高考数学第一轮复习15.数列的通项

数列通向公式的求解1、公式法：2、累加法：3、累乘法：4、a n与S n的关系：5、构造法：（1）、待定系数法：（2）、同除+待定系数：（3）、取倒数+待定系数：（4）、取对数+待定系数：（5）、连续三项：6、无穷递推关系式：（减去前n-1项剩下最后一项）7、连续两项：8、不动点法：→不动点：方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。

数列通项公式典例分析:1、已知数列{a n}满足_________________2、已知数列{a n}满足_________________3、已知数列{a n}满足___________;___________4、已知数列{a n}满足__________________5、已知数列{a n}满足_________________6、已知数列{a n}满足_____________7、已知数列{a n}满足________________8、已知数列{a n}满足______________9、已知数列{a n}满足_________________10、已知数列{a n}满足__________11、已知数列{a n}满足__________________12、已知数列{a n}满足_________________13、已知数列{a n}满足__________________14、已知数列{a n}满足__________________15、已知数列{a n}满足_____________________16、已知数列满足，，则=________17、设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则=________18、在数列中，，，．则=______________19、数列中，，（n≥2）,则=______________20、已知数列的首项，，则=__________________21、设数列｛an｝满足,则=_______________22、已知数列满足且,则=___________23、设数列满足,则=______________。

