2019最新临考回归教材知识点系列(一)

2019年高考数学考前必备知识（回归教材提高找分点）第一部分集合与常用逻辑用语1．设全集为U，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A∪B＝U.2．设全集为U，则∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．3．集合{a1，a2，…，a n}的子集个数共有2n个；真子集有2n－1个；非空子集有2n－1个；非空真子集有2n－2个．4．空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．注意：条件为A⊆B，在讨论的时候不要忘了A＝∅的情况．5．补集思想常用于否定性或正面较复杂问题，注意否定的全集范围．6．充要条件的判定：(1)先分清哪是条件，哪是结论，将条件放在左边，结论放在右边；(2)从条件推到结论，说明条件是充分的；从结论推到条件，说明条件是必要的．(3)与不等式解集有关的问题常转化为集合的包含关系：若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件．注意区分：“甲是乙的充分条件(甲⇒乙)”与“甲的充分条件是乙(乙⇒甲)”．7．“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题，当p与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题，当p与q同为假时为假，其他情况时为真．8．原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价．注意命题p⇒q的否定与它的否命题的区别：命题p⇒q的否定是p⇒綈q；否命题是綈p⇒綈q；命题“p 或q”的否定是“綈p且綈q”；“p且q”的否定是“綈p或綈q”．9．全称量词—“所有的”、“任意一个”等，用∀表示；全称命题p：∀x∈M，p(x)；全称命题p的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)．10．存在量词—“存在一个”、“至少有一个”等，用∃表示；特称命题p：∃x∈M，p(x)；特称命题p 的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．11．常见结论的否定形式第二部分函数与导数1．函数图象与x轴垂线至多一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可有任意个．2．函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象．3．同底数的指数函数与对数函数互为反函数．①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；②如果点(a，b)是原函数图象上的点，那么点(b，a)就是其反函数图象上的点．4．关于复合函数(1)定义域求法：①若f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出；②若f[g(x)]的定义域为[a，b]，求f(x)的定义域，相当于x∈[a，b]时，求g(x)的值域．(2)单调性的判定：①首先将原函数y＝f[g(x)]分解为基本函数：内函数u＝g(x)与外函数y＝f(u)；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性．5．函数的奇偶性(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； (2)f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f （－x ）f （x ）＝－1；(3)f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f （－x ）f （x ）＝1 ；(4)奇函数f (x )在原点有定义，则f (0)＝0；(5)在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； (6)若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；(7)多项式函数P (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 0的奇偶性：多项式函数P (x )是奇函数⇔P (x )的偶次项(即奇数项)的系数全为零．多项式函数P (x )是偶函数⇔P (x )的奇次项(即偶数项)的系数全为零．6．函数的单调性 (1)单调性的定义：f (x )在区间M 上是增(减)函数⇔∀x 1，x 2∈M ，当x 1<x 2时f (x 1)－f (x 2)<0(>0)⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0(<0)⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0(<0)；(2)判定单调性主要用定义法、导数法、复合函数法、图象法； (3)证明单调性主要用定义法、导数法． 7．有关对称性的几个重要结论．一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值．若f (x ＋a )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称. 特别地，若f (a ＋x )＝f (a －x )，函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；若f (a ＋x )＝－f (b －x )．则函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0中心对称．特别地，若f (a ＋x )＝－f (a －x )，则函数f (x )的图象关于点(a ，0)中心对称．8．与周期性有关的结论：(1)若y ＝f (x )对x ∈R 时f (x ＋a )＝f (x －a )恒成立，则 f (x )的周期为2|a |；(2)若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )的周期为2|a |； (3)若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )的周期为4|a |；(4) 若y ＝f (x )对x ∈R 时，f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝－1f （x ），则y ＝f (x )的周期为2|a |.9．