2020-2021学年河南省郑州市枫杨外国语学校九年级上学期第一次月考数学试卷 (含解析)

河南省郑州外国语中学2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知a b =25，则a b b +的值为( )．A ．25B ．35C ．75D ．232．下列命题中，真命题是（ ） A ．两条对角线垂直的四边形是菱形 B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C ．两条对角线相等的四边形是矩形 D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形3．如图，ABC 中，//DE BC ，3AD =，5DB BC ==，则DE 的长为（ ）A ．158B ．3C ．53D ．24．如图，四边形ABCD 是菱形，DH ⊥AB 于点H ，若AC=8cm ，BD=6cm ，则DH=（ ）A ．B ．C ．245cm D ．485cm 5．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m ，宽为4m 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（）A．26m B．27m C．28m D．29m 6．线段MN长为1cm，点P是MN的黄金分割点，则MP的长是( )A B35C 35D．不能确定7．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为( )．A．24 B．25 C．26 D．278．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE BD⊥，垂足为点E，5AE=，且2EO BE=，则OA的长为（）A B．C．D9．如图，一艘船以40k m/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200k m的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500k m，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区A ．10B ．7C ．6D ．1210．已知菱形ABCD ，,E F 是动点，边长为4，,120BE AF BAD =∠=︒ ，则下列结论正确的有几个（ ）①BEC AFC ∆∆≌； ②ECF ∆为等边三角形 ③AGE AFC ∠=∠ ④若1AF =，则13GF GE = A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（3，2），则对角线AC ＝_____．12．不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是_____． 13．在ABC 和DEF 中，若13AB BC CA DE EF FD ===，且ABC 的周长等于6，则DEF 的周长等于__________．14．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点B 落在对角线CF 上，则阴影部分的面积是______．15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为______．三、解答题16．解方程（1）2x2＋3x－1＝0（用配方法解）（2）5x＋2＝3x2（3）（2x＋3）2＝（x －1）217．疫情期间，老师们利用各种直播软件为孩子们进行答疑解惑，给孩子们提供了全方位的帮助和指导，网课的展开也让各种直播软件逐渐进入了大家的视野，初二年级学生会就同学们对各种直播软件的喜爱度展开了调查，随机抽取了部分师生和家长的问卷，并将结果绘制成了不完整的统计图，如图所示，请结合图中的信息解答下列问题：(1)这次调查中，一共抽取了人的问卷；(2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，表示喜欢钉钉直播方式的扇形圆心角的度数为．(3)某班被抽的部分问卷中，学生有5人，3名男生，2名女生，现打算从这5名学生中任意抽取2名学生进行电话采访，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到男女生各一名的概率．18．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝3，∠DAB ＝60°，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD ，AN ． （1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）填空：①当AM 的值为 时，四边形AMDN 是矩形； ②当AM 的值为 时，四边形AMDN 是菱形．19．关于x 的一元二次方程()22210m x x --+=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 为正整数时，取一个合适的值代入求出方程的解．20．2021年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销．经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价0.5元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？21．如图所示，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝16cm ．点D 由点A 出发沿AB 方向向点B 匀速运动，同时点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm /s ．连接DE ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜10），解答下列问题： （1）当t 为何值时，△BDE 的面积为7.5cm 2；（2）在点D ，E 的运动中，是否存在时间t ，使得△BDE 与△ABC 相似？若存在，请求出对应的时间t ；若不存在，请说明理由．22．（操作发现）如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD ＝45°，连接AC，BD交于点M．①AC与BD之间的数量关系为；②∠AMB的度数为；（类比探究）如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算ACBD的值及∠AMB的度数；（实际应用）如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC，求点A、D之间的距离．参考答案1．C【分析】根据比例的性质计算即可；【详解】∵ab=25，∴52755 ++==a bb；故答案选C．【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键．2．D【解析】A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；故选D．3．A【分析】根据已知条件得到AB＝8，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】解：∵AD＝3，BD＝5，∴AB＝8，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝DE：BC，即3：8＝DE：5，∴DE＝158，故选A ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长． 4．C 【分析】根据菱形性质在Rt △ABO 中利用勾股定理求出AB=5，再根据菱形的面积可得AB×DH=12×6×8=24，即可求DH 长． 【详解】由已知可得菱形的面积为12×6×8=24． ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB=90°，AO=4cm ，BO=3cm ． ∴AB=5cm ．所以AB×DH=24，即5DH=24，解得DH=245cm ． 故选C ． 【点睛】主要考查了菱形的性质，解决菱形的面积问题一般运用“对角线乘积的一半”和“底×高”这两个公式． 5．B 【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x ，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】假设不规则图案面积为x ， 由已知得：长方形面积为20，根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：20x， 当事件A 实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A 发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， 综上有：0.3520x=，解得7x =． 故选：B ． 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 6．C 【分析】根据黄金分割点的概念，结合题目要求，列出方程求解即可． 【详解】解：设MP ＝x ，则PN ＝1﹣x ，根据题意得111x xx -=-，解得，x ＝3322-+或＞1（不合题意，舍去），又因为题中没强调MP 是长的一段还是短的一段，所以MP 的长也可以为1． 故选C ． 【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割点的概念. 7．A 【分析】根据题意列方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意得：()21+625m = ∴125m +=或125m +=-（舍去） ∴24m = 故选：A ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，并运用到实际问题中，即可完成求解． 8．C 【分析】由矩形的性质得到：,OA OB =设,BE x = 利用勾股定理建立方程求解x 即可得到答案． 【详解】 解：矩形ABCD ，,OA OB ∴= 2,EO BE =设,BE x =则2,3,OE x OA OB x === AE BD ⊥，222(3)(2)5,x x ∴=+2525,x ∴=x x ∴==OA ∴=故选C ． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 9．B 【分析】首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可． 【详解】解：由题意，作图如下：设x 小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：CE=40x 千米，BB′=20x 千米，∵BC=500km ，AB=300km ，∴AC=400km ，∴AE=400-40x ，AB′=300-20x ，∴AE 2+AB′2=EB′2，即（400-40x ）2+（300-20x ）2=2002，解得：x 11472==，x 230152==（不符合题意，舍去）．故答案为：B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x 的等式是解题关键．10．D【分析】①易证△ABC 为等边三角形，得AC=BC ，∠CAF=∠B ，结合已知条件BE=AF 可证△BEC ≌△AFC ；②得FC=EC ，∠FCA=∠ECB ，得∠FCE=∠ACB ，进而可得结论；③证明∠AGE=∠BFC 则可得结论；④分别证明△AEG ∽△FCG 和△FCG ∽△ACF 即可得出结论.【详解】在四边形ABCD 是菱形中，∵120BAD ∠=︒，∴60=︒∠DAC∵60B ∠=︒∴B DAC ∠=∠∴△ABC 为等边三角形，∴AC BC =又BE AF =，∴BEC AFC ∆∆≌，故①正确；∴FC EC =，FCA ECB ∠=∠∴∠FCE=∠ACB=60°, ∴ECF ∆为等边三角形，故②正确；∵∠AGE+∠GAE+∠AEG=180°，∠BEC+∠CEF+∠AEG=180°，又∵∠CEF=∠CAB=60°, ∴∠BEC=∠AGE ，由①得，∠AFC=∠BEC ，∴∠AGE=∠AFC ，故③正确；∴∠AEG=∠FCG∴△AEG ∽△FCG ， ∴GE GC AE FC=， ∵∠AGE=∠FGC ，∠AEG=∠FCG∴∠CFG=∠GAE=∠FAC ，∴△ACF ∽△FCG ， ∴FC AF GC GF= ∴GF AF GE AE = ∵AF=1，∴BE=1，∴AE=3， ∴13GF GE =，故④正确. 故选D.【点睛】本题主要考查了运用菱形的性质求解，主要的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，是一道好题.11【分析】连接AC，BO，依据点B的坐标为（3，2），即可得到OB ABCO是矩形，即可得出对角线AC的长.【详解】解：如图，连接AC，BO，∵点B的坐标为（3，2），∴OB∵四边形ABCO是矩形，∴AC＝BO【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理，熟知矩形的对角线相等是解答此题的关键.12．1 2【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两次都摸到相同颜色的小球的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有4种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果数为2， 所以两次都摸到相同颜色的小球的概率＝24＝12． 故答案为12． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率． 13．18【分析】根据相似三角形的判定与性质即可得．【详解】 13AB BC CA DE EF FD ===， D F ABC E ~∴，ABC ∴的周长与DEF 的周长之比为1:3，ABC 的周长等于6，DEF ∴的周长为1863=⨯，故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．141【分析】如下图所示，△ENC 、△MPF 为等腰直角三角形，先求出MB=NC=2，证明△PBC ≌△PEC ，进而得到EP=BP ，设MP=x ，则，解出x ，最后阴影部分面积等于2倍△BPC 面积即可求解．【详解】解：过E 点作MN ∥BC 交AB 、CD 于M 、N 点，设AB 与EF 交于点P 点，连接CP,如下图所示，∵B 在对角线CF 上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，∴△ENC 为等腰直角三角形，∴， 又BC=AD=CD=CE ，且CP=CP ，△PEC 和△PBC 均为直角三角形，∴△PEC ≌△PBC(HL)，∴PB=PE ，又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE ， ∴△MPE 为等腰直角三角形，设MP=x ，则，∵MP+BP=MB ，∴2x +=，解得22x -=，∴1=，∴阴影部分的面积=12211)12∆=⨯⨯⨯=⨯=PBC S BC BP ．1．【点睛】 本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E 点作BC 的平行线，再证明△ENC 、△MPF 为等腰直角三角形进而求解线段长.15．1或94．【分析】分两种情况进行讨论：当∠CFE=90°时，△ECF是直角三角形；当∠CEF=90°时，△ECF 是直角三角形，分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可．【详解】分两种情况进行讨论：①如图所示，当∠CFE=90°时，△ECF是直角三角形．由折叠可得：∠PFE=∠A=90°，AE=FE=DE，∴∠CFP=180°，即点P，F，C在一条直线上．在Rt△CDE和Rt△CFE中，CE CE EF ED=⎧⎨=⎩，∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），∴CF=CD=4，设AP=FP=x，则BP=4﹣x，CP=x+4．在Rt△BCP中，BP2+BC2=PC2，即（4﹣x）2+62=（x+4）2，解得：x94=，即AP94=；②如图所示，当∠CEF=90°时，△ECF是直角三角形．过F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，则∠FQE=∠D=90°．又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED，∴∠FEQ =∠ECD ，∴△FEQ ∽△ECD ， ∴FQ QE EF ED DC CE ==，即3345FQ QE ==， 解得：FQ 95=，QE 125=， ∴AQ =HF 35=，AH 95=， 设AP =FP =x ，则HP 95=-x ． ∵Rt △PFH 中，HP 2+HF 2=PF 2， 即（95-x ）2+（35）2=x 2，解得：x =1，即AP =1． 综上所述：AP 的长为1或94． 【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理．解题时注意：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．16．（1） x 1，x 2＝34--； （2） x 1＝2 ，x 2＝13-；（3） x 1＝23-，x 2＝ － 4【分析】（1）配成完成平方公式，再开方解方程；（2）因式分解法解方程；（3）利用平方差公式因式分解，再解方程．【详解】（1）解：231=22x x +， 234x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，x 1＝34-+，x 2＝34--； （2）解：()()-2310x x +=，x 1＝2 ，x 2＝13-；（3）解：()()2312310x x x x ++-+-+=， ()()3240x x ++=，x 1＝23-，x 2＝ － 4． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、因式分解法是关键．17．(1)200；(2)条形统计图见解析，144°；(3)35【分析】（1）根据“其他软件”的人数20人和它的占比10%，求出总人数；（2）用总人数减去已知的几个直播方式的人数，得到“钉钉直播”的人数，再用360︒乘以“钉钉直播”的占比，得到它的圆心角度数；（3）画树状图，找到符合条件的可能性，求出概率．【详解】解：（1）2010%200÷=（人）故答案是：200；（2）20040602080---=（人），喜欢钉钉直播的有80人，80360144200⨯=︒︒， 圆心角为144︒，故答案是：144︒；（3）树状图如图所示：抽到男女生个一名的概率=123205=． 