2020版高考数学习题：第一篇 集合与常用逻辑用语(必修1、选修第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

专题一 集合、常用逻辑用语一、选择题1．（2020·浙江高考真题）已知集合P ={|14}<<x x ，{}23Q x =<<，则P Q =（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|23}x x << C ．{|34}x x ≤< D ．{|14}<<x x【答案】B 【解析】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==故选：B2．（2020·浙江高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B3．（2020·浙江高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ；下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素 【答案】A 【解析】 首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项D ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32ST =，包含5个元素，排除选项C ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21pS p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =，故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .4.（2019年浙江卷）若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.5.（2019年浙江卷）已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则UA B =（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-6.（2018年浙江卷）已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则A ．B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5} 【答案】C 【解析】 因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C.7.（2018年浙江卷）已知直线，和平面，，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D ．8.（2017年浙江卷）已知等差数列的公差为d,前n 项和为,则“d>0”是 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．9.（2017年浙江卷）已知集合，那么 A ．（-1,2） B ．（0，1） C ．（-1,0） D ．（1,2） 【答案】A【解析】利用数轴，取所有元素，得 ．10.（2016年浙江文）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5} 【答案】C【解析】根据补集的运算得．故选C. 11.（2016年浙江文）已知函数f(x)=x 2+bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件{}n a n S 465"+2"S S S >的()46511210212510S S S a d a d d +-=+-+=0d >46520S S S +->4652S S S +>4652S S S +>0d >{}{}x|-1<x 1 Q=x 0x 2P =<<<，P Q=⋃,P Q P Q ⋃=()1,2-()UP Q ⋃{}(){}{}{}2,4,6,2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=【解析】由题意知，最小值为. 令，则，当时，的最小值为，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”；当时，的最小值为0，的最小值也为0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”．故选A.12.（2016年浙江理）已知集合 则（ ）A ．[2,3]B ．( 2,3 ]C ．[1,2)D ． 【答案】B 【解析】 根据补集的运算得．故选B ．13.（2016年浙江理）命题“，使得”的否定形式是（ ） A ．，使得 B ．，使得 C ．，使得 D ．，使得 【答案】D【解析】 的否定是， 的否定是， 的否定是．故选D ． 14.（2015年浙江理）命题“且的否定形式是（ ）A ．且B ．或C ．且D ．或222()()24b b f x x bx x =+=+-24b -2t x bx =+2222(())()(),244b b b f f x f t t bt t t ==+=+-≥-0b <(())f f x 24b -0b <(())f f x ()f x 0b =4(())f f x x =()f x (())f f x ()f x 0b <{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R ()P Q =R -(,2][1,)-∞-+∞{}[](]24(2,2),()1,3(2,2)2,3Q x x P Q =<=-∴=-=-RR *x R n N ∀∈∃∈，2n x ≥*x R n N ∀∈∃∈，2n x <*x R n N ∀∈∀∈，2n x <*x R n N ∃∈∃∈，2n x <*x R n N ∃∈∀∈，2n x <∀∃∃∀2n x ≥2n x <【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.15.（2015年浙江理）设，是有限集，定义，其中表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集，，“”是“ ”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集，，，，（ ） A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立，命题②不成立 D.命题①不成立，命题②成立 【答案】A. 【解析】命题①显然正确，通过如下文氏图亦可知表示的区域不大于的区域，故命题②也正确，故选A.16.（2015年浙江文）已知集合， ，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A【解析】由题意得， ，所以，故选A. 17.（2015年浙江文）设，是实数，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A B (,)()()d A B card AB card A B =-()card A A B A B ≠(,)0d A B >A BC (,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+),(C A d ),(),(C B d B A d+2{|23}x x x P =-≥Q {|24}x x =<<Q P ⋂=[)3,4(]2,3()1,2-(]1,3-{|31}P x x x =≥≤或[)3,4P Q ⋂=【解析】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的即不充分也不必要条件.故选D.18．（2015年浙江理）已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C.【解析】由题意得，，∴，故选C.2{20}P x x x =-≥{12}Q x x =<≤[0,1)(0,2](1,2)[1,2])2,0(=P C R。

集合与常用逻辑用语1-11（原卷版）1、集合小题★★★★★十年考情：针对该考点，都以交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大。

常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是x 还是y 。

2020高考预测：1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--,(){|ln 1}B x y x ==+，则AB =（ ） A ．{1,0}- B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2}2．已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，{(,)|}B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．03．已知集合1,2,3A ,220,B x x x x Z ,则A B （ ）A ．{}1B ．{}21，C ．{}3210，，，D ．{}32101-，，，，4．已知集合1{1}A x x =>，则A R =（ ）A ．{1}x x <B ．{|}{|1}x x x x ≤0≥C ．{|0}{|1}x x x x <>D ．{1}x x ≤5．已知集合{2,1,0,1,2}A =--,{|}x B y y e y N ，==∈，则AB =（ ） A ．{1,0}- B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}6.已知集合M={-1,0,1,2,3,4}，N={1,3,5}，P M N =，则P 的真子集共有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．8个”的（A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8．已知直线12:(2)10,:20l ax a y l x ay +++=++=，其中a R ∈，则“3a =-”是“12l l ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是（ ）A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．x R ∀∈，210x x -+≤C ．0x R ∃∈，20010x x -+<D ．0x R ∃∈，20010x x -+≤10．下列命题正确的是（ ）A ．“1x <”是“2320x x -+>”的必要不充分条件B ．对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈均有210x x +-≥C ．若p q ∨为真命题，则p ，q 只有一个为真命题D ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”11.下列说法错误的是（ ）A ．命题“若x 2﹣4x +3=0，则x =3”的逆否命题是“若x ≠3，则x 2﹣4x +3≠0”B ．“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件C ．命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0”，则¬p ：“∀x ∈R ，x 2+x +1≥0”D ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题AB AC BC +>。

第1节　集　合【选题明细表】知识点、方法题号集合的概念6,7集合间的关系3,8,11集合的运算1,2,5,10,12,13,14集合中的新情境问题4,9基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B等于(　A　)(A){0,2} (B){1,2}(C){0} (D){-2,-1,0,1,2}解析:A∩B={0,2}∩{-2,-1,0,1,2}={0,2}.故选A.2.已知集合A={x|lg x>0},B={x|x≤1},则(　B　)(A)A∩B≠(B)A∪B=R(C)B⊆A (D)A⊆B解析:由B={x|x≤1},且A={x|lg x>0}=(1,+∞),所以A∪B=R.3.(2018·西安一模改编)已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则集合M与集合N的关系是(　B　)(A)M=N(B)N M(C)M⊆N(D)M∩N=解析:因为M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},所以N={-1,0},于是N M.4.若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=｛-1,0,,2,3｝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　B　)(A)1(B)3(C)7(D)31解析:具有伙伴关系的元素组是-1,,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1},｛,2｝,｛-1,,2｝.5.(2018·石家庄模拟)设全集U={x|x∈N*,x<6},集合A={1,3},B= {3,5},则∁U(A∪B)等于(　D　)(A){1,4}(B){1,5}(C){2,5}(D){2,4}解析:由题意得A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U={1,2,3,4,5},所以∁U(A∪B)={2,4}.6.试分别用描述法、列举法两种方法表示“所有不小于3,且不大于200的奇数”所构成的集合.(1)描述法 ;(2)列举法 .答案:(1){x|x=2n+1,n∈N,1≤n<100}(2){3,5,7,9, (199)7.(2017·江苏卷)已知集合A={1,2},B={a,a2+3},若A∩B={1},则实数a的值为 .解析:因为A∩B={1},A={1,2},所以1∈B且2∉B.若a=1,则a2+3=4,符合题意.又a2+3≥3≠1,故a=1.答案:18.(2018·成都检测)已知集合A={x|x2-2 018x-2 019≤0},B={x|x<m+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是 .解析:由x2-2 018x-2 019≤0,得A=[-1,2 019],又B={x|x<m+1},且A⊆B.所以m+1>2 019,则m>2 018.答案:(2 018,+∞)9.集合A={x|x<0},B={x|y=lg[x(x+1)]},若A-B={x|x∈A,且x∉B},则A-B= .解析:由x(x+1)>0,得x<-1或x>0.所以B=(-∞,-1)∪(0,+∞),所以A-B=[-1,0).答案:[-1,0)能力提升(时间:15分钟)10.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则(∁R S)∩T等于(　C　)(A)[2,3](B)(-∞,-2)∪[3,+∞)(C)(2,3)(D)(0,+∞)解析:易知S=(-∞,2]∪[3,+∞),所以∁R S=(2,3),因此(∁R S)∩T=(2,3).11.设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是(　C　)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:由得所以A∩B={(2,-1)}.由M⊆(A∩B),知M=或M={(2,-1)}.12.(2018·江西省红色七校联考)如图,设全集U=R,集合A,B分别用椭圆内图形表示,若集合A={x|x2<2x},B={x|y=ln(1-x)},则阴影部分图形表示的集合为(　D　)(A){x|x≤1} (B){x|x≥1}(C){x|0<x≤1}(D){x|1≤x<2}解析:因为A={x|x2<2x}={x|0<x<2},B={x|y=ln(1-x)}={x|1-x>0}={x|x<1},所以∁U B={x|x≥1},则阴影部分为A∩(∁U B)={x|0<x<2}∩{x|x≥1}={x|1≤x<2}.故选D.13.若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为(　D　)(A)1 (B)-1(C)1或-1(D)1或-1或0解析:由A∪B=A,可知B A,故B={1}或{-1}或,此时m=1或-1或0.故选D.14.(2017·山东卷改编)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,全集U=R,则∁U(A∩B)= .解析:因为4-x2≥0,所以-2≤x≤2,所以A=[-2,2].因为1-x>0,所以x<1,所以B=(-∞,1),因此A∩B=[-2,1),于是∁U(A∩B)=(-∞,-2)∪[1,+∞).答案:(-∞,-2)∪[1,+∞)。

