对数与对数运算

对数运算与对数函数在数学的广袤世界里，对数运算与对数函数就像隐藏在迷雾中的神秘宝藏，等待着我们去探索和发现。

它们不仅是数学理论中的重要组成部分，更在实际生活和科学研究中有着广泛而深刻的应用。

让我们先从对数运算说起。

对数运算其实就是一种数学运算方式，它是指数运算的逆运算。

想象一下，如果有一个等式 a^b ＝ N，那么对数运算就是要找出 b 的值，我们记为logₐN ＝ b。

比如说，2³＝ 8，那么 log₂8 ＝ 3。

这就像是在解一个谜题，已知结果和底数，要找出指数。

为什么要有对数运算呢？这是因为在很多实际问题中，直接处理指数形式的数量关系可能会非常困难，但通过对数运算，就能将复杂的问题简单化。

例如，在测量声音强度时，我们使用的单位是分贝（dB），而分贝的计算就涉及到对数运算。

再来说说对数的一些基本性质。

首先是对数的乘法法则：logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN。

这意味着，如果要计算两个数的乘积的对数，就可以转化为这两个数的对数的和。

同样，还有除法法则：logₐ(M/N) ＝logₐM logₐN。

而对数函数则是基于对数运算构建起来的一类函数。

常见的对数函数形式为 y ＝logₐx，其中 a 被称为底数，且 a ＞ 0 且a ≠ 1。

当 a ＞ 1时，对数函数是单调递增的；当 0 ＜ a ＜ 1 时，对数函数是单调递减的。

对数函数的图像具有一些独特的特征。

以底数 a ＞ 1 为例，函数图像经过点(1, 0)，并且逐渐向右上方延伸，越来越陡峭。

而当 0 ＜ a ＜1 时，图像经过点(1, 0)，逐渐向右下方延伸，变得越来越平缓。

对数函数在解决实际问题中发挥着巨大的作用。

比如在金融学中，计算复利增长；在物理学中，描述某些自然现象的变化规律；在计算机科学中，分析算法的时间复杂度等等。

举个简单的例子，假设你在银行存了一笔钱，年利率为 r，经过 t年后，本金和利息的总和 A 与初始本金 P 之间的关系可以表示为 A ＝P(1 ＋ r)＾t。

对数运算与对数函数已知底数和指数求幂的运算称为指数运算.如求23=？那么当已知底数和幂，求指数的 运算则称为对数运算.指数运算与对数运算互为逆运算.【对数运算的相关问题】1.定义. 若a b =N(a>0且a ≠1,N >0)，则称b 是以a 为底N 的对数.记作b=log a N ，其中a 叫做底数，N 叫做真数.2指数式与对数式的互化如图1.10—1所示.②互换规则：底数不变，指数 与对数互换，幂与真数互换. 3.对数恒等式：①. ②.证明:①设log a N=b (1)，则a b =N (2)，将(1)代入(2)得. ②设a b =N(3)，则b=log a N(4)，将(3)代入(4)得.此结论说明任何一个实数b 都可以用一个对数表示.说明：为什么零与负数无对数？为什么要求指数、对数的底数 a >0且a ≠1？由a b =N ，N >0说明b=log a N 中的真数必须大于0.∴ 零与负数无对数. 又∵ 由1b=1知b 的取值是无法确定的,再如在实数范围内是无意义的.故底数a >0且a ≠1.例1.化简下列各式：(1). (2).解: (1)原式=31×=3×6=18. (2)原式=.4.对数运算性质 如果 (1).(2)=.(3)．5.换底公式及推论 ①换底公式：.②推论1：.a b =N b=log a N ⇔ 指数式← →对数式 底数指数 对数 幂 真数 ①.指数式与对数式 的互化. 图1.10—1③推论2：．例2.已知f(x)是R上以2为周期的奇函数，当x∈[0,1]时f(x)=2x，求f(log0.523)的值. 解：∵f(x)是R上以2为周期的奇函数，∴f(log0.523)=f()=f(-log223)=-f(log223-4)= -f(),又∵当x∈[0，1]时f(x)=2x，∴f(log0.523)= .例3.求值.(1).(2)lg52++lg5lg20+lg22.解:(1)法1.原式=lo()=lo2= lo()3=3.法2.