线性代数总复习：第四第五章

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1 第五章 线性空间

一、内容提要

⒈ 线性空间

定义1 设V是一个非空集合,P是一个数域. 若在V中定义的加法和数乘运算对集合V封闭,

且加法与数乘运算满足线性运算的八条运算规则, 则称集合V为数域P上的线性空间.

线性空间又称为向量空间, 线性空间的元素亦称为向量.

设V是数域P上的线性空间, W是V的非空子集, 若W对于V的加法和数乘运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为线性空间V的一个线性子空间, 简称子空间.

⒉ 基、维数和坐标

定义2 若线性空间V中有n个线性无关向量,而没有更多数目的线性无关的向量,则称V是n维线性空间,称V中n个线性无关的向量为V的一组基,n称为V的维数,记作dim V = n ．

注 向量组12,,,n是V的一组基12,,,n是V中的n个线性无关向量且V中的任一向量可由12,,,n线性表示.

向量组12,,,s生成的空间L(12,,,s)的一组基就是12,,,s的一个极大无关组, 其维数就是向量组12,,,s的秩.

定义3 设12,,,n是n维线性空间V的一组基,  为V中的任一向量, 若

1122nnxxx

则称数12,,,nxxx 为向量 在基12,,,n下的坐标, 记作 12(,,,)nxxx.

向量的坐标可写成行的形式也可写成列的形式,但在利用坐标进行运算时,则要以运算式的具体情况来确定坐标的形式.

定义4 设12,,,n和12,,,n是n维线性空间V的两组基, 且

（12,,,n）=（12,,,n）C (1)

称C为由基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵,（1）式称为由基12,,,n到基12,,,n的基变换公式．

定理1 设12,,,n和12,,,n是n维线性空间V的两组基, 由基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵为C = nnijc)( ,即 百度文库 - 让每个人平等地提升自我

一、选择+填空（64课时）

1. 向量(2,3,2)T在基1(1,1,1)T，2(0,1,1,)T，3(0,0,1)T下的坐标为:

(2,1,-1) .

2. 已知三维空间3R的两组基为：1(1,1,0)T， 2(0,1,1)T， 3(1,0,1)T和

1(1,0,3)T，2(1,1,0)T，3(1,2,1)T，则由基1，2，3到基1，2，3的过渡矩阵为（ 101111210 ）.

3. 设312312311212,,,,R和是的两组基，其中，，3123，则32132关于基321321,,,,和的坐标为1,-2,3 和

-1,5,-3 。

4. 向量组1(1,2,2)T，2(1,0,1)T，3(5,3,7)T单位正交化后为：（ 1/32/32/32/32/31/32/31/32/3 ）。

5. 向量(1,2,1,1)T与(3,1,0,1)T的内积为（ 2 ）.

6. 向量(1,2,2,3)与向量(3,1,5,1)的夹角为 。

7. 下列集合是向量空间的是（ CEG ）

A. 2323{(1,,,,)|,,,}TnnVxxxxxxR

B. 123123{(,,)|321}TVxxxxxx

C. 2323{(0,,,,)|,,,}TnnVxxxxxxR

D. 1231{(,,)|0}TVxxxx E. 齐次线性方程组解空间{|0}VXAX F. 非齐次线性方程组解空间{|}VXAXb G. 123123{(,,)|320}TVxxxxxx

8. 若向量524,,，则 5 ，标准化之后为 524555,, 。。

总结§4.1—§4.3

一、线性表示

1. 向量可由向量组m,,21线性表示

存在数mkkk,,,21使得，mmkkk2211

方程组mmxxx2211有解（即是Ax有解）

mR,,21,,,21mR（即是,ARAR）

2. 向量组12,,l可由向量组m,,21线性表示mR,,21

1212,,,,,mlR （即是,RARAB）

向量组12,,l可由向量组m,,21线性表示12,,lR

12,,mR（即是RBRA）

3. 向量组m,,21与向量组12,,l等价mR,,21

12,,lR=1212,,,,,mlR （即是,RARBRAB）

二、线性相关与线性无关

1. 向量组m,,21线性相关存在不全为零的数mkkk,,,21使得，.02211mmkkk

方程组02211mmxxx有非零解.

0Ax有非零解.

mRm,,21

mAR 其中mA,,21

2. 向量组m,,21线性无关如果,02211mmkkk则有.021mkkk

方程组02211mmxxx只有零解

0Ax只有零解

mRm,,21

mAR 其中mA,,21 3. 向量组m,,21，如果mA,,21是方阵，则m,,21线性相关

第五章 相似矩阵及二次型

一、判断题

1.线性无关的向量组必是正交向量组.( )

2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( )

3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( )

4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.( )

5.若n阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.( )

6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( )

7. 相似矩阵的行列式必相同.( )

8.若n阶矩阵A和B相似，则它们一定有相同的特征值.( )

9．n阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( )

10. 若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.( )

二、单项选择题

1. 设,则001

010

100A⎛⎞

⎜⎟

⎟=⎜

⎜⎟

⎝⎠A的特征值是( ).

(A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2

2. 若

12,xx分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则也

是1122kxkx+

A的特征向量的充分条件是( ).

(A) (B) (C)

120kk==且00

120kk≠≠且

120kk= (D)

1200kk≠=且

3. 若n阶方阵,AB的特征值相同,则( ).

(A) AB= (B) ||||AB= (C) A与B相似 (D) A与B合同

4. 设A为n阶可逆矩阵, λ是A的特征值,则的特征根之一是( ). *A

(A) (B) (C) 1||nAλ−1|Aλ−|||Aλ (D) ||nAλ

5. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量（ ）.

(A)线性相关 (B)线性无关

(C)两两相交 (D)其和仍是特征向量

6. ||||AB=是阶矩阵nA与B相似的( ).

(A)充要条件 (B)充分而非必要条件 (C)必要而非充分条件 (D)既不充分也不必要条件

7. 若n阶方阵A与某对角阵相似,则( ).

(A) (B) ()rAn=A有个不同的特征值 n

(C) A有n个线性无关的特征向量 (D) A必为对称阵