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初中数学(最短路径问题)典型题型和解题技巧-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。
教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。
考的较多的还是“饮马问题”。
知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短（ 假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
第五章生活中的轴对称总复习——最短路径问题教材分析：最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时候还要借助轴对称、平移、旋转等变化进行研究。
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题的”课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。
学情分析：最短路径问题从本质上说就是最值问题，作为七年级学生，在此前很少在几何背景中涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。
教学时，教师要适当的进行点拨，在学生探索的过程中，逐步掌握重点，攻克难点。
教学目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
教学设计：一、新课导入：前面我们已经研究过了一些关于“两点的所有连线中，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。
现实生活中经常涉及选择最短路径的问题。
本节课我们将利用所学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。
二、新课探究：活动一：将实际问题抽象为数学问题相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦，有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图1中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。
到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称性质的知识回答了这个问题。
这个问题后来被称为“将军饮马问题”。
你能将这个问题抽象为数学问题吗？（1）这是一个实际问题，你打算首先做什么？师生活动：学生回答，将A、B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。
初中数学中最短路线问题的解题策略归纳【摘要】本文主要围绕初中数学中最短路线问题展开讨论，首先介绍了图论基础知识，包括图的定义和常见术语。
接着详细解析了Dijkstra算法和Floyd算法的原理和应用，通过具体的案例分析展示了这两种算法在最短路线问题中的作用和效果。
文章还讨论了贪心算法在最短路线问题中的应用，探讨了其优势和局限性。
结合前文内容对初中数学中最短路线问题的解题策略进行了总结，提出了解决这类问题的一般性方法和思路。
通过本文的阐述，读者可以全面了解和掌握初中数学中最短路线问题的解题技巧，为提高数学学习和解题能力提供了有益的参考和帮助。
【关键词】关键词：初中数学，最短路线问题，图论，Dijkstra算法，Floyd 算法，贪心算法，应用举例，解题策略总结1. 引言1.1 初中数学中最短路线问题的解题策略归纳初中数学中最短路线问题是一个常见的实际问题，涉及到图论的基础知识和算法。
对于这类问题，我们需要掌握一些关键的解题策略。
我们需要了解图论基础知识。
图是由节点和边组成的一种数据结构，节点代表位置或者城市，边代表路径或者道路。
在解决最短路线问题时，我们需要根据图中节点和边的关系来确定最短路径。
我们可以使用Dijkstra算法来解决最短路线问题。
该算法利用贪心的策略，不断更新节点的最短距离，直到找到最短路径。
我们需要注意处理权值为负数的情况，以免造成误差。
我们还可以采用Floyd算法来解决最短路线问题。
该算法利用动态规划的思想，逐步更新节点之间的最短路径长度，直到得到最终结果。
我们需要注意算法的时间复杂度，以确保能够在合理的时间内解决问题。
我们可以通过实际的应用举例来加深对最短路线问题的理解。
我们可以考虑在城市规划或者物流配送中的应用场景，通过实际案例来练习解题技巧。
初中数学中最短路线问题的解题策略包括图论基础知识、Dijkstra 算法、Floyd算法、应用举例以及贪心算法的应用。
掌握这些策略，能够帮助我们更好地解决实际问题，提高解题效率和准确性。
中考专题复习一一饮马问题及其拓展一、专题分析初中数学路径最短问题通常是指利用两点之间线段最短和垂线段最短等基本原理求点与点，点与线距离最短的问题。
由于这类问题除了领用两大原理外，还柔和了“轴对称二“平移”“旋转”、“展开”等变换，以及与直角坐标系中函数图象的综合，体现了知识的综合应用，也能很好的考察学生的空间想象力和数形结合的能力以及化归于转化的能力和灵活应变的能力，因此是中考数学考试的一个热点。
初中最短路径问题，根据使用的数学原理，主要分为两类，一类是利用两点之间线段最短解决的问题；一类是利用垂线段最短解决的问题。
其中在第一类问题中，最著名的主要有“造桥选址问题、“饮马问题”、“蚂蚁吃蜂蜜问题”，考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，根据两点之间线段最短来说明路径最短。
二、教学目标1、理解饮马问题的解题原理，掌握解题方法，会求最短距离2、对于饮马问题的变式问题，能灵活应用其解题思路来解决问题。
3、通过该专题提升学生数形结合的能力和培养学生化归与转化的数学思想的应用能力。
三、教学重点饮马问题的典型问题及其解法四、教学难点饮马问题的变式问题及其解法五、教学方法引领探究教学法六、教学媒体希沃电子白板+PPT课件教学过程一、问题原型将军在战场（A处）A大获全胜，人饥马渴，想到河边（直线MN处）饮马，然后回到帐篷（B 处）休息，问将军选择在何处饮马，才能使他从战场到帐篷所走的路程最短？A图一分析：作点A关于直线MN的对称的A’，连接BA’与直线MN交于点P,连AP, BP则直线MN 上，点P到点A和点B的距离之和AP+BP最小。