2020年高考理科数学一轮总复习等差数列及其前n 项和[基础梳理]1．等差数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．1．两个重要技巧(1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d .(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 2．三个必备结论(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1.(2)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .(3)在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1＜0，d ＞0，则满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .3．两个函数等差数列{a n }，当d ≠0时，a n ＝dn ＋(a 1－d )，是关于n 的一次函数； S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是无常数项的二次函数． [四基自测]1．(教材改编)已知数列{a n }中，a n ＝3n ＋4，若a n ＝13，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：A2．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B3．(教材改编)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝( ) A ．18 B ．36 C ．54 D ．72 答案：D4．在100以内的正整数中有________个能被6整除的数． 答案：165．已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝________. 答案：514(15n －n 2)考点一 等差数列的性质及基本量的运算◄考基础——练透 角度1 用等差数列的基本量a 1和d 进行计算[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．12解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 故选B. 答案：B(2)已知等差数列{a n }的各项都为整数，且a 1＝－5，a 3a 4＝－1，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( ) A ．70 B ．58 C ．51D ．40解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 由各项都为整数得d ∈Z ，因为a 1＝－5，所以a 3a 4＝(－5＋2d )(－5＋3d )＝－1，化简得6d 2－25d ＋26＝0，解得d ＝2或d ＝136(舍去)，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋7×(1＋13)2＝58.故选B.答案：B角度2 用等差数列性质进行计算[例2] (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 3＋a 10＝9，则S 9＝( ) A ．3 B ．9 C ．18D ．27 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 2＋a 3＋a 10＝9，∴3a 1＋12d ＝9，即a 1＋4d ＝3，∴a 5＝3，∴S 9＝9×(a 1＋a 9)2＝9×2a52＝27.故选D.答案：D(2)(2019·河北唐山第二次模拟)设{a n}是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()A．2X＋Z＝3Y B．4X＋Z＝4YC．2X＋3Z＝7Y D．8X＋Z＝6Y解析：设数列{a n}的前3n项的和为R，则由等差数列的性质得X，Y－X，R－Y，Z－R成等差数列，所以2(Y－X)＝X＋R－Y，解之得R＝3Y－3X，又因为2(R－Y)＝Y－X＋Z－R，把R＝3Y－3X代入得8X＋Z＝6Y，故选D.答案：D等差数列的计算技巧1．已知等差数列{a n}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{a n}的公差为()A．－3 B．－5 2C．－2 D．－4 解析：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为⎩⎨⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15，解得d ＝－4，故选D.答案：D2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3解析：∵a 1＋a 5＝2a 3＝8，∴a 3＝4， 又∵a 3＋a 5＝2a 4， ∴a 5＝2a 4－a 3＝14－4＝10. 故选B. 答案：B3．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列的前13项和为( ) A ．13 B ．26 C ．52D ．156解析：3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26，故选B.答案：B考点二 等差数列的判定与证明◄考能力——知法 角度1 用等差数列定义证明[例3] (2019·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．解析：(1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0.因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n .由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又因为a 1＝12，不适合上式． 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12(n ＝1)，－12n (n －1)(n ≥2).角度2 用等差中项法证明[例4] 已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n . (1)若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列；(2)若a m ＋2是a m ＋1和a m 的等差中项，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列吗？ 解析：(1)证明：由S 3，S 9，S 6成等差数列，得S 3＋S 6＝2S 9.若q ＝1，则3a 1＋6a 1＝18a 1，解得a 1＝0，这与{a n }是等比数列矛盾，所以q ≠1， 于是有a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2a 1(1－q 9)1－q ，整理得q 3＋q 6＝2q 9.因为q ≠0且q ≠1，所以q 3＝－12，a 8＝a 2q 6＝14a 2，a 5＝a 2q 3＝－12a 2， 所以2a 8＝a 2＋a 5，即a 8－a 2＝a 5－a 8，故a 2，a 8，a 5成等差数列．(2)依题意，得2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ，则2a 1q m ＋1＝a 1q m ＋a 1q m －1.在等比数列{a n }中，a 1≠0，q ≠0，所以2q 2＝q ＋1，解得q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，S m ＋S m ＋1＝ma 1＋(m ＋1)a 1＝(2m ＋1)a 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1. 因为a 1≠0，所以2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列． 当q ＝－12时，S m ＋2＝a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2]1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2a 13[1－(－12)m ＋2] ＝2a 13 [1－14×(－12)m ]，S m ＋S m ＋1＝a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ]1－(－12)＋a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋1]1－(－12)＝2a 13[1－(－12)m ＋1－(－12)m ＋1] ＝2a 13[2－12×(－12)m ]，所以2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.故当q ＝1时，S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列；当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．判定数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一个常数．(证明用) (2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1.(证明用) (3)通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数．(4)前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0.提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．将本例1条件变为“数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，2S n －na n ＝n ，”求证：{a n }为等差数列．