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词．命题∧，∨，綈的真假判断∧∨綈真真真真假假假真假真假假假．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等．全称命题和存在性命题名称全称命题存在性命题形式结构对中的任意一个，有()成立存在中的一个，使()成立，∃∈∈∀()简记()，，綈∈∃()∀∈否定()，綈[小题体验]．(·启东中学期末检测)在“綈”，“∧”，“∨”形式的命题中，若“∨”为真，“∧”为假，“綈”为真，则，的真假为，.解析：∵“∨”为真，∴，至少有一个为真．“∧”为假，∴，至少有一个为假，而“綈”为真，∴为假，为真．答案：假真．(·盱眙中学检测)命题“存在实数，使＞”的否定是．答案：对于任意的实数，使得≤．已知命题：对任意∈，总有＞；：“＞”是“＞”的充分不必要条件，则下列命题：①∨；②綈∧綈；③綈∨；④∧綈.其中为真命题的序号是．解析：由题设可知：是真命题，是假命题；所以綈是假命题，綈是真命题；所以∨是真命题，綈∧綈是假命题，綈∨是假命题，∧綈是真命题，故①④正确．答案：①④．注意命题所含的量词，对于量词有隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．．注意“或”“且”的否定：“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．[小题纠偏]．命题“若＝，则＝或＝”，其否定为．答案：若＝，则≠且≠．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是．解析：命题是省略量词的全称命题，所以其否定是：存在两个全等三角形的面积不相等．答案：存在两个全等三角形的面积不相等全称命题与存在性命题)[题组练透]．已知命题：∀∈，(＋)≤，则命题的否定是“”．答案：∃∈，(＋)＞．(·淮安期末)若“∃∈，使得－λ＋＜成立”是假命题，则实数λ的取值范围为．解析：若“∃∈，使得－λ＋＜成立”是假命题，即“∃∈，使得λ＞＋成立”是假命题，所以“∀∈，都有λ≤＋成立”是真命题．由∈，得函数＝＋≥ ＝，当且仅当＝时等号成立．所以λ≤，即实数λ的取值范围为(－∞，]．答案：(－∞，]．已知函数()＝＋，()＝＋，若∀∈，∃∈[]，使得()≥()，则实数的取值范围是．解析：由题意知，()≥()(∈[])，因为()＝＋，所以′()＝－，所以()在上单调递减，所以()＝()＝，又因为()在[]上的最小值为()＝＋，所以≥＋，即≤.答案：(－∞，]．(·南通中学调研)已知命题：“∀∈[]，≥”，命题：“∃∈，＋＋＝”，若命题“∧”是真命题，则实数的取值范围是．解析：若命题：“∀∈[]，≥”为真命题，则≥；若命题：“∃∈，＋＋＝”为真命题，则Δ＝－≥，即≤，所以若命题“∧”是真命题，则实数的取值范围是[]．答案：[][谨记通法]．全称命题与存在性命题的否定()改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．()否定结论：对原命题的结论进行否定．[提醒] 说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明存在性命题为真命题，只需找出一个正例．．由真假求参要转化含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件．含有逻辑联结词的命题的真假判断)[典例引领](·泰州模拟)已知命题：函数＝－－在上为增函数，：函数＝＋－在上为减函数，则在命题①∨；②∧；③(綈)∨；④∧(綈)中，真命题的序号是．解析：因为＝在上为增函数，＝－＝在上为减函数，所以＝－－＝－在上为增函数，所以＝－－在上为增函数，故是真命题．＝＋－在上为减函数是错误的，故是假命题，所以①∨是真命题；②∧是假命题；③(綈)∧是假命题；④∧(綈)是真命题．答案：①④[由题悟法]判断含有逻辑联结词命题真假的个步骤()先判断简单命题，的真假．()再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．[即时应用]．(·启东期末)命题：∈*，命题：∈，则“或”是命题．(填“真”“假”)解析：命题：∈*，为假命题；命题：∈，为真命题，则命题“或”为真命题．答案：真．已知命题：若＞，则－＜－；命题：若＞，则＞.在命题①∧；②∨；③∧(綈)；④(綈)∨中，是真命题的序号是．解析：由不等式的性质可知，命题是真命题，命题为假命题，故①∧为假命题；②∨为真命题；③綈为真命题，则∧(綈)为真命题；④綈为假命题，则(綈)∨为假命题．答案：②③根据命题的真假求参数的取值范围)[典例引领](·无锡天一中学月考)已知命题：∃∈[－，]，使不等式－＋≥＋成立；命题：＋＋＝有两个负数根，若∨为真，∧为假，求实数的取值范围．解：因为∨为真，∧为假，所以，一真一假．由题设知，对于命题，因为∈[－]，所以＋∈[]，所以不等式－＋≥成立，所以－＋≥，解得≤或≥.对于命题，因为＋＋＝有两个负数根，所以(\\(Δ＝－≥，＋＝－＜，))所以≥.若真假，则≤；若假真，则≤＜，所以实数的取值范围为(－∞，]∪[，)．[由题悟法]根据命题真假求参数范围的步骤()先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；()然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；()最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．[即时应用]．(·江苏百校联盟联考)已知命题：“∃∈[]，使＋＋≥”为真命题，则实数的取值范围是．解析：当∈[]时，＋＝(＋)－是增函数，所以≤＋≤，由题意得＋≥，所以≥－.答案：[－，＋∞)．(·海门中学检测)已知命题：∀∈，＋＞，命题：∀∈，＋＜，且∧为假命题，则实数的取值范围为．解析：由已知可得：命题为真命题，∵∧为假命题，∴为假命题．若为真，则＞＋对∀∈恒成立，∵＋＝且正弦函数＝的值域为[－]，∴＋＝的最大值为，∴＞.∵为假命题，∴≤，∴实数的取值范围为(－∞，]．答案：(－∞，]一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·南通中学高三检测)命题“∃∈(，＋∞)，＝－”的否定是“”．答案：∀∈(，＋∞)，≠－．(·镇江模拟)已知命题：函数＝＋＋(＞且≠)的图象恒过点(－)；命题：已知平面α∥平面β，则直线∥α是直线∥β的充要条件，则有下列命题：①∧；②(綈)∧(綈)；③(綈)∧；④∧(綈)．其中为真命题的序号是．解析：由指数函数恒过点()知，函数＝＋＋是由＝先向左平移个单位，再向上平移个单位得到．所以函数＝＋＋恒过点(－)，故命题为真命题；命题：与β的位置关系也可能是⊆β，故是假命题．所以∧(綈)为真命题．答案：④．若“∈[]或∈(－∞，)∪(，＋∞)”是假命题，则的取值范围是．解析：根据题意得“∉[]且∉(－∞，)∪(，＋∞)”是真命题，所以(\\(＜或＞，≤≤，))解得≤＜，故∈[)．答案：[)．已知函数()＝＋＋，若命题“∃＞，()＜”为真，则的取值范围是．解析：因为函数()＝＋＋的图象过点()，若命题“∃＞，()＜”为真，则函数()＝＋＋的图象的对称轴必在轴的右侧，且与轴有两个不同交点，所以(\\(Δ＝－＞，,－()＞，))解得＜－，所以的取值范围是(－∞，－)．答案：(－∞，－)．(·南京外国语学校模拟)已知命题：∃∈，使＝，命题：－＋＜的解集是{＜＜}，给出下列结论：①命题“∧”是真命题；②命题“∧綈”是假命题；③命题“綈∨”是真命题；④命题“綈∨綈”是假命题．其中正确的是．解析：命题：∃∈，使＝是真命题，命题：－＋＜的解集是{＜＜}也是真命题，所以，①命题“∧”是真命题；②命题“∧綈”是假命题；③命题“綈∨”是真命题；④命题“綈∨綈”是假命题．故①②③④均正确．答案：①②③④．(·海门实验中学检测)命题：∃∈[－]，使得＜成立；命题：∀∈(，＋∞)，不等式＜＋恒成立．若命题∧为真，则实数的取值范围为．解析：由∈[－]可知，当＝－时，取得最小值，若命题：∃∈[－]，使得＜成立为真，则＞.若命题：∀∈(，＋∞)，不等式＜＋恒成立为真，即∀∈(，＋∞)，＜＋恒成立为真，当＝时，＋取最小值，故＜.因为命题∧为真，所以∈.答案：二保高考，全练题型做到高考达标．命题“∀∈*，()∈*且()≤”的否定形式是．解析：全称命题的否定为存在性命题，因此命题“∀∈*，()∈*且()≤”的否定形式是“∃∈*，()∉*或()＞”．答案：∃∈*，()∉*或()＞．(·海安中学测试)若命题“∀∈[]，－＋≤”是真命题，则实数的取值范围是．解析：令()＝－＋，根据题意可得(\\(＝－＋≤，＝－＋≤，))解得≤≤，所以实数的取值范围是.答案：．(·南通大学附中月考)已知命题：“任意∈[]，－≥”，命题：“存在∈，使＋＋－＝”．若命题“∧”是真命题，则实数的取值范围是．解析：由题意知，：≤，：≤－或≥.因为“∧”为真命题，所以，均为真命题，所以≤－或＝.答案：(－∞，－]∪{}．(·沙市区校级期中)函数()＝－＋，()＝－，若对∀∈[－]，∃∈[]，()≥()，则实数的最小值是．