2019-2020年高考数学二轮复习专题六应用题教学案

第1讲 三角函数的图象与性质[做小题——激活思维]1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( ) A ．4π B ．2π C ．πD ．π2C [函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π.故选C.] 2．函数y ＝cos 2x 图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2D [由题意易知其一条对称轴的方程为x ＝π2，故选D.]3．函数g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值为________．－32 [因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.]4．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) [由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．]5．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该函数的解析式为________．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3[由题图易知A ＝2，由T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，可知ω＝2πT ＝2ππ＝2.于是y ＝2sin(2x＋φ)，把⎝⎛⎭⎪⎫π6，0代入y ＝2sin(2x ＋φ)得，0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ，故π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|＜π2，故φ＝－π3，综上可知，该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.]6．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为________．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π12 [将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6――――――――――――→函数图象上所有的点向左平移π4个单位长度y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12―――――――――――→横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin 12x ＋5π12.][扣要点——查缺补漏]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)表达式的确定A 由最值确定；ω由周期确定T ＝2πω；φ由五点中的零点或最值点作为解题突破口，列方程确定即ωx i ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，如T 5.2．三种图象变换：平移、伸缩、对称注意：由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需向左或向右平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位，如T 6.3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的性质研究三角函数的性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正、余弦函数与复合函数的性质求解．(1)T ＝2πω，如T 1.(2)类比y ＝sin x 的性质，将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看作一个整体t ，可求得函数的对称轴、对称中心、单调性、最值．①y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得，对称中心可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．②y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得，对称中心可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．注意对称中心必须写成点坐标．如T 2.③y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数，对称中心可由ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )求得．④单调性、最值，如T 3，T4.三角函数的值域、最值问题(5年3考)[高考解读] 高考对该点的考查常与三角恒等变换交汇命题，求最值时，一般化为f x ＝A sin ωx ＋φ＋B 的形式或化f x 为二次函数形式，难度中等.预测2020年会依旧延续该命题风格.1．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．－4 [∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1， 令t ＝cos x ，则t ∈[－1,1]，∴f (x )＝－2t 2－3t ＋1.又函数f (x )图象的对称轴t ＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴当t ＝1时，f (x )有最小值－4.]2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．1 [f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1.] 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． －332[因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ， 所以f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝4cos 2x ＋2cos x －2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12(cos x ＋1)，由f ′(x )≥0得12≤cos x ≤1，即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，由f ′(x )≤0得－1≤cos x ≤12，2k π＋π3≤x ≤2k π＋π或2k π－π≤x ≤2k π－π3，k ∈Z ，所以当x ＝2k π－π3(k ∈Z )时，f (x )取得最小值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝－332.] [教师备选题]1．(2013·全国卷Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.－255 [y ＝sin x －2cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ，设15＝cos α，25＝sin α， 则y ＝5(sin x cos α－cos x sin α)＝5sin(x －α)． ∵x ∈R ∴x －α∈R ，∴y max ＝ 5. 又∵x ＝θ时，f (x )取得最大值， ∴f (θ)＝sin θ－2cos θ＝ 5. 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即cos θ＝－255.]2．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φ·cos(x ＋φ)的最大值为________．1 [∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.]三角函数值域(最值)的3种求法(1)直接法：利用sin x ，cos x 的有界性直接求．(2)单调性法：化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，采用整体思想，求出ωx ＋φ的范围，根据y ＝sin x 的单调性求出函数的值域(最值)．(3)换元法：对于y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 和y ＝a (sin x ＋cos x )＋b sin x cos x ＋c 型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题．1．(求取得最值时的变量x )当函数y ＝3sin x －cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.2π3 [∵y ＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.∵0≤x ＜2π，∴－π6≤x －π6＜11π6.∴当x －π6＝π2，即x ＝2π3时，函数取得最大值．]2．(求参数的范围)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，π3上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，3 [函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，π3上有最大值，但没有最小值，所以ω·π12＋π4＜π2＜ω·π3＋π4≤3π2⇒ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，3.] 3．(与导数交汇求最值)已知函数f (x )＝2cos x ＋sin 2x ，则f (x )的最大值为________． 332 [∵f ′(x )＝－2sin x ＋2cos 2x ＝2－4sin 2x －2sin x ＝－2(2sin x －1)(sin x ＋1)，由f ′(x )＝0得sin x ＝12或sin x ＝－1.∴当－1＜sin x ＜12时，f ′(x )＞0，当12＜sin x ＜1时，f ′(x )＜0.∴当sin x ＝12时，f (x )取得极大值．此时cos x ＝－32或cos x ＝32. 经验证可知，当cos x ＝32时，f (x )有最大值，又f (x )＝2cos x (sin x ＋1)， ∴f (x )max ＝2×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝332.]三角函数的图象(5年5考)[高考解读] 高考对该点的考查主要有两种：一是由图象求解析式；二是图象的平移变换.前者考查图象的识别和信息提取能力，后者考查逻辑推理能力.估计2020年高考会侧重考查三角函数图象变换的应用.1.(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 A [根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A ，ω与φ的值．由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.]2．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2D [因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故选D.] [教师备选题](2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．2π3 [因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象．]求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋Β(Α＞0，ω＞0)解析式的方法字母确定途径 说明A 、B 由最值确定 A ＝y max －y min 2，B ＝y max ＋y min2ω由函数的 周期确定 利用图象中最高点、最低点与x 轴交点的横坐标确定周期φ由图象上的 特殊点确定代入图象上某一个已知点的坐标，表示出φ后，利用已知范围求φ提醒：三角函数图象的平移问题(1)当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，如T 2. (2)将y ＝sin ωx (ω＞0)的图象变换成y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应把ωx ＋φ变换成ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φω，根据⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω确定平移量的大小，根据φω的符号确定平移的方向．1.(知图求值)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f (2 019)的值为________．－1 [由题图易知，函数f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－1＝6，所以ω＝2πT ＝π3，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，将(0,1)代入，可得A sin φ＝1，所以f (2 019)＝f (6×336＋3)＝f (3)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×3＋φ＝－A sin φ＝－1.]2．(平移变换的应用)将偶函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π12个单位长度后，得到的曲线的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π4，0(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π12，0(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎪⎫k π3＋π6，0(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎪⎫k π3＋7π36，0(k ∈Z )A [因为函数f (x )＝sin(3x ＋φ)为偶函数且0＜φ＜π，所以φ＝π2，f (x )的图象向右平移π12个单位长度后可得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象，分析选项知⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π4，0(k ∈Z )为曲线y ＝g (x )的对称中心．故选A.]3．(与函数的零点交汇)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ∈[0，π]，|cos x |，x ∈π，2π]，若函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[1,2]C ．(0,1]D ．(1,2)A [画出函数f (x )在[0,2π]上的图象，如图所示： 若函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内恰有4个不同的零点，即y ＝f (x )和y ＝m 在[0,2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，知0＜m ＜1.]三角函数的性质及应用(5年7考)[高考解读] 高考对该点的考查主要立足两点，一是函数性质的判断或求解，二是利用性质求参数的范围值，准确理解y ＝sin x y ＝cos x 的有关性质是求解此类问题的关键.预测2020年以考查函数性质的应用为主.1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 D [A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，由f ⎝⎛⎭⎪⎫8π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋π3＝cos 3π＝－1，可知B 正确；C 项，由f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＋x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π＝－cos π2＝0，故C正确．D 项，由f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝cos π＝－1可知，D 不正确．]2．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4 B.π2C.3π4D ．πA [法一：(直接法)f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0＜a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A.法二：(单调性法)因为f (x )＝cos x －sin x ，所以f ′(x )＝－sin x －cos x ，则由题意，知f ′(x )＝－sin x －cos x ≤0在[－a ，a ]上恒成立，即sin x ＋cos x ≥0，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥0在[－a ，a ]上恒成立，结合函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象(图略)，可知有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，解得a ≤π4，所以0＜a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A.]3．[重视题][一题多解](2019·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③C [法一：f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故①正确；当π2＜x ＜π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故②不正确；f (x )在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.法二：∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故①正确，排除B ；当π2＜x ＜π时，f (x )＝sin x ＋sin x＝2sin x ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故②不正确，排除A ；∵y ＝sin |x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )的最大值为2，故④正确．故选C.法三：画出函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |的图象，由图象可得①④正确，故选C.][教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z D [由图象知，最小正周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.]2．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5B [先根据函数的零点及图象、对称轴，求出ω，φ满足的关系式，再根据函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36的区间长度不大于函数f (x )周期的12，然后结合|φ|≤π2计算ω的最大值．因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)．又函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足条件．若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调的条件．