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事件的独立性(一)

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事件的独立性名词解释

事件的独立性名词解释

事件的独立性名词解释事件的独立性是指一个事件在其发生的过程中并不受到其他事件的影响，具有自身的特定性和独立性质。

它是一个广泛应用于各领域的概念，包括科学、社会学、法律以及人类行为研究等。

在科学领域，事件的独立性是指一个实验或观察所研究的事件与其他变量或因素之间的关系是相互独立的。

在设计实验时，科学家通常会采取措施来保证实验的独立性，例如随机分组、避免再次测试等。

通过保持事件的独立性，科学家可以更准确地分析事件之间的关系，推断出因果或相关性的结论。

在社会学中，独立性是一个重要的概念，用于研究个体、群体或社会的现象，如社会心理、文化传播和社会动态等。

社会学家通过分析事件的独立性来了解不同因素对个体或群体行为产生的影响。

例如，他们可能通过研究某一社交媒体平台上用户的行为来分析用户间的互动模式和社交网络结构。

通过研究事件的独立性，社会学家可以更好地理解社会现象的本质，形成相关的理论。

在法律领域，事件的独立性是一个基本原则，涉及到证据的可信性和判断的公正性。

法官和陪审团必须评估每一个事件的独立性，以确定是否有足够的证据来支持诉讼的结果。

在庭审中，法律专业人士会根据相关法律和证据，评估事件的独立性，并作出公正的判断。

同时，法律也保护事件的独立性，确保每个事件都能得到适当的审理，而不受其他事件的干扰和影响。

在人类行为研究方面，事件的独立性被广泛应用于心理学和行为经济学等领域。

人类行为通常会受到各种因素的影响，例如情绪状态、社会环境和个人观念等。

通过研究事件的独立性，研究人员可以更好地理解人类行为的内在机制，探讨人们在不同情境下做出的决策和选择。

总之，事件的独立性是一个重要的概念，它在科学、社会学、法律和人类行为研究等领域都有着广泛的应用。

研究事件的独立性有助于我们深入了解各个领域中的现象和关系，为我们的决策和判断提供理论基础和依据。

通过保持事件的独立性，我们能够更加准确地理解和解释世界的运作方式，推动人类社会的进步和发展。

1.5事件的独立性

1.5事件的独立性

定义1.6 对n个事件 A1 , A2 ,..., An ( n 2 ),如果对其 中任意k个事件 Ai , Ai ,..., Ai ( 2 k n ), 都有
1 2 k
P ( Ai1 Ai2 ... Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 )... P ( Aik ) 则称这 n 个事件 相互独立.
P ( A)
6
, P( B)
6
,
P ( AB )
6
,
2 1 1 P ( A) P ( B ) P ( AB ), 所以A,B独立. 3 2 3
则 (2)A表示“点数小于 B表示“点数为奇数”, 4”, 3 , P( B) 3 , P ( A) P ( AB ) 2 ,
6 6 6
1 1 1 P ( A) P ( B ) P ( AB ), 所以A,B不独立. 2 2 4
例 从一副不含大小王的扑克牌中随意抽出一张,
B 则 记A为 “抽到 K ”, 为 “抽到的牌是黑色 的”, 4 26 1 , 2 , P ( A) , P( B) P ( AB )
4 4 1 P ( AC ) 1 P ( A) P (C ), P ( AB ) P ( A) P ( B), 4 4 1 A, B, C 两两独立. P ( BC ) P ( B ) P (C ), 4 1 P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), A, B, C 不相互独立. 4 P (CAB ) 同样 P ( B A C ) P( B ) 此时,P (C AB ) 1 P(C ) P ( AB ) P ( A B C ) P( A)
解 设 A, B, C分别表示开关A、B、C有闭合. A 则指示灯亮的概率为

