【VIP专享】线性代数 第五章 5.29

例设 计算
1 0 2
A
0
1
1
0 1 0
g(A) 2A8 3A5 A4 A2 4E
25
§5.3 特征值与特征向量
解:
1 0 2
f () E A 0 1 1
0 1
3 2 1
令
g() 28 35 4 2 4
g() f ()(25 43 52 9 14)
将特征值 3 5 代入特征方程组 (E A)X 0
得特征向量
1 X 3 1
1
13
§5.3 特征值与特征向量
T 旳属于特征值 1 2 1 旳线性无关旳特征向量
1
1
(1,2 ,3 ) X1
(1
,
2
,
3
)
0
1
3
1
0
2
(1, 2 ,3 ) X 2
(1
,
2
,
3
)
1
2
3
1
T 旳属于特征值 1 2 1 旳全部特征向量
7
§5.3 特征值与特征向量
求矩阵旳特征值与特征向量旳环节： (1) 计算矩阵 A 旳特征多项式
En A (1 )(2 )
(2) 由
En A 0
(n )
得全部根 1 , 2 ,, n 即为矩阵A旳特征值
(3) 对 A 旳不同特征值 i , 分别求解方程组
(i E A) X 0
得基础解系 1, 2 , , r
20
§5.3 特征值与特征向量
(1) 特征多项式 f () 是有关 项旳 n 次多项式 (2) n 次项( n 项)旳系数为 1 (3) n-1 次项(n-1 项)旳系数为 – (a11+ a22+…+ ann)

第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TTk k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任意常数)。

3
1
0
1
0
解得 x1
x2,
所以对应的特征向量可取为p1
1. 1
所以k1 p1(k1 0)是对应于1 2的全部特征向量.
当 4时,由 2
x x 4 3
x x
1
解得x1
1
4
3
1 2
0 0
,即11
1
1
1 2
0 0
,
x2,所以对应的特征向量可取为p2
2x1 x2 x3
0
0
可
取特征向量
0
p3
1
1
33
1 0 0
这三个线性无关的特征向量可以拼成可逆矩阵
P
0
1
1
1
0 1 1
使得
P 1
AP
1
A
1
下面通过检验矩阵等式 AP P 验证上述矩阵等式是否正确
1 0 01 0 0 1 0 0 1 0 0 1
0
0
1
0
1
1
0
可取解
1
p1
1
1
属于2 3=2的特征向量满足：
1 1 1 1 1 1
2
E3
A
1
1
1
0
0
0
1 1 1 0 0 0
1
0
可取两个线性无关的解
p2
0
,
p3
1
1
1
这三个列向量就是需要求出的线性无关的特征向量.
36
1 1 0
例3
求出
A
4
3
0
1 0 2
Ak
( PP 1 )k

所以 2 x , y
即


2
4 x , x y , y 0
（５．１）
x , y
2
x , x y , y
上式被称为许瓦兹（Schwarz）不等式.
西安建大
二．正交向量组与正交化方法
１．正交向量组
１．正交向量组
当 x
y 0 时，定义向量
cos
２．施密特正交化方法
西安建大
三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵 定义５．２ 定理５．３
1.正交矩阵
2.正交变换
如果 n阶方阵 A 满足 AT A 则称 A 为正交矩阵．
I
如果 A , B均为 n阶正交矩阵，
T
1
那么：⑴ A1 AT ⑵ A 即 A 为正交矩阵
1 A A ⑶ 2 A A 为 2n 阶正交矩阵
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空 间 R n的一组正交基．
西安建大
例５．１
T 已知 R 3的一个向量 1 1 ,1 ,1， 求 R 3的一组正交基． T T 解：求 2 x21 , x22 , x23 ，使 1 2 0
即： x21 x22 x23 0
bi ( i 1 ,2 , , r ) 再取 i bi
显然 1 , 2 , , r为正交规范化的向量组， 且与 1 , 2 , , r 等价．
西安建大
T T T 例5.2：已知 1 1 ,1 ,1 , 2 1, 2 ,1 , 3 1 ,1 ,2
西安建大
定义５．１
设n 维向量 1 , 2 , , r是向量空间 V ( V R n )的一组正交基，如果它们均为单位向 量，则称 1 , 2 , , r 为V 的一组正交规范基 或标准正交基．