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Chapter 5数值积分与微分

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数值微分与数值积分

数值微分与数值积分

数值微分与数值积分数值微分与数值积分是现代计算机科学中非常重要的数学工具。

它们可以用来处理各种研究。

在本文中，我们将讨论这两种方法的基础原理，以及它们在不同领域中的应用。

什么是数值微分？数值微分是指对给定函数进行求导的一种数值方法。

在实际应用中，函数的导数通常很难求得解析解，这时需要使用数值微分的方法来进行近似计算。

数值微分通常是通过在函数的某个点进行差分计算来完成的。

考虑一个函数$f(x)$在某个点$x_0$进行微分的情况。

我们可以计算$f(x_0+h)$和$f(x_0-h)$，其中$h$是一个小的正数。

然后，我们可以计算$[f(x_0+h) - f(x_0-h)]/2h$来得到$f'(x_0)$的近似值。

数值微分的应用非常广泛。

在科学和工程领域中，它通常用于计算物理量相关的导数。

例如，流体力学中的速度梯度、量子力学中的波函数导数，都可以使用数值微分进行近似计算。

此外，在金融领域中，数值微分也可用于计算期权价格等任意变量导数的近似解。

什么是数值积分？数值积分是指对给定函数进行积分的一种数值方法。

与数值微分类似，函数的积分通常很难求得解析解，而不得不使用数值积分的方法来近似计算。

在数值积分中，我们通常使用数值积分公式来计算定义在一个区间$[a,b]$上的函数（如果积分问题是无限积分，我们需要进行变形，将其转化为有限积分问题）。

数值积分公式通常基于插值方法，即将函数转化为一个多项式，并对多项式进行积分。

数值积分也应用广泛。

在科学和工程领域中，它通常用于计算面积、物质质量，以及探测信号的峰值等。

在金融领域中，数值积分也可用于计算期权定价公式的近似解。

数值微分和数值积分的误差分析在应用数值微分和数值积分时，误差是一个重要的考虑因素。

误差源可以来自于采样、采样噪声、近似方法等。

通常，我们使用误差分析来评估误差大小。

数值微分的误差通常归因于选取的$h$值。

当$h$太大时，我们会失去一些重要的信息，如函数的局部斜率。

计算方法课件-第5章-数值微分与数值积分讲解

计算方法课件-第5章-数值微分与数值积分讲解
11
h2 R2 ( x0 ) 3
f (1 )—左端
h2 R2 ( x1 ) - 6
f (2 )
—中
R2 ( x2 )
h2 3
f (3 )
—右端
例1：已知列表
X 2.5
2.55 2.60 2.65 2.70
Y 1.58114 1.59687 1.61245 1.62788 1.64317
求f (2.50), f (2.6), f (2.7)的近似值。
h 2!
f ''( ) O(h)
因此，有误差
f ( x0 h)
f ( x0 ) hf
'( x0 )
h2 2!
f
''( ), x0
x0 h
4
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
中心差商
f '( x0 )
f ( x0 h) f ( x0 h) 2h
由Taylor展开
f ( x0
因此，有误差
R( x)
f
'( x0 )
f ( x0 h) h
f ( x0 )
h 2!
f
''( ) O(h)
3
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
向后差商
f '( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
由Taylor展开
R( x)
f '( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
f ( )的近似值，这样导出的求积公式
ab
f
( x)dx
b
2
a

数值微分与数值积分练习题

数值微分与数值积分练习题

第五章 数值微分与数值积分一．分别用向前差商，向后差商和中心差商公式计算()f x =2x =的导数的近似值。

其中，步长0.1h =。

【详解】00()()(20.1)(2)=0.349 2410.10.1f x h f x f f h +−+−===向前差商00()()(2)(20.1)=0.358 0870.10.1f x f x h f f h −−−−===向后差商00()()(20.1)(20.1)=0.353 664220.10.2f x h f x h f f h +−−+−−===×中心差商 二．已知数据 x 2.52.55 2.60 2.65 2.70 ()f x1.58114 1.59687 2 1.62788 1.64317 求(2.50),(2.60),(2.70)f f f ′′′的近似值。

