卡方分布

卡方分布(重定向自卡方分布(Chi-square Distributen))卡方分布(Chi-square Distribution)［编辑］什么是卡方分布卡方分布(x汾布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。

k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。

卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。

［编辑］卡方分布的数学定义若k个随机变量Z1、……、Zk相互独立，且数学期望为0、方差为1(即服从标准正态分布)，则随机变量XL fl=l被称为服从自由度为k的卡方分布，记作［编辑］卡方分布的特征卡方分布的概率密度函数为:其中x > 0,当x W0时fk(x) = 0。

这里r代表Gamma 函数。

卡方分布的累积分布函数为:其中丫（k,z 为不完全Gamma 函数在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。

此外许多表格计算软件如 Calc 和Microsoft Excel 中都包括卡方分布函数。

卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。

自由度为k 的卡方变量的平均值是k ，方差是2k 。

卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：f(x) ln(/(x))dz = -+ln 7(V2T^/2)『皿)其中(x)是Digamma function ［编辑］卡方变数与Gamma变数的关系迟〔时(U))=E(Y) = ^ = l=U畑（X2（"））=畑⑴）=吕=寺=2UI弓丿卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度参数k > 0,自由度值域x e [o； +oo).概率密度函数讣）累积分布函数（cdf）7(*/2^/2)F(紂2),期望值k,(Degree of freedom) 当Gamma变数频率（入为1/2时，a的2倍为卡方变数之自由度。

卡方分布分位表1. 什么是卡方分布？卡方分布（chi-squared distribution ）是统计学中常用的概率分布之一，它是一种单参数分布。

卡方分布常用于分析成功与失败之间的关系，比如独立性检验、拟合优度检验等。

2. 卡方分布的概率密度函数卡方分布的概率密度函数（probability density function, PDF ）可以表示为：f (x;k )=12k 2Γ(k 2)x k 2−1e −x 2其中，k 是卡方分布的自由度参数，Γ 是伽马函数。

3. 卡方分布分位表的作用卡方分布分位表（chi-squared distribution quantile table ）是用于计算卡方分布的分位数的一种表格。

分位数是统计学中用于表示分布特征的关键指标之一。

通过查表可以快速找到给定分布和自由度下的分位数，从而帮助我们进行各种统计分析。

4. 卡方分布分位表的使用方法使用卡方分布分位表，首先需要确定自由度（degrees of freedom, df ）和置信水平（confidence level, α）。

然后在表格中找到对应自由度和置信水平的值，就可以得到相应的分位数。

以下是示例卡方分布分位表的一部分： 自由度 (k ) 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 10.00004 0.00016 0.00393 0.01579 0.21072 2.70554 3.84146 5.02389 6.63490 7.87944自由度(k) 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.0052 0.01003 0.020100.050640.103180.710724.605175.991467.377769.2103410.596623 0.07172 0.114830.215800.351851.441796.251397.814739.3484011.3448712.83816……………………………例如，如果自由度为3，置信水平为0.95，则对应的分位数为3.84146。

卡方分布(重定向自卡方分布(Chi-square Distribution))卡方分布(Chi-square Distribution)[编辑]什么是卡方分布卡方分布(χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。

k 个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k 的卡方分布。

卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。

[编辑]卡方分布的数学定义若k 个随机变量Z1、……、Zk 相互独立，且数学期望为0、方差为1(即服从标准正态分布)，则随机变量X被称为服从自由度为k 的卡方分布，记作[编辑]卡方分布的特征卡方分布的概率密度函数为：其中x≥0, 当x≤0时fk(x) = 0。

这里Γ代表Gamma 函数。

卡方分布的累积分布函数为：其中γ(k,z)为不完全Gamma函数在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。

此外许多表格计算软件如 Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。

自由度为k 的卡方变量的平均值是k，方差是2k。

卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：其中ψ(x) 是Digamma function。

[编辑]卡方变数与Gamma变数的关系当Gamma变数频率(λ)为1/2 时，α 的2倍为卡方变数之自由度(Degree of freedom)即:卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度卡方分布,,,k-2, if,,，,定义：N个服从正态分布（均值为0，方差为1）的独立随机变量的平方和X服从自由度为N的卡方分布。

问题：证明D(X)=2N二、定义：假设X服从均值为0方差为1的正态分布，Z服从自由度为N的卡方分布，如果X和Z独立，那么T=[X/根号(Z/N)]服从自由度为N的t分布。

问题：证明D(T)=N/(N-2)要求：1.只要有一题证明正确者追加分数！2.请各位兄弟证明不到的不要乱回答，但可以说说自己的想法。

卡方分布一、 卡方分布的定义：假设n 个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布〔也称独立同分布于标准正态分布〕，那么这n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布〔chi-square distribution 〕，其中参数 n 称为自由度。

