝lg(10－x＋1)－ax＝f(x)＝lg(10x＋1)＋ax，∴2a x＝lg(10－x＋1)－lg(10x＋1)＝lg10－x＋110x＋1＝lg10－x＝－x，∴(2a＋1)x＝0，又∵x∈R，∴2a＋1＝0，∴a＝－12.解法二：特值法：由题已知f(－1)＝f(1)，即lg1110－a＝lg11＋a，∴2a＝lg1110－lg11＝lg110＝－1，∴a＝－12.10．函数y＝(12)x－1的值域是()A．(－∞，0) B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(－∞，1][答案] B[解析]∵x－1≥0，∴(12)x－1≤1，又∵(12)x－1＞0，∴函数y＝(12)x－1的值域为(0,1]．11．给出f(x)＝12x x≥4fx＋1x;0，c＝log223;0，a≠1.设h(x)＝f(x)－g(x)．(1)判断h(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(3)＝2，求使h(x)>;0成立的x的集合．[解析](1)依题意得1＋x>;0,1－x>;0，∴函数h(x)的定义域为(－1,1)．∵对任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)，h(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝g(x)－f(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数．(2)由f(3)＝2，得a＝2.此时h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，由h(x)>;0即log2(1＋x)－log2(1－x)>;0，∴l o g2(1＋x)>;log2(1－x)．由1＋x>;1－x>;0，解得0;0成立的x的集合是{x|0;0，且m≠1)．(1)求f(x)的解析式；(2)判断f(x)的奇偶性．[解析](1)令x2－1＝t，则x2＝t＋1.∵f(t)＝logmt＋12－t＋1＝logm1＋t1－t，由x22－x2>;0，解得0;0，所以函数Q＝Q0(1e)0.0025t在(0，＋∞)上是减函数．故随时间t(年)的增加，臭氧的含量是减少的．(2)由Q＝Q0e－0.0025t≤12Q0，得e－0.0025t≤12，即－0.0025t≤ln12，所以t≥ln20.0025≈277，即277年以后将会有一半的臭氧消失．。

第三章 基本初等函数(Ⅰ)测评(B 卷)【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ 卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共120分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．函数y ＝log122－的定义域为A ．[－ 2，－1)∪(1， 2]B ．(－ 2，－1)∪(1， 2)C ．[－2，－1)∪(1,2]D ．(－2，－1)∪(1,2)2．方程log 2(x 2－x)＝1的解集为M ，方程22x ＋1－9·2x＋4＝0的解集为N ，那么M 与N 的关系是A ．M ＝NB ．N ⊂MC ．N ⊃MD ．M∩N＝∅3．幂函数f(x)＝x α的图象过点(2，14)，则f(x)的一个单调递增区间是A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，0)4．函数y ＝0.52,(,1]log ,(1,)x x x x ⎧∈-∞⎨∈+∞⎩的值域是A ．{y|y≤1，且y≠0}B ．{y|y≤2}C ．{y|y<1且y≠0} D ．{y|y≤2且y≠0}5．函数y ＝e |－lnx|－|x －1|的图象大致是6．若x∈(e －1,1)，a ＝lnx ，b ＝2lnx ，c ＝ln 3x ，则 A ．a<b<c B ．c<a<b C ．b<a<c D．b<c<a7．已知函数f(x)＝log a (2x＋b －1)(a>0，b≠1)的图象如下图所示，则a ，b 满足的关系是A ．0<a －1<b<1 B ．0<b<a －1<1C ．0<b －1<a<1D ．0<a －1<b －1<1 8．函数f(x)＝log a |x ＋b|是偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，则f(b －2)与f(a＋1)的大小关系为A ．f(b －2)＝f(a ＋1)B ．f(b －2)>f(a ＋1)C ．f(b －2)<f(a ＋1)D ．不能确定9．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则A ．a>b>cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c 10．将y ＝2x的图象先进行下面哪种变换，再作关于直线y ＝x 对称的图象，可以得到函数y ＝log 2(x ＋1)的图象．A ．先向左平移1个单位B ．先向右平移1个单位C ．先向上平移1个单位D ．先向下平移1个单位第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上)11．函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间是__________12．偶函数f(x)在[2,4]上单调递减，则f(log 128)与f(3log 3π2)的大小关系是__________．13．设方程2lnx ＝7－2x 的解为x 0，则关于x 的不等式x －2<x 0的最大整数解为__________．14．已知函数f(x)的定义域为(12，8]，则f(2x)的定义域为__________．三、解答题(本大题共5小题，共54分.15～17题每小题10分，18～19题每小题12分．解答应写出必要的文字说明，解题步骤或证明过程)15．求函数y ＝4－x －2－x＋1，x∈[－3,2]的最大值和最小值．16．设0<a<1，x ，y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，如果y 有最大值 24，求此时a 和x 的值．17．已知函数f(x 2－3)＝lg x2x －6.(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的反函数f －1(x)．18．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%. (1)写出水中杂质含量y 与过滤的次数x 之间的函数关系式． (2)要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？19．设定义域为R 的函数f(x)＝log 3x 2＋ax ＋bx 2＋x ＋1，是否存在实数a 、b ，使函数f(x)同时满足下列三个条件：①函数f(x)的图象经过原点；②函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增；③函数f(x)在(－∞，－1]上的最大值为1.若存在，求出实数a 、b 的值；若不存在，请说明理由．答案与解析1.A 由log 12(x 2－1)≥0，得0<x 2－1≤1,1<x 2≤2，∴1<x≤ 2或－ 2≤x<－1. 2．A3．D 由f(2)＝14，得α＝－2，∴f(x)＝x －2，它的单调递增区间是(－∞，0)．4.D 当x∈(－∞，1]时，y ＝2x∈(0,2]； 当x∈(1，＋∞)时，y ＝log 0.5x∈(－∞，0)， ∴函数y 的值域为{y|y≤2且y≠0}． 5．D y ＝e |－lnx|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋x －1，0<x<1，1，x≥1，分两段画出函数图象即可．6．C 因为a ＝lnx 在(0，＋∞)上单调递增，故当x∈(e －1,1)时，a∈(－1,0)．