广州市2012-2013学年第二学期期末教学质量监测高一数学

2023—2024学年第一学期期末教学质量监测高一数学本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B 铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知x ∈R ，则“210x −>”是“1x >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由一元二次不等式的解法及充分必要条件的定义可得结果. 【详解】由210x −>解得1x >或1x <−，所以当1x >时一定有210x −>成立，反之不一定成立， 所以“210x −>”是“1x >”的必要不充分条件， 故选：B.2. 已知集合{}2210A x axx =−+=只有一个元素，则实数a 的值为（ ）A. 1或0B. 0C. 1D. 1或2【答案】A 【解析】【分析】讨论a ，当0a =时，方程是一次方程，当0a ≠时，二次方程只有一个解，Δ0=，即可求.【详解】若集合{}2210A x axx =−+=只有一个元素，则方程2210ax x −+=只有一个解，当0a =时，方程可化为210x −+=，满足题意，当0a ≠时，方程2210ax x −+=只有一个解，则440a ∆=−=，解得1a =， 所以0a =或1a =. 故选：A . 3. 方程2ln 0x x−=的根所在的区间是（ ） A. (0,1) B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】C 【解析】【分析】先判断出()2ln f x x x=−在()0,∞+上单调递增，结合零点存在性定理得到结论. 【详解】由于ln y x =在()0,∞+上单调递增，12y x=−在()0,∞+上单调递增，故()2ln f x x x=−在()0,∞+上单调递增， 又()2ln 210f =−<，()223ln 31033f =−>−>， 故方程2ln 0x x−=的根所在的区间是(2,3). 故选：C4. 设ln 0.8a =，0.8e b =，e 0.8c =，则（ ） A. a b c >> B. b c a >> C. c b a >> D. b a c >>【答案】B 【解析】【分析】由指数和对数函数的性质可得a<0，1b >，01c <<.【详解】ln 0.8ln10a =<=，0.80e e 1b =>=，e 000.80.81c <=<=，所以b c a >>. 故选：B . 5. 函数()22x xxf x −=+图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】判断函数的奇偶性，结合函数值的正负情况，以及结合函数特殊值的计算，一一判断各选项，即得答案.【详解】函数()22x xxf x −=+的定义域为R ， 且()()f x f x −=−，故()f x =则函数图象关于原点对称，则B 错误；又0x >时，()022x xxf x −=>+，故C 错误； 又2282161151765(1)(2)(34848)f f f =<=>==++=， 即0x >时，()22x xxf x −=+不是单调函数，D 错误， 结合函数性质和选项可知，只有A 中图象符合题意， 故选：A6. 函数()sin()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图像如图所示,为了得到函数π()2sin 23g x x=+的图象,只要把函数()f x 的图象上所有的点（ ）A. 向左平移π3个单位长度 B. 向左平移π6个单位长度 C. 向右平移π3个单位长度D. 向右平移π6个单位长度【答案】D 【解析】【分析】由函数的图象的最大值求出A ,由周期求出ω,由五点作图法求出ϕ,从而可得()f x 的解析式.再结合函数sin()yA x ωϕ+的图象平移变换规律即可得出结论.【详解】由函数()sin()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像可得 2.A = 125πππ=, 2.2212122T πωω =×=−−∴= 再根据五点法作图可得π2π2,.1223πϕϕ×−+=∴=()2π2sin 2.3f x x∴=+故把()2π2sin 23f x x =+的图象向右平移π6个单位长度,可得()22sin 22sin 2633y x x g x πππ=−+=+=的图象. 故选：D7. 函数()log (1)log (1)a a f x x x =++−（0a >，1a ≠，x ∈ ），若max min ()()1f x f x −=，则a 的值为（ ）.A. 4B. 4或14C. 2或12 D. 2【答案】C 【解析】【分析】将2()log (1)log (1)log (1)a a a f x x x x =++−=−，利用换元，化为()log a g t t =，分类讨论a 的取值范围，结合函数单调性以及最值的差，列式求解，即得答案.【详解】由题意得2()log (1)log (1)log (1)a a a f x x x x =++−=−，x ∈ ，令21t x =−，则1[,1]2t ∈，则函数2()log (1)a f x x =−，即为()log a g t t =， 当1a >时，()log a g t t =在1[,1]2上单调递增，由max min ()()1f x f x −=可得：1log 1log 1,22a aa −=∴=； 当01a <<时，()log a g t t =在1[,1]2上单调递减，由max min ()()1f x f x −=可得：11log log 11,22aa a −=∴=； 故a 的值为2或12， 故选：C8. 中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，有一种茶90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔1min 测一次茶水温度，得到数据如下： 放置时间/min 0 1 2 3 4 茶水温度/℃90.0084.0078.6273.7569.39为了描述茶水温度y ℃与放置时间min x 的关系，现有以下两种函数模型供选择：①()30R,0<<1,0x y ka k a x =+∈≥，②(,R,0)y mx b m b x =+∈≥.选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（ ）A. 5.5minB. 6.5minC. 7.5minD. 8.5min【答案】B 【解析】【分析】根据表中数据确定模型，求得解析式，当60y =，求得x 即可. 【详解】由表格中数据可得，茶水温度下降的速度先快后慢，所以选①()30R,0<<1,0xy ka k a x =+∈≥， 则0130903084ka ka += +=即30903084k ka +=+= ，解得60910k a = = ，所以9603010xy =×+ ， 当60y =时，可得91102x=，即9101lg 1lg 2lg 20.3012log 6.5min 92lg 912lg 31120.477lg 10x−−====≈−−−×. 故选：B .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若a b >，c d >，则a c b d −>− B. 若a b >> C. 若22a b c c >，则a b > D. 若0a b >>，0m >，则a m ab m b+>+ 【答案】BC 【解析】【分析】利用特殊值可判断A ；根据幂函数13y x =的单调性可判断B ；根据不等式的性质可判断C ；利用作差法比较大小可判断D.【详解】对于A ，当2a =，1b =，4c =，1d =时，不满足a c b d −>−，故A 错误；对于B ， 13y x =在R 上单调递增，∴当a b >时，1133a b >>，故B 正确；对于C ，22a b c c>，20c ≠，两边同时乘以2c ，得a b >，故C 正确； 对于D ， 0a b >>，0m >，∴()()()0b a ma m a ab bm ab am b m b b b m b b m −++−−−==<+++， 即a m ab m b+<+，故D 错误. 故选：BC.10. 设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数，例如[2.3]2=.令函数()[]f xx x =−，以下结论正确的有（ ） A. ( 1.7)0.3f −=− B. ()f x 的最大值为0，最小值为1−C. (1)()f x f x −=D. ()y f x =与1y x =−+的图象没有交点 【答案】AC 【解析】【分析】对于A 选项，代入计算出()( 1.7)[ 1.7] 1.7(2) 1.70.3f −=−−−=−+=−；C 选项，根据定义得到(1)[]()f x x x f x −=−+=，C 正确；B 选项，由C 选项得到()f x 的周期为1，并得到当0x =时，(0)0f =，当01x <<时，()(0,1)f x x =−∈，当1x =时，(1)0f =，得到最值；D 选项，画出()y f x =的图象，数形结合得到交点个数.【详解】对于A ，由题意得()( 1.7)[ 1.7] 1.7(2) 1.70.3f −=−−−=−+=−，故A 正确；对于C ，(1)[1](1)([]1)1[]()f x x x x x x x f x −=−−−=−−+=−+=，故C 正确； 对于B ，由选项C 可知，()f x 是周期为1的周期函数， 则当0x =时，(0)[0]00f −，当01x <<时，()[]0(1,0)f x x x x x =−=−=−∈−， 当1x =时，(1)[1]1110f =−=−=，综上，()f x 的值域为(]10−，，即()f x 的最大值为0，无最小值，故B 错误；对于D ，由选项B ，可知()0,0,010,1x f x x x x ==−<< = ，且()f x 的周期为1，作出()y f x =与1y x =−+的图象， 如图所示，由图象可知()y f x =与1y x =−+的图象有无数个交点，故D 错误，故选：AC ．11. 已知函数()tan f x x =，下列命题正确的是（ ） A. 若1()2f x =，则sin cos 15cos sin 3x x x x +=− B.不等式()f x ≥解集是π2 C. 函数2()4()yf x f x =−+，ππ,44x∈−的最小值为5− D. 若π132f x −=，且π02x <<，则πsin 6x +【答案】ACD 【解析】【分析】利用弦化切可判断A ；根据正切函数的图象与性质可判断B ；利用换元法转化为二次函数的最小值问题可判断C ；根据π132f x −=和π02x <<得到ππ033x <−<和cos 3x −π，再利用诱导公式可判断D.