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多元复合函数和隐函数的求导法则

多元复合函数和隐函数的求导法则

别 类
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把 复 合函 数 z f [ ( x, y), x, y] 中的u 及 y 看作不
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
例1. 设 z eu sin v , u xy , v x y , 求 z , z .
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
例4. 设
求 w, 2w . x xz
f 具有二阶连续偏导数,
步骤：
1.必须设中间变量；
2z x2

x
( 2
x
) z
也可利用全微分求解

(2
z) (2
2 z)3
x2
总结方法： 1.求隐函数的导数或偏导数，有哪些方法： 答:通常有三种方法 (1)利用隐函数求导公式；
(2)对所给方程两端求导,再解出所求的导数或偏导数； (3)利用全微分.
x y
解: z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
uv
x yx y
eu sin v eu cos v 1
例2.
u

f
(x, y, z) ex2 y2 z2 ,
z

x2sin
y, 求
u , x
偏导数都存在，且有链式法则
z x z z u z dv y u y v dy

多元复合函数与隐函数求导

多元复合函数与隐函数求导

2
t cos t
dz , 求全导数 dt
u 2v
解：令 u = sint , v = cost , 则z = e
du dv z z u 2v 2 u 2v = + = 2uve cost + u e ( - sint ) dt dt dt u v
= 2e
=e
sin 2 tcost
sintcos t - e
v = ψ ( x + x , y ) — ψ ( x , y )
在相应点(u,v)处相应于 的全增量 处相应于x的全增量 函数 z = f ( u,v ) 在相应点 处相应于
z = f ( u + u , v + v ) — f ( u , v )
有连续的偏导数， 由于 z = f ( u,v ) 有连续的偏导数，所以
第四节 多元复合函数 与隐函数求导
一、多元复合函数的求导法则 二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。 以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。 又都是x，y的函数 又都是 的函数 设函数 z = f ( u,v ) ，而u，v又都是 u = ( x , y ), v = ψ ( x , y ), 于是
-
2 )
对于具有三个中间变量的函数 z = f ( u , v , w ), 其中 u，v，w分别是 ，y的函数，有 分别是x， 的函数 的函数， ， ， 分别是
z z u z v z w = + + x u x v x w x z z u z v z w = + + y u y v y w y
z y
当然我们同理也可求 得

复合函数及隐函数求导

复合函数及隐函数求导

2x x2 y2
z y
z u
u y
z v
v y
eu ln v
x
eu 1 v
2y

xe xy
ln( x2

y2)
2y x2 y2
说明：
1. 在定理1中,对 z f (u,v) 若u ( x),v ( x)，
则复合函数z f [ ( x), ( x)]是x的函数，
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 xy
f22 x y
为简便 起f11见
,y引(x入 z记) f号12
f1xy
2zuf f,22f12yf
2 2 f u v
u
x
简单表示为 z v
x
此时z对x的导数称为全导数，
且有 dz z du z dv dx u dx v dx
例2 求y (sin x)cos x的导数 dy . dx
解 令 u sin x, v cos x 则 y uv，
dy dx

y u

du dx

y v
解 z z u F (u) 2 x x u x
u
x y
2xF( x2 y2 )
zy
y
z
y
z u f u y y

F (u)(2 y) 1
1 2 yF( x2 y2 )
3. 定理1可推广到中间变量和自变量多于两个的情形 例如，设z f (u,v, w)具有连续偏导数，
xy
例4 设u x2 y2 z2 , x s2 t 2 , y s2 t 2 , s