【详解】0.05h =，按照三点公式3(2.50)4(2.55)(2.60)3 1.581144 1.59687 1.61245(2.50)0.316 10020.050.1f f f f −+−−×+×−′≈==×(2.65)(2.55)1.627881.59687(2.60)0.310 10020.050.1f f f −−′≈==× (2.60)4(2.65)3(2.70)241.6278831.64317(2.70) 4.179 90020.050.1f f f f −+−×+×′≈==× 三．已知如下数据 x 3 4 5 6 7 8()f x 2.937 6 6.963 213.600 0 23.500 8 37.318 4 55.7056用三点公式计算(5)f ′和(5)f ′′的近似值。

【详解】1h =，(6)(4)23.500 8 6.963 2(5) 8.268 422f f f −−′≈== 2(4)2(5)(6) 6.9632213.600023.5008(5) 1.6320212f f f f −+−×+′′≈==× 四．求4n =时的所有Cotes 系数。

数值微分与数值积分

数值微分与数值积分

数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。

它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。

1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。

在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。

一种常用的数值微分方法是有限差分法。

它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。

我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。

有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。

数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。

根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。

2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。

在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。

一种常见的数值积分方法是复合梯形法。

它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。

最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。

复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。

除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。

根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。

3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。

第五章 数值积分与微分1

第五章 数值积分与微分1

b−a T( f ) = [ f ( a ) + f ( b )] 2
b−a a+b S( f ) = f (a ) + 4 f ( 2 ) + f (b) 6
b−a C( f ) = [ 7 f (a ) + 32 f (a + h) + 12 f (a + 2h) 90
+32 f (a + 3h) + 7 f (b )]
( f ( x)dx ≈ (b − a)∑Ckn) f (a + kh) = In ( f ) k=0
n
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
a k =0
n
求积公式的代数精度（/*Algebraic Precision */） 求积公式的代数精度（/* 代数精度
Def 1如果求积公式 I n ( f ) = ∑ Ak f ( xk )
k =0
n
次的多项式都恒成立 对一切不高于m次的多项式都恒成立， 对一切不高于 次的多项式都恒成立，而对于某个 m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有 次多项式不能精确成立 次多项式不能精确成立， m次代数精度。 次代数精度。 次代数精度
分别利用梯形公式、 梯形公式 公式、 例1：分别利用梯形公式、 Simpson公式、 Cotes公式 公式 公式
1 解： a = 0, b = 1, f ( x ) = 1+ x 1− 0 1 T( f ) = [ f (0) + f (1)] = [1 + 0.5] = 0.75 2 2 1− 0 1 S( f ) = f (0) + 4 f ( 2 ) + f (1) ≈ 0.69444444 6 1 1 1 3 C( f ) = 7 f (0) + 32 f ( ) +12 f ( ) + 32 f ( ) + 7 f (1) 90 4 2 4

第五章 数值积分与数值微分

第五章 数值积分与数值微分
ba , i 0,1,, n 的插值型 n
在 [a, b] 上， ( x) 1, xi a i
求积公式应用最方便、最广泛，称为 Newton-Cotes 求积公式。 设h
ba ，令 x a th ，则求积系数为 n
5
Ak lk ( x)dx h (
A0 , , An , 使求积公式代数精度尽可能高 , 对此可用插值型求
积公式来实现。
5.1.2
插值型求积公式
对给定求积节点 a x0 x1 xn b , 构造求积公式 的一种简单方法是利用插值多项式的准确积分来作为数值积分 值。 设 L n ( x ) 是 f ( x) 关于 x0 , x1 , , x n 的 Lagrange 插值多项式
8
证明
由例 5.1 知 Simpson 公式的代数精度为 m 3 。令
H ( x)为f ( x) 的三次 Hermite 插值多项式，满足插值条件：
H ( x) f (a), H (
ab ab ) f( ) 2 2 ab ab H ( ) f ( ), H (b) f (b) 2 2

b

(n) f ( x)dx (b a) C k f ( xk ) k 0
n
(5.7)
其中 xk a k
ba ( n) , k 0,1,, n, C n 由(5.6)给出. n
求积系数 C k 独立于区间 [a, b] ，称之为 Cotes 系数。Cotes 系数可以用(5.6)计算或查表(见表 5.1)给出。 表 5.1
近似以 y
f ( x) 为曲边的曲边梯形面积(如图
5.2),因此 Simpson