原式=(2)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg22=2(lg2+lg5)+(lg2+lg5)2=3.例4.(1)已知log189=a，18b=5. 求log3645.(2)若26a=33b=62c..求证：3ab-2ac=bc.(3)若.求的值.解:(1)法1.由log189=a,得a=log18又由18b=5,得b=log185, ∴log3645=法2. log189=a,得，再由b=log185=∴log3645=(2)设26a=33b=62c.=k>0，则6a=log2k，∴6log k2，同理，3log k 3，2log k 6，∴(3)由说明：(1)第一题的解法2更具有一般性.其一般方法是将底数、真数、幂都分解成质因数幂的形式，以其中一个质因数3为底，求出以另两个质因数2和5为真数的对数，再将所求式都换成以3为底的对数，化简即可.对于此题我们也可以都转换为以2或5为底，同样可行.读者不妨试试.(2)在利用对数的运算性质进行变形时，要注意从左到右会使真数的取值范围缩小，而从右到左则会使真数的取值范围扩大.因此，在变形时要注意保持其等价性， 如上述(3).想一想①：1.设a 、b 同号，且a 2-2ab -9b 2=0，求lg(a 2+ab -6b 2)-lg(a 2+4ab+15b 2)的值．2.化简(1) (lg2)3+(lg5)3+3lg2•lg5. (2)(log 25+log 4)(log 52+log 25).3.若a ，b ，c 是不为1的正数，a x =b y =c z 且 1x +1y +1z=0. 求证: abc=1.【对数函数的图像及性质】1.定义：形如y=log a x(a>0且a≠1)的函数叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是{x|x >0,x ∈R},值域为R.请问，下列函数中哪些是对数函数：(1)y=log 2(x+1)；(2)y=2log 3x ； (3)y=log 4x+1；； (4)y=log 4x 2； (5)y=log x x .； (6)y=log (2a -1)x(a>)答案：只有(6)是对数函数.2.对数函数与指数函数的关系：它们互为反函数，其图像关于直线y=x 对称.3.图像与性质列表a>1 0<a<1图像定义域 x ∈(0，+∞) 值 域 y ∈(-∞，+∞) 性 质(1)过定点(1，0)(2)对称性,既不是中心对称图形，也不是轴对称图形.(3)单调性 (0，+∞)是增函数. (0，+∞)是减函数.说明：1.函数y=log a x 与函数y=lo的图像关于x 轴对称，且a 的值越大图像越靠近x 轴(越陡).2.在同一直角坐标系中若给出了多条对数函数的图像，确定其底数大小时，可作直线y=1， 其底数大小从左向右依次增大.y xyo1xo 1例5.求证：函数f(x)=log a x(0<a<1)，在(0，+∞)上是减函数.证明:设任意的x 1，x 2∈(0，+∞),且x 1<x 2.∵ f(x 1)-f(x 2)=log a , 又∵0<x 1<x 2， ∴，由0<a<1，知f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2).由定义知函数f(x)=log a x(0<a<1)，在(0，+∞)上是减函数.例6.对于函数f(x)=lo (x 2-2ax+3)，解答下述问题：(1)若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；(3)若函数在[-1，+∞)内有意义，求实数a 的取值范围； (4)若函数的定义域为(-∞，1)(3，+∞)，求实数a 的值；解:(1)由已知x 2-2ax+3>0对任意的x ∈R 恒成立，令u(x)= x 2-2ax+3，则函数y=f(x)的图像恒在x 轴的上方，∴ < 0,.(2)若函数y=f(x)的值域为R ，则u(x)= x 2-2ax+3必须取遍所有的正数，由于u(x)=x 2-2ax+3轴至少有一个交点. ∴≥0,(3)由函数在内有意义， ∴ u (x)=x 2-2ax+3>0对任意的 x ∈恒成立，即u (x)=x 2-的图像在上恒在x 轴的上方. 如图1.11—2.