于是b －a ＝2lnx －lnx ＝lnx<0，从而b<a.又a －c ＝lnx －ln 3x ＝a(1＋a)(1－a)<0， 从而a<c.综上所述，b<a<c.7．A 由题中图象，易知a>1，－1<f(0)<0.由于f(0)＝log a (20＋b －1)＝log a b ， 所以－1<log a b<0，可得1a <b<1，故选A.8．C 由f(x)为偶函数，得b ＝0， ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减， ∴由复合函数的单调性，可知0<a<1. ∴b－2＝－2,1<a ＋1<2. ∴|b－2|>|a ＋1|>0. ∴f(b－2)<f(a ＋1)．9．C b a ＝2ln 33ln 2＝ln 9ln 8＝log 89>1，且a ，b>0，所以b>a ；a c ＝5ln 22ln 5＝log 2532>1，且a ，c>0，所以a>c ，所以b>a>c.10．D 由y ＝log 2(x ＋1)得x ＝2y－1，所以y ＝log 2(x ＋1)的图象关于y ＝x 对称的图象对应解析式为y ＝2x －1，它是由y ＝2x的图象向下平移1个单位得到的．11．(2，＋∞) 函数定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．令t ＝x 2－3x ＋2，函数t 在(2，＋∞)上为增函数，∴函数y 在(2，＋∞)上为减函数．12．f(log 128)<f(3log 3π2)log 128＝－3,3log 3π2＝π24，∵f(x)为偶函数，∴f(－3)＝f(3)． ∵4>3>π24>2，∴f(3)<f(π24)．∴f(log 128)<f(3log 3π2)．13．4 设f(x)＝2lnx －7＋2x ，又f(2)＝2ln2－3<0，f(3)＝2ln3－1>0， ∴x 0∈(2,3)．∴x－2<x 0的最大整数解为4. 14．(－1,3] x 满足12<2x≤8，∴－1<x≤3.15．解：令2－x ＝t ，t∈[14，8]，则y ＝t 2－t ＋1＝(t －12)2＋34.∴t＝12时，y min ＝34；t ＝8时，y max ＝(152)2＋34＝57.∴所求函数的最大值为57，最小值为34.16．解：利用换底公式，可得log a x ＋3log a x －log a ylog a x ＝3，即log a y ＝(log a x)2－3log a x ＋3＝(log a x －32)2＋34，所以，当log a x ＝32时，log a y 有最小值34.因为0<a<1，所以y 有最大值a 34.由题意，得a 34＝ 24＝2－32＝(12)32＝(14)34，所以a ＝14，此时x ＝a 32＝(14)32＝18.17．解：(1)设t ＝x 2－3，则x 2＝t ＋3，t≥－3，f(t)＝lg t ＋3t －3.又t ＋3t －3>0，∴t>3或t<－3. ∴f(x)的定义域为(3，＋∞)． (2)设y ＝lgu ，u ＝x ＋3x －3(x>3)，则u>1，∴lgu>0，即y>0. 由y ＝lg x ＋3x －3，得10y＝x ＋3x －3，∴x＝y＋10y－1.∴f(x)的反函数为f －1(x)＝x＋10x－1(x>0)．18．解：(1)设刚开始水中杂质含量为1，第1次过滤后，y ＝1－20%；第2次过滤后，y ＝(1－20%)(1－20%)＝(1－20%)2；第3次过滤后，y ＝(1－20%)2(1－20%)＝(1－20%)3； ……第x 次过滤后，y ＝(1－20%)x.∴y＝(1－20%)x ＝0.8x ，x≥1，x∈N *.(2)由(1)得0.8x<5%，∴x>log 0.80.05＝lg2＋11－3lg2≈13.4.∴至少需要14次．19．解：假设同时满足三个条件的实数a 、b 存在，则由条件①，知f(0)＝0，∴b＝1. 又当x≠0时，有f(x)＝log 3x 2＋ax ＋1x 2＋x ＋1＝log 3(1＋a －1x ＋1x ＋1)，∵函数y ＝x ＋1x ＋1在[1，＋∞)上单调递增，且y>0，∴1y ＝1x ＋1x＋1在[1，＋∞)上单调递减．∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增．∴u＝1＋a －1x ＋1x＋1在[1，＋∞)上单调递增．∴a－1<0.∴a<1.又f(x)的定义域为R ， ∴x 2＋ax ＋1>0在R 上恒成立．由Δ＝a 2－4<0，得－2<a<1，再由函数单调性定义，可证得f(x)在(－∞，－1]上也单调递增，从而由③可知，f(－1)＝1，即1－a ＋11－1＋1＝3，∴a＝－1.综上可知，存在a ＝－1，b ＝1满足题中三个条件．。

第三章过关检测(时间90分钟,满分100分)一、选择题(每小题4分,共48分)1.函数f(x)=log a x(a>0且a≠1),对于任意正实数x 、y 都有( ) A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x)f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y) 解析：根据对数运算法则,B 正确. 答案：B2.已知函数y=f(x)存在反函数y=g(x),f(3)=-1,则函数y=g(x-1)的图象必经过点( ) A.(-2,3) B.(0,3) C.(2,-1) D.(4,-1) 解析：∵f(x)与g(x)互为反函数且f(3)=-1, ∴g(-1)=3.从而可知y=g(x-1)过点(0,3). 答案：B3.已知函数f(x)=log 2(x 2-ax+3a)在区间［2,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,4) B.(-4,4］ C.(-∞,-4)∪［2,+∞) D.［-4,2)解析：令g(x)=x 2-ax+3a,则由⎪⎩⎪⎨⎧>≤,0)2(,22g a即⎩⎨⎧>+≤,04,4a a ∴-4＜a≤4.答案：B4.在f 1(x)=log 2x,f 2(x)=x 2,f 3(x)=2x ,f 4(x)=log 21x 四个函数中,当x 1<x 2<1时,使21［f(x 1)+f(x 2)］<f(221x x +)成立的函数是( ) A.f 1(x)=log 2x B.f 2(x)=x 2 C.f 3(x)=2x D.f 4(x)=log 21x解析：画出它们的图象,由函数图象的凹凸性易知选A. 答案：A5.y=lg|x|( )A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 答案：B6.函数y=2-x +1(x>0)的反函数是 ( )A.y=log 211-x ,x ∈(1,2) B.y=-log 211-x ,x ∈(1,2)C.y=log 211-x ,x ∈(1,2］D.y=-log 211-x ,x ∈(1,2］ 解析：由y=2-x +1得y-1=2-x , ∴-x=log 2(y-1), 即x=-log 2(y-1). 又x>0,∴0<2-x <1. ∴1<y<2. ∴f -1(x)=log 211-x ,1<x<2. 答案：A7.已知函数y=log 2(x 2+ax-a)的值域为R ,那么实数a 的取值范围是( ) A.-4<a<0 B.-4≤a≤0 C.a≥0或a≤-4 D.a<-4或a>0 解析：由Δ=a 2-4×(-a)≥0得a≥0或a≤-4. 答案：C8.(2007广东吴川一中模拟)设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥<2,x 1),-(x log 2,x ,2e 231-x 则不等式f(x)>2的解集为( ) A.(1,2)∪(3,+∞) B.(10,+∞)C.(1,2)∪(10,+∞)D.(1,2) 答案：B9.已知log 21m<log 21n<0,则( )A.n<m<1B.m<n<1C.1<m<nD.1<n<m解析：由函数y=log 21x 是减函数,得m>n;又log 21m,log 21n 都是负数,从而m>1,n>1.综上m>n>1,故选D. 答案：D10.