解析：由′()＝－，可得()在区间[－]上单调递减，在区间[]上单调递增，∴()＝()＝－，∵()＝－是增函数，∴()＝－，要满足题意，只需()≥()即可，解得≥，故实数的最小值是.答案：．已知：－＜，：(－)(－)＞，若綈是綈的充分不必要条件，则实数的取值范围是．解析：由题意知：－＜＜＋，：＜＜，因为“綈”是“綈”的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件．所以(\\(－≤，＋＞))或(\\(－＜，＋≥，))解得－≤≤.答案：[－]．(·杨大附中月考)给出下列命题：①∀∈，＞；②所有可以被整除的整数，末位数字都是；③∃∈，－＋≤；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．则上述命题的否定中，真命题的序号为．解析：命题与命题的否定一真一假．①当＝或时，不等式不成立，所以①是假命题，①的否定是真命题；②可以被整除的整数，末位数字是或，所以②是假命题，②的否定是真命题；③－＋＝＋＞恒成立，所以③是假命题，③的否定是真命题；④是真命题，所以④的否定为假命题．答案：①②③．命题的否定是“对所有正数，＞＋”，则命题可写为．解析：因为是綈的否定，所以只需将全称命题变为存在性命题，再对结论否定即可．答案：∃∈(，＋∞)，≤＋．若“∀∈，≤ ＋”为真命题，则实数的最大值为．解析：由∈，可得－≤ ≤，所以≤ ＋≤，因为∀∈，≤ ＋，所以≤，所以实数的最大值为.答案：．(·南京期末)已知∈，设命题：∀∈，＋＋＞；命题：函数()＝－＋－只有一个零点，则使“∨”为假命题的实数的取值范围为．解析：若为真，当＝时，符合题意；当≠时，(\\(＞，,Δ＝－＜，))则＜＜，∴命题为真时，≤＜.若为真，由()＝－＋－，得′()＝－，令′()＝，得＝或＝.∴当∈(－∞，)∪(，＋∞)时，′()＞；当∈()时，′()＜，∴()的单调递增区间为(－∞，)，(，＋∞)，单调递减区间为()．∴()的极大值为()＝－，极小值为()＝－.要使函数()＝－＋－只有一个零点，则－＜或－＞，解得＜或＞.∵“∨”为假命题，∴为假，为假，即(\\(＜或≥，≤≤，))解得≤≤，故实数的取值范围为[]．答案：[]．(·南京一中模拟)给出如下命题：①“≤”是“∃∈[]，使－≥成立”的充分不必要条件；②命题“∀∈(，＋∞)，＞”的否定是“∃∈(，＋∞)，≤”；③若“∧”为假命题，则，均为假命题．其中正确的命题是．(填序号)解析：对于①，由∃∈[]，使－≥成立，可得≤，因此为充分不必要条件，①正确；②显然正确；对于③，若“且”为假命题，则，中有一假命题即可，所以③错误．答案：①②．已知命题：函数＝(＋＋)的定义域为；命题：函数()＝－在(－∞，)上单调递减．()若“∧綈”为真命题，求实数的取值范围；()设关于的不等式(－)(－＋)＜的解集为，命题为真命题时，的取值集合为.若∩＝，求实数的取值范围．解：()若为真命题，则＋＋＞的解集为，则＞且－＜，解得＞.若为真命题，则≥，即≥.因为“∧綈”为真命题，所以为真命题且为假命题，所以实数的取值范围是()．()解不等式(－)(－＋)＜，得－＜＜，即＝(－，)．由()知，＝(，＋∞)．因为∩＝，则⊆，所以－≥，即≥.故实数的取值范围为[，＋∞).．设：实数满足－＋＜(其中＞)，：实数满足＜≤.()若＝，且∧为真，求实数的取值范围；()若綈是綈的必要不充分条件，求实数的取值范围．解：()当＝时，－＋＜，解得＜＜，即为真时，实数的取值范围是＜＜.若∧为真，则真且真，所以实数的取值范围是()．()綈是綈的必要不充分条件，即是的必要不充分条件，设＝{()}，＝{()}，则，由－＋＜得(－)(－)＜，因为＞，所以＝()，又＝(]，则≤且＞，解得＜≤.所以实数的取值范围为.．(·启东检测)已知：∃∈(，＋∞)，－≤；：函数＝－＋有两个零点．()若∨为假命题，求实数的取值范围；()若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围．解：若为真，令()＝－，问题转化为求函数()的最小值．′()＝－＝，令′()＝，解得＝，函数()＝－在(，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，故()＝()＝，故≥.若为真，则Δ＝－＞，解得＞或＜－.()若∨为假命题，则，均为假命题，即＜且－≤≤，所以实数的取值范围为[－)．()若∨为真命题，∧为假命题，则，一真一假．若真假，则实数满足(\\(≥，,－≤≤，))即≤≤；若假真，则实数满足(\\(＜，＞或＜－，))即＜－.综上所述，实数的取值范围为(－∞，－)∪[]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校．(·姜堰中学检测)设：函数()＝－－在区间[－]上单调递减；：方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆．如果∨为真命题，∧为假命题，则实数的取值范围是．解析：若为真，由函数()＝－－在区间[－]上单调递减，得′()＝－≤在区间[－]上恒成立，即≥，当－≤≤时，≤，则≥；若为真，由方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，得(\\(－＞，－＞，－＞－，))解得＜＜.如果∨为真命题，∧为假命题，则，一真一假，若真假，则(\\(≥，≥或≤，))得≥；若假真，则(\\(＜，＜＜，))得＜＜，综上，实数的取值范围是()∪[，＋∞)．答案：()∪[，＋∞)．(·宿迁中学月考)已知命题：∃∈，＋≤，：∀∈，－＋＞，若∨为假命题，则实数的取值范围是．解析：因为∨为假命题，所以，都是假命题．由：∃∈，＋≤为假命题，得綈：∀∈，＋＞为真命题，所以≥.由：∀∈，－＋＞为假命题，得綈：∃∈，－＋≤为真命题，所以Δ＝(－)－≥，解得≤－或≥.综上，可得≥.答案：[，＋∞)命题点一集合及其运算.(·江苏高考)已知集合＝{}，＝{，＋}．若∩＝{}，则实数的值为．解析：因为＋≥，所以由∩＝{}，得＝，即实数的值为.答案：．(·江苏高考)已知集合＝{－}，＝{－＜＜}，则∩＝.解析：在集合中满足集合中条件的元素有－两个，故∩＝{－}．答案：{－}．(·江苏高考)已知集合＝{}，＝{}，则集合∪中元素的个数为．解析：因为＝{}，＝{}，所以∪＝{}，所以∪中元素个数为.答案：．(·浙江高考改编)已知全集＝{}，＝{}，则∁＝.解析：∵＝{}，＝{}，∴∁＝{}．答案：{}．(·北京高考改编)已知集合＝{＜}，＝{－，}，则∩＝.解析：∵＝{＜}＝{－＜＜}，＝{－}，∴∩＝{}．答案：{}．(·全国卷Ⅰ改编)已知集合＝{}，＝{－，－}，则∩＝.解析：∩＝{}∩{－，－}＝{}．答案：{}命题点二充分条件与必要条件．(·浙江高考改编)已知等差数列{}的公差为，前项和为，则“＞”是“＋＞”的条件．解析：因为{}为等差数列，所以＋＝＋＋＋＝＋＝＋，＋－＝，所以＞⇔＋＞.答案：充要．(·天津高考改编)设∈，则“＞”是“＞”的条件．解析：由＞⇒＞⇒＞，反之不成立，故“＞”是“＞”的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·天津高考改编)设∈，则“＜”是“＜”的条件．解析：由＜，得＜＜，则＜＜，即“＜”⇒“＜”；由＜，得＜，当≤时，≥，即“＜”“＜”．所以“＜”是“＜”的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·上海高考)设∈，则“＞”是“＞”的条件．解析：由＞可得＞，由＞可得＞或＜－.所以“＞”是“＞”的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·天津高考改编)设{}是首项为正数的等比数列，公比为，则“＜”是“对任意的正整数，－＋＜”的条件．解析：设数列{}的首项为，则－＋＝－＋－＝－(＋)＜，即＜－，故＜是＜－的必要不充分条件．答案：必要不充分命题点三命题及其真假性．(·全国卷)下面是关于复数＝的四个命题：：＝，：＝，：的共轭复数为＋，：的虚部为－.其中的真命题为．解析：因为复数＝＝－－，所以＝，＝(－－)＝(＋)＝，的共轭复数为－＋，的虚部为－，综上可知，是真命题．答案：，．(·山东高考改编)设∈，命题“若＞，则方程＋－＝有实根”的逆否命题是．解析：根据逆否命题的定义，命题“若＞，则方程＋－＝有实根”的逆否命题是“若方程＋－＝没有实根，则≤”．答案：若方程＋－＝没有实根，则≤命题点四全称量词和存在量词．(·全国卷Ⅰ改编)设命题：∃∈，＞，则綈为．解析：因为“∃∈，()”的否定是“∀∈，綈()”，所以命题“∃∈，＞”的否定是“∀∈，≤”．答案：∀∈，≤．(·浙江高考改编)命题“∀∈，∃∈*，使得≥”的否定形式是．解析：由于存在性命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是存在性命题，所以“∀∈，∃∈*，使得≥”的否定形式为“∃∈，∀∈*，使得＜”．答案：∃∈，∀∈*，使得＜．(·山东高考)若“∀∈，≤”是真命题，则实数的最小值为．解析：由题意，原命题等价于≤在区间上恒成立，即＝在上的最大值小于或等于，又＝在上的最大值为，所以≥，即的最小值为.答案：。