对称性与周期性之间的关系．周期性与对称性是相互联系、紧密相关的．一般地，若f (x )的图象有两条对称轴x ＝a 和x ＝b (a ≠b )，则f (x )必为周期函数，且2|b －a |是它的一个周期；若f (x )的图象有两个对称中心(a ，0)和(b ，0)(a ≠b )，则f (x )必为周期函数，且2|b －a |为它的一个周期；若f (x )的图象有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心(b ，0)(a ≠b )，则f (x )为周期函数，且4|b －a |是它的一个周期．10．基本初等函数(1)指数运算法则：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②a m ÷a n ＝a m －n ；③(a m )n ＝a mn ；④a m b m ＝(ab )m .(2)几个对数运算结论：a log aN ＝N (a >0且a ≠1，N >0)，log b N ＝log a N log a b ，log a b ＝1log b a，log a M n ＝n log a M ，log am M n ＝nmlog a M .(3)二次函数①三种形式：一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：y ＝a (x －b )2＋k (a ≠0)，其中(b ，k )为抛物线顶点坐标；零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1、x 2为抛物线与x 轴两个交点的横坐标(有些证明题经常用到零点式)．②二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴方程与顶点坐标；端点值；图象与坐标轴交点；判别式；两根符号(韦达定理)．③二次函数问题解决方法：数形结合；分类讨论．(4)函数y ＝bx ＋a x (a >0，b >0，x >0)在区间⎝⎛⎦⎤0，ab b 上单调递减，在区间⎣⎡⎭⎫ab b ，＋∞上单调递增(记住f (x )＝bx ＋ax(a >0，b >0，x >0)的图象)．(5)形如y ＝ax ＋bcx ＋d(c ≠0，ad ≠bc )的图象是等轴双曲线(化简时可分离常量)，双曲线两渐近线分别为直线x ＝－d c (由分母为零确定)、直线y ＝ac(由分子、分母中x 的系数确定)，双曲线的中心是点⎝⎛⎭⎫－d c ，a c . 11．函数图象函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x 而言)；上下平移—“上加下减”(注意是针对f (x )而言)．(2)翻折变换：f (x )→|f (x )|；f (x )→f (|x |)． (3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②证明图象C 1与C 2的对称性，即证C 1上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在C 2上，反之亦然； ③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0(y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称；④函数y ＝f (a ＋x )，y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝b －a2对称(由a ＋x ＝b －x 确定)；⑤函数y ＝f (x －a )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称；⑥函数y ＝f (x )，y ＝A －f (x )的图象关于直线y ＝A2对称(由y ＝f （x ）＋A －f （x ）2确定)；⑦函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；函数y ＝f (x )，y ＝n －f (m －x ) 的图象关于点⎝⎛⎭⎫m 2，n 2对称； ⑧曲线C 1：f (x ，y )＝0，关于y ＝x ＋a ，y ＝－x ＋a 的对称曲线C 2的方程为f (y －a ，x ＋a )＝0(或f (－y ＋a ，－x ＋a )＝0; 曲线C 1：f (x ，y )＝0关于点(a ，b )的对称曲线C 2方程为：f (2a －x ，2b －y )＝0；⑨ⅰ.f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)⇒f (x )＝kx (k ≠0)；ⅱ.f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；f (x 1－x 2)＝f (x 1)÷f (x 2)⇒f (x )＝a x ；ⅲ.f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)⇒f (x )＝log a x .12．函数的零点(1)零点的求法：直接法(求f (x )＝0的根)；图象法；二分法． (2)零点定理：设函数f (x )在闭区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，那么在开区间(a ，b )内函数f (x )至少有一个零点，即至少有一点ξ(a <ξ<b )使f (ξ)＝0.13．导数(1)物理意义：瞬时速度υ＝s ′(t )＝ Δs Δt ＝ s （t ＋Δt ）－s （t ）Δt；几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数是曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率f ′(x 0)，相应的切线方程是y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)常见导数公式： C ′＝0；(x n )′＝nx n －1；(sin x )′＝cos x ；(cos x )′＝－sin x ；(a x )′＝a x ln a ；(e x )′＝e x ；(log a x )′＝1x ln a ；(ln x )′＝1x. (3)导数的四则运算法则：(u ±v )′＝u ′±v ′；(u v )′＝u ′v ＋u v ′；⎝⎛⎭⎫u v ′＝u ′v －u v ′v 2.