右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m 2)与时间t(月)的关系:y=a t ,有以下叙述:①这个指数函数的底数为2;②第5个月时,浮萍面积就会超过30m 2;③浮萍从4m 2蔓延到12m 2需要经过1.5个月; ④浮萍每月增加的面积都相等; ⑤若浮萍蔓延到2m 2、3m 2、6m 2,所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3,则t 1+t 2=t 3.其中正确的是( ) A.①② B.①②③④ C.②③④⑤ D.①②⑤解析：如图,函数图象过(1,2)点,∴2=a 1,即底数为2,①正确;由y=25=32>30,知②正确;因为函数图象是向下凸的,所以经过15.个月浮萍蔓延面积不足12 m 2,故③错;④显然错误;⑤中t 1=1,t 2=log 23,t 3=log 26,∴t 1+t 2=log 22+log 23=log 26=t 3,知⑤正确.故选D.答案：D11.已知幂函数y=x qp (p,q ∈N *)的图象如图所示,则( )A.p,q 均为奇数,且q p >0 B.q 为偶数,p 为奇数,且qp <0 C.q 为奇数,p 为偶数,且q p >0 D.q 为奇数,p 为偶数,且qp<0 解析：这是因为函数为偶函数,所以p 为偶数,且由图象形状知qp<0,所以q 为奇数.故选D. 答案：D12.已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称,则( ) A.f(2x)=e 2x (x ∈R ) B.f(2x)=ln2lnx(x>0) C.f(2x)=2x x (x ∈R ) D.f(2x)=lnx+ln2(x>0)解析：函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称,则y=f(x)=lnx,从而f(2x)=ln2x=lnx+ln2(x>0),故选D. 答案：D二、填空题(每小题4分,共16分)13.若函数f(x)=x x 2121+-,则f -1(53)=_______.解析：由xx 2121+-=53,得2x =41, ∴x=-2.∴f -1(53)=-2. 答案：-214.方程log 3(x 2-10)=1+log 3x 的解是________.解析：log 3(x 2-10)=1+log 3x=log 33x ⇔x 2-10=3x(x>0)⇔x 2-3x-10=0(x>0), ∴x=5. 答案：515.0.3-0.4,log 0.30.4,log 0.34的大小顺序是_________.解析：∵0.3-0.4>0.30=1,0<log 0.30.4<log 0.30.3=1,log 0.34<0.答案：0.3-0.4>log 0.30.4>log 0.3416.已知偶函数f(x)=(m 2-2m-2)x m-1为幂函数,且定义域为R ,则m=________. 解析：由m 2-2m-2=1,得m 2-2m-3=0,解得m=-1或m=3,经验知m=3. 答案：3三、解答题(共4小题,共36分)17.(8分)设f(x)=lg 3421ax x ∙++,且a ∈R ,若当x ∈（-∞,1］时,f(x)有意义,求a 的取值范围.解析：因为3421ax x ∙++>0,x （-∞,1］,所以a>-(41)x -(21)x . 当且仅当a 大于φ(x)=-(41)x -(21)x 的最大值时,a>-(41)x -(21)x 恒成立. 而φ(x)在R 上是单调增函数,又x ∈（-∞,1］,所以当且仅当x=1时,φ(x)的最大值为41-21-=43-. 所以a>43-.18.(8分)已知二次函数f(x)=(lga)x 2+2x+4lga 的最大值为3,求a 的值.解析：由条件知3lg 42lg 4lg 40lg 2=⎪⎩⎪⎨⎧-∙<a a a a ⎩⎨⎧=--<<⇔,01lg 3)(lg 4,102a a a 解得lga=41-或lga=1(舍去). ∴a=1041-.19.(10分)若函数y=(log a x)2-2log a x+b(0<a<1)的定义域为［2,4］,值域为［425,8］,求a 、b 的值.解析：令t=log a x,x ∈［2,4］. 又知0<a<1,∴log a 4≤t≤log a 2<0. ∴y=t 2-2t+b=(t-1)2+b-1.由二次函数图象知y=t 2-2t+b 在［log a 4,log a 2］上是减函数,则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-4252log 2)2(log 84log 2)4(log 22b b a a a a ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇔,4252log 2)2(log ,82log 4)2(log 422b b a a a a解得log a 2=21-,即a=41,b=5. 故a=41,b=5. 20.(10分)某种商品定价为每件60元,不加收附加税时每年大约销售80万件,若政府征收附加税,每销售100元要征税p 元(即税率为p%),因此每年销售量将减少320p 万件. (1)将政府每年对该商品征收的总税金y(万元)表示成p 的函数,并指出这个函数的定义域. (2)要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元,问税率p%应怎样确定?(3)在所收税金不少于128万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则应如何确定p 值? 解析：(1)由题意,该商品年销售量为(80320-p)万件,年销售收入为60(80320-p)万元.故所求函数为y=60·(80320-p)·p%.由80320-p>0且p>0得定义域为(0,12). (2)由y≥128得60(80320-p)·p%≥128.化简得p 2-12p+32≤0,即(p-4)(p-8)≤0,解得4≤p≤8.故当税率在［4%,8%］内时,政府收取税金将不少于128万元.(3)当政府收取的税金不少于128万元时,厂家的销售收入为g(p)=60(80320-p)(4≤p≤8). ∵g(p)为减函数,∴［g(p)］max =g(4)=3 200(万元).故当税率为4%时,厂家销售金额最大,且国家所收税金又不少于128万元.。

3.4函数的应用(II)QJy I (.Hl / H?S li IJHi E \ J I \ L \1.函数模型所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无木质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.本节涉及的函数模型有：⑴指数函数模型：y=G//+c(b>0, bHl, aHO),当b>\, d>0时，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常形象地称为指数爆炸.(2)对数函数模型:y=mlog(l x+n(m^O f a>0, aHl),当aAl,加>0时，其增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢.(3)帚函数模型：y=a-x n+b(a^O),其中最常见的是二次函数模型y=ax2+bx~\~c(a0), 当d>0时，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后増大.在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图彖的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等.【例1 — 1】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度，设2012年的冬季冰雪覆盖面积为加，从2012年起，经过兀年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积)，与x的函数关系式是()A. ^=0.9550 -mB. >,=(l-O.O55O)-mC. y=0.9550_x-/?zD. y=(l-O.O55O_v)-/n解析：设每年的冰雪覆盖面积减少率为d.