【点睛】 本题考查统计和概率，解题的关键是掌握条形统计图和扇形统计图的特点，能够画出树状图或列表求概率．18．（1）见解析；（2）①1.5；②3．【分析】（1）求出△DNE ≌△AME ，根据全等的性质得出NE ＝ME ，根据平行四边形的判定得出即可；（2）①根据等边三角形的判定得出△ABD 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出DM ⊥AB ，根据矩形的判定得出即可；②求出△ABD 是等边三角形，求出M 和B 重合，根据菱形的判定得出即可．【详解】（1）证明：∵点E 是AD 边的中点，∴AE ＝DE ，∵四边形ABCD 是菱形，∴DC ∥AB ，∴∠DNE ＝∠AME ，在△DNE 和△AME 中DEN AEM DNE AME DE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DNE ≌△AME （AAS ），∴NE ＝ME ，∵AE＝DE，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）解：①当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，理由是：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝3，∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴AD＝BD＝3，∵AM＝1.5，AB＝3，∴AM＝BM，∴DM⊥AB，即∠DMA＝90°，∵四边形AMDN是平行四边形，∴四边形AMDN是矩形，即当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，故答案为：1.5；②当AM＝3时，四边形AMDN是菱形，理由是，此时AM＝AB＝3，即M和B重合，∵由①知：△ABD是等边三角形，∴AM＝MD，∵四边形AMDN是平行四边形，∴四边形AMDN是菱形，故答案为：3．【点睛】本题考查菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解题关键．19．（1）m≤3，m≠2；（2）当m=3时，x1=x2=1【分析】（1）根据方程有实数根可得△≥0，列式即可得到结果．（2）根据（1）可得m的取值范围，根据m是正整数的要求分别计算即可．【详解】解：(1)∵关于x的一元二次方程(m-2)x2-2x+1=0有实数根，∴△=(-2)2-4(m-2)=4-4m+8=12-4m．∵12-4m≥0，∴m≤3，m≠2．(2)∵m≤3且m≠2，∴m=1或3，∴当m=1时，原方程为-x2-2x+1=0. x1，x2.当m=3时，原方程为x2-2x+1=0. x1=x2=1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式应用，根据根的情况列式准确判断参数取值是关键．20．（1）三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%；（2）当口罩每袋降价3元时，五月份可获利1920元【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，根据二月份及四月份口罩的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400＋2×40y）袋，根据总利润＝每袋口罩的销售利润×月销售数量结合五月份可获利1920元，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，依题意，得：256（1＋x）2＝400，解得：x1＝0．25＝25%，x2＝－2．25（不合题意，舍去）．答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400＋2·40y）袋，依题意，得：（14－y－8）（400＋80y）＝1920，化简，得：y2－y－30＝0，解得：y1＝3，y2＝－2（不合题意，舍去）．答：当口罩每袋降价3元时，五月份可获利1920元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．（1）t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）存在时间t为5013或8013秒时，使得△BDE与△ABC相似．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；（2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．【详解】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G如图∴DF∥AG，DFAG＝BDAB∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，∴DF6＝1010t解得DF＝35（10﹣t）∵S△BDE＝12BE•DF＝7.5∴35（10﹣t）•t＝15解得t＝5．答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．（2）存在．理由如下：①当BE ＝DE 时，△BDE 与△BCA ， ∴BE AB ＝BD BC 即10t ＝1016t -， 解得t ＝5013， ②当BD ＝DE 时，△BDE 与△BAC ，BE BC ＝BD AB 即16t ＝1010t -， 解得t ＝8013． 答：存在时间t 为5013或8013秒时，使得△BDE 与△ABC 相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．22．【操作发现】①AC =BD ；②∠AMB =45°；【类比探究】AC BD =，∠AMB =90°；【实际应用】【分析】操作发现:如图（1），证明△COA ≌△DOB （SAS ），即可解决问题．类比探究:如图（2），证明△COA ∽△ODB ，可得AC CO BD OD==，∠MAK ＝∠OBK ，已解决可解决问题．实际应用:分两种情形解直角三角形求出BE ，再利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解：操作发现:如图（1）中，设OA 交BD 于K ．∵∠AOB ＝∠COD ＝45°，∴∠COA ＝∠DOB ，∵OA ＝OB ，OC ＝OD ，∴△COA ≌△DOB （SAS ），∴AC ＝DB ，∠CAO ＝∠DBO ，∵∠MKA ＝∠BKO ，∴∠AMK ＝∠BOK ＝45°，故答案为AC ＝BD ，∠AMB ＝45°类比探究:如图（2）中，在△OAB 和△OCD 中，∵∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD ＝30°，∴∠COA ＝∠DOB ，OC ，OA ， ∴OC OA OD OB=， ∴△COA ∽△ODB ，∴AC CO BD OD ==MAK ＝∠OBK ， ∵∠AKM ＝∠BKO ，∴∠AMK ＝∠BOK ＝90°．实际应用:如图3﹣1中，作CH ⊥BD 于H ，连接AD ．在Rt △DCE 中，∵∠DCE ＝90°，∠CDE ＝30°，EC ＝1，∴∠CEH ＝60°，∵∠CHE＝90°，∴∠HCE＝30°，∴EH＝12EC＝12，∴CH在Rt△BCH中，BH92 ==，∴BE＝BH﹣EH＝4，∵△DCA∽△ECB，∴AD：BE＝CD：EC∴AD＝如图3﹣2中，连接AD，作CH⊥DE于H．同法可得BH＝92，EH＝12，∴BE＝92+12＝5，∵△DCA∽△ECB，∴AD：BE＝CD：EC∴AD＝【点睛】本题属于相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

2020-2021郑州市外国语新枫杨学校九年级数学上期中试题及答案一、选择题1．如图，已知⊙O 的半径为5，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，AB=8，则tan ∠CBD 的值等于（ ）A ．43B ．45C ．35D ．342．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．三角形的外心到三边的距离相等B ．某射击运动员射击一次，命中靶心C ．任意画一个三角形，其内角和是 180°D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若α，β是一元二次方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．20175．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为（ ）A ．1B ．22C ．2D ．2 6．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2 B ．3 C ．－2或3 D ．－2且37．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB 的面积为（ ）A．6B．7C．8D．98．如图，从一张腰长为90cm，顶角为120 的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（）A．15cm B．12cm C．10cm D．20cm9．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（）A．45°B．60°C．45°或135°D．60°或120°10．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．A．2B．4C．6D．811．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的是（）①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④4a+2b+c＜0；⑤a+b＜k．A．①②③B．②③⑤C．②④⑤D．②③④⑤12．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2二、填空题13．已知方程x 2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k=_____．14．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是______．15．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.16．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；17．如图,将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开,再把△ABC 沿着AD 方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.18．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．19．如图所示过原点的抛物线是二次函数2231y ax ax a =-+-的图象，那么a 的值是_____．20．一元二次方程x 2=3x 的解是：________．三、解答题21．某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．（1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？22．小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A ，B ，B ．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．23．某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.24．如图，已知抛物线y=2x -+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．25．如图，在ABC ∆中，67 30AB cm BC cm ABC ==∠=，，, 点P 从A 点出发,以1/cm s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2/cm s 的速度向C 点移动．如果P Q ，两点同时出发，经过几秒后PBQ ∆的面积等于24cm ?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】过B作⊙O的直径BM，连接AM，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C，∴∠MBA=∠CBD，过O作OE⊥AB于E，Rt△OEB中，BE=12AB=4，OB=5，由勾股定理，得：OE=3，∴tan∠MBA=OEBE=34，因此tan∠CBD=tan∠MBA=34，故选D．2．C解析：C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选C．点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．B解析：B【解析】【分析】根据方程的解的定义及韦达定理得出α+β=1、α2-α=2018，据此代入原式=α2-α-2（α+β）+3计算可得．【详解】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，∴α+β＝1、α2﹣α＝2018，则原式＝α2﹣α﹣2（α+β）+3＝2018﹣2+3＝2019，故选：B．【点睛】考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理及方程的解的定义和整体代入思想的运用．5．D解析：D【解析】【分析】【详解】解：连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，∵∠C=45°，∴∠D=45°，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=∠D=45°，∵AB=2，∴BD=2，∴22222222AB BD +=+=∴⊙O 的半径AO=22AD =． 故选D ．【点睛】 本题考查圆周角定理；勾股定理．6．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.7．D解析：D【解析】【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD 的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S 扇形DAB =1lr 2，计算即可．【详解】解：∵正方形的边长为3，∴弧BD 的弧长=6，∴S 扇形DAB =11lr =22×6×3=9． 故选D ．【点睛】 本题考查扇形面积的计算．8．A解析：A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到OE 的长，再利用弧长公式计算出弧CD 的长，设圆锥的底面圆半径为r ，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到r ．【详解】过O 作OE AB ⊥于E ，90120OA OB cm AOB ︒∠＝＝，＝，30A B ︒∴∠∠＝＝，1452OE OA cm ∴＝＝， ∴弧CD 的长1204530180ππ⨯==， 设圆锥的底面圆的半径为r ，则230r ππ＝，解得15r ＝．故选：A ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．9．C解析：C【解析】【分析】首先连接OA ，OB ，由⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，即可求得∠AOB 的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB 的度数．【详解】连接OA ，OB ，∵⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，∴∠AOB=90°，若点P在优弧ADB上，则∠APB=12∠AOB=45°；若点P在劣弧AB上，则∠APB=180°-45°=135°．∴∠APB=45°或135°．故选C．10．B解析：B【解析】【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．【详解】∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13，∵图形的面积是12cm2，∴图中阴影部分的面积之和为4cm2；故答案为B．【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．11．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b＜0且b=-2a．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；∵b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＞0，∴②3a+b＞0正确；∵b=-2a，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，∴④4a+2b+c＜0错误；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD，∴点A的坐标为（c，0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞-1．∴③-1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，得x1=0，x2=k b a -由图象知x2＞1，∴k ba-＞1∴k＞a+b，∴⑤a+b＜k正确，即正确命题的是②③⑤．故选B．12．C解析：C【解析】【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝12×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．二、填空题13．【解析】∵x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根∴△=∴9﹣4k=0∴k=故答案为解析：94 【解析】 ∵x 2﹣3x +k=0有两个相等的实数根，∴△=2(3)410k --⨯⨯=，∴9﹣4k=0，∴k=94． 故答案为94． 14．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示连接HCDF 且HC 与DF 交于点P ∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ∴∠BCF=∠DCG=30解析：3．