概率论与数理统计的习地的题目集及答案详解

;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。

2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。

3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。

4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。

5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。

6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。

7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。

12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。

概率论与数理统计习题（含解答,答案）概率论与数理统计复习题（1）⼀．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。

若A 与B 独⽴，则=-)(B A P ；若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0，则=-)(B A P 。

2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。

3．设),(~2σµN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。

4．1)()(==X D X E 。

若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。

5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。

7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独⽴，则=-<-<-}12{Y X P （⽤Φ表⽰），=XY ρ。

8．已知X 的期望为5，⽽均⽅差为2，估计≥<<}82{X P 。

9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。

10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信⽔平愈愈好，⽽置信区间的长度愈愈好。

但当增⼤置信⽔平时，则相应的置信区间长度总是。

⼆．假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处，当任⼀河流泛滥时，该地区即遭受⽔灾。

设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；⼄河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，⼄河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受⽔灾的概率；（2）当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

三．⾼射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独⽴），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，⼜知若敌机中⼀弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。

概率论与数理统计练习题集及答案1. 某人射击三次，以A 表示事件“第，次击中目标”，则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为()(C) A^ Ay 4 + A 4+4 A> A ( D ) 4 A A2. 掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等丁 8的概率为() (A) —(B) —(C) —(D)—363636363.设随机事件A^B 互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则( (A ) P(A) = 1-P(B) ( B ) P(AB) = P(A)P(B} (D) P(AB) = 1“7" x> 0 ni,i zt 则 EX=(0 x<0(A)斤(X)= ----- , —s < X < +s1 + x"/^(%) =-O0 < X < +cc(A) J 4| + A T +(B) 4 4 + 4 A+ 4 4(C ) P(A + B) = 14.随机变量X 的概率密度为/(%) =(B) 1 (C) 2(A)-25.下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是(D)4(B) F2(X ) = <I + X0 X > 0耳(x) = —+——arctanx , - oo < x < +oo42兀6.己知随机变星X的概率密度为办(JV),令Y = —2X ,则y的概率密度/心）为（（A ） 2办（-2y ） （D ）7 .已知二维随机向量（X,F ）的分布及边缘分布如表（D ） i3&设随机变量X~S1、5],随机变量Y~N （2,4）,且X 与y 相互独立， 贝 ij£(2xy -y)=(EXY=EX EY,则下列结论不正确的是（1.某人射击三次，以4表示事件“第，次击中目标”，则事件“三次（B ）办（-却＞且X 与Y 相互独立，贝显=（ (A) 3(B) 6(C) 10(D) 129.设X 与y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正，若（A ） X 与Y 相互独立 （B ） X 与y 不相关 (C) cov(x,r)= o(D) D(X + r)= DX + Dy答案：1. B2. A 6. D7. D8.C9. A中恰好击中目标一次”的正确表示为（C ）(c) 44 + 4 A 4 + 4 人 42.将两封信随机地投入4个邮筒中，则未向前两个邮筒中投信的概率为（A ）(D)-4!3.设随机事件A •与S 互不相容，且P （A ）＞0,P （B ）＞0,则（D ） (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) P (AIB) = ^^(D) P(AIB) = O/心）为（D ）（A ） 3A （-3y ） （B ） A （-|）（07 .己知二维随机向暈（x,y ）的分石弋边缘分布如表(A) J 4| + A T +(B ) 4 Ay + 4 & + A 4(A) P(A\B) = P(A) 4.随机变量X 的概率密度为/（x ）=： X e(O,rt)，则£；X= ( A )(A)扌(B) 1(C)£(D)35.随机变量X 的分布函数F （x ）= A-(l + Q严2°,则A= ( B )x<0(A) 0 (B) 1(D) 36.己知随机变量X 的概率密度为厶W ， 则y 的概率密度(A) -(B) -(C)-(D)-8483&设随机变量XV 相互独立，且X~饭16,0.5), y 服从参数为9的泊 松分布，则 D(X-2y + l)= ( C )9•设(XM)为二维随机向量，则X 与y 不相关的充分必要条件是(D ) (A) X 与 y 相互独立 (B) E(X + Y) = EX + EY (C) DXY = DX DY (D) EXY = EX • EY一、填空题:L 设是两个随机事件，P(A) = 0.5, P (A + B) = 0.8, (1)若A 与B 互不相容，则P(B) = __________ ； (2)若4与B 相互独立，则P(B)= _______ .2.—袋中装有20个球，其中4个黑球，6个白球，先后两次从袋中各 取一球(不放回).已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的仍 是黑球的概率为 _____ .3. 设离散型随机变量X 的概率分布为P{X=k}=3a , R = l,2,…，则常数d= _________ .4. 设随机变量X 的分布函数为,x<Q,0<x<2,且X 与y 相互独立，贝|^= ( B )(A) -14(B) 13 (C) 40 (D) 41F(x) = iax,x>2 0,P {1<X<3} =5. 设随机变量X 的概率分布为则 £(3X2+3) =46. 如果随机变量X 服从[a,b] h 的均匀分布，且£(X) = 3, D(X) = -,贝ia= ____ , b= _____ .7. 设随机变量X, Y 相互独立，且都服从参数为0.6的0-1分布，则P[X=Y} =8•设X, y 是两个随机变量，E(X) = 2, £(%") = 20,答案:1. 0.3, 0.6 4.5 /2.- 36. 1. 57. 0.52& 212.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码，破译成功的概率依次为，，，则密码能译出的概率为 _____ .则常数d = E(y)=3,F(y-) = 34> Pxr = 0.5 ,则D(X-Y)=5.1.设A^B 是两个随机事件, P(B)= _________ .P(A) = 0・3 , P (AB) = P(A B) > 则3.设随机变量X 的概率分布为P{X=k ］ = -^,k=l, 2,3,4,5,则卩{|<7}=sin X, 0<x<— 贝g21 兀 1 , X > —25•设随机变量X 服从［1,3］上的均匀分布，则丄的数学期望X7. 设X, Y 是两个随机变量,互独立，则X + Y~ _______ •8. ________________ 设随机变量X'X 相互独立，且都服从［0,2］上的均匀分布，则 D （3X,-X,）= .9.设随机变星X 和y 的相关系数为0.5 , E(X)= E{Y) = Q ,E(X-)=E(Y-) = 2,则£(X+Y)2 = _____________ .4•设随机变量X 的分布函数为F{x ）= < 6•设随机变量^2相互独立,则P{X^=X,} =1 2X ， ■11133 ppJ 2 23亍X ~N （O ,32）, 丫~川（1，牢），X 与y 相其概率分布分别为27. Na 5-) 二、有三个箱子，第一个箱子中有3个黑球1个口球，第二个箱子中 有3个黑球3个口球，第三个箱子中有3个黑球5个口球.现随机地 选取一个箱子，再从这个箱子中任取1个球.（1）求取到的是口球的 概率；（2）若已知取出的球是口球，求它属于第二个箱子的概率•解：设事件A 表示该球取自第，个箱子（/ = 1,23）.事件B 表示取 到口球.3 111 3 1 5 11P(B)=zm)p(^-A)=-x-.-x-.-x-=_三. 某厂现有三部机器在独立地工作，假设每部机器在一天内发生故障的概率都是0.2.在一天中，若三部机器均无故障，则该厂可获取 利润2万元；若只有一部机器发生故障，则该厂仍可获取利润1万元; 若有两部或三部机器发生故障，则该厂就要亏损0.5万元.求该厂一 天可获取的平均利润.答案:1. 0.72.4. 0.55.9. 6P(B)设随机变量X 表示该厂一天所获的利润（万元），则X 可能取2JT.5,且P{X=2} = 0・y =0.512,P{X=1} = C ；X O ・2X O ・82 =0.384,P{X=-0・5} = l-0・512-0・384 = 0・104・所以 £(X) = 2x0512 + 1x0384+(-0.5)x0,104 = 1.356 (万元)四、设随机向星（X,Y ）的密度函数为八3）= ｛罗°笃丁 3 ⑴求 P｛X<y ｝；（2）求XM 的边缘密度，并判断X 与y 的独立性.解:P[X < y) = jj f (X,y)dxdy = J= {^2x(1 — x")dx = 0.5 ；x<y由氏（兀）齐0） = /（兀』）知随机变量x,y 相互独立・匸4兀)込=2x, I 0 ,J ；4xydx=2y, 0 ,0<x<l其它0<y<l其它y=2x + i 的密度函数解法一：y 的分布函数为F,(y) = P{r<y} = P{2X + l<>} = P{X<^) = F,(^：两边对y 求导，得解法二：因为y = 2x + l 是OMxMl 上单调连续函数，所以注：x*（y ） = ¥为y = 2x + l 的反函数。