即将军在P处饮马，能使他从战场到帐篷所走的路程最短。
原因分析：设P’使直线MN上除点P外的任一点，连AP’ 和BP‘、A' P'，因为MN是线段AA’的垂直平分线，••.AP' =A' P'，AP=A' P.•・AP' +BP' =A' P' +BP', AP+BP=A' B•・•在AA' P' B中，两边之和大于第三边 .A'P' +P' B>A' B .AP' +BP'>AP+BP・••点P到A, B的距离之和最短另一方面，利用轴对称，我们把在直线MN同侧的两点转化为直线MN的异侧，就把这一问题转化为了“两点之间线段最短”的问题。
（完整版）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧初中数学［最短路径问题］典型题型及解题技巧最短路径问题中，关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利⽤平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作⽤。
理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移” “⽴体图形展开图”。
教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题” “⽴体展开图”。
考的较多的还是“饮马问题”。
知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有⾓、三⾓形、菱形、矩形、正⽅形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
⼀、两点在⼀条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求⼀点P，使得PA+PB h 最⼩。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）⼆、两点在⼀条直线同侧例：图所⽰，要在街道旁修建⼀个奶站，向居民区A、B提供⽜奶，奶站应建在什么地⽅，才能使从A、B到它的距离之和最短.■解：只有A、C、B在⼀直线上时，才能使AC+BC最⼩.作点A关于直线“街道”的对称点A '，然后连接A ' B,交“街道”于点C,则点C就是所求的点.、⼀点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐⾓/ MON内部任意⼀点，在/ MON的两边OM，ON上各取⼀点B，C,组成三⾓形，使三⾓形周长最⼩.解：分别作点A 关于0M , ON 的对称点AAOM , ON 于点B 、点C ,则点B 、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在⼀条直线上时，三⾓形的周长最⼩例：如图，A.B 两地在⼀条河的两岸，现要在河上建⼀座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平⾏的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的⽅向平移⼀个河宽到 E ,2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥证明：由平移的性质，得 BN // EM 且 BN=EM, MN=CD, BD // CE, BD=CE,所以 A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在⼛ACE 中AC+CE >AE,⼆ AC+CE+MN >AE+MN,即 AC+CD+DB >AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。
最短路径之将军饮马模型模型一、两定一动模型例题1. 如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（）A．B．C．D．【变式训练1】如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使P A+PB最小，则下列图形正确的是（）A．B．C D．【变式训练2】如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【变式训练3】 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和P A+PB的最小值为．模型二、一定两动例.如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（）A．2B．4C．6D．8【变式训练1】如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【变式训练2】已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（）A ．5B ．3C ．D ．【变式训练3】如图，已知∠AOB 的大小为30°，P 是∠AOB 内部的一个定点，且OP ＝1，点E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，则△PEF 周长的最小值等于（ ）A ．B ．C ．2D ．1【变式训练4】如图，在锐角三角形ABC 中，AB ＝4，△ABC 的面积为8，BD 平分∠ABC ．若M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8模型三、线段差的最值在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小．在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等． PB PA -＝0．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ． PB PA -的最大值＝AB ．1.如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝6，∠BCD ＝15°，P 为直线CD 上的动点，则|P A －PB|的最大值为____．