・・・50年内覆盖面积减少了5%,1・・・(1—a)5°=l—5%,解得0=1 — 0.9550.1 △・••从2012年起，经过x年后，冰雪覆盖面积尸加1一(1一0.95巧F二加095込答案：A【例1一2】某公司为应对金融危机的影响，拟投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率1%,按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率3%,按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)分析：这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题.可先按单利和复利讣算5年后的本利和分别是多少，再通过比较作答.解：本金100万元，年利率1%,按单利计算，5年后的本利和是100X(l + l%X5) = 105(万元).本金100万元，年利率3%,按每年复利一次计算，5年后的本利和是100X(1 + 3%『a 115.93(万元).由此可见按年利率3%每年复利一次投资要比按年利率1%单利投资更有利，5年后多得利息约10.93万元.谈重点利息的计算利息分单利和复利两种.单利是只有木金牛息，利息不再牛息，而复利是把前一期的本利 和作为本金再牛息，两种情况要注意区分.我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计•息的储蓄，如某人存入本金。

测试五 第三章 基本初等函数（Ⅰ）（A 卷）【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共120分，考试时间100分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分) 1.下列幂函数中过点（0，0）、（1，1）的偶函数是 A.y=21x B.y=x 4C.y=x -2D.y=31x 答案：B2.已知全集I=R ，集合M={y|y=2|x|,x ∈R },N={x|y=lg(3-x)},则（M ）∩N 等于 A.(-∞,1) B.［1,3) C.［3,+∞) D. 答案：A解析：由M={y|y≥1},N={x|x<3}.M={y|y<1},所以(M)∩N={x|x<1}.3.已知函数f(x)=2x -2,则函数y=|f(|x|)|的图象可能是答案：A解析：y=f(|x|)是偶函数，可知B 错误.由y≥0，可知C 错误.又因为x=±1时，y=0,所以D 错误.4.某人2004年7月1日到银行存入一年期款a 元，若按年利率x 复利计算，则到2007年7月1日可取款A.a(1+x)3元B.a(1+x)4元C.a+(1+x)3元D.a(1+x 3)元 答案：A解析：若2005年7月1日取款，有a(1+x)元；若2006年7月1日取款，有a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元； 2007年7月1日取款，有a(1+x)2(1+x)=a(1+x)3元.5.函数y=f(x)的图象与函数g(x)=log 2x(x>0)的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为 A.f(x)=x2log 1(x>0) B.f(x)=log 2(-x)(x<0)C.f(x)=-log 2x(x>0)D.f(x)=-log 2(-x)(x<0) 答案：D解析：设点（x,y ）是函数y=f(x)图象上任一点，它关于原点的对称点为（-x,-y ）,该点在函数g(x)=log 2x(x>0)的图象上， 所以-y=-log 2(-x),即f(x)=-log 2(-x)(x<0). 6.若θ为锐角，则|log |)(sin 21sin θθ的值为A.21 B.21- C.2 D.-2 答案：A解析：∵θ为锐角，∴0<sinθ<1. ∴log sinθ21>0. ∴21sin sin 21log |21|log sin sin ==θθθθ. 7.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了 A.10天 B.15天 C.19天 D.20天 答案：C解析：荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y=2x ， 当x=20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半.8.已知函数g(x)=4x+1+b,g(x)的反函数为f(x),且f(2)=-1,则实数b 的值为A.-1B.1C.2D.4 答案：B解析：∵f(2)=-1,g(x)与f(x)互为反函数，∴g(-1)=2,即4-1+1+b=2,得b=1. 9.若函数y=log b (x+a)(b>0且b≠1)的图象过点（0，1）和（-1，0），则a+b 等于 A.4 B.22+ C.3 D.22答案：A解析：解⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=.2,2,11,,0)1(log ,1log b a a b a a a bb 即得所以a+b=4.10.（探究题）已知实数a 、b 满足等式（21）a =(31)b,下列五个关系式：①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤b=a.其中不可能成立的关系式有A.1个B.2个C.3个D.4个 答案：B解析：作y=x)21(,y=x)31(的图象，如图.当x<0时，b a )31()21(=，则有a<b<0;当x>0时，ba )31()21(=,则有0<b<a;当x=0时，ba )31()21(=，则有b=a=0.第Ⅱ卷（非选择题 共80分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案需填在题中横线上） 11.函数y=113+x 的值域为_______________.答案：(0,1)∪(1,+∞) 解析：∵11+x ≠0, ∴113+x ≠1.∴函数值域为（0，1）∪(1,+∞).12.已知f(x)=⎩⎨⎧<+≥,1),2(,1,2x x f x x 则f(23log 21)=_______________.答案：38解析：)83(log )41log 23(log )223(log )23(log 2121212121f f f f =+=+= 3822212221)83(log 83log 83log ====--. 13.如图，P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为21的半圆形纸板P 2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）形纸板P 3，P 4，…，P n ，则P n 的半径r n 是_________________.答案：1)21(-n解析：由已知可得r 1=(21)0,r 2=(21)1,r 3=(21)2,r 4=(21)3,依次类推,r n =(21)n-1. 14.设a>0,a≠1,函数f(x)=a lg (x 2-2x+3)有最大值，则不等式log a (x 2-5x+7)>0的解集为________________. 答案：(2,3)解析：∵lg(x 2-2x+3)≥lg2有最小值，∴0<a<1.则不等式log a (x 2-5x+7)>0的解为⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-,175,07522x x x x 解得2<x<3. 三、解答题（本大题共6小题，共64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或解题步骤） 15.