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二重积分证明柯西积分不等式
具体证明方法如下：
1、考虑差值dx。
2、交换x，y的位置，计算dx。
3、将上述两个dx相加。
4、考虑定义域。
5、得出结论。
扩展资料：
二重积分意义：
1、二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。
此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
2、二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。
本质是求曲顶柱体体积。
重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。
二重积分计算及其应用包头师范学院本科毕业论文题目:二重积分的计算及其应用学生姓名:学院:数学科学院专业:数学与应用数学班级:08本一班指导教师: 讲师二 ? 一二年五月二重积分计算及其应用内容摘要在二重积分的计算中,由于计算和函数比较繁杂,因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限性。
常用方法是化简二重积分为两次定积分或累次积分,又因为二重积分的计算与被积函数和积分区域有关。
掌握二重积分计算和它的性质的基础上,讨论如何利用函数的奇偶性与区域的对称性,探讨如何利用二重积分的性质解决二重积分的计算中的证明不等式、确定积分值的符号、估计积分之值、求极限等问题。
对于这些问题我们可以利用二重积分的性质和函数的奇偶性与区域的对称性来解决问题,试图找到一些简便方法,简化二重积分的计算。
关于二重积分的应用它可以求曲面面积以外,二重积分在物理学当中的应用也极其广泛,尤其是在平面薄板当中巧妙而简练的利用二重积分来解决平面薄板的重心坐标、转动惯量以及对质点的引力等问题,二重积分的应用在物理学当中是一种不可忽视的知识。
关键词:二重积分; 直角坐标; 极坐标系; 曲面面积;平面薄片Abstract In the calculation of double integrals, due to the complex calculations and comparison functions, in accordance with the definition of double integral calculation of double integrals have a lot of limitations. A common approach to simplification double integrals are definite integral and repeated integral as twice, because the calculationof double integrals with integrand and integral region. Mastering double integral calculation and on the basis of its nature, discusses how to use functions of symmetry of parity with regional, nature of the discussion on how to use double integral to prove inequality solving double integral calculation, identifying symbols, estimated value of the integral, the integral values for limit and so on. These questions we can use the double integral and parity of the nature and functions of symmetry to solving problems of the region, trying to find some easy way to simplify the calculation of double integrals. But also concise and clear to problem conclusion. On the application of double integral it can be found outside of the surface area of, and applications of double integrals in physics are very widely, especially in a flat sheet, ingenious and simple to use double integral to solving Planar sheet of Barycentric coordinates, moments of inertia and gravitational energy of the particle, and other issues, applications of double integrals in physics is a knowledge that cannot be neglected.Key words: double integral;Cartesian; polar; surface area; flat blades目录内容摘要 (2)关键词 (2)引言 (7)二重积分的定义 (8)二. 