概率论与数理统计第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

概率论与数理统计答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】习题答案第1章三、解答题1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的 (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确.2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = ，P (B ) = ，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少 (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少 解：因为)()()()(B A P B P A P AB P -+≤，又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以(1) 当)()(B A P B P =时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P ==.(2) 1)(=B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=+=. 3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因为)()(B A P AB P =，即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ，所以 .1)(1)(p A P B P -=-=4．已知P (A ) = ，P (A – B ) = ，试求)(AB P ．解：因为P (A – B ) = ，所以P (A )– P(AB ) = , P(AB ) = P (A )– , 又因为P (A ) = ，所以P(AB ) =– =，6.0)(1)(=-=AB P AB P .5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少 解：显然总取法有410C n=种，以下求至少有两只配成一双的取法k ：法一：分两种情况考虑：15C k=24C 212)(C +25C 其中：2122415)(C C C 为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：!2161815C C C k ⋅⋅=+25C其中：!2161815C C C ⋅⋅为恰有1双配对的方法数法三：分两种情况考虑：)(142815C C C k-=+25C其中：)(142815C C C -为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2815C C k=-25C法五：考虑对立事件：410C k=-45C 412)(C其中：45C 412)(C 为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件：!4141618110410C C C C C k ⋅⋅⋅-=其中：!4141618110C C C C ⋅⋅⋅为没有一双配对的方法数所求概率为.2113410==C k p6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．解：(1) 法一：12131025==C C p ，法二：1213102513==A A C p (2) 法二：20131024==C C p ，法二：2013102413==A A C p 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则834)(3341==A M P , 1694)(324232=⨯=A C M P , 1614)(3143==C M P8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少解：设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则3.0)(25232==C C M P ,6.0)(2512131==C C C M P ,1.0)(25221==C C M P 9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：设M 1=“取到两个球颜色相同”，M 1=“取到两个球均为白球”，M 2=“取到两个球均为黑球”，则φ==2121M M M M M 且.所以.2813C C C C )()()()(282328252121=+=+==M P M P M M P M P10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示任取两个数，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间 = {(x ，y )：0 x ，y 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ，y ) ： x + y 6/5} 因此2517154211)(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=Ω=的面积的面积A A P ． 图11．随机地向半圆220x ax y -<<（a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率． 解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，表示原点和该点的连线与x 轴的夹角，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ={(x ，y )：220,20x ax y a x -<<<<}事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π” ={(x ，y )：40,20,202πθ<<-<<<<x ax y a x }因此211214121)(222+=+=Ω=πππa aa A A P 的面积的面积．12．已知21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，求)(B A P ． 解：,1213141)()()(=⨯==A B P A P AB P ,6121121)|()()(=÷==B A P AB P B P 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。