∴.(4)若函数的定义域为，即不等式x 2-2ax+3>0的解为 ∴u(x)= x 2-2ax+3的两个零点为1和3，由韦达定理知a=2.想一想②：1.函数y=log a (x+2)+3必过定点 .2.若函数f(x)=ln(a x -a -x )(a>1)，当x ∈(1，+∞)时，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围.4.对数函数单调性的应用①比较大小例7.(1)比较大小：①log 316与4log 52； ②lo与lo； ③0.42，log 20.6，20.75.(2)已知f(x)=1+log x 3，g(x)=2log x 2，(x 0且x ≠1)，比较f(x)与g(x)的大小. 解:(1)① ∵ log 316>log 39=2，而4log 52=log 524=log 516<log 525=2. ∴ log 316>4log 52. ②∵ lo > lo，lo< lo=1， ∴ lo> lo. 或 由lo=log 23>log 22=1，lo =log 32<log 33=1，∴ lo> lo.③∵ 0<0.42=0.16<1，log 20.6<0，而20.75>1. ∴ log 20.6<0.42<20.75.yx o-1 · 图1.10—2yxo-1 ·(2)∵f(x)-g(x)=1+log x3-2log x2=log x.①当0<x<1时，0<<1，∴f(x)>g(x).②当1<x≤时，0<<1，∴f(x)≤g(x). ③当x>时，>1，∴f(x)>g(x).综上所述知，当0<x<1或x>时，f(x)>g(x).当1<x≤时，f(x)≤g(x).(当且仅当x=时取等号).②求函数的值域或最值例8.(1)已知2lo.求函数y=的最值.(2)求函数f(x)=lo g2(x-1)+g2(p-x)的值域.解:(1)由2lo，.又∵y=(log2x-1)(log2x-2)=log22x-3log2x+2，∴y min=(x=)；y max=2(x=8).(2)此函数的定义域由给定.由于函数的定义域不能为空集，∴，(1)当1，即时，上单调递减，∴，值域为.(2)当1<，即p>3时，值域为.(3)当，即p<-1时，不满足p>1.综上所述知，当时，值域为；当p>3时，值域为.③讨论函数的单调性例9.(1)若函数f(x)=log a(2-ax)在区间[0,1]上单减，则a∈( ).A.(1,2).B.(0，1).C.(0，2).D.[2,+∞).(2)求函数y=log2(x2-x-2)的单减区间.解:(1)令f(x)=log a u，u=2-ax>0，∵函数f(x)=log a(2-ax)在区间[0,1]上单减，且a>0, ∴u=2-ax是x的减函数，则f(x)=log a u是u的增函数，∴ a>1.又∵f(x)=log a(2-ax)在区间[0,1]有意义，∴故应选A.(2)令y=log2u，u= x2-x-2>0，∵y=log2u是u的增函数，∴当u= x2-x-2>0单减时，函数y=log2(x2-x-2)的单减. 故函数y=log2(x2-x-2)的单减区间为(-∞,-1).④解不等式例10.(1)若log a<1,则实数a的取值范围是.(2)设a＞0且a≠1，解不等式解:(1)原不等式可化为log a<log a a，当a>1时，当0<a<1时，综上所述知a∈(0,)∪(1,+∞).(2)令log a x=t，则得当0<a<1时，由指数函数的单调性，有4-t2<1-2t , t2-2t-3＞0, (t+1)(t-3)＞0, t<-1，或t>3,从而log a x<-1或log a x>3，解得x>或x<a3.当a>1时，则有4-t2>1-2t, t2-2t-3<0,(t+1)(t-3)<0, -1<t<3.从而 -1<log a x<3，解得<x<a3.综上所述知，当0<a<1时，x∈当a>1时，x∈(). 想一想③：1.若log a >1，求实数a 的取值范围.2.函数f(x)=log 0.5|x 2+2x -3|的单增区间是( ).3.解不等式log (x+1)(x 2-x -2)>1.【与图像、方程有关的综合问题】例11.