10 事件的独立性 (I) 独立性的概念与性质

10 事件的独立性 (I) 独立性的概念与性质
P(A) 1 2 P(B) P(C)
P(AB) 1 4 P(BC) P(AC) P(ABC)
P(AB) P(A)P(B) P(BC) P(B)P(C) P(AC) P(A)P(C)
P(ABC) P(A)P(B)P下运算律： (1) 积事件 P(AB)=P(A)P(B) (定义)
P( A B) P( AAn 相互独立，则有
P( A1A2 An) P( A1)P( A2) P( An) (定义)
推导：
P( A1 A2 An) 1 P( A1 A2 An) 1 P( A1 A2 An) 1 P( A1)P( A2) P( An)
P( A)
一般地，A的发生对B的发生的概率是有影响的，
即一般地， P(B| A) P(B)
因此，只有在A的发生不会影响B发生概率时， 才会有 P(B|A)=P(B)。
由乘法公式，这时有
P(AB) P(A)P(设A=“甲币出现正面”，B=“乙币出现正面”
(2) 和事件 P( A B) P( A) P(B) P( AB) P( A) P(B) P( A)P(B)
P(A B) 1 P( A B) 1 P(A B)
P(A B) 1 P(A)P(B)
(3) 差事件 P( A B) P( AB) P( A)P(B)
若三个事件A, B, C相互独立，则它们一定两 两独立，但它们两两独立未必相互独立，因 为条件(1)一般推不出条件(2)。
若三个事件A, B, C相互独立，则它们一定两 课 两独立，但它们两两独立未必相互独立，因 为条件(1)一般推不出条件(2)。
反例 设样本空间 S {1,2, 3, 4} 事件 A {1, 2} B {1,3} C {1,4} 则 AB {1} BC AC ABC

2.3.2 事件的独立性(1)

2.3.2 事件的独立性(1)

1 P( A B)
1 P( A B)
A、B中至少有一个发生的概率
A、B中至多有一个发生的概率
分层训练:
必做题：P59 练习 2、3 P64 习题 1 选做题: P64 习题 9
作业: P64 习题
4, 7
例２：如图用X，Y，Z三类不同的元件连接 成系统N，当元件X，Y，Z都正常工作时，系 统N正常工作。已知元件X，Y，Z正常工作的 概率依次为0.80，0.90，0.90，求系统N正常 工作的概率P。
X Y Z
思考：若系统连接成下面的系统，则该系统正常工作的 概率为多少？
Y X Z
例3：加工某一零件需要两道工序，若第一， 二道工序的不合格品率分别为3%和5%,假定 各道工序是互不影响的，问：加工出来的零 件是不合格品的概率是多少？
Ｐ（Ａ１Ａ２．．．Ａｎ）
＝Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）．．．Ｐ（Ａｎ）
从一副扑克牌（５２张）中任抽一张， 设Ａ＝“抽得老Ｋ”Ｂ＝“抽的红牌”， Ｃ＝“抽到Ｊ”，判断下列事件是否相 互独立？是否互斥，是否对立？ ①Ａ与Ｂ ②Ａ与Ｃ
例１求证：若事件Ａ与Ｂ独立，则事件Ａ与 B 也相互独立。
一拖三
结论：若事件A与B独立则A与B，B与A A与B都独立。
三、条件概率的计算
P（AB） P( A B）= ｜ P (B)
P（AB）=P( A B）P(
在第一次出现正面向上的条件下， 第二次出现正面向上的概率是多少？
在第一次出现正面向上的条件下，对第二 次出现正面向上的概率是否产生影响？
学习目标:
理解两个事件相互独立的概念，并能进行一 些与事件独立有关的概率的计算。
如果A和B是独立事件,那么 1-P(A)P(B)表示什么含义？

