大学概率课件(全)

C1 B1 B2 B3 A1 A2 A3 C2 B2 B3 A1 A2 A2 A3 A1 A3
C3 B3 A1 A2 A3
第二章 事件的概率
第一节 第二节 第三节 第四节 概率的概念 古典概型 几何概型 概率的公理化定义
第一节
概率的概念
事件A的概率：在随机试验中，事件A 出现的可能性大小。记为P(A)。
皮尔逊
皮尔逊 罗曼诺夫斯基
12000
24000 80640
6019
12012 39699
0.5016
0.5005 0.4923
从此例可看出，正面出现的频率随n的增大，且渐 近稳定在0.5附近。
由频率的性质可知概率满足： 1 非负性：AΩ，0P(A)1； 2 规范性：P(Ω)=1； 3 有限可加性：若A1,A2,,An互斥，则
A 189 解 ：P ( A1 ) 0.06048 3125 10 7 8 P ( A2 ) 7 0.2097 10 2 5 C7 9 P ( A3 ) 0.1240 7 10
7 10 7
例(女士品茶问题) 一位常饮牛奶加茶的女士称: 她 能从一杯冲好的饮料中辨别出是先放茶还是先放牛 奶, 并且她在10次试验中都能正确地辨别出来, 问她 的说法是否可信? 解: 假设其说法不可信, 即认为她纯粹是猜测。记 事件A={10次均猜对牛奶与茶的次序}。 则P(A)=1/210=0.0009766 根据“实际推断原理”的准则: 小概率事件在 一次试验中是实际不会发生的, 据此原理, A实际 不会发生, 与试验结果矛盾, 故假设错误, 即该女士 的说法是可信的。
2、随机试验
(1) 试验=对自然现象的观察+科学实验 (2) 随机试验(通常用E表示)的三个特点：
1）试验能在相同条件下重复进行； 2）每次试验的可能结果不止一个，且能事先 明确试验的所有可能结果； 3）每一次试验之前不能确定哪一个结果会出 现；
(3) 检查一个试验是否是随机试验可查上 述三点是否满足。
例(抽奖券问题) 设某超市有奖销售，投放n张 奖券只有1张有奖，每位顾客可抽1张。求第k 位顾客中奖的概率(1kn)。
解：记A={第k位顾客中奖}，抽奖券为不放回 抽样，则：
P ( A)
A
k 1 n1 k n
1
A
( n 1) ( n k 1) 1 1 n ( n 1) ( n k 1) n
练习：试判断下列试验是否为随机试验： 1、在恒力作用下一质点作匀加速运动。 2、在一定条件下进行射击，观察是否击中 靶上红心。 3、在5个同样的球(标号1,2,3,4,5)中，任意取 一只，观察所取球的标号。 4、在分析天平上称量一小包白糖，并记录 称量结果。 答：1不是，2是，3是，4是
二、随机事件
古典概型计算概率的步骤： （1）检查试验类型是否是古典概型，若是转到 下一步； （2）弄清试验的样本点是什么，Ω包含多少个 样本点，即n=? （3）弄清A中的样本点是什么，包含多少个样 本点，即k=? （4）利用古典概型计算公式进行计算。
例 将一枚硬币抛掷三次, 观察正面出现H、反 面T出现的情况。设事件A1为“恰有一次出现正 面”, 求P(A).