【详解】对于A ， 1tan 2x =，∴11sin cos tan 11215cos sin 5tan 352x x x x x x +++===−−−，故A 正确；的对于B，tan x ≥πππ,π32k k ++ ，故B 错误；对于C ，当ππ,44x∈−时，令tan t x =，[]1,1t ∈−， ∴()22424y t t t =−+=−−+，∴当1t =−时，min 5y =−，故C 正确；对于D ，若π02x <<，则πππ633x −<−<，π1032f x −=> ，∴ππ033x <−<，ππ1tan 332f x x −=−=，且22ππsin cos 133x x −+−= ，解得πcos 3x −，∴ππππsin sin cos 6233x x x +=−−=−=. 故选：ACD12. 已知函数()()22, 2,ax x af x x x a−+≥ = − ，则下列结论正确的是（ ） A. 当0a =时，()f x 的最小值为0B. 若()f x 存在最小值，则a 的取值范围为(,0]−∞C. 若()f x 是减函数，则a 的取值范围为(0,2]D. 若()f x 存在零点，则a的取值范围为((,(2,)−∞+∞【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项画出草图即可；B 选项算出左右两侧函数的最值比大小即可；C 选项判断左右两侧函数的增减性即可，D 选项分四种情况讨论即可解答. 【详解】对于A 选项：当0a =时，()()22,02,0x f x x x ≥ = −< 的图像如下：故此时，min 2f =.故A 选项不对. 对于B 选项：当(,0]a ∈−∞时，()()22,2,ax x af x x x a−+≥ = −< 当2x a <<时，()()22f x x =−单减，此时()()2min 2f f a a ==−，当x a ≥时，()002a a f x ax ≤⇒−≥⇒=−+单调增，故()2min 2f f a a ==−+， 因为()2210a −>；所以22420a a −+>；所以22442a a a +−>−+； 即()2222a a −>−+；当(,0]a ∈−∞时，()f x 的最小值为：()22,0a a −+≤.故B 选项正确. 对于C 选项：当02a <≤时，x a <时，()()22f x x =−单减，此时()2f x ax =−+的斜率为负，故此当x a ≥时，()f x 单减， 故C 选项正确.对于D 选项：此时要对a 分类讨论；分类讨论一：当2a >时，()f x 一定有零点2x =； 分类讨论二：当0a =时，由A 选项可知此时无零点； 分类讨论三：当02a <≤时，当x a <时，()()()220,f x f a a >=−>此时左区段无零点；当x a ≥时，函数右区段表达式为()2f x ax =−+，此时直线单减， 故()2max 20f f a a ==−+≥才会有零点；解不等式22202a a a −+≥⇒≤⇒≤≤.a ≤≤与02a <≤取交集有：0a <≤；分类讨论四：当a<0时，由B 选项的讨论过程可知：此时函数图像左区段单减，左区段单增；因为2x =不在左区段的定义域内，故()()()22,f x x x a =−<区段上无零点；要使()f x 存在零点，则零点必在右区段上； 即右区段的最小值必然小于等零，即()22min 202f f a a a ==−+≤⇒≥即a ≥a ≤上式再与a<0取交集有：a ≤综上所述：若()f x 存在零点，则a 的取值范围为((,(2,)∞∞−∪∪+.故D 选项正确.故选：BCD. 三、填空题：本题共45分，共20分. 13. 2328log 32ln1++=__________. 【答案】9【解析】【分析】根据指数以及对数的运算法则，即可求得答案. 【详解】223533228log 32ln12log 2ln1×++=++4509=++=，故答案为：914. 已知幂函数()y f x =的图象过点(，则12f =__________.【解析】【分析】根据幂函数的定义分析求解.【详解】设幂函数(),αα=∈f x x R ，由题意可得：1222α=，解得12α=， 则()12f x x ==，所以12= f .15. 已知函数2()log (1)f x x =+，若1a b −<<，且()()f a f b =，则2a b ++的取值范围是__________.【答案】(2,)+∞【解析】 【分析】去绝对值，结合对数运算及对勾函数的单调性即可求解. 【详解】函数2()log (1)f x x =+，当0x ≥时，2()log (1)=+f x x ，当10x −<<时，2()log (1)f x x =−+， 则()f x 在(1,)+∞单调递增，在(1,0)−单调递减，故10a −<<，0b >，由()()f a f b =，则22log (1)log (1)a b +=+，即22log (1)log (1)a b −+=+，所以2log (1)(1)0a b ++=， 即(1)(1)1a b ++=，则111b a +=+， 所以12(1)(1)(1)(1)a b a b a a ++=+++=+++， 令1x a =+，则01x <<， 则设函数1()g x x x=+， 任取12,(0,1)x x ∈，不妨设1201x x <<<，因为()()12121211g x g x x x x x −=+−−()()1212121x x x x x x −−=，当1201x x <<<，所以120x x −<，120x x >，1210x x −<，所以()()12121210x x x x x x −−>，所以()()120g x g x −>，即()()12g x g x >，所以()g x 在区间(0,1)上单调递减．则当1x →时， (1)2f →，当x →+∞时，()f x →+∞，故2a b ++的取值范围是(2,)+∞故答案为：()2,+∞ 16. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()2112120x f x x f x x x −>−，若(2)4f =，则不等式()20f x x −≤的解集为__________. 【答案】(](]0,2,2−∞−【解析】【分析】先得到()()f x g x x =在()0,∞+上单调递增，且()()f x g x x =为偶函数，故()()f x g x x =在(),0∞−上单调递减，分0x >与0x <两种情况，结合(2)4f =，得到不等式的解集.【详解】不妨设120x x >>，由()()2112120x f x x f x x x −>−得()()21120x f x x f x −>， 即()()()()12211212f x f x x f x x f x x x >⇒>， 故()()f xg x x=在()0,∞+上单调递增， 因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x −=−， ()()f x g x x =的定义域为()(),00,∞−+∞ ，且()()()()f x f x g x g x x x−−−===−−， 故()()f x g x x =为偶函数，()()f x g x x=在(),0∞−上单调递减，当0x >时，()()()2022f x f x x f x x x−≤⇒≤⇒≤， 因为()24f =，所以()()2222f g ==，故()()22f x x f ≤， 即()()2g x g ≤，解得02x <≤，当0x <时，()()()2022f x f x x f x x x−≤⇒≤⇒≥， 因为()22g =，所以()22g −=，故()()2g x g ≥−， 解得2x ≤−，故不等式的解集为(](]0,2,2−∞− .故答案为：(](]0,2,2−∞−四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 若角θ的终边经过点()1,02P m m −>，且sin θ=. （1）求m ； （2）求()()πcos tan π2sin πθθθ +++−的值. 【答案】（1（2）1+【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义直接求解即可；（2）利用诱导公式化简，然后求值即可.【小问1详解】角θ的终边经过点1,(0)2P m m −>，∴sin θ=，∴m =； 【小问2详解】由（1）知角θ的终边经过点12P − ，∴sin θ==，tan θ==， ∴()()πcos tan πsin tan 21sin πsin θθθθθθ +++ −+ ==+−−18. 设全集为R ，集合{}2560A x x x =−−>，{}121B x a x a =+<<−（1）若4a =，求A B ∪，A B ∩R ；（2）若()A B =∅R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}15A B x x x ∪=−或；{}=17A B x x x ∩<−≥R 或（2）(][),25,−∞∪+∞【解析】【分析】（1）求出集合A ，B ，再利用交并补运算求解即可；（2）讨论B =∅和B ≠∅. 【小问1详解】 {}{}256016A x x x x x x =−−>=−或， 当4a =时，{}57Bx x =<<，{}=57B x x x ≤≥R 或 ， ∴{}15A B x x x ∪=−或，{}=17A B x x x ∩<−≥R 或 ； 【小问2详解】{}=16A x x −≤≤R ，当B =∅时，121a a +≥−，即2a ≤，符合()A B =∅R ； 当B ≠∅时，121,16,a a a +<− +≥ 或121,211,a a a +<− −≤−解得5a ≥，综上2a ≤或5a ≥.∴实数a 的取值范围为(][),25,−∞∪+∞.19. 已知函数2()121x a f x =+−为奇函数. （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 在(0,)+∞内的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.【答案】（1）1a =（2）函数()f x 在(0,)+∞内单调递减，证明见解析【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义()()f x f x −=−，通过变形即可求解； （2）任取120x x <<，可证()()120f x f x −>，从而得出结论.【小问1详解】函数的定义域为()(),00,∞−+∞ ，由()()f x f x −=−得22112121x x a a − +=−+ −−，整理可得1a =； 【小问2详解】 函数()f x 在(0,)+∞内单调递减；证明如下：由（1）知2()121x f x =+-， 在()0,∞+上任取1x ，2x ，且12x x <，()()()()()()()()()2121121212122212212222211212121212121x x x x x x x x x x f x f x −−−−−=+−−==−−−−−−， 由120x x <<，得1210x −>，2210x −>，21220x x −>，所以()()120f x f x −>，即()()12f x f x >，所以函数2()121x f x =+-在()0,∞+内单调递减. 20. 已知函数π()2sin 23f x x=− ，x ∈R . （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()()g x f x m =−在区间π0,2上有两个零点，求m 的取值范围. （3）若函数π()()()6h x f x k x k=−−∈R 有且仅有3个零点，求所有零点之和. 