故选B.]1．求三角函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，得y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)正弦曲线(余弦曲线)相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．1．(求单调区间)(2019·武昌调研)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) B [因为f (x )＝232sin ωx －12cos ωx ＝2sin ωx －π6，f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，故选B.]2．(求参数的值)已知函数f (x )＝sin ωx 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω＝( )A.32 B ．3 C.92D ．6A [依题意，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＝0，∴2π3ω＝k π(k ∈Z )． ∴ω＝3k2(k ∈Z )．又f (x )＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，∴0＜ω·π4≤π2，即0＜ω≤2.∴k ＝1，ω＝32，故选A.]3．(求参数的范围)(2019·攀枝花模拟)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3(ω＞0)同时满足下列三个条件：①|f (x 1)－f (x 2)|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为π2；②y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3是奇函数；③f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6.若f (x )在[0，t )上没有最小值，则实数t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，5π12B.⎝⎛⎦⎥⎤0，5π6C.⎝⎛⎦⎥⎤5π12，11π12D.⎝⎛⎦⎥⎤5π6，11π12D [由①得周期为π，ω＝2.由y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3是奇函数且f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，可得其中一个φ＝－2π3，那么f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.∵x ∈[0，t )，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，2t －π3.因为f (x )在[0，t )上没有最小值， 可得t ＞0，且f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－32，4π3＜2t －π3≤3π2， 解得5π6＜t ≤11π12，故选D.]第2讲 恒等变换与解三角形[做小题——激活思维]1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15 B.59 C.53D ．1B [根据a sin A ＝bsin B，有313＝5sin B ，得sin B ＝59.故选B.] 2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3D.π3或2π3C [由a 2＝b 2＋bc ＋c 2， 得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，由余弦定理的推论得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝2π3.]3．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．17C ．－7D ．－17B [sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝－[cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β]＝－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，即cos α＝－45.又α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17.] 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，C ＝π3，△ABC 的面积为334，则c ＝( )A ．13B ．3 3C ．7D ．13C [∵△ABC 的面积为334，∴12ab sin C ＝12×3×b ×32＝334，∴b ＝1，∴由余弦定理得c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝32＋12－2×3×1×12＝7.故选C.]5．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.－56 [sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1 ＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.] 6．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． π [∵y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π.][扣要点——查缺补漏]1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，如T 1. 2．余弦定理及其变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，如T 2.3．如图所示，在△ABC 中，AD 平分角A ，则AB AC ＝BDDC.4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan α1∓tan αtan β，如T 3.5．面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )·r (其中r 为△ABC 内切圆的半径)，如T 4.6．二倍角公式及其变形 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)(3)tan 2α＝2tan α1－tan2α.如T5. 7．辅助角公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sin φ＝ba2＋b2，cos φ＝aa2＋b2，如T6.三角恒等变换(5年3考)[高考解读] 高考对该点的考查突出一个“变”字，即“变角、变名、变形”.从“角”入手，用活三角恒等变换公式是破解此类问题的关键.预测2020年高考还是以给值求值为主.1．[一题多解](2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α ＝( )A.725 B.15 C ．－15 D ．－725D [法一：(公式法)cos π4－α＝35，sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－725，故选D.法二：(整体代入法)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(sin α＋cos α)＝35，得sin α＋cos α＝352，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1825，即sin 2α＝2sin αcos α＝－725.]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.－12 [∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.][教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.]2．[一题多解](2014·全国卷Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2B [法一：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2， ∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z ，∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z . 当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B.]三角函数式化简求值的“三看”原则(1)看“角”：分析未知角与已知角间的差别与联系，实现角的合理拆分； (2)看“名”：常采用切化弦或诱导公式实现函数名称的统一；(3)看“形”，常借助和、差、倍、半角公式实现三角函数式的形式统一．1．(给值求值)若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( ) A.2525B.255 C.2525或255D.55或525A [因为α，β都是锐角，且cos α＝55＜12，所以π3＜α＜π2，又sin(α＋β)＝35＞12，所以π2＜α＋β＜5π6， 所以cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255，cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝2525，故选A.]2．(给角求值)(2019·安阳模拟)化简sin 235°－12cos 10°cos 80°等于( )A ．－2B ．－12C ．－1D ．1C [sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－cos 70°sin 20°＝－1.]3.(给值求角)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255，则α＋2β的值为________．3π4 [∵cos α＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝7210，∴tan α＝7；cos β＝255，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin β＝55， ∴tan β＝12，∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝43， ∴tan(α＋2β)＝7＋431－7×43＝－1，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋2β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2，∴α＋2β＝3π4.]利用正、余弦定理解三角形(5年11考)[高考解读] 高考对该点的考查常以平面几何图形为载体，借助三角恒等变换公式及正余弦定理实现边角的相互转化，从而达到求值的目的，预测2020年高考依旧这样考查. 1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2 B.π3 C.π4D.π6C [根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c22ab＝cosC ，所以在△ABC 中，C ＝π4.]2．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．切入点：△ABC 面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .关键点：余弦定理公式的变形：a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A. [解](1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A.故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33. [教师备选题]1．[一题多解](2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为____________．63 [法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.]2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求cos∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .[解](1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin A ＝ABsin∠ADB .由题设知，5sin 45°＝2sin∠ADB ，所以sin∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB ＜90°，所以cos∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos∠BDC ＝sin∠ADB ＝25.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×2 5＝25.即BC＝5.用正、余弦定理求解三角形注意2点,1分析已知的边角关系，选择恰当的公式、定理.,结合三角形固有的性质三角形内角和，大边对大角等求解三角形.2在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A中，有b2＋c2和bc两项，二者的关系b2＋c2＝b＋c2－2bc经常用到.提醒：解三角形时忽视对三角形解的个数讨论而出错.1．(以平面图形为载体)在平面四边形ABCD 中，∠D ＝90°，∠BAD ＝120°，AD ＝1，AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝( )A. 5B. 6C.7D ．2 2C [如图，在△ACD 中，∠D ＝90°，AD ＝1，AC ＝2，所以∠CAD ＝60°.又∠BAD ＝120°，所以∠BAC ＝∠BAD －∠CAD ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos∠BAC ＝7，所以BC ＝7.故选C.]2．(知识间的内在联系)已知△ABC 的面积为S ，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4S ＝a 2－(b －c )2，bc ＝4，则S ＝( )A ．2B ．4 C. 3D ．2 3A [由4S ＝a 2－(b －c )2可得4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，∴2bc sin A ＝2bc －2bc cos A ， 即sin A ＋cos A ＝1， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝22， 又0＜A ＜π，所以π4＜A ＋π4＜5π4，即A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4＝2.故选A.]3．(以空间图形为载体)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.1039 [设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h .在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°， 则由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2·3h ·h 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m ．]4．(恒等变换与解三角形)(2019·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．[解](1)∵a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.∴由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝9＋(b －2)2－2×3×(b －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，∴b ＝7，∴c ＝b －2＝5.(2)在△ABC 中，∵cos B ＝－12，∴s in B ＝32，由正弦定理：c sin C ＝bsin B ，∴sin C ＝c sin Bb ＝5×327＝5314，∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C ＝1114，∴sin(B －C )＝sin B cos C －cos B sin C ＝32×1114－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×5314＝437. 与三角形有关的最值(范围)问题(5年1考)[高考解读] 与三角形有关的最值范围问题主要涉及三角形的内角、边长、周长、面积等的最大、最小值问题，借助三角函数的有界性及均值不等式建立不等关系是解答此类问题的关键所在.(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A.(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 切入点：(1)借助正弦定理及三角形内角和定理求解；(2)由△ABC 为锐角三角形求得C 的范围，借助正弦定理及三角函数的有界性求面积的取值范围．[解](1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A.因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C 2＝cosB 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin 120°－C sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°＜C <90°，故12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32. [教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．(6－2，6＋2) [如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，B Esin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.]2．(2013·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．[解](1)由题意及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ， ① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ②由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.与三角形有关的最值(范围)问题的求解策略策略一：可选择适当的参数将问题转化为三角函数的问题处理，解题中要借助于正弦定理、余弦定理等工具将边角问题统一转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的函数的最值问题，然后根据参数的范围求解．策略二：借助正、余弦定理，化角为边，然后借助均值不等式对含有a 2＋b 2，a ＋b ，ab 的等式求最值．1．(角度的最值范围问题)(2019·武汉模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，则角B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πC [∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，又B ∈(0，π)，∴B ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3，故选C.] 2．