欢迎阅读第一章随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，（6）A、B、C至少有一个发生；（7）A、B、C不多于一个发生；（8）A、B、C至少有两个发生.解所求的事件表示如下欢迎阅读3．在某小学的学生中任选一名，若事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示该生是三年级学生，事件C 表示该学生是运动员，则 （1）事件AB 表示什么？（2）在什么条件下ABC =C 成立？（3）在什么条件下关系式C B ⊂是正确的？ （4）在什么条件下A B =成立？ 解（1（2（3（4立.4．设解 所以 5. 解 则–6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率：A ＝{两球颜色相同}，B ＝{两球颜色不同}.解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为22a b A A +，有利于B 的事件数为1111112a b b a a b A A A A A A +=, 则2211222()()a b a b a ba bA A A AP A P B A A +++==欢迎阅读7. 若10件产品中有件正品，3件次品,（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率.解 （1）设A={取得三件次品} 则33人颗，（2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率； （3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4） 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解(1) 设A={取到的都是白子} 则欢迎阅读3831214()0.25555===C P A C .(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}2184312()0.509==C C P B C .(3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子} ()1()0.745=-=P C P A .(4) 设D={取到三颗子颜色相同}3384+C C 10. （年按（2解(1) (2)11. 将成解 因此有12. 从解 要共有45C 13. 解 设A i = {第i 个零件不合格}，i=1,2,3, 则()1i i P A p i==+ 所以()11i i i P A p i=-=+ 由于零件制造相互独立，有：123123()()()()P A A A P A P A P A =，123123()()()()P A A A P A P A P A =欢迎阅读14.假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.解设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，B i ={第i次击中目标}, i=1,2.则P(A)=0.7, P(B i|A)=0.6 另外B=B1+B2，由全概率公式，件C={产品中次品不超两件}, 由题意由于A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式由Bayes公式故欢迎阅读16.由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.解设B={三件都是好的}，A1={损坏2%}, A2={损坏10%}, A1={损坏P(A2由为17.和（1（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β.解设H i={箱中实际有的次品数}, 0,1,2i, A={通过验收}则P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有：(1)由全概率公式(2)由Bayes公式得欢迎阅读18.一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？（2）至少有三台设备被使用的概率是多少？解设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以第二章 随机变量及其分布1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X 的分律. 解 X 的分布率如下表所示：律？解 由题意, 1()1k f x ∞==∑, 即解得：1(1)C e λ=-7. 已知X的分布律 X －112P162636求：（1）X 的分布函数；（2）12P X ⎛⎫< ⎪⎝⎭；（3）312P X ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭.解 (1) X 的分布函数为()()k k x xF x P X x p ≤=≤=∑(1) P(A) =2232233(2)(1)3(1)P C p p p p -=-=-(2) P(B) =22323333233333(2)(3)(1)(1)32P P C p p C p p p p --+=-+-=- 12. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： 13. （1）每分钟恰有6次呼唤的概率； 14. （2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率.解(1) P(X=6) =6440.104!6!k e e k λλ--==或者P(X=6) = !kek λλ-446744!!k k k k e e k k ∞∞--===-∑∑= 0.21487 – 0.11067 =X~B(1000, 0.003), 由于n 比较大，p 比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此 (1) P(X=2)2330.2242!e -==(2)323(2)1(2)110.80080.1992!k k P X P X e k ∞-=<=-≥=-=-=∑(3)333(2)(2)0.5768!k k P X P X e k ∞-=>=>==∑(4)313(1)0.9502!k k P X e k ∞-=≥==∑17. 设连续型随机变量X 的分布函数为18.20,0(),011,1x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩1/21/1/21111arcsin 1/22663P x x ππππ--⎛⎫⎛⎫<===-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰ (3) X 的分布函数 21. 某城市每天用电量不超过100万千瓦时，以Z 表示每天的耗电率(即用电量除以100万千瓦时)，它具有分布密度为若该城市每天的供电量仅有80万千瓦时，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量为90万千瓦时又是怎样的？解 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为： P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=120.812(1)0.0272x x dx -=⎰如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=120.912(1)0.0037x x dx -=⎰解 由于()()10|10|10222a X a P X a P a X a P --⎛⎫-<=-<-<=<<⎪⎝⎭所以0.952a ⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭查表可得，2a=1.65即 a = 3.325.设某台机器生产的螺栓的长度X服从正态分布N(10.05，0.062)，规定X在范围(10.05±0.12)厘米内为合格品，求螺栓不合格的概率.解由题意，设P为合格的概率，则则不合格的概率=1?P = 0.045626.设随机变量X服从正态分布N(60，9)，求分点x1，x2，使X分别落在(－∞，x1)、(x1，x2)、(x2，+∞)的概率之试求：（1）2X的分布列；（2）x2的分布列.解(1) 2X的分布列如下2X -4 0 4 6(2) x 2的分布列 29. 设X 服从N(0，1)分布，Y ＝｜X ｜的密度函数.解 的反函数为,0h(y)=,x x x x -<⎧⎨≥⎩, 从而可得Y=|X|的密度函数为：当y>0时，222222()()|()'|()|'|yyy Y X X f y f y y f y y e e e---=--+==解 由于ln y x =严格单调，其反函数为(),'()y y h y e h y e ==且, 则 32. 设随机变量X 服从N(μ,2σ)分布，求Y ＝x e 的分布密度. 解 由于x y e =严格单调，其反函数为1()ln ,'(),h y y h y ==且yy>0,则 当0y ≤时()0Y f y =因此221(ln )2,0()0,y Y y f y y μσ--⎧>=≤⎩33. 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布，证明：Y ＝21x e --在区间(0, 1)上服从均匀分布.解 由于21x y e -=-在(0, +∞)上单调增函数，其反函数为：1()ln(1),01,2h y y y =--<<35. 在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3件，用X 表示其中一级品件数，Y 表示其中二级品件数，求： 36. （1）X 与Y 的联合概率分布； （2）X 、Y 的边缘概率分布；（3）X 与Y 相互独立吗？解 根据题意，X 只能取0，1，2，Y 可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：(1) 271310(,),i j k ijC C C p P X i Y j C====其中,3,0,1,2,i j k i ++==0,1,2,3j =P(X=4,Y=4)=1/6+1/6+1/6=1/2.38. 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为(,)arctan arctan 23x y F x y A B C ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,求：（1）系数A 、B 及C ； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X ，Y 的边缘分布函数及边缘概率密度；（4）求：（1）常数A ；（2）X ，Y 的边缘概率密度；（3）(01,02)P X Y <≤<≤.