【答案】（1）()π5ππ,πZ 1212k k k−+∈（2）m ∈ （3）π2【解析】【分析】（1）根据正弦函数的单调增区间即可得出答案；（2）由题可知()f x m =在区间π0,2内有两个相异的实根，即()y f x =图像与y m =的图像有两个不同的交点结合图像可得结果. （3）π6y k x=− 关于π,06 成中心对称，而π()2sin 23f x x =− 关于π,06成中心对称，设三个零点为123,,x x x ，则13ππ,266x x x +==，即可得出答案. 【小问1详解】 由()πππ2π22πZ 232k x k k −≤−≤+∈，得()π5πππZ 1212k x k k −≤≤+∈. 故函数()f x 的单调递增区间为：()π5ππ,πZ 1212k k k −+∈【小问2详解】 若函数()()g x f x m =−在区间π0,2上有两个零点， 令()0g x =，即()y f x =与y m =在区间π0,2上有两个交点， 令π23t x =−，由π0,2x ∈ ，则ππ2π2,333x −∈− ， 即sin y t =与y m =在区间π2π,33 −上有两个交点，画出sin y t =与y m =在区间π2π,33 −上的图象，如下：由图可知：m ∈. 【小问3详解】 函数π()()()6h x f x k x k=−−∈R 有且仅有3个零点， 因为π6y k x=− 关于π,06成中心对称， 而π()2sin 23f x x =−关于π,06 成中心对称， 设三个零点为123,,x x x ，则132ππ,266x x x +==， 所以所有零点之和πππ2662+×=. 21. 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量x 吨与年促销费用t 万元之间满足函数关系式22k x t =−+（k 为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.（1）求k 值；（2）将下一年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数；（3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？（注：利润=销售收入−生产成本−促销费，生产成本=固定费用+生产费用）【答案】（1）=2k（2）()321670222y t t t =−−+≥+ （3）该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.【解析】【分析】（1）依题意当=0t 时，=1x 代入计算可得；（2）依题意求出当年生产x 吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润；（3）由（2）可得32269222t y t + =−++ + ，利用基本不等式计算可得. 小问1详解】 由题意可知，当=0t 时，=1x ，所以122k =−，解得=2k ； 小问2详解】由于=2k ，故222x t =−+， 由题意知，当年生产x 吨时，年生产成本为：232332232x t+=−+ +， 当销售x 吨时，年销售收入为：3213223222t t −++ + ， 由题意，3212322332232222y t t t t =−++−−+− ++ ， 即()321670222y t t t =−−+≥+. 【小问3详解】 由（2）知：()321670222y t t t =−−+≥+， 即3226932269222222t t y t t ++ =−−+=−++ ++6926.52≤−=， 当且仅当32222t t +=+，又22t +≥，即6t =时，等号成立. 此时，max 26.5y =该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.【【.22. 已知函数π()2sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><图象的对称轴与对称中心之间的最小距离为π4，且满足ππ()()1212f x f x +=−−. （1）求()f x 的解析式； （2）已知函数2()23h x tx x =++，若有且只有一个实数a ，对于1ππ[,]123x ∀∈，2[0,2]x ∃∈，使得21)()(2h x a f x =−，求实数t 的值.【答案】（1）π()2sin(2)6f x x =−；（2）12−. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图求出,ωϕ即可. （2）求出函数()f x 在ππ[,]123上的值域，再根据给定条件，借助集合的包含关系分类讨论求解. 【小问1详解】依题意，函数()f x 的周期π4π4T =×=，则2π2Tω==， 由ππ()()1212f x f x +=−−，得函数()f x 图象的一个对称中心为π(,0)12， 即有π2π,Z 12k k ϕ×+=∈，而π||2ϕ<，则π0,6k ϕ==−， 所以()f x 的解析式为π()2sin(2)6f x x =−. 【小问2详解】 由（1）知，π()2sin(2)6f x x =−，当ππ[,]123x ∈时，ππ2[0,]62x −∈， 因此()f x 在ππ[,]123上单调递增，函数值集合为[0,2]，2()a f x −值域为[22,2]a a −， 由有且只有一个实数a ，对于1ππ[,]123x ∀∈，2[0,2]x ∃∈，使得21)()(2h x a f x =−， 得函数()h x 在[0,2]上的值域包含[22,2]a a −，并且实数a 唯一， 当0t ≥时，函数2()23h x tx x =++在[0,2]上单调递增，()h x 的值域为[3,47]t +，由[22,2][3,47]a a t −⊆+，得223247a a t −≥ ≤+ ，解得57222a t ≤≤+，显然符合条件的实数a 不唯一；第21页/共21页当0t <时，函数()h x 的图象对称轴为1x t =−， 当12t −≥，即102t −≤<时，()h x 在[0,2]上单调递增，()h x 的值域为[3,47]t +， 于是223247a a t −≥ ≤+ ，解得52722a a t ≥ ≤+ ，显然57222t ≤+，当且仅当12t =−时，52a =且唯一，因此12t =−； 当102t <−<，即21t <−时，max 11()()3h x h t t =−=−，(0)3h =，(2)47h t =+， 当()0h 是最小值时，而1133(0,2)t t −−=−∈，不满足函数()h x 在[0,2]上的值域包含[22,2]a a −，则()0h 不是最小值， 必有13(47)2t t −−+≥，得t ≤，于是1232247a t a t ≤− −≥+ ，解得3122922a t a t ≤− ≥+，当t =时，31322t −=9232t +=−3a =且唯一，并且当t <时，9312222t t +<−，9312222t a t +≤≤−，实数a不唯一，因此t = 所以实数t的值是t =12t =−. 【点睛】结论点睛：函数()[],,y f x x a b ∈，()[],,y g x x c d ∈，若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。

广东省广州市2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足1i2i 1i z --=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是（）A.1B.iC.i- D.1-【正确答案】A【分析】根据复数的除法与虚部的定义求解即可.【详解】()()()21i 1i2i 2i 2i 2i i 1i 1i 1i 2z ---=+=+=+=++-，故虚部为1.故选：A2.已知()1,1a = ，()2,0b = ，()2,4c =r，则下列各组向量中，不能作为平面内一组基底的是（）A.a ，b c -B.a ，b c+C.a ，2b c-D.a ，2b c+【正确答案】B【分析】根据向量的坐标运算结合基底向量的定义逐项分析判断.【详解】对于A ：()0,4b c -=-r r，则()141040⨯--⨯=-≠，可得a ，b c - 不共线，则a ，b c -可以作为一组基底，故A 正确；对于B ：()4,4b c +=r r，则14140⨯-⨯=，可得a ，b c + 共线，则a ，b c +不可以作为一组基底，故B 错误；对于C ：()22,4b c -=-r r，则()141260⨯--⨯=-≠，可得a ，2b c - 不共线，则a ，2b c -可以作为一组基底，故C 正确；对于D ：()26,4b c +=r r，则141620⨯-⨯=-≠，可得a ，2b c + 不共线，则a ，2b c +可以作为一组基底，故D 正确；故选：B.3.在ABC中，若222a b c +=，则角C 等于（）A.30︒B.60︒C.150︒D.120︒【正确答案】A【分析】根据余弦定理可得cos C 的值，即得答案．【详解】在ABC 中，222a b c +=+，可得22233cos 222a b c C ab ab +-===，由于0180C ︒<<︒，故30C =︒，故选：A ．4.已知不重合的直线l ，m 和不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）A.若l α∥，//l β，则//αβB.若l α⊥，l m ⊥，则//m αC.若l α⊥，l β⊥，则//αβD.若l ⊂α，m α⊂，//l β，//m β，则//αβ【正确答案】C【分析】根据空间中的线、面关系分析判断.【详解】对于A ：若//l α，//l β，则平面α，β的位置关系有：平行、相交，故A 错误；对于B ：若l α⊥，l m ⊥，则,m α的位置关系有：//m α或m α⊂，故B 错误；对于C ：若l α⊥，l β⊥，根据线面垂直的性质可知：//αβ，故C 正确；对于D ：根据面面平行的判定定理可得：若,l m 相交，则//αβ，否则不成立，故D 错误.故选：C.5.用半径为3cm ，圆心角为23π的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为（）A.1cmB.C.D.2cm【正确答案】B【分析】设圆锥的底面半径为rcm,根据底面圆的周长即扇形的弧长求出半径r,利用勾股定理可得答案.【详解】设圆锥的底面半径为rcm ，由题意底面圆的周长即扇形的弧长，可得2πr=23,3π⨯即底面圆的半径为1，.所以圆锥的高h ==,故选B本题考查圆锥侧面展开图的应用，圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.6.在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK ，如图2所示．