(长度的最值范围问题)在△ABC 中，若C 是钝角，且B ＝π3，则ca 的取值范围是________．(2，＋∞) [∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A ＞π2，∴0＜A ＜π6.由正弦定理，得c a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0＜tan A ＜33，∴1tan A＞3， ∴c a ＞12＋32×3＝2，即ca＞2.] 3．(综合应用)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(sin C ，sin A )，且m ∥n .(1)若cos A ＝12，b ＋c ＝6，求△ABC 的面积；(2)求absin B 的取值范围．[解] 因为m ∥n ，所以sin 2A ＝sinB sinC ，结合正弦定理可得a 2＝bc . (1)因为cos A ＝12，所以b 2＋c 2－a 22bc ＝12，即b ＋c 2－3bc 2bc ＝12，解得bc ＝9.从而△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝12×9×32＝934，故△ABC 的面积为934.(2)因为a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时，取等号)．因为0<A <π，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.由正弦定理，知0<absin B ＝sin A ≤32，所以a b sin B 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，32.解密高考① 三角函数问题重在“变”——变式、变角————[思维导图]————————[技法指津]————1．常用的变角技巧(1)已知角与特殊角的变换，如：75°＝30°＋45°； (2)已知角与目标角的变换，如：π3＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α； (3)角与其倍角的变换， 如：α＋β＝2·α＋β2；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β等．2．常用的变式技巧(1)解决与三角函数性质有关的问题，常先将它的表达式统一化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；(2)涉及sin x ±cos x 、sin x ·cos x 的问题，常做换元处理，如令t ＝sin x ±cos x ∈[－2，2]，将原问题转化为关于t 的函数来处理；(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．母题示例：2019年全国卷Ⅰ，本小题满分12分△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sin C. 本题考查：三角恒等变换、正(余)弦定理等知识，等价转化、转化化归的能力，数学运算、逻辑推理等核心素养.[审题指导·发掘条件](1)看到sin A、sin B、sin C的等量关系，想到利用正(余)弦定理求A；(2)看到边a，b，c的等量关系想到利用正弦定理化边为角，看到求sin C想到B＝180°－A－C；缺与角C的相关的三角函数值，借助同角三角函数的关系补找该条件．[构建模板·四步解法] 三角函数类问题的求解策略第一步找条件第二步巧转化第三步得结论第四步再反思分析寻找三角形中的边角关系根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化利用三角恒等变换进行变形，得出结论审视转化过程的等价性与合理性母题突破：2019年天津高考，本小题满分12分在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C . (1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值． [解](1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sinC ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a . 1分又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a . 2分由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.4分(2)由(1)得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 5分 从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158， 6分 cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，8分故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6 10分＝－158×32－78×12＝－35＋716. 12分第1讲 等差数列、等比数列[做小题——激活思维]1．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为( ) A ．9 B ．22 C ．24D ．32C [依题意得，数列{a n }是公差为2的等差数列，a 1＝a 2－2＝3，因此数列{a n }的前4项和等于4×3＋4×32×2＝24，选C.]2．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2nA [设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n n －12d ＝n 2－4n .故选A.]3．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28D ．35C [∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，a 4＝4.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.]4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－13，则{a n }的前10项和等于________．34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1310 [由3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－13得{a n }成首项为1，公比q ＝－13的等比数列，∴S 10＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101＋13＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1310.] 5．在等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 4a 6等于________．32 [因为a 2a 8＝a 4a 6＝6 ①，又a 4＋a 6＝5 ②，联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 6＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 6＝3(舍)，所以a 4a 6＝32.][扣要点——查缺补漏]1．判断等差(比)数列的常用方法 (1)定义法：若a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ＝q ，q 为常数，q ≠0，则{a n }为等差(比)数列，如T 1，T 4.(2)中项公式法． (3)通项公式法．2．等差数列的通项公式及前n 项和公式 (1)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ； (2)S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d .如T 2.3．等比数列的通项公式及前n 项和公式 (1)a n ＝a 1qn －1＝a m ·qn －m(q ≠0)；(2)S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q ≠1.如T 4.4．等差数列与等比数列的性质(1)在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .如T 3.(2)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列．(3)在等差数列{a n }中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等差数列．(4)在等比数列中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q .如T 5. (5)在等比数列中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外).等差(比)数列的基本运算(5年9考) [高考解读] 高考对该点的考查以等差数列、等比数列的通项公式与求和公式为考查目。

一、考试内容数列；等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。

二、考试要求1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题。

3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。

三、复习目标1．能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题；2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前项的和；3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．四、双基透视1．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。

(2)通项公式法：①若 = +（n-1）d= +（n-k）d，则为等差数列；②若，则为等比数列。

(3)中项公式法：验证都成立。

3. 在等差数列中,有关S n的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高三理科数学二轮复习：专题六第三讲正态分布、统计与统计案例-含解析______年______月______日____________________部门20xx最新高三理科数学二轮复习：专题六第三讲正态分布、统计与统计案例-含解析第三讲正态分布、统计与统计案例高考导航1．考查正态曲线的性质及正态分布的概率计算．2．考查系统抽样和分层抽样、样本的频率分布与数字特征、线性回归分析、独立性检验．3．与概率知识交汇进行综合考查.1．(20xx·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了20xx年1月至20xx年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图：根据该折线图，下列结论错误的是( )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳[解析] 折线图呈现出的是一个逐渐上升的趋势，但是并不是每个月都在增加，故A说法错误；折线图中按照年份进行划分，可以看出每年的游客量都在逐年增加，故B说法正确；折线图中每年的高峰出现在每年的7,8月，故C说法正确；每年的1月至6月相对于7月至12月的波动性更小，变化的幅度较小，说明变化比较平稳，故D说法正确．[答案] A2．(20xx·山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x＋，已知i＝225，i＝1600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )A．160 B．163C．166 D．170[解析] 由题意可得＝22.5，＝160，∴＝160－4×22.5＝70，即＝4x＋70.当x＝24时，＝4×24＋70＝166，故选C.[答案] C3．(20xx·江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．[解析] 从丙种型号的产品中抽取的件数为60×＝18.[答案] 184．(20xx·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量<50 kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．附：P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828K2＝.[解] (1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P(C)的估计值为0.66.因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.4092.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg旧养殖法62 38新养殖法34 66K2＝≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋≈52.35(kg)．考点一正态分布1．正态曲线的性质(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线关于直线x＝μ对称，且在x＝μ处达到峰值．(2)曲线与x轴之间的面积为1.(3)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．正态分布X～N(μ，σ2)的三个常用数据(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；(2)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.[思维流程][解] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X ～B(16,0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X ＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X 的数学期望为E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．(ⅱ)由＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为＝9.97，σ的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 115×(16×9.97－9.22)＝10.02， 因此μ的估计值为10.02.i ＝116x2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134， 剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为 115×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09.正态分布应关注的两点(1)利用P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值直接求解．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1来求解．[对点训练]1．(20xx·兰州检测)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)D．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)[解析] 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D错．[答案] C 2．某校组织了“20xx年第15届希望杯数学竞赛(第一试)”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(72,121)(单位：分)，此次考生共有500人，估计数学成绩在72分到83分之间的人数约为(参数数据：P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544.)( )B．170A．238D．477C．340 [解析] 因为X～N(72,121)，所以μ＝72，σ＝11，又P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，所以P(61<X<83)＝0.6826，因为该正态曲线关于直线x＝72对称，所以P(72<X<83)＝P(61<X<83)＝×0.6826＝0.3413，所以0.3413×500＝170.65，从而可得在72分到83分之间的人数约为170，故选B.[答案] B考点二抽样方法、用样本估计总体1．抽样方法抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，三种抽样方法都是等概率抽样．2．频率分布直方图(1)频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×.(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3．方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2][对点训练]1．(20xx·怀化二模)某校高三(1)班共有48人，学号依次为1,2,3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中，则还有一个同学的学号应为( )B．26A．27D．24C．25 [解析] 根据系统抽样的规则——“等距离”抽取，则抽取的号码差相等，易知相邻两个学号之间的差为11－3＝8，所以在19与35之间还有27，故选A.[答案] A 2．(20xx·山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )B．60A．56D．140C．120 [解析] 由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.故选D.[答案] D 3．(20xx·山东临沂一模)传承传统文化再掀热潮，在刚刚过去的新春假期中，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是( )A ．甲的平均数大于乙的平均数B ．甲的中位数大于乙的中位数C ．甲的方差大于乙的方差D ．甲的平均数等于乙的中位数[解析] 由茎叶图，知：甲＝(59＋45＋32＋38＋24＋26＋11＋12＋14)＝29，x －乙＝(51＋43＋30＋34＋20＋25＋27＋28＋12)＝30，s ＝[302＋162＋32＋92＋(－5)2＋(－3)2＋(－18)2＋(－17)2＋(－15)2]≈235.3，s ＝[212＋132＋02＋42＋(－10)2＋(－5)2＋(－3)2＋(－2)2＋(－18)2]≈120.9，甲的中位数为：26，乙的中位数为：28，∴甲的方差大于乙的方差．故选C.[答案] C4．(20xx·正定中学抽测)从某中学高一年级中随机抽取100名同学，将他们的成绩(单位：分)数据绘制成频率分布直方图(如图)，则这100名学生成绩的平均数为________，中位数为________．[解析] 由图可知，平均数＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125.中位数在120～130之间，设为x ，则0.01×10＋0.03×10＋0.025×(x－120)＝0.5，解得x ＝124.[答案] 125 124统计问题应关注的3点(1)分层抽样的关键是确定抽样比例，系统抽样主要是确定分段间隔，应用等差数列计算个体号码数．(2)在频率分布直方图中，众数为最高矩形的底边中点的横坐标，中位数为垂直横轴且平分直方图面积的直线与横轴交点的横坐标，平均数为每个小矩形的面积乘以相应小矩形底边中点的横坐标之积的和．(3)计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算．方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大．