第六章_二元函数微积分

二元函数曲线积分一、引言二元函数曲线积分是微积分中的一个重要概念，它在物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。

本文将从定义、性质、计算方法等方面进行介绍和探讨。

二、定义二元函数曲线积分是指在曲线上对二元函数进行积分的过程。

设曲线C为参数方程x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b，则二元函数f(x,y)在曲线C上的积分为：∫Cf(x,y)ds=∫ba[f(x(t),y(t))√(x'(t)²+y'(t)²)]dt其中，ds表示曲线C上的弧长元素，x'(t)和y'(t)分别表示x(t)和y(t)对t 的导数。

三、性质1. 二元函数曲线积分与路径有关，即积分值与曲线的具体形状有关。

2. 二元函数曲线积分具有可加性，即对于曲线C1和C2，有∫C1+C2f(x,y)ds=∫C1f(x,y)ds+∫C2f(x,y)ds。

3. 二元函数曲线积分与参数化无关，即对于同一条曲线，不同的参数化方式得到的积分值相同。

4. 二元函数曲线积分具有保号性，即当f(x,y)≥0时，∫Cf(x,y)ds≥0。

四、计算方法1. 直接计算法：将曲线C的参数方程代入积分式中，进行积分计算。

2. 参数消元法：将曲线C的参数方程表示为y=y(x)，然后将y'(x)代入积分式中，进行积分计算。

3. 极坐标法：将曲线C的参数方程表示为r=r(θ)，然后将r'(θ)代入积分式中，进行积分计算。

五、应用举例1. 计算曲线积分∫C(x²+y²)ds，其中曲线C为圆x²+y²=1。

解：将圆的参数方程x=cos(t)，y=sin(t)代入积分式中，得到：∫C(x²+y²)ds=∫0^2π[(cos²(t)+sin²(t))√(cos²(t)+sin²(t))]dt=2π2. 计算曲线积分∫Cxyds，其中曲线C为从点(0,0)到点(1,1)的直线段。

第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 内有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。

二元函数可微的充要条件公式在微积分学中，函数的可微性是一个重要的概念。

对于二元函数，其可微性的判定条件可以通过偏导数的存在与连续性来确定。

下面将详细介绍二元函数可微的充要条件公式。

设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，如果函数在点(x0,y0)的偏导数存在且连续，那么函数在该点可微。

偏导数的存在性与连续性是二元函数可微的重要条件。

具体而言，对于函数f(x,y)，如果其在点(x0,y0)的偏导数∂f/∂x和∂f/∂y存在且在该点连续，那么函数f(x,y)在点(x0,y0)可微。

这个结论可以用数学公式来表示：∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(x0+Δx, y0) - f(x0, y0)] / Δx∂f/∂y = lim(Δy→0) [f(x0, y0+Δy) - f(x0, y0)] / Δy其中，lim表示极限运算。

这两个公式分别描述了函数f(x,y)对x和y的变化率。

如果这两个变化率存在且连续，那么函数在该点可微。

需要注意的是，函数可微性是一个局部性质，也就是说，函数在某一点可微，并不意味着在其它点也可微。

因此，在判断函数的可微性时，需要对每个点进行判断。

通过上述的公式和条件，我们可以判断一个二元函数在某点是否可微。

如果函数在该点可微，那么我们可以对该函数进行一阶近似，用切平面来逼近函数。

切平面方程的斜率就是函数在该点的偏导数。

总结起来，二元函数可微的充要条件是：函数在某一点的偏导数存在且连续。

这个结论是微积分学中的重要定理，对于理解和应用二元函数的可微性有着重要的意义。

通过本文的介绍，我们详细解释了二元函数可微的充要条件公式，并给出了相应的数学定义和解释。

希望读者通过本文的阐述，对二元函数的可微性有更深入的理解和应用。

二元函数的全微分与偏微分在数学中，二元函数指的是由两个变量所组成的函数。

在微积分学中，我们常常需要通过求全微分和偏微分来研究它们的性质。

本文将详细介绍二元函数的全微分与偏微分的概念、公式、性质和应用。

一、全微分全微分指的是对二元函数在全部自变量变化下的微小变化的描述。

用数学语言表述，就是对二元函数f(x,y)进行全微分得到：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy其中，dx和dy分别是自变量x和y的微小变化，∂f/∂x和∂f/∂y是分别对应自变量的偏导数。