二、 卡方分布的性质：:〔1〕 (可加性) 设i Y ~且相互独立，则,,,1,,2k i ii n =λχ,~2,1λχn k Y Y ++这里.,∑∑==iin n λλ〔2〕 ,)(2,λχλ+=n E n .42)(2,λχλ+=n Var n证明 〔1〕根据定义易得。

〔2〕设则依定义，,~2,λχn Y 可表示为Y ,22121n n X X X Y +++=-其中且相互独立，于是),1,(~,1,,1),1,0(~λN X n i N X n i -=)2(.)()()1(,)()(1212∑∑====ni i ni i X Var Y Var X E Y E因为⎩⎨⎧+=+=,1,1)()()(22λi i i X E X Var X E .,1,,1n i n i =-= 代入〔1〕，第一条结论可得证。

直接计算可得.36,1,,1,3244++=-==λλn i EX n i EX于是,1,,1,213)()(2242-==-=-=n i EX EX X Var i i i.42)()(2242λ+=-=n n n EX EX X Var代入〔2〕便证明了第二条结论。

三、 卡方分布的概率密度函数：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫⎝⎛Γ=--，其他当00,22121222x e x n x f x n nx 数）。

现在来推导随机变，（相互独立且都服从设随机变量10n ,....1N X X的分布。

2^.....2^2^1n X ++X =χ()()()2^x 2^x 21^2n ^n 21n 1n 1++-X X θ的密度函数为，[]()[]()[]()[]()()()xx x d D X P P o z z X P P n σχχ2^2^21-2n2n 2122n 2121e n 21z z z 0z 0z ++⎰⎰=+X==++X =≤ 时，当时，当其中Dx 为n 维x 空间由不等式z x x n 221+所定的区域。

卡方分布
(重定向自卡方分布(Chi-squareDistribution))
卡方分布(Chi-squareDistribution)
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什么是卡方分布
卡方分布(χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。

k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。

卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。

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卡方分布的数学定义
若k个随机变量Z1、……、Zk相互独立，且数学期望为0、方差为1(即服从标准正态分布)，则随机变量X
被称为服从自由度为k的卡方分布，记作
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卡方分布的特征
卡方分布的概率密度函数为：
其中x≥0,当x≤0时fk(x)=0。

这里Γ代表Gamma函数。

卡方分布的累积分布函数为：
其中γ(k,z)为不完全Gamma函数
在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。

此外许多表格计算软件如Calc和MicrosoftExcel中都包括卡方分布函数。

卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。

自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。

卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：
其中ψ(x)是Digammafunction。

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卡方变数与Gamma变数的关系
当Gamma变数频率(λ)为1/2时，α的2倍为卡方变数之自由度(Degreeoffreedom) 即:
卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度
卡方分布
,
,
,
k-2,if,
,
，
,。

卡方分布的特征卡方分布（Chi-Square Distribution）是一种概率分布，它描述了在一个正态分布的样本中，平方和（Sum of Squares）的分布情况。

卡方分布主要用于假设检验、方差分析、回归分析等统计学领域，也是许多机器学习算法的基础。

一、卡方分布的定义卡方分布的定义基于正态分布，假设有一个均值为μ，方差为σ²的正态分布随机变量X，其样本量为n。

将样本X的每个值平方后，将所有平方值相加得到平方和S²，则S²服从自由度为n的卡方分布，记为S²~χ²(n)。

卡方分布的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）如下：f(x; n) = (1/2^(n/2) * Γ(n/2)) * x^(n/2 - 1) * e^(-x/2)（1）其中，Γ(·)表示伽玛函数，n表示自由度（degree of freedom），x表示卡方分布的随机变量。