数值积分与数值微分

数值积分与数值微分

数值积分与数值微分数值积分和数值微分是数值计算中重要的概念和方法，它们在科学、工程和统计等领域有广泛的应用。

本文将介绍数值积分和数值微分的基本概念、原理和方法，并对其在实际问题中的应用进行讨论。

一、数值积分数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。

定积分是函数在给定区间内的面积，表示为∫f(x)dx。

在实际计算中，由于很多函数的原函数求解十分困难或不可求得，因此需要借助数值积分方法来进行求解。

1.1 矩形法矩形法是最基本的数值积分方法之一。

它将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取一点，然后用这些小区间上的函数值的平均值来近似积分值。

具体而言，对于等分为n个小区间的积分，矩形法可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx * (f(x0) + f(x1) + ... + f(xn-1))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。

矩形法的计算简单，但精度较低。

1.2 梯形法梯形法是另一种常用的数值积分方法，它通过用梯形面积来逼近积分值。

类似于矩形法，梯形法将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取两个点，然后用这些小区间上的梯形面积之和来逼近积分值。

具体而言，梯形法可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx/2 * (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。

梯形法相对于矩形法有更高的精度，但计算复杂度也相应提高。

1.3 辛普森法则辛普森法则是一种更加精确的数值积分方法，它利用三次多项式来逼近积分值。

辛普森法则将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取三个点，然后通过构造一个三次多项式，利用多项式的积分近似面积来逼近积分值。

具体而言，辛普森法则可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx/3 * (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 2f(xn-2) +4f(xn-1) + f(xn))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。

Chap5Sec2 数值积分与数值微分2

Chap5Sec2 数值积分与数值微分2

求积公式 f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
a
b
A0 A1 b a x A x A (b 2 a 2 ) / 2 0 0 1 1 2 2 3 3 x0 A0 x1 A1 (b a ) / 3 3 3 4 4 x0 A0 x1 A1 (b a ) / 4
1 1
1 dn 2 n pn ( x) n [( x 1) ] n 2 n ! dx 2 Ak 2 2 ( xk ) (1 xk ) pn
1.构造单节点高斯积分公 式，此时n 0 （n 1 1 ）
以此类推，便可以得到2节点~5节点时的高斯型求积公式。
高斯求积公式的截断误 差为 2 (n 1)! ( 2 n2 ) R[ f ] f ( ), ( 1,1) 3 2n 3(2n 2)!
b
高斯求积公式
具有最高代数精度(2n+1次代数精度)的求积公式

问题难点:
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
称为Gauss 型求积公式。其节点称为Gauss 点。
非线性方程组的求解
A0 A1 b a x A x A (b 2 a 2 ) / 2 0 0 1 1 2 2 3 3 x A x A ( b a )/3 1 1 0 0 3 3 4 4 x A x A ( b a )/4 1 1 0 0
1 2
I A0 f (t0 ) A1 f (t1 ) 1.147833092
数值微分
数据插值 f ( x ) pn ( x ) f ( n 1) ( ) n f ( x ) pn ( x ) ( x xi ) (n 1)! i 0

05数值微分与数值积分

05数值微分与数值积分
用三次样条插值函数求数值导数是可靠的，这是化工计 算中求数值微分的有效方法。
2019/8/16
10
1 方法概述
用三次样条插值函数建立的数值微分公式为：
f '(x) S '(x)
求导得：
f
'(x)

S
'(x)


(xi x)2 2hi
M i1

(x
xi1)2 2hi
Mi

yi yi1 hi
其中：fprime为三次样条插值函数导函数；
x为未知点处自变量值；
v为未知点处的导数值。
2019/8/16
12
例5.2 ：某液体冷却时，温度随时间的变化数据如表5-3所示：
表5-3 冷却温度随时间的变化数据
t (min) 0
1
2
3
4
5
T(0C) 92.0 85.3 79.5 74.5 70.2 67.0
Columns 9 through 16
-3.6000 -3.2000 -2.8000 -2.4000 -2.2000 -2.2000 2.0000 -2.0000
Columns 17 through 18
20-129/8./016000 -2.0000
9
§5.1.2 三次样条插值函数求微分
若三次样条插值函数 S(x) 收敛于f (x) ，那么导数 S '(x) 收敛于 f '(x) ，因此用样条插值函数 S(x) 作为 f (x) 的近似 函数，不但彼此的函数值非常接近，而且导数值也很接近。
2 三次样条插值函数求微分的Matlab函数
Matlab求离散数据的三次样条插值函数微分方法分三个步骤：