第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合及其运算考纲展示►1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．5．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及运算．考点1 集合的基本概念元素与集合(1)集合元素的特性：________、________、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作________；若b不属于集合A，记作________．(3)集合的表示方法：________、________、图示法．(4)常见数集及其符号表示：集合表示的两个误区：集合的代表元素；图示法．(1)已知集合A＝{y|y＝sin x}，B＝{x|y＝sin x}，则A∩B＝________.答案：[－1,1]解析：集合A表示的是函数y＝sin x的值域，即A＝[－1,1]；集合B表示的是函数y ＝sin x的定义域，即B＝R，所以A∩B＝[－1,1]．(2)设全集U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为________．答案：{x |1≤x <2}解析：图中阴影部分可用(∁U B )∩A 表示，故(∁U B )∩A ＝{x |1≤x <2}．解决集合问题的两个方法：列举法；图示法．(1)若集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∩B 的子集的个数为________． 答案：4解析：A ∩B ＝{1,3}，其子集分别为∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个．(2)[2018·北京卷改编]若集合A ＝{x |－5＜x ＜2}，B ＝{x |－3＜x ＜3}，则A ∩B ＝________.答案：{x |－3＜x ＜2}解析：在数轴上画出表示集合A ，B 的两个区间，观察可知A ∩B ＝{x |－3＜x ＜2}．[典题1] (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9[答案] C[解析] ∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B 中有5个元素．(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B ．98 C ．0 D ．0或98[答案] D[解析] 当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.(3)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2[答案] C[解析] 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则b a＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2.(4)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． [答案] －32[解析] 由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m＝3，故m ＝－32.[点石成金] 与集合中的元素有关问题的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．考点2 集合间的基本关系集合间的基本关系∅B且B≠∅任何非空集合中的两个易混结论：集合中元素的个数；集合的子集的个数．(1)[2018·江苏卷]已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．答案：5解析：因为A∪B＝{1,2,3,4,5}，所以A∪B中元素的个数为5.(2)集合A＝{1,4,7,10,13,16,19,21}，则集合A有________个子集、________个真子集、________个非空子集、________个非空真子集．答案：2828－1 28－1 28－2解析：因为集合A中有8个元素，所以集合A有28个子集，28－1个真子集，28－1个非空子集，28－2个非空真子集．[典题2] (1)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P[答案] C[解析] 因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁R P＝{y|y>1}，所以∁R P⊆Q，故选C.(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B 的集合C的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] D[解析] 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2， ∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－∞，3] [解析] ∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． [题点发散1] 在本例(3)中，若A ⊆B ，如何求解？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅.[题点发散2] 若将本例(3)中的集合A ，B 分别更换为A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，如何求解？解：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4＜0， 解得－2＜m ＜2；②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．[点石成金] 1.集合间基本关系的两种判定方法和一个关键2．根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到.1.设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有( )A．6个B．5个C．4个D．3个答案：A解析：由题意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．2．[2019·广西南宁模拟]已知集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|x>a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)C．[3，＋∞)D．(3，＋∞)答案：A解析：M＝{x|(x－3)(x＋1)<0}＝(－1,3)，又M⊆N，因此有a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1]．考点3 集合的基本运算集合的基本运算(1)三种基本运算的概念及表示：{x |________}{x |________}∁ A ＝________________①A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . ②A ∩A ＝________，A ∩∅＝________. ③A ∪A ＝________，A ∪∅＝________. ④A ∩(∁U A )＝________，A ∪(∁U A )＝________， ∁U (∁U A )＝________.⑤A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅. 答案：(1)A ∪B A ∩B ∁U A x ∈A ，或x ∈Bx ∈A ，且x ∈B {x |x ∈U ，且x ∉A }(2)②A ∅ ③A A ④∅ U A(1)[教材习题改编]满足{0,1}⊆A 的集合A 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：C解析：A 中包含元素0,1，还有集合{2,3}真子集中的元素，{2,3}的真子集有22－1＝3(个)．(2)[教材习题改编]已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |ax －1＝0}，且A ∪B ＝A ，则a 的值可为________．答案：1或12或0解析：A ∪B ＝A ⇒BA ，若B ＝∅，则a ＝0；若1∈B ⇒a ＝1；若2∈B ⇒a ＝12.集合中两组常用结论：集合间的基本关系；集合的运算． (1)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅. (2)(∁U A )∩(∁U B )＝________，(∁U A )∪(∁U B )＝________. 答案：∁U (A ∪B ) ∁U (A ∩B )解析： 设x ∈∁U (A ∪B )，则x ∉A ∪B ，得x ∉A 且x ∉B ，即x ∈∁U A 且x ∈∁U B ，即x ∈(∁U A )∩(∁U B)，即∁U(A∪B)⊆(∁U A)∩(∁U B)；反之，当x∈(∁U A)∩(∁U B)时，得x∈∁U A且x∈∁U B，得x∉A 且x∉B，则x∉A∪B，所以x∈∁U(A∪B)，即∁U(A∪B)⊇(∁U A)∩(∁U B)．根据集合相等的定义，得∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．同理可证另一结论．[考情聚焦] 有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题，集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生灵活处理问题的能力．主要有以下几个命题角度：角度一离散型数集间的交、并、补运算[典题3] [2019·湖南株洲模拟]设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{2,4}，B＝{y|y ＝log3(x－1)，x∈A}，则集合(∁U A)∩(∁U B)＝( )A．{0,4,5,2} B．{0,4,5}C．{2,4,5} D．{1,3,5}[答案] D[解析] 由题意知B＝{0,2}，∴∁U A＝{0,1,3,5}，∁U B＝{1,3,4,5}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{1,3,5}．角度二连续型数集间的交、并、补运算[典题4] (1)设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{x|－3<x<－1} B．{x|－3<x<0}C．{x|－1≤x＜0} D．{x|x<－3}[答案] C[解析] 因为A＝{x|x(x＋3)<0}＝{x|－3<x<0}，∁U B＝{x|x≥－1}，阴影部分为A∩(∁U B)，所以A∩(∁U B)＝{x|－1≤x<0}，故选C.(2)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝________，A∩B＝________.[答案] {x |－1<x <3} {x |1<x <2}[解析] ∵A ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0}＝{x |－1<x <2}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <3}，A ∩B ＝{x |1<x <2}．(3)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2＋2x ＋6，x ∈R }，则A ∩B ＝__________.[答案] {y |－1≤y ≤7}[解析] ∵y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，y ＝－x 2＋2x ＋6＝－(x －1)2＋7≤7， ∴A ＝{y |y ≥－1}，B ＝{y |y ≤7}， 故A ∩B ＝{y |－1≤y ≤7}．[题点发散1] 本例(3)中，若集合A 变为“A ＝{x |y ＝x 2－2x ，x ∈R }”，其他条件不变，求A ∩B .解：因为A 中元素是函数自变量，则A ＝R ， 而B ＝{y |y ≤7}，则A ∩B ＝{y |y ≤7}．[题点发散2] 本例(3)中，若集合A ，B 中元素都为整数，求A ∩B . 解：由(3)可知A ∩B ＝{y |－1≤y ≤7}，则当A ，B 中元素都为整数时，A ∩B ＝{－1,0,1,2,3,4,5,6,7}． [题点发散3] 本例(3)中，若集合A ，B 不变，试求(∁R A )∪(∁R B )． 解：∵A ＝{y |y ≥－1}，B ＝{y |y ≤7}， ∴∁R A ＝{y |y ＜－1}，∁R B ＝{y |y ＞7}， 故(∁R A )∪(∁R B )＝{y |y ＜－1或y ＞7}．[题点发散4] 本例(3)中，若集合A ，B 变为“A ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋6，x ∈R }”，求A ∩B .解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x ，y ＝－x 2＋2x ＋6⇒x 2－2x －3＝0，解得x ＝3或x ＝－1.于是，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，故A ∩B ＝{(3,3)，(－1,3)}． 角度三根据集合的运算结果求参数[典题5] (1)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁UA )∩B ＝∅，则m 的值是________．[答案] 2[解析] ∵(∁U A )∩B ＝∅，∴B ⊆A . 又A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}＝{－1，－2}，∴－1和－2是方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根． ∴m ＝2.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0}，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m (m －3)≤0，m ∈R }，若A ∩B ＝[2,4]，则实数m ＝________.[答案] 5[解析] 由题知A ＝[－2,4]，B ＝[m －3，m ]， 因为A ∩B ＝[2,4]，故⎩⎪⎨⎪⎧m －3＝2，m ≥4，则m ＝5.[点石成金] 解决集合的基本运算问题，从三点入手(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(如角度一)(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况．(如角度二)(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．(如角度三)角度四 新定义集合问题[典题6] (1)若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31[答案] B[解析] 具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2， ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.(2)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－94，x ∈R，B ＝{x |x <0，x ∈R }，则A ⊕B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞) [答案] C[解析] 依题意得A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B －A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－94，x ∈R，故A ⊕B ＝⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞)．[点石成金] 解决集合的新定义问题，从两点入手(1)正确理解创新定义．这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.[方法技巧] 1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．2．求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意以下结论的应用：含有n 个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn 图求解．[易错防范] 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．2．在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．3．Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．真题演练集训1．[2018·新课标全国卷Ⅰ]设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3答案：D解析：由题意得，A ＝{x |1<x <3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32，则A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.故选D.2．[2018·新课标全国卷Ⅱ]已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}答案：C解析：由已知可得B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，∴ A ∪B ＝{0,1,2,3}，故选C.3．[2018·新课标全国卷Ⅲ]设集合S ＝{x |(x －2)·(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞，2]∪[3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞) 答案：D解析：集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0,2]∪[3，＋∞)． 4．[2018·新课标全国卷Ⅱ]已知集合A ＝{－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}答案：A解析：由题意知B ＝{x |－2<x <1}，所以A ∩B ＝{－1,0}．故选A.5．[2017·新课标全国卷Ⅰ]已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,1]D ．[1,2)答案：A解析：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A.6．[2017·新课标全国卷Ⅱ]设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( ) A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}答案：D解析：N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．课外拓展阅读集合运算问题的三种解题模板集合的基本运算包括交集、并集、补集，是历年高考必考的内容．