若在图2中23DH DA =，则在图1中EFEG=（）A.49B.481C.427D.827【正确答案】B【分析】设出正方体的边长，利用水的体积相等建立方程求解【详解】当DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等时，三棱锥D HJK -为正三棱锥，设正方体的棱长为3，则2DH DK DJ ===，所以11142223323D HJK DHJ V S DK -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，则题图1中2433V EF =⋅=，则427EF =，所以481EF EG =.故选：B7.已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 下列选项中正确的是（）A.若222a b c +>，则ABC 是锐角三角形B.若sin cos A B =，则ABC 是直角三角形C.若22tan tan a B b A =，则ABC 是等腰三角形D.若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 是等边三角形【正确答案】D【分析】根据正、余弦定理结合三角函数、三角恒等变换逐项分析判断.【详解】对于A ：若222a b c +>，则222cos 02a b c C ab+-=>，因为()0,πC ∈，可得C 为锐角，但不确定,A B 是否为锐角，所以不能确定ABC 的形状，给A 错误；对于B ：因为()0,πA ∈，则sin cos 0A B =>，可得π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭或πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，可得π2A B =-或π2A B =+，故B 错误；对于C ：若22tan tan a B b A =，由正弦定理可得：22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⨯=⨯，因为(),0,πA B ∈，则sin 0,sin 0A B ≠≠，可得sin cos sin cos A A B B =，整理得sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=，可知ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C 错误；对D ：因为(),,0,πA B C ∈，则()()()π,π,π,π,π,πA B B C C A -∈--∈--∈-，可得()(]()(]()(]cos 1,1,cos 1,1,cos 1,1A B B C C A -∈--∈--∈-，若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则()()()cos 1,cos 1,cos 1A B B C C A -=-=-=，可得0,0,0A B B C C A -=-=-=，即A B C ==，则ABC 是等边三角形，故D 正确；故选：D.8.有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l 米．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为0.9m l =米，则m 的值是（）A.8110B.10C.5D.【正确答案】A【分析】先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB ，再利用勾股定理求出硬管倾斜后能通过的最大长度，即可得到答案.【详解】如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB.设π,02BAQ θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭,则π2ABQ θ∠=-.过A 作AC 垂直内侧墙壁于C ，B 作BD 垂直内侧墙壁于D ，则π3,,2AC BD CPA BAQ DPB ABQ θθ==∠=∠=∠=∠=-.在直角三角形ACP 中，sin sin AC CPA AP θ∠==,所以3sin sin AC AP θθ==.同理.3πcos sin 2BD BP θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭所以33π,0sin cos 2AB AP BP θθθ⎛⎫=+=+<< ⎪⎝⎭.因为333sin cos AB θθ=+≥⨯=≥sin cos θθ=且π4θ=时等号成立）.所以AB ≥.因为走廊的宽度与高度都是3米，所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为9l ===,所以810.90.9910m l ==⨯=.故选：A利用三角函数解应用题的解题思路：（1）画出符合题意的图形；（2）把有关条件在图形中标出；（3）建立三角关系式，利用三角函数求最值.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A.234i i i i 0+++=B.2i 1i+>+C.若()212i z =-，则z 在复平面内对应的点位于第四象限D.已知复数z 满足2z =，则复数z 对应点的集合是以O 为圆心，以2为半径的圆【正确答案】AD【分析】根据复数的概念，运算，几何意义，判断选项.【详解】A.234i i i i i 1i 10+++=--+=，故A 正确；B.虚数不能比较大小，故B 错误；C.()212i 34i z =-=--，则z 在复平面内对应的点为()3,4--，在第三象限，故C 错误；D.根据复数模的几何意义，可知D 正确.故选：AD10.关于平面向量，下列说法正确的是（）A.若a b ∥，b c ∥，则a c∥B.若()1,2a =r ，()4,3b = ，则a 在b 方向上的投影向量是86,55⎛⎫⎪⎝⎭C.若(),2a λ= ，()1,1b λ=+- ，且a 与b的夹角为钝角，则()2,1λ∈-D.若OA OC OB OD +=+且AB AD AC AB AD AC+= ，则四边形ABCD 为菱形【正确答案】BD【分析】根据向量共线的概念判断A ；根据投影向量的概念判断B ；根据向量夹角的概念判断C ；由向量的线性运算得AB DC =，可得ABCD 是平行四边形，则AB AD AC +=，由条件结合平面向量基本定理可判断D ．【详解】若0b = ，虽然有a b ∥，b c ∥，但不一定有a c∥，A 错；()1,2a =r ，()4,3b = ，则a 在b方向上的投影向量是24686(,)5,55(43)a b b b b ⋅+==，B 正确；当2(2,1)3λ=-∈-时，2a b =- ，两向量方向相反，夹角为π不是钝角，C 错；若OA OC OB OD +=+，即OB OA OC OD -=- ，则AB DC = ，所以ABCD 是平行四边形，则AB AD AC +=，又||||||AB AD ACAB AD AC +=，即||||||||AC AC AB AD AC AB AD += ，则||||1||||AC AC AB AD == ，所以AB AD AC ==，所以ABCD 是菱形，D 正确．故选：BD ．11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点Q 为11B C 的中点，点N 为1DD 的中点，则下列结论正确的是（）A.CQ 与BN 为异面直线B.11CQ C D ⊥C.直线BN 与平面ABCD 所成角为30︒ D.三棱锥Q NBC -的体积为23【正确答案】AB【分析】对A ，直接观察判断即可；对B ，根据11C D ⊥平面11BCC B 判断即可；对C ，根据线面角的定义，结合直角三角形的性质求解即可；对D ，利用等体积法Q NBC N QBC V V --=求解即可.【详解】对A ，由图可得，,,C Q B 共面，且N 不在平面内，则CQ 与BN 为异面直线,故A 正确；对B ，由正方体性质可得11C D ⊥平面11BCC B ，又CQ ⊂平面11BCC B ，故11C D CQ ⊥,故B 正确；对C ，由ND ⊥平面ABCD 可得直线BN 与平面ABCD 所成角为NBD ∠，又2AB AD ==，则1BD ND ==，故tan4NBD ∠==，故30NBD ∠≠︒，故C 错误；对D ，111114·2223323Q NBC N QBC QBC V V S D C --===⨯⨯⨯⨯= ，故D 错误.故选：AB12.在锐角ABC 中，已知4,3AB AC ==，D 为边BC 上的点，BAD CAD ∠=∠，则线段AD 长的可能取值为（）A.B.C.3.3D.【正确答案】AB【分析】根据等面积公式，结合三角形是锐角三角形，求线段AD 的取值范围，即可判断选项.【详解】4,3AB AC ==，设AD x =，BC a =，BAD CAD θ∠=∠=，且AB BD AC DC =，所以47BD a =，37DC a =根据ABD ADC ABC S S S += ，得1114sin 3sin 43sin 2222x x θθθ⨯⋅+⨯⋅=⨯⨯⋅，得24cos 7x θ=，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么1222477x <<，角C 为锐角三角形，则ABC 中，2291609160a a ⎧+->⎨+->⎩，即2725a <<，ADC △中，223907a x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，229949x a <+，即2929710497x ≤+⨯=综上可知，12261477x <≤，只有AB 满足条件.故选：AB关键点点睛：本题考查解三角形中的范围问题，关键是如何应用锐角三角形这个条件，根据余弦定理和三角形面积公式，围绕锐角三角形列式，即可求解.三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.如图，A B C ''' 是斜二测画法画出的水平放置的ABC 的直观图，D ¢是B C ''的中点，且A D y ''∥轴，BC x ''∥轴，2AD ''=，2B C ''=，则ABC 的面积是________．【正确答案】4【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可.【详解】由图象知：2BC B C ''==，24''==AD A D ，AD BC ⊥，D 为BC 的中点，ABC 的面积142S BC AD =⨯⨯=.故4.14.已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为104π，则其母线长为________．【正确答案】213【分析】由圆台的体积求得圆台的高h ，作出圆台的轴截面，由勾股定理可求得结果.【详解】圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，设圆台的高为h ，则该圆台的体积为22152ππ(2626)104π33V h h =⨯++⨯⨯==，则6h =，作出圆台的轴截面如图所示，上底面圆心为M ，下底面圆心为N ，MD ＝2，NC ＝6，过D 作DE ⊥NC ，则EC ＝6－2＝4，又DE ＝h ＝6，所以圆台的母线长为22213DC DE EC =+=．