第5章 数值积分与微分

第5章 数值积分与微分
《 计 算 方 法 》
ba ab { f ( a) 4 f ( ) f (b)} R( , f ) 6 2 b2 a 2 f ( x) x时，I ( f ) 2 ba b2 a 2
第5章 数值积分
（2）当
（3）当
3 3 b a f ( x) x 2时，I ( f ) 3 3 3 ba 2 b a I3 ( f ) ( a ( a b) 2 b 2 ) 6 3 R( , x 2 ) 0 4 4 b a f ( x) x3时，I ( f ) 4 4 4 b a 3 ( a b)3 b a I3 ( f ) (a b3 ) 6 2 4
就能证得上式是插值
Aj
l
a
b
j ( x)dx

A
k 0
k
l j ( xk )
第5章 数值积分
例3:证明插值型求积公式中求积系数之和等于插值区间 的长度即:
A
k 0
n
K
ba
《 计 算 方 法 》
证明: 因为含有n+1个插值节点的插值型求积公式 至少具有 n次代数精度, 则也至少具有0次代数精度,即对f(x)=1恒成立 此时
《 计 算 方 法 》
解： 而 有
f ( x) 1时，I ( f ) 1dx b a， a ba I3 ( f ) (1 4 1) (b a) 6
当
b
R( ,1) 0
I ( f ) I 3 ( f ) R( , f )
（1）当
I3 ( f )
算 方 法 》
I( f )
(x
k 0
n 1
k 1

Chap5Sec1 数值积分与数值微分1n

Chap5Sec1 数值积分与数值微分1n

例5.1：计算 ：
π =
∫
1 0
4 dx 2 1+ x
其中 xk =
k 8
7 1 解：T8 = f (0) + 2∑ f ( x k ) + f (1) 16 k =1
= 3.138988494
1 S4 = f ( 0 ) + 4∑ f ( x k ) + 2 ∑ f ( x k ) + f (1) 其中 xk = k 24 odd even 8
b−a [1 + 1] 代入 P0 = 1：∫a 1 dx = b − a = ： 2
b
b−a b2 − a 2 [a + b] 代入 P1 = x ： a xdx = = ∫ 2 2
b
b3 − a 3 b − a 2 [a + b 2 ] ≠ 代入 P2 = x2 ： a x 2dx = ∫ 3 2
k k k =0
n k =0
n
= ∑ ∫ lk ( x) f ( xk )dx = ∑ ∫a lk ( x)dx f ( xk ) = ∑ Ak f ( xk )
b
[
]
n
k =0
由插值节点决定， 与f(x)无关,记为Ak
插值求积公式， 插值求积公式 Ak为求积系数 求积系数 (可事先求出 可事先求出) 可事先求出
数值积分就是将定积分计 , n)作拉格朗日插值 (k = 0,1,2, ⋯ 个数据点（ 由n + 1个数据点（ xk , f ( xk )) 各节点处函数值的线性组 各插值点 p ( x) = ∑ l ( x) f ( x ) 合。求积系数的确定以及 函数值 求积公式的误差分析成为 （常量 常量） 常量 ∵ pn ( x ) ≈ f ( x ) 数值积分研究的机电工程学院

数值积分与数值微分21599

数值积分与数值微分21599

左矩形公式 中矩形公式 右矩形公简称式矩形公式
定义：公式
b
n
f (x)dx
a
Ak f ( xk )
k 0
叫做数值求积公式（机械求积）
其中xk称为求积节点， Ak称为求积系数,亦称伴随节点xk的权。
2019/7/11数计学院《数值计算》课程建设组QAB
二、 代数精度的概念
定义 若某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确成立，
n
j0
所以 In Ak f (xk ) 为插值型的求积．
k 0
2019/7/11数计学院《数值计算》课程建设组QAB
例2
对于[a,
b]上一次插值，有 L1(x)
xb ab
f
(a)

xa ba
f (b)
则积分公式
b a
f (x)dx
b a
L1
(
x)dx

ba 2
2019/7/11数计学院《数值计算》课程建设组QAB
二、偶数阶求积公式的代数精度
定理 n 为偶数阶的Newton-Cotes 公式至少有 n+1 次代数精度。
证明：当n 为偶数时，由于有 f (n1) (x) (xn1)(n1) (n 1)!
R[ f ] I ( f ) In ( f )
a
Ak f (xk ) 中的系数
k 0
Ａk＞０（k=0,1,…,n)则此求积公式是稳定的．
证明：若取



b
a,则当
f (xk ) fk 有
n
In ( f ) In ( f ) Ak [ f (xk ) fk ] k 0

计算方法 第5章 数值积分与数值微分

计算方法 第5章 数值积分与数值微分

第五章 数值积分与数值微分在高等数学中我们学过定积分⎰badx x f )(的计算方法，若找到被积函数)(x f 在],[b a 区间上的一个原函数)(x F ，利用Newton-Leibniz 公式⎰-=baa Fb F dx x f )()()(可以轻易得计算出积分值，但在实际问题中，往往会遇到一些困难。