（本小题满分10分）点（2,2）在幂函数f(x)的图象上，点（-2，41）在幂函数g(x)的图象上，问当x 为何值时，有:①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x)<g(x). 解：设f(x)=x α,则由题意2=α)2(, ∴α=2，即f(x)=x 2.又设g(x)=x β,则由题意41=(-2)β,∴β=-2,即g(x)=x -2. 在同一坐标系内，作出f(x)与g(x)的图象，如图所示，由图象可知：当x>1或x<-1时，f(x)>g(x); 当x=±1时，f(x)=g(x);当-1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x).16.（本小题满分10分）(创新题)设f(x)=244+x x,若0<a<1,试求：（1）f(a)+f(1-a)的值； （2）)1000999()10003()10002()10001(f f f f ++++ 的值. 解：（1）f(a)+f(1-a)=2424422244424424424424411++=+++=∙+++=+++--a a aa a a a a a a a a =1. (2)设S=)1000999()10002()10001(f f f +++ , 则S=)10001()1000998()1000999(f f f +++ . 以上两式相加，应用（1）的结论得2S=个共999111+++，∴S=2999. 17.（本小题满分10分）已知函数f(x)=2+log 3x(811≤x≤9),求函数g(x)=［f(x)］2+f(x 2)的最大值和最小值.解：g(x)=(2+log 3x)2+2+log 3x 2=log 32x+6log 3x+6=(log 3x+3)2-3.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤,9811,98112x x得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-≤≤,391,913,9811x x x 或 ∴91≤x≤3. ∴-2≤log 3x≤1. 当log 3x=-2时，即x=91时，［g(x)］min =-2; 当log 3x=1时，即x=3时，［g(x)］max =13.18.（本小题满分10分）设a>0,f(x)=x x eaa e +是R 上的偶函数. （1）求a 的值；（2）证明f(x)在（0，+∞）上是增函数. 答案：（1）解：依题意，对一切x ∈R 有f(-x)=f(x),即)1)(1(1x x x x x x ee a a ae ae e a a e --⇔+=+=0对一切x ∈R 成立. ∴aa 1-=0.∴a 2=1. 又a>0,∴a=1.(2)证明：设0<x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=21212121211)(11x x x x x x x x x x ee e e e e e e ++-∙-=-+-. ∵0<x 1<x 2,x 1+x 2>0,∴21x x e e-<0,21x x e +-1>0,21x x e +>0.∴f(x 1)<f(x 2).∴f(x)在（0，+∞）上是增函数. 19.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x 3-21log (x-1),（1）求函数f(x)的定义域；（2）判断f(x)的单调性，并加以证明； （3）当x ∈［2,5］时，求f(x)的最大值. 解：（1）定义域为（1，+∞）; (2)在x ∈(1,+∞)内f(x)是增函数.任取1<x 1<x 2,f(x 1)-f(x 2)=)1(log )1(log 2211213231-+---x x x x=(x 1-x 2)(x 12+x 1x 2+x 22)+11log 1221--x x . ∵1<x 1<x 2,x 1-x 2<0,222121x x x x ++>0, 又x 2-1>x 1-1>0,1112--x x >1, ∴11log 1221--x x <0. ∴f(x 1)-f(x 2)<0,f(x 1)<f(x 2).∴f(x)在（1，+∞）上是增函数.（3）当x=5时，f(x)max =5321log -4=127.20.（本小题满分12分）（2007河北邢台一中月考，20）某投资公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2.（注：利润与投资量单位：万元）图1 图2（1）分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资量的函数关系式.（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为f(x)万元，B 产品的利润为g(x)万元.由题意得f(x)=k 1x,g(x)=x k 2.由图可知f(1)=51,∴k 1=51. 又g(4)=1.6,∴k 2=54.从而f(x)=x 51(x≥0),g(x)=x 54(x≥0). (2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10-x 万元，设企业利润为y 万元. y=f(x)+g(10-x)=x x -+10545(0≤x≤10),令x-10=t,则x=10-t 2,于是y=514)2(515451022+--=+-t t t (0≤t≤10). 当t=2时，y max =514=2.8,此时x=10-4=6, 即当A 产品投入6万元，则B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元.。

山东省新人教B 版2012届高三单元测试3必修1第三章《基本初等函数(I)》(本卷共150分，考试时间120分钟)一、选择题（ 12小题，每小题 5 分）1.若a<12，则化简4(2a －1)2的结果是A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2a D ．－1－2a2.若10a -<<，则式子1333,,aa a 的大小关系是（ ）A 、1333a a a >> B 、1333aa a >> C 、1333aa a >> D 、1333aa a >>3.化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a4.对于10<<a ，给出下列四个不等式①)11(log )1(log a a a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aaaa111++< ④aaaa 111++>其中成立的是（ ）A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④5.3log 2=a ，6log 4=b ，9log 8=c ，则下列关系中正确的是A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >>6.222lg5lg8lg5lg 20lg 23++⋅+= （ ）A ．4B ．3C ．2D ．17.已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是A ．7B ．7 2C ．±7 2D ．988.函数xy a =在[0，1]上的最大值与最小值的差为3，则a 的值为（ ）A ．12 B.2 C.4 D.149.已知(10)xf x =，则(5)f = （ ）A 、510B 、105 C 、lg10 D 、lg 510.若)1()1(32log ,log ,10+-+-==<<a a aa a aQ P a ，则P 与Q 的大小关系是 （ ） A ．P >QB ．P <QC ．P =QD ．P 与Q 的大小不确定11.对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ． 