(1)若定义在R 上的偶函数f(x)满足：f(x)=f(x+2)，且当x ∈[0，1]时，f(x)=x.则函数y=f(x)-log 3|x|的零点个数为( ).A.4.B.3.C.2.D.1. (2)若方程x+log 2x=5与x+2x =5的根分别为，则=( ). (3)对于函数f(x)=log 2(x -1)，当x 1，x 2均大于1时，你能得出[f(x 1)+f(x 2)].解:(1)∵ 当x ∈[0,1]时，f(x)=x ，又y=f(x)是定义在R 上 的偶函数，且周期为2，故可得函数y=f(x)的图像， 如图1.10—3所示.由于函数y=f(x)-log 3|x|的零点即为 函数y=f(x)与y=log 3|x|图像交点的横坐标，结合图 像易知两图像有四个不同的交点.故应选A.(2)由x+log 2x=5得log 2x=5-x.再由x+2x =5得2x=5-x.在同一直角坐标系中同时作出函数y=log 2x 、y=2x、 y=5-x 的图像，如图1.10—4.其中为函数y=log 2x与y=5-x 的图像交点的横坐标；为函数y=2x与y=5-x的图像交点的横坐标.由于函数y=log 2x 与y=2x、的图像都关于直线y=x 对称，易求得 =5. (3)作出函数的图像，如图1.10—5所示.对于任意的x 1、x 2由梯形中位线的性质，结合图像易知想一想④：1.方程log 2(x+4)=3x 的根的个数为( ).2.不等式log 2(-x)＜x+1的解集为( ).3.类比上例(3)，对于f(x)=3x 你能得出怎样的结论.习题1.101.若log 2[]= log 3[]= log 5[]=0，则x 、y 、z 的大小关系是( ).A.z<x<y.B.x<y<z.C.y<z<x.D.z<y<x. 2.若y= -log 2(x 2-ax -a)在区间()上是增函数，则实数a 的取值范围是( ). A.[2-2，2]. B.[ 2-2，2). C.( 2-2，2]. D.( 2-2，2).3.已知函数y =lo (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围( ). A.a>1.B.0≤a<1.C.0<a<1.D.0≤a ≤1.xy o图1.10—455xyo 1 2 3 -2 -3 -1图1.10—3xy ox 1x 22)()(21x f x f +221x x +f(x 2f(x 1))2(21x xf +4.函数y=(lo x)2－lo x2＋5在2≤x≤4时的值域为．5.已知lg2=a，lg3=b，将用a ，b表示为.6.已知函数f(x)=log2(x2-2)的定义域为[a，b]，值域为[1，log214]，求ab的值.7.已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？8.设0<x<1，a>0且a≠1，试比较|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小．9.已知函数f(x)=log a(a－a x)(a>1).求函数的定义域和值域.10.在对数函数y=log2x的图像上(如图1.10—6)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．11.设a，b，c分别是方程2x= 的实数根，则有( ).A.a<b<c.B.c<b<a.C.b<a<c.D.c<a<b.12.设a=log54，b=(log53)2，c=log45. 则( ).A.a<c<b.B.b<c<a. C,a<b<c. D.b<a<c.13.函数f(x)=ln(x-)的图像只可能是( ).14.已知函数f(x)=则函数y=f(1-x)的大致图像是( ).【参考答案】想一想①：1. -.2.(1)1.(2)3.略想一想②：1.(-1,3).2.由已知函数f(x)=ln(a x-a-x)(a>1),当x∈(1，+∞)时是增函数，∴ x∈(1，+∞)时，f(x)>0恒成立，只需f(1)≥0即可. 由ln(a-a-1) ≥0， a-a-1≥1，解得a.想一想③：1. ().2.(-∞,-3)，[-1,1).3.x∈(3，+∞).想一想④：图1.10—6。