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示．连接HC 、DF ，且HC 与DF 交于点P∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG∴∠BCF=∠DCG=30°，FC =DC ，∠EFC=∠ADC=90°∠BCG=∠BCD+∠DCG=90°＋30°=120°∠DCF=∠BCG －∠BCF －∠DCG=120°－30°－30°=60°∴△DCF 是等边三角形，∠DFC=∠FDC=60°∴∠EFD=∠ADF=30°，HF=HD∴HC 是FD 的垂直平分线，∠FCH=∠DCH=12∠DCF=30° 在Rt △HDC 中，HD=DC·tan ∠3∵正方形ABCD 的边长为3∴HD=DC·tan ∠DCH=3×tan30°=3×3试题点评：构建新的三角形，利用已有的条件进行组合．15．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=解析：②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−2b a =−1， ∴b=2a ，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时, ax 2+bx+c=2，∴方程ax 2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义. 16．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x 第一次降价后价格变为100（1-x ）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x ）（1-x）即100（1-x）2元从而列出方程求出答案【详解解析：20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元．根据题意，得100（1-x）2=64，即（1-x）2=0.64，解得x1=1.8，x2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为20%．17．4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形设A′D=x 根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x即x(12−x)当x(12−x)=32时解得：x=4或x=8所以AA′=8或AA′=4【解析：4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A′D=x，根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x，即x(12−x)，当x(12−x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA′=8或AA′=4．【详解】设AA′=x,AC与A′B′相交于点E，∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠A=45∘，∴△AA′E是等腰直角三角形，∴A′E=AA′=x，A′D=AD−AA′=12−x，∵两个三角形重叠部分的面积为32，∴x(12−x)=32，整理得,x2−12x+32=0，=4,x2=8，解得x1即移动的距离AA′等4或8.【点睛】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键·. 18．【解析】【分析】画出树状图得出所有情况让从左向右恰好成上中下的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果从上到下的顺序恰好为上册中册下册的结果有1个∴从上到下的顺序恰 解析：16【解析】【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个， ∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 19．-1【解析】∵抛物线过原点∴解得又∵抛物线开口向下∴解析：-1【解析】∵抛物线2231y ax ax a =-+-过原点，∴210a -=，解得1a =±，又∵抛物线开口向下，∴1a =-. 20．x1=0x2=3【解析】【分析】先移项然后利用因式分解法求解【详解】x2=3x x2-3x=0x(x-3)=0x=0或x-3=0∴x1=0x2=3故答案为：x1=0x2=3【点睛】本题考查了解一元二次解析：x 1=0，x 2=3【解析】【分析】先移项，然后利用因式分解法求解．【详解】x2=3xx2-3x=0，x(x-3)=0，x=0或x-3=0，∴x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解三、解答题21．（1）月销售量450千克，月利润6750元；（2）销售单价应定为80元/千克【解析】【分析】（1）销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．那么涨价5元，月销售量就减少50千克．根据月销售利润＝每件利润×数量，即可求解；（2）等量关系为：销售利润＝每件利润×数量，设单价应定为x元，根据这个等量关系列出方程，解方程即可．【详解】（1）月销售量为：500﹣5×10＝450（千克），月利润为：（55﹣40）×450＝6750（元）．（2）设单价应定为x元，得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，解得：x1＝60，x2＝80．当x＝60时，月销售成本为16000元，不合题意舍去．∴x＝80．答：销售单价应定为80元/千克．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．22．这个游戏对双方不公平，理由见解析.【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到卡片字母相同的情况，再利用概率公式即可求得答案.【详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有5种等可能的结果，∴两次摸到卡片字母相同的概率为：59；∴小明胜的概率为59，小亮胜的概率为49，∵59≠49，∴这个游戏对双方不公平.故答案为这个游戏对双方不公平，理由见解析.【点睛】本题考查了树状图法求概率，判断游戏的公平性.23．(1)商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利1008元；(2)每件衬衫应降价20元；(3)不可能.理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答；（2）利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可；（3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．【详解】(1)410205⎛⎫⨯+⎪⎝⎭×(40-4)=1008(元).答：商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元.(2)设每件衬衫应降价x元，根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20，∵要尽量减少库存，∴x=20.答：每件衬衫应降价20元.(3)不可能.理由如下：令(40-x)(20+2x)=1600，整理得x2-30x+400=0，∵Δ=900-4×400<0，∴商场平均每天不可能盈利1600元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．24．(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）.【解析】【分析】（1）首先把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线y=2x -+mx+3，利用待定系数法即可求得m 的值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC 的解析式，继而求得答案．【详解】解：（1）把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线y=2x -+mx+3得：0=23-+3m+3， 解得：m=2，∴y=2x -+2x+3=()214x --+，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，∵点C （0，3），点B （3，0）， ∴033k b b =+⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为：（1，2）．考点：二次函数的性质．25．经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm【解析】【分析】首先构建直角三角形，求出各边长，然后利用面积构建一元二次方程，求解即可.【详解】过点Q 作QE PB ⊥于E ，则90QEB ∠=︒，如图所示：30ABC ∠=︒，2QE QB ∴=12PQB S PB QE ∆∴= 设经过t 秒后PBQ ∆的面积等于2 4cm ， 则62PB t QB t QE t =-==，，． 根据题意，16 4.2t t -=（）212 680,24t t t t -+===，．当4t =时，28,87t =>，不合题意舍去，取2t =． 答：经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm .【点睛】此题主要考查三角形中的动点问题，解题关键是利用面积构建一元二次方程.。

河南省郑州市2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考测试卷（二）一、单选题1．下列性质中正方形具有而矩形不具有的是（ ）A ．对边相等B ．对角线相等C ．四个角都是直角D ．对角线互相垂直 2．下列各方程中：①210x +=；②20ax bx c ++=；③213x x +=；④2314y y +=；⑤()()()()112225x x x x x -+=+-+-一元二次方程的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，ABCD 是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：甲：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（ ）A ．仅甲正确B ．仅乙正确C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误 4．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 的中点，若菱形的周长为20，则OE 的长为（ ）A ．10B ．5C ．2.5D ．15．要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，则参赛球队的个数是( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个6．如图是由8块全等的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形，一只蚂蚁在上面自由爬动，那么蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是（ ）A ．14 B ．38 C ．12 D ．587．一元二次方程22210x mx m ++-=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定8．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE BD ⊥于点E ，若2B A E O A E ∠=∠，则AOB ∠的度数为（ ）A ．18︒B ．54︒C ．70︒D ．72︒9．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，若45BED ∠=︒，则BFC ∠=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°10．如图，在菱形纸片ABCD 中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则EF 的长为（ ）A ．74B ．95C ．1910 D二、填空题11．已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a =． 12．把一元二次方程2x 2﹣x ﹣1＝0用配方法配成a （x ﹣h ）2+k ＝0的形式（a ，h ，k 均为常数），则h 和k 的值分别为13．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且16AC =，12BD =，过点O 作OH AB ⊥，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =．14．如图，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，16AB cm =，6BC cm =，动点P 从点A 出发，以3/cm s 的速度向点B 运动，直到点B 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2/cm s 的速度向点D 运动，当时间为时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ．15．如图，矩形ABCD 中，12AD =，8AB =，E 是AB 上一点，且3EB =，F 是BC 上一动点，若将EBF △沿EF 对折后，点B 落在点P 处，则点P 到点D 的最短距离为．三、解答题16．用适当的方法解下列一元二次方程：(1)2520x x -=；(2)2(2)4x -=；(3)2230x x --=（用配方法）；(4)2810x x -+=．17．已知关于x 的一元二次方程()2x n 3x 3n 0-++=．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有两个不相等的整数根，请选择一个合适的n 值，写出这个方程并求出此时方程的根．18．某校为丰富学生的课余生活，开设了五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A ．音乐社团；B ．书法社团；C ．文学社团；D ．话剧社团；E ．科创社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：(1)本次调查一共抽取了______名学生；请补全条形统计图；(2)求扇形统计图中E 所在扇形圆心角的度数；(3)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲、乙两名同学的概率．19．某大学为改善校园环境，计划在一块长80m ，宽60m 的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为23500m .四周为宽度相等的人行走道，如图，若设人行走道宽为m x ．(1)请列出相应的方程．(2)x 的值可能小于0吗?说说你的理由．(3)x 的值可能大于40吗?可能大于30吗?说说你的理由．(4)你知道人行走道的宽是多少吗?说说你的求解过程．20．又到了脐橙丰收季，某水果超市老板发现今年奉节脐橙和赣南脐橙很受欢迎，今年1月第一周购进奉节脐橙和赣南脐橙两个品种，已知1千克赣南脐橙的进价比1千克奉节脐橙的进价多4元，购买20千克赣南脐橙的价格与购买30千克奉节脐橙的价格相同．(1)今年1月第一周每千克奉节脐橙和赣南脐橙的进价分别是多少元？(2)今年1月第一周，水果超市老板以14元每千克售出奉节脐橙140千克，24元每千克售出赣南脐橙120千克；第二周水果超市老板又以第一周的价格购进一批奉节脐橙和赣南脐橙，为促进奉节脐橙的销量，该水果超市老板决定调整价格，每千克奉节脐橙的售价在第一周的基础上下降0.1m 元，每千克赣南脐橙的售价不变，由于此批奉节脐橙品质较好又便宜，第二周奉节脐橙的销量比第一周增加了4m 千克，而赣南脐橙的销量比第一周减少了0.5m 千克，最终该水果超市第二周销售两种脐橙总共获利2280元，求m 的值．21．如图1，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，8AD =，6BC =，点M 从点D 出发，以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，同时，点N 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP AD ⊥于点P ，连接AC 交NP 于点Q ，连接MQ ．设运动时间为t 秒．(1)AM =______，AP =______．（用含t 的代数式表示）(2)当四边形ANCP 为平行四边形时，求t 的值；(3)如图2，将AQM V 沿AD 翻折，得AKM V ，是否存在某时刻t ，①使四边形AQMK 为为菱形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；②使四边形AQMK 为正方形，则AC =______．22．.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ；（1）如图1，求证：AE CF =；（2）如图2，当30ADB ∠=︒时，连接AF .CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18. 23．如图1，正方形ABCD 的边长为a ，E 为边CD 上一动点（点E 与点C 、D 不重合），连接AE 交对角线BD 于点P ，过点P 作PF ⊥AE 交BC 于点F ．（1）求证：P A ＝PF ；（2）如图2，过点F 作FQ ⊥BD 于Q ，在点E 的运动过程中，PQ 的长度是否发生变化？若不变，求出PQ 的长；若变化，请说明变化规律．（3）请写出线段AB 、BF 、BP 之间满足的数量关系，不必说明理由．。