解决集合的基本运算问题，要先明确集合中元素的特征，求出每个集合，然后理清几个集合之间的关系，最后利用列举法或借助数轴、Venn图等进行基本运算，从而得出结果．方法一列举法列举法就是通过枚举集合中所有的元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法．此种方法适用于数集的有关运算以及集合的新定义运算问题，其基本的解题步骤是：(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法写出所求集合中的所有元素．[典例1] 设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y ∈A∪B}，则A*B中元素的个数是( )A．7 B．10C．25D．52[思路分析][答案] B[解析] 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：所以A*B中的元素共有10个．方法二数形结合法数形结合法就是利用数轴或Venn图或平面直角坐标系中的图象表示出相关集合，然后根据图形求解集合的补集或者进行相关集合的交集、并集的基本运算．其求解的基本步骤是：(1)画图形：根据题设条件给出的几何意义，画出与集合对应的几何图形或函数图象．(2)定区域：利用数轴、韦恩(Venn)图或直角坐标系中的函数图象确定集合运算所表示的平面区域．(3)求结果：根据图形确定相关运算的结果或区域所表示的几何图形的面积．[典例2] 若集合A＝{x|y＝1－|x|}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝( )A．{x|－1≤x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1}D．∅[思路分析][答案] C[解析] 因为集合A表示函数y＝1－|x|中x的取值范围，即该函数的定义域，由1－|x|≥0得－1≤x≤1，即A＝{x|－1≤x≤1}，又集合B表示函数y＝x2在定义域R上的值域，由x2≥0得B＝{y|y≥0}，所以结合数轴，如图所示阴影部分，可得A∩B＝{x|0≤x≤1}．方法三特值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主，所以我们可以利用特值法解题，即根据选项之间的明显差异，选择一些特殊元素进行检验排除，从而得到正确选项．其求解的基本步骤如下：(1)辨差异：分析各选项，辨别各选项的差异．(2)定特殊：根据选项的差异，选定一些特殊的元素．(3)验排除：将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项．(4)定结果：根据排除的结果确定正确的选项．[典例3] [2019·河北衡水中学模拟]已知U为全集，集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|2<x<4}，那么集合B∩(∁U A)＝( )A．{x|－1≤x≤4}B．{x|2<x≤3}C．{x|2≤x<3} D．{x|－1<x<4}[思路分析]比较选项―→抛同求异―→定特值―→检验排除―→定结果[答案] B[解析] A项与D项的不同之处在于元素－1,4是否属于该集合；B项与C项的区别在于2与3是否属于该集合．A，D与B，C的区别可通过检验0是否属于该集合来判断．因为0∉B，所以0∉B∩(∁U A)，故可排除A，D；因为2∉B，所以2∉B∩(∁U A)，故可排除C.归纳总结用特值法求解集合运算问题的关键在于根据各选项的差异灵活选择适当的特殊元素，然后根据特殊元素与各集合的关系检验其是否满足运算，从而排除选项．忽视空集是任何集合的子集勿忘空集和集合本身．由于∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记．[典例4] 已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( )A ．[－1,2)B ．[－1,3]C ．[2，＋∞)D ．[－1，＋∞)[错解] 由x 2－x －12≤0，得 (x ＋3)(x －4)≤0， 即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，解得－1≤m ≤3.故选B.[剖析] 集合B 为不等式2m －1<x <m ＋1的解集，但m 的取值不同，解集也不同．当m ＋1≤2m －1时，集合B 为空集，而空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集，求解时应分B ＝∅和B ≠∅两种情况，结合数轴，讨论求解．[正解] 由x 2－x －12≤0，得 (x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .(1)当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． [答案] D 易错提醒当题目中出现A ⊆B 或A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B 时，在解题过程中务必注意对集合A 进行分类讨论，即分A ＝∅和A ≠∅两种情况进行讨论，并注意端点值的检验．§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件考纲展示► 1.理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．考点1 命题及其相互关系1.命题2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于________，原命题的否命题等价于________．在四种形式的命题中真命题的个数只能是________．答案：(1)若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p(2)逆否命题逆命题0,2,4(1)[教材习题改编]命题“若m＜0，则方程x2＋x－2m＝0有实根”的否命题是_______________________________________________．答案：若m≥0，则方程x2＋x－2m＝0无实根(2)[教材习题改编]“若a，b都是偶数，则ab必是偶数”的逆否命题为___________________________________________________．答案：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数命题中的易错点：对条件、结论的否定不当．“单调函数不是周期函数”的逆否命题是___________________________________________________________________________.答案：周期函数不是单调函数解析：原命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，简化为“周期函数不是单调函数”．[典题1] (1)命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是( )A．若a>b，则a－1≤b－1B．若a>b，则a－1<b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a<b，则a－1<b－1[答案] C[解析] 根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．(2)[2019·宁夏银川模拟]命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是( )A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0[答案] D[解析] 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.(3)已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题[答案] D[解析] 由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，∴其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．[点石成金] 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点2 充分条件、必要条件的判定充要条件答案：充分必要充分不必要真子集必要不充分真子集充要A＝B既不充分也不必要包含1.充要条件的易混点：混淆条件的充分性和必要性．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件．答案：必要不充分解析：x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1；反之，由x＝1可得x(x－1)＝0.故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．2．充要条件的易错点：否定形式下充分条件、必要条件判断错误．“a≠b”是“a2≠b2”的________条件．答案：必要不充分解析：由a≠b不能得到a2≠b2，但由a2≠b2一定得出a≠b，故为必要不充分条件．1.充分、必要条件的判断方法：定义判断法；集合判断法．(1)[2019·浙江卷改编]设四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的________条件．答案：充分不必要解析：若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定为菱形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．(2)[2018·安徽卷改编]设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的________条件．答案：必要不充分解析：因为p：x＜3，q：－1＜x＜3，所以q⇒p，但p⇒/q，所以p是q成立的必要不充分条件．2．充要条件的两个结论：传递性；等价性．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的________条件．答案：充分不必要解析：根据充分条件的概念可知，p⇒q，q⇒r，则p⇒r.又因为q⇒/p，r⇒/q，则r⇒/p，所以p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的________条件答案：充分不必要解析：因为原命题和它的逆否命题是等价命题，所以綈q是綈p的充分不必要条件．[典题2] (1)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] |x－2|<1⇔1<x<3，x2＋x－2>0⇔x>1或x<－2.由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件．(2)若p是綈q的充分不必要条件，则綈p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] ∵p是綈q的充分不必要条件，∴綈q是p的必要不充分条件．∴綈p是q的必要不充分条件，故选B.(3)已知a，b∈R，下列四个条件中，使a>b成立的必要不充分的条件是( )A．a>b－1 B．a>b＋1C．|a|>|b| D．2a>2b[答案] A[解析] 因为a>b⇒a>b－1，但a>b－1⇒/ a>b，故A是a>b的必要不充分条件；B是a>b的充分不必要条件；C是a>b的既不充分也不必要条件；D是a>b的充要条件．[点石成金] 充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．①綈q是綈p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；②綈q是綈p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；③綈q是綈p的充要条件⇔p是q的充要条件.1.[2019·山东淄博模拟]“a＝2”是“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：“a＝2”⇒“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不成立．2．[2019·河北武邑中学高三上期中]设a，b∈R，则“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：若“(a－b)a2≥0”，则“a≥b”不成立，故“(a－b)a2≥0”不是“a≥b”的充分条件；若“a≥b”，则“(a－b)a2≥0”成立，故“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的必要条件，故选B.考点3 充分条件、必要条件的应用[典题3] (1)[2019·江西南昌模拟]已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m ＞0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( )A．[21，＋∞)B．[9，＋∞)C．[19，＋∞)D．(0，＋∞)[答案] B[解析] 条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，又因为p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[答案] [0,3][解析] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． [题点发散1] 本例(2)条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[题点发散2] 本例(2)条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/ P . ∴[－－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10，∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[点石成金] 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验.1.已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－3，＋∞) D ．(－∞，－3)答案：A解析：解法一：设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1.解法二：令a ＝－3，则q ：x >－3，则由命题q 推不出命题p ，此时q 不是p 的充分条件，排除B ，C ；同理，取a ＝－4，排除D.故选A.2．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 答案：D解析：由|x －m |<1得m －1<x <1＋m ，又因为|x －m |<1的充分不必要条件是13<x <12，借助数轴，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，m ＋1≥12，解得－12≤m ≤43.[方法技巧] 1.判断四种命题间关系的方法写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p ，则q ”“若q ，则p ”的真假即可．(2)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．[易错防范] 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的语言．真题演练集训1．[2018·山东卷]设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案：D解析：根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.2．[2018·北京卷]设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βD⇒/α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．3．[2018·重庆卷]“x＞1”是“log1(x＋2)＜0”的( )2A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：∵ x ＞1⇒log 12 (x ＋2)＜0，log 12 (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，∴ x ＞1是log 12(x ＋2)＜0的充分而不必要条件．4．[2018·四川模拟]设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：取x ＝y ＝0满足条件p ，但不满足条件q ，反之，对于任意的x ，y 满足条件q ，显然必满足条件p ，所以p 是q 的必要不充分条件，故选A.课外拓展阅读根据充要条件求参数取值范围的方法1．解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式(组)求解；有时也采用等价转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决．2.在解求参数的取值范围的题目时，一定要注意区间端点值的检验，在利用集合关系列不等式时，不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解．[典例] 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．[答案] [9，＋∞) [解析] 解法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴綈p 对应的集合为{x |x >10或x <－2}， 设A ＝{x |x >10或x <－2}． 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，∴綈q 对应的集合为{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}， 设B ＝{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}． ∵綈p 是綈q 的必要而不充分的条件，∴B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，且不能同时取得等号，解得m ≥9，∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)． 解法二：∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件， ∴q 是p 的必要而不充分条件， 即p 是q 的充分而不必要条件． 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得 1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}， 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}， 又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}， 设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分而不必要条件知N M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，且不能同时取等号，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．。