考点三 线性回归分析、独立性检验1．线性回归方程方程＝x ＋称为线性回归方程，其中＝，＝－；(，)称为样本中心点．2．独立性检验K2＝(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．角度1：线性回归方程的求解及应用【例2－1】 (20xx·全国卷Ⅲ)下图是我国20xx 年至20xx 年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份20xx ～20xx. [解] (1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，(ti －)2＝28，＝0.55，i ＝17 (ti －)(yi －)＝iyi －i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由＝≈1.331及(1)得＝＝≈0.103，a ^＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.所以，y 关于t 的回归方程为＝0.92＋0.10t.将20xx 年对应的t ＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测20xx 年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．角度2：独立性检验的应用[解] (1)优秀 非优秀 合计 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计3080110(2)根据列联表中的数据，得到K2＝≈7.486<10.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩是否优秀与班级有关系”．(1)求回归直线方程的关键①正确理解计算，的公式和准确的计算，其中线性回归方程必过样本中心点(，)．②在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．(2)独立性检验的关键根据2×2列联表准确计算K2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大．[对点训练]1．[角度1]某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)如下表：年份x20xx20xx20xx20xx20xx储蓄存款y/千亿元567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－20xx，z＝y－5得到下表：时间代号t12345z01235(1)求z关于t的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程＝x ＋，其中＝，＝－) [解] (1)令z 关于t 的线性回归方程为＝t ＋，∵＝3，＝2.2，izi ＝45，＝55，b ^＝＝1.2，＝－＝2.2－3×1.2＝－1.4，∴＝1.2t －1.4.(2)将t ＝x －20xx ，z ＝y －5，代入＝1.2t －1.4， 得－5＝1.2(x －20xx)－1.4，即＝1.2x －2408.4.(3)∵＝1.2×2020－2408.4＝15.6(千亿元)，∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元．2．[角度2](20xx·××市高三第一次调研)近年来，随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升．伴随着国内市场增速放缓，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来．如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方法从70后和80后的员工中随机调查了100位，得到数据如表：愿意被外派不愿意被外派 合计 70后 20 20 40 80后402060合计6040100(1)根据调查的数据，是否有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；(2)该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的70后、80后员工参加.70后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x；80后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y.求x<y的概率．参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.005k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. [解] (1)有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，理由如下：K2＝错误!＝错误!＝≈2.778>2.706，所以有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”．(2)“x<y”包含“x＝0，y＝1”、“x＝0，y＝2”、“x＝0，y＝3”、“x＝1，y＝2”、“x＝1，y＝3”、“x＝2，y＝3”六个事件，且P(x＝0，y＝1)＝×＝，P(x＝0，y＝2)＝×＝，P(x＝0，y＝3)＝×＝，P(x＝1，y＝2)＝×＝，P(x＝1，y＝3)＝×＝，P(x＝2，y＝3)＝×＝，所以P(x<y)＝＝＝.即x<y的概率为.热点课题23 统计知识的实际应用[感悟体验](20xx·山西吕梁二模)某校某次N名学生的学科能力测评成绩(满分120分)的频率分布直方图如下，已知分数在100～110的学生数有21人．(1)求总人数N和分数在110～115分的人数n；(2)现准备从分数在110～115的n名学生(女生占)中选3位分配给A老师进行指导，求选出的3位学生中有1位女生的概率；(3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导建议，对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析，该生7次考试成绩如表数学(x)888311792108100112物理(y)949110896104101106已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求出y关于x的线性回归方程＝x＋.若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.[解] (1)分数在100～110内的学生的频率为P1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35，所以该班总人数为N ＝＝60，分数在110～115内的学生的频率为P2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1，分数在110～115内的人数为n ＝60×0.1＝6.(2)由题意分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，从6名学生中选出3人，有1位女生的概率为P ＝＝.(3)计算＝×(88＋83＋117＋92＋108＋100＋112)＝100，y －＝×(94＋91＋108＋96＋104＋101＋106)＝100；由于x 与y 之间具有线性相关关系， 根据回归系数公式得到＝＝＝0.5，a ^＝－＝100－0.5×100＝50， ∴线性回归方程为＝0.5x ＋50，∴当x ＝130时，＝0.5×130＋50＝115.。

第3讲 导数的简单应用[做真题]题型一 导数的几何意义1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：选D ．法一：因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0，因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D ．法二：因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D ．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1解析：选D ．因为y ′＝a e x＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1. 3．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________． 解析：因为y ＝2ln(x ＋1)，所以y ′＝2x ＋1.当x ＝0时，y ′＝2，所以曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .答案：y ＝2x4．(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．解析：设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎪⎨⎪⎧1x1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 2题型二 导数与函数的单调性、极值与最值1．(2017·高考全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1解析：选A ．因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )ex －1＋(x 2＋ax －1)ex －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]ex －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)ex －1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1，令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1，选择A ．2．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．解析：法一：因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，所以f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝4cos 2x ＋2cos x －2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12(cos x ＋1)，由f ′(x )≥0得12≤cos x ≤1，即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，由f ′(x )≤0得－1≤cos x ≤12，即2k π＋π≥x ≥2k π＋π3或2k π－π≤x ≤2k π－π3，k ∈Z ，所以当x ＝2k π－π3(k ∈Z )时，f (x )取得最小值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝－332. 法二：因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )＝4sin x 2cos x2·2cos 2x2＝8sin x 2cos 3 x 2＝833sin 2x2cos 6x2，所以[f (x )]2＝643×3sin 2x 2cos 6 x 2≤643· ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3sin 2x 2＋cos 2x 2＋cos 2x 2＋cos 2x 244＝274， 当且仅当3sin 2x 2＝cos 2x 2，即sin 2x 2＝14时取等号， 所以0≤[f (x )]2≤274，所以－332≤f (x )≤332，所以f (x )的最小值为－332.答案：－332[明考情]1．此部分内容是高考命题的热点内容，在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小．2．应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．有时也常在解答题的第一问中考查，难度一般．导数的几何意义 [典型例题](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝0(2)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则点P 的坐标为________． (3)(2019·广州市调研测试)若过点A (a ，0)作曲线C ：y ＝x e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)依题意得y ′＝2cos x －sin x ，y ′|x ＝π＝(2cos x －sin x )|x ＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y ＋1＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0，故选C ．(2)f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故点P 的坐标为(1，3)或(－1，3)．(3)设切点坐标为(x 0，x 0e x 0)，y ′＝(x ＋1)e x，y ′|x ＝x 0＝(x 0＋1)e x 0，所以切线方程为y －x 0e x 0＝(x 0＋1)e x 0(x －x 0)，将点A (a ，0)代入可得－x 0e x 0＝(x 0＋1)e x 0(a －x 0)，化简，得x 20－ax 0－a ＝0，过点A (a ，0)作曲线C 的切线有且仅有两条，即方程x 20－ax 0－a ＝0有两个解，则有Δ＝a 2＋4a >0，解得a >0或a <－4，故实数a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．【答案】 (1)C (2)(1，3)或(－1，3) (3)(－∞，－4)∪(0，＋∞)(1)求曲线y ＝f (x )的切线方程的3种类型及方法1．(2019·武汉调研)设曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，在曲线C 上一点M (1，－4)处的切线记为l ，则切线l 与曲线C 的公共点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．y ′＝12x 3－6x 2－18x ，所以切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－12，所以切线l 的方程为12x ＋y －8＝0.联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y －8＝0y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，消去y ，得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0，所以(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0，所以x 1＝－2，x 2＝23，x 3＝1，所以切线l 与曲线C 有3个公共点．故选C ．2．(2019·成都第二次诊断性检测)已知直线l 既是曲线C 1：y ＝e x的切线，又是曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切线，则直线l 在x 轴上的截距为( )A ．2B ．1C ．e 2D ．－e 2解析：选B ．设直线l 与曲线C 1：y ＝e x的切点为A (x 1，e x 1)，与曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，14e 2x 22.由y ＝e x ，得y ′＝e x，所以曲线C 1在点A 处的切线方程为y －e x 1＝e x 1(x －x 1)，即y ＝e x 1x －e x 1(x 1－1) ①.由y ＝14e 2x 2，得y ′＝12e 2x ，所以曲线C 2在点B 处的切线方程为y －14e 2x 22＝12e 2x 2(x －x 2)，即y ＝12e 2x 2x －14e 2x 22 ②.因为①②表示的切线为同一直线，所以⎩⎪⎨⎪⎧e x 1＝12e 2x 2，e x 1(x 1－1)＝14e 2x 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝2，所以直线l 的方程为y ＝e 2x －e 2，令y ＝0，可得直线l 在x 上的截距为1，故选B ．3．(2019·广州市综合检测(一))若函数f (x )＝ax －3x的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________．解析：f ′(x )＝a ＋3x2，f ′(1)＝a ＋3，f (1)＝a －3，故f (x )的图象在点(1，a －3)处的切线方程为y －(a －3)＝(a ＋3)(x －1)，又切线过点(2，4)，所以4－(a －3)＝a ＋3，解得a ＝2.答案：2利用导数研究函数的单调性[典型例题]命题角度一 求函数的单调区间或判断函数的单调性已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x(x ＋1)2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性．【解】 函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x (x －2a ＋3)(x ＋1)3，x >－1. ①当－1<2a －3<0，即1<a <32时，当－1<x <2a －3或x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当2a －3<x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．②当2a －3＝0，即a ＝32时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a －3>0，即32<a <2时，当－1<x <0或x >2a －3时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增． 当0<x <2a －3时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，2a －3)上单调递减．综上，当1<a <32时，f (x )在(－1，2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a －3，0)上单调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当32<a <2时，f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，在(0，2a －3)上单调递减．利用导数求函数的单调区间的三种方法(1)当不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，求出实数根，把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f ′(x )在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0及方程f ′(x )＝0均不可解时求导数并化简，根据f ′(x )的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f ′(x )的符号，得单调区间．命题角度二 已知函数的单调性求参数 已知函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，其定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2－x －1x，令f ′(x )＝0，则x ＝1(负值舍去)．当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)法一：f ′(x )＝1x －2a 2x ＋a ＝－(2ax ＋1)(ax －1)x.①当a ＝0时，f ′(x )＝1x>0，所以f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数，不合题意；②当a >0时，由f ′(x )<0，得x >1a.