1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。

即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。

自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。

3．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈，则log a = 。

⑷log a N a N =2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的． 推广：⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =， ⑶1log log n a a M M n =，则log na m M = 。

特别地：log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】 求下列各式中x 的取值范围。

（1）2log (5)x +（2）1log (10)x x --【例2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。

（1） 1642= （2） 9132=- （3） 481log 3=（4） 6125log -=a （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606【例3】 计算（1）lg 4lg 25+ （2）22log 24log 6-（3）531log ()3（4） 001.0lg （5）e1ln （6）1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .知识要点【例4】 （1）（2 。

对数与对数函数一、相关知识点1.对数的定义：如果()1,0≠>=a a N a x 且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

2.几种常见对数(1)()1,0≠>a a 且①01log =a ; ②1log =a a ; ③N a Na =log ; ④N a N a =log .（两个对数恒等式） (2)对数的重要公式：①换底公式：()0,1,log log log >=N b a b aN aNb均为大于零且不等于；②abba log 1log =，推广：da d c cb b a log log log log =⋅⋅. （3）对数的运算法则：如果0,0,1,0>>≠>N M a a 且，那么 ①()Na M a MN aloglog log += ; ②NaM a N Malog log log -=； ③()R n n MaM a n∈=log log ；④b a b a mnnm log log = . 3.反函数，只需了解：指数函数xa y =与对数函数xa y log =互为反函数，它们的图象关于直线x y =对称。

题型一：对数的化简和求值1.计算:(1)2110025lg 41lg ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-；(2)32log 2450lg 2lg 5lg +⋅+；(3)()232031027.0252lg 3.0lg 21000lg 8lg 27lg --⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+-++-+；(4)()222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +++. 2.已知()[]0lg log log 25=x ，求x 的值.3.已知0>a ，且1≠a ，m a =2log ，n a =3log ，求nm a +2的值能力提高：(1).设m ba==52，且211=+ba ,则=m ; (2).若632==b a ，求证：c b a 111=+题型二：（1）对数函数的基本性质题型一：基本性质1.函数()()223lg +-=x x f 恒过定点_______________________2.如果0log log 2121<<y x ，那么（）(A)1<<x y ； (B)1<<y x ；(C)y x <<1； (D)x y <<1.3.已知()x x f a log =，()x x g b log =，()x x r c log =，()x x h d log =的图象如图所示则a ,b ,c ,d 的大小为A.b a d c <<<;B.a b d c <<<;C.b a c d <<<;D.d c b a <<<4.若函数()⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫⎝⎛+≥=）（）（4214log 2x x f x x x f ,则⎪⎭⎫⎝⎛23f 的值是( ) A.21; B.1; C.23; D.2 5.若点()b a ,在x y lg =图像上,1≠a ,则下列点也在此图像上的是（）A.⎪⎭⎫⎝⎛b a ,1;B. ()b a -1,10;C.⎪⎭⎫⎝⎛+1,10b a ; D.()b a 2,2. 6.函数()()13log 2+=xx f 的值域为7.为了得到函数103lg+=x y 的图像,只需把函数x y lg =的图像上所有的点( ) A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度； D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度.8.若函数()()()101≠>--=a a a a k x f xx且在R 上既是奇函数,又是减函数()()k x x g a +=log 的图象是( )9.对于函数()x f 定义域中任意的()2121,x x x x ≠，有如下结论： ①()()()2121x f x f x x f ⋅=+； ②()()()2121x f x f x x f +=⋅; ③()()02121>--x x x f x f ； ④()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 当()x x f lg =时，上述结论中正确结论的序号是. 能力提高：1.已知函数()22log 21+-=a y x 的值域是R ，求a 的取值范围.2.已知函数()()1log 22++=ax ax x f 的定义域为全体实数，求a 的取值范围.3.已知函数()()1log 22++=ax axx f 的值域域为全体实数，求a 的取值范围。