二重积分的计算 (8)(一)直角坐标系下二重积分的计算 (8)(二)极坐标系下二重积分的计算 (9)三.利用函数的奇偶性与区域的对称性计算二重积分 (9)(一)计算二重积分,设区域D关于轴对称 (9)若函数关于是奇函数 (9)若函数关于是偶函数 (9)(二)计算二重积分,设区域D关于轴对称 (10)若函数关于是奇函数 (10)若函数关于是偶函数 (10)(三)计算二重积分,设区域D关于轴和轴都对称,同时也是关于,对称的 (10)四.二重积分的性质 (13)五.应用二重积分的性质解题 (14)(一)证明不等式 (14)(二)确定积分值的符号 (14)(三)估计积分之值 (15)(四)求极限 (16)六.二重积分的应用 (17)(一)曲面的面积 (17)1.曲面由显函数给出的情形 (17)2.曲面由参数方程给出的情形 (18)(二)平面薄片的重心 (19)(三)平面薄片的转动惯量 (20)(四)平面薄片对质点的引力 (21)结语 (23)参考文献 (24)引言在二重积分的计算中,由于计算和函数比较繁杂,因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限性。
精品文档第九章 重积分一、学习目的与要求1、加深理解二重积分与三重积分的概念，熟悉重积分的性质。
2、熟练掌握二重积分的计算方法（包括直角坐标与极坐标系下的计算）。
3、熟练掌握三重积分的计算方法（包括直角坐标、柱坐标以及球坐标系下的计算）。
4、能用重积分来表达一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量等）。
二、学习重点二重积分和三重积分的计算法三、内容提要1、重积分的定义⎰⎰∑=→∆=Dni iiif d y x f 1),(lim ),(σηξσλ（与D 的划分及),(i i ηξ取法无关），其中D 为平面有界闭区域，}{max ),,,2,1(),(1的直径i ni i i i n i σλσηξ∆==∆∈≤≤ 。
⎰⎰⎰∑Ω=→∆=ni i iiiV f dV z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ（与Ω的划分及),,(i i i ζηξ取法无关，其中Ω为空间有界闭区域，}{max ),,,2,1(),,(1的直径i ni i i i i V n i V ∆==∆∈≤≤λζηξ 。
2、重积分的几何意义当0),(≥y x f 时，⎰⎰Dd y x f σ),(表示以区域D 为底，以曲面z =f (x,y )为顶的曲顶柱体体积。
当1),(≡y x f 时，⎰⎰Dd σ表示平面区域D 的面积。
当1),,(≡z y x f 时，⎰⎰⎰ΩdV表示空间区域Ω的体积。
3、重积分的可积性若),(y x f （或),,(z y x f ）在有界闭区域D （或Ω）上分块连续，则),(y x f （或),,(z y x f ）在D （或Ω）上可积。
4、重积分的性质二重积分与三重积分具有类似的性质，现以二重积分为例，并假设所有被积函数都是可积的。
（Ⅰ）线性性质⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DDDd y x g k d y x f k d y x g k y x f kσσσ),(),()],(),([2121，其中k 1,k 2为常数。
131科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald 创新教育二重积分的定义即对一个和式取极限,其思想“分割,近似,求和,取极限”沿用了定积分的定义中对和式去极限的思想,在二重积分的计算中将其化为累次积分进行计算的过程,本质上就是两个定积分的计算乘积的过程等等,这些我们都是采用定积分的思想去解决二重积分的问题。
但是,本文作者则将二重积分做为工具去解决定积分中的计算和不等式问题。
1 利用二重积分解决定积分中的计算问题在二重积分的计算中,我们通常采用的方法是化二重积分为累计积分进行计算,这一计算过程本质上是定积分的计算。
但是,反过来我们可以利用二重积分去解决一些不易找到原函数的定积分的计算,下面我们就结合具体实例来看看二重积分在这些方面的应用。
1.1利用二重积分计算瑕积分例1:计算如下瑕积分 10(0,)ln b ax x d x a b o x.[分析]在计算曲顶柱体体积时,利用“微元法”思想计算“平行截面面积为已知的立体体积” 21()()(),()(,)b x a x V A x d x A x f x y d y因此,曲顶柱体体积21()()(,)()(,)b x ax DV f x y d x d y A x d x f x y d y从而联想到,如果21()()()(,)ln b ax x x x A x f x y d y x,即可将这一定积分问题转化为二重积分进行计算。