2020年高考数学（新高考创新题型）之 1.集合与常用逻辑用语（含精析）一、选择题。

1．用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B=⎩⎨⎧<-≥-)()(),()()()(),()(B C A C A C B C B C A C B C A C .若A ={1,2},B=}0)2()(|{22=++⋅+ax x ax x x ，且A*B=1，设实数a 的所有可能取值集合是S ，则C(S)=( )A.4B.3C.2D.12．下列命题：①△ABC 的三边分别为c b a ,,则该三角形是等边三角形的充要条件为bc ac ab c b a ++=++222；②数列{}n a 的前n 项和为n S ，则Bn An S n +=2是数列{}n a 为等差数列的必要不充分条件；③在△ABC 中，A ＝B 是sin A ＝sin B 的充分必要条件；④已知222111,,,,,c b a c b a 都是不等于零的实数，关于x 的不等式01121>++c x b x a 和02222>++c x b x a 的解集分别为P ，Q ，则212121c c b b a a ==是Q P =的充分必要条件，其中正确的命题是( )A ．①④B ．①②③C ．②③④D ．①③3．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：≥+()F x kx b 和≤+()G x kx b 恒成立，则称此直线=+y kx b 为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数=∈=<=21()(),()(0),()2ln f x x x R g x x h x e x x．有下列命题：①=-()()()F x f x g x 在∈(x 内单调递增;②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”, 且b 的最小值为-4; ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”, 且k 的取值范围是-(4,0];④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”=-y e ． 其中真命题的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为()P A ，用()n A 表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A ，都有()A P A ∈；②存在集合A ，使得()3n P A =⎡⎤⎣⎦； ③用∅表示空集，若A B =∅，则()()P A P B =∅；④若A B ⊆，则()()P A P B ⊆；⑤若()n A -()1n B =，则()()2n P A n P B =⨯⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦其中正确的命题个数为( )A.4B.3C.2D.15．已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={1(x,y )|y x=}； ②M={1(x,y )|y sin x =+}； ③M={2(x,y )|y log x =}； ④M={2x(x,y )|y e =-}． 其中是“垂直对点集”的序号是( ) A.①② B.②④ C.①④ D.②③二、填空题。

1.1。

3 集合的基本运算第1课时交集和并集学习目标核心素养1.理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点) 2．能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)1.通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．2．借助维恩图培养直观想象的素养．某班有学生20人,他们的学号分别是1，2，3,…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b。

问题（1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？（2）问至少读过一本书的有哪些同学?1．交集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素）组成的集合,称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”符号语言A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝图形语言错误!错误!（3）A B，则A∩B＝A错误!错误对于“A∩B＝｛x｜x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B 的公共元素都属于A∩B。

这就是文字定义中“所有"二字的含义，如A＝{1，2,3},B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3},而不是{2｝或{3}．（2）任意两个集合并不是总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝。

（3）当A＝B时，A∩B＝A和A∩B＝B同时成立．2．并集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”符号语言A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B}图形语言用维恩图表示有以下几种情况（阴影部分即为A与B 的并集)：①A B，A∪B＝B错误!错误!错误!错误!思考：(1)“x∈A或x∈B"包含哪几种情况？（2）集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和?［提示]（1）“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x B；x∈B，但x A；x∈A，且x∈B。