1) 有些函数虽然能找到原函数, 但表达式过于复杂，例如411)(x x f +=的原函数为 )]12arctan()12[arctan(2211212ln 241)(22-++++-++=x x x x x x x F2) 有些函数找不到初等函数形式的原函数，例如积分⎰⎰-1102,sin dx edx x x x3) 有些情况下，函数值是用表格形式给出的，例如：6.1178.876.651.496.364.275.203.1587654321y x对于以上这些积分问题，解决的方法就是使用数值积分方法。

其实数值积分方法不仅可以解决上述问题，最为重要的优点是对任意被积函数任意积分区间的积分问题都可以采用统一的数值积分公式，非常便于计算机编程实现。

对于微分问题，虽然对每一个初等函数都可以求出其导数，但是不同函数其求导方法依赖于各自不同的求导公式，没有简单、统一的处理方法，而数值微分法却可以对不同的函数使用统一的数值微分公式或数值微分算法。

本章首先介绍一些数值积分公式，最后再简单的介绍数值微分问题。

5.1 数值积分公式1. 数值积分的基本思想我们知道定积分⎰badx x f )(的几何意义就是{})(,0,,x f y y b x a x ====所围成的曲边形面积，而数值积分的基本思想是利用函数)(x f y =在区间],[b a 上某些点处函数值的线性组合来计算其定积分的近似值，把计算定积分这一复杂问题转换为仅仅涉及到函数值的计算问题，而无需考虑函数本身的结构以及函数值的真实来源，这样就很便于计算机编程实现。

第五章--数值积分和微分

第五章--数值积分和微分

（2）原函数F(x)表达不出来, F(x)不是初等函数
b ex2 dx,
1 sin x dx,
b sin x2dx
a
0x
a
（3）f(x)的表达式结构复杂，求原函数较难；或 f(x)虽然比较简单，但是原函数表达式结构复杂。
f
(
x)

1
1 x
4
F (x) 1 ln x2 4 2 x2
P(x)
xb ab
f (a)
xa ba
f (b)
A1

A2

b
2
a
b f ( x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
考察 f (x) 1, x, x2,, xm时其求积误差。 梯形公式
解：逐次检查公式是否精确成立
b
代入 f(x) = 1： a1 dx b a
0
1 6
求积公式为
2
I2( f ) (b a)
C (2) k
f
(
xk
)
k0
1
4
1
I2(
f
)
(b a)[ 6
f ( x0 )
6
f ( x1 )
6
f (x2 )]
b a [ f (a) 4 f (a b) f (b)]
6
2
上式称为辛卜生求积公式，也称三点公式或抛物线公式
卜生规则；
四、复化求积法
当积分区间[a,b]的长度较大，而节点个数n+1固 定时，直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大。 而如果增加节点个数，即n+1增加时，公式的舍入误 差又很难得到控制

数值微分与积分

数值微分与积分

梯形求积公式
在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也是最 重要三个公式,称为低阶公式（当n=0时的公式为矩形公式） 1）梯形(trapezoid)公式 取n 1, 则x0 a , x1 b , h b a 1 1 ( 1) Cotes系数为 C0 (t 1)dt 0 2 1 1 ( 1) C1 0tdt 2 求积公式为 I1 ( f ) (b a) Ck(1) f ( xk )
间各自重复逐步上述过程。
§5.2 数值微分
化工领域的实际问题中时常需要求列表函数在节点和 非节点处的导数值，这是数值微分所要解决的问题。数值 微分方法可近似求出某点的导数值。
I f ( x)dx Ln ( x)dx
a a b b b n a
f ( x )l ( x)dx f ( x )
k 1
b
n
b
k
k
k 1
k
a k
l ( x)dx
其中：
Ak lk ( x)dx
a
b
a
一般地：令 x a th 得：
Ak h
数值积分
以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用， 只能建立积分的近似计算方法 数值积分就是一种常用的近似计算方法。数 值积分方法不受以上几个问题的限制，在化学化 工领域应用甚广，如反应热效应计算、热容计算、 熵的计算、反应活化能的计算等。
如：某反应器中进行的反应，计算出口物料的焓值
上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式
与梯形法求积公式相比，Simpson法求积公式是一个较高精度的求 积公式。
复化法求积公式
Newton-Cotes公式当n大于7时，公式的稳定性将 无法保证，因此,在实际应用中一般不使用高阶NewtonCotes公式而是采用低阶复合求积法 在实际计算中为了保证计算的精度，往往首先用分点 xk=a+kh, (k=0,1,…,n)将区间［a,b］分成n个相等的子区 间，而后对每个子区间再应用梯形公式或Simpson公式， 分别得到：

