《初等函数的性质》PPT课件

由定义，取特殊值，推出矛盾。 • 练习：判断函数是否周期函数? • 1. f(x)=sinx2
• 2. f(x)=xsinx • 答：均不是周期函数
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最小正周期有关问题
• 例1 证明y=sinx的最小正周期是2π。 • 1：求出全部周期； • 2：用反证法说明比2π小的均不为其周期。 • 例2 设函数f(x)=sinnx的最小正周期为T。 • 试证：当n为奇数时T=2π； • 当n为偶数时T=π。
• P157例10 设a>1，讨论函数y=ax2+2x-3的单调性和有 界性。
• P157例11 已知点M(1,2)既在函数y= f(x)=ax2+b(x≥0)的图像上，又在其反函数的图像上。
• （1）求反函数y=f-1(x)；
• a=-1/3,b=7/3 • （2）证明f-1(x)在其定义域上是减函数。
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函数经运算、复合后的周期性问题
• 定理6 设y=f(x)是定义在集合D上的周期函数， 其最小正周期为T。则有
• （1）函数kf(x)+c(k,c为常数且k≠0)仍然是D上 的周期函数，且最小正周期仍为T。
• （2） 函 数 k/f(x)(k 为 非 0 常 数 ) 是 在 集 合 {x|f(x)≠0,x∈D}上的周期函数，最小正周期仍 为T。
最小正周期。 • 例如y=cos2x。
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函数运算后的周期性
• 定理8：函数f1(x),f2(x)都是定义在集合D上的周 期函数，且周期分别为T1,T2，
• 若T1/T2为有理数，则它们的和与积f1(x)+f2(x)； f1(x)·f2(x)也是D上的周期函数，
• 注：定理4常用来断定反函数的存在，但是它的条件 是充分条件，而非必要条件。
• 例如分段函数
x1(1x0)
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课本例题解读
• p154例9讨论函数f(x)=x+1/x的单调性，并作出它的 图像。
• 一般的，诸如f(x)=ax+b/x(a,b均不为0）的单调性、 图像如何呢？
• 如果奇函数的反函数存在，且定义在对称 于原点的数集上，则此反函数仍为奇函数。
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2）复合函数的奇偶性
• （1）由奇偶函数复合而成的复合函数为奇 函数的充要条件是这些函数都是奇函数。
• 复合为偶函数的充要条件是这些函数中至 少有一个偶函数。
• （2）设复合函数f2(f1(x))的定义域为D，如 果f1(x)为偶函数，那么f2(f1(x))一定是偶函 数。
• 若T为f(u)的一个周期，则nT(n是非零整数）也是 f(u)的一个周期。
• 最小正周期 • 如果函数f(x)具有最小正周期T0，则f(x)的任一正周
期T一定是T0的正整数倍。
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例讲
• 例1 证明y={x}是周期函数。 • 思路：判断周期，然后加以验证。 • 例2 用反证法证明函数y=xcosx 不是周期函数。 • 证明：假定它是周期函数，令周期为T，则
（2）函数y= x 是无界函数。
1 x精Leabharlann 课件ppt3二．单调性
• 单调性的定义 • 函数y= f(x)在区间[a,b]上单调增，等价于： • 1）对任何x1,x2∈[a,b](x1≠x2) • 有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)>0（差商为正）； • 2）对任何x1,x2∈[a,b](x1≠x2) • 有(f(x2)-f(x1))(x2-x1)>0（变分为正）。
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3．奇偶性运用举例：
• 例 解方程 • (2x+9)2005+x2005+3x+9=0。 • 注意：构造函数f(t)=t2005+t。 • 则f(2x+9)=-f(x)=f(-x) • x=-3
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四、函数的周期性
• 定义12：设f(u)是定义在数集D上的函数，如果存在 不 为 0 的 常 数 T， 对 任 何 x∈D 都 有 x±T∈D， 且 f(x+T)=f(x)总能成立，则称f(x)为周期函数。
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补充例1 讨论下列函数的单调区间：
1）f(x)= 1 x 2 -x；
2）f(x)= x
。
1 x2
例2 试求方程1x+2x+3x+…+9x=10x的 解集中各元素之和的整数部分。
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三、函数的奇偶性
• 定义11 设函数f(x)的定义域为D， • 如果对于任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称
初等代数第8讲
初等函数的性质
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一．有界性
• 定义9 如果存在正数M，对于函数f(x)的定 义域内（或其子集）的一切值，都有 |f(x)|≤M成立，那么函数f(x)叫做在定义域 内（或其子集）上的有界函数。
• 图像上的表现
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（P152例8） 证明下面的命题：
（1）函数y= x 是有界函数； 1 x2
f(x)为奇函数； • 如果对于任意x∈D，都有f(-x)= f(x)，则称
f(x)为偶函数。
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2．奇偶性的判断 1）函数运算后的奇偶性
• 同为奇（或偶）函数的和与差的奇（或偶） 不变；
• 奇偶性不同的函数和差后如何？ • 奇（偶）函数的倒数（分母不为0）仍为奇
（偶）函数；
• 乘除如何？
• (3) f(ax+b)是(a≠0,ax+b∈D)是以T/|a|为最小 正周期的周期函数。
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复合函数的周期性
• 定理7 设u=g(x)是定义在集合D上的周期函数， 其最小正周期为T。如果f(x)是定义在集合E上
的函数，且当x∈D时，g(x)∈E，则复合函数
f[g(x)]是集合D上以T为周期的周期函数。 • 注意：f[g(x)]和g(x)的最小正周期未必相同。 • 一般地说，f[g(x)]的最小正周期不大于g(x)的
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复合函数、反函数的单调性
• 定理3 如果函数y=f(u)和函数u=g(x)的增减性相同， 则复合函数y=f[g(x)]是增函数；
• 如果函数y=f(u)和函数u=g(x)的增减性相反，则复合 函数y=f[g(x)]是减函数。
• 定理4 如果函数y=f(x)是定义在区间D上的单调函数， 那么在区间D上一定有反函数x=f-1(y)存在，x=f-1(y) 也是单调的，并且它和y=f(x)的增减性相同。