第1讲 集合的概念与运算1．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝(D)A ．(－3，－32)B ．(－3，32)C ．(1，32)D ．(32，3)(1)先化简集合A ，B ，再利用交集定义求解．因为x 2－4x ＋3<0，所以1<x <3，所以A ＝{x |1<x <3}．因为2x －3>0，所以x >32，所以B＝{x |x >32}．所以A ∩B ＝{x |32<x <3}．故选D.2．(2016·山东卷)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1＜0}，则A ∪B ＝(C) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)由已知得A ＝{y |y ＞0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则A ∪B ＝{x |x ＞－1}．故选C. 3．(2018·武汉调研测试)已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax ＝1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值集合为(D)A ．{1}B ．{－1，1}C ．{1，0}D ．{1，－1，0}M ＝{x |x 2＝1}＝{－1，1}，又N ⊆M ，则N ＝{－1}，{1}，∅满足条件，所以a ＝1，－1，0，即实数a 的取值集合为{1，－1，0}． 4．(2018·佛山一模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－2x ＞0}，则图中阴影部分表示的集合为(A)A ．{0，1，2}B ．{1，2}C ．{3，4}D ．{0，3，4}因为B ＝{x |x 2－2x ＞0}＝{x |x ＞2或x ＜0}， 所以∁U B ＝{x |0≤x ≤2}，所以图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{0，1，2}．5．(2018·合肥高三质量检测)设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则集合M 中元素个数为(B)A ．3B ．4C ．5D ．6因为M ＝{5，6，7，8}，所以M 中元素的个数为4. 6．(2016·天津卷)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝ {1,4} .因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1； 当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4； 当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7； 当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10. 即B ＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．7．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x |x 2＋mx ＝0，x ∈U }，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝ －3 .因为∁U A ＝{1,2}，所以A ＝{0,3}，所以m ＝－3. 8．已知M ＝{x |－2≤x ≤5}，N ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}． (1)若a ＝3时，则M ∪(∁R N )＝ R ；(2)若N ⊆M ，则实数a 的取值范围为 (－∞，3] .(1)当a ＝3时，N ＝{x |4≤x ≤5}，所以∁R N ＝{x |x <4或x >5}．所以M ∪(∁R N )＝R .(2)①当2a －1<a ＋1，即a <2时，N ＝∅，此时满足N ⊆M . ②当2a －1≥a ＋1，即a ≥2时，B ≠∅，由N ⊆M ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a －1≤5，所以2≤a ≤3.综上，实数a 的取值范围为(－∞，3]．9．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是(B)A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)由x －x 2>0，得0<x <1，所以A ＝(0,1)，由x 2－cx <0，且c >0，得0<x <c ，所以B ＝(0，c )， 因为A ⊆B ，所以c ≥1.10．(2018·福州期末)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{x ∈R |12a ≤x ≤2a －1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是(A)A ．[1，＋∞)B ．[12，1]C ．[23，＋∞) D ．(1，＋∞)因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．11．(2018·北京卷)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y ＞4，x －ay ≤2}，则(D)A ．对任意实数a ，(2，1)∈AB ．对任意实数a ，(2，1)∉AC ．当且仅当a ＜0时，(2，1)∉AD ．当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A若点(2，1)∈A ，则不等式x －y ≥1显然成立，且同时要满足⎩⎨⎧≤->+,22,412a a 即⎪⎩⎪⎨⎧≥>,0,23a a 解得a >32.即点(2，1)∈A ⇒a >32，其等价命题为a ≤32⇒点(2，1)∉A 成立．12．(2019·海南二校联考)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为__7__人．设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如图．设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15－x )人，只喜爱乒乓球的有(10－x )人，由此可得(15－x )＋(10－x )＋x ＋8＝30，解得x ＝3.所以10－x ＝7，即所求人数为7人．第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件1．(2018·肇庆模拟)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的逆命题是(C) A ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b D ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c2．(2017·天津卷)设θ∈R ，则“|θ－π12|＜π12”是“sin θ＜12”的(A)A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件因为|θ－π12|＜π12，所以－π12＜θ－π12＜π12，即0＜θ＜π6.显然0＜θ＜π6时，sin θ＜12成立．但sin θ＜12时，由周期函数的性质知0＜θ＜π6不一定成立．故0＜θ＜π6是sin θ＜12的充分而不必要条件．3．(2018·衢州期末)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是(D) A ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 C ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数其逆否命题为：若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数．4．“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的(B)A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件因为x ＞1⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，所以x ＞1是log 12(x＋2)＜0的充分而不必要条件．5．(2018·广西柳州联考)已知p ：0<a <4，q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的值恒为正，则p 是q 的(A)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件对于q ，当a ＝0时，函数y ＝ax 2－ax ＋1＝1>0； 当a ≠0时，函数y ＝ax 2－ax ＋1的值恒正需满足： ⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，得0<a <4， 综上，a ∈[0,4)． 由，得p 是q 的充分不必要条件．6．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为 若a ≤b ，则2a ≤2b －1 .7．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ⊆B ”的 充分不必要条件 条件．8．f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围为 (3，＋∞) .依题意P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}，因为f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，需2－t <－1，解得t >3，所以实数t 的取值范围是(3，＋∞)．9．(2018·武汉调研测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：a ≤b ＋c2，条件q ：A ≤B ＋C2，那么条件p 是条件q 成立的(A)A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件条件q ：A ≤B ＋C 2⇔A ≤π－A 2⇔A ≤π3.条件p ：a ≤b ＋c 2⇒cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥b 2＋c 2－（b ＋c 2）22bc ＝3b 2＋3c 2－2bc 8bc ≥12⇒0<A ≤π3.所以p ⇒q ，但q ≠> p .如A ＝60°，a ＝3，b ＝1，c ＝2，不能得到a ≤b ＋c2.所以p 是q 的充分不必要条件．10．(2018·聊城期末)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是(B)A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)因为3x ＋1<1，所以3x ＋1－1＝2－x x ＋1<0，即(x －2)(x ＋1)>0，所以x >2或x <－1.记A ＝{x |x ≥k }，B ＝{x |x >2或x<－1}，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，所以k >2. 11. (2018·抚州七校联考)下列选项中，说法正确的是(D) A ．若a >b >0，则ln a <ln bB ．向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2m －1)(m ∈R )垂直的充要条件是m ＝1C ．命题“∀n ∈N *,3n >(n ＋2)·2n －1”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2n －1” D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题对于A ，因为y ＝ln x (x >0)是增函数，所以若a >b >0，则ln a >ln b ，故A 错误； 对于B ，若a ⊥b ，即(1，m )·(m,2m －1)＝0， 则m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0，故B 错误；对于C ，命题“∀n ∈N *,3n >(n ＋2)·2n －1”的否定是“∃n ∈N *,3n ≤(n ＋2)·2n －1”，故C 错误；对于D ，“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为“若f (x )在区间(a ，b )至少有一个零点，则f (a )·f (b )<0”是假命题．如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象连续不断，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f (－2)f (4)>0.故D 正确．12．(2016·浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f [f (x )]的最小值与f (x )的最小值相等”的(A)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件因为f (x )＝x 2＋bx ＝(x ＋b 2)2－b 24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b24，又f [f (x )]＝[f (x )]2＋bf (x )＝[f (x )＋b 2]2－b 24，当f (x )＝－b 2时，f [f (x )]min ＝－b24，当－b 2≥－b 24时，f [f (x )]可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b ＜0”是“f [f (x )]的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．(2018·蚌埠三模)命题“∃x 0∈R ，使得ex 0>2x 30”的否定是(C)A ．∃x 0∉R ，e x 0>2x 30B ．∃x 0∈R ，e x 0≤2x 30 C ．∀x ∈R ，e x ≤2x 3 D ．∀x ∉R ，e x >2x 3 2．(2016·浙江卷)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是(D) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．3．(2017·兰州市高考诊断考试)下列命题中，真命题为(D)A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．已知a ，b 为实数，则a >1，b >1是ab >1的充分不必要条件选项A 为假命题，理由是对∀x ∈R ，e x >0. 选项B 为假命题，不妨取x ＝2，则2x ＝x 2.选项C 为假命题，当b ＝0时，由a ＋b ＝0推不出ab＝－1.选项D 为真命题，若a >1，b >1，则ab >1，反之不成立，如a ＝3，b ＝12，故a >1，b >1是ab >1的充分不必要条件．故选D. 4.(2018·深圳一模)设有下面四个命题： p 1：∃n ∈N ，n 2>2n ；p 2：x ∈R ，x >1是x >2的充分不必要条件；p 3：命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是“若sin x ≠sin y ，则x ≠y ”； p 4：p ∨q 是真命题，则p 一定是真命题． 其中真命题是(D) A. p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3因为32>23，所以p 1为真命题；因为x >1≠> x >2，所以p 2为假命题；p 3为真命题；因为当q 为真命题，p 为假命题时，p ∨q 也是真命题．所以p 4为假命题．由此可知p 1，p 3为真命题．5．(2017·豫西五校4月联考)若定义在R 上的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是(C)A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0)由题意知，∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )是假命题，则其否定为真命题，即∃x 0∈R ， f (－x 0)≠f (x 0)为真命题． 6．(2018·广州市一模)已知下列四个命题：p 1：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α；p 2：若f (x )＝2x －2－x ，则∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )；p 3：若f (x )＝x ＋1x ＋1，则∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)＝1；p 4：在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B . 其中真命题的个数是(B) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4平面的斜线l 和平面内无数条平行直线垂直，p 1为假命题．因为f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以p 2为真命题． 因为当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2(x ＋1)·1x ＋1－1＝1，取等号的条件为x ＋1＝1x ＋1，得到x ＝0∉(0，＋∞)，所以当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>1，不存在x 0，满足f (x 0)＝1，p 3为假命题． 在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，所以p 4为真命题． 故p 2和p 4为真命题，真命题个数为2.7．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是 对任意的x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0 .8．(2018·烟台期末)若“∀x ∈[0，π3]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为 3 .由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间[0，π3]上恒成立，即y ＝tan x 在[0，π3]上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在[0，π3]上的最大值为3，所以m ≥3，即m 的最小值为 3.9．(2017·张掖一诊)下列说法正确的是(A)A ．若a ∈R ，则“1a<1”是“a >1”的必要不充分条件B ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件C ．若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”， ﹁p 是真命题D ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”由1a <1，得a <0或a >1，反之，由a >1得1a <1. 所以“1a<1”是“a >1”的必要不充分条件，A 正确．由p ∧q 为真命题，知p ，q 均为真命题，所以p ∨q 为真命题．反之，由p ∨q 为真，得p 、q 至少有一个为真，但p ∧q 不一定为真．所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件．故B 不正确．因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2，所以p 是真命题，所以﹁p 是假命题．故C 不正确．命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”，故D 不正确．10．(2018·江西赣州第一次月考)已知命题p ：∀x ∈N *，(12)x ≥(13)x ，命题q ：∃x ∈N *,2x＋21－x＝22，则下列命题中为真命题的是(C)A. p ∧qB. （﹁p ）∧qC. p ∧（﹁q ）D. （﹁p ）∧﹁q ）对于命题p ：当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝x n (n ∈N *)是增函数， 因为12>13，所以(12)n ≥(13)n ，所以(12)x ≥(13)x ，故命题p 是真命题；对于命题q ：由 2x ＋21－x ＝22，得(2x )2－22·2x ＋2＝0，所以2x ＝2，则x ＝12，因为12∉N *，所以命题q 是假命题．所以p ∧（﹁q ）为真．11．若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定为真命题，则实数a 的取值范围为 [－2,2] .(方法1)由题意，命题“对任意实数x ，使x 2＋ax ＋1≥0”是真命题， 故Δ＝a 2－4×1×1≤0，解得－2≤a ≤2.(方法2)若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1>0，解得a >2或a <－2.故原命题实数a 的取值范围是取其补集，即[－2,2]． 12．(2018·华南师大附中模拟)设有两个命题：p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}； q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数a 的取值范围是__(0，12]∪(1，＋∞)__．p ：“关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}”为真命题⇔0<a <1.q ：“函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ”为真命题⇔ax 2－x ＋a >0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0⇔a >12.因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，所以p ，q 一真一假． 当p 为真，q 为假时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12⇔0<a ≤12.当p 为假，q 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >12⇔a >1.所以实数a 的取值范围是(0，12]∪(1，＋∞)．。