解 (1) 由联合概率密度的性质，可得解得 A=12.(2) X, Y 的边缘概率密度分别为：(3) (01,02)P x y <≤<≤41. 设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为 求 P(X ＋Y ≥1).解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1围的区域G 中, 则 42. 设二维随机变量(X, Y)在图2.20所示的区域G 上服从均匀分布，试求(X, Y)的联合概率密度及边缘概率密度.12153101434求二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律. 解 由独立性，计算如下表46. 设X123Y函数为 求边缘概率密度()X f x 与()Y f y ，并判断随机变量X 与Y 是否相互独立.解 先计算()X f x , 当x <1时, ()0X f x =当x ≥1时,113331222()1y y X f x e dy e x x x+∞--+∞-===⎰再计算()Y f y , 当y <1时, ()0Y f y =当y ≥1时,11132121()1y y y Y f y e dx e e x x+∞---+∞-===⎰可见, (,)()()X Y f x y f x f y =, 所以随机变量X, Y 相互独立49. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为求边缘概率密度()X f x 与()Y f y ，并判断随机变量X 与Y因此, 得Z 的密度函数为： 51. 设随机变量X 和Y 独立，X ～2()N μ,σ，Y 服从［－b ，b ］(b>0)上的均匀分布，求随机变量Z ＝X ＋Y 的分布密度. 解 解法一 由题意，令)/,,[,],z y a t dy dt y b b σσ--==-∈-(则 解法二 52. 设X 服从参数为12的指数分布，Y 服从参数为13的指数分布，且X 与Y 独立，求Z ＝X ＋Y 的密度函数. 解 由题设，X ~12120,0(),0X xx f x e x -≤⎧⎪=⎨>, Y ~13130,0(),0Y xx f y e x -≤⎧⎪=⎨> P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19 P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35 P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28 P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12U∈{0,1,2,3}同理，V=min(X,Y)的分布分别如下V∈{0,1,2}第三章 随机变量的数字特征1. 随机变量X 的分布列为X －1 0 1212P13161611214求E(X)，E(－X ＋1)，E(X 2) 解111111136261243()1012E X =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=5. 设随机变量X 的密度函数为 求E(2X)，E(2x e -). 解(2)2()2x E X xf x dx xe dx ∞∞--∞==⎰⎰6. 对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间［a ，b ］上，求球的体积的数学期望.解 由题意，球的直接D~U(a,b), 球的体积V=()3432D π因此，341()()32bax E V Vf x dx dx b aπ∞-∞⎛⎫== ⎪-⎝⎭⎰⎰ 7. 设随机变量X ，Y 的密度函数分别为 求E(X ＋Y)，E(2X －3Y 2). 解()()()E X Y E X E Y +=+8. 设随机函数X 和Y 相互独立，其密度函数为E(X 1+X 2+…+X 12)=12E(X) = 42D(X 1+X 2+…+X 12) =D(X 1)+D(X 2)+…+D(X 12)=12D(X)=35 12. 将n 只球（1～n 号）随机地放进n 只盒子（1～n 号）中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记X 为配对的个数，求E(X), D(X).解 （1）直接求X 的分布律有些困难，我们引进新的随机变量X k1,0,k k X k ⎧=⎨⎩第只球装入第k 号盒子第只球没装入第k 号盒子,则有：1nkk X X ==∑，X k 服0-1分布因此：11(0)11,(1),kk P X p P X p n n==-=-===解 由切比雪夫不等式, 取27.5, 2.5==εσ, 得 22.52(()7.5)7.545P X E X -≥≤=.16. 在每次试验中，事件A 发生的概率为0.5，如果作100次独立试验，设事件A 发生的次数为X ，试利用切比雪夫不等式估计X 在40到60之间取值的概率解由题意，X~B(100，0.5), 则E(X) = np = 50, D(X) = npq = 25根据切比雪夫不等式, 有253=-=.1100417.设连续型随机变量X的一切可能值在区间［a，b］内，其密度函数为()f x，证明：（1）a≤E(X)≤b；XY矩阵.解由题设，E(XY) = 0×0×0.1+0×1×0.2+1×0×0.3+1×1×0.4 = 0.4cov(X,Y) = E(XY)?E(X)E(Y) = 0.4?0.6×0.7 = ?0.02协方差矩阵为19.设二维随机变量（X，Y）的分布律为X－1 01Y－1 18 1818 0 18 01821. 已知随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)＝E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X,Y)＝12，求(X, Y)的密度函数.解 由题意, 123205===ρ则密度函数为22.设随机变量X和Y相互独立，且E(X)＝E(Y)＝0，D(X)＝D(Y)＝1，试求E((X＋Y)2).解()()22222+=++=++E X Y E X Y XY E X E Y E XY()2()()(2)由于()()222222-=-=D(X)=E(X)E(X)E(X)=1,D(Y)=E(Y)E(Y)E(Y)=1因此有23.设随机变量X和Y的方差分别为25，36，相关系数为0.4，试求D(X＋Y)，D(X－Y).第四章 大数定律与中心极限定理1. 设X i ，i ＝1，2，…，50是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为?＝0.02的泊松分布. 记X ＝X 1＋X 2＋…+X 50，试利用中心限定理计算P(X ≥2). 解 由题意，E(X i ) = D(X i ) = ????????，501ii X X ==∑????????由中心极限定理???1X ==-近似服从标准正态分布解 设X i 表示一部分的长度, i=1, 2, …, 10. 由于X 1, X 2, …, X 10相互独立, 且E(X i ) =2, D(X i )=0.052, 根据独立同分布中心极限定理，随机变量1011(2)(20)0.158kkX X=-=-近似地服从标准正态分布.于是4.计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布.查表得=1.645,解得：n=443即443个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.05的概率5.为了确定事件A的概率，进行了一系列试验. 在100次试验中，事件A发生了36次，如果取频率0.36作为事件A的概率p的近似值，求误差小于0.05的概率.解(删除)6.一个复杂系统由10000个相互独立的部件组成，在系统运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少有89％的部件工作.（1）求系统的可靠度（系统正常运行的概率）；（2）上述系统由n个相互独立的部件组成，而且要求至问该单位总机要安装多少条外线才能以90％以上的概率保证分机使用外线时不等待？解设X为某时刻需要使用外线的户数（分机数），显然X~(200, 0.05)，E(X) = np = 10, D(X) = np(n-p) = 9.5.设k是为要设置的外线的条数，要保证每个要使用外线的用户能够使用上外线，必须有k≥X. 根据题意应有：这里n=200，较大，可使用中心极限定理，近似地有X~N(10, 9.5)：1.29,13.97k ≥≥， 取k = 14即至少14条外线时，才能保证要使用外线的用户都能使用外线的概率大于95%.8. 设μn 为n 重伯努利试验中成功的次数，p 为每次成功的概率，当n 充分大时，试用棣莫弗－拉普拉斯定律证明6的概率保证其中良种的比例与16相差多少？这时相应的良种粒数落在哪个范围？解 设X 为6000粒种子中良种粒数，设所求的差异为p, 则所求的概率为：因为，X ~ B(6000, 1/6), E(X) = np = 1000, D(X) = np(1-p)= 2500/3, 由棣莫弗-拉普拉斯定理，有因此0.995Φ=查表可得 2.575,=解得0.0124p==由于0.0124600074⨯=所以, 良种的粒数大约落在区间(926, 1074)之间.第五章 数理统计的基本概念1. 在总体N(52，632)中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率. 解 由题意，由定理1 (1),~(0,1)N = 2. 在总体N(80，202)中随机抽取一容量为100的样本，求样本均值与总体均值的绝对值大于3的概率是多少？ 解 这里总体均值为?=80, ?=20, n=100, 由定理1(1)1936，1697，3030，2424，2020，2909，1815，2020，2310．采用下面简化计算法计算样本均值和样本方差. 即先作变换2000i i y x =-，再计算y 与2y S ，然后利用第5题中的公式获得x 和2x S 的数值.解做变换后，得到的样本值为：-61，-303，1030，424，20，-91，-185，20，3107.某地抽样调查了1995年6月30个工人月工资的数据，试画出它们的直方图，然后利用组中间值给出经验分布函数.440 444 556 430 380 420 500 430 420 384合计：30 1由于第6组与第9组频数为0，可将其与下一组合并。