2020-2021学年九年级（上）月考数学试卷一、选择题（本大题共16小题，共48.0分）1.某班参加课外兴趣小组情况的统计图如图所示，则参加人数最多的兴趣小组是()A. 美术B. 舞蹈C. 书法D. 体育2.若正比例函数y=−2x的图象经过点O(a−1,4)，则a的值为()A. −1B. 0C. 1D. 23.正十边形的每一个内角的度数为()A. 120°B. 135°C. 140°D. 144°4.若A、B、C是不在同一直线上的三点，则以这三点为顶点画平行四边形，可以画()A. 一个B. 两个C. 三个D. 四个5.在函数y=√x+4+x−2中，自变量x的取值范围是()A. x≥−4B. x≠0C. x≥−4且x≠0D. x>−4且x≠06.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为()①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A. ①③B. ②③C. ③④D. ①②③7.在平面直角坐标系中，一次函数y=x−1的图象是()A. B. C. D.8.甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y(km)与行驶时间t(ℎ)的函数图象如图所示，下列说法正确的有()①甲车的速度为50km/ℎ②乙车用了3h到达B城③甲车出发4h时，乙车追上甲车④乙车出发后经过1h或3h两车相距50km．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.某校对八年级300名学生就“分组合作学习”方式的支持程度进行了调查，随机抽取了若干名学生进行调查，并制作统计图，据此统计图估计该校八年级支持“分组合作学习”方式的学生(含非常喜欢和喜欢两种情况)约为()A. 180名B. 210名C. 240名D. 270名10.如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是()A. 2√3B. 3√3C. 4D. 4√311.弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，其图象如图所示，则不挂物体的弹簧长度是()A. 10 cmB. 8 cmC. 7 cmD. 5 cm12.将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为()A. 2cm2B. 4cm2C. 6cm2D. 8cm213.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE：EC=2：1，则线段CH的长是()A. 3B. 4C. 5D. 614.如图1，在等边△ABC中，点E、D分别是AC，BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，连接PE，PD，PC，DE.设AP=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的()A. 线段PDB. 线段PCC. 线段PED. 线段DE15.在平面直角坐标系中，点A、B、C、D是坐标轴上的点且点C坐标是(0,−1)，AB=5，点(a,b)在如图所示的阴影部分内部(不包括边界)，已知OA=OD=4，则a的取值范围是()A. B. C.D.16.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，正确结论的个数为()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）17.如图EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB=4，BC=6，则DF=______．18.如图，直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式x(kx+b)<0的解集为______．19.如图，在矩形ABCD中，M为CD的中点，连接AM、BM，分别取AM、BM的中点P、Q，以P、Q为顶点作第二个矩形PSRQ，使S、R在AB上．在矩形PSRQ中，重复以上的步骤继续画图……若AM⊥MB，矩形ABCD的周长为30，则第n个矩形的边长分别是______，______．三、解答题（本大题共5小题，共43.0分）20.建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种(必选且只选一种)，学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？(2)请通过计算补全条形统计图；(3)如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．21.如图点P(x,y)是第一象限内一个动点，且在直线y=−2x+8上，直线与x轴交于点A．(1)当点P的横坐标为3时，△APO的面积为多少？(2)设△APO面积为S，用含x的解析式表示S，并写出x的取值范围．22.如图，▱ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．23.我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．(1)求A、B两种型号电动自行车的进货单价；(2)若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？24.已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．(1)当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部(顶点A除外)时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是______；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部(顶点A除外)时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：参加舞蹈的人数百分比为1−25%−22%−28%=25%，所以参加体育的人数最多．故选：D．求出参加舞蹈的人数百分比，再比较即可得出答案．本题考查的是扇形统计图，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．2.【答案】A【解析】【分析】由正比例函数图象过点O，可知点O的坐标满足正比例函数的关系式，由此可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将点O的坐标代入正比例函数关系得出关于a的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将点的坐标代入函数解析式中找出方程是关键．【解答】解：∵正比例函数y=−2x的图象经过点O(a−1,4)，∴4=−2(a−1)，解得：a=−1．故选：A．3.【答案】D【解析】解：∵一个十边形的每个外角都相等，∴十边形的一个外角为360÷10=36°．∴每个内角的度数为180°−36°=144°；故选：D．利用正十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出正十边形的每个内角的度数．本题主要考查了多边形的内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和是360度．多边形的内角与它的外角互为邻补角．4.【答案】C【解析】解：已知三点为A、B、C，连接AB、BC、CA，①以AB为平行四边形的对角线，BC、CA为两边可以画出▱ACBD；②以CB为平行四边形的对角线，BA、CA为两边可以画出▱ACEB；③以CA为平行四边形的对角线，BA、CB为两边可以画出▱ABCF；可构成的平行四边形有三个：▱ACBD，▱ACEB，▱ABCF．故选：C．不在同一直线上的三点为A、B、C，连接AB、BC、CA，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个平行四边形．本题考查了画平行四边形的方法，关键是首先确定平行四边形的对角线与两边，再画出图形．5.【答案】C【解析】解：由题意得，x+4≥0，x≠0，解得，x≥−4且x≠0，故选：C．根据二次根式有意义的条件、负整数指数幂列出不等式，解不等式即可．本题考查的是二次根式有意义的条件、负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：①▱ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故①正确；②▱ABCD中，∠BAD=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故②错误；③▱ABCD中，AB=BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③正确；D、▱ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD 是菱形；故④错误．故选：A．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．7.【答案】B【解析】解：一次函数y=x−1，其中k=1，b=−1，其图象为，故选：B．观察一次函数解析式，确定出k与b的符号，利用一次函数图象及性质判断即可．此题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象与性质是解本题的关键．8.【答案】D【解析】解：①甲车的速度为3006=50km/ℎ，故本选项正确；②乙车到达B城用的时间为：5−2=3ℎ，故本选项正确；③甲车出发4h，所走路程是：50×4=200(km)，甲车出发4h时，乙走的路程是：3003×2=200(km)，则乙车追上甲车，故本选项正确；④当乙车出发1h时，两车相距：50×3−100=50(km)，当乙车出发3h时，两车相距：100×3−50×5=50(km)，故本选项正确；故选：D．根据路程、时间和速度之间的关系判断出①正确；根据函数图象上的数据得出乙车到达B城用的时间，判断出②正确；根据甲的速度和走的时间得出甲车出发4h时走的总路程，再根据乙的总路程和所走的总时间求出乙的速度，再乘以2小时，求出甲车出发4h时，乙走的总路程，从而判断出③正确；再根据速度×时间=总路程，即可判断出乙车出发后经过1h或3h，两车相距的距离，从而判断出④正确．本题主要考查了一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义，正确的从函数图象中得到必要的信息是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：根据题意得：300×6+366+36+6+12=210(名)，答：该校八年级支持“分组合作学习”方式的学生约为210名．故选：B．用“分组合作学习”方式所占的百分比乘以该校八年级的总人数，即可得出答案．此题考查了条形统计图和用样本估计总体，关键是根据题意求出抽查人数中“分组合作学习”方式所占的百分比．10.【答案】A【解析】解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，∴DF//BC，∴∠C=90°，∴四边形BCDE是矩形．∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，∴AB=4，∴AC=√42−22=2√3．∴BE=CD=√3．∴四边形BCDE的面积为：2×√3=2√3．故选：A．因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF//BC，所以∠C=90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A=30°，∠C=90°，BC=2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积．本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，以及中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等．11.【答案】D【解析】解：设解析式为y=kx+b，把(5,12.5)(10,20)代入得：{5k+b=12.510k+b=20，解得：{k=1.5b=5，则函数关系式为：y=1.5x+5，当x=0时，y=5．故选：D．根据图象，设出直线解析式为y=kx+b，把(5,12.5)(10,20)代入函数解析式，可得函数关系式为：y= 1.5x+5，求直线与y轴交点即可．此题主要考查了一次函数的应用，关键是设出函数关系式，利用待定系数法求出k、b的值．12.【答案】B【解析】解：如图，以某一部分两正方形重合部分进行探讨，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，∴∠PAF=∠NAE，∴△PAF≌△NAE，∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，而△NAP的面积是正方形的面积的14，而正方形的面积为4cm2，∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．故选B．连接AP、AN，点A是正方形的对角线的交点，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得△PAF≌△NAE，进而可得四边形AENF的面积等于△NAP的面积，同理可得答案．13.【答案】B【解析】解：设CH=x，则DH=EH=9−x，∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=13BC=3，∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即(9−x)2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故选：B．根据折叠可得DH=EH，在直角△CEH中，设CH=x，则DH=EH=9−x，根据BE：EC=2：1可得CE=3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．在直角三角形中，利用勾股定理列出方程进行求解是解决本题的关键．14.【答案】C【解析】解：设边长AC=a，则0<x<a，根据题意和等边三角形的性质可知，当x=14a时，线段PE有最小值；当x=12a时，线段PC有最小值；当x=34a时，线段PD有最小值；线段DE的长为定值．故选：C．设出等边三角形的边长，根据等边三角形的性质确定各个线段取最小值时，x的范围，结合图象得到答案．本题考查的是动点问题的函数图象，灵活运用等边三角形的性质和函数的对称性是解题的关键．15.【答案】D【解析】解：∵AB=5，OA=4，∴OB=√AB2−OA2=3，∴点B(−3,0)．∵OA=OD=4，∴点A(0,4)，点D(4,0)．设直线AD的解析式为y=kx+b，将A(0,4)、D(4,0)代入y=kx+b，{b=44k+b=0，解得：{k=−1b=4，∴直线AD的解析式为y=−x+4；设直线BC的解析式为y=mx+n，将B(−3,0)、C(0,−1)代入y=mx+n，{−3m+n=0n=−1，解得：{m=−13n=−1，∴直线BC的解析式为y=−13x−1．联立直线AD、BC的解析式成方程组，{y=−x+4y=−13x−1，解得：{x=152y=−72，∴直线AD、BC的交点坐标为(152,−72).∵点(a,b)在如图所示的阴影部分内部(不包括边界)，∴−3<a<152．故选：D．根据勾股定理即可得出OB的长度，由此可得出点B的坐标，由OA、OD的长度可得出点A、D的坐标，根据点A、D、B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AD、BC的解析式，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组即可求出其交点的坐标，再根据点(a,b)在如图所示的阴影部分内部(不包括边界)结合点B以及交点的横坐标即可得出结论．本题考查了两条直线相交或平行问题、在数轴上表示不等式的解集、待定系数法求一次函数解析式以及解二元一次方程组，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．16.【答案】B【解析】解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，∵CE=DF，∴AD−DF=CD−CE，即AF=DE，在△ABF和△DAE中，{AB=AD ∠BAF=∠D=90° AF=DE ，∴△ABF≌△DAE(SAS)，∴AE=BF，故①正确；∠ABF=∠DAE，∵∠DAE+∠BAO=90°，∴∠ABF+∠BAO=90°，在△ABO中，∠AOB=180°−(∠ABF+∠BAO)=180°−90°=90°，∴AE⊥BF，故②正确；假设AO=OE，∵AE⊥BF(已证)，∴AB=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)，∵在Rt△BCE中，BE>BC，∴AB>BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF=S△DAE，∴S△ABF−S△AOF=S△DAE−S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF，故④正确；综上所述，错误的有③．故选：B．根据正方形的性质可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得∠ABF=∠DAE，然后证明∠ABF+∠BAO=90°，再得到∠AOB=90°，从而得出AE⊥BF，判断②正确；假设AO=OE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=BE，再根据直角三角形斜边大于直角边可得BE>BC，即BE>AB，从而判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得S△ABF=S△ADE，然后都减去△AOF的面积，即可得解，从而判断④正确．本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出△ABF和△DAE全等是解题的关键，也是本题的突破口．17.【答案】1【解析】解：∵EF是△ABC的中位线，∴EF//BC，EF=12BC=3，∴∠CBD=∠BDE，∵BD平分∠ABC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=DE，∵AB=4，EF是△ABC的中位线，∴BE=12×4=2，∴DF=EF−DE=EF−BE=3−2=1．故答案为：1．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF//BC，EF=12BC，再根据角平分线的性质以及平行线的性质求出∠ABD=∠BDE，根据等角对等边的性质可得BE=ED，然后代入数据进行计算即可得解．本题考查了三角形的中位线定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及等角对等边的性质，熟记性质以及定理，求出DE =BE 是解题的关键．18.【答案】−3<x <0【解析】解：不等式x(kx +b)<0化为{x >0kx +b <0或{x <0kx +b >0，利用函数图象得为{x >0kx +b <0无解，{x <0kx +b >0的解集为−3<x <0，所以不等式x(kx +b)<0的解集为−3<x <0． 故答案为−3<x <0．