多元复合函数求导和隐函数求导

多元复合函数求导和隐函数求导

多元复合函数求导和隐函数求导这节内容比较难，听课要认真。

要搞清我们学什么，要弄清复合函数、隐函数、显函数等基本概念。

一.显函数及复合函数1.显函数：)(x f y =（显现出来y ） ),(y x f z =（显现出z ）2，二元显函数求偏导：将一个固定，对另一变量求导。

3，复合函数：（复合函数是显函数） 一元：))(()()(x f y x u u f y ϕϕ=→== 作图：x u y -- ))(),(()()(),(x x f y x v x u v u f y φϕφϕ=→=== 作图： 二元： )],(),,([y x v y x u f z = （如),(),(y x v y x u z =） 作图：三元：如),,()(z y x u u f w ϕ== 作图：4，链式：x u y 环环 → 一条链两条链二、复合函数的求导： 链式法则： 一元：))(()()(x f y x u u f y ϕϕ=→==dxdudu dy dx dy =))(),(()()(),(x x f y x v x u v u f y φϕφϕ=→===“一条链”＋“另一条链”dx dv dv dy dx du du dy dx dy ＋=同理写出下列链式公式：x v v z x u u z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂＋yv v z y u u z y z ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂＋ u —— xyv —— xu —— x zv —— yx w ——u —— y zu —— x yv —— x u —— x yv —— xu —— x zv —— yxuu w x w ∂∂∂∂=∂∂ yuu w yw ∂∂∂∂=∂∂zuu w z w ∂∂∂∂=∂∂ 例1 yz x z y x v y x u v u z ∂∂∂∂-===,,23,.ln 2求 解：方法一： 把v u ,代入直接求； 方法二：用链式法则31ln 22⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂vu y v u x v v z x u u z x z ＝＋)2()(ln 222-⋅+-⋅=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂v u yx v u y v v z y u u z y z ＋ 例2 对抽象函数),,(xyz xy x f u =，求zuy u x u ∂∂∂∂∂∂,, 解：令xyz xy x ===3,2,1')('')(''321x x xyz f xy f f xu⋅+⋅+∂∂＝ ')('')('32y y xyz f xy f yu⋅+⋅∂∂＝ ')('3z xyz f zu⋅∂∂＝ x w ——u —— y zu —— xzv —— y1——xu —— 2——y3——z隐函数的求导上节我们学了复合函数的求导法则：链式法则。

多元函数及隐函数求导

多元函数及隐函数求导

多元函数的极值定义与性质
极值性质
极值点不一定是函数取得 最大值或最小值的点；
极值点是函数值改变方向 的点；
极值点可能是连续函数的 不连续点。
多元函数的最值定义与性质
• 最值定义：设函数$f(x,y)$在闭区域$\Omega$上有定义，如 果存在点$(x_0,y_0) \in \Omega$，使得对于所有$(x,y) \in \Omega$都有$f(x,y) \leq f(x_0,y_0)$（或$f(x,y) \geq f(x_0,y_0)$），则称$f(x,y)$在区域$\Omega$上取得最大值 （或最小值）。
生物问题
在工程学中，隐函数可以用来描 述机械运动、流体动力学等物理 现象。
在生物学中，隐函数可以用来描 述种群增长、生态平衡等生物现 象。
03
高阶导数与全微分
高阶导数的概念与性质
概念
高阶导数是指一个函数在某一点的导数，对其再次求导，得到的二阶导数、三阶导数等 统称为高阶导数。
性质
高阶导数的计算涉及到多个求导法则，如链式法则、乘积法则、商的求导法则等。高阶 导数的计算可以揭示函数的局部性质，如拐点、极值点等。
全微分的概念与性质
概念
全微分是指一个多元函数在某一点的微 分，它表示函数在该点附近的小变化。 全微分等于各个偏导数与相应变量的乘 积之和。
VS
性质
全微分具有线性性质，即两个函数的和或 差的微分等于它们微分的和或差。全微分 还具有连续性，即如果函数在某点可微， 则其全微分在该点连续。
全微分在实际问题中的应用
多元函数及隐函数求导
• 多元函数导数与偏导数 • 隐函数求导法则 • 高阶导数与全微分 • 多元函数极值与最值 • 多元函数及隐函数求导的应用实例