无法确定12若点),(n m 在函数xa y =的图像上，则下列哪一点一定在函数x y a log =)1,0(≠>a a 的图像上（ ）A.),(n mB.),(m n -C.),(n m -D.),(m n二、填空题（ 4 小题，每小题 4 分） 13.2312log 4(8)+-= .14.已知215-=a ，函数xa x f =)(，若实数m,n 满足f(m)>f(n)，则m,n 的大小关系为 15.若集合)(log },|,|,0{)}lg(,,{228y x y x xy xy x +=则= . 16.下列命题：①幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数；②图象不经过点(1,1)-的幂函数一定不是偶函数；③如果两个幂函数的图象具有三个公共点，那么这两个幂函数相同；④幂函数y x α=的图象不可能在第四象限内。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）数学人教B 必修1第三章 基本初等函数(Ⅰ)单元检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则R A ＝( )A ．(－∞，0]∪2,2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭ B ．2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．(－∞，0]∪2,2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭ D ．2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭2．若log 2a ＜0，1>12b⎛⎫⎪⎝⎭，则( )A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜03．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则()A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1,0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1 4．若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( ) A ．3 B ．52 C ．6 D ．125．若a ＜0，则函数y ＝(1－a )x －1的图象必过点( )A ．(0,1)B ．(0,0)C ．(0，－1)D ．(1，－1) 6．若log b a ＜0，则有( )A ．(a －1)(b －1)＞0B ．(a －1)(b －1)＜0C ．a ＞1,0＜b ＜1D ．以上答案均错7．定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是()A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝|x |＋1C ．321,0,=1,0x x y x x +≥⎧⎨+<⎩ D ．e ,0,=e ,0x x x y x -⎧≥⎨<⎩8．已知函数11,2,()=42,2x a x x f x a x ⎧⎛⎫-⋅+<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≥⎩在R 上为减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭9．设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 010)＝8，则222122010()()()f x f x f x +++的值等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．2log a 810．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G 12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭中，“好点”的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．已知函数2log ,0,()=2,0,xx x f x x >⎧⎨≤⎩若1()=2f a ，则a ＝________. 12．若函数f (x )＝log a x 在区间[2，＋∞)上恒有f (x )＞1，则a 的取值的集合为________．13．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝g (x )的图象与y ＝e x的图象关于直线y ＝x 对称，而函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，若f (m )＝－1，则m 的值为________．14．函数3=31xx y +(x ∈[－1,1])的值域为__________．15．已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数，则不等式f (2)＜f (log 2x )的解集为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)化简下列各式：(1)2132111136251546x yx y x y --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)213xy xyxy -⋅⋅·(xy )－1(x ＞0，y ＞0)．17．(本小题满分12分)求函数y ＝log 2(x 2－6x ＋8)的单调区间． 18．(本小题满分12分)已知函数11()=212x f x +-， (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)证明当x ＞0时，f (x )＞0.19．(本小题满分12分)已知函数212()=log (23)f x x ax -+，(1)若函数f (x )的值域为(－∞，－1]，求实数a 的值；(2)若函数f (x )在(－∞，1]内为增函数，求实数a 的取值范围． 20．(本小题满分13分)若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．21．(本小题满分14分)有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V 立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．现假设降雨量和蒸发量平衡，且污染物和湖水均匀混合．用()=(0)e tVP P g t g r r ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦(P ≥0)，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数(我们称其为湖水污染质量分数)，g (0)表示湖水污染初始质量分数．(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；(2)分析(0)<Pg r时，湖水的污染程度如何．参考答案1．A 点拨：∵121log 2x ≥，即11222log log 2x ≥，∴20<2x ≤，即2=02A x x ⎧⎫⎪⎪<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，∴R2=02A x x x ⎧⎫⎪⎪≤>⎨⎬⎪⎪⎩⎭或. 2．D 点拨：∵log 2a ＜log 21，∴0＜a ＜1.∵011>1=22b⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴b ＜0. 3．B4．C 点拨：∵x ·log 23＝1， ∴321==log 2log 3x . ∴3x ＋9x ＝3x ＋(3x )2＝3log 32＋(3log 32)2＝2＋22＝6.5．