证明：因为2S n －na n ＝n ，①所以当n ≥2时，2S n －1－(n －1)a n －1＝n －1，② 所以①－②得：(2－n )a n ＋(n －1)a n －1＝1， (1－n )a n ＋1＋na n ＝1，所以2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， 所以数列{a n }为等差数列．考点三 等差数列前n 项和及综合问题◄考素养——懂理[例5] (1)(2018·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.①求{a n }的通项公式； ②求S n ，并求S n 的最小值．解析：①设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9. ②由①得S n ＝a 1＋a n2·n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.(2)已知数列{a n }满足a 1＝2，n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)．①求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求其通项公式；②设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n . 解析：①∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)， ∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a nn ＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2，∴a nn ＝2＋2(n －1)＝2n .②由①知a n ＝2n 2，∴b n ＝2a n －15＝2n －15， 则数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－13＋2n －15)2＝n 2－14n .令b n ＝2n －15≤0，解得n ≤7.∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝－S n ＝－n 2＋14n . n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b 7＋b 8＋…＋b n ＝－2S 7＋S n ＝－2×(72－14×7)＋n 2－14n ＝n 2－14n ＋98.∴T n ＝⎩⎨⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8.关于等差数列前n 项和问题，主要是求和方法及性质的应用，其关键点为： (1)定性质，根据已知条件判断出数列具有哪些特性．(2)定方法，根据已知条件或具有的性质，确定解决问题的方法． ①_x0001_求和：用哪个公式，需要哪些量．②求S n 最值：(ⅰ)借助S n 的二次函数法； (ⅱ)借用通项的邻项变号法a 1>0，d <0，满足⎩⎨⎧ a m ≥0a m ＋1≤0S n 取得最大值S m ；a 1<0，d >0，满足⎩⎨⎧a m ≤0a m ＋1≥0，S n 取得最小值S m .1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( ) A ．21 B ．20 C ．19D ．18解析：由a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35. a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2. ∴a n ＝a 4＋(n －4)×d ＝33＋(n －4)×(－2)＝－2n ＋41. ∴a 20＞0，a 21＜0，∴当n ＝20时，S 20最大，故选B. 答案：B2．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值． 解析：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎨⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.故a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31， 令⎩⎨⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎨⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0， 解得292≤n ≤312， ∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小． ∵数列{b n }的首项是－29，公差为2， ∴T 15＝15×(－29＋2×15－31)2＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.数学建模——传统文化中的数列的学科素养在传统文化中，涉及很多等差数列的模型，经过转化用等差数列的知识求解，体现了数学建模，数学运算的素养.[例1] 《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.1629尺 C.815尺 D.1631尺解析：设该女子织布每天增加d 尺，由题意知S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加1629尺．故选B. 答案：B[例2] 中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( ) A.174斤B ．184斤C.191斤 D ．201斤解析：用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤，故选B.答案：B课时规范练1．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0 C.14 D.12解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝12.∴a 1＝a 2－d ＝0.答案：B2．等差数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝100(n ≥3)．若{a n }的公差为某一自然数，则n 的所有可能取值为( )A ．3,7,9,15,100B ．4,10,12,34,100C ．5,11,16,30,100D ．4,10,13,43,100解析：由等差数列的通项公式得，公差d ＝a n －a 1n －1＝99n －1.又因为d ∈N ，n ≥3，所以n －1可能为3,9,11,33,99，n 的所有可能取值为4,10,12,34,100，故选B. 答案：B3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：因为{a n }是等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，即a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5，故选A. 答案：A4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4，则a 1＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 1＋8×72d －⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32d ＝36，a 1＋5d ＝2a 1＋6d ，解得⎩⎨⎧a 1＝－2，d ＝2.故选A. 答案：A5．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( )A ．12B ．13C ．14D ．15 解析：由S 5＝(a 2＋a 4)·52，得25＝(3＋a 4)·52，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，即d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.答案：B6．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97解析：由题意可知，⎩⎨⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，解得a 1＝－1，d ＝1，所以a 100＝－1＋99×1＝98.答案：C7．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于__________．解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n－a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38， 解得n ＝10.答案：108．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5. 答案：59．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值．(2)已知数列{b n }满足b n ＝S n n ，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解析：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S n n ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2. 10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：∵b n ＝1a n，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n＋1＝1a n＋1＝1a n2a n＋1＝2a n＋1a n，∴b n＋1－b n＝2a n＋1a n－1a n＝2.又∵b1＝1a1＝1，∴数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n}的通项公式为b n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又b n＝1a n，∴a n＝1b n＝12n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝12n－1.。