故答案为.21315.已知直三棱柱111ABC A B C -的高为4，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，则该三棱柱的外接球的体积为________．【正确答案】86π【分析】首先求出ABC 外接圆的半径r ，设直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为R ，则()()22222R h r =+，即可求出R ，再根据球的体积公式计算可得.【详解】因为2AB AC ==，90BAC ∠=︒，所以222BC AB AC =+=设ABC 外接圆的半径为r ，则222sin BCr BAC==∠，又直三棱柱111ABC A B C -的高4h =，设直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为R ，则()()22222R h r =+，即()(22224R =+，解得R =，所以外接球的体积34π3R V ==.故16.已知ABC 满足()AB AC AB AC BC ⋅=+⋅ ，则cos C 的最小值为________．【正确答案】23【分析】首先化简条件，再结合数量积公式和余弦定理化简得到2223a b c +=，再结合余弦定理和基本不等式求解.【详解】由条件可知，22()()A AB A A C A C B B AC AB A C ⋅=-=-+⋅ ,设,,AB c AC b BC a ===，则22cos bc A b c =-，即22222cos 2b c b c a A bc bc -+-==，则2222222b c b c a -=+-，化简为2223a b c +=，222222222222cos 233a b c a b c c C ab a b c +-+-=≥==+，当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值是23.故23四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()()32,,1，=-= a b x .（1）若()()22a b a b +⊥- ，求实数x 的值；（2）若()()8,1,//=--+ c a b c ，求向量a 与b 的夹角θ.【正确答案】（1）6x =或32x =-.（2）π4θ=【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示和数量积的坐标表示列出方程，解方程即可；（2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得5x =，结合数量积的定义计算即可求解.【小问1详解】已知()()=3,2,=,1a b x - ，所以()()232,0,26,5+=+-=- a b x a b x .又因为()()22a b a b +⊥- ，所以有()()220a b a b +⋅-=r r r r ，所以()()326050x x +-+⨯=，解得6x =或32x =-.【小问2详解】因为()8,1c =-- ，所以()8,2b c x +=-- .又()//a b c + ，所以()()32280x ⨯--⨯-=，解得5x =，所以()=5,1b - .所以cos 2||||a b a b θ⋅==⋅ ，因为0πθ≤≤，所以π4θ=.18.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b，c 2sin 0b C -=.（1）求角B的大小；（2）从条件①4b a ==；条件②2,4a A π==这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积.【正确答案】（1）3B π=（2）条件①：+；条件②：332+【分析】（1）首先利用正弦定理边化角求出sin B ，再结合角的范围，即可求得.（2）选条件①：首先利用余弦定理求出2c =.选条件②:首先利用正弦定理求出b ，再结合三角函数恒等变换求出sin C ，再利用三角形面积公式即可求得.【小问1详解】解：（12sin 0bC -=2sin sin 0C B C -=．因为0,,sin 02C C π⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭，所以sin 2B =．又因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=．【小问2详解】选条件①：4b a ==；因为4b a ==，由（1）得3B π=，所以根据余弦定理得2222cos =+-⋅⋅b c a c a B ，可得24110c c --=，解得2c =+所以ABC 的面积1sin 2S c a B =⋅=，选条件②：2,4a A π==；由（1）知3B π=且4A π=，根据正弦定理得sin sin b a B A =，所以sin sin ⋅==a B b A ，因为512C A B ππ=--=，所以5sin sin sin 12464C πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，所以ABC 的面积13sin 22=⋅=S b a C ．19.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm ．（1）这种“浮球”的体积是多少3cm （结果精确到0.1)（2）要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克附：π 3.14≈．【正确答案】（1）169.6（2）3768【分析】（1）分别求出两个半球的体积1V ，和圆柱体的体积2V ，即可求出“浮球”的体积；（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.【小问1详解】该半球的直径6cm d =，所以“浮球”的圆柱筒直径也是6cm ，得半径3cm R =，所以两个半球的体积之和为3344ππ2736πcm 33球==⋅=V R ，而23ππ9218πcm 圆柱=⋅=⨯⨯=V R h ，该“浮球”的体积是336π18π54π169.6cm 球圆柱=+=+=≈V V V ；【小问2详解】上下两个半球的表面积是224π4π936πcm 球表==⨯⨯=S R ，而“浮球”的圆柱筒侧面积为22π2π3212πcm 圆柱侧==⨯⨯⨯=S Rh ，所以1个“浮球”的表面积为24436π12π48πm 1010+==S ，因此，2500个“浮球”的表面积的和为244825002500π12πm 10=⨯=S ，因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：10012π3768⨯≈（克）．20.如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B 同在水平面内的两个测点C 与D .在C 点测得塔底B 在北偏东45︒方向，然后向正东方向前进10米到达D ，测得此时塔底B 在北偏东15︒方向.（1）求点D 到塔底B 的距离BD ；（2）若在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，求铁塔高AB .【正确答案】（1）米；（2）+米.【分析】（1）利用正弦定理列方程，解方程求得BD .（2）利用正弦定理列方程，解方程求得BC ，再解直角三角形求得AB .【详解】（1）由题意可知，45BCD ∠=︒，105BDC ∠=︒，故30CBD ∠=︒在BCD △中，由正弦定理，得sin sin BD CD BCD CBD =∠∠，10sin 45sin 30BD ∴=⋅︒=︒∴点D 到塔底B 的距离BD 为米（2）在BCD △中，由正弦定理，得sin sin BC BD BDC BCD=∠∠∴()()102sin10520sin 604520sin 60cos 45cos 60sin 45sin 45BC =⋅︒=⋅︒+︒=⋅︒︒+︒︒︒204=⨯=.在Rt ABC 中，tan AB BC ACB =⨯∠==.所以，铁塔高AB 为+米.21.如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，//BC AD ，CE AD ⊥，垂足为E ，33AD BC ==， 1.EC =将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置，如图2所示，使平面1D EC ⊥平面ABCE .（1）连结BE ，证明：AB ⊥平面1D BE ；（2）在棱1AD 上是否存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，若存在，直接指出点G 的位置(不必说明理由)，并求出此时三棱锥1G D EC -的体积；若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在，点G 为1AD 的中点，16.【分析】（1）通过面面垂线的性质定理，证得1D E ⊥平面ABCE ，由此证得1D E AB ⊥.利用勾股定理计算证明BE AB ⊥，从而证得AB ⊥平面1D EB .（2）通过线面平行的判定定理，判断出点G 为1AD 的中点.利用换顶点的方法，通过11G D EC C D EG V V --=，来计算出三棱锥1G D EC -的体积.【详解】(1)因为平面1D EC ⊥平面ABCE ，平面1D EC 平面ABCE EC =，11,D E EC D E ⊥⊂平面1D EC ，所以1D E ⊥平面ABCE ，又因为AB ⊂平面ABCE ，所以1D E AB⊥，又2AB BE AE ===，满足222AE AB BE =+，所以BE AB ⊥，又1BE D E E = ，所以AB ⊥平面1D EB .(2)在棱1AD 上存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，此时点G 为1AD 的中点.11G D EC C D EG V V --=，由(1)知，1D E ⊥平面ABCE ，所以1CE D E ⊥，又CE AE ⊥，所以CE ⊥平面1AED ，所以CE 为三棱锥1C D EG -的高，且1CE =，在1Rt D EA 中，11,2D E AE ==，G 为斜边1AD 的中点，所以111111212222D EG D EA S S ==⨯⨯⨯=，所以111111113326G D EC C D EG D EG V V S CE --==⋅=⨯⨯=.故，在棱1AD 上存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，此时三棱锥1G D EC -的体积为16.本小题主要考查线面垂线的证明，考查面面垂直的性质定理的运用，考查三棱锥体积的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22.已知向量()()2sin ,sin cos ,cos ,2a x x x b x m =+=-- ，函数()f x a b =⋅ ．