概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC =ABC(5) ABC=A B C (6) ABC精彩文案(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1P（AB）=1[P(A)P(A B)]=1[0.70.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=14+14+13112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=5332131313131352C C C C/C8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；精彩文案精彩文案（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1P (A 1)=1(17)59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果： （1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的； （3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P n N 种，n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P mM 种，从NM 件次品中取nm 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P P P m m n mn M N MnN-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成精彩文案P （A ）=C C C m n mM N MnN-- 可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n种，n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m种取法，nm 次取得次品，每次都有N M 种取法，共有（N M ）nm种取法，故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为 ()C 1mn mmnM M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====精彩文案故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C ==(2) 1342111C ()()22245/325p == 16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则3331212333()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+ 22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.32076精彩文案17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+精彩文案0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.从（0，1）中随机地取两个数，求：精彩文案（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ，则0<x ,y <1.（1） x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰ 23.设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ） 【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B AB P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有精彩文案3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P （A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.精彩文案26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？ 【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得精彩文案()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥精彩文案即为 (0.8)0.1n≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32.证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率. 【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3精彩文案由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 3101100C(0.35)(0.65)0.5138kk k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241k k k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：精彩文案224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++（4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） 111p n =-精彩文案(2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a x y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a x y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===精彩文案40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）P （BC ）≤P (A ).【证】 ()[()]()P A P A BC P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+- ()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故精彩文案1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22n n n P A =- 44.掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5 (2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.精彩文案【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1甲反≤n乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”（Sure thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+=47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则精彩文案121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki k ki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n 1是1，2，…，n 中的任n 1个.显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i jnn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)k kn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为精彩文案121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B == 则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212r rrm m m n m nm n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？精彩文案【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n r 次，设n 次取自B 1盒（已空），nr 次取自B 2盒，第2n r +1次拿起B 1，发现已空。