事件的相互独立性

事件的相互独立性

P ( A B ) P ( A)
引例 盒中有5个球( 3绿2红), 每次取出一个,
有放回地取两次记 . A 第一次抽取, 取到绿球, B 第二次抽取, 取到绿球, 3 P (B ) P ( B A) 5
则有
它表示 A 的发生并不影响B 发生的可能性大小 . 若 P ( A) 0，则
即 与A独立.
∵ A=, P()=0
∴ P(A) = P()=0= P() P(A) 即 与A独立.
(2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件 也相互独立. ① 注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭.
A 与 B； ② A 与 B； ③ A 与 B.
证 ① A A A( B B ) AB AB
两个结论
若事件 A1 , A2 , , An ( n 2) 相互独立 , 则 1. 其中任意 k ( 2 k n)个事件也是相互独立 .
2. 若 n 个 事 件 A1 , A2 , , An ( n 2)相 互 独 立 , 则 将 A1 , A2 , , An 中 任 意 多 个 事 件 换 成 们 的 对 它 立 事 件 所 得 的n 个 事 件 仍 相 互 独 立 独 立 性 关 于 , .( 运算封闭 )
B发生时，A一定不发生.
B
A
P ( A B) 0
这表明: B的发生会影响 A发生的可能性(造成
A不发生), 即B的发生造成 A发生的概率为零. 所以A与B不独立.
3.性质1.5
(1) 必然事件 及不可能事件与任何事件A 相互独立. 证 ∵ A=A, P()=1
∴ P(A) = P(A)=1• P(A)= P() P(A)
说明
P ( AB) P ( A) P ( B)

事件的相互独立性

事件的相互独立性

设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P( AB) P( A) P(B)
则称事件 A, B 相互独立,简称 A, B 独立.
注. 1º若 P( A) 0,则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
说明 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
例4 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为 0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎病毒 相互独立，混合100个人的血清，求此血清 中含有肝炎病毒的概率. 解
Ai {第i人的血清含有肝炎病毒},i 1, 2,...100
B {100个人的混合血清中含有肝炎病毒} 则 P( Ai ) 0.004
[r(2 r)]n rn(2 r)n
(2) 问：哪个系统的可靠性更大？
令 f ( x) xn (n 2)，则
0r1
f ( x) n(n 1)xn2 0 ( x 0)
(2 r)n 2 rn
故曲线y f ( x)是凹的，从而 f (2 r) f (r) f ( (2 r) r ) f (1) 1
P(BC ) P(B)P(C ),
P(
AC
)
P( A)P(C ),
P( ABC ) P( A)P(B)P(C ),
则称事件 A, B,C 相互独立 .
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj )
通路上各元件
都正常工作
而 系统Ⅰ正常工作
两条通路中至少
有一条正常工作
B1 C D A1A2 An An1An2 A2n

事件的独立性

事件的独立性
事件的独立性（一）
复习回顾
(4).条件概率
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
注意条件：必须 P(A)>0
相互独立事件及其同时发生的概率
甲未击中，乙击中（事件Ā•B发生）。根据题意，这两 种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件Ā•B与
A• B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 事件的概率乘法公式，所求的概率是
P(A • B) P(A • B)
P( A) • P(B) P( A) • P(B)
0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6
②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是不是 相互独立的 相互独立
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概 率为：
P( A B) P( A) P(B)
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件的概率的积。 一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
“所求事件” 分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件)
4.根据公式解答
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 则甲,乙同时射中同一目标的概率为____1145___
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是__35_
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973

1.5事件的独立性

1.5事件的独立性

推广到n个事件的独立性定义,可类似写出：
设A1,A2, …,An是 n个事件，如果对任意k
(1<k n),任意1 i1<i2< …<ik n,具有等式
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik )
则称A1,A2, …,An为相互独立的事件.
包含等式总数为：
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的
概率，故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）
又如：一批产品共n件抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立.
因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响.
请问：如图的两个事件是独立的吗？ 我们来计算： P(AB)=0 而P(A) ≠0, P(B) ≠0
A B 即 P(AB) ≠ P(A)P(B)
故 A、B不独立
即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0,
则A与B不独立.
反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0, 则A 、B不互斥.
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,
下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
容易证明,若两事件A、B独立，则 A与B, A与B, A与B 也相互独立.
问：能否在样本空间Ω中找两个事件,它们 既相互独立又互斥?
这两个事件就是和