(4)复合函数的求导法则： 设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u x ′＝φ(x )′，函数y ＝f (u )在点x 处的对应点u 处有导数y u ′＝f (u )′，则复合函数y ＝f (φ(x ))在点x 处有导数，且y x ′＝y u ′·u x ′，或写作f x ′(φ(x ))＝f ′(u )φ′(x )．(5)f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数在对应区间递增(或递减)的充分不必要条件．如函数f (x )＝x 3，它的图形是在开区间()－∞<x <＋∞上的立方抛物线，它是递增函数．但是f ′(x )＝3x 2.在开区间()－∞<x <＋∞并非皆为正，而f ′(0)＝0.(6)可导函数在极值点的导数为零，但导数为零的点不一定是极值点．如函数y ＝||x 在x ＝0处有极小值，f ′(0)不存在；f (x )＝x 3在x ＝0处导数为零，但x ＝0不是函数f (x )＝x 3的极值点．(7)处理函数的切线问题应关注切点：切点横坐标对应的导数值是切线的斜率；同时切点在原函数的图象上．(8)设f (x )的对称中心为P (x 0，y 0)(P 在f (x )的图象上)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是图象上关于P 的两对称点，则由对称性知，f (x )在A 、B 两点处的斜率相等，即f ′(x 1)＝f ′(x 2)，再由x 0＝x 1＋x 22可求x 0，从而求点P (x 0，y 0)的坐标．如：已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋6x －7的图象是中心对称图形，求其对称中心()1，－3，可用上法求解．14．定积分(1)定积分的定义：⎠⎛abf (x )d x ＝∑n i ＝1 b －a n f(ξi )；(2)定积分的性质：①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；③⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a<c<b)．(3)微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式)：⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F(b)－F(a)．(4)定积分的应用：①求曲边梯形的面积：S ＝⎠⎛a b |f (x )－g (x )|d x ；②求变速直线运动的路程：S ＝⎠⎛ab v (t )d t ；③求变力做功：W ＝⎠⎛ab F (x )d x .第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形1．圆心角为α，半径为R 的弧长公式和扇形面积公式：l ＝|α|·R ，S 扇＝12l·R ＝12|α|·R 2.2．三角函数的对称性(1)y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，对称中心为()k π，0(k ∈Z )．(2)y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π(k ∈Z )，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )．(3)y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0()k ∈Z .3．正弦型函数y ＝A sin ()ωx ＋φ(1)振幅|A |，周期T ＝2π|ω|；(2)五点作图：令ωx ＋φ依次为0，π2，π，3π2，2π，求出x 与y ，再以点(x ，y )作图象；(3)根据图象求解析式．(求A 、ω、φ值)列出⎩⎪⎨⎪⎧ω（x 1）＋φ＝0，ω（x 2）＋φ＝π2，解方程组求ω、φ值，正切型函数y ＝A tan ()ωx ＋φ，T ＝π|ω|.4．绝对值函数周期，y ＝||sin x ，T ＝π；y ＝cos|x |＝cos x ，T ＝2π；y ＝||sin x ＋||cos x ＝1＋||sin 2x ，T ＝π2；y ＝||tan x ，T ＝π.而y ＝sin x 2，y ＝cos x 不是周期函数． 5．图象变换：(1)平移(2)伸缩(3)对称，注意步骤、表达、名称、符号、方向、单位间关系转化．在三角函数图象平移时最容易错的是平移多少个单位，要注意到ω的作用．6．同角三角函数的基本关系式sin 2θ＋cos 2θ＝1，tan θ＝sin θcos θ，tan θ·cot θ＝1.7．正弦、余弦的诱导公式：sin ⎝⎛⎭⎫n π2＋α＝⎩⎨⎧（－1）n2sin α，n 为偶数，（－1）n －12cos α，n 为奇数；cos ⎝⎛⎭⎫n π2＋α＝⎩⎨⎧（－1）n2cos α，n 为偶数，（－1）n ＋12sin α，n 为奇数.即：“奇变偶不变，符号看象限”．如cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α，cos (π－α)＝－cos α.8．和角与差角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β(平方正弦公式)； cos(α＋β)cos(α－β)＝cos 2α－sin 2β. 9．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α.10．tan(45°－α)＝1－tan α1＋tan α＝cos α－sin αcos α＋sin α；tan(45°＋α)＝1＋tan α1－tan α＝cos α＋sin αcos α－sin α；1－sin α1＋sin α＝1－sin 2α（1＋sin α）2＝||cos α1＋sin α. 11．半角公式：tan α2＝1－cos αsin α＝sin α1＋cos α；降次公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.12．