对数与对数运算基础知识扫描：1、概念：一般地，如果ba N =)1,0(≠>a a ，那么数b 叫做以a 为底 N 的对数. 记作 ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2、重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵log 1________a =，log a a =⑶对数恒等式log __________________.a N a =n a na =log 3、对数的运算法则：如果 a ＞0，a ≠ 1，M ＞0， N ＞0 有：=)(log MN a ，=NMalog ，=n a M log ．log a N n=nlog a N (n ∈R)知识点一 对数的概念 1、如果a 的b 次幂等于N ： ，其中隐藏条件为a ＞0, a ≠1 N ＞0 2、常用对数：通常把常用对数10log N 简记为lg N 例如：5log 10简记作lg5；3、自然对数: 以e=2.71828……e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数N e log 简记作N ln 例1、求使对数)5(log 2a b a -=-有意义的a 取值范围.例2、将下列指数式写成对数式，对数式写成指数式．（1）62554=； （2）73.531=m）（ ； （3）416log 21-= ； （4）303.210ln =知识点二 对数的化简、求值 例3、求下列各式中的x 的值．（1）32log 64-=x ； （2）68log =x ； （3）x =100lg ； （4）x e =-2ln例4、计算．（1）27log 9； （2）81log 3； （3）125log 5； （4）()()32log 32-+例5、计算.(1) 18lg 7lg 37lg 214lg -+-； (2) 5lg 2lg )5(lg 2⋅+.例6、已知3010.02lg =，4771.03lg =， 求108lg ．_____(01)a b c =>≠换底公式：log 且c log log 1a b b a ∙=log log m na a nN N m=⇔=N a b例7、计算. （1）;25log 20lg 100+ (2) 3log 12.05+； （3）4log 16log 327.例8、已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用b a ，表示42log 56.巩固练习一：一、选择题 1、25)(log 5a -（a ≠0）化简得结果是（ ） A 、－aB 、a 2C 、｜a ｜D 、a2、log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则21-x 等于（ ）A 、31B 、321 C 、221 D 、3313、nn ++1log（n n －＋1）等于（ ）A 、1B 、－1C 、2D 、－24、已知32a=，那么33log 82log 6-用表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、 23a a - 5、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 6、若log m 9<log n 9<0,那么m,n 满足的条件是（ ）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<n<m<1D 、0<m<n<17、若1<x<b,a=log ２b x,c=log a x,则a,b,c 的关系是（ ） A 、a<b<c B 、 a<c<b C 、c<b<a D 、c<a<b 二、填空题8、若log a x ＝log b y ＝－21log c 2，a ，b ，c 均为不等于1的正数，且x ＞0，y ＞0，c ＝ab ，则xy ＝________ 9、若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________ 11、若2log 2,log 3,m na a m n a+===___________________12、lg25+lg2lg50+(lg2)2= 三、解答题13、222522122(lg )lg lg (lg )lg +⋅+-+14、若lga 、lgb 是方程01422=+-x x 的两个实根，求2)(lg )lg(ba ab ⋅的值。