数学课件：2.3《事件的独立性(1)》

数学课件：2.3《事件的独立性(1)》

（1）2人都击中目标的概率；0.36
0.48 （2）其中恰有1人击中目标的概率；
（3）2人都没有击中目标的概率；0.16
（4）至少有一人击中目标的概率
0.84
练习1、若甲以10发8中，乙以10发7中的命中率打靶， 两人各射击一次，则他们都中靶的概率是( D )
(A)
3 5
(B)
3 4
(C)
12 25
例1.口袋中有a只黑球b只白球，连摸两次，每次
一球.记A={第一次摸时得黑球}，B={第二次摸时 得黑球}.问A与B是否独立？就两种情况进行讨论： ① 放回抽取；② 不放回抽取.
① 放回抽取 a 解：P(A) =
ab
a P（B）= ab
a P(B|A)= a b
② 不放回抽取.
a P（A）= P（B）= a b a 1 a a 1 P(AB)= P(B|A)= a b 1 a b a b 1 a ab
A、B中至多有一个发生的概率
独立重复试验
（一） 形成概念
掷一枚图钉，针尖向上的概 率为0.6，则针尖向下的概率为 1－0.6=0.4
问题（1）第1次、第2次、第3次… 第n次针尖向上的概率是多少?
第1次、第2次、第3次…第n次针尖向----在同样条 件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。
解 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示 “活到25岁” (即≥25) 则 P( A) 0.7, P( B) 0.56 所求概率为
P( AB) P( B) P( B A) 0.8 P( A) P( A)

B
5
0.56
0.7
A
, 2． 根据以往的临床记录某种诊断癌症的试 验具有如下的效果: 若以 A 表示事件" 试验反应 为阳性" , 以 C 表示事件" 被诊断者患有癌症 , 则 " 有 P( A C ) 0.95, P( A C ) 0.95.现在对自然人群 进行普查, 设被试验的人患有癌症 的概率为 .005, 0 即 P(C ) 0.005, 试求 P(C A).

事件的相互独立性(使用)

事件的相互独立性(使用)

方法二：A1，A2 至少有一个正常工作的概率为 1－P( A1 A2 )＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，∴系统正常工作的概率为 P(K)[1－P( A1 A2 ]＝0.9×0.96＝0.864.
• 答案： B
例4.某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中 排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语 为0.85，问一次考试中 (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
事件的相互独立性
复习回顾
(1).条件概率的概念
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发生的条件下事 件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B |A).
(2).条件概率计算公式:
n( AB) P( AB) P( B | A) n( A) P( A)
思考与探究 思考1：在大小均匀的5个皮蛋中有3个红皮蛋，2个白 皮蛋，每次取一个，不放回的取两次，求在已知第一 次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。 思考2：在大小均匀的5个皮蛋中有3个红皮蛋，2个白 皮蛋，每次取一个，有放回的取两次，求在已知第一 次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。
是
不是
是
若 P ( A) 0, 则 P ( B A) P ( B)
P ( AB) P ( A) P ( B)
推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件 同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.即：
P(A1·A2·…·An)= P(A1)·P(A2)·…·P(An)
注：独立与互斥的关系：
1.一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的， 令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多 有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．