数列的复习【知识整理】：一 、等差数列1.等差数列的通项公式：①a n ＝a 1＋____×d②（推广公式）a n ＝a m ＋______×d注意：数列{}n a 是等差数列的充要条件是此数列的通项公式为q pn a n +=，其中p,q 为常数，特别地，数列{}n a 是公差不为0的等差数列的充要条件是此数列的通项公式为q pn a n +=，其中p,q 为常数，且0≠p .2、等差中项如果b A a ，，成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.注意：①b 是a 、c 的等差中项的充要条件是a ，b ，c 成等差数列；②若a ，b ，c 成等差数列，那么c b b a b c a b c a b ca b -=--=-+=+=；；；22都是等价的；③若数列{}n a 是等差数列，则()*-+∈≥-=-N n n a a a a n n n n ,211，整理得211+-+=n n n a a a . 3、等差数列的性质{}n a 是等差数列，d 为公差.（1）1123121,+---+=+==+=+=+k n k n n n n a a a a a a a a a a 即 （2）若m, n, p, q ∈N*，若m ＋n ＝p ＋q ，则_________________若m, n, p ∈N*，若m ＋n ＝2p ，则__________________ （3）()mn a a d d m n a a mn m n --=⇔-+= （m, n, ∈N*，且m ≠ n ）.（4）序号成等差数列的项又组成一个等差数列，即 ,,,2m k m k k a a a ++仍成等差数列，公差为()*∈Nm k md ,.（5）若{}{}n n b a ，都是等差数列，则数列{}{}{}{}{}2121,,,,,(λλλλλλb k c b a b a b a ka c a n n n n n n n ++++，，，，均为常数)也是等差数列.（6）连续三个或三个以上k 项和依次组成一个等差数列，即)2(,,,232*∈≥--N k k S S S S S k k k k k 且 成等差数列，公差为d k 2.（7）①当项数为奇数()12+n 项时，其中有()1+n 个奇数项，n 个偶数项.1-+=n a S S 偶奇；()112++=+n a n S S 偶奇； ()nn S S na S a n S n n 1,,111+=∴=+=++偶奇偶奇. ②当项数为偶数n 2项时，()11,-,,+++=+===n n n n a a n S S nd S S na S na S 奇偶奇偶偶奇 ∴1+=n na a S S 偶奇. 能力知识清单：1、等差数列{}n a 中，若()0,,=≠==+nm n n a n m n a m a 则. 2、等差数列{}n a 中，若()()n m S n m n S m S n m m n +-=≠==+则,, 3、等差数列{}n a 中，若()0,=≠=+nm m n S n m S S 则； 4、若{}n a 与{}n b ，为等差数列，且前1-21-2m m m m n n T S b a T S n =，则与项和为二、等比数列1. 等比数列的通项公式：①a n ＝a 1q n －1 ② a n ＝a m q n －m2、若﹛a n ﹜为等比数列，m, n, p, q ∈N*，若m ＋n ＝p ＋q ，则___________ 3. 等比数列的前n 项和公式： S n ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧=≠)1()1(q qS n ＝ _________________()1≠q4、等比数列{a n }的前n 项和S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列，且公比为________ 7.等比中项：如果a ，b ，c 成等比数列，那么b 叫做a 与c 的等比中项，即b²=_____________________三、判断和证明数列是等差（等比）数列常有四种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。