lB A lPBAlBA lPAB2.如图，在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题：(用直尺画图) ()1画出格点(ABC顶点均在格点上)关于直线DE对称的A B C；111()2在DE上画出点P，使1PB PC+最小．()3在DE上找一点M，使MC MB-值最大．【练习巩固】1.如图，在△ABC中，直线l垂直平分AB分别交CB、AB于点D，E，点F为直线l上任意一点，AC ＝3，CB ＝4．则△ACF 周长的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．102.如图，在四边形ABCD 中，∠C ＝70°，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是BC 、DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为（ ） A ．30° B ．40°C ．50°D ．70°3.如图所示，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AC=1，32BD，直线MN 为线段AD 的垂直平分线，P 为MN 上的一个动点，则PC+PD 的最小值为（ ） A ．1 B ．12C ．32D ．34．如图，在等边△PQB 中，点A 为PQ 上一动点（（不与P ，Q 重合），再以AB 为边作等边△ABC ，连接PC ．有以下结论：①PB 平分∠ABC ；②AQ ＝CP ；③PC ∥QB ；④PB ＝P A +PC ；⑤当BC ⊥BQ 时，△ABC 的周长最小．其中一定正确的有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．③④⑤D ．②③④⑤5.如图（1）如图1，学校A，B在道路MN的异侧.在MN上建公交站P，使得P到A，B的距离相等。
初中数学［最短路径问题］典型题型及解题技巧最短路径问题中，关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移” “立体图形展开图”。
教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。
考的较多的还是“饮马问题”。
知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB 最小。
・二B解：连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。
（根据：两点之间线段最短•）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短. 忖.引叫*■屈尺2）■解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小.作点A关于直线道”的对称点A然后连接A B,交“街道”于点C,则点C就是所求的点.三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角/ MON内部任意一点，在/ MON的两边OM，ON上各取一点B，C,组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于0M , ON的对称点A ,;连接A ,，分别交0M ,ON于点B、点C,则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小A~例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E,2•连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
最短路线问题教学分析
一、教学任务分析
1、学生起点分析
从心理特征来说，初中阶段的学生思维能力、观察能力和想象能力正在快速发展，但同时，这一阶段的学生更好动，注意力容易分散，爱发表见解，希望得到老师的肯定，所以在教学中应充分抓住这些特点，一方面运用直观有趣的现象，来引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上，另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生的主动性积极性。
从认知状况上，学生在此学习了轴对称等有关知识，这为完成本节课的教学任务奠定了基础，但对于如何将两条线段转化成一条线段，利用两点之间线段最短解决问题有一定的难度，因此本节课主要采用教师引导下学生自主探索合作交流加深对转化的理解，让学生从学会转化成会学。
2. 教材中的地位和作用
本节课是北师大版九年级中考专题复习的内容。
在此之前，学生已经在七年级下册学习了线段的垂直平分线、角平分线、轴对称图形，并对最短路程问题进行了初步的探索，积累了一定的分析问题解决问题的经验。
此后学生还学习了三角形、平行四边形、圆等有关内容，这为本节课的学习奠定了基础。
本节课的学习从实际问题抽象出数学模型，在解决实际问题中培养了学生的分析问题解决问题能力，这为学生后续的学习奠定了基础，对于已经学过轴对称性质的知识是一个
很好的实际应用机会，其中涉及了轴对称性质（或垂直平分线性质），两点之间线段最短，等线段的转化等知识点，渗透了数学建模思想，培养了学生大胆猜想和严谨证明的数学学习习惯。
二、教学目标分析
1、知识与技能
让学生进一步掌握轴对称的性质，实现等线段的位置转换，从而“化曲为直”并利用“两点之间线段最短”达到解决问题的目的
2、过程与方法
通过实际操作，积累数学活动经验，发展几何直觉、对于此类问题既能从定性上进行理论的几何图形探索，又能从定量上进行代数解析方法的具体求值
3、情感与价值观
让学生在活动中体验探索，交流，成功与提升喜悦，激发学生的学习兴趣，并充分体会数学来源于生活，解释生活又服务于生活的道理，引发学生热爱数学学科，热爱数学学习
教材的重难点
重点：利用轴对称的性质，实现等线段的位置转换
难点：用“任意取点法”对最值问题的证明
三、教法、学法
根据以上学生的认知水平和心理特征，结合本节课的特点，主要采用启发式、引导式的教学方法与讲练法相结合。
注重“边讲边练”，及时巩固，真正体现以学生为主体，教师为主导的教学理念。