先把不等式x(kx +b)<0化为{x >0kx +b <0或{x <0kx +b >0，然后利用函数图象分别解两个不等式组．本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y =kx +b 的值大于(或小于)0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y =kx +b 在x 轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．19.【答案】10×(12)n−1； 5×(12)n−1【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD =BC ，∠D =∠C =90° ∵M 为CD 的中点， ∴DM =CM ，∴△ADM≌△BCM(SAS)， ∴AM =BM ， ∵AM ⊥MB ，∴△ABM 是等腰直角三角形， ∴∠MAB =∠MBA =45°， ∴∠DAM =∠CBM =45°， ∴∠DAM =∠DMA ， ∴AD =MD =12CD ， ∵矩形ABCD 的周长为30， ∴CD =10，AD =5，∵P 、Q 分别是AM 、BM 的中点， ∴矩形PSRQ 的长和宽之比为2：1，在△ABM 中，PQ =5，则宽为52，同理可得：第三个矩形的边长为10×(12)2 和5×(12)2， 则可得：第n 个矩形的边长分别是10×(12)n−1，5×(12)n−1． 故答案为：10×(12)n−1，5×(12)n−1．根据四边形ABCD 是矩形，M 为CD 的中点，AM ⊥MB ，可得AM =BM ，即可证明AD =MD =12CD ，进而可求出矩形的边长为CD =10，AD =5，再根据P 、Q 分别是AM 、BM 的中点，可得矩形PSRQ 的长和宽之比为2：1，可得第二个矩形的边长为PQ =5，宽为52，第三个矩形的边长为10×(12)2 和5×(12)2，进而可得第n 个矩形的边长．本题考查了规律型−图形的变化类，解决本题的关键是利用矩形的性质和三角形中位线定理，难度较大．20.【答案】解：(1)根据题意得：18÷30%=60(名)，答：在这次调查中，一共抽取了60名学生；(2)60−(18+9+12+6)=15(名)，则本次调查中，选取国防类书籍的学生有15名， 补全条形统计图，如图所示：(3)根据题意得：1500×960=225(名)， 答：该校最想读科技类书籍的学生有225名．【解析】(1)由最想读教育类书籍的学生数除以占的百分比求出总人数即可； (2)确定出最想读国防类书籍的学生数，补全条形统计图即可；(2)求出最想读科技类书籍的学生占的百分比，乘以1500即可得到结果．此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．21.【答案】解：(1)∵令y =0，则−2x +8=0，解得x =4，∴OA=4，∵点P(x,y)是第一象限内一个动点，且在直线y=−2x+8上，∴当x=3时，y=(−2)×3+8=2，∴S△APO=12×4×2=4；(2)∵点P(x,−2x+8)，∴S△APO=12OA×(−2x+8)=12×4×(−2x+8)=−4x+16(0<x<4)．【解析】(1)根据一次函数的解析式求出A点坐标，故可得出OA的长，再把x=3代入直线y=−2x+8求出y的值，故可得出△APO的面积；(2)设点P(x,−2x+8)，根据三角形的面积公式用x表示出S即可．本题考查的是一次函数的性质及三角形的面积．熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．22.【答案】证明：(1)∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，∵DE//AD′，∴∠DEA=∠EAD′，∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，∴∠DAD′=∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE=AD′，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB//DC，∴CE=D′B，CE//D′B，∴四边形BCED′是平行四边形；∵AD=AD′，∵AB=2，AD=1，∴AD=AD′=BD′=CE=BC=1，∴▱BCED′是菱形，(2)∵四边形DAD′E是菱形，∴D与D′关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，∵CD//AB，∴∠DAG=∠CDA=60°，∵AD=1，∴AG=12，DG=√32，∴BG=52，∴BD=√DG2+BG2=√7，∴PD′+PB的最小值为√7．【解析】(1)利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形，根据折叠的性质得到AD=AD′，然后又菱形的判定定理即可得到结论；(2)由四边形DAD′E是平行四边形，得到▱DAD′E是菱形，推出D与D′关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，解直角三角形得到AG=12，DG=√32，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23.【答案】解：(1)设A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元(x+500)元．由题意：50000x=60000x+500，解得x=2500，经检验：x=2500是分式方程的解．答：A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元3000元．(2)y=300m+500(30−m)=−200m+15000；(3)设购进A型电动自行车m辆，∵最多投入8万元购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元，∴2500m+3000(30−m)≤80000，解得：m≥20，∴m的取值范围是：20≤m≤30，∵y=300m+500(30−m)=−200m+15000，∵−200<0，∴m=20时，y有最大值，最大值为11000元．【解析】(1)设A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元(x+500)元，构建分式方程即可解决问题；(2)根据总利润=A型的利润+B型的利润，列出函数关系式即可；(3)利用一次函数的性质即可解决问题；本题考查一次函数的应用、分式方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】MN=BM+DN【解析】解：(1)①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN.理由如下：在△ADN与△ABM中，{AD=AB∠ADN=∠ABM=90°DN=BM，∴△ADN≌△ABM(SAS)，∴AN=AM，∠NAD=∠MAB，∵∠MAN=135°，∠BAD=90°，∴∠NAD=∠MAB=12(360°−135°−90°)=67.5°，作AE⊥MN于E，则MN=2NE，∠NAE=12∠MAN=67.5°．在△ADN与△AEN中，{∠ADN=∠AEN=90°∠NAD=∠NAE=67.5°AN=AN，∴△ADN≌△AEN(AAS)，∴DN=EN，∵BM=DN，MN=2EN，∴MN=BM+DN．故答案为：MN=BM+DN；②如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由如下：延长NC到点P，使DP=BM，连结AP．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABM=∠ADC=90°．在△ABM与△ADP中，{AB=AD∠ABM=∠ADP=90°BM=DP，∴△ABM≌△ADP(SAS)，∴AM=AP，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠4=90°，∴∠3+∠4=90°，∵∠MAN=135°，∴∠PAN=360°−∠MAN−(∠3+∠4)=360°−135°−90°=135°．在△ANM与△ANP中，{AM=AP∠MAN=∠PAN=135°AN=AN，∴△ANM≌△ANP(SAS)，∴MN=PN，∵PN=DP+DN=BM+DN，第11页，共11页∴MN =BM +DN ；(2)如图3，以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDA =∠DBA =45°， ∴∠MDA =∠NBA =135°． ∵∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°， ∴∠1=∠3．在△ANB 与△MAD 中， {∠ABN =∠MDA =135∘∠1=∠3， ∴△ANB∽△MAD ， ∴BN AD=ABMD，∴AB 2=BN ⋅MD ， ∵AB =√22DB ， ∴BN ⋅MD =(√22DB)2=12BD 2，∴BD 2=2BN ⋅MD ，∴MD 2+2MD ⋅BD +BD 2+BD 2+2BD ⋅BN +BN 2=MD 2+BD 2+BN 2+2MD ⋅BD +2BD ⋅BN +2BN ⋅MD ，∴(MD +BD)2+(BD +BN)2=(DM +BD +BN)2， 即MB 2+DN 2=MN 2，∴以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是直角三角形．(1)①如图1，先利用SAS 证明△ADN≌△ABM ，得出AN =AM ，∠NAD =∠MAB ，再计算出∠NAD =∠MAB =12(360°−135°−90°)=67.5°.作AE ⊥MN 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质得出MN =2NE ，∠NAE =12∠MAN =67.5°.再根据AAS 证明△ADN≌△AEN ，得出DN =EN ，进而得到MN =BM +DN ；②如图2，先利用SAS 证明△ABM≌△ADP ，得出AM =AP ，∠1=∠2=∠3，再计算出∠PAN =360°−∠MAN −(∠3+∠4)=360°−135°−90°=135°.然后根据SAS 证明△ANM≌△ANP ，得到MN =PN ，进而得到MN =BM +DN ；(2)如图3，先由正方形的性质得出∠BDA =∠DBA =45°，根据等角的补角相等得出∠MDA =∠NBA =135°.再证明∠1=∠3.根据两角对应相等的两三角形相似得出△ANB∽△MAD ，那么BN AD =ABMD ，又AB =AD =√22DB ，变形得出BD 2=2BN ⋅MD ，然后证明(MD +BD)2+(BD +BN)2=(DM +BD +BN)2，即MB 2+DN 2=MN 2，根据勾股定理的逆定理即可得出以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是直角三角形．本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，补角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线，利用数形结合是解(1)小题的关键，证明△ANB∽△MAD 是解(2)小题的关键．。

BA GEF DBCA 郑州枫杨外国语中学2022-2023学年九年级上期开学考试数学试卷时间：90分钟 满分：120分一、选择题(每题3分，共30分)1.在学习《图形变化的简单应用》这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案.下列设计的图案中，是中心对称图形不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2.下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A .对角线互相垂直B .对角线互相平分C .对角线相等D . 四个角都是直角 3把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，请问这个多边形原来的边数为( ) A .9 B .10 C .11 D .以上都有可能4.为响应国家传统文化进校园的号召，某校准备购进一批毕加索笔来奖励经典诵读优秀生.某文具超市为让利给学校，经过两次降价，每支毕加索笔单价由121元降为100元，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得( )A .121(1-x 2)=100B . 121(1+x )2=100C . 121(1-2x )=100D . 121(1-x )2=100 5.已知关于x 的方程3x =3k x的解是正整数，且k 为整数，则k A .0 B . -2 C . 0或6 D . -2或66. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD 的顶点A ，B (2，0)，点D 在y 轴上，则点C 的坐标是( )A .(5，4)B .(4，5)C .(4，4)D .(5，3)7.如图，已知∠BAC =60°，AD 是角平分线且AD =10，作AD 的垂直平分线交AC 于点F ，作DE ⊥AC ，则△DEF 的长为()A . 10 BC . D8.如图，在平行四边形ABCD 中，将△ABC 沿着AC 得到△AB 'C ，B 'C 交AD 于点E ，连接B 'D ，若∠B =60°，∠ACB ACB ，D 的长是( )A .2 BC D .9. 如图，A ，B 为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格 点矩形，在此图中以A ，B 为顶点的格点矩形共可以画出( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个10.如图，正方形ABCD 的边长为10，E 为AD 的史点，连接CE ，过点B 作BF ⊥CE 交CD 于点F ，垂足为G，连接AG 、DG ，下列结论：①BF =CE；②MG =CD ； ③∠CDG =∠AGE ；④EG ；⑤DG .其中在确结论有( ) A . ①②④ B ．②③⑤ C ． ①②⑤ D ．①④⑤GE FDB CAGEF DBCA二、填空题(每题3分，共15分)11. 对于非零的两个实数a ，b ，规定a ✞b =a 3-ab ，那么将a ✞16进行分解因式的结果为 . 12. 已知关于x 的不等式组2311142x x a --≤⎧⎪⎨--≤⎪⎩无实数解，则a 的取值范围是 .13.已知△MBC ∽△A ，B ，C ，，AD 和A ，D 是对应的角平分线，若AD ：AD '=4:3，△ABC的周长为16，则△AB 'C 的周长是 .14.如图在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，CF 交BE 于点G ，若BE =8，则GE = .15. 如图，矩形ABCD 中，点P 、Q 分别是边AD 和BC 的中点，沿过C 点的直线折 叠矩形ABCD 使点B 落在线段PQ 上的点F 处，折痕交AB 边于点E ，交线段PQ 于点G ，若BC 长为3，则线段FG 的长为 .三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16. (8分)解方程： ⑴22x x +-1xx -=1 ⑵x 2-4x +1=017.(9分)先化简(213a a ---a -1)÷2169a a a +-+，然后从-1，0，1，3中选一个合适的数作为a 的值代入求值.18.(9分)如图，在网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，△ABC 的顶点都在格点上，A ，B ，C 三点的坐标分别为(-1，0)，(0，3)，(-2，2). ⑴将△ABC 向右平移3个单位长度，得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；⑵以点O 为对称中心，画出△A 1B 1C 1的中心对称图形△A 2B 2C 2；⑶在⑴问的平移过程中，△ABC 扫过的图形面积为 .H G E FD B C A 19.(9分)已知：关于x 的一元二次方程x 2-(2k +3)x +k 2+3k +2=0. ⑴证明无论k 取何值时方程总有两个实数根.⑵△ABC 中，BC =5，AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，求k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？20.(11分)已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形EFGH (即四边形ABCD 的中点四边形).(1)四边形EFGH 的形状是 ，并证明你的结论. (2)当AC 、BD 满足 时，四边形EFGH 是菱形. (3)当AC 、BD 满足 时，四边形EFGH 是矩形.(4)当AC 、BD 满足 时，四边形EFGH 是正方形.21.(9分)某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品.已知购买3件A 种奖品和2件B 种奖品共需130元；购买5件A 种奖品和4件B 种奖品共需230元. (1)求A ，B 两种奖品的单价各是多少元？(2)学校准备购买A ，B 两种奖品共40件，A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13，且购买总费用不超过920元.当购买A 种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？22.(10分)【感知】如图①在△ABC 中，点D 为边BA 延长线上的点，若AD AB =12，过点D 作DE ∥BC 交CA 延长线于点E .若DE =5，求BC 的长.【探究】如图②，在△ABC 中，点D 是边AB 上的点，点E 为边AC 的中点，连接BE 、CD 交于点F ，若DF CF =23.小明尝试探究EF BF 的值，在图②中.小明过点D 作DM ∥AC 交BE 于点M ，易证△DFM ∽△CFE ，则DM CE =DF CF =23.从而得到DM AE 的值为 ，易证△DBM ∽△ABE ，则BM BE =DM AE ，从而得到BM ME 的值为 ，从而得到EFBF的值为 . 【应用】如图③，在△ABC 中，点D 是边AB 上的点，E 为边CA 延长线上的点，连接BE ，延长CD ，交BE 于点F .AD BD =12，AE AC =13，且△ACD 的面积为1，则△BDF 的面积为 .23.(10分) 在平面直角坐标系xOy中，直线y=3x+6分别与x、y轴相交于A、B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC．连接BC交x轴于点D.⑴求点C的坐标；⑵P为x轴上的动点，连接PB，PC，当|PB-PC|的值最大时，求此时点P的坐标．