第三节 多元复合函数与隐

第三节 多元复合函数与隐

(2e sin t 3sin t )e (e 12e sin t )cos t
t 4 t 2t t 3
例 2 设 z uv sin t ，而 u e t ，v cos t ，
dz 求全导数 . dt
解
dz z du z dv z dt u dt v dt t
u, v为中间变量时，
z z dz du dv u v
三.隐函数求导法
dy 1.F ( x, y ) 0, 求 dx
例 1 ：y xe y x 0, 求y对x的导数
y e 1 y y 解： (1)两边对x求导 : y'e xe y'＋1 0, y' 1 xey
y dy e 1 y y ( 2)全微分 dy e dx xe dy dx 0, dx 1 xey
Fx e y 1 (3)用偏导数求 : Fx Fy y ' 0, y ' Fy 1 xe y
定理 设二元函数F ( x, y )在p0 ( x0 , y0 )的某一邻域内具有 连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0，则由方程 F ( x, y ) 0在点( x0 , y0 )的某一邻域内能唯一确定一个有 连续导数的函数y f ( x)满足y0 f ( x0 ), 有 Fx dy dx Fy
证 : 两边对t求导有 :
xf1(tx, ty) yf2(tx, ty) kt k 1 f ( x, y)
令t=1
xf x ( x, y) yf y ( x, y) kf ( x, y)
二.一阶全微分形式不变性
u, v为自变量时，

3复合函数,隐函数求导-PPT精品文档


v(x) v(x) v ( x ) 设 y u(x) 可导 ( u ( x ) 0 ) , 则 y u(x) [ln u ( x ) ]
例 5 求下列函数的导数 : x2 1 (1) y 2 2x x ( 2 ) y (1 2x) , x 0
1 x
3.抽象函数求导法
例2求下列函数的导数
( 1 )y ( x 1 ) .
2 10) ( 3 )y a x arcsin (a0 2 2 a
2 3 ( 4 )y lg arccos x
2
1 (ln x) 例 3求 y ln x 的导数 x
三、求导的方法
• • • • 1.复合函数求导 2.高阶导数 3.隐函数求导法 4.参数求导法
一、复合函数求导法则 • 1.链式法则 • 2.对数求导法 • 3.抽象函数求导法
1.链式法则
性质
如果函数 ug (x ) 在点 x 可导 ,而 yf( u ) 在点 u (x ) 可导 , 则复合函数 yf[ g (x )] 在点 x 可导 , 且其导数为 dy dydu (x f( u )g ). dx dudx

( n ) n y ( 1 ) ( n 1 ) x ( n 1 )
( n ) n y ( 1 ) ( n 1 ) x ( n 1 )
若 为自然数 n ,则
( n ) n( ) n !, y ( x )n
高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例 1 设 y arctan x , 求 f ( 0 ), f ( 0 ).
注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 例2 求下列函数的n阶导数

多元复合函数与隐函数的求导


2ulnv
x y2
u2 v
2
2x2 y3
ln 3x
2y
y2
2x2
3x
2y
当然，例1.1也可以用直接求导法，但是用链式法则求 导具有思路清晰、计算简便、不易出错等优点。但是对于下 例，就只能用链式法则来求导了。
例1.2 设 z f x 2y ，ysinx， f 具有一阶连续的偏导数，求
图8-5
注意
在复合函数求导的过程中，如果其中出现某一个中间变量 是一元函数，则涉及它的偏导数记号应改为一元函数的导数记 号。
例1.3 设 z 2yຫໍສະໝຸດ x yx，y 求 。zy
解
设 u x y ，v x y，则 z 2yuv ，其函数结构图为
所以 z z dy z u z v 。 y y dy u y v y
例如 z eu sinv ，而 u 2xy，v x2 y ，如何求 z ? x
1.1 复合函数的求导法则
1. 二元复合函数求导法则
分析
方法一（直接求导法）
z e2xy sin x2 y ，利用求导的乘法公式可得： z 2 ye2xysin x2 y 2xe2xycos x2 y
高等数学
多元复合函数与隐函数的求导
【本节导引】
在一元 函 数 微 分 学 中，我 们 学 习 过 一 元 复 合 函 数
的 求 导 法 则，对 一 元 复 合 函 数 y f g x，如果函数 y f u 对u可导、u g x对x可导，则 dy dy du f ' u g' x
dx du dx ，即函数 y 对自变量 x 的导数等于函数y 对中间变量 u 的导数与中 间变量 u 对自变量 x 的导数的乘积。此一元复合函数的求导思想 能不能应用到多元复合函数的求导上? 若能，如何推广?