（1）当2m =时，求()f x 的最小值；（2）是否存在实数m ，使不等式()42si 6n cos f x m x x>--+对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦恒成立，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）1-（2）存在，取值范围为(4,)+∞【分析】（1）根据已知条件及向量的数量积的坐标运算，再利用辅助角公式及二倍角的余弦公式，结合换元法及二次函数的性质即可求解；（2）根据（1）的出函数()f x ，利用换元法但注意新元的范围，结合不等式恒成立问题利用分离参数法转化为函数的最值问题，再利用对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】由题可知，因为()()2sin ,sin cos ,cos ,2a x x x b x m =+=-- ，所以π2sin cos (2)(sin cos )sin 22)sin((4)f x a b x x x x x x m m -++=+==+⋅ ππcos(2)2)sin2(4m x x +=+-+，又2ππcos(22sin (124x x -+=+-，令πsin([1,1]4x t =+∈-，当2m =时，所以22()()212(5f t t x t ϕ==--=--，对称轴1t =>，开口向上，由二次函数的单调性知，所以()t ϕ在[1,1]-上单调递减，所以当1t =时，()t ϕ取得最小值为2min ()(1)()21111t f x ϕϕ===⨯--=-.所以()f x 的最小值为1-【小问2详解】由（1）知，2sin cos (2)(sin )co (s )m f x a b x x x x -⋅+==+ ，所以()2sin cos (2)(sin cos )42sin c 6os f x x x m x x m x x =-++>--+，对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令sin cos x x p =+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，则πsin cos 4p x x x ⎛⎫=+= ⎝+⎪⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ3π,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 124x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即π14x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以1p ≤≤由sin cos x x p =+，得22sin cos 1x p x =-，则21(2)642p m p m p--+>--，整理得2(3)(2)(2)0p p mp p +-+->，所以23p mp +<，故3m p p >+在上恒成立，由对勾函数的性质知：3p p+在上单调递减，当1p =时，3p p+取到最大值4，所以4m >，故存在m ，且m 的范围为(4,)+∞.。

【新结构】2023-2024学年广东省东莞市高一下学期期末教学质量检查数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量，，若，则()A.2B.C.D.2.为了解学生每日参加体育锻炼的情况，学校用比例分配的分层随机抽样方法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有36人，则抽取的样本容量为()A.90B.100C.120D.1603.棱长为a的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为()A. B. C. D.4.若，则()A. B.2 C. D.5.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是()A.若，，则B.若，，且，则C.若，，则D.若，，则6.已知向量，，且，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则()A. B.6 C. D.37.已知三棱锥，平面ABC ，，，则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为()A. B. C. D.8.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与M 相互独立的是()A.第一次朝上面的数字是偶数B.第一次朝上面的数字是1C.两次朝上面的数字之和是8D.两次朝上面的数字之和是7二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知某地一周每天的最高温度单位：分别为：31、27、26、28、27、30、27，则下列关于这组数据的结论中正确的是()A.众数是27 B.极差是4C.中位数是28D.平均数是2810.已知的半径为2，为其内接三角形，则下列结论中正确的是()A.若，则B.若，则周长的最大值为C.若，则D.若，则面积的最大值为11.如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别为AB，的中点，平面经过点C，E，F，且与交于点G，则下列结论正确的是()A.平面B.平面平面C. D.二面角的正切值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2023-2024学年广东省广州市九区联考高一上学期期末教学质量监测数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知集合只有一个元素，则实数a的值为()A.1或0B.0C.1D.1或23.方程的根所在的区间是()A. B. C. D.4.设，，，则()A. B. C. D.5.函数的图象大致为()A. B.C. D.6.函数在一个周期内的图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度7.函数若，，则a的值为()A.4B.4或C.2或D.28.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，有一种茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下：放置时间01234茶水温度为了描述茶水温度y与放置时间x min的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为参考数据：，()A. B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题为真命题的是()A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，，则10.设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如令函数，则()A.B.的最大值为0，最小值为C.D.与的图象没有交点11.已知函数，则()A.若，则B.不等式的解集是C.函数，的最小值为D.若，且，则12.已知函数，则()A.当时，的最小值为0B.若存在最小值，则a的取值范围为C.若是减函数，则a的取值范围为D.若存在零点，则a的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前 试卷类型：A汕头市2012~2013学年度普通高中教学质量监测高一数学本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式： 如果A 、B 互斥，那么P （A+B)=P （A)+P （B)．第Ⅰ卷 选择题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若sin 0α>，tan 0α<,则α是（ )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角2．图中阴影部分表示的集合是( ）A ．()⋂UC A B B ．()⋂UA C BC ．C U ()A B ⋂D ．C U ()A B ⋃3．下列函数(),()f x g x 表示的是相同函数的是（ )A ．2()2,()log x f x g x x == B ．2(),()f x x g x x =C ．2(),()x f x x g x x==D ．()2lg ,()lg(2)f x x g x x ==4．已知平面向量(12)=，a ，(2)=-m ，b ，且a b ∥，则23+=a b （ ) A ．（﹣5，﹣10) B ．（﹣4,﹣8） C ．(﹣3，﹣6）D ．(﹣2，﹣4)5．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，()22=++xf x x b (b 为常数）,则(1)-f 的值为（ ）A ．—3B ．—1C ．1D ．36．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是( )A ．1,1e⎛⎫⎪⎝⎭B ．(),e +∞C ．()1,2D ．()2,37．如图,在程序框图中，若输入n =6，则输出的k 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 中点,,==AB a AD b ， 则BE 等于( ）A ．﹣12a b -B ．﹣12a b +C ．12a b -D ．12a b + (第7题图)9．将函数cos 2y x =的图象先向左平移2π个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是( ）A 。