⑶点E在直线AC上，点F在x轴上，若以B、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点F 的坐标；备用图郑州枫杨外国语中学2022-2023学年九年级上期开学考试数学试卷答案参考一、选择题1. C2. A3. D4. D5. D6. A7. B8. D9. D 10. C 二、填空题11. a (a -4)(a +4) 12. a <-2 13. 12 14. 2 15. 3三、解答题16. 解：⑴经检验，x =25是原方程的解； ⑵ x 13，x 2317.解：化简结果=2a -6，∵a -3≠0，a +1≠0， ∴a ≠3，a ≠-1，当a =0时，原式=2×0-6=-6． 18. 解：解：⑴如图，△A 1B 1C 1即为所求； ⑵如图，△A 2B 2C 2即为所求；⑶∵S △ABC =2×3-12×1×2−12×1×3−12×1×2=52，由平移知，△ABC 扫过的面积为S △ABC + 平行四边形AA 1B 1B 的面积=52+3×3=11.5， 故答案为：11.5．19. 解：⑴∵Δ=[-(2k +3)]2-4×1×(k 2+3k +2)=1＞0，∴无论k 取何值时方程总有两个实数根.⑵∵方程x 2-(2k +3)x +k 2+3k +2=0的解为：∴x =(23)1k +±=(23)12k +±，即x 1=k +2，x 2=k +1，∵AB 、AC 是方程的两个实数根，∴AB ≠AC ，∵BC =5，∴当k +2=5，或k +1=5时，△ABC 是等腰三角形， ∴k =3或4．20. ⑴结论：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接AC ，BD ，∵四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴EH ∥BD ，FG ∥BD ，∴EH ∥FG ，同理：GH ∥EF ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． ⑵AC ⊥BD ； ⑶AC =BD ；⑷AC ⊥BD 且AC =BD .21. 解：⑴设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意得：3213054230x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴3020x y =⎧⎨=⎩．∴A 的单价30元，B 的单价20元． ⑵设购买A 奖品m 个，则购买B 奖品为(40-m )个， 由题意可知1(40)33020(40)920m m m m ⎧≥-⎪⎨⎪+-≤⎩，∴10≤m ≤12，P C 'xO y B A DCHx Oy BA DC∴w =30m +20×(40-m )=10m +800(10≤m ≤12)，∵10＞0，∴当m =10时，W 取最小值，最小值为900元．∴购买A 种奖品10件时，购买总费用最少；总费用最少是900元． 22. 解：【感知】如图①中，∵DE ∥BC ，∴△AED ∽△ACB ，∴AD AB =DE BC=12，∵DE =5，∴BC =10． 【探究】如图②中，过点D 作DM ∥AC 交BE 于M ．∵DM ∥EC ，∴△DFM ∽△CFE ， ∴DM CE =DF CF =MF EF =23，∵AE =EC ，∴DM AE =23，∵DM ∥AE ，∴△DBM ∽△ABE ，∴BM BE =DM AE =23，∴BM ME=2， 设MF =2k ，EF =3k ，则BM =10k ，∴BF =12k ，∴EF BF =312k k =14． 故答案为：23，2，14.【应用】如图③中，连接DE ，作AR ∥CF 交BE 于R ． ∵AR ∥CF ，∴ER RF =EA AC =13，∵DF ∥AR ，∴BF RF =BD AD=2， 设ER =m ，FR =3m ，则BF =6m ，EF =4m ， ∴EF FB =46m m =23，∵S △ADC =1，BD =2AD ，AC =3AE ， ∴S △DCB =2，S △DEA =13，∴S △ABC =3，S △AEB =1，∴S △DEB =23， ∴S △BDF =35•S △BDE =25． 故答案为：2523. 解：⑴∵直线y =3x +6与x 、y 轴相交于A 、B 两点，∴A (-2，0)、B (0，6)， ∴OA =2，BO =6，过点C 作CH ⊥x 轴于H ，∵∠CAD +∠BAO =90°，∠BAO +∠ABO =90°，∴∠CAD =∠ABO ， ∴∠AHC =∠BOA =90°，由旋转得AB =AC ，∴△ABO ≌△CAH (AAS ， ∴CH =OA =2，AH =BO =6，∴OH =AH -OA =4， ∴点C 的坐标为(4，-2)；⑵如图，作点C 关于x 轴的对称点C ，，则C ，(4，2),连接BC ，并延长 交x 轴于点P ，则点P 就是所求的最大值点.∵BC ，的解析式为：y =-x +6， ∴P (6，0).⑶∵A (-2，0)，C (4，-2)，B (0，6)， ∴直线AC ：y =-13x -23，直线BC ：y =-2x +6，∴D (3，0).∵以B 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，利用中点坐标公式来解决. 抓对角线来分类讨论：①若BD 是对角线，则EF 是另一对角线，由中点坐标公式，得x B +x D =x E +x F ，y B +y D =y E +y F ，即0+3=x E +x F ，6+0=y E +0，得y E =6，代入E 点所在直线解析式y =-13x -23，解得x E =-20，再代入0+3=x E +x F ，得x F=23，∴F(23，0).②若BE是对角线，则DF为另一对角线，于是x B+x E=x D+x F，y B+y E=y D+y F，即0+ x E=3+ x F，6+y E=0+0，解得y E=-6，代入E点所在直线解析式y=-13x-23，解得x E=16，再代入0+ x E=3+ x F，得x F=13，∴F(13，0)；③若BF是对角线，则DE为另一对角线，于是x B+x F=x D+x E，y B+y F=y D+y E，即0+ x F=3+ x E，6+ 0=0+y E，解得y E=6，代入E点所在直线解析式y=-13x-23，解得x E=-20，再代入0+ x F=3+ x E，得x F=-17，∴F(-17，0)；综上所述，点F的坐标为(-17，0)或(13，0)或(23，0)；。

九年级数学学科假期作业反馈一、选择题（每题3分，共30小题）1.下列说法不正确的是（ ）A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形B.有一个角是直角的平行四边形是矩形C.有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形是正方形D.一组邻边相等的四边形是菱形2.若方程是一元二次方程，则m 值为（ ）A.0B.1C.2D.33.在掷一枚骰子100次的试验中，“偶数朝上”的频数为47，则“偶数朝上”的频率为（ ）A.47B.0.53C.0.47D.534.如图，在中，点D 在边上，过点D 作交于点E .若，，则的值是（ ）A.B.C.D.5.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A. B.C. D.6.如图所示，五线谱由五条等距离的平行横线组成，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）A.4B.5C.6D.77.用配方法解一元二次方程下列变形正确的是（ ）1230m x x -+-=ABC △AB DE BC ∥AC 2AD =3BD =AEAC25123523250(1)182x +=25050(1)50(1)182x x ++++=50(12)182x +=5050(1)50(12)182x x ++++=3BC =AB 2430x x --=A. B. C. D.8.如图，在中，，，于点F ，于点E ，取的中点D ，则的周长是（ ）A.12B.14C.16D.189.关于x 的方程的解是，（a ，m ，b 均为常数，），则方程的解是（ ）A.，B.，C.，D.无法求解10.如图，点P 是正方形的对角线上一点，于点E ，于点F ，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（每题3分，共15小题）11.已知，那么_________________.12.某校九年级组织一次辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），共赛了28场，该校九年级共有多少个班级参加了辩论赛？设该校九年级共有x 个班参加了辩论赛，根据题意，可列方程为____________.13.某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是____________.试验总次数100200300500800100020003000…频率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.3330.333…①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上；②掷一枚质地均匀的骰子。

2023-2024学年河南省郑州外国语中学九年级（上）月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列各组种的四条线段成比例的是( )A. 3cm 、5cm 、6cm 、9cm B. 3cm 、5cm 、8cm 、9cm C. 3cm 、9cm 、10cm 、30cmD. 3cm 、6cm 、7cm 、9cm2.一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其它完全相同的小球，其中有8个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量的重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么估计盒子中小球的个数n 为( )A. 32B. 20C. 15D. 253.根据下列表格的对应值，由此可判断方程x 2+12x−15=0必有一个解x 满足( )x −11 1.1 1.2x 2+12x−15−26−2−0.590.84A. −1<x <1B. 1<x <1.1C. 1.1<x <1.2D. −0.59<x <0.844.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB ，添加下列一个条件，不正确的是( )A. ∠ABP =∠C B. ∠APB =∠ABC C.APAB =ABACD.AP AB =BPBC5.如图，一架3m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙上，M 为AB 中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，OM 的长度将( )A. 变大B. 变小C. 不变D. 先变大后变小6.如图，矩形ABCD 是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB 的长为40m ，边BC 的长为25m ，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m 2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m ，下列方程正确的是( )A. (40−3x)(25−2x)=200 B. (40−4x)(25−2x)=600C. 40×25−80x−100x +8x 2=200D. 40×25−80x−100x =6007.如图，矩形ABCD的两对角线相交于点O，∠AOB=60°，BC=3，则矩形ABCD 的面积为( )A. 33B. 332C. 92D. 948.如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，若CF=5，CE=12，则AP的长是( )A. 10B. 12C. 13D. 1029.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上的点且BE：EC=3：1，AE、BD交于点F，设△BEF的面积为S1，平行四边形ABCD的面积为S2，则S1：S2的值为( )A. 17B. 314C. 956D. 21510.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O.点M、N分别是边AD，BC的中点，连接AN，CM.下列结论：①若四边形ANCM是菱形，则AB⊥AC；②若四边形ANCM是矩形，则AB=AC；③若AB⊥AC，则四边形ANCM是矩形；④若AB=AC，则四边形ANCM是菱形．其中正确的是( ) A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①②③④二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x=______ ．12.设m，n分别为一元二次方程x2+2x−999=0的两个实数根，则m2+3m+n= ______．13.在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、6、6，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字，则两次摸到不同数字的概率是______ ．14.如图，在正方形ABCD中，AB=4，E，F分别为边AB，BC中点，连接DE，AF 相交于点G，则△AGE面积为______．15.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD=______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。

GEDFABC郑州枫杨外国语中学2020-2021学年九年级上期开学考试数学试题(时间：90分钟 满分：100分) 一、选择题(共15小题，每题3分，共45分) 1．下列变形属于因式分解的是( )A ．(x +2)(x -2)=x 2-4B ．x -1=x (1-1x)(x ≠0) C ．x 3+2x 2+1=x 2(x +2)+1 D ．x 2-9=(x +3)(x -3) 2．若关于x 的不等式组327x x a -<⎧⎨<⎩的解集是x ＜a ，则a 的取值范围是( )A ．a ＞3B ．a ≥3C ．a ＜3D ．a ≤33．关于x 的方程x 2-4x +m +2=0有一个根为-1，则另一个根为( ) A ．2 B ．-2 C ．5 D ．-54．下列命题中属于真命题的是( )A ．同旁内角的平分线互相垂直B ．相等的角是对顶角C ．同角或等角的补角相等D ．同位角都相等5. 多项式x 2﹣10xy +25y 2+2(x ﹣5y )﹣8分解因式的结果是( )A ．(x ﹣5y +1)(x ﹣5y ﹣8)B ．(x ﹣5y +4)(x ﹣5y ﹣2)C ．(x ﹣5y ﹣4)(x ﹣5y ﹣2)D ．(x ﹣5y ﹣4)(x ﹣5y +2)6．若关于x ，y 的二元一次方程组，4347x y ax y -=-⎧⎨-=⎩的解满足x ﹣y ＜3，则( )A ．a ＜5B ．a ＞5C ．a ＜﹣5D ．a ＞﹣57. 方程x (x -1)=x 的方程的根为( ).A . x =1B . x = 0C . x 1=x 2=1D . x 1=0，x 2=28. 已知菱形的周长为20，一条对角线的长为8，则它的面积为( ) A ．12 B ．20 C ．24 D ．26 9. 已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AB，则AP 的长为( ) A . 2 B. 1 C . 21 D .310. 已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是( )A. AB =CD B . AC =BDC . 当AC ⊥BD 时，它是菱形 D . 当∠ABC =90°时，它是矩形11. 在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点E 在边AD 上，EF ⊥AC 于F ， EG ⊥BD 于G ，则EF +EG 的值是( )A ．4B ．4.8C ．4.5D ．612. 如图，已知双曲线y =kx (k <0)经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D 且与直角边AB 相交于点C ．若△OAC 面积为6，则k 的值为( )A ．5B ．-5C ．4D ．-413. 顺次连接矩形ABCD 各边中点， 所得四边形的形状是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．等腰梯形14. 设a 、b 、c 是△ABC 三边，并且关于x 的方程14x 2-(a +b )x +2ab +c 2=0有两个相等的实数根，判断△ABC 的形状，正确的结论是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形15.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )A .对边平行且相等B .每一条对角线所在直线都是它的对称轴C .内角和等于外角和D .对角线互相平分二、填空题(共5小题，每题3分，共15分)16．已知关于x 的不等式x ﹣12m ＜0有5个自然数解，则m 的取值范围是 ． 17. 已知关于x 的方程21x x --1ax -=32有增根，则常数a ＝______________．18. 已知一等腰三角形的一边长为5，另一边长为方程x 2﹣8x +12=0的根，该等腰三角形的周长为 ． 19.直线y =kx (k <0)与双曲线y =-2x交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点(A 在第二象限)，则2x 1y 2+3x 2y 1的值为 ．20.关于x 的一元二次方程(2k +3)x 2-x -14=0有实数根，则常数k 的取值范围是 ．三、解答题(共40分)21．(6分) 用配方法解方程13x 2-4x +43=0EDA B22. (7分)先化简再求值：(2341x x +--21x -)÷2232x x x +-+-1，其中x 是20251x x +≥⎧⎨-≤-⎩的整数解.23. (8分)如图所示，已知△ADE 中，∠DAE =120°，点B 、C 在边DE 上，△ABC 是正三角形.若DB =4，CE =9，求△ABC 的周长.24.(8分)已知直线y =kx +b 与双曲线y =mx相交于点A (-2，1)、B (1，n ).⑴求这条直线和这条双曲线解析式； ⑵直接写出不等式mx<kx +b 的解集.图1图2图3ADBCEFAD BCE F GAD BCE F G25. (11分)类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在学习和研究中经常用到，如下是一个案例，原题：如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若AF EF =3，求CDCG的值. ⑴尝试探究： 在图1中，过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是 ，CG 和EH 的数量关系是 ，CDCG的值是 ． ⑵类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AF EF =m (m >0) ，求CDCG的值(用含的代数式表示).⑶拓展迁移：如图3，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若ABCD=a ，BC BE =b (a >0，b >0)，则AF EF 的值是 (用含a ，b 的代数式表示).m郑州枫杨外国语中学2020-2021学年九年级上期开学考试数学试题答案参考一、选择题(共15小题，每题3分，共45分)DDCCB DDCCB BDBBB二、填空题(共5小题，每题3分，共15分)16．8＜m≤10 17.-2 18. 12，16或17 19. 10 20. -4≤k≤1且k≠-32三、解答题(共40分)21．(6分)x=6±22. (7分)-3；-3x123.(8分) 18(过程略)24. (8分)⑴y=-x-1；y=-2；⑵x<-2或0<x<1.x25.(11分)⑴AB=3EH；CG=2EH；32m⑵(过程略)2⑶ab。