2023考点专题复习——数列的通项公式考法一：累加法——适用于)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。

例2、已知数列}{n a 中, 0>n a 且)(21nn n a na S +=,求数列}{n a 的通项公式.例3、已知数列{}n a 满足112313n n n a a a ，，求数列{}n a 的通项公式。

练习1、已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n nN 写出数列{}n a 的通项公式.练习2、已知数列}{n a 满足13a ，11(2)(1)n n a a n n n -=+≥-求此数列的通项公式.练习3、已知数列{}n a 满足11211nn a a n a ，，求数列{}n a 的通项公式。

练习4、已知在数列{}n a 中，13a =，112(2)n n n a a n --=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21log (1)n n b a +=-，求11{}n n b b +的前n 项和n T ．练习5、在数列{}n a 中，12a =，122n n n a a +=++． （1）求数列{2}n n a -的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2(22)n n b a n =+-，求{}n b 的前n 项和n S ．练习6、已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

练习7、已知数列{}n a 满足11a =，1n n n a a +-=，则数列{}n a 的通项公式练习8、在数列{}n a 中，12a =，11ln 11n n a a n n n +⎛⎫⎪⎝+++⎭=，则数列{}n a 的通项公式练习9、已知数列{a n }满足11a =-，111+1n n a a n n +=-+，n ∈N *，求数列的通项公式a n .练习10、设数列{}n a 满足11a =，()*112n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式练习11、已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n+=++，则数列{}n a 的通项公式考法二：累乘法例1、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。

个性化辅导授课教案学员姓名 ： 辅导类型（1对1、小班）： 年 级： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课 题课 型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段年 月 日 时间段教 学 内 容数列一、数列的概念及其表示【重点知识梳理】 1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类分类原则类型 满足条件 按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限 按项与项间 的大小关系分类 递增数列 a n ＋1＞a n其中n ∈N *递减数列 a n ＋1＜a n 常数列 a n ＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M ，使|a n |≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.法四 同法二得d ＝－18a 1＜0，又S 5＝S 12，得a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝0， ∴7a 9＝0，∴a 9＝0，∴当n ＝8或9时，S n 有最大值．（2）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则______10=a规律方法 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法： (1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； (2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值． 【变式探究】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．5或6 D ．11 3.等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a d a a n n n n =-=-+-11或（常数+∈N n ）⇔{}n a 是等差数列 （2）等差中项法：数列{}n a 是等差数列⇔)2(211>+=+-n a a a n n n ⇔212+++=n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中k,b 是常数） （4）数列{}n a 是等差数列⇔Bn An S n +=2（其中A,B 是常数） 4.等差数列的证明方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项法：),2(211++-∈≥+=N n n a a a n n n例题：【例2】若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．规律方法 证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明a na n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．5.等比数列及其前n 项和性质（1）当1≠q 时，①等比数列通项公式n nn n B A q qa q a a ⋅===-111（0≠⋅B A ）是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q .②前n 项和()''1111111A B A B A A q qaq a q q a S n n n n n -=⋅-=---=--=，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，公比为q .（2）对任何+∈N n m ,，在等比数列中有m n m n q a a -=.注：当q=1时就得到了等比数列的通项公式，因此这个公式更具有一般性.（3）若q p n m +=+()+∈N q p n m ,,,,则q p n m a a a a ⋅=⋅.特别地，当p n m 2=+时，得2q n m a a a =⋅.注：1121a a a a a a n n n ⋅==⋅=⋅- （4）数列{}{}n n b a ,为等比数列，则数列{}{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n n n n n b a b a k a a k a k ,,,,2（k 为非零常数）均为等比数列. （5）数列{}n a 为等比数列，每个k （+∈N k ）项取出一项（ k m k m k m m a a a a 32,,,+++）仍为等比数列. （6）如果{}n a 是各项均为正的等比数列，则数列{}n a a log 是等差数列.【例题】 (1)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________．【解析】(1)法一 由等比中项的性质得a 3a 11＝a 27＝16，又数列{a n }各项为正，所以a 7＝4.所以a 10＝a 7×q 3＝32.所以log 2a 10＝5.规律方法 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【变式探究】 (1)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为( ) A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±3 3(2)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2（7）若{}n a 为等比数列，则数列 ,,,232m m m m m S S S S S --成等比数列.（8）若{}n a 为等比数列，则数列n a a a ⋅⋅⋅ 21，n n n a a a 221⋅⋅⋅++ ，n n n a a a 32212⋅⋅⋅++ 成等比数列. （9）①当q>1时，{}{}为递减数列则为递增数列则n n a a a a ,0;,011<>. ② 当0<q<1时，{}{}为递增数列则为递减数列则n n a a a a ,0;,011<>. ③当q=1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列） ④当q<0时，该数列为摆动数列.（10）在等比数列{}n a 中，当项数为2n （+∈N n ）时，qS S 1=偶奇，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