北京交通大学(数字分析研究生课程)5数值积分与数值微分

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北京交通大学(数字分析研究生课程)5数值积分与数值微分北京交通大学(数字分析研究生课程)5数值积分与数值微分第5章数值积分与数值微分方法 1 基本概念梯形公式中矩形公式则上式为一个数值求积公式. 称为求积系数，称为求积节点;而称为求积余项或求积公式的截断误差。

从定义可以看到，数值求积公式依赖于求积节点个数n、求积节点和求积系数，这三个量有一个发生变化，则产生不同的求积公式. 定义1 若求积公式对于次数不超过的多项式准确成立，而对于次多项式不准确成立，则称该求积公式具有次代数精度为. 一般，一个求积公式的代数精度越大，则该求积公式越好. 确定代数精度的方法依次取代入公式并验证是否成立. 若第一个使不成立的值为，则对应的代数精度为. 例1确定求积公式的代数精度. 解取代入求积公式有易验证，但，故本题求积公式代数精度为3. 例2确定下面求积公式的参数A，B，C，使它具有尽可能高的代数精度，并指出相应的代数精度. 解本题要先求出具体的求积公式，然后再判断所求公式的代数精度。

公式有3个待定参数，故利用3个条件得到的3个等式关系就可以解决求出具体求积公式的问题. 依次取代入求积公式并取等号，有解之得故所求的求积公式为为确定其代数精度，再取代入求出的公式继续计算，有，故所求的求积公式具有二次代数精度. 插值型求积公式考虑关于个节点的Lagrange插值多项式与的余项，有这里两边取积分,有记则有若舍去，得求积公式(求积系数)该公式是插值型求积公式。

插值型求积公式的求积余项当为次数不超过次的多项式时，有，对应的. 因此个节点的插值型求积公式的代数精度至少为若求积公式的代数精度至少是，则该公式是插值型求积公式. 2. Newton-Cotes求积公式点的Newton-Cotes 公式将求积节点取为[a,b]上的等距节点做积分变量变换有记称为Cotes系数.求积公式称为Newton-Cotes求积公式. 易验证 2 点的Newton-Cotes公式这正是我们熟悉的梯形公式. 3点的Newton-Cotes公式为称它为Simpson公式. 例1 试分别用梯形公式和Simpson公式计算解用梯形公式计算，有用Simpson公式计算，有梯形公式与Simpson公式的余项梯形公式余项为利用积分中值定理可有梯形公式余项Simpson公式的余项部分Cotes系数n 1 2 3 4 5 6 7 8 当较大时Cotes系数会出现负数，此时Newton-Cotes不具有数值稳定性，因而一般不用较大的Newton-Cotes公式来做计算. 3 复化求积公式1）复化梯形公式取等距节点将积分区间[a,b] n等分,在每个小区间上用梯形公式做近似计算，就有得求积公式---复化梯形公式复化梯形公式的余项记故复化梯形公式的求积余项2) 复化Simpson公式取等距节点将积分区间[a,b] n等分,在每个小区间上用Simpson公式做近似计算，再累加起来就有式中，得复化Simpson公式复化Simpson公式的余项记有复化Simpson公式的求积余项例1 分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算，要求误差不超过. 解数值计算结果列表，其中代表求积余项. N 复化梯形公式复化Simpson公式 2 -17.389 259 5.32 -11.592 840 -0.478 22 -13.336 023 1.27 -11.984 944 23 -12.382 162 0.312 -12.064 209 24 -12.148 004 -12.069 951 25 -12.089 742 26 -12.075 194 27 -12.071 558 28 -12.070 649 本题积分的准确值为，可见复化梯形公式和复化Simpson公式能求出精度较高的解。