8 开4 开对开（第7题图）FEN MD CBAG（第8题图）FE DCBAF E D CB A （第15题图）郑州市外国语中学2020—2021年九年级上第一次月考数学试题一、选择题（3分×8=24分）1. 若2y-5x=0，则x ：y 等于（ ）A 2：5B 4：25C 5：2D 25：42. 将一元二次方程24581x x +=化为一样形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A 4，5，81B 4，5，-81C 4，5，0D 24x ，5x ，-813. 用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）A 方程2650x x --=，化为()234x -=；B 方程2220150y y --=，化为()212015y -=；C 方程2890a a ++=，化为()2425a +=；D 方程22670x x --=，化为232324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 4. 小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为（ ） A16 B 13 C 12 D 235. 某品牌运动服经两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是（ ） A ． 560（1+x ）2=315 B ． 560（1﹣x ）2=315 C ． 60（1﹣2x ）2=315 D ． 560（1﹣x 2）=3156. 如图，画线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，在这条垂直平分线上 截取OC=OA ，以A 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于点P ，则线段AP 与AB 的比是（ ） A 32 B 1:3 C 23 D 2:27. 如图所示，一样书本的纸张是在原纸张多次对开得到，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，以此类推.若各种开本的矩形都相似，那么ABAD等于（ ）A 0.618 B22C 2D 28. 如图，正方形ABCD 中，AB=3，点E 在边CD 上，且CD=3DE.将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF.下列结论： ①点G 是BC 中点；②FG=FC ；③EF=FC ；④∠GAE=45°；⑤910FGCS =. 其中正确的有（ ）A 2个B 3个C 4个D 5个二、填空题（3分×7=21分）9. 在比例尺是1:8000的某都市的地图上，A 、B 两所学校的距离是25㎝，则它们的实际距离是 米. 10. 如图，AD ∥BE ∥CF ，直线1l 、2l 与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，23AB BC =，DE=6，则EF= .11. 已知关于x 的一元二次方程()2215320m x x m m -++-+=的一个根是0，则m 的值是 . 12. 已知线段AB=10㎝，C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，则线段CD 的长为 .13.如图，在矩形ABCD 中，AD=2，CD=1，连接AC ，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB 1C 1C ，再连接AC 1，以对角线AC 1为边作矩形AB 1C 1C 的相似矩形AB 2C 2C 1，…，按此规律连续下去，则矩形AB n C n C n ﹣1的面积为 ． 14. 若a b b c c ak c a b+++===，则一次函数y kx k =-在平面直角坐标系内的图像必通过第 象限.15. 如图，矩形ABCD 的边AB=3，Rt △BEF 的直角顶点E 在对角线AC 上，另一顶点F 在边CD 上，若 △BEF 的一个锐角为30°，则BC 的长为 . 三、解答题（共55分）16. （8分）用适当的方法解下列方程：⑴ ()()32530x x -+= ⑵ 2410x x ++=17. （7分）一个不透亮的口袋中装有4个分别标有-1、-2、3、4的小球，它们的形状、大小完全相同.小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为x ；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为y.⑴小红摸出标有数字3的小球的概率是 ；⑵请用列表法或画树状图的方法表示出由x 、y 确定的点P （x ，y ）所有可能的结果；⑶若规定：点P （x ，y ）在第一象限或第三象限小红获胜；点P （x ，y ）在第二象限或第四象限则小颖获胜.请分别求出两人获胜的概率.GFE DCB AQ PBA Oy x18. （6分）如图，△ABC 、△AGF 为等腰三角形，且△BAC ≌△AGF ， ∠BAC=∠AGF=90°.若△BAC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E.请在图中找出两队相似而不全等的三角形， 并选取其中一对进行证明.19. （7分）已知关于x 的一元二次方程()()32x x m --=. ⑴求证：关于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根； ⑵若方程的一个根是1，求m 得值及方程的另一个根.20. （8分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米.点P 从点B 开始沿BA 边向终点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 慈宁宫点A 开始沿AO 边向终点O 以1厘米/秒的速度移动.若P 、Q 同时动身，运动时刻为t （s ）.⑴当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ ⑵当t 为何值时，△APQ 的面积为2cm ？21. （9分）阅读材料：把形如2ax bx c ++的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法. 配方法的差不多形式是完全平方公式的逆写，即2222()a ab b a b ±+=±．例如：()213x -+、()222x x -+、2213224x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭是224x x -+的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）．请依照阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出249x x -+三种不同形式的配方；（2）已知2223240a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值．22. （10分）类比、转化、从专门到一样等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图1，在ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD于点G ，若3AFEF =，求CD CG的值.（1）尝试探究在图1中，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是 ，CG 和EH 的数量关系是 ，CDCG的值是 . （2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若()0AFm m EF =>，则CD CG的值是 （用含m 的代数式表示），试写出解答过程. （3）拓展迁移如图3，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若,(0,0)AB BC a b a b CD BE ==>>，则AFEF的值是 （用含,a b 的代数式表示）.。

河南省郑州市2021年九年级上学期数学第一次月考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020八上·花都期末) 广州市发布2019年上半年空气质量状况，城区PM2.5平均浓度为0.000029克/立方米，0.000029用科学记数法表示为（）A . 2.9B . 2.9C . 2.9D . 2.92. （2分）(2018·安阳模拟) 下列计算正确的是（）A . 4m+2n=6mnB . =±5C . x3y2÷2xy= x2yD . （﹣2xy2）3=﹣6x3y63. （2分） (2020九上·东台期末) 压岁钱由来已久，古称“厌胜钱”、“压祟钱”等．铛铛同学在2019年春节共收到10位长辈给的压岁钱，分别是：100元、200元、100元、50元、400元、300元、50元、100元、200元、400元．关于这组数据，下列说法正确的是（）A . 中位数是200元B . 众数是100元C . 平均数是200元D . 极差是300元4. （2分）如图所示，该几何体的俯视图是（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·铜仁模拟) 一个多边形切去一个角后得到的另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（）A . 6或7或8B . 6或7C . 7或8D . 76. （2分）小明准备用22元钱买笔和笔记本，已知每支笔3元，每本笔记本2元，他买了3本笔记本后，其余的钱用来买笔，那么他最多可以买（）A . 3支笔B . 4支笔C . 5支笔D . 6支笔7. （2分）已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则全面积为（）A . πcm2B . 3πcm2C . 4πcm2D . 7πcm28. （2分）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．则下列结论正确的有（）①∠CBD=∠CEB；②=；③点F是BC的中点；④若=， tanE=．A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）(2018·齐齐哈尔) 如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是（）A . 0点时气温达到最低B . 最低气温是零下4℃C . 0点到14点之间气温持续上升D . 最高气温是8℃10. （2分） (2016九上·大石桥期中) 如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：①b2﹣4ac＞0；②c＞1；③2a﹣b＜0；④a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 1个二、填空题 (共6题；共8分)11. （1分） (2016八上·肇源月考) 82016×0.1252015= ________ ．12. （1分）(2017·龙华模拟) 分解因式：a2b﹣4ab2+4b3=________．13. （1分） (2019九上·南阳月考) 不等式组的最小整数解是________.14. （3分）为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．（1）m=________%，这次共抽取了________名学生进行调查；并补全条形图；（2）请你估计该校约有________名学生喜爱打篮球；15. （1分）已知反比例函数的图像经过点P(2，-1)，则它的解析式为1 ．16. （1分）在矩形ABCD中，AD=2AB，点E在AD上，连接BE、CE，若△BCE是以BC为腰的等腰三角形，则∠AEB的度数为________．三、解答题 (共7题；共73分)17. （5分） (2020八上·汽开区期末) 解方程：18. （15分）(2018·黄冈) 我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为：，每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如下表：x123456789101112z191817161514131211101010（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；（2）若月利润w（万元）=当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？19. （10分）如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若，半径OA=4，求AE的长．20. （10分）(2011·福州) 已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A 停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．21. （8分）(2019·东城模拟) 某年级共有400学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．不同交通方式学生人数分布统计图如图1所示：b．采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如图2所示（数据分成6组：10≤x＜20，20≤x ＜30，30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x≤70）：c．采用公共交通方式单程所花费时间在30≤x＜40这一组的是：30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为________分；（3）请你估计该年级采用公共交通方式上学共有________人，其中单程不少于60分钟的有________人．22. （10分）(2018·铜仁) 如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．（1）求证：DF⊥AC；（2）求tan∠E的值．23. （15分） (2017九上·姜堰开学考) 综合题（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共73分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。

2024-2025学年河南省郑州市郑州枫杨外国语学校数学九年级第一学期开学学业质量监测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列命题中：①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；⑤一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的个数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2、（4分）多项式的一个因式为（）A ．B ．C ．D ．3、（4分）点P 是△ABC 内一点，且P 到△ABC 的三边距离相等，则P 是△ABC 哪三条线的交点（）A ．边的垂直平分线B ．角平分线C ．高线D ．中位线4、（4分）下列关于向量的等式中，不正确的是()A ．OE ED OD +=B ．AB BC CA -=C ．AB AC CB -=D ．0AB BA +=5、（4分）甲、乙两个同学在四次数学模拟测试中，平均成绩都是112分，方差分别是s ＝5，s ＝12，则甲、乙两个同学的数学成绩比较稳定的是（）.A ．甲B ．乙C ．甲和乙一样D ．无法确定6、（4分）如图：在菱形ABCD 中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为（）A ．5B ．10C ．6D ．87、（4分）将一副三角尺按如图的方式摆放，其中l 1∥l 2，则∠α的度数是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°8、（4分）正比例函数y ＝mx 的图象经过点A(m ，4)，且y 的值随x 值的增大而减小，则m ＝()A ．2B ．－2C ．4D ．－4二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 垂直平分BO 于点E ，则AD 的长为_____．10、（4分）从一副扑克牌中任意抽取1张：①这张牌是“A”；②这张牌是“红心”；③这张牌是“大王”．其中发生的可能性最大的事件是_____．（填序号）11、（4分）一根竹子高10尺,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是______尺.12、（4分）当x =__________时，代数式223x x -+取得最小值．13、（4分）如图所示，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥CD 于F ，连接EF ，给出下列四个结论：①AP=EF ；②△APD 一定是等腰三角形；③∠PFE ＝∠BAP ；④EC ，其中正确结论的序号是_______.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）一家公司准备招聘一名英文翻译，对甲、乙和丙三名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩（百分制）如下：应试者听说读写甲82867875乙73808582丙81828079（1）如果这家公司按照这三名应试者的平均成绩（百分制）计算，从他们的成绩看，应该录取谁？