所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1，a >0，解得a ≥1；③当a <0时，由f ′(x )<0，得x >－12a.所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞. 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－12a ≤1，a <0，解得a ≤－12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)．法二：f ′(x )＝1x －2a 2x ＋a ＝－2a 2x 2＋ax ＋1x.由f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，可得g (x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1≤0在区间(1，＋∞)上恒成立．①当a ＝0时，1≤0不合题意；②当a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧14a <1，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >14或a <0，－2a 2＋a ＋1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >14或a <0，a ≥1或a ≤－12，所以a ≥1或a ≤－12.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)．(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解．[对点训练]1．若函数f (x )＝(x ＋a )e x在区间(0，＋∞)上不单调，则实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝e x (x ＋a ＋1)，由题意，知方程e x(x ＋a ＋1)＝0在(0，＋∞)上至少有一个实数根，即x ＝－a －1>0，解得a <－1.答案：(－∞，－1)2．已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论f (x )的单调性．解：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x－a )． ①若a ＝0，则f (x )＝e 2x在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a <0，则由f ′(x )＝0， 得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0； 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．利用导数研究函数的极值(最值)问题[典型例题]命题角度一 求已知函数的极值(最值) 已知函数f (x )＝ln x x－1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0，求函数f (x )在区间[m ，2m ]上的最大值．【解】 (1)因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln x x2， 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x >0得0<x <e ； 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x >0，得x >e.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)①当⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤e ，m >0，即0<m ≤e2时，(m ，2m )⊆(0，e)，函数f (x )在区间[m ，2m ]上单调递增， 所以f (x )max ＝f (2m )＝ln 2m2m－1；②当m <e<2m ，即e2<m <e 时，(m ，e)⊆(0，e)，(e ，2m )⊆(e ，＋∞)，函数f (x )在区间(m ，e)上单调递增，在(e ，2m )上单调递减， 所以f (x )max ＝f (e)＝ln e e －1＝1e－1；③当m ≥e 时，(m ，2m )⊆(e ，＋∞)，函数f (x )在区间[m ，2m ]上单调递减，所以f (x )max＝f (m )＝ln mm－1.综上所述，当0<m ≤e 2时，f (x )max ＝ln 2m 2m －1；当e 2<m <e 时，f (x )max ＝1e－1；当m ≥e 时，f (x )max ＝ln mm－1.利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号． (2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．(3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在求得极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．命题角度二 已知函数的极值或最值求参数 (2019·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b . (1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．【解】 (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a3时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a3单调递减； 若a ＝0，f (x )在(－∞，＋∞)单调递增；若a <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，0时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，0单调递减．(2)满足题设条件的a ，b 存在．(i)当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递增，所以f (x )在区间[0，1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1.(ii)当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递减，所以f (x )在区间[0，1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1.(iii)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在[0，1]的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0<a <3矛盾．若－a 327＋b ＝－1，2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0<a <3矛盾．综上，当且仅当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0，1]的最小值为－1，最大值为1.已知函数极值点或极值求参数的方法(2019·长春质量检测(一))已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x (其中常数a ≠0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且在(0，e]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，x >0， f ′(x )＝1x ＋2x －3＝2x 2－3x ＋1x，令f ′(x )＝0，解得x 1＝12，x 2＝1，当0<x <12时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增； 当12<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减； 当x >1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x，令f ′(x )＝0，得x ′1＝1，x ′2＝12a，因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x ′2＝12a ≠x ′1＝1，当12a<0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以f (x )在(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2.当0<12a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，在(1，e]上单调递增，所以最大值1可能在x ＝12a或x ＝e 处取得，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2－(2a ＋1)×12a ＝ln 12a －14a －1<0， 所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2. 当1<12a <e 时，f (x )在(0，1)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤12a ，e 上单调递增，所以最大值1可能在x ＝1或x ＝e 处取得， 而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)<0， 所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1， 解得a ＝1e －2，与1<12a <e 矛盾．当12a≥e 时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以最大值1在x ＝1处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)<0，不符合题意． 综上所述，a ＝1e －2或a ＝－2.一、选择题1．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( )A ．12 B ．1 C ．2D ．e解析：选B ．由题意知y ′＝a e x＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( ) A ．(－3，3) B ．(－11，4)C ．(4，－11)D ．(－3，3)或(4，－11)解析：选C ．f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C ．3．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知f (x )在R 上连续可导，f ′(x )为其导函数，且f (x )＝e x ＋e －x －f ′(1)x ·(e x －e －x )，则f ′(2)＋f ′(－2)－f ′(0)f ′(1)＝( )A ．4e 2＋4e －2B ．4e 2－4e －2C ．0D ．4e 2解析：选C ．由题意，得f ′(x )＝e x－e －x－f ′(1) [e x－e －x＋x (e x ＋e －x)]，所以f ′(0)＝e 0－e 0－f ′(1)[e 0－e 0＋0·(e 0＋e 0)]＝0，f ′(2)＋f ′(－2)＝0，所以f ′(2)＋f ′(－2)－f ′(0)f ′(1)＝0，故选C ．4．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－26] B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C ．由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 4≤1，g (1)≥0⇔－26≤a ≤26或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－4，a ≥－5⇔a ≥－26，故选C ． 5．函数f (x )(x >0)的导函数为f ′(x )，若xf ′(x )＋f (x )＝e x，且f (1)＝e ，则( ) A ．f (x )的最小值为e B ．f (x )的最大值为e C ．f (x )的最小值为1eD ．f (x )的最大值为1e解析：选A ．设g (x )＝xf (x )－e x， 所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )－e x ＝0， 所以g (x )＝xf (x )－e x为常数函数． 因为g (1)＝1×f (1)－e ＝0， 所以g (x )＝xf (x )－e x ＝g (1)＝0， 所以f (x )＝e xx ，f ′(x )＝e x(x －1)x2， 当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0， 所以f (x )≥f (1)＝e.6．若函数f (x )＝e x－(m ＋1)ln x ＋2(m ＋1)x －1恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为( )A ．(－e 2，－e) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－e 2C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 D ．(－∞，－e －1)解析：选D ．由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝e x－(m ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1x－2＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，所以m ＋1＝x e x1－2x在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，令g (x )＝x e x1－2x ，则g ′(x )＝－e x(x －1)(2x ＋1)(1－2x )2，所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，其图象如图所示，要使m ＋1＝x e x1－2x 在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，则m ＋1<g (1)，即m ＋1<－e ，m <－e －1，所以实数m 的取值范围是(－∞，－e －1)．故选D ．二、填空题7．(2019·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0，0)处的切线方程为________． 解析：因为y ′＝3(2x ＋1)e x＋3(x 2＋x )e x ＝3(x 2＋3x ＋1)e x，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，所以所求的切线方程为y ＝3x .答案：y ＝3x8．函数f (x )＝x 2－ln x 的最小值为________．解析：因为f (x )＝x 2－ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －1x ，令2x －1x ＝0得x ＝22，令f ′(x )>0，则x >22；令f ′(x )<0，则0<x <22.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增，所以f (x )的极小值(也是最小值)为⎝ ⎛⎭⎪⎫222－ln 22＝1＋ln 22.答案：1＋ ln 229．若函数f (x )＝x 2－4e x－ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为________． 解析：因为f (x )＝x 2－4e x －ax ，所以f ′(x )＝2x －4e x －a .由题意，f ′(x )＝2x －4e x－a >0，即a <2x －4e x 有解，即a <(2x －4e x )max 即可．令g (x )＝2x －4e x ，则g ′(x )＝2－4e x.令g ′(x )＝0，解得x ＝－ln 2.当x ∈(－∞，－ln 2)时，函数g (x )＝2x －4e x单调递增；当x ∈(－ln 2，＋∞)时，函数g (x )＝2x －4e x 单调递减．所以当x ＝－ln 2时，g (x )＝2x －4e x取得最大值－2－2ln 2，所以a <－2－2ln 2.答案：(－∞，－2－2ln 2) 三、解答题10．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程； (2)讨论f (x )的单调性．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x, f (e)＝e ＋1，f ′(x )＝1x ＋1，f ′(e)＝1＋1e，所以曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y －(e ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1e (x －e)，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1x .(2)f ′(x )＝1x －2ax ＋1＝－2ax 2＋x ＋1x，x >0，①当a ≤0时，显然f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a >0时，令f ′(x )＝－2ax 2＋x ＋1x＝0，则－2ax 2＋x ＋1＝0，易知其判别式为正，设方程的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)， 则x 1x 2＝－12a<0，所以x 1<0<x 2，所以f ′(x )＝－2ax 2＋x ＋1x ＝－2a (x －x 1)(x －x 2)x，x >0.令f ′(x )>0，得x ∈(0，x 2)，令f ′(x )<0得x ∈(x 2，＋∞)，其中x 2＝1＋8a ＋14a.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋8a ＋14a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫1＋8a ＋14a ，＋∞上单调递减． 11．已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x . (1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围． 解：(1)由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2＝a ＋2xx.当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x.所以当0<x <2时，f ′(x )<0， 即f (x )单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增．所以f (x )只有极小值，且在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2. 所以当a ＝－4时，f (x )只有极小值4－4ln 2. (2)因为f ′(x )＝a ＋2xx， 所以当a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 即f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值； 当a <0时，由f ′(x )>0得，x >－a2，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，＋∞上单调递增；由f ′(x )<0得，x <－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2上单调递减．所以当a <0时，f (x )的最小值为极小值，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－a .根据题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－a ≥－a ，即a [ln(－a )－ln 2]≥0.因为a <0，所以ln(－a )－ln 2≤0，解得a ≥－2， 综上实数a 的取值范围是[－2，0)．12．(2019·广州市调研测试)已知函数f (x )＝x e x＋a (ln x ＋x )．(1)若a ＝－e ，求f (x )的单调区间；(2)当a <0时，记f (x )的最小值为m ，求证：m ≤1.解：(1)当a ＝－e 时，f (x )＝x e x－e(ln x ＋x )，f (x )的定义域是(0，＋∞)．f ′(x )＝(x ＋1)e x －e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝x ＋1x (x e x －e)．当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时．f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (2)证明：f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋1x(x e x＋a )， 令g (x )＝x e x＋a ，则g ′(x )＝(x ＋1)e x>0，g (x )在(0，＋∞)上单调递增． 因为a <0，所以g (0)＝a <0，g (－a )＝－a e －a＋a >－a ＋a ＝0， 故存在x 0∈(0，－a )，使得g (x 0)＝x 0e x 0＋a ＝0. 当x ∈(0，x 0)时，g (x )<0，f ′(x )＝x ＋1x(x e x＋a )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )＝x ＋1x(x e x＋a )>0，f (x )单调递增． 故x ＝x 0时，f (x )取得最小值，即m ＝f (x 0)＝x 0e x 0＋a (ln x 0＋x 0)． 由x 0e x 0＋a ＝0得m ＝x 0e x 0＋a ln(x 0e x 0)＝－a ＋a ln(－a )，令x ＝－a >0，h (x )＝x －x ln x ，则h ′(x )＝1－(1＋ln x )＝－ln x ， 当x ∈(0，1)时，h ′(x )＝－ln x >0，h (x )＝x －x ln x 单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＝－ln x <0，h (x )＝x －x ln x 单调递减， 故x ＝1，即a ＝－1时，h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，故m ≤1.。