第42讲 数列的递推关系与通项【基础知识回顾】1、正确选用方法求数列的通项公式(1)对于递推关系式可转化为a n ＋1＝a n ＋f (n )的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式． (2)对于递推关系式可转化为a n ＋1a n＝f (n )的数列，并且容易求数列{f (n )}前n 项的积时，采用累乘法求数列{a n }的通项公式．(3)对于递推关系式形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)的数列，采用构造法求数列的通项． 2、避免2种失误(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到a 2a 1，漏掉a 1而导致错误；二是根据连乘求出a n 之后，不注意检验a 1是否成立．(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．1、数列{a n }的前几项为12，3，112，8，212，…，则此数列的通项可能是( )A ．a n ＝5n －42B ．a n ＝3n －22C ．a n ＝6n －52D ．a n ＝10n －92【答案】A【解析】数列为12，62，112，162，212，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故通项公式为a n ＝5n －42.2、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53 C.85 D.23【答案】D【解析】a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12，a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23.3、(2022·湘豫名校联考)已知数列{a n }满足：对任意m ，n ∈N *，都有a n a m ＝a n ＋m ，且a 2＝2，那么a 20＝( ) A.240 B.230 C.220 D.210【答案】 D【解析】 由a n a m ＝a n ＋m ，a 2＝2，得a 20＝a 2a 18＝a 2a 2a 16＝a 102＝210.故选D.4、已知数列{a n }中，a 1＝1中，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)中，则a 4＝________，a n ＝________. 【答案】7 n 2－n ＋22【解析】由题意可得a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ，则：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝1＋n (n －1)2＝n 2－n ＋22，则a 4＝42－4＋22＝7.考向一 有递推关系研究数列的通项例1、（多选题）（2021·山东济南市·高三二模）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（ ） A ． B ．是等比数列C ．D ．【答案】ABC 【解析】因为，，所以，由可得，所以， 所以，分别是以2,1为首项，公比为2的等比数列， 所以，{}n a 11a =12nn n a a +⋅=n ∈+N 44a ={}2n a 12212n n n a a ---=12122n n n a a +-+=11a =12nn n a a +⋅=2342,2,4a a a ===12nn n a a +⋅=1122n n n a a +++⋅=22n na a +={}2n a {}21n a -111221222,122n n n n n n a a ----=⋅==⋅=所以，，综上可知，ABC 正确，D 错误. 故选：ABC变式1(2021·崇左二模)数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3，n ∈N *).将数列{a n }的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列{b n }，则b 21＝( ) A.1 B.2 C.3 D.0【答案】 B 【解析】∵数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3，n ∈N *).∴a 3＝2，a 4＝3，a 5＝5，a 6＝8，a 7＝13，a 8＝21，a 9＝34，a 10＝55，a 11＝89，数列{a n }的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列{b n }为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，…， 可得数列{b n }构成一个周期为6的数列. ∴b 21＝b 3＝2.变式2、(多选)在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n，则数列{a n }中的最大项可以是( ) A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项【答案】 AB 【解析】假设a n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋1）⎝⎛⎭⎫78n ≥（n ＋2）⎝⎛⎭⎫78n ＋1，（n ＋1）⎝⎛⎭⎫78n≥n ·⎝⎛⎭⎫78n －1，所以⎩⎨⎧n ＋1≥78（n ＋2），78（n ＋1）≥n ，即6≤n ≤7，所以最大项为第6项和第7项.变式3、（2020·山东泗水·期中（文））已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．25B ．13C ．23D ．12【答案】B12212n n n a a ---=11212322n n n n a a -+-+=⋅≠【解析】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++. 故选：B.变式4、已知数列{a n }满足112,0,2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若a 1=35,则a 2019 = ( )A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【解析】∵112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，又∵a 135=，∴a 2＝2a 1﹣1＝235⨯-115=，a 3＝2a 225=， a 4＝2a 3＝22455⨯=，a 5＝2a 4﹣1＝245⨯-135=，故数列的取值具备周期性，周期数是4， 则2019a ＝50443a ⨯+＝325a =， 故选B ．方法总结：给出了两种不同形式的递推关系，经常采取其它方法：取倒数后，相邻两项的差是一个等比数列，迭加即可；变形为a n ＋1a n ＝3n －23n ＋2，再用累乘处理，累加、累乘是递推数列的基本而常用的方法，考查我们的观察、变形和转化的能力，需要牢固掌握．考向二 由Sn 与an 的递推关系求通项公式例2、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列{}n a 中，112a =，其前n 项和n S 满足()202n n n n S a S a n -+=≥，则2a =__________；2019S =__________.【答案】16-12020【解析】（1）由题：()202n n n n S a S a n -+=≥，令2n =，222222222211()0220,()S a S a a a a a ++=++-=-，得：231024a +=，所以216a =-；（2）由题()202n n n n S a S a n -+=≥，()12n n n a S S n --≥=()211()02n n n n n n S S S S S S n ---+=-≥-，化简得：()1102n n n n S S S S n ---+=≥，11111110,1,(2)n n n n n S S S S --+-=-=≥， 1{}nS 是一个以2为首项，1为公差的等差数列， 11n n S =+，11n S n =+，201912020S = 故答案为：(1). 16-(2). 12020变式1、在数列{a n }中，a n ＋1＝nn ＋2a n (n ∈N *)，且a 1＝4，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 【答案】 8n （n ＋1）【解析】由a n ＋1＝n n ＋2a n ，得a n ＋1a n ＝nn ＋2，故a 2a 1＝13，a 3a 2＝24，…，a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)， 以上式子累乘得，a n a 1＝13·24·…·n －3n －1·n －2n ·n －1n ＋1＝2n （n ＋1）.因为a 1＝4，所以a n ＝8n （n ＋1）(n ≥2).因为a 1＝4满足上式，所以a n ＝8n （n ＋1）.变式2、 (1)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________. 【答案】 2n ＋1－3设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3. 故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4， 且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3.(2)(2022·广州调考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1－2S n ＝1，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为________.【答案】 a n ＝2n －1，n ∈N * 【解析】因为S n ＋1－2S n ＝1， 所以S n ＋1＝2S n ＋1.因此S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)，因为a 1＝S 1＝1，S 1＋1＝2，所以{S n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列. 所以S n ＋1＝2n ，S n ＝2n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，a 1＝1也满足此式， 所以a n ＝2n －1，n ∈N *.方法总结：a n 与S n 关系的应用(1)仅含有S n 的递推数列或既含有S n 又含有a n 的递推数列，一般利用公式S n －S n －1＝a n (n ≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含a n 的关系式或仅含S n 的关系式，即“二者消元留一象”．(2)究竟消去a n 留S n 好，还是消去S n 留a n 好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去a n 留S n 可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去a n 留S n ，否则就尝试消去S n 留a n ，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”．(3)值得一提的是：数列通项公式a n 求出后，还需要验证数列首项a 1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”。