教学过程：
一、 创设情境：
如图，有 、 两个村庄，他们想在河流的边上建立一个水泵站，已知每米的管道费用是100元， 到河流的距离 是1km ， 到河流的距离 是3km ， 长3km 。
请问这个水泵站应该建立在哪里使得费用最少，为多少？
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”这是唐朝诗人李颀在诗《古从军行》开头两句，其实诗中就隐含着一个有趣的数学问题。
回顾复习两条重要的几何结论。
二、索新知：
现在让我们来看如何解决这个问题
1.已知：如图,点 、点 在直线 的同侧
求作： 上一点 ，使得 最小
分析：要使得 最小，实际上就是如何把 、 两条线段转化成一条线段，然后根据两点之间线段最短即可解决。
为了实现这个转化，我们从点 出发向 引垂线，垂足为 ，在 的延长线上，取 关于 的对称点 ，连结 ，与直线 相交于 ，则 点就是满足 最小的点。
证明：在直线Ｌ上任取一点 ，连接 ， ，构成三角形 ，我们可以得到''PB PA MB MA +>+，又因为 ’,所以 ’ ,这样我们就证明了这个点就是满足 最小的点。
三、牛刀小试：
例1. 如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N 是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为 _________。
分析：当线段DN和MN的长度恰好能够转化在一
条线段上时，DN+MN最小。
那如何转化呢？根据
前面的模型，即可解决。
例2.现在让我们看先前那个问题，水泵站修建哪里费用最少？
解：（略）
四、布置作业：
建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？
《最短路线问题》设计思路
最短路线问题是中考的一个考点，如何有效的把握学生的认知特点和课程重难点，使学生能在分析问题和解决问题中积累经验提高学生的数学思维能力，是我们设计微课的重要依据。
本微课首先从一个A村、B村建水泵站的问题引入，水泵站建在哪里管道铺设的最短，费用最少？让学生感受到数学来源于生活，激发学生的学习兴趣，调动学生参与课堂。
接着挖掘问题的深度，这样的问题在我国古代就已经有研究，唐朝诗人李颀《古从军行》前两句就对这个问题有描述，
激发学生的爱国主义情感以及感悟我国古诗词的博大精深。
然后引导学生为了解决这个问题我们要回顾复习两条重要的几何结论，为解决前面提出的问题做必要的准备。
目的在于调动学生的元认知，创设新知的固着点，为后面建模解决问题打好基础。
然后从问题中抽象出数学模型，着重引导学生利用两点之间线段最短解决问题，尤其是如何实现将两条线段转化成一条线段是重点也是难点，学生不容易想到作对称点，因此在教学时，要给学生一定的时间启发引导，让学生充分的理解作对称点可以实现将两条线段转化成一条线段。
就可以应用两点之间线段最短解决问题，进而求解问题。
有了这个模型，接着就给出一个具体的问题练习，正方形的特殊性，找D点关于直线AC的对称点恰好是B点，因此可以直接连接BD，交AC的点就是将来N点的所在位置，问题得到解决。
通过这个具体问题，让学生进一步感知模型的重要性，符合模型特征即可利用模型求解问题，强化了学生对模型的认识。
接着给出具体的问题，如何求解我们在开始提出的建水泵站的问题，引导学生利用已有模型求解问题，让学生感悟数学的实际应用，加深了学生对数学的认知，体会到数学的实际应用价值。
最后布置一个实际问题，引导学生课后思考，尝试解决结束本节课。
《最短路线问题》内容实录
同学们，大家好，今天我们学习最短路线问题，首先让我们来看一个实际问题，、两个村庄在河流的边上建一个水泵站，已知每米的管道费用100元，村庄到河流的距离是1千米，村庄到河流的距离是3千米，长3千米，问水泵站建在哪里费用最少，
为多少？
这个问题在我国古代就有了，白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，这是唐朝诗人李颀在《古从军行》中的前两句，诗中就隐含着一个有趣的数学问题，将军在观望烽火后从山脚下的点出发，走到河边饮马，再到点宿营，怎样走路程最近？这就是著名的将军饮马问题。
同学们，你知道如何求解这个问题？为了解决这个问题，下面让我们回顾两条重要的几何结论。
如图所示，地到地有三条路线可供选择，选择哪条路线最近呢？显然我们会选择②号线路，理由是两点之间线段最短。
现在让我们再看另一条重要的几何结论，连接直线外一点与直线上各点的所有连线段中，哪条线段最短？显然，我们会选择线段，理由是点到直线，垂线段最短。
有了这两条重要的几何结论，让我们看如何解决这个问题。
如果，点点在直线Ｌ的同侧，求作一动点Ｐ，使得最小。
首先，让我们分析一下，要使得最小，即就是将PA、PB两条线段转化成一条线段，应用两点之间线段最短即可求解。
问题是如何实现这个转化呢？做点关于直线的对称点点，连接,交直线于点。
点就是满足最小的点。
有些同学会有疑问，可不可以做A点关于直线的对称点呢？这个问题留作课后思考，请大家尝试解决。
还有些同学会有疑问，为什么这样的点就是满足最小的点。
我们就来证明一下。
在直线L上任取与P点不同的点M点，连接、，在三角形中，由三角形两边之和大于第三边，我们可以知道大于,而由作图可知，,这我们就证明点就是满足
最小的点。
下面让我进行动画演示，容易发现，当Ｍ点和Ｐ点重合时，最小。
有了这个模型，让我们看如何解决这个问题。
如图所示，正方形中，边长为8，在边上，且，是边上的一个动点，问的最小值为多少？还是让我们先来分析一下，要使的值最小，即就是将两条线段转化成一条线段，利用两点之间线段最短即可求解，如何实现这个转化呢？根据上面的模型，作点关于线段的对称点，而我们知道，正方形是很特殊的点，点关于线段的对称点恰好是点。
因此我们可以连接，交于点，如何计算呢？在直角三角形中，容易知道，根据勾股定理即可知道，即的最小值为10。
现在让我们回过头来看如何解决前面的问题，水泵站建在哪里呢？如图，做点关于直线的对称点点，连接，交直线与点，连接，点就是水泵站的位置，如何计算呢？过点作
垂直，垂足为F，在直角三角形中，根据题意，
，即，也就是说管道的长度即为5千米，费用即可解决。
在日常生活，类似的问题很多，如建设一座与河岸垂直的桥，问桥址应如何选择才能村到村的路程最短，这个问题留作课后思考，请大家尝试解决。
本节课到此结束，谢谢大家。