事件的独立性1

事件的独立性1

事件的独立性（一）三维目标：1、理解两个事件相互独立的概念，并能进行一些与事件独立有关的概率的计算；2、提高分析问题、解决问题的能力。

教学重点、难点：理解事件的独立性，会求一些简单问题的概率．教学过程一、问题情境1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？2．问题：第一次出现正面向上的条件，对第二次出现正面向上的概率是否产生影响．二、学生活动三、建构数学1．两个事件的独立性：推广：2．独立与互斥回顾：互斥事件：对立事件：区别：例如从一副扑克牌（52张）中任抽一张，设A=“抽得老Ｋ”B=“抽的红牌”，C=“抽到Ｊ”，判断下列事件是否相互独立？是否互斥，是否对立？①A与B；②A与C3四、数学运用例1．求证：若事件A与B相互独立，则事件A与B也相互独立．图2-3-2例2．如图232--，用,,X Y Z 三类不同的元件连接成系统N ．当元件,,X Y Z 都正常工作时，系统N 正常工作．已知元件,,X Y Z 正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，求系统N 正常工作的概率P ．例3．加工某一零件共需两道工序，若第一、二道工序的不合格品率分别为3﹪，5﹪ ，假定各道工序是互不影响的，问：加工出来的零件是不合格品的概率是多少？思考：如果A 和B 是两个相互独立的事件，那么()()1P A P B -表示什么？五、反馈练习1、一袋中有3个红球，2个白球，另一袋中有2个红球，1个白球，从每袋中任取一球，则至少取到一个白球的概率为_____________。

2、若开关S1与S2同时断开时电路断开，设S1,S2断开的概率分别是0.5和0.7，且各开关相互独立，则电路为断开的概率为______________。

3、二人独立的破译一个密码，他们能译出的概率分别是0.6，0.7，则能够将此密码破译出的概率是_______________。

4、一个盒子中装有a 只黑球和b 只白球，现在从中先后有放回地任取两只球，设A 表示“第一次取得黑球”的事件，B 表示“第二次取得黑球”的事件，则P （A ）=_____________， P （A|B ）=_______________，A 与B 是否是独立事件_______________。

事件的独立性

事件的独立性

第一章第一章 随机事件§1.1 概述§1.2 事件的概率§1.3 古典概率模型§1.4 条件概率§1.5 事件的独立性1.5.1 两事件的独立A ={第一次掷出6点}，B ={第二次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设§1.5 事件的独立性经计算，得到P (B |A )=这就是说：事件A 的发生，不影响事件B 发生的概率。