2019-2020年高考数学二轮复习第一部分专题六函数、不等式、导数教学案文主要考查函数的定义域、分段函数求值或已知函数值取值范围求字母的值取值范围等. C ．9D ．12(2)(xx·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．[解析] (1)∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.(2)由题意知，当x ≤0时，原不等式可化为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0；当0<x ≤12时，原不等式可化为2x＋x ＋12>1，显然成立；当x >12时，原不等式可化为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.[答案] (1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞[方法技巧]1．函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略[演练冲关]1．(xx·宝鸡质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx ，x ≤0，f x －＋1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43的值为( )A ．－1B ．1 C.32D.52解析：选B 依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝1，故选B.2．(xx·山东高考)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，x －，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1≥1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1，x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：选B 因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.[典例感悟][典例] (1)(xx·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )(2)(xx·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )[解析] (1)令函数f (x )＝sin 2x1－cos x，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z}，又f (－x )＝－2x 1－－x ＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A 、C.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2 2. ∵22<1＋5，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B.[答案] (1)C (2)B[方法技巧]由函数解析式识别函数图象的策略[演练冲关]1．(xx·惠州调研)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：选A 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x，则当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.2．(xx·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：选D 法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2＞0，故排除选项A 、C.故选D.3.如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )解析：选B 如图，设∠MON ＝α，由弧长公式知x ＝α.在Rt △AOM 中，|AO |＝1－t ，cos x 2＝|OA ||OM |＝1－t ，∴y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(1－t )2－1.又0≤t ≤1，故选B.[典例感悟][典例] (1)(xx·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m(2)(xx·成都模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝( )A ．－18 B.18C ．－1258 D.1258(3)(xx·四川模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足下列三个条件： ①对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )； ②对任意的0≤x 1<x 2≤2，都有f (x 1)<f (x 2)； ③f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系是________．(用“<”连接) [解析] (1)因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i＋y i )＝m .(2)由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.(3)由①可知，f (x )是一个周期为4的函数；由②可知，f (x )在[0,2]上是增函数；由③可知，f (x )的图象关于直线x ＝2对称．故f (4.5)＝f (0.5)，f (6.5)＝f (2.5)＝f (1.5)，f (7)＝f (3)＝f (1)，f (0.5)<f (1)<f (1.5)，即f (4.5)<f (7)<f (6.5)．[答案] (1)B (2)B (3)f (4.5)<f (7)<f (6.5)[方法技巧] 函数3个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．[演练冲关]1．(xx 届高三·湖北七市(州)联考)函数y ＝f (x )为R 上的偶函数，函数y ＝g (x )为 R 上的奇函数，f (x )＝g (x ＋2)，f (0)＝－4，则g (x )可以是( )A ．4tan πx8B ．－4sin πx2C ．4sin πx4D ．－4sin πx4解析：选D ∵f (x )＝g (x ＋2)，f (0)＝－4，∴g (2)＝－4.而4tan 2π8＝4tan π4＝4，－4sin 2π2＝－4sin π＝0,4sin 2π4＝4sin π2＝4，－4sin 2π4＝－4，∴y ＝g (x )可以是g (x )＝－4sin πx4，经检验，选项D 符合题干条件．故选D.2．(xx·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.3．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (－x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x ，x ≠12，0，x ＝12，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内是( )A ．增函数且f (x )>0B ．增函数且f (x )<0C ．减函数且f (x )>0D ．减函数且f (x )<0解析：选D 由f (x )为奇函数，f (x ＋1)＝f (－x )得，f (x )＝－f (x ＋1)＝f (x ＋2)，∴f (x )是周期为2的周期函数．根据条件，当x ∈12，1时，f (x )＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x －2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，－(x －2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴f (x )＝f (x －2)＝－f (2－x )＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.设2－x ＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，x ＝2－t ，∴－f (t )＝log 1232－t ，∴f (t )＝－log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－t ，∴f (x )＝－log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，可以看出当x 增大时，32－x 减小，log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 增大，f (x )减小，∴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内，f (x )是减函数．而由1<x <32得0<32－x <12.∴log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x >1，∴f (x )<0.故选D.[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期．(二) 二级结论要用好1．函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f (x )，g (x )同为增(减)函数时，f (x )＋g (x )为增(减)函数．(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．(3)f (x )为奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称；f (x )为偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称．(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f (0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f (x )＝0.(6)f (x )＋f (－x )＝0⇔f (x )为奇函数；f (x )－f (－x )＝0⇔f (x )为偶函数．2．抽象函数的周期性与对称性的结论 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，T ＝2a . ②若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期函数，T ＝2a . ③若函数f (x )满足f (x ＋a )＝1f x，则f (x )是周期函数，T ＝2a .(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．3．函数图象平移变换的相关结论(1)把y ＝f (x )的图象沿x 轴左右平移|c |个单位(c ＞0时向左移，c ＜0时向右移)得到函数y ＝f (x ＋c )的图象(c 为常数)．(2)把y ＝f (x )的图象沿y 轴上下平移|b |个单位(b ＞0时向上移，b ＜0时向下移)得到函数y ＝f (x )＋b 的图象(b 为常数)．(三) 易错易混要明了1．求函数的定义域时，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不能遗漏．2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．3．判断函数的奇偶性时，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．4．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题． [针对练1] 已知f (cos x )＝sin 2x ，则f (x )＝________.解析：令t ＝cos x ，且t ∈[－1,1]，则f (t )＝1－t 2，t ∈[－1，1]，即f (x )＝1－x 2，x ∈[－1,1]．答案：1－x 2，x ∈[－1,1]5．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[针对练2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x <0，ln x ，x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＝－1，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (－1)＝e －1＝1e .答案：1e[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题 1．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C 由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2，即函数f (x )的定义域是(2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，π＋x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )是偶函数B ．函数f (x )是减函数C ．函数f (x )是周期函数D ．函数f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：选D 由函数f (x )的解析式，知f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数．当x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x ) ∈[－1,1]．所以函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.3．(xx·合肥模拟)函数y ＝4cos x －e |x |(e 为自然对数的底数)的图象可能是( )解析：选A 令f (x )＝4cos x －e |x |，因为f (－x )＝4cos(－x )－e|－x |＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项B ，D.又f (0)＝4cos 0－e 0＝3>0，所以选项A 满足条件．故选A.4．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选B 函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象．因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A ，C ，D ，故选B.5．(xx·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选D 选项A ，B 是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．故选D.6．(xx·陕西质检)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋2)为偶函数，则f (8)＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2解析：选B 由奇函数f (x )的定义域为R ，可得f (0)＝0，由f (x ＋2)为偶函数，可得f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，故f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f [－(x ＋2)＋2]＝f (－x )＝－f (x )，则f (x ＋8)＝f [(x ＋4)＋4]＝－f (x ＋4)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以f (8)＝f (0)＝0，故选B.7．(xx 届高三·湖南五市十校联考)函数y ＝－xx x －2的图象大致为( )选A 当x >2时，2－x <0，e x >0，(x －1)2>0，∴y <0，此时函数的图象在x 轴的下方，排除B ；当x <2且x ≠1时，2－x >0，e x>0，(x －1)2>0，∴y >0，此时函数的图象在x 轴的上方，故选A.8．(xx·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0，所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，20.8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c .9．已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D 由题意知当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.10．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：选A x ≤0时，f (x )＝2－x－1,0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故当x >0时，f (x )是周期函数，f (x )的图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．11．(xx 届高三·广西三市联考)已知函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤4，4e 5－x，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，则m 的取值范围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2解析：选D 作出函数y 1＝e|x －2|和y ＝g (x )的图象，如图所示，由图可知当x ＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e5－x，得e2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.12．