多元复合函数求导法则和隐函数求导公式


z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x

多元复合函数求导法和隐函数求导公式


通过练习和案例分析，提 高解决多元复合函数和隐 函数求导问题的能力。
THANKS
感谢观看
通过对方程两边求导，得到隐函数的导数表 达式。
高阶偏导数的计算方法
利用低阶偏导数的计算结果，逐步推导高阶 偏导数的表达式。
学习建议
熟练掌握多元复合函数的 求导法则，能够灵活运用 链式法则、乘积法则等解 决实际问题。
理解偏导数的概念及其性 质，能够正确计算偏导数 并解释其物理意义。
ABCDBiblioteka 学会利用隐函数求导公式， 解决涉及方程组的导数问 题。
04
多元复合函数和隐函数的实际应用
几何应用
曲线和曲面求导
通过多元复合函数求导法，可以求出曲 线和曲面的导数，进而研究它们的几何 性质，如曲线的斜率、曲面的法线等。
VS
参数方程的应用
在几何中，参数方程常常用来描述曲线和 曲面，通过隐函数求导公式，可以方便地 求出参数方程的导数，进而研究曲线的切 线和曲面的法线。
导数
表示函数在某一点附近的变化率，是函数的局部性质。对于隐函数，其导数表示其在某点处的切线斜率。
一阶隐函数求导公式
求导法则
利用链式法则对隐函数进行求导，即对$y$的求导数等于$frac{partial F}{partial x} cdot frac{dx}{dy}$。
举例
若$F(x, y) = 0$，则$frac{dy}{dx} = -frac{frac{partial F}{partial x}}{frac{partial F}{partial y}}$。
全导数的应用
全导数在研究多元函数的性质、优化问题以及偏微分方程等 领域中都有广泛的应用。通过全导数，我们可以更全面地了 解多元复合函数在不同自变量变化情况下的整体行为。
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d2 y dx2



Fx Fy
x
FxxFxyF FxyF (yFy)2FyxFyyF FxyFx
FxxFy22FxF yF y3xFyFyyFx2
2019/6/5
14
高等数学（下）主讲杨益民
(4)
z f(u ,x ,y ),u (x ,y ) z
z
u x y
x y
x


z
y

z u z u
u x u y

f x f y
x, y为自变量
x, y为中间变量
例 1 设z eu sin v , u xy, v x y, 求: z 和z 。
2019/6/5
6
高等数学（下）主讲杨益民
(2) x 2u 2 r( u x)cos ( u x)sin r
r( u rcos usin r)cos
( u rcos usin r)sin r
u
ux
r
xy xy 注意利用 已有公式
由 定理1 可知, 在 (0,0)的某邻域内方程存在单值可导的隐函数
y f(x)
2019/6/5
15
高等数学（下）主讲杨益民
d y F x d xx0 F y x0
1 , d d x 2y 2x0
3
另解 (利用隐函数求导法)
例2 求曲线 xy﹣2x + 2y = 0在(0, 0)处的切线方程。
y2 z2

4z

0，求
2z x 2
。
解法1 利用隐函数求导法
解法2 利用公式
例 4 设z f ( x y z, xyz)，求 z ，x ，y 。 x y z
例 5 已知z=f (x, y)由方程 F ( x , y ) 0 确定，其中F具有 zz
连续偏导数, 求：x z y z 。 x y
z du z dv 全微分形式不变性：无论u, v是自变量还是中间变
u
v
量， z=f (u, v)的全微分形式完全一样。
2019/6/5
9
高等数学（下）主讲杨益民
例 4 已知e xy 2z e z 0，求 z 和 z 。 x y
解：
d(exy2zez)0


Fx Gx
Fv Gv
u y
1 J
(F,G) (y,v)


Fy Gy
Fv Gv
Fu Fv Gu Gv
Fu Fv Gu Gv
v x


1 J
(F,G) (u, x)


Fu Gu
Fx Gx
v y


1 J
(F,G) (u, y)


Fu Gu
Fy Gy
注意：自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 谁是自变量？谁是因变量？由题设所求对象判定。
2019/6/5
20
高等数学（下）主讲杨益民
课外作业
2019/6/5
21
谢谢！
xiexie!
2 ru 2co s22 r2 u sin r co s 2 u 2sin r2 2
u2sincos usin2