（2）如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3∶4∶2∶1的权重确定，计算三名应试者的平均成绩（百分制），从他们的成绩看，应该录取谁？（3）如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照1∶2∶3∶4的权重确定，计算三名应试者的平均成绩（百分制）．从他们的成绩看，应该录取谁？15、（8分）先化简，再求值：22()a b a b a b b a a ab ++÷---，其中a b 、满足||0a =.16、（8分）已知，一次函数443y x =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 和B ．()1求A ，B 两点的坐标，并在如图的坐标系中画出函数443y x =+的图象；()2若点C 在第一象限，点D 在x 轴的正半轴上，且四边形ABCD 是菱形，直接写出C ，D 两点的坐标．17、（10分）某高速公路要对承建的工程进行招标，现在甲、乙两个工程队前来投标，根据两队的申报材料估计：若甲、乙两队合作，24天可以完成；若由甲队单独做20天后，余下的工程由乙队做，还需40天完成，求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？18、（10分）为了提高学生书写汉字的能力．增强保护汉字的意识，我区举办了“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：频数（人组别成绩x分数）第1组25≤x＜304第2组30≤x＜356第3组35≤x＜4014第4组40≤x＜45a第5组45≤x＜5010请结合图表完成下列各题：（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）一组数据3，4，x，6，7的平均数为5，则这组数据的方差______．20、（4分）如图，将ABC∆绕点C按逆时针方向旋转得到DEC∆，使D点落在AB上，若66CAB∠=︒，则BCE∠的大小是______°.21、（4分）定义运算“*”：a*b=a-ab,若1a x=+,b x=，a*b3=-,则x的值为_________．22、（4分）使分式的值为0，这时x=_____．23、（4分）某校对n名学生的体育成绩统计如图所示，则n＝_____人．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）化简求值：22224⎛⎫+÷⎪-+-⎝⎭x x xx x x，其中x=1．25、（10分）先化简，再求值2221(1)11xx x-÷--+，其中2x=-26、（12分）已知：如图，点B ，C ，D 在同一直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，BE 交AC 于点F ，AD 交CE 于点H ，（1）求证：△BCE ≌△ACD ；（2）求证：CF ＝CH ；（3）判断△CFH 的形状并说明理由．一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】根据全等三角形的判定定理逐项分析，作出判断即可．【详解】解：①两直角边对应相等，两直角相等，所以根据SAS可以判定两直角边对应相等的两个直角三角形全等．故①正确；②两锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，因为对应边不一定相等．故②错误；③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据HL判定它们全等．故③正确；④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，可以根据AAS判定它们全等．故④正确；⑤一锐角和一边对应相等的两个直角三角形，可以根据AAS或ASA判定它们全等．故⑤正确．综上所述，正确的说法有4个．故选：C．本题考查了直角三角形全等的判定．直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．2、C【解析】直接提取公因式进而合并同类项得出即可.【详解】则一个因式为:.故选C.此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确合并同类项是解题关键.3、B【解析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上解答．【详解】∵P到△ABC的三边距离相等，∴点P在△ABC的三条角平分线上，∴P是△ABC三条角平分线的交点，故选：B．本题考查的是角平分线的性质，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．4、B【解析】根据平面向量的加法法则判定即可．【详解】A、OE ED OD+=，正确，本选项不符合题意；B、AB BC CA-≠，错误，本选项符合题意；C、AB AC AB CA CA AB CB-=+=+=，正确，本选项不符合题意；D、0AB BA+=，正确，本选项不符合题意；故选B．本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5、A【解析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】∵甲、乙两个同学的平均成绩都是112分，方差分别是S甲2=5，S乙2=12，∴S甲2＜S乙2，∴成绩比较稳定的是甲；故选A．本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6、A【解析】试题分析：根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可知每个直角三角形的直角边，根据勾股定理可将菱形的边长求出．解：设AC与BD相交于点O，由菱形的性质知：AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4在Rt△OAB中，AB===1所以菱形的边长为1．故选A．考点：菱形的性质．7、C【解析】先由两直线平行内错角相等，得到∠A=30°，再由直角三角形两锐角互余即可得到∠α的度数．【详解】解：如图所示，∵l1∥l2，∴∠A=∠ABC=30°，又∵∠CBD=90°，∴∠α=90°﹣30°=60°，故选C ．此题考查了平行线的性质和直角三角形的性质.注意：两直线平行，内错角相等．8、B 【解析】直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．【详解】把x=m ，y=4代入y=mx 中，可得：m=±2，因为y 的值随x 值的增大而减小，所以m=-2，故选B ．本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y=kx （k≠0）的图象为直线，当k ＞0时，图象经过第一、三象限，y 值随x 的增大而增大；当k ＜0时，图象经过第二、四象限，y 值随x 的增大而减小．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、【解析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA ＝AB ＝OB ＝6，得出BD ＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD 即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB ＝OD ，OA ＝OC ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB ，∵AE 垂直平分OB ，∴AB ＝AO ，∴OA ＝AB ＝OB ＝6，∴BD ＝2OB ＝12，学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………∴2263.AD BD AB =-=故答案为：6 3.此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．10、②【解析】根据可能性等于所求情况与总数情况之比即可解题.【详解】解：一副扑克一共有54张扑克牌,A 一共有4张,∴这张牌是“A”的概率是425427=,这张牌是“红心”的概率是1354,这张牌是“大王”的概率是154,∴其中发生的可能性最大的事件是②.本题考查了简单的概率计算,属于简单题,熟悉概率公式是解题关键.11、9120【解析】设折断处离地面的高度是x 尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解.【详解】设折断处离地面的高度是x 尺，根据勾股定理得x 2+32=(10-x)2,解得x=9120故折断处离地面的高度是9120尺.此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.12、1【解析】运用配方法变形x 2-2x+3=（x-1）2+2；得出（x-1）2+2最小时，即（x-1）2=0，然后得出答案．【详解】∵x 2-2x+3=x 2-2x+1+2=（x-1）2+2，∴当x-1=0时，（x-1）2+2最小，∴x=1时，代数式x 2-2x+3有最小值．故答案为:1．此题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，得出（x-1）2+2最小时，即（x-1）2=0，这是解决问题的关键．13、①③④．【解析】连接PC ，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABP=∠CBP=45°，然后利用“边角边”证明△ABP 和△CBP 全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=PC ，对应角相等可得∠BAP=∠BCP ，再根据矩形的对角线相等可得EF=PC ，对边相等可得PF=EC ，再判断出△PDF 倍解答即可．【详解】解：如图，连接PC ，在正方形ABCD 中，∠ABP=∠CBP=45°，AB=CB ，∵在△ABP 和△CBP 中，AB CBABP CBP BP BP⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABP ≌△CBP （SAS ），∴AP=PC ，∠BAP=∠BCP ，又∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，∴四边形PECF 是矩形，∴PC=EF ，∠BCP=∠PFE ，∴AP=EF ，∠PFE=∠BAP ，故①③正确；∵PF ⊥CD ，∠BDC=45°，∴△PDF 是等腰直角三角形，∴PF ，又∵矩形的对边PF=EC ，∴PD=EC ，故④正确；只有点P 为BD 的中点或PD=AD 时，△APD 是等腰三角形，故②错误；综上所述，正确的结论有①③④．故答案为：①③④．本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，但难度不大，连接PC 构造出全等三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1)应该录取丙;(2)应该录取甲；（3）应该录取乙【解析】(1)分别算出甲乙丙的平均数，比较即可；（2）由听、说、读、写按照的比3∶4∶2∶1确定,根据加权平均数的计算方法分别计算不同权的平均数,比较即可；(3)由听、说、读、写按照的比1∶2∶3∶4确定,根据加权平均数的计算方法分别计算不同权的平均数,比较即可.【详解】（1）甲的平均成绩：82+86+78+75=80.254乙的平均成绩：73+80+85+82=804丙的平均成绩：81+82+80+79=80.54∵80.5>80.25>80∴应该录取丙（2）甲的平均成绩：823+864+782+751=82.13+4+2+1⨯⨯⨯⨯乙的平均成绩：733+804+852+821=79.13+4+2+1⨯⨯⨯⨯丙的平均成绩：813+824+802+791=813+4+2+1⨯⨯⨯⨯∵82.1>81>79.1∴应该录取甲（3）甲的平均成绩：821+862+783+754=78.81+2+3+4⨯⨯⨯⨯乙的平均成绩：731+802+853+824=81.61+2+3+4⨯⨯⨯⨯丙的平均成绩：811+822+803+794=80.11+2+3+4⨯⨯⨯⨯∵81.6>80.1>78.8∴应该录取乙.本题考查的是加权平均数的实际应用，熟练掌握加权平均数是解题的关键.15、a b ，【解析】先利用分式的性质和计算法则化简，再通过0a +=求出a 、b 的值，最后代入求值即可.解：原式()2a ab a b a a b a b b -+⎛⎫=-⨯ ⎪--⎝⎭()2a ab b a b b -=⨯-ab=∵0a =∴a =1b =-∴原式31a b ===-16、(1)A ()3,0-，B ()0,4，画图见解析；(2)()5,4C ，()2,0D ．【解析】（1）先求出A,B 两点的坐标，再画函数图象；（2）根据图形，结合勾股定理和菱形性质推出边长，得到C.D 的坐标.【详解】解：()1将0x =代入443y x =+，可得4y =；将0y =，代入443y x =+，可得3x =-；∴点A 的坐标为()3,0-，点B 的坐标为()0,4，如图所示，直线AB 即为所求；()2由点A 的坐标为()3,0-，点B 的坐标为()0,4，可得3AO =，4BO =，Rt AOB ∴中，5AB =，四边形ABCD 是菱形，5BC AB AD ∴===，2OD ∴=，()5,4C ∴，()2,0D ．本题考核知识点：一次函数与菱形.解题关键点：熟记菱形的判定与性质.17、甲队独做需30天，乙队独做需120天【解析】设甲队独做需a天，乙队独做需b天，根据题意可得两个等量关系为：甲工效×工作时间+乙工效×工作时间=1；甲工效×20+乙工效×40=1．列出方程组，再解即可．【详解】设甲队独做需a天，乙队独做需b天．建立方程组24241 20401a ba b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得30120ab=⎧⎨=⎩．经检验a＝30，b＝120是原方程的解．答：甲队独做需30天，乙队独做需120天．本题考查了分式方程（组）的应用．得到工作量1的等量关系是解题的关键．18、（1）16；（2）详见解析；（3）52%【解析】（1）直接总数减去其他组的人数，即可得到a（2）直接补充图形即可（3）先算出不低于40分的人数，然后除以总人数即可【详解】（1）a=50-4-6-14-10=16（2）如图所示.（3）本次测试的优秀率是161050+=52%答：本次测试的优秀率是52%本题主要考查频数分布直方图，比较简单，基础知识扎实是解题关键一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】先由平均数的公式求出x 的值，再根据方差的公式计算即可．【详解】解：数据3，4，x ，6，7的平均数为5，()34x 6755∴++++=⨯，解得：x 5=，∴这组数据为3，4，5，6，7，∴这组数据的方差为：(2222221S [(35)(45)(55)(65)75)25⎤=-+-+-+-+-=⎦．故答案为：1．本题考查方差的定义：一般地设n 个数据，1x ，2x ，n x ⋯的平均数为x ，则方差(222212n 1S [(x x)(x x)x x)n ⎤=-+-+⋯+-⎦，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．20、48°【解析】根据旋转得出AC=DC ，求出∠CDA ，根据三角形内角和定理求出∠ACD ，即可求出答案．【详解】∵将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转，得到△DCE ，点A 的对应点D 落在AB 边上，∴AC=DC ，∵∠CAB=66°，∴∠CDA=66°，∴∠ACD=180°-∠A-∠CDA=48°，∴∠BCE=∠ACD=48°，故答案为：48°．本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用，能求出∠ACD 的度数是解此题的关键．21、±2【解析】先根据新定义得出一元二次方程，求出方程的解即可．【详解】解：由题意可得：x+1-（x+1）•x=-3，-x 2=-4，解得：x=±2，故答案为：±2本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能根据已知得出一元二次方程，题目比较新颖，难度适中．22、1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程，＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.答案为1.考点：分式方程的解法23、1【解析】根据统计图中的数据，可以求得n 的值，本题得以解决．【详解】解：由统计图可得，n ＝20+30+10＝1（人），故答案为：1．本题考查折线统计图，解答本题的关键是明确题意，提取统计图中的有效信息解答．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、3x+2，2.【解析】先将括号内异分母分式通分计算，再将除法变乘法，约分化简，再代入数据计算.【详解】解：原式=2(2)(2)(2)(2)(2)(2)++-+-⋅+-x x x x x x x x x =(32)(2)(2)(2)(2)++-⋅+-x x x x x x x =3x+2，当x=1时，原式=2．本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的通分与约分是解题的关键.25、2,1x -【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【详解】解：原式2(1)11(1)(1)11x x x x x x -+⎛⎫=÷- ⎪+-++⎝⎭211xxx =÷++211x x x+=⋅+2x=当2x =-时，原式2212x ===--【解析】（1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；（2）利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH．（3）由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．【详解】解：（1）∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．又BC=AC、CE=CD，∴△BCE≌△ACD．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH．又BC=AC，∴△BCF≌△ACH．∴CF=CH．（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形．本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．。