2023年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”考试要求 1.了解逻辑联结词、“且”、“或”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词.(2)命题p且q，p或q，非p的真假判断p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.3.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记任意x∈M，p(x)存在x0∈M，p(x0)否定存在x0∈M，非p(x0)任意x∈M，非p(x)1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p或q→见真即真，p且q→见假即假，p 与非p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“p或q”的否定是“(非p)且(非q)”，“p且q”的否定是“(非p)或(非q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题非(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)存在x0∈M，p(x0)与任意x∈M，非p(x)的真假性相反.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.命题p或q中，p，q有一真则真.(2)错误.p且q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.2.(2021·全国乙卷)已知命题p：存在x∈R，sin x<1；命题q：任意x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是()A.p且qB.(非p)且qC.p且(非q)D.非(p或q)答案A解析由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sin x<1，所以命题p为真命题.对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p 且q为真命题，故选A.3.(2017·山东卷)已知命题p：任意x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A.p且qB.p且(非q)C.(非p)且qD.(非p)且(非q)答案B解析由已知得p真，q假，故非q真，所以p且(非q)真，故选B.4.(易错题)命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则非p是________.答案所有三角形都不是等腰三角形5.(易错题)命题“任意x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围为________.答案[0，4)解析①当a＝0时，1>0恒成立；②当a≠0a>0，Δ＝a2－4a<0，∴0<a<4.综上0≤a<4.6.(2021·合肥调研)能说明命题“任意x∈R且x≠0，x＋1x≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可).答案－1(任意负数)解析当x>0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，当x<0时，x＋1x≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.考点一含有逻辑联结词的命题1.(2021·成都调研)已知命题p：函数y＝2sin x＋sin x，x∈(0，π)的最小值为22；命题q：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0.下列命题为真命题的是()A.(非p)且qB.p或qC.p且(非q)D.(非p)且(非q)答案D解析命题p：函数y＝2sin x＋sin x，x∈(0，π)，由基本不等式成立的条件可知，y>22sin x·sin x＝22，等号取不到，所以命题p是假命题.命题q：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以命题q是假命题.所以非p为真，非q为真.因此，只有(非p)且(非q)为真命题.2.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.(非p)或(非q)B.p且(非q)C.(非p)且(非q)D.p或q答案A解析命题p是“甲降落在指定范围”，则非p是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则非q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(非p)或(非q).3.(2022·洛阳质检)设a，b，c均为非零向量，已知命题p：a＝b是a·c＝b·c的必要不充分条件，命题q：x>1是|x|>1的充分不必要条件.则下列命题中为真命题的是()A.p且qB.p或qC.(非p)且(非q)D.p或(非q)答案B解析由a＝b⇒a·c＝b·c，但a·c＝b·c⇒/a＝b，故p为假命题.命题q：∵|x|>1，∴x>1或x<－1，∴由x>1⇒|x|>1，但|x|>1⇒/x>1，故q为真命题.故选B.4.(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________.①p1且p4②p1且p2③(非p2)或p3④(非p3)或(非p4)答案①③④解析p1是真命题，两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知非p2，非p3，非p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题.感悟提升 1.“p或q”，“p且q”，“非p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假.2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p与p的真假性相反.考点二全称量词与存在量词例1(1)(2021·江南十校联考)已知f(x)＝sin x－tan x，命题p：存在x0∈0，π2f(x0)<0，则()A.p是假命题，非p：任意x 0π2，f(x)≥0B.p是假命题，非p：存在x0∈0，π2f(x0)≥0C.p是真命题，非p：任意x 0，π2，f(x)≥0D.p是真命题，非p：存在x0∈0，π2f(x0)≥0(2)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.任意x∈R，f(－x)≠f(x)B.任意x∈R，f(－x)≠－f(x)C.存在x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.存在x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)答案(1)C(2)C解析(1)当x π4，π2sin x<1，tan x>1.此时sin x－tan x<0，故命题p为真命题.由于命题p为特称命题，所以命题p 的否定为全称命题，则非p 为：任意x f (x )≥0.(2)∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴存在x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题.感悟提升1.全称命题与特称命题的否定与一般命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“任意x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可.训练1(1)设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则非p 为()A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形(2)下列四个命题：p 1：存在x 0∈(0，＋∞)00；p 2：存在x 0∈(0，π)，sin x 0<cos x 0；p 3：任意x ∈R ，e x >x ＋1；p 4：任意x <log 13x .其中真命题是()A.p 1，p 3B.p 1，p 4C.p 2，p 3D.p 2，p 4答案(1)C(2)D解析(1)“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即非p 为有的正方形不是平行四边形.(2)对于p 1，当x 0∈(0，＋∞)00成立，故p 1是假命题；对于p 2，当x0＝π6时，sin x0<cos x0，故p2为真命题；对于p3，当x＝0时，e x＝x＋1，故p3为假命题；对于p4，结合指数函数y＝12与对数函数y＝log13x0，13上的图象(图略)可以判断p4为真命题.考点三由命题的真假求参数例2(1)已知命题p：任意x∈[1，2]，x2－a≥0；q：存在x0∈R，x20＋2ax0＋2－a ＝0，若(非p)且q是真命题，则实数a的取值范围是________________.(2)(经典母题)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)12－m，若对任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________.答案(1)(1，＋∞)(2)14，＋∞解析(1)∵(非p)且q是真命题，∴p假q真.p：任意x∈[1，2]，x2－a≥0为假命题，∴存在x∈[1，2]，x2－a<0为真命题，即a>x2成立，∴a>1.q：存在x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0为真命题，所以Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，∴a≥1或a≤－2.综上，a>1.(2)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.迁移本例(2)中，若将“存在x2∈[1，2]”改为“任意x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________.答案12，＋∞解析当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，对任意x1∈[0，3]，任意x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max，得0≥1 2－m，∴m≥1 2 .感悟提升 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.训练2(2022·许昌质检)已知p：关于x的方程e x－a＝0在(－∞，0)上有解；q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________.答案，12∪[1，＋∞)解析p真：a＝e x在(－∞，0)上有解，∴0<a<1.q真：ax2－x＋a>0在R上恒成立，当a＝0时，显然不成立；当a≠0>0，＝（－1）2－4a2<0，∴a>12.又p或q为真，p且q为假，∴p真q假或p假q真.当p真qa<1，≤12，∴0<a≤12，当p假q≤0或a≥1，>12，∴a≥1.∴0<a≤12或a≥1.1.(2021·成都诊断)已知命题p：对任意的x∈R，2x－x2≥1，则非p为()A.对任意的x∉R，2x－x2<1B.存在x∉R，2x－x2<1C.对任意的x∈R，2x－x2<1D.存在x∈R，2x－x2<1答案D解析p：任意x∈R，2x－x2≥1，∴非p：存在x∈R，2x－x2<1.2.“p且q是真命题”是“p或q是真命题”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A3.下列命题的否定是真命题的是()A.有些实数的绝对值是正数B.所有平行四边形都不是菱形C.任意两个等边三角形都是相似的D.3是方程x2－9＝0的一个根答案B4.命题“任意x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是()A.任意x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B.任意x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C.存在x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D.存在x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案D解析根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“任意x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“存在x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”.故选D.5.命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数学成绩低于100分，则p 或(非q)表示()A.甲、乙两人的数学成绩都低于100分B.甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分C.甲、乙两人的数学成绩都不低于100分D.甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分答案D解析由于命题q：乙的数学成绩低于100分，因此非q：乙的数学成绩不低于100分，所以p或(非q)表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分. 6.已知命题“存在x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，则实数a的取值范围为()A.(－∞，0)B.[0，4]C.[4，＋∞)D.(0，4)答案D解析因为命题“存在x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，所以其否定为“任意x∈R，4x2＋(a－2)x＋14>0”是真命题.则Δ＝(a－2)2－4×4×14＝a2－4a<0，解得0<a<4.7.(2021·衡水检测)命题p：若向量a·b<0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若cosα·cosβ＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是()A.pB.非qC.p且qD.p或q答案D解析当a，b方向相反时，a·b<0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；若cosαcosβ＝1，则cosα＝cosβ＝1或cosα＝cosβ＝－1，所以sinα＝sinβ＝0，从而sin(α＋β)＝0，命题q是真命题，所以p或q是真命题.8.已知命题p：“任意x∈[0，1]，a≥e x”；命题q：“存在x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为()A.[e，4]B.(－∞，e]C.[e，4)D.[4，＋∞)答案A解析若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由任意x∈[0，1]，a≥e x，得a≥e；由存在x0∈R，使x20＋4x0＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.9.命题：存在x0∈R，1<f(x0)<2的否定是________________________.答案任意x∈R，f(x)≤1或f(x)≥210.若“任意x∈0，π4，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.答案1解析∵函数y＝tan x在0，π4上是增函数，∴y max＝tan π4＝1，依题意，m≥y max，即m≥1.∴m的最小值为1.11.下列命题为真命题的是________(填序号).①存在x0∈R，x20＋x0＋1≤0；②任意a∈R，f(x)＝log(a2＋2)x在定义域内是增函数；③若f(x)＝2x－2－x，则任意x∈R，f(－x)＝－f(x)；④若f(x)＝x＋1x，则∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝1.答案②③解析x20＋x0＋10＋34>0，故①错误；∵a2＋2≥2>1，∴f(x)＝log(a2＋2)x在(0，＋∞)上是增函数，故②正确；f(x)为奇函数，所以任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，故③正确；x0∈(0，＋∞)时，f(x0)＝x0＋1x0≥2，当且仅当x0＝1时取“＝”，故④错误.综上有②③正确.12.(2022·周口调研)已知p：函数f(x)＝x2－(2a＋4)x＋6在(1，＋∞)上是增函数，q：任意x∈R，x2＋ax＋2a－3>0，若p且(非q)是真命题，则实数a的取值范围为________.答案(－∞，－1]解析依题意，p为真命题，非q为真命题.若p为真命题，则2a＋42≤1，解得a≤－1.①若非q为真命题，则存在x0∈R，x20＋ax0＋2a－3≤0成立.∴a2－4(2a－3)≥0，解之得a≥6或a≤2.②结合①②，知a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1].13.已知命题p：任意x>0，e x>x＋1，命题q：存在x∈(0，＋∞)，ln x≥x，则下列命题为真命题的是()A.p且qB.(非p)且qC.p且(非q)D.(非p)且(非q)答案C解析令f(x)＝e x－x－1，则f′(x)＝e x－1，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)＝0，即e x>x＋1，则命题p真；令g(x)＝ln x－x，x>0，则g′(x)＝1x－1＝1－xx，当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，即当x＝1时，g(x)取得极大值，也是最大值，所以g(x)max＝g(1)＝－1<0，∴g(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，则命题q假，因此非q为真，故p且(非q)为真.14.(2019·全国Ⅲ卷)＋y≥6，x－y≥0表示的平面区域为D.命题p：存在(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：任意(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p或q；②(非p)或q；③p且(非q)；④(非p)且(非q).这四个命题中，所有真命题的编号是()A.①③B.①②C.②③D.③④答案A 解析由不等式组画出平面区域D ，如图阴影部分所示，在图中画出直线2x ＋y ＝9，可知p 为真命题，非p 为假命题，作出直线2x ＋y ＝12，2x ＋y ≤12表示直线及其下方区域，易知命题q 为假命题；命题非q 为真命题；∴p 或q 为真，(非p )或q 为假，p 且(非q )为真，(非p )且(非q )为假.故真命题的编号为①③.15.已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案0解析“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”的否定是任意x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0，依题意：命题任意x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0为真命题，故函数y ＝f (x )，x ∈(a ，b )为奇函数，∴a ＋b ＝0，∴f (a ＋b )＝f (0)＝0.16.若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，任意x 1∈[－1，2]，存在x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________.答案，12解析设f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)在[－1，2]上的值域分别为A ，B ，则A ＝[－1，3]，B ＝[－a ＋2，2a ＋2]，a ＋2≥－1，a ＋2≤3，∴a ≤12，又∵a >0，∴0<a ≤12.。