r2
r r
2019/6/5
7
高等数学（下）主讲杨益民
2xu2 2ru2cos22r2usinrcos2u2 sinr22
Fu Fv Gu Gv
Fu Fv Gu Gv
2019/6/5
19
高等数学（下）主讲杨益民
例 6 设 xu yv 0， yu xv 1，求 u，u，v ，v 。
x y x y
例7 已知z=F(x, y), G(x, y, t)=0，其中F和G具有连续的偏导 数，求： z , z 。 x t
e x yd ( x y ) 2 d z ezd z 0
(ez 2 )d ze x(y xd yyd ) x dz(eyz ex2y)dx(exz ex2y)dy
z x

ye xy ez 2
,
z x e xy y ez 2
2019/6/5
2019/6/5
8
高等数学（下）主讲杨益民
二、全微分形式不变性
1. 设z=f (u, v)具有连续偏导数，则
dz z duzdv u v
此时u、v为自变量。
2. 设z=f (u, v)具有连续偏导数，且u= (x,y), v= (x,y)也具有
连续偏导数，则 z=f ( (x,y), (x,y)) 的全微分为：
例1 验证方程 sinyexxy10在 (0,0)某邻域可确定
一个单值可导隐函数y=f (x)，并求
dy
d2 y
, dx x0
dx2
。
x0
解： 令F (x ,y ) sin y ex xy 1 , 则
(1 ) F x e x y , F y c o sy x连续 , （ 2）F(0,0)0, （ 3）Fy(0,0)10
uxur rxu

x
r x2y2, arctany
x

u r
x r

u

y r2
ur cosusinr
uu r u y r y y
u y u x

r
r


r2
usinucos
r
r
( u x)2( u y)2( u r)2r1 2( u)2
2019/6/5
17
高等数学（下）主讲杨益民
二、方程组的情形
F(x, y,u,v) 0 确定了 u u ( x , y )
G(x, y,u,v) 0

v
问：

u x v
,u y ,v
?
x y

10
高等数学（下）主讲杨益民
课外作业
2019/6/5
11
高等数学（下）主讲杨益民
第五节 隐函数的求导公式
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 。
例如, 方程 x2 yC0
当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 。
x y
dz 例 2 设z uv sin t ，u et ，v cos t ，求: dt 。
2019/6/5
4
高等数学（下）主讲杨益民
例 3 设w f ( x y z, xyz)， f 具有二阶连续偏导数，
求: w 和 2w 。 x xz
例4 设u=f (x, y)具有连续的二阶偏导数, 求下列表达式在
u2sincos usin2


r2
r r
2yu2 2ru2sin22r2usinrcos2u2 cors22
u2sinr2cos
ucos2
r r
x 2u 2 2 yu 2 r2u 2r12 2u 21 r u rr12 rr(rur)2u2
dz z dx z dy ( z u z v)d x ( z u z v)d y
x y
u x v x u y v y
z( u d x u d y) z( vd x vd y) ux y vx y
则方程F ( x, y) 0在 P( x0 , y0 )的某邻域内唯一确定一个单值连
续且具有连续导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，
并有
证明：仅形式推导
dy Fx dx Fy
2019/6/5
13
高等数学（下）主讲杨益民
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则还有二阶导数 :
极坐标系下的形式：(1)( u x)2( u y)2,
(2)
2u 2u x2y2。
解：
x rc o s,y rs in
u
r x2y2,arctany
x
(1) uxur xr ux
r
xy xy
2019/6/5
5
高等数学（下）主讲杨益民
2019/6/5
12
高等数学（下）主讲杨益民
一、一个方程的情形
1 . F (x ,y ) 0 在 什 么 件 下 确 定 了 y = f( x ),如 何 求 ： d y ？ d x
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在 P( x0 , y0 )的某一邻域内
(1) 具有连续的偏导数; (2) F ( x0 , y0 ) 0; (3) Fy ( x0 , y0 ) 0，

z
v
y u y v y
(3) z
u w v
x
z x

z u
u x

z v
v x

z w
w x
y z z u z v z w
y u y v y w y
2019/6/5
3
高等数学（下）主讲杨益民
证明： 设t获得增t量 ，则
u(t t)(t)
v (t t) (t)
z f ( u u ,v v ) f ( u ,v )
又因z=f (u, v)在 (u, v)具有连续偏导数，
2019/6/5
1
高等数学（下）主讲杨益民
z u z u v z v1 u2 v
高等数学（下）主讲杨益民