(xx·洛阳统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，显然此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－a ＋3≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2]，故选A.二、填空题13．(xx·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________.解析：∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)．又f (x )为偶函数，∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. 答案：614．(xx·陕西质检)已知函数f (x )＝1|x |－1，下列关于函数f (x )的结论： ①y ＝f (x )的值域为R ；②y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减；③y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；④y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点． 其中正确结论的序号是________． 解析：函数f (x )＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ≥0，1－x －1，x <0，其图象如图所示，由图象可知f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；f (x )在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，而在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f (x )的图象关于y 轴对称，故③正确；由于f (x )在每个象限都有图象，所以与过原点的直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点，故④正确．答案：③④15．(xx·惠州调研)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件fx ＋32＝－f (x )，且函数y＝fx －34为奇函数，给出以下四个结论：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中正确结论的序号为________．解析：f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－fx ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确；函数fx －34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，②正确；因为f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f －32＋x ，又f ⎝⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝－f －32＋x ＋32＝－f (x )，所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数，在R 上不可能是单调函数，④错误．故正确结论的序号为①②③.答案：①②③16．(xx·云南统考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x 2＋1＋x 2＋x ，x ≥0，3x 2＋1＋x 2－x ，x <0，若f (x －1)<f (2x ＋1)，则x 的取值范围为________．解析：当x >0时，－x <0，f (－x )＝3(－x )2＋ln(1＋－x2＋x )＝3x 2＋ln(1＋x 2＋x )＝f (x )，同理可得，当x <0时，f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数．因为当x >0时，函数f (x )单调递增，所以不等式f (x －1)<f (2x ＋1)等价于|x －1|<|2x ＋1|，整理得x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2.答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)B 组——能力小题保分练1．(xx·郑州质检)函数f (x )＝1－2x1＋2x cos x 的图象大致为( )解析：选C 依题意，f (－x )＝1－2－x1＋2－x cos(－x )＝2x－2－x 2x＋2－xcos x ＝2x－12x ＋1cos x ＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A ，B 均不正确；当0<x <1时，1－2x1＋2x <0，cos x >0，f (x )<0，结合选项知，C 正确，故选C.2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．3．(xx·成都模拟)已知函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12.若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，有g (x )＝f (x )，且函数g (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．g (π)<g (3)<g (2)B ．g (π)<g (2)<g (3)C ．g (2)<g (3)<g (π)D ．g (2)<g (π)<g (3)解析：选C 因为函数f (x )的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以a 12＝22，即a ＝12，函数f (x )在R 上单调递减．函数g (x ＋2)为偶函数，所以函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )且g (x )单调递减，所以x ∈[2,6]时，g (x )单调递增，根据对称性，可知在[－2,6]上距离对称轴x ＝2越远的自变量，对应的函数值越大，所以g (2)<g (3)<g (π)．故选C.4．(xx·广州模拟)已知函数f (x )＝x 2x －1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π＋12，则∑k ＝12 016f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2 017的值为( )A ．2 016B ．1 008C ．504D ．0解析：选B 因为f (x )＝x －12＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π＋12＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，所以f (x )的图象是由y ＝14x ＋sin x ＋12的图象向右平移12个单位长度得到的，因为曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12是由曲线y ＝sin x 向右平移12个单位长度得到的，所以曲线y ＝sin x －12关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称，又曲线y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称，所以f (x )的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12对称，所以f (x )＋f (1－x )＝ 1.所以∑k ＝12 016f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2 017＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋…＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝ 1008×⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝1 008，故选B.5．设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝________.解析：依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (y <0)，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，解得a ＝23.答案：236．已知函数f (x )满足对任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )成立，函数g (x )满足对任意的x ，y ∈R ，都有g (xy )＝g (x )－g (y )成立，且f (3)＝2，g (－2)＝3，则f (－3)＋g (2)＝________.解析：根据题意，函数f (x )满足对任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )成立，令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，即f (1)＝0；令x ＝y ＝－1，则f (1)＝f (－1)＋f (－1)，则f (－1)＝0；令y ＝－1，则f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数，f (－3)＝f (3)＝2.函数g (x )满足对任意的x ，y ∈R ，都有g (xy )＝g (x )－g (y )成立，令x ＝y＝－1，则g (1)＝g (－1)－g (－1)＝0；令x ＝1，y ＝－1，则g (－1)＝g (1)－g (－1)，即g (－1)＝0；令y ＝－1，则g (－x )＝g (x )－g (－1)，∴g (－x )＝g (x )，即函数g (x )为偶函数，∴g (2)＝g (－2)＝3.∴f (－3)＋g (2)＝2＋3＝5.答案：5第二讲 小题考法——基本初等函数、函数与方程[典例感悟][典例] (1)若当x ∈R 时，函数f (x )＝a |x |(a >0且a ≠1)满足f (x )≤1，则函数y ＝log a (x ＋1)的图象大致为( )(2)(xx·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z[解析] (1)由a |x |≤1(x ∈R)，知0<a <1，又函数y ＝log a (x ＋1)的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移一个单位而得，故选C.(2)设2x ＝3y ＝5z＝k >1，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k . ∵2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3>0， ∴2x >3y ；∵3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5 ＝log k125243log k 3·log k 5<0， ∴3y <5z ；∵2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5 ＝log k2532log k 2·log k 5<0， ∴5z >2x .∴5z >2x >3y . [答案] (1)C (2)D[方法技巧]3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较． (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较．(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．[演练冲关]1．(xx·北京高考)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析：选A 因为f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．2．(xx·洛阳统考)已知f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (c )<f (b )<f (a ) B ．f (c )<f (a )<f (b ) C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )解析：选C 依题意，注意到21.2>20.8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8>1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f (21.2)<f (20.8)<f (2log 52)，由函数f (x )是偶函数得f (a )＝f (21.2)，因此f (a )<f (b )<f (c )，故选C.3.(xx 届高三·西安八校联考)如图所示，已知函数y ＝log 24x 图象上的两点A ，B 和函数y ＝log 2x 图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当△ABC 为正三角形时，点B 的横坐标为________．解析：依题意，当AC ∥y 轴，△ABC 为正三角形时，|AC |＝log 24x－log 2x ＝2，点B 到直线AC 的距离为3，设点B (x 0,2＋log 2x 0)，则点A (x 0＋3，3＋log 2x 0)．由点A 在函数y ＝log 24x 的图象上，得log 24(x 0＋3)＝3＋log 2x 0＝log 28x 0，则4(x 0＋3)＝8x 0，x 0＝3，即点B 的横坐标是 3.答案： 3主要考查利用函数零点存在性定理或数形结合法确定函数零点的个数或其存在范围，以及应用零点求参数的值或范围[典例感悟][典例] (1)(xx·南昌模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x(e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)(xx·成都模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为( )A ．－7B ．－6C ．－3D ．－1(3)(xx·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12 B.13C.12D ．1[解析] (1)当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x－1＝1－xx，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．因此，当x >0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象，如图，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x(e 为自然对数的底数)有2个零点．故选C.(2)因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，又当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，如图所示．由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图，得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A. (3)由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e－x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时等号成立．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时等号成立． 若a >0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝12.[答案] (1)C (2)A (3)C[方法技巧]1．判断函数零点个数的方法2．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[演练冲关]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －2，x >2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A 由已知条件得g (x )＝3－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x ≥0，3－x 2，x <0，函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象交点的个数，分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的草图，观察发现有2个交点．故选A.2．(xx·洛阳统考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(0,1)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1＋e e 2D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋e e 2解析：选B 依题意，关于x 的方程ax －1＝ln x x有两个不等的正实数根．记g (x )＝ln xx，则g ′(x )＝1－ln x x2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在区间(0，e)上单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减，且g (e)＝1e，当0<x <1时，g (x )<0.设直线y ＝a 1x －1与函数g (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1－ln x 0x 2，a 1x 0－1＝ln x 0x，由此解得x 0＝1，a 1＝1.在坐标平面内画出直线y ＝ax －1与函数g (x )的大致图象，结合图象可知，要使直线y ＝ax －1与函数g (x )的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是(0,1)，故选B.3．(xx·山东高考)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0， 2 ]∪[23，＋∞)D ．(0， 2 ]∪[3，＋∞)解析：选B 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0<m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m >1时，0<1m<1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢1．指数函数与对数函数的对比表2.方程的根与函数的零点 (1)方程的根与函数零点的关系由函数零点的定义，可知函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．所以方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．(2)函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f (a )·f (b )<0，那么函数f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的实数根．[针对练1] 在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析：选 C 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，所以f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.