概率论与数理统计课后习题答案一、概率论1.1 基础概念题目1.什么是随机试验？试举例子。

2.什么是样本空间和事件？回答1.随机试验是指具备以下特征的实验：可以在相同条件下重复进行，每次试验的结果不确定，但可能结果（事件）集合已经确定。

例如，抛一枚硬币的结果是正面或反面，掷一个骰子的结果是1、2、3、4、5或6等等。

2.样本空间是指随机试验所有可能结果的集合，用S表示。

事件是指样本空间中的一个或多个结果组成的子集。

例如，抛一枚硬币的样本空间是{正面，反面}，事件可以是{正面}或{反面}，或者样本空间本身。

1.2 概率公理题目1.什么是频率概率和主观概率？2.概率公理中的三条公理是什么？回答1.频率概率是由大量重复试验的结果所呈现的相对频率给出的概率。

它基于频率的思想，认为某个事件发生的概率等于该事件在大量试验中出现的频率。

主观概率是由个人主观判断给出的概率。

它基于主观认知和经验，认为某个事件发生的概率取决于主观评估和信念。

2.概率公理是指概率理论的基本公理系统，包括以下三条公理：–非负性公理：对于任意事件A，其概率P(A)大于等于0。

–规范性公理：样本空间S的概率为1，即P(S) = 1。

–可列可加性公理：对于任意互不相容的事件A1，A2，…，An，即这些事件两两不相容（即任意i≠j，Ai∩Aj=∅），则它们的并事件A=A1∪A2∪…∪An的概率等于各事件概率之和，即P(A) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)。

1.3 条件概率与独立性题目1.什么是条件概率？给出计算条件概率的公式。

2.什么是独立事件？给出判断两个事件独立的条件。

回答1.条件概率是指事件A在另一个事件B已经发生的条件下发生的概率。

条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B) /P(B)，其中P(A∩B)表示A与B的交集的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

2.事件A和事件B是独立事件，指的是事件A的发生与事件B的发生无关。

概率论与数理统计课后习题及答案第1章 三、解答题1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确.2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：因为)()()()(B A P B P A P AB P -+≤，又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以(1) 当)()(B A P B P =时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P ==0.6.(2)1)(=B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因为)()(B A P AB P =，即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ，所以.1)(1)(p A P B P -=-=4．已知P (A ) = 0.7，P (A – B ) = 0.3，试求)(AB P ．解：因为P (A – B ) = 0.3，所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7，所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4，6.0)(1)(=-=AB P AB P .5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有410C n=种，以下求至少有两只配成一双的取法k ：法一：分两种情况考虑：15C k=24C 212)(C +25C 其中：2122415)(C C C 为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：!2161815C C C k ⋅⋅=+25C其中：!2161815C C C ⋅⋅为恰有1双配对的方法数法三：分两种情况考虑：)(142815C C C k -=+25C其中：)(142815C C C -为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2815C C k =-25C法五：考虑对立事件：410C k=-45C 412)(C其中：45C 412)(C 为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件：!4141618110410C C C C C k ⋅⋅⋅-=其中：!4141618110C C C C ⋅⋅⋅为没有一双配对的方法数所求概率为.2113410==C k p 6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．解：(1) 法一：12131025==C C p ，法二：1213102513==A A C p (2) 法二：20131024==C C p ，法二：2013102413==A A C p 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则834)(3341==A M P , 1694)(324232=⨯=A C M P , 1614)(3143==C M P8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 3.0)(25232==C C M P ,6.0)(2512131==C C C M P ,1.0)(25221==C C M P9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：设M 1=“取到两个球颜色相同”，M 1=“取到两个球均为白球”，M 2=“取到两个球均为黑球”，则φ==2121M M M M M 且.所以.2813C C C C )()()()(282328252121=+=+==M P M P M M P M P10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示任取两个数，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间Ω = {(x ，y )：0 ≤ x ，y ≤ 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ，y ) ∈ Ω ： x + y ≤ 6/5} 因此2517154211)(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=Ω=的面积的面积A A P ． 图？11．随机地向半圆220x ax y -<<（a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率．解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，θ表示原点和该点的连线与x 轴的夹角，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 Ω={(x ，y )：220,20x ax y a x -<<<<}事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π” ={(x ，y )：40,20,202πθ<<-<<<<x ax y a x }因此211214121)(222+=+=Ω=πππa aa A A P 的面积的面积．12．已知21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，求)(B A P ． 解：,1213141)()()(=⨯==A B P A P AB P ,6121121)|()()(=÷==B A P AB P B P.311216141)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。