P (B )=1/6.P (B |A )=P (B )P (A |B )=P (A )称事件A 与B 独立。

这时，用 P(AB )=P (A ) P (B ) 刻画独立性，比用P (A |B ) = P (A ) 或 P (B |A ) = P (B )更好。

◎ 不受 P (B )>0 或 P (A )>0 的制约；◎ 反映了事件A 与 B 的对等性。

定义1：若两事件A , B 满足 P (AB )= P (A ) P (B ),则称 A 与B 相互独立，或称 A , B 独立。

两事件独立的另一种定义如：一批产品共 n 件，从中抽取2件，设A i = {第 i 件是合格品}， i =1,2。

若抽取是有放回的, 则A 1与A 2独立。

其原因是：第二次抽取的结果受第一次抽取结果的影响。

其原因是: 第二次抽取的结果不受第一次抽取结果的影响。

若抽取是无放回的，则A 1与A 2不独立。

实际应用中, 往往依问题的实际意义判断两事件是否独立 。

请问：如图的两个事件是否独立？即: 若A 、B 互斥，且P (A )>0, P (B )>0, 则 A 与B 不独立。

其逆否命题是：而 P (A ) ≠ 0, P (B ) ≠0。

故 A 与B 不独立。

我们来计算：因 P (AB )=0,P (AB ) ≠ P (A )P (B )。

即请问：能否在样本空间Ω中找到两个事件， 它们既相互独立又互斥?答：能。

1.4。事件的独立性

1.4。事件的独立性

即A1 ，A2 ，A3两两独立
而
但P（A1 A2 A3）=1/4
P（A1）P（A2）P（A3）=1/8
从而A1 ，A2 ，A3不相互独立
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例3 设Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3,4,},B={1,5,6,7}, C={1,4,5,8}, 则 但 P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2 P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C) P(AB)=1/8≠P(A)P(B)
3） 若P（A）>0,P(B)>0,则A，B相互独立，与A，B互不相 容，不能同时成立。
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结束
铃
例1 抛甲，乙两枚硬币，观察正反面出现的情况。设事件A 为“甲币出现H”，事件B为“乙币出现H”。试讨论事件A，B的 独立性。
解： Ω={HH，HT，TH，TT}
A={HH，HT} B={HH，TH} P（A）=1/2 P（B）=1/2
P（AB）=1/4= P（A）P（B）
所以 事件A，B相互独立
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铃
(二)、独立事件的性质 1、对于任意事件A，A与事件Ω独立，A与Φ独立。 2、如果事件A与事件B相互独立，则A与 BC， AC与B 和 AC与 BC也相互独立 3、如果A与Bi（i=1,2, …,n）相互独立，且BiBj=Φ（i≠j）
2 3 n Cn Cn ... Cn 2n n 1个
（3）
2）由定义3知：若A1，A2，…，An相互独立，则它们 之中任意m（2≤m≤n）个事件也一定相互独立，反之则不一 定。
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条件概率与事件的独立性(1)

条件概率与事件的独立性(1)

2021/3/2
19
概率论与数理统计
例：市场上有甲，乙，丙三家工厂生产同一品牌 的产品；已知三家产品的市场占有率分别为 25%， 25% 及 50%, 且三家工厂的产品次品率分别为 2%， 1% 及 3%, 求此品牌产品的次品率？
解：设 B 买到一件产品是次品；A1 甲厂生产的产品 A2 乙厂生产的产品； A3 丙厂生产的产品
2021/3/2
3
概率论与数理统计
例：设箱中有 5 个红球和 3 个白球。现不放回 地取出 2 个球，假设每次抽取时，箱中各球被 取出是等可能的。第一次取出红球时，问：第
2 次仍取出红球的概率是多少？
解 一 ： 缩 减 样 本 空 间 法
设 Ai 第 i 次取出红球，i 1, 2
由 于 A1 已 经 发 生 ， 第 2 次 取 球 时 ， 共 剩 下 7 个 球 ， 其 中 有 4 个 红 球 ， 故 P ( A2 | A1 ) 4 7 .
n
m
n
n
m m
n
m
n
1
n
m
n
n
2
m
n
mn
m
1
n
.
2021/3/2
22
概率论与数理统计
P32 题 7 解：设 B 取得该球是红球
A1 取自甲袋； A2 取自乙袋
则 1. P B P A1 P B A1 P A2 P B A2
1 6 1 8 41； 2 10 2 14 70
aa202132114概率论与数理统计复杂的事件分解成若干个互不相容的部人们在计算某一比较的概率时有时根据事件在不同情况或不同原因下发生而将它分别计算每一部分的概率然后求和这就是我们接下来要讨论的全概率公式

事件的相互独立性(一)

事件的相互独立性(一)
变式:“至多有一次抽到中奖号码”。
强化练:已知A、B、C相互独立，试用数学 符号语言表示下列关系
① A、B、C同时发生概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
(1)A发生且B发生且C发生
答:事件A的发生会影响事件B发生的概率
P(BA) n(AB)P(AB)1 n(A) P(A) 2
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三
名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去
抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗？
设A为事件“第一位同学没有中 B奖表”示 。 事件“最后一 同名 学中奖”.
P1=r2
1
2
(3
(2)
1
2
P2=1－(1－r)2
1
2
(4)
1
2
P4=[1－(1－r)2]2
答案
引例的解决
明确问题：
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠 老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三 为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠 中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率 比较，谁大？
答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。
P (B|A )P (B )
又 P ( A ) P B ( A ) P ( B |A )
P (A ) P B (A ) P ( B )
相互独立的概念
设A，B为两个事件，如果 P (A ) B P (A )P (B )
则称事件A与事件B相互独立。
注意: (1)互斥事件:两个事件不可能同时发生 (2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响 判断两个事件相互独立的方法 1.定义法:P(AB)=P(A)P(B) 2.经验判断:A发生与否不影响B发生的概率