由此可见，全微分是对于在全部自变量变化下函数的总体变化的描述。

它是一个线性映射，可以看成是一个一阶线性微分方程。

二、偏微分偏微分指的是对二元函数在某一个自变量上的微小变化的描述。

用数学语言表述，就是对二元函数f(x,y)在x处进行偏微分得到：∂f/∂x = lim [f(x+Δx, y) - f(x, y)] / Δx其中Δx是自变量x的微小变化。

同样地，我们也可以对y进行偏微分，得到∂f/∂y = lim [f(x, y+Δy) - f(x, y)] / Δy通过对函数在不同自变量上的偏微分，可以衡量函数对于不同自变量的敏感程度。

我们将偏导数求出之后，就可以得到函数在某一个点上的切线斜率。

三、全微分与偏微分的关系可以证明，在全微分df存在的情况下，二元函数f的所有偏导数都存在，且偏导数等价于全微分中对应自变量的系数。

也就是说，对于全微分中的dx和dy，我们可以将它们当做对应自变量的微小变化，然后通过求偏微分来得到对应自变量的系数。

这样，我们就可以用全微分中的系数来计算相应自变量的偏微分。

而反过来，只有一个函数在全微分存在的条件下，它的偏导数才有意义。

换句话说，全微分是偏微分的前提条件。

因此，在使用全微分和偏微分的时候，我们应该注重它们之间的互动和联系。

四、全微分和偏微分的应用在实际问题中，我们经常需要对二元函数进行全微分和偏微分的计算和应用。

微积分——多元函数及二重积分知识点
一、多元函数
多元函数是指变量、个数多于一个的函数。

常见的函数可以分为二元、三元函数。

1、二元函数
二元函数是指变量、个数为两个的函数，常见的二元函数有：二次函数、双曲线函数等。

（1）二次函数
二次函数是指用一元二次方程记录的函数，一般格式为：y=ax²+bx+c，其中a≠0，则二次函数是一个关于x的二次多项式函数，当a>0时，它
的图像呈现出U形；当a<0时，它的图像呈现出锥形。

（2）双曲线函数
双曲线的定义式有很多种，常见的有标准双曲线、变形双曲线等，它
们的共同特点是，双曲线的图像都是上下对称的，它们的定义式具有一定
的对称性。

2、三元函数
三元函数是指变量、个数为三的函数，一般格式为：z=f（x,y），它
们也有很多类型，比如极坐标函数、椭圆函数、正弦函数、余弦函数等。

（1）极坐标函数
指的是用极坐标表示的只有一个变量的函数，通常表示为r=f（θ），其中r代表半径，θ代表角度，则r随着θ的变化而变化，极坐标函数
的图像一般是一个圆或者椭圆。

（2）椭圆函数
椭圆函数是指以椭圆为图形的函数，一般表示为：
（x-x0）²/a²+(y-y0）²/b²=1，其中a是x轴的长半轴，b是y轴的
长半轴，x0、y0是椭圆圆心坐标。