概率论与数理统计试题及答案概率论与数理统计是应用广泛的数学学科，用于研究随机现象的规律与统计推断。

下面为您提供一系列概率论与数理统计试题及答案，希望能对您的学习和理解有所帮助。

题目一：某超市近一周每天销售的商品数量数据如下：23、45、17、34、26、37、19。

1. 请计算这组数据的平均值、中位数和众数。

2. 计算数据的方差和标准差。

答案一：1. 平均值 = (23 + 45 + 17 + 34 + 26 + 37 + 19) / 7 = 26中位数 = 排序后的中间值 = 26众数 = 无，因为没有重复的值2. 计算方差：方差 = [(23-26)² + (45-26)² + (17-26)² + (34-26)² + (26-26)² + (37-26)²+ (19-26)²] / 7= (9 + 361 + 81 + 64 + 0 + 121 + 49) / 7= 140 / 7= 20题目二：一辆汽车在高速公路上行驶，每小时的速度数据如下：100、90、110、80、120。

请计算这组数据的以下统计量：1. 平均速度2. 速度的中位数3. 速度的众数4. 方差和标准差答案二：1. 平均速度 = (100 + 90 + 110 + 80 + 120) / 5 = 1002. 排序后的速度数据为：80、90、100、110、120。

中位数 = 1003. 众数 = 无，因为没有重复的值4. 计算方差：方差 = [(100-100)² + (90-100)² + (110-100)² + (80-100)² + (120-100)²] / 5= (0 + 100 + 100 + 400 + 400) / 5= 200题目三：甲乙两枚硬币独立抛掷一次，甲的硬币正面向上的概率为0.4，乙的硬币正面向上的概率为0.6。

概率论与数理统计练习册 参考答案第1章 概率论的基本概念 基础练习 1.11、C2、C3、D4、A B C ++5、13{|02}42x x x ≤<≤<或，{}12/1|<<x x ，Ω6、{3}，{1,2,4,5,6,7,8,9,10}，{1,2,6,7,8,9,10}，{1,2,3,6,7,8,9,10}7、（1) Ω={正，正，正，正，正，次}，A ={次，正}（2）Ω={正正，正反，反正，反反}，A ={正正，反反}，B={正正，正反}（3） 22{(,)|1}x y x y Ω=+≤,22{(,)|10}A x y x y x =+<<且 （4）Ω={白，白，黑，黑，黑，红，红，红，红}，A={白}，B={黑} 8、（1)123A A A (2)123123123A A A A A A A A A ++ (3)123A A A ++ (4)123123123123A A A A A A A A A A A A +++ (5)123123A A A A A A +9、（1）不正确 （2）不正确 （3）不正确 （4）正确 （5） 正确 （6）正确（7）正确 （8）正确10、（1）原式=()()()A B AB A B AB A B A B B -==+=U U U （2）原式=()()A A B B A B A AB BA BB A +++=+++= （3）原式=()AB AB =∅11、证明：左边=()AAB B A A B B AB B A B +=++=+=+=右边 1.21、C2、B3、B4、0.85、0.256、0.37、2226C C 8、0.081 9、2628C C10、3()()()()()()()()4P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+=11、解：设,,A B C 分别表示“100人中数学，物理，化学不及格的人数” 则{10},{9},{8}A B C ===，{5},{4},{4},{2}AB AC BC ABC ====100()84ABC A B C =-++=12、解：设A 表示“抽取3个球中至少有2个白球”21343437()C C C P A C +=13、解：（1）设A 表示“10件全是合格品”，则109510100()C P A C = (2) 设B 表示“10件中恰有2件次品”，则8295510100()C C P B C = 14、解：（1）设A 表示“五人生日都在星期日”，51()7P A =（2）设B 表示“五人生日都不在星期日”， 556()7P B = （3）设C 表示“五人生日不都在星期日”，55516()177P C =-- 15、解：{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤设A 表示“两人能会到面”，则1{(,)|}3A x y x y =-≤， 所以5()9P A =1.31、0.8，0.252、0.63、0.074、23 5、0.56、注：加入条件()0.4P B =解：()()0.1P AB P A ==，()()0.4P A B P B +==()()0.9P A B P AB +==，()(|)0.25()P AB P A B P B ==7、解：设A 表示"13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”则5332131313131352()C C C C P A C =，8、解：设123,,A A A 分别表示“零件由甲，乙，丙厂生产”，B 表示“零件时次品”则112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.20.050.40.040.40.030.036=⋅+⋅+⋅=9、解：设123,,A A A 分别表示“甲，乙，丙炮射中敌机”， 123,,B B B分别表示“飞机中一门，二门，三门炮”，C 表示“飞机坠毁”。

第一章《随机事件及概率》练习题一、单项选择题1、设事件A 与B 互不相容，且P (A )＞0，P (B )＞0，则一定有（ ）（A ）()1()P A P B =-； （B ）(|)()P A B P A =；（C ）(|)1P A B =； （D ）(|)1P A B =。

2、设事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，则（ ）一定成立 （A ）(|)1()P A B P A =-； （B ）(|)0P A B =；（C ）()1()P A P B =-； （D ）(|)()P A B P B =。

3、设事件A 与B 满足P (A )＞0，P (B )＞0，下面条件（ ）成立时，事件A 与B 一定独立（A ）()()()P AB P A P B =； （B ）()()()P A B P A P B =U ；（C ）(|)()P A B P B =； （D ）(|)()P A B P A =。

4、设事件A 和B 有关系B A ⊂，则下列等式中正确的是（ ）（A ）()()P AB P A =； （B ）()()P A B P A =U ；（C ）(|)()P B A P B =； （D ）()()()P B A P B P A -=-。