解：我们先考虑这一试验的样本空间Ω = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}, 而A1={HTT, THT, TTH}, 易见S中包含 n=8个基本事件, 且由对称性知每个基本事件 发生的可能性相同,故此试验为古典概型, 且 事件A包含k=3个基本事件,故由古典概型计 算公式得：P(A)=3/8
历史上若干科学家做过将一枚硬币接连掷 n次，并观察正面（事件A）出现的次数的试 验。下表是其试验结果的记录。 其中，频率=A出现的次数÷试验总次数。
实验者 蒲丰 摩根 费勒
投掷次数n 4040 4092 10000
正面出现频数n 2048 2048 4979
频率f(A) 0.50692 0.5005 0.4979
德 摩根律 : A B A B A B A B
例2.1 设某射手对一目标连续进行三次射击，
记Ai {第i次 击 中 目 标 那 么 ， i {第i次 }， A 1) B j {三 次 射 击 中 恰 好 有 击 中 目 标 j次 }， j 0,1, 2, 3 2)C k {三 次 射 击 中 至 少 有 击 中 目 标 k次 }， k 0,1, 2, 3
2、并事件：AB={ωA或 ωB}称为事件A、B的并事 件，即当且仅当A,B中至少 有一个发生时，AB发生， 见维恩图 推广：
n
A Ω
B
A
i 1
i
A1 A2 ... An A1 , A2 ,...An中 至 少 有 一 个 发 生
i
A
i 1

A1 A2 ... A1 , A2 ,...中 至 少 有 一 个 发 生
(a)放回抽样情况 在袋中依次取两只球，每一种取法为一个样本点， 而第一种取法的第一次取球有6只球可供选择，第二 次仍有6只球可供选择，根据组合法的乘法原理，这 种抽球试验的样本空间共有6×6个样本点；若事件A 发生，由第一次有4只球可供抽取，第二次仍有4只 球可供抽取，故A含有4×4个样本点，同理B中含有 2×4个样本点，故 44 P ( A) 0.444 66 24 P ( B) 0.222 66
解： Ω1={H,T}，H–正面，T–反面 Ω2={0,1,2,3}，i=0,1,2,3为正面出现的次数 Ω3={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TT T} Ω4={1,2,3,4,5,6} Ω5={0,1,2…} Ω6={t|t≥0}，t为灯泡寿命 Ω7={(t1,t2)|T1<t1<t2<T2}，T1,T2为这一地区最低、 最高温度限，t1,t2为可能出现的最低、最高温 度。
即，ij，AiAj=，i,j=1,2,,n
6、补事件(对立事件)：若AB=, 且AB=Ω, 则称事件A与事件B互为补事件。又称事件A 与事件B互为对立事件。
A
A
A的 补 事 件 常 记 为 ， 即 有 A A A ，A A ，A A
事件之间的运算律与集合之间的运算规律一 致
射 击 未 中 目 标 试 用 i，i 1, 2, 3表 示 事 件 ： }， A
解 : 1) B0 A1 A2 A3
B1 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
B2 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
B3 A1 A2 A3
2) C0 B0 B1 B2 B3
A A A
i 1 i 1
2
4、差事件：A–B={ω|ωA且ωB}称 为事件A与事件B的差事件，即当且仅 当A发生，B不发生时，事件A–B发生， 见图
A Ω
B
5、不相容性：若AB=，则称事件A与 B互不相容，或称为互斥，即指事件A 与B不能同时发生，见图
A
Ω
B
推广：
若A1,A2,…,An中任意两个事件都是互不 相容的，则称n个事件A1,A2,…,An两两互 不相容。
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1
n
n
第二节 古典概型
若试验具有下述两特点： 1、试验的可能结果只有有限个 2、每个可能结果出现的可能性相等 则称此试验为古典概型，亦称为等可能
概型。
对于任意一个随机事件AΩ，设A包含k(n)个样 本点，则事件A发生的概率为
k A包 含 的 样 本 点 数 P ( A) n 样本点总数
4、三种特殊情形
基本事件：只含有一个样本点
必然事件Ω：包括试验的全部样 本点，每次试验都发生 不可能事件：不包括任何样本 点，每次试验都不发生
第二节
事件关系和运算
1、包含关系：若事件A发生必 导致事件B发生，则称A包含 于B，或事件B包含事件A，记 为AB。见维恩图：
A B
Ω
若AB且BA，则A=B，称A与B相等，即 为同一事件。
第三节 几何概型
1、几何概型的定义
若试验具有下述两特点： 1、试验的可能结果有无限多个，且全部 可能结果的集合可以用一个有度量(如长度、 面积、体积等)的几何区域来表示； 2、每次试验中每个可能结果的出现是等 可能的。 则称此试验为几何概型。
1、随机事件：在随机试验中，对某些 现象或某种情况的陈述。简称事件， 通常用A,B,C,…表示。
2、样本点：试验的每一个可能出现的 结果。记为ω。
3、样本空间：试验所有可能结果的集 合，即样本点的全体。记为Ω。
例1.1 给出下述随机试验的样本空间
E1：抛一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况； E2：将一硬币抛三次，观察出现正面的次数； E3：将一硬币抛三次，观察正面H，反面T出现的情 况； Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：抛一颗骰子，观察出现的点数； E5：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数； E6：在一批灯泡中任意取一只，测试其寿命(以小时 计)； E7：记录某地一昼夜的最高温度t2，最低温度t1。
例 一口袋装有4只白球和2只红球，从袋中取两次， 每次随机地取一只，考虑两种取球方式：(a)第一次 取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一 球，这种取球方式叫做放回抽样。(b)第一次取一球 不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球，这种 取球方式叫做不放回抽样。试分别就上面两种情况 求： (1)取到的两只球都是白球的概率； (2)取到的两只球第一个为红第二个为白的概率； 解：设以A、B分别表示事件取到的两只球“都 是白球”、“第一个为红第二个为白”。
第一章
随机事件
第一节 样本空间和随机事件
第二节 事件关系和运算