二元函数微分引言在微积分中，函数是一种非常重要的概念。

函数的微分是微积分中的基本运算之一，它描述了函数在某一点的局部变化率。

在这篇文章中，我们将重点讨论二元函数的微分，即具有两个自变量的函数。

二元函数的定义二元函数是一种接受两个变量作为输入，并产生一个输出的函数。

它可以用以下形式表示：f(x, y)其中，x和y分别是函数的自变量，f(x, y)表示函数的取值。

偏导数在计算二元函数的微分时，我们需要引入偏导数的概念。

偏导数描述了函数在每个自变量上的变化率。

偏导数的定义偏导数表示当一个变量变化时，函数在该变量上的变化率。

对于二元函数f(x, y)，它的偏导数可以用以下符号表示：∂f/∂x 和∂f/∂y其中，∂表示偏导数的符号。

计算偏导数计算偏导数时，我们将其中一个自变量视为常数，对另一个自变量求导。

例如计算∂f/∂x时，将y视为常数，对x求导。

在计算过程中，需要注意一些求导的规则： - 对于多项式函数，我们可以直接按照求导公式进行计算。

- 对于幂函数，将指数乘到系数上，并将指数减1。

- 对于三角函数和指数函数，可以利用基本的求导公式进行计算。

全微分全微分是对二元函数的微分的扩展，它不仅考虑了自变量的变化，还考虑了函数本身的变化。

全微分的定义对于二元函数f(x, y)，全微分可以用以下符号表示：df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy其中，dx和dy是自变量x和y的微小变化量。

计算全微分为了计算全微分df，我们需要计算偏导数。

然后，将偏导数乘以自变量的微小变化量，并将结果相加。

全微分可以帮助我们理解函数在局部区域上的变化情况。

通过计算全微分，我们可以确定函数的局部最大值、最小值和驻点等重要信息。

性质和应用二元函数微分有一些重要的性质和应用，下面我们将介绍其中的一些。

偏导数对换对于二元函数f(x, y)，偏导数具有对换的性质，即：∂^2f/∂x∂y = ∂^2f/∂y∂x这一性质在计算偏导数时非常有用，可以大大简化计算过程。

二元函数的微积分学作为数学中的基本概念，函数在现代科学和技术中有着广泛的应用。

在微积分学中，函数的导数和积分是重要的研究对象。

而二元函数的微积分学，则是研究二元函数的一阶和二阶导数以及二重积分的理论和应用。

本文将重点介绍二元函数的微积分学的概念、性质和应用。

一、二元函数的概念及其图像二元函数是指自变量有两个的函数，通常用f(x,y)表示，其中x 和y是两个自变量，f是因变量。

二元函数的定义域是由所有可能的自变量组成的集合，通常用D表示。

对于每一个自变量的组合(x,y)，都有唯一的因变量值f(x,y)。

二元函数的图像是指在平面直角坐标系中，所有满足f(x,y)=k 的(x,y)点的集合。

这时，因变量f(x,y)被看作是平面上某一点的高度，而(x,y)是它的坐标。

例如，二元函数f(x,y)=x^2+y^2的图像是一个抛物面。

因为二元函数的自变量有两个，所以无法将其用一条曲线表示。

但是，可以将其投影在坐标轴上，得到两个函数f(x,y)和g(x,y)。

f(x,y)表示x轴为常数时，y轴上的数值，也就是二元函数的截面；g(x,y)表示y轴为常数时，x轴上的数值，也就是二元函数在y轴上的截面。

二、偏导数和全微分对于二元函数f(x,y)，可以定义其偏导数。

偏导数是指在一个自变量变化时，另一个自变量保持不变的情况下，函数的变化率。

例如，对于二元函数f(x,y)，它的偏导数可以表示为：∂f/∂x = lim [f(x+Δx,y) - f(x,y)]/Δx （y为常数）∂f/∂y = lim [f(x,y+Δy) - f(x,y)]/Δy （x为常数）其中，∂f/∂x表示f在x方向的变化率，∂f/∂y表示f在y方向的变化率。

偏导数的计算类似于一元函数的导数，只需要将其中一个自变量看做常数，进行求导即可。

全微分则是指函数f(x,y)在某个点(x,y)处的微分。

全微分可以表示为：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy其中，dx和dy分别是x和y的微小增量。