5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ）A 与B 互不相容； （B ）A 与B 相容；（C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()P A B P A -=。

6、设A 、B 为两个对立事件，且P (A )≠0，P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ）()()()P A B P A P B =+U ； （B ）()()()P A B P A P B ≠+U ；（C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()()P AB P A P B =。

（完整版）概率论与数理统计习题答案详解版（廖茂新复旦版）概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)习题⼀1.设A，B，C为三个事件，⽤A，B，C的运算式表⽰下列事件：（1）A发⽣⽽B与C都不发⽣；（2）A，B，C⾄少有⼀个事件发⽣；（3）A，B，C⾄少有两个事件发⽣；（4）A，B，C恰好有两个事件发⽣；（5）A，B⾄少有⼀个发⽣⽽C不发⽣；（6）A，B，C都不发⽣.解：（1）A CB或A-B-C或A-（B∪C）.（2）A∪B∪C.（3）（AB）∪（AC）∪（BC）.（4）（AB C）∪（AC B）∪（BC A）.（5）（A∪B）C.（6）CY或CBA IA.B2.对于任意事件A，B，C，证明下列关系式：（1）(A+B) (A+B)(A+ B)(A+B)= ?；（2）AB+A B +A B+A B AB-= AB；（3）A-(B+C)=(A-B)-C.证明：略.3.设A，B为两事件，P（A）=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，求：（1）A发⽣但B不发⽣的概率；（2）A，B都不发⽣的概率；（3）⾄少有⼀个事件不发⽣的概率.解（1）P（A B）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4；(2) P(B A)=P(BA )=1-P(A∪B)=1-0.7=0.3；(3) P(A∪B）=P(AB）=1-P(AB)=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。

购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD 占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。

求下列事件的概率。

（1）⾄少购买⼀种电器的；（2）⾄多购买⼀种电器的；（3）三种电器都没购买的.解：（1）0.28, （2）0.83, （3）0.725.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。

解：8/156.任意将10本书放在书架上。

其中有两套书，⼀套3本，另⼀套4本。

习题二3.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=<<=--==--=4.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==5.（1） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .（2） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑g故 ea λ-=(2) 由分布律的性质知111()N Nk k aP X k a N======∑∑即 1a =.6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=0.2437.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即 2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑B查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p -=-故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mm m p p --44)1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得 24(1),9p -=即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =L L113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+L L321131313()()444444k -=++++g L L 213141451()4==-g 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e |x |, ∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故 12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x xx F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x-=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+= 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-=故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N （3，22），（1） 求P {2<X ≤5}，P {4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2） 确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1） 23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭ 404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 4031.251.29σ≤= 24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.x A B x ,x -⎧+≥>⎨<⎩λλ（1） 求常数A ，B ；（2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩（2） 2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e)e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=,01,2,12,0,x x x x ≤<⎧⎪-≤<⎨⎪⎩其他.求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰1011122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为（1） f (x )=a e λ|x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxxx F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2xλ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0 当0<x <1时0()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时01211()()d 0d d d x xF x f x x x x x x x -∞-∞==++⎰⎰⎰⎰312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ=故 2.33z α= （2） 由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α= 28.设随机变量的分布律为21 0 1 3求=的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====故Y 的分布律为29.设P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+L L242111()()()222111()/(1)443k =++++=-=L L2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1） 求Y =e X的概率密度；（2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=⎰故2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ⎛-⎛⎫=≤=≤≤ ⎪ ⎝⎭⎝()d X f x x =故d ()()d Y Y XX f y F y f f y ⎤⎛==+⎥ ⎥⎝⎦(1)/4,1y y --=>(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+-2/2,0y y -=>32.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为201π()0,Y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项. 【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。

2020年大二概率论与数理统计必考题及答案（含解析）一、单选题1、 设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布，令1231()3Y X X X =++，则2()E Y =A ）1.B ）9.C ）10.D ）6.【答案】C2、设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y 的 A ）不相关的充分条件，但不是必要条件；B ）独立的必要条件，但不是充分条件；C ）不相关的充分必要条件；D ）独立的充分必要条件【答案】C3、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。

则第二人取到黄球的概率是（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5【答案】B4、若X ～211(,)μσ，Y ～222(,)μσ那么),(Y X 的联合分布为A ） 二维正态，且0=ρB ）二维正态，且ρ不定C ） 未必是二维正态D ）以上都不对【答案】C5、设X ～2(,)N μσ,那么当σ增大时，{}P X μσ-<=A ）增大B ）减少C ）不变D ）增减不定。

【答案】C6、设X ～2(,)N μσ,那么当σ增大时，{}P X μσ-<= A ）增大 B ）减少 C ）不变 D ）增减不定。

【答案】C7、掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一点”次数的均值为A ） 50B ） 100C ）120D ） 150【答案】B8、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。

则第二人取到黄球的概率是（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5【答案】B9、设 ()2~,N ξμσ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 为其样本， 下列各项不是 统计量的是（ ）(A)22212321()X X X σ++ (Ｂ)13X μ+ (Ｃ)123max(,,)X X X (D)1231()3X X X ++ 【答案】A10、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ）(A)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率(B)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率(C)在H 00成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率(D)在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率【答案】C二、填空题1、若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α= 【答案】3/72、将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为【答案】4/7! = 1/12603、若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α=【答案】3/74、设总体X ～[]120,,(,,,)n U X X X θ⋅⋅⋅是来自X 的样本，则θ的最大似然估计量是 。