化一公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中，辅助角φ所在象限由点(a ，b )所在的象限决定，sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b2，tan φ＝ba )． 13．若有sin x ±cos x ，sin x ·cos x 出现，则可设sin x ±cos x ＝t ，则sin x ·cos x ＝±t 2－12.14．常见数据：sin 15°＝cos 75°＝6－24， sin 75°＝cos 15°＝6＋24， tan 15°＝2－3，tan 75°＝2＋3，sin 18°＝5－14. 15．常见三角不等式：(1)若x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin x <x <tan x .(2) 若x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则1<sin x ＋cos x ≤ 2.(3)|sin x |＋|cos x |≥1. 16．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R . 17．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B; c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 18. 射影定理a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝a cos C ＋c cos A ，c ＝a cos B ＋b cos A . 19．三角形面积公式S △ABC ＝12底·高＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝pr ＝abc4R ，其中p ＝a ＋b ＋c 2，r 为内切圆半径，R 为外接圆半径．20．在△ABC 中，有(1)A ＋B ＋C ＝π⇔C ＝π－(A ＋B )⇔C 2＝π2－A ＋B2⇔2C ＝2π－2(A ＋B )；(2)a >b ⇔sin A >sin B (注意是在△ABC 中)．(3)在锐角三角形△ABC 中，A ＋B >π2，sin A >cos B ，sin B >cos A ，a 2＋b 2>c 2.第四部分 平面向量1.AB →||AB→为AB →方向上的单位向量． 2．平面向量共线定理：若向量a ，b (b ≠0)共线，则存在唯一确定的实数λ，使a ＝λb ；推论：若O 、A 、B 三点不共线，已知OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则A 、B 、P 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.3．若e 1、e 2不共线，且λ1e 1＋λ2e 2＝0，则必有λ1＝λ2＝0. 4．向量平移后与原向量相等，向量平移后坐标是不变的．5．若直线l 的方向向量为v ＝(b ，a )，且直线l 的斜率存在，则斜率k ＝ab.6．两向量的夹角为锐角不是两向量数量积为正的充要条件，因为要排除夹角为0的情形；两向量的夹角为钝角也不是两向量数量积为负的充要条件，因为要排除夹角为180°的情形．7．a ，b 同向或有0⇔|a ＋b|＝|a|＋|b|≥||a|－|b||＝|a －b|；a ，b 反向或有0⇔|a －b|＝|a|＋|b|≥||a|－|b||＝|a ＋b|；a ，b 不共线⇔||a|－|b||<|a±b|<|a|＋|b|.8．向量的平行与垂直：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则 a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.a ⊥b (a ≠0)⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.9．线段的定比分点公式：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y )是线段P 1P 2的分点，λ是实数，且P 1P →＝λPP 2→，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λy ＝y 1＋λy 21＋λ⇔OP →＝OP 1→＋λOP 2→1＋λ⇔OP →＝tOP 1→＋(1－t )·OP 2→⎝⎛⎭⎫t ＝11＋λ.10．三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，则△ABC的重心的坐标是G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.11．AD 是△ABC 的中线⇔AD →＝12()AB →＋AC →；AE 是△ABC 的垂线⇔AE →·BC →＝0；AF 是△ABC 的角平分线⇔AF →＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →||AB→＋AC →||AC →. 12．设θ是OA →与OC →的夹角，则||OA →cos θ称作为OA →在OC →方向上的投影，且||OA →cos θ＝OA →·OC →||OC→. 13．若向量OA →、OB →、OC →满足条件OA →＋OB →＋OC →＝0，且||OA →＝||OB →＝||OC→，则△ABC 为正三角形． 14．若G 为△ABC 的重心，且aGA →＋bGB →＋cGC →＝0，则△ABC 为正三角形．15．已知G 是△ABC 所在平面上的一点，①若GA →＋GB →＋GC →＝0，则G 是△ABC 的重心；②若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则O 是△ABC 的垂心；③若aOA →＋bOB →＋cOC →＝0，则G 是△ABC 的内心；④若OA →2＝OB →2＝OC →2，则O 是△ABC 的外心．(以上关系均为充分必要条件，是三角形的“四心”已确定的向量表示．)第五部分 数列1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d(n ∈N *)；其前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－12d n . 