绝密★启用前广州市七区2012学年第二学期期末教学质量监测试卷高二数学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．本次考试不允许使用计算器．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式与数据：１.在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，若每次试验中事件A 发生的概率为p ，则C (1),0,1,2,,.()k k n kn p p k P X k n -==-=２.910110.349,0.90.387,0.90.90.314===.第一部分选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若i 为虚数单位，则复数ii22z -=+在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】选D.2(2)3455i 5i z -==-，所以z 对应的点在第四象限. 2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是( ) A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数是偶数 D ．存在一个能被2整除的数不是偶数【解析】选Ｄ.把全称量词改为存在量词，并把结果否定.3．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且()0.02P ξ<=，则()4P ξ>=( ) A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2【解析】选D.由正态分布的规律可知()(40)0.2P P ξξ><==. 4．由曲线2,0,1y x y x ===所围成图形的面积为( ) A ．12B ．13C ．12D ．16【解析】选Ｂ.由定积分的定义可知，面积为1102031133S x d x x ===⎰.5．双曲线x y 222-=8的实轴长是( )A ．2B ．C ．4D ．【解析】选C.x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =. 6．若()ln f x x x x 2=-2-4，则'()f x >0的解集为( )A ．(,)0+∞B ．102∞-+（，）（，）C ．(,)2+∞D ．(,)-10【解析】选C.因为'()x x f x x x x242-2-4=2-2-=，原函数的定义域为(0,)+∞，所以由'()f x >0可得220x x -->，解得2x >．7. 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( )A ．16种B ．36种C ．42种D ．60种【解析】选 D.有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有1234C A 36⋅=种方案，二是在三个城市各投资1个项目，有34A 24=种方案，共计有60种方案.8．设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出2(1)(1)f k k ≥++成立”．那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若(1)1f <成立，则(10)100f <成立Ｂ．若(2)4f <成立，则1(1)f ≥成立Ｃ．若9(3)f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｄ．若2(4)5f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立【解析】选D ．对于A 选项，原命题的否命题不一定成立；对B 选项，由原命题与其逆否命题等价可知，应有(1)1f <；对C 选项，只能得出：对于任意的3k ≥，均有()2f k k ≥成立，不能得出：对任意的1k ≥，均有()2f k k <成立；对D 选项，因为214)6(5f ≥≥，所以对于任意的4k ≥，均有()2f k k ≥成立．第二部分非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．已知(1,1,1),(2,3,11)a b =-=--，则||b a -= ．【解析】填13．||(213b a -=--==.10．在251(2)x x-的二项展开式中，第4项的系数为．【解析】填40-.因为325-3132343+155=(2)(C 240C )T T x x x x -=⋅-=-=-，所以第4项的系数为40-.11．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了1枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用在10箱子中各任意抽查的方法来检测，国王能发现至少一枚劣币的概率为．【解析】填0.651.每箱的选中劣币的概率为110，10箱子中一枚劣币也不能检测出的概率为01010(0.1)(0.9)C ，所以国王能发现至少一枚劣币的概率为010101(0.1)(0.9)0.651C -=．12．已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为万件．【解析】填９.令导数2'810y x =-+>，解得09x <<；令导数2'810y x =-+<，解得9x >，所以函数31812343y x x =-+-在区间(0,9)上是增函数，在区间(9,)+∞上是减函数，所以在9x =处取极大值，也是最大值.13．设函数()(0)2xf x x x =>+，已知 1()(),2x f x f x x ==+21()(()),34x f x f f x x ==+32()(()),78x f x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n +∈N ，且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -==.【解析】填(21)2n nxx -+，观察知四个等式等号右边的分母为2,34,78,1516x x x x ++++，即(21)2,(41)4,(81)8,(161)16x x x x -+-+-+-+，所以归纳出分母为1()(())n n f x f f x -=的分母为(21)2n n x -+，故当n ∈N +且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -==(21)2n nxx -+.14.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A ，若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线焦点的距离为．点F 坐标为(,0)2p F ，点B 坐标为(,1)4pB ，由抛物线的定义可知42p p =+，解得p =，点B 坐标为1)，所以点B 到抛物线准线的距离为3424p p p +==三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）求函数31()391()f x x x x -+∈=R 的极值. 【解析】因为31()391()f x x x x -+∈=R ，所以 29(3))')((3x x f x x -=-+= ························ 2分 令'()0f x =，解得3x =-，或3x =.由'()0f x >，得3x <-，或3x >；由'()0f x <，得33x -<<． ······· 4分 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增····································· 8分 因此当3x =-时，()f x 有极大值，极大值为(3)19f -=； ··········· 10分 当3x =时，()f x 有极小值，极小值为(3)17f =-. ·············· 12分 16.（本小题满分12分）已知动点M 在直线:2l y =的下方，点M 到直线l 的距离与定点(0,1)N -的距离之和为4，求动点M 的轨迹方程.【解析】设动点M 的坐标为(,)M x y ． ........................................ 1分 因为点M 在直线:2l y =的下方，所以2y <，依题意有|2|4y -= ................................................... 4分因为2y <2y =+ ....................................... 6分平方化简得231()2y x -=·························· 8分因为2y <，所以21()223x -<，解得x <<············· 10分所以所求的轨迹方程为21()(32y x x =<-. ············· 12分 17．（本小题满分14分）设)(),0)(2sin()(x f x x f <<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是8π=x .（1）求ϕ的值；（2）证明：对任意实数c ，直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切． 【解析】（1）由对称轴是8π=x ，得sin()14πϕ+=±， ···························· 2分即42k ππϕπ+=+····························· ３分所以()4k k πϕπ=+∈Z ·························· ４分而0πϕ-<<，所以34ϕπ=-． ······················ 6分 （2）因为3()sin(2)4f x x π=-.所以'3()2cos(2)24f x x π=-≤， ······················ 8分即曲线的切线的斜率不大于2，而直线025=+-c y x 的斜率522k =>， ·················· 10分所以直线025=+-c y x 不是函数)(x f y =的切线． ·············· 12分18.（本小题满分14分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，o 60ABC ∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.ABCDEMF（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）若点M 在线段EF 上移动，试问是否存在点M ，使得平面MAB 与平面FCB 所成的二面角为o 45，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（1）证明：在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，o 60ABC ∠=， 所以2AB =，2222cos 603AC AB BC AC BC =+-⋅︒=， ·········· 2分 所以222AB AC BC =+，所以AC BC ⊥， ····························· 3分 又平面ACFE ⊥平面ABCD ，AC 是交线，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE . ··························· 5分（2）由（1）知,,AC BC CF 两两互相垂直，以C 为坐标原点，,,AC BC CF 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则,A B 的坐标分别为(0,1,0)A B ，设M 的坐标为(,0,1)M a ，则(3,1,0),(,1,1)AB BM a =-=-， ····················· 7分设(,,)m x y z =是平面AMB 的法向量，则30m AB y m BM ax y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ·························· 9分 取1x =，得(1,3,)m a =，······················ 10分 显然(1,0,0)n =是平面FCB 的法向量，于是 ················· 11分cos ,m n <>==····················· 12分 化简得22)0a +=此方程无实数解， ····························· 13分 所以线段EF 上不存在点M 使得平面MAB 与平面FCB 所成二面角为45︒． ···· 14分 19．