B 点拨：根据指数函数y ＝a x 恒过定点(0,1)知，函数y ＝(1－a )x －1恒过定点(0,0)． 6．B 点拨：当b ＞1时，若log b a ＜0，则0＜a ＜1； 当0＜b ＜1时，若log b a ＜0，则a ＞1.综上可知，a －1与b －1异号．故(a －1)(b －1)＜0.7．C 点拨：利用偶函数的对称性知f (x )在(－2,0)上为减函数．y ＝x 2＋1在(－2,0)上为减函数；y ＝|x |＋1在(－2,0)上为减函数；321,0,=1,0x x y x x +≥⎧⎨+<⎩在(－2,0)上为增函数；y ＝e ,0,1,0ex x x x ⎧≥⎪⎨<⎪⎩在(－2,0)上为减函数． 8．B 点拨：由01,10,4a a <<⎧⎪⎨-<⎪⎩ 得0＜a ＜14.又f (x )在R 上为减函数，需满足211242a a ⎛⎫-⋅+≥ ⎪⎝⎭，即a 2－2a ≤0，a (a －2)≤0.∴0≤a ≤2.综上，知0＜a ＜14. 9．C 点拨：222122010()()()f x f x f x +++＝222122010log log log a a a x x x +++＝222122010log ()a x x x ⋅⋅⋅＝log a (x 1x 2…x 2 010)2 ＝2log a (x 1x 2…x 2 010)＝2f (x 1x 2…x 2 010)＝2×8＝16.10．C 点拨：∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)， ∴指数函数不过(1,1)，(2,1)点，对数函数不过点(1,2)． ∴点M ，N ，P 一定不是好点．可验证：12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭过指数函数2=2xy ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且过对数函数y ＝log 4x .Q (2,2)在=(2)xy 和2=log y x 的图象上．11．2或－1 点拨：当a ＞0时，若1()=2f a ，则21log =2a ，∴12=2=2a ；当a ≤0时，若1()=2f a ，则12=2a ，∴a ＝－1.综上可知，=2a 或a ＝－1.12．{a |1＜a ＜2} 点拨：若函数f (x )＝log a x 在区间[2，＋∞)上恒有f (x )＞1， 则1,log 21,a a >⎧⎨>⎩即1,log 2log .a a a a >⎧⎨>⎩∴1＜a ＜2.13．1e- 点拨：由题意知y ＝g (x )应为y ＝e x 的反函数，即y ＝g (x )＝ln x ，而y ＝f (x )与y ＝g (x )＝ln x 的图象关于y 轴对称，故可得y ＝f (x )＝ln(－x )，又f (m )＝－1，所以ln(－m )＝－1，得－m ＝e －1，即1=em -.14．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦点拨：∵1=113xy +，x ∈[－1,1]，∴3－1≤3x ≤31，即13,33x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.∴13,33x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，141,433x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.∴13,44y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.15．10,4⎛⎫⎪⎝⎭∪(4，＋∞) 点拨：因为函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数，且f (2)＜f (log 2x )，当log 2x ＞0时，有2＜log 2x ，解得x ＞4；因为函数f (x )为偶函数，当log 2x ＜0时，有log 2x ＜－2，解得10<<4x ，所以不等式f (2)＜f (log 2x )的解集为10,4⎛⎫⎪⎝⎭∪(4，＋∞)． 16．解：(1)原式＝1112111(1)022*******(4)=24=245x y x y y ⎛⎫------- ⎪⎝⎭⎛⎫⨯-⨯-⋅⋅ ⎪⎝⎭.(2)原式＝11321122()[()()]xy xy xy xy --⋅⋅⋅＝11111331233222222()=()xy x y xy x y xy ---⋅⋅⋅⋅（）（）＝11022()()=()=1xy xy xy -⋅.17．解：由x 2－6x ＋8＞0，得x ＞4或x ＜2，故函数的定义域为(－∞，2)∪(4，＋∞)． 因为y ＝log 2(x 2－6x ＋8)由y ＝log 2u 和u (x )＝x 2－6x ＋8复合而成， 而y ＝log 2u 在定义域内为增函数，又u (x )＝x 2－6x ＋8在(－∞，2)上是减函数，在(4，＋∞)上是增函数，故函数y ＝log 2(x 2－6x ＋8)的单调增区间为(4，＋∞)，单调减区间为(－∞，2)．18．解：(1)∵2x －1≠0，即2x ≠1，∴x ≠0. 故f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，∵112112()===212122221x xx xx f x --++----， ∴f (x )＋f (－x )＝111212=1=021222121x xxx x -++-+---. ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． (3)当x ＞0时，2x ＞1，∴2x －1＞0， ∴110212x +>-，即当x ＞0时，f (x )＞0. 19．解：(1)设g (x )＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2. ∵f (x )的值域为(－∞，－1]， ∴12log ()1g x ≤-，即1122log ()log 2g x ≤，∴g (x )≥2.由3－a 2＝2，得a ＝1或a ＝－1. (2)要使f (x )在(－∞，1]内是增函数，需g (x )在(－∞，1]上为减函数且g (x )＞0对于x ∈(－∞，1]恒成立，∴1,(1)0,a g ≥⎧⎨>⎩即1,1230.a a ≥⎧⎨-+>⎩∴1≤a ＜2.故实数a 的取值范围是[1,2)．20．解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0， 设t ＝lg x ，则原方程化为2t 2－4t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝2，121=2t t . 由已知a ，b 是原方程的两个根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，1lg lg =2a b ⋅. ∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )lg lg lg lg b a a b ⎛⎫+⎪⎝⎭＝22(lg lg )[(lg )(lg )]lg lg a b b a a b ++＝(lg a ＋lg b )·2(lg lg )2lg lg lg lg b a a ba b+-＝212222=1212-⨯⨯， 即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.21．解：(1)当湖水污染质量分数g (t )为常数时，g (t )的值与t 无关，故有(0)=0Pg r-，∴(0)=P g r ，即湖水污染初始质量分数为P r. (2)当g (0)＜P r 时，g (0)－Pr＜0.tV随t的增大逐渐增大，∴g(t)为减函数．故湖水的污染程度越来越轻．又∵e。