事件的独立性

事件的独立性

用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性，比用
P(A|B) = P(A)
或 P(B|A) = P(B)
更好，它不受P(B)>0或P(A)>0的制约。
两事件独立的定义 若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1)
则称A、B独立，或称A、B相互独立。
例1： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张， 记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}。
“ A1 , A2 ,„, An 至少有一个不发生”的概率为
P ( A1 A2 „ An ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
=1 - p 1 … p n
Hale Waihona Puke 例3：下面是一个串并联电路示意图。
A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的 元件，各自下方的数字表示其正常工作之 概率。 求电路正常工作的概率。
反之，若A与B独立，且P(A)>0, P(B)>0, 则A 、B不互斥。
问：能否在样本空间Ω 中找两个事件,它们 既相互独立又互斥? 这两个事件就是 Ω 和。
因为 ,

P ( ) p( ) P ( ) 0,
所以， 与Ω 独立且互斥。
不难发现， 与任何事件都独立。
问事件A、B是否独立？ 解： 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2， P(AB)=2/52=1/26。 可见, P(AB)=P(A)P(B)。 说明事件A、B独立。
前面我们是根据两事件独立的定义作 出结论的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}。 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13，
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（1）两人都击中目标的概率；
（2）其中恰由1人击中目标的概率 （3）至少有一人击中目标的概率
解：(1) 记“甲射击1次,击中目标”为事件A.“乙 射 击1次,击中目标”为事件B. 且A与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同 时发生， P(A•B)=P(A) •P(B)=0.6×0.6＝0.36 根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到
中目标的概率都是0.6，计算： （3）至少有一人击中目标的概率. 解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是
P P ( A B ) [ P ( A B ) P ( A B )] 0 . 36 0 . 48 0 . 84
解法2：两人都未击中的概率是
P ( A B ) P ( A) P (B ) (1 0 . 6 ) (1 0 . 6 ) 0 . 16 , 因此，至少有一人击中 目标的概率
P(A)+P(Ā)=1
复习回顾
(4).条件概率
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
P (B | A) n( AB ) n( A) P(AB) P ( A)
注意条件：必须 P(A)>0
问题探究：
解
1 记 " 第 1次抽奖抽到某一指定号
" 就是事件
码 " 为事件 A ,
" 第 2 次抽奖抽到某一指定号 奖都抽到某指定号码 果互不影响
码 " 为事件 B , 则 " 两次抽 AB .由于两次抽奖结 .于是由独立性可得 ,
, 因此 A 与 B 相互独立
两次抽奖都抽到某一指
定号码的概率
P AB
P 1 P ( A B ) 1 0 . 16 0 . 84
答：至少有一人击中的概率是0.84.
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
巩固练习
2、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨 的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互 之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都下雨的概率；
P=0.2×0.3＝0.06
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56
（3）其中至少有一方下雨的概率.
我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影 响时，条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的， 但有时事件A的发生，看上去对事件B的发生没有影 响，比如依次抛掷两枚硬币的结果,抛掷第一枚硬币的结果
（事件A）对抛掷第二枚硬币的结果（事件B）没有影响， 这时P(B|A)与P(B)相等吗？
思考
3张奖券中只有 张能中奖 现分别由 名 1 , 3
P A P B
0 . 05 0 . 05 0 . 0025 .
某一指定号码 " 可以用
2 " 两次抽奖恰有一次抽到
A B 表示 .由于事件 独立事件定义