（本小题满分14分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（2）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望；（3）根据这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．【解析】（1）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天，记“15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，则12411315C C C 44()91P A ==⋅． ··························· 4分 （2）ξ的可能值为0，1，2，3.0351031524(C 0)C 91C P ξ===，1251031545(C 1)C 91C P ξ===， 2151031520(2)91C C P C ξ===，305103152(3)91C C P C ξ===. ················ 8分 所以ξ的分布列为····································· 10分24452030123191919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ··················· 12分 （3）15天的空气质量达到一级或二级的频率为102153=2124333365⨯=，所以估计一年中有243天空气质量达到一级或二级. ·············· 14分（说明：答243天，244天不扣分）20.（本题满分14分）如图，已知椭圆1E 方程为22221(0)x y a b a b+=>>，圆2E 方程为222x y a +=，过椭圆的左顶点A 作斜率为1k 直线1l 与椭圆1E 和圆2E 分别相交于B ，C .（１）若11k =时，B 恰好为线段AC 的中点，试求椭圆1E 的离心率e ； （２）若椭圆1E 的离心率e =12，2F 为椭圆的右焦点，当2||||2BA BF a +=时，求1k 的值；（３）设D 为圆2E 上不同于A 的一点，直线AD 的斜率为2k ，当2122k b k a=时，试问直线BD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【解析】（1）当11k =时，点C 在y 轴上，且C 点的坐标为(0,)C a ，则B 点的坐标为,22a a B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由点B 在椭圆上得 2222()()221a a a b -+=， ···························· 2分 所以2213b a =， ······························· 3分22222213e c b a a ==-=，所以e =. ······························· 4分 （2）设椭圆的左焦点为1F ，由椭圆的定义知12||||2BF BF a +=，所以1||||BF BA =，即B 在线段1AF 的中垂线上，所以2B a c x +=， ······· 6分 又因为1e 2c a ==，所以1,2c a b ==， 所以34B x a =-，代入椭圆方程得748B b y a ±=±=， ············ 7分所以12B B y k x a ==+±. ························· 8分 （3法一：由12222(),1,y k x a x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222122()0k x a x a a b+-+=， 所以x a =-，或22212221()a b k a x b a k -=+， ····················· 10分 所以B x a ≠-，所以22212221()B a b k a x b a k -=+，则21122212()B B ab k y k x a b a k =+=+． ··· 11分 由2222()y k x x aa y +==+⎧⎨⎩，得22222(0)x a k x a ++-= 得x a =-，或2222(1)1a k x k -=+，易得2222222(1)2,11D D a k ak x y k k -==++ ······················· 12分 当2122k b k a =时，42222422222222222222222()2()2,B B b a b k a a abk a x y b a a b k a b k b k b k -=++-==+， 2222222222222222222222211()(1)1BD b k b abk ak a k k a a a a k k b k k k -+==--++--+， ··················· 13分 因为2E 为圆，所以ADB ∠所对圆2E 的弦为直径，从而BD 经过定点(,0)a ．所以BD AD ⊥ ······························ 14分 法二：直线BD 过定点(,0)a ，证明如下： ··················· 6分设(,0)P a ，(,)B B B x y ，则22221(0)B B x y a b a b+=>> ·············· 8分 22222212222222()1B B B AD PB PB B B B y y y a a a a b k k k k b b x a x a b x a b a==⋅⋅=⋅=-=-+--， ····· 10分 所以PB AD ⊥，又PD AD ⊥ ······················· 1２分 所以三点,,P B D 共线，即直线BD 过定点(,0)P a ． ·············· 14分。

2009-2010学年第二学期期末质量监测 高一数学试题参考答案及评分标准一、选择题：共10小题，每小题5分，满分50分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C A CBDDA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11. 330. 12. 34-. 13. 14. 32. 三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分） 解：（必修4第2.4节例1、例2、例3的变式题） （1） 1cos 601212⋅=︒=⨯⨯=a b a b -------------------3分 ()()143-∙+=-=-=-22a b a b a b ------------┄┄┄┄┄6分（2） -==a b ---------------------9分==┄-----┄┄┄┄12分 16.（本小题满分12分）解：（必修4第1.4节例2、例5的变式题）1cos 2()222x f x x +=+ -----------------------------------2分11cos 2222x x =+ 1sin cos 2cos sin 2266x x ππ=++------------------------------4分 1sin(2)26x π=++-------------------------------------------6分 （1） ()f x 的最小正周期为22T ππ==.---------------------------8分 另解：用周期的定义，得()f x 的最小正周期为π.---------------------8分 （2）当222()262k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 时，()f x 的单调递增，-----10分故函数()f x 的单调递增区间是(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 。

广州市第六中学2012-2013学年第二学期期末学业水平测试高一数学期末考试试卷一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝sin2x＋cos 2x是( )A．周期为π的偶函数B．周期为π的奇函数C．周期为2π的增函数D．周期为2π的减函数2．已知向量a＝(1，3）,b＝（3，x），若a⊥b,则实数x的值为（）A．9 B。

－9 C．1 D．－1 ks5u3．已知{a n}是等差数列，前n项和为S n，a1＝120,公差d＝－4，若S n≤a n（n≥2），则n的最小值为( ）ks5uA．60 B．62 C．70 D．724．设|a|＝5,|b|＝4,a·b＝－10，则a与b的夹角为（)A．30° B．60° C．120° D．150°5．若实数x，y满足错误!则错误!的取值范围是( )A．(0,1) B．（0，1] C．（1，＋∞）D．[1，＋∞）6．已知角θ的终边与单位圆交于点P错误!－错误!，错误!错误!，则cos （π－θ）的值为（)A．－错误! B．－错误!C。

错误!D。

错误!7．已知数列{a n｝是等比数列，且a n〉0，公比q≠1，则a1＋a8与a4＋a5的大小关系是( )A．a1＋a8〉a4＋a5B．a1＋a8≥a4＋a5C．a1＋a8〈a4＋a5D．a1＋a8≤a4＋a58．定义在R上的函数f（x)既是偶函数又是周期函数，若f（x)的最小正周期为π，且当x∈错误!0,错误!错误!时，f（x)＝sin x，则f错误!错误!错误!的值为（）A．－错误!B。

－错误! C.错误!D.错误!9．若α，β均为锐角，sin α＝错误!，sin（α＋β)＝错误!,则cosβ等于（）A.错误!B.错误!C。

错误!或错误! D．－错误!10．下列结论中正确的是( )A．若ac>bc，则a>b B．若a8〉b8，则a〉bC．若a〉b，c<0,则ac〈bc D．若错误!〈错误!，则a〉b二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，满分20分)11．已知α∈错误!，π错误!，且sin α＝错误!，则tan α的值为____________．12．若三点A(2，2），B（a,0），C（0，4）共线，则a的值等于_________．13．不等式(x＋1)2（x－1）<0的解集为__________．14．在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝错误!，b＝6,B＝120°，则a＝________。