卡方分布的期望值为n，方差为2n。

随着自由度的增加，卡方分布的概率密度函数变得更加陡峭，其峰值也向自由度增加的方向移动。

二、卡方分布的特征连续性：卡方分布是一个连续概率分布，其概率密度函数在每个点的值都是有限的。

参数化：卡方分布是一个参数化概率分布，其参数包括自由度n 和非负实数x。

通过调整参数，可以控制卡方分布的概率密度函数形状和取值范围。

零截断：当自由度为零时，卡方分布的概率密度函数在x=0处不连续，即S²=0。

这是由于平方和S²的定义中包含了平方项的常数项，因此当样本数n=0时，S²无法计算。

对称性：卡方分布的概率密度函数关于y轴对称，即f(x; n) = f(-x; n)。

这是由于正态分布的对称性，使得平方和S²的正负值相互抵消，从而得到对称的卡方分布。

递增：卡方分布的概率密度函数在x≥0的范围内递增，即当x1≥x2≥0时，f(x1; n)≥f(x2; n)。

卡方分布的特征(一)卡方分布的特征什么是卡方分布•卡方分布是概率论和统计学中经典的分布之一•它是描述随机变量服从正态分布的平方和的分布•卡方分布的概率密度函数是一个非对称的曲线，图像呈现出右偏的特征卡方分布的特点1.非负性: 卡方分布的取值范围为非负数，即随机变量服从卡方分布时，其取值不会小于02.右偏性: 卡方分布的曲线呈现出右偏特征，即曲线的尾部向右侧延伸得更长，左侧更短3.自由度对形状的影响: 卡方分布的形状由自由度参数控制，自由度越大，曲线越平缓，呈现出更接近正态分布的特征4.均值和方差: 卡方分布的均值等于自由度参数，方差等于自由度的两倍5.应用领域: 卡方分布广泛应用于统计推断和假设检验中，例如卡方检验、回归分析等•卡方分布在统计学中扮演着重要的角色，它提供了一种便捷的方法来检验统计数据的拟合程度和关联性•在假设检验中，卡方分布可用于检验观察值与理论期望值之间的差异是否显著•在回归分析中，卡方分布可用于评估模型的拟合程度和解释变量对因变量的影响程度总结•卡方分布是一种重要的概率分布，具有非负性和右偏性的特征•它的形状由自由度参数控制，均值和方差也与自由度相关•卡方分布在统计学中广泛应用于假设检验、拟合程度评估等领域中注意: 文章中不出现html字符、网址、图片及电话号码等内容。

卡方分布的性质•卡方分布是用于分析实际观测值与理论期望值之间的差异的概率分布•它在统计推断和假设检验中发挥着重要的作用，尤其在样本量较大时更为有效•自由度是卡方分布的一个重要参数，决定了卡方分布的形状和特征•自由度的计算方法取决于具体的应用场景和问题•当自由度增加时，卡方分布的形状将趋于正态分布卡方分布的应用1.卡方检验–卡方检验是一种用于检验观测值与理论期望值之间差异的统计方法–通过计算观测值与期望值的差异程度，判断差异是否显著–卡方检验广泛应用于医学、社会科学和市场调研等领域中2.拟合优度检验–在统计学中，拟合优度检验用于判断某个理论模型是否与实际观测值拟合良好–通过计算观测值与理论值之间的卡方统计量，判断模型的拟合程度–拟合优度检验在市场调研、质量管理等领域中具有广泛应用3.回归分析–在回归分析中，卡方分布可用于评估模型的拟合程度和变量之间的关联性–通过计算卡方统计量，判断解释变量对因变量的影响程度–回归分析在经济学、社会科学和生物学等领域中有着重要的应用结语•卡方分布在统计学和概率论中扮演着重要的角色，具有非负性、右偏性和自由度对形状的影响等特征•了解卡方分布的特点和应用场景，可以帮助我们更好地理解和应用统计学的方法注意: 文章中不出现html字符、网址、图片及电话号码等内容。

卡方分布概率密度函数公式卡方分布（$\chi^2$ Distribution）是数理统计学中重要的概率分布。

它由巴洛兹·卡方提出于1908年，用于描述总平均分类变量的方差。

卡方分布具有多种形式，每个形式的概率密度函数都有自己的关于一组参数的特征。

一、概念：卡方分布是一种随机变量X~$\chi^2$，其概率密度函数定义为：$$f(x) =\frac{1}{2^{\frac{\nu}{2}}\Gamma(\frac{\nu}{2})}x^{\frac{\nu}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}，x\geq0，\nu>0$$其中$\nu$称为卡方分布的自由度。

二、公式：卡方分布的概率密度函数公式为：$$f(x)=\frac{1}{2^{\frac{\nu}{2}}\Gamma(\frac{\nu}{2})}x^{\frac{\nu}{ 2}-1}e^{-\frac{x}{2}}，x\geq0，\nu>0$$其中$\Gamma$是伽马函数，定义为：$$\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty} x^{\alpha-1}e^{-x}dx，\alpha>0$$三、性质：1、当$\nu$趋向无穷大时，卡方分布趋于正态分布；2、卡方分布的期望值为$\nu$；3、卡方分布的方差为$2\nu$；4、当$\nu=1$时，卡方分布称为指数分布。

四、应用：卡方分布用于分析实际变量和理论预期之间的差异，主要用于以下场合：1、卡方检验：考察实际的独立性和理论的独立性是否相符；2、F检验：考察两种独立样本的方差分布是否具有相同的方差；3、卡方差距检验：检验变异系数的概率分布；4、回归分析中的卡方检验：检验残差是否一致。

卡方分布在实际应用中有着重要的作用，对统计技术也起到重要指导作用。