(二) 易错易混要明了1．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如讨论函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的单调性时忽视字母a 的取值范围，忽视a x>0；研究对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)时忽视真数与底数的限制条件．2．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．3．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有且只有一个零点，要注意讨论a 是否为零．[针对练2] 函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围为________．解析：当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋1，则x ＝12为函数的零点．当m ≠0时，若Δ＝4－4m ＝0，即当m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点． 若Δ＝4－4m ≠0，即m ≠1时，显然x ＝0不是函数的零点．这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f (x )＝mx 2－2x ＋1有一个正根一个负根． 因此1m<0.则m <0.综上知实数m 的取值范围是(－∞，0]∪{1}．答案：(－∞，0]∪{1}[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(xx·沈阳质检)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )解析：选A 函数f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )知函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，排除C ；又由f (0)＝ln 1＝0，可排除B ，D.故选A.2．(xx·全国卷Ⅲ)已知a ＝2，b ＝3，c ＝25，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A a ＝2＝4，b ＝3，c ＝25＝5.∵y ＝x 在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c ＞a ＞b .3．(xx·福州质检)已知a ＝16ln 8，b ＝12ln 5，c ＝ln 6－ln 2，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选B 因为a ＝16ln 8，b ＝12ln 5，c ＝ln 6－ln 2，所以a ＝ln 2，b ＝ln 5，c ＝ln62＝ln 3.又对数函数y ＝ln x 在(0，＋∞)上为单调递增函数，由2<3<5，得ln2<ln 3<ln 5，所以a <c <b ，故选B.4．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1>0，∴f (0)·f (1)<0，故函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)，故选C.5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司xx 年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2020年 B ．2021年 C ．2022年D ．2023年解析：选B 设xx 年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选C 当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－2，即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，f ′(x )＝2＋1x，由x >0知f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，而f (1)＝－4<0，f (e)＝2e －5>0，f (1)·f (e)<0，从而f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．故函数f (x )的零点个数是2.7．(xx·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称解析：选 C 由题易知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0,2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A 、B ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝ln 34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫2－32＝ln 34， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 34，所以排除D.故选C. 8．(xx·贵阳检测)已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞)解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域包含(0，＋∞)，因此对于方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)，故选D.9．(xx 届高三·河北五校联考)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52D ．92解析：选D 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)知，当x ＝－2时，y ＝－1，所以A 点的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2n m ·m n ＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立．所以2m ＋1n 的最小值为92，故选D.10．(xx·长春质检)已知定义域为R 的函数f (x )的图象经过点(1,1)，且对任意实数x 1<x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>－2，则不等式f (log 2|3x －1|)<3－log 2|3x－1|的解集为( )A ．(－∞，0)∪(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－∞，1)解析：选A 令F (x )＝f (x )＋2x ，由对任意实数x 1<x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>－2，可得f (x 1)＋2x 1<f (x 2)＋2x 2，即F (x 1)<F (x 2)，所以F (x )在定义域内单调递增，由f (1)＝1，得F (1)＝f (1)＋2＝3，f (log 2|3x－1|)<3－log 2|3x－1|等价于f (log 2|3x－1|)＋2log 2|3x－1|<3，令t ＝log 2|3x －1|，则f (t )＋2t <3，即F (t )<3，所以t <1，即log 2|3x －1|<1，从而0<|3x －1|<2，解得x <1，且x ≠0.故选A.11．(xx·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ＋x 2，x ≥0，－x－x ＋x 2，x <0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,1]解析：选D 若x >0，则－x <0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x <0时，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1，故选D.12．(x x·合肥质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2＋e ，x ≤2，xln x＋a ＋10，x >2，(e 是自然对数的底数)，若f (2)是函数f (x )的最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－1,6]B ．[1,4]C ．[2,4]D ．[2,6]解析：选D 当x >2时，f (x )＝x ln x＋a ＋10，f ′(x )＝ln x －1x2，令f ′(x )>0，解得x >e ，令f ′(x )<0，解得x <e ，所以f (x )在(2，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，即函数f (x )在x >2时的最小值为f (e)；当x ≤2时，f (x )＝(x －a )2＋e 是对称轴方程为x ＝a 的二次函数，欲使f (2)是函数的最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，f f ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，－a 2＋e≤e＋a ＋10，解得2≤a ≤6，故选D.二、填空题13．(xx·广州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤0，1－log 2x ，x >0，若|f (a )|≥2，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≤0时，1－a ≥1，所以21－a≥2，即|f (a )|≥2恒成立；当a >0时，由|f (a )|≥2可得|1－log 2a |≥2，所以1－log 2a ≤－2或1－log 2a ≥2，解得a ≥8或0<a ≤12.综上，实数a的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[8，＋∞)． 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[8，＋∞)。

层级二专题六第2讲(理)限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2020·济宁模拟)从4台甲型装载机和5台乙型装载机中任意取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型装载机各一台，则不同的取法共有()A．84种B．80种C．70种D．35种解析：C[根据题意可分为以下2种情况进行考虑：(1)甲型装载机2台和乙型装载机1台，取法有C24C15＝30种；(2)甲型装载机1台和乙型装载机2台，取法有C14C25＝40种．所以不同的取法共有30＋40＝70种．]2．(2019·唐山二模)用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是()A．18 B．16C．12 D．9解析：D[若把两个1看作不同的数，先安排0有3种情况，安排第2个数有3种情况，安排第3个数有2种情况，安排第4个数有1种情况，一共有3×3×2×1＝18种情况，由于有两个1，所以其中一半重复，故有9个四位数．]3．(全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80 B．－40C．40 D．80解析：C[由(2x－y)5展开式的通项公式：T r＋1＝C r5(2x)5－r(－y)r可得：当r＝3时，x(2x－y)5展开式中x3y3的系数为C35×22×(－1)3＝－40当r＝2时，y(2x－y)5展开式中x3y3的系数为C25×23×(－1)2＝80，则x3y3的系数为80－40＝40.本题选择C选项．]4．(2020·合肥调研)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有()A．250个B．249个C．48个D．24个解析：C [①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A 34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A 34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.]5．(2020·龙岩模拟)若⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是( )A ．－462B ．462C ．792D ．－792解析：D [∵⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大， ∴n 为偶数，展开式共有13项，则n ＝12.⎝⎛⎭⎫x －1x 12的展开式的通项公式为T k ＋1＝(－1)k C k12·x 12－2k ，令12－2k ＝2，即k ＝5. ∴展开式中含x 2项的系数是(－1)5C 512＝－792.]6．(2019·渭南二模)已知⎝⎛⎭⎫4－1x n (n ∈N *)展开式中所有项的系数的和为243，则该展开式中含1x2项的系数为( )A ．20B ．－20C ．640D ．－640解析：A [∵⎝⎛⎭⎫4－1x n (n ∈N *)展开式中所有项的系数的和为3n ＝243，∴n ＝5，故⎝⎛⎭⎫4－1x n＝⎝⎛⎭⎫4－1x 5，它的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(－1)r ·45－r·x －r 2.令－r 2＝－2，得r ＝4，∴展开式中含1x2项的系数为C 45×4＝20.] 7．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数是( )A ．135B ．172C ．189D ．162解析：C [由题意，不考虑特殊情况有C 312种取法，其中每一种卡片各取3张有4种取法，两张红色卡片共有C 23C 19种取法，故所求的取法种数为C 312－4－C 23C 19＝189，选C.]8．(2020·惠州二调)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )A ．6B ．12C ．18D ．19解析：D [在物理、政治、历史中选一科的选法有C 13C 23＝9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有C 23C 13＝9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种．所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19(种)，故选D.]9．(2020·成都诊断)已知x 5(x ＋3)3＝a 8(x ＋1)8＋a 7(x ＋1)7＋…＋a 1(x ＋1)＋a 0，则7a 7＋5a 5＋3a 3＋a 1＝( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16解析：B [对x 5(x ＋3)3＝a 8(x ＋1)8＋a 7(x ＋1)7＋…＋a 1(x ＋1)＋a 0两边求导，得5x 4(x ＋3)3＋3x 5(x ＋3)2＝8a 8(x ＋1)7＋7a 7(x ＋1)6＋…＋a 1，令x ＝0，得0＝8a 8＋7a 7＋…＋a 1，令x ＝－2，得5×(－2)4×(－2＋3)3＋3×(－2)5×(－2＋3)2＝－8a 8＋7a 7＋…－2a 2＋a 1，两式左右分别相加，得－16＝2(7a 7＋5a 5＋3a 3＋a 1)，即7a 7＋5a 5＋3a 3＋a 1＝－8，选B.]10．(2020·郑州模拟)5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有( )A ．25种B ．60种C ．90种D ．150种解析：D [因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，所以共有两种方法：一，一个单位1名，其他两个单位各2名，有C 15C 24A 22×A 33＝90(种)分配方法；二，一个单位3名，其他两个单位各1名，有C 35×A 33＝60(种)分配方法，共有90＋60＝150(种)分法，故选D.]11．(2019·江西上饶三模)已知m ＝⎠⎛0π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π2d x ，则(x －2y ＋3z )m 的展开式中含x m －2yz 项的系数等于( )A ．180B ．－180C ．－90D ．15解析：B [由于m ＝⎠⎛0π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π2d x ＝⎠⎛0π3sin x d x＝(－3cos x)＝6，所以(x－2y＋3z)m＝(x－2y＋3z)6＝[(x－2y)＋3z]6，其展开式的通项为C k6(x－2y)6－k(3z)k，当k＝1时，展开式中才能含有x4yz项，这时(x－2y)5的展开式的通项为C S5·x5－S(－2y)S，当S＝1时，含有x4y项，系数为－10，故(x－2y＋3z)6的展开式中含x4yz项的系数为C16·(－10)×3＝－180.]12．(2019·潍坊三模)为迎接建国七十周年，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生中不同的朗诵顺序的种数为()A．720 B．768C．810 D．816解析：B[由题意知结果有三种情况．(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有C14A44＝96(种)情况，其中甲、乙相邻的有C14A22A33＝48(种)情况，所有当甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻的有96－48＝48(种)情况；(2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有C34C13A44＝288(种)情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有C24C23A44＝432(种)情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有288＋432＋48＝768(种)情况，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．从1,3,5,8,9中任取3个数字，从0,2,7,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的五位数．(用数字作答)解析：C35C23A55＋C13C35C13A44＝3 600＋2 160＝5 760.答案：5 76014．(2019·天水二模)(1＋x)(1－x)6的展开式中，x3的系数是________．(用数字作答) 解析：由题意可知，(1－x)6展开式的通项为T r＋1＝C r6·16－r·(－x)r＝(－1)r C r6·x r，则(1＋x)(1－x)6的展开式中，含x3的项为(－1)3C36x3＋x·(－1)2C26x2＝－20x3＋15x3＝－5x3，所以x3的系数是－5.答案：－515．(2019·浙江卷)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．解析：此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．(2＋x)9的通项为T r＋1＝C r9(2)9－r x r(r＝0,1,2…9)可得常数项为T1＝C09(2)9＝162，因系数为有理数，r＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10共5个项．答案：162 516．(2020·甘肃模拟)根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为________(用数字作答)．解析：由题意可知，可分为两类：一类：甲乙在一个地区时，剩余的三位分为两组，再三组派遣到三个地区，共有C23A33＝18种不同的派遣方式；另一类：甲乙和剩余的三人中的一个人同在一个地区，另外两人分别在两个地区，共有C13A33＝18种不同的派遣方式；由分类加法计数原理可得，不用的派遣方式共有18＋18＝36种不同的派遣方式．答案：36。