章末质量评估(三)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．函数f(x)＝lg(x－1)的定义域是( )．A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)解析由x－1>0得x>1.答案B2．下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是( )．A．y＝(12)x B．y＝1xC．y＝－x3D．y＝log3(－x)解析y＝(12)x与y＝log3(－x)都为非奇非偶，排除A、D.y＝1x在(－∞，0)与(0，＋∞)上都为减函数，但在定义域内不是减函数，排除B.答案C3．若a>1，则函数y＝a x与y＝(1－a)x2的图象可能是下列四个选项中的( )．解析a>1，∴y＝a x在R上单调递增且过(0,1)点，排除B、D，又∵1－a<0，∴y＝(1－a)x2的开口向下．答案C4．下列各式中，正确的是( )．解析 A 中；B 中a －13＝13a，C 中6a 2>0而可能小于0.答案 D5．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )．A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2解析 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y 3＝21.5， 因为y ＝2x 是增函数，∴y 1>y 3>y 2. 答案 D6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )．A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2知x ≥0，即0≤x ≤1， 当x >1时，由1－log 2x ≤2知x ≥12即x >1.综合得x ≥0. 答案 D7．已知函数f (x )＝lg(4－x )的定义域为M ，函数g (x )＝0.5x －4的值域为N ，则M ∩N 等于( )．A ．MB ．NC ．[0,4)D ．[0，＋∞)解析 M ＝{x |x <4}，N ＝{y |y ≥0}，∴M ∩N ＝[0,4)．答案 C8．若0<a <1，在区间(－1,0)上函数f (x )＝log a (x ＋1)是 ( )．A ．增函数且f (x )>0B ．增函数且f (x )<0C ．减函数且f (x )>0D ．减函数且f (x )<0解析 0<a <1时，f (x )＝log a (x ＋1)为减函数，∵x ∈(－1,0)， ∴x ＋1∈(0,1)，∴log a (x ＋1)>0. 答案 C 9．给定函数，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析 画出各函数的图象知②③在(0,1)上递减． 答案 B10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x >0，2x，x ≤0，则f (f (19))＝( )．A ．4 B.14 C ．－4D ．－14解析 由f (19)＝log 319＝－2，∴f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14.答案 B11．下列式子中成立的是( )．A ．log 0.44<log 0.46B ．1.013.4>1.013.5C ．3.50.3<3.40.3D ．log 76<log 67解析 y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上是减函数4<6， ∴log 0.44>log 0.46.y ＝1.01x 在R 上为增函数，∵3.4<3.5，∴1.013.4<1.013.5；y＝x0.3在[0，＋∞)是增函数，3.5>3.4，∴3.50.3>3.40.3.答案D12．已知f(x)＝a x(a>0，且a≠1)，g(x)＝log a x(a>0，且a≠1)，若f(3)g(3)<0，则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )．解析：∵f(3)＝a3>0，由f(3)·g(3)<0得g(3)<0，∴0<a<1，∴f(x)与g(x)均为单调递减函数，选C.答案：C二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数y＝f(x)的定义域是[12，2]，则函数y＝f(log2x)的定义域为________．解析由题意知12≤log2x≤2，即log22≤log2x≤log24，∴2≤x≤4.答案[2，4]14．已知函数，则方程f－1(x)＝4的解x＝________.解析由反函数定义知：f－1(x)＝4，即∴x＝－2.答案－215．若幂函数y＝f(x)的图象经过点(9，13)，则f(25)的值是________．解析 设f (x )＝x α，则f (9)＝13，∴9α＝13，∴α＝－12，答案 1516．给出函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12xx ≥4f x ＋1x <4，则f (log 23)＝________.解析：∵log 23<4，∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋3)＝f (log 224)， ∵log 224>4，答案：124三、解答题(共4小题，每小题10分，共40分) 17．计算：18．已知函数f (x )＝3x ，且f (a )＝2，g (x )＝3ax －4x .(1)求g (x )的解析式；(2)当x ∈[－2,1]时，求g (x )的值域． 解 (1)由f (a )＝2得3a ＝2，a ＝log 32，＝2x －4x ＝－(2x )2＋2x . ∴g (x )＝－(2x )2＋2x . (2)设2x ＝t ，∵x ∈[－2,1]， ∴14≤t ≤2. g (t )＝－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14， 由g (t )在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上的图象可得，当t ＝12，即x ＝－1时，g (x )有最大值14；当t ＝2，即x ＝1时，g (x )有最小值－2. 故g (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.19．已知－3≤log 0.5x ≤－32，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x4的最大值和最小值．解 ∵f (x )＝log 2x 2·log 2x4＝(log 2x －1)(log 2x －2) ＝(log 2x )2－3log 2x ＋2 ＝(log 2x －32)2－14，∴当log2x＝32，即x＝22时，f(x)有最小值－14；当log2x＝3，即x＝8时，f(x)有最大值2.20．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．解(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b－12＋2＝0⇒b＝1.∴f(x)＝1－2x2＋2x＋1.(2)由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1，设x1<x2则.因为函数y＝2x在R上是增函数且x1<x2，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)因为f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0.等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2.即对一切t∈R有：3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－1 3 .。