2.2.1 对数与对数运算1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．释疑点在对数log a N中规定a＞0，且a≠1，N＞0的原因(1)若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子(－3)x＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在，因此规定a不能小于0；(2)若a＝0，且N≠0时，log a N不存在；N＝0时，log a0有无数个值，不能确定，因此规定a ≠0，N≠0；(3)若a＝1，且N≠1时，x不存在；而a＝1，N＝1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1；(4)由a x＝N，a＞0知N恒大于0．(2)(3)(4)当a＞0，且a≠1时．如图所示：比如：43＝64⇔3＝log464；log525＝2⇔52＝25；以前无法解的方程2x＝3，学习了对数后就可以解得x＝log23．谈重点对指数与对数的互化关系的理解(1)由指数式a b＝N可以写成log a N＝b(a＞0，且a ≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．其关系如下表：(2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式log a Na N＝．指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段．【例1－1】下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( ) A．100＝1与lg 1＝0B．131273-=与271log3＝13-C．log39＝2与129＝3D．log55＝1与51＝5 【例1－2【例1－3】求下列各式中(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)log x27＝34；(4)x＝log84．2．对数的运算性质(1)对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②loga MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)．谈重点对对数的运算性质的理解(1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．(2)巧记对数的运算性质：①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积；②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．(2)谈重点利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“log a(MN)＝log a M＋log a N”的推导：设log a M＝m，log a N＝n，则a m＝M，a n＝N，于是MN＝a m·a n＝a m＋n，因此log a(MN)＝log a M＋log a N＝m＋n．【例2－1】若a ＞0，且a ≠1，x ＞y ＞0，n ∈N *，则下列各式： ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a (xy )＝log a x ·log a y ；④log log log a a a x xy y=；⑤(log a x )n ＝log a x n ；⑥1log log a a x x=-；⑦log log a a x n=其中式子成立的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【例2－2】计算：(1)2log 122＋log 123；(2)lg 500－lg 5；(3)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求．析规律 对数的运算性质的作用 (1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算；(2)由于lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，所以lg 5＝1－lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论．3．换底公式(1)公式log a b ＝log log c c ba(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1，b ＞0)．(2)公式推导： 设log log c c b x a=，则log c b ＝x log c a ＝log c a x ， ∴b ＝a x ．∴x ＝log a b ．∴log log c c ba＝log a b ．(3)公式的作用换底公式的作用在于把以a 为底的对数，换成了以c 为底的对数，特别有：lg log lg a NN a=，ln log ln a NN a=，利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的值． (4)换底公式的三个推论：①log log m n a a nN N m=(a ，N ＞0，且a ≠1，m ≠0，m ，n ∈R )；②log a b＝1log b a (a ，b ＞0，且a ，b ≠1)；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c ＞0，且a ，b ，c ≠1，d ＞0)．证明：①log am N n＝log log log log n a a a ma N n N n N a m m ==．②log ab ＝log 1log log b b b b a a=．③log a b ·log b c ·log c d ＝lg lg lg lg lg lg lg lg b c d da b c a⋅⋅=＝log a d ． 【例3－1】82log 9log 3的值是( ) A ．23 B ．32 C ．1 D ．2【例3－2】若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于( )A ．12B ．9C ．18D ．274．对数定义中隐含条件的应用根据对数的定义，对数符号log a N 中实数a 和N 满足的条件是底数a 是不等于1的正实数，真数N 是正实数，即>0,>0,1,N a a ⎧⎪⎨⎪≠⎩因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件．对数概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数相互联系，深刻理解对数与指数之间的关系，将有助于掌握对数的概念．【例4－1】已知对数log (1－a )(a ＋2)有意义，则实数a 的取值范围是__________．【例4－2】若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝__________．5．对数的化简、求值问题应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算过程，加快计算速度．(1)同底数的对数式的化简、求值 一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差．如39log 5＋log 35＝log 39－log 35＋log 35＝log 39＝2．二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数．如，39log 5＋log 35＝39log 55⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝log 39＝2．三是“拆”与“收”相结合．(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式，进而进行化简，化简后再将底数统一进行计算．也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值．对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N ，lg 2＋lg 5＝1，log a b ·log b a ＝1等．【例5－1】化简求值：(1)4lg 2＋3lg 5－1lg5；；(3)2log32－332log9＋log38－5log35；(4)log2(1)＋log2(1．【例5－2】计算：(log43＋log83)(log32＋log92)－．6．条件求值问题对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．例如：设x＝log23，求332222x xx x----的值时，我们可由x＝log23，求出2x＝3,2－x＝13，然后将它们代入332222x xx x----，可得33331322913122933x xx x--⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--．【例6】已知3a＝4b＝36，求21a b+的值．析规律与对数式有关的求值问题的解决方法(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．7．利用已知对数表示其他对数(1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)用对数log a x和log b y等表示其他对数时，首先仔细观察a，b和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a，b．解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式．对数的运算性质总结：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；log a MN＝log a M －log a N ； log a M n ＝n log a M (n ∈R )．换底公式：log a b ＝log log c c ba(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．(3)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式． 【例7－1】已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( )A ．a b a +B ．a b b +C ．a a b +D ．b a b +【例7－2】已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．8．与对数有关的方程的求解问题 关于对数的方程有三类：第一类是形如关于x 的方程log a f (x )＝b ，通常将其化为指数式f (x )＝a b ，这样解关于x 的方程f (x )＝a b 即可，最后要注意验根．例如：解方程64152log 163x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将其化为指数式为23156416x --=，又223233164(4)416---===，则1511616x -=，所以x ＝1，经检验x ＝1是原方程的根．第二类是形如关于x 的方程log f (x )n ＝b ，通常将其化为指数式f b (x )＝n ，这样解关于x 的方程f b (x )＝n 即可，最后要注意验根．例如，解方程log (1－x )4＝2，将其化为指数式为(1－x )2＝4，解得x ＝3或x ＝－1，经检验x ＝3是增根，原方程的根是x ＝－1．第三类是形如关于x 的方程f (log a x )＝0，通常利用换元法，设log a x ＝t ，转化为解方程f (t )＝0得t ＝p 的值，再解方程log a x ＝p ，化为指数式则x ＝a p ，最后要注意验根．【例8－1】已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求xy的值．【例8－2】解方程lg 2x －lg x 2－3＝0．9．对数运算的实际应用对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值．计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式．另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算．【例9】抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)。