5数值积分与数值微分课件

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第5章数值积分与数值微分方法关于定积分计算，已经有较多方法，如公式法、分步积分法等，但实际问题中，经常出现不能用通常这些积分方法计算的定积分问题。

怎样把这些通常方法失效的定积分在一定精度下快速计算出来，特别是通过计算机编程计算出来就是本章研究的内容。

此外，怎样根据函数在若干个点处的函数值去求该函数的导数近似值也是本章介绍的内容。

本章涉及的方法有Newton-Cotes求积公式、Gauss求积公式、复化求积公式、Romberg求积公式和数值微分。

5.1 引 例人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。

我国的第一颗人造地球卫星近地点距离地球表面439km ，远地点距地球表面2384km ，地球半径为6371km ，求该卫星的轨道长度。

本问题可用椭圆参数方程cos ,,0sin x a ta b y b tπ=⎧≤≤>⎨=⎩ (0t 2) 来描述人造地球卫星的轨道，式中a, b 分别为椭圆的长短轴，该轨道的长度L 就是如下参数方程弧长积分但这个积分是椭圆积分，不能用解析方法计算。

5.2问题的描述与基本概念要想用计算机来计算()ba f x dx ⎰，应对其做离散化处理。

注意到定积分是如下和式的极限1()lim ()nbi i ai f x dx f x λξ→==∆∑⎰要离散化，做 1） 去掉极限号lim 2） 将i ξ取为具体的i x 值3） 为减少离散化带来的误差，将i x ∆用待定系数iA 代替 于是就得到定义5.1 若存在实数1212,,,;,,,,n n x x x A A A 且任取()[,],f x C a b ∈都有1()()nbi i ai f x dx A f x =≈∑⎰（5.1）则称式(5.1)为一个数值求积公式。

式中i A 称为求积系数，i x 称为求积节点，而称1()()()nbi i ai R f f x dx A f x ==-∑⎰ （5.2）为求积余项或求积公式（5.1）的截断误差。

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n k
Cotes系数
Newton—Cotes公式：

b a
f ( x )dx (b a ) C
k 0
n
( n) k
f (a kh) I n ( f )
n=1时的求积公式
梯形公式/*Trapezoidal Formula */
1 (1)
I1 ( f ) ( b a ) C k f ( x k ) Nhomakorabean
则称求积公式（*）是收敛的。 设
f ( xk ) 有舍入误差 k ,实际计算的求积公式为：
I ( f ) Ak f ( xk ) k
n k 0
n
两者的误差为
n
求积系数全为正时，公式是稳定的
En ( f ) I ( f ) I n ( f )


A f (x
n1
复化梯形公式的几何意义
小梯形面积之和近似
-y f ( x)
复化梯形公式的余项
设 f ( x ) C 2 [a, b]
n 1
h3 Rn ( f ) I Tn ( f ) f (k ) k 0 12
n n jk
(b a )( 1) ( t j )h hdt 0 nk !( n k )! j 0 ( k j )h
n n jk
n k
(t j )dt
0 j 0 jk
n
n
Ak (b a )C
( n) 其中 C k
( n) k
n n ( 1) ( t j )dt nk !( n k )! 0 j 0 jk
b
积分第 一中值 定理
b a b a 4 ( 4) ( ) f ( ) 180 2
Cotes公式
b a
设f
( 6)
( x) 连续
R4 [ f ] f ( x )dx C ( f )
2(b a ) b a 6 ( 6 ) ( ) f ( ) 945 4
k 0
n
n
k
k
) k Ak f ( xk )
k 0
n
A
k 0
k k
Ak k
k 0
n
其中
max k
0 k n
Ak (b a ) Ak 0(k 0,1,, n)
k 0
n
§5.2 Newton—Cotes公式
32 f (a 3h) 7 f (b)
5次代数精度
近似等于曲边梯形的面积
-y f ( x)
a
ah
a 2h
a 3h
b
例1：分别利用梯形公式、 Simpson公式、 Cotes公式
1 解： a 0, b 1, f ( x ) 1 x 1 0 1 T( f ) f (0) f (1) 1 0.5 0.75 2 2 1 0 1 S( f ) f (0) 4 f ( ) f (1) 0.69444444 6 2 1 1 1 3 C ( f ) 7 f (0) 32 f ( ) 12 f ( ) 32 f ( ) 7 f (1) 90 4 2 4
将积分区间 [a , b] 分成若干个小区间，然后在 每个小区间上采用低阶的Newton—Cotes公式
ba 将积分区间 [a , b] n等分: 分点 xk a kh, h n 在区间[ xk , xk 1 ] , k 0,1,, n 1 上采用梯形公式
I ( f ) f ( x )dx
b a
k 0 n 1 xk 1 xk
一、复化梯形公式：/*Compound Trapezoidal Formula */
f ( x )dx
h n1 f ( xk ) f ( xk 1 ) Rn ( f ) 2 k 0
复化梯形公式
h Tn ( f ) f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
Def 1 如果求积公式I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
对一切不高于m次的多项式都恒成立，而对于某个 m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有 m次代数精度。
Th5.1.1
求积公式
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
具有m次代数精度的充要条件是
作n次Lagrange插值多项式: Ln ( x )
l
k 0
n
k
( x ) f ( xk )