解:由于1lim 0,lim ln ln babax x x x x xb a x x,所以所求积分11001ln 111ln1b a b ya b y ab ax x d x d x x d yx d y x d xd y y b a1.2利用二重积分计算广义积分例2:计算如下广义积分 20x e d x.[分析]要计算该广义积分,即计算 20lim R x R e d x,记 2lim R x RA e d x ,则 22200lim R Rx x R A e d x e d x从而,将问题转化为计算220RRx x ed x ed x,而2222220R R R R x x x y x y Se d x e dx e d x e d y e d x d y其中 {(,)0,0}S x y x R y R ≤≤≤≤,进而将问题转化为计算二重积分 22x ySI ed x d y.解:令≤≤ 22222212{(,)},{(,)2}D x y x y R D x y x y R ,则: 12D S D ,所以 221x y De d x d y≤22x y Sed x d y ≤222x y D ed x d y而22222110(1)4Rx y r R D I e d x d y d e r d r e,同理可计算2222222220(1)4Rx y r R D I e d x d y d e r d r e所以 2(1)4R e I ≤22x y S e d x d y≤22(1)4R y e .从而12lim lim 4R R I I 所以,根据两边夹法则可以得到:22222lim lim 4R R x x xy R R SA e d x e d x e d x d y因此,所求积分2x e d x2 利用二重积分解决定积分中的不等式问题数学中的证明题目,往往不易寻找证题规律。
重积分知识点总结例题1. 重积分的定义在介绍重积分的定义之前，首先需要了解多元函数的概念。
多元函数是指自变量有多个的函数，通常表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n)$。
在平面上，一元函数是自变量只有一个的函数，并且可以表示为$y = f(x)$。
而在空间中，两元函数是自变量有两个的函数，并且可以表示为$z = f(x, y)$，三元函数是自变量有三个的函数，并且可以表示为$w = f(x, y, z)$。
在多元函数的情况下，我们需要对其在一个区域上进行积分。
这就引出了重积分的概念。
重积分可以看作是对一个区域上的函数值在该区域上的加权平均。
重积分的定义如下：设$f(x, y)$是定义在闭区域$D$上的有界函数，$D$的面积记为$A(D)$，取$D$上的任意一组分割$P = \{R_i\}$和抽样点$Q = \{(\xi_i, \eta_i)\}$，$M_{ij}$是$f(x, y)$在$R_{ij}$上任意一点的函数值。
作Riemann和$$S(P, Q, f) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} M_{ij} \Delta \sigma_{ij}$$如果极限$L$存在，不依赖于分割$P$和点$Q$的取法，即$L = \lim_{\lambda(P) \to0,\delta(Q) \to 0} S(P, Q, f)$存在，则称$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，这个极限$L$称为$f(x, y)$在$D$上的重积分，记作$$\iint_D f(x, y) d\sigma = L$$其中，$d\sigma$表示对$D$内的面积元素进行积分。
如果$f(x, y)$在$D$上可积，则称$f(x, y)$在$D$上可积，否则称为不可积。
2. 重积分的性质重积分具有一些重要的性质，这些性质有助于我们进行重积分的计算和应用。
下面我们将介绍一些重要的性质。
（1）可加性设$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，$D_1$和$D_2$是$D$的两个互不相交的子区域，其并集为$D = D_1 \cup D_2$，则有$$\iint_D f(x, y) d\sigma = \iint_{D_1} f(x, y) d\sigma + \iint_{D_2} f(x, y) d\sigma$$这就是重积分的可加性。
积分不等式如何通过积分不等式解决高中数学问题积分不等式是高中数学中常见的一种重要方法，它通过对不等式两边同时进行积分，将不等式问题转化为求解等式的问题，从而解决高中数学中的各种问题。
本文将介绍积分不等式的概念、求解步骤以及应用案例。
一、积分不等式的概念积分不等式是指在某个区间上满足一定关系的函数不等式。
具体来说，如果在区间[a, b]上，函数f(x)和g(x)满足f(x)≤ g(x)，则对于[a, b]上连续函数φ(x)，如果有∫[a, b] f(x)φ(x)dx ≤ ∫[a, b] g(x)φ(x)dx，那么就称这个不等式为积分不等式。
二、积分不等式的求解步骤解决积分不等式的一般步骤如下：1. 将积分不等式两边的函数进行积分，得到对应的不等式。
2. 利用已知的数学方法和技巧，对不等式进行简化和变形。
3. 运用数学推理和变换，得到最终的解或结论。
下面通过一个具体的案例来说明积分不等式的求解过程。
案例：已知函数f(x) = x^2sinx在区间[0, π/2]上连续，求证：∫[0, π/2]x^2sinx dx ≥ (π-2)/2π。
解：根据题目中给出的函数f(x)和区间[0, π/2]上的连续函数φ(x)，将不等式转化为积分形式：∫[0, π/2] x^2sinx φ(x)dx ≥ ∫[0, π/2] (π-2)/2π φ(x)dx。
由于函数φ(x)的具体形式未知，难以直接求解。
因此我们需要借助于已知条件及数学推理来简化和变形不等式。
首先，根据积分的线性性质，我们可以将不等式右边的积分进行拆分：∫[0, π/2] x^2sinx φ(x)dx ≥ ∫[0, π/2] φ(x)dx - ∫[0, π/2] φ(x)/π dx。
接着，考虑利用积分区间[0, π/2]上函数x^2sinx的特点，我们可以使用分部积分法对不等式左边的积分进行简化。
按照分部积分法的公式，我们令u = x^2，dv = sinxφ(x)dx，那么du = 2xdx，v = -cosxφ(x)。