A B
A B与 A B 互斥 , 根据概率加法公式和
, 所求的概率为
P A B P A B P A P B P A P B
解题步骤：
1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A, “YY”记为B. 2.理清题意, 判断各事件之间的关系(等可能;互斥; 互独; 对立). 关键词 如“至多” “至少” “同时” “恰
有”. 求“至多” “至少”事件概率时,通常考虑它们的对立事件的 3.寻找所求事件与已知事件之间的关系. 概率. “所求事件” 分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件)
P(A B) P(A B) P ( A) P (B ) P ( A) P (B ) 0 . 6 (1 0 . 6 ) (1 0 . 6 ) 0 . 6 0 . 24 0 . 24 0 . 48
答：其中恰由1人击中目标的概率为0.48.
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击
注：
①区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生； 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件 发生的概率没有影响。
②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是不是 相互独立的 相互独立
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
“第一个同学没抽到奖劵、第三个同学抽到奖劵” 是一个事件，
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是 什么？ P(A+B)=P(A)+(B) ③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
中)
即 至多有一次中靶” 是指 (中, + A· A· B B+ B. B B+ B) （3）“A· + A· A· ∴求 P(A· 不中), (不中, 中),
中)
(中,
即 A· + A· A· ∴求 P(A· + A· A· B B+ B. B B+ B) （4）“目标被击中” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A· + A· A· ∴求 P(A· + A· A· B B+ B. B B+ B)
它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作A•B 两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概 率为：
P ( A B ) P ( A) P (B )
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件的概率的积。 一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
同学有放回地抽取事件A为 " 第一名同学没有 , 抽到奖券" ,事件B为" 最后一名同学抽到奖券 ". 事件A的发生会影响事件 发生的概率吗 B ?
显然 , 有放回地抽取奖券时 , 最后一名同学也是 从原来的3张奖券中任取1 ,因此第一名同学抽 张 的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响, 即 事件 A 的发生不会影响事件B发生的概率.于是
例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商
品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以 分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑 奖活动的中奖概率都是0.05 ,求两次抽奖中以下事件的 概率：
（1）都抽到某一指定号码； （2）恰有一次抽到某一指定号码； （3）至少有一次抽到某一指定号码。
解：分别记这段时间内开关 J A 、 J B 、 J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这 段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P (C ) [1 P ( A )][ 1 P ( B )][ 1 P ( C )] (1 0 . 7 )( 1 0 . 7 )( 1 0 . 7 ) 0 . 027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P ( A B C ) 1 0 . 027 0 . 973
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
巩固练习
1、分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1 枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件 “2枚结果相同”。问：A，B，C中哪两个相互独立？
AB , A B 和 A B 两两互 , 所求的概率为
0 . 0975 .
立事件定义
0 . 0025
P A B P A B
0 . 095
思考
二次开奖至少中一次的 概率是一次开奖中
奖概率的两倍吗 ?为什么 ?
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
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北师大版高中数学2-3第二 章《概率》
一、教学目标：1、知识与技能：理解两个事 件相互独立的概念。2、过程与方法：能进行 一些与事件独立有关的概率的计算。 3、情感、态度与价值观：通过对实例的分析， 会进行简单的应用。 二、教学重点，难点：理解事件的独立性， 会求一些简单问题的概率． 三、教学方法：讨论交流，探析归纳 四、教学过程
P（A1· 2……An）=P（A1）· A P（A2）……P（An）
试一试
判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”, 事件B表示“第2球罚中”. A与B为互独事件
2.篮球比赛 “1+1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”, 事件B表示 “第2球罚中”. A与B不是互独事件也非互斥事件 3.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A:“取出的是白球”.事件B:“取出的是黑球” ( 不放回抽取) A与B为非互独是互斥事件 4.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A为“取出的是白球”.事件B为“取出的是白 球”. A与B为互独事件 ( 放回抽取)
4.根据公式解答
( 互斥事件)
求 较 复 杂 事 件 概 率
分类
正向 分步
P(A+B)= P(A) + P (B) P(A· P(A) ·P (B) B)=