b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
a
b

b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
a
n b k 0
b
b n a
l ( x) f ( x
k 0 n k k 0
n
b b a n
xk a kh k 0,1, 2,, n
Ak lk ( x )dx
a
x
j 0 jk
x xj
k
ba h n
dx
步长
xj
x a th
(a th) (a jh) d (a th) 0 j 0 (a kh) (a jh)
曲边梯形的面积
-y f ( x)
b
a
求定积分的思想：
取左端点矩形近似 分割、近似、求和
a
b
-y f ( x)
取右端点矩形近似
复化型求积公式
a
b
§5.1 数值求积的基本问题
数值积分公式的一般形式：
()
其中 求积节点 求积系数
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
2 3
f ( x ) 为 代数精度的判
m
别方法
1、x、x 、x x
时求积公式精确成立，而 不能成为等式。
f ( x) 为 x
m 1
时求积公式
求积系数的特征：
A
k 0
n
k
ba
b
求积公式的收敛性和稳定性
若
lim Ak f ( xk ) f ( x )dx
n h 0 k 0 a
ab 其中 c 2

b a
ba H 3 ( x )dx H 3 (a ) 4 H 3 (c ) H 3 (b) 6
f ( ) 2 f ( x ) H3 ( x ) ( x a )( x c ) ( x b) 4!
( 4)
R2 [ f ] f ( x)dx S ( f )
余项 Rn [ f ] a
f ( ) n1 ( x )dx (n 1)!
Th5.2.1 形如 I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
的求积公式至少
有n次代数精度的充要条件是它是插值型求积公式。 证明： 充分性 设它是插值型求积公式
2 n
当
f ( x) 1,x,x , , x
a b b
b
S ( f ) H 3 ( x )dx
a b
b
f ( x ) H 3 ( x ) dx f ( x )dx H3 ( x )dx a a a
f ( 4 ) ( ) 2 ( x a )( x c ) ( x b)dx a 4! f ( 4 ) ( ) b 2 ( x a )( x c ) ( x b)dx a 4!
第五章 数值积分与数值微分
/*Numerical Integration And Differentation*/
近似计算
I f ( x )dx F (b) F (a ) a
b
但是在许多实际问题经常遇到下列情况： （1）原函数存在但不能用初等函数表示； （2）原函数可以用初等函数表示，但结构复杂； （3）被积函数没有表达式，仅仅是一张函数表。 几何意义：
k
)dx
f ( xk ) lk ( x )dx Ak f ( xk ) a
插值型求积公式： I n
其中
b
A
k 0
b a ( n 1)
n
k
f ( xk )
Ak lk ( x )dx
a b
n1 ( x )dx 1 ( xk ) ( x xk )n

b a
lk ( x )dx A j lk ( x j )
j 0
n
n
Ak
因此求积公式 I n (
f ) Ak f ( xk ) 是插值型的。
k 0
二、 Newton—Cotes求积公式 Newton—Cotes公式是插值型求积公式的特殊形式： 求积节点
xk k 0取等距分布：
用抛物形面积近似
k 0
-y f ( x)
a
ab 2
b
n=4时的求积公式
Cotes公式
4 ( 4) k 0
ba C( f ) 7 f (a ) 32 f (a h) 12 f (a 2h) 90
I 4 ( f ) ( b a ) C k f ( x k )
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 （1）插值多项式出现Runge现象； （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（n>7）
§5.3 复化求积公式