2．等差数列中的结论：(1)若{}a n 为等差数列，且p ＋q ＝m ＋n (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….(2)若{}a n 为等差数列，则a n ＝a m ＋(n －m )d (m ≤n ，m ，n ∈N ＋)．(3)若{}a n 为等差数列，则连续k 项的和组成的数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，仍为等差数列． (4)等差数列{}a n 中，若a m ＝n ，a n ＝m ，则a m ＋n ＝0；若S m ＝n ，S n ＝m ，则S m ＋n ＝－(m ＋n )(m ≠n )．(5)若{}a n 为等差数列，当n 为奇数时，S 奇－S 偶＝S nn ＝a 中，S n ＝n ·a 中(a 中为中间项)，S 奇S 偶＝n ＋1n －1；当n为偶数时，S 偶－S 奇＝nd2.(6)有两个等差数列{}a n 、{}b n ，若S n S ′n ＝a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n＝g (n )，则a n b n ＝S 2n －1S ′2n －1＝g (2n －1)．(7)等差数列前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （a 2＋a n －1）2＝…＝n （a m ＋a n －m ＋1）2.(8)在等差数列{}a n 中，有关S n 的最值问题常用邻项变号法来求解．当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0a m ＋1≤0的项数m ，使得S m 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0a m ＋1≥0的项数m ，使得S m 取最小值．(9)等差数列{}a n 中，a 1>0，a k ＋a k ＋1>0且a k ·a k ＋1<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是2k .3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n (n ∈N *)；其前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q n）1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1，或S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.4．等比数列中的结论：(1)若{}a n 为等比数列，且p ＋q ＝m ＋n (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ·a n ＝a p ·a q ； a 2n ＝a n －k ·a n ＋k (n ≥k ＋1)，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….(2)若{}a n 为等比数列，m 、n 、p 成等差数列，则a m 、a n 、a p 成等比数列，其中m 、n 、p ∈N ＋.(3)若{}a n 为等比数列，则a n ＝a m q n －m (m ≤n ，m ，n ∈N ＋)． (4)若{}a n 为等比数列，则连续k 项的和组成的数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，仍为等比数列(S k ≠0，k ∈N ＋)．5．数列的通项的求法：(1)公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．(2)已知S n (即a 1＋a 2＋…＋a n ＝f (n ))求a n 用作差法：a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.(3)已知a 1·a 2·…·a n ＝f (n )求a n 用作商法：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （1），n ＝1，f （n ）f （n －1），n ≥2.(4)若a n ＋1－a n ＝f (n )求a n 用迭加法.(5)已知a n ＋1a n＝f (n )，求a n 用迭乘法．(6)已知数列递推式求a n ，用构造法(构造等差、等比数列):①形如a n ＝ka n －1＋b ，a n ＝ka n －1＋b n ，a n ＝ka n －1＋a ·n ＋b (k ，b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求a n ；②形如a n ＝a n －1ka n －1＋b的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项．(7)当遇到a n ＋1－a n －1＝d 或a n ＋1a n －1＝q 时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式. 选择或填空题中，若所求数列某项的项数较大，且求通项不容易，则该数列可能为周期数列，可通过归纳求某项．6．数列求和的方法：(1)公式法：等差数列，等比数列求和公式．(2)若{}a n 为等差数列，{}b n 为等比数列，则数列{}a n ·b n 前n 项的和可用错位相减法求得． (3)若通项为n 个连续自然数积的倒数，则一般可用裂项法求前n 项的和．常用裂项形式有：①1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1； ②1n （n ＋k ）＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ；③1k 2<1k 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1k －1－1k ＋1，1k －1k ＋1＝1（k ＋1）k <1k 2<1（k －1）k ＝1k －1－1k； ④1n （n ＋1）（n ＋2）＝12⎣⎡⎦⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）； ⑤n （n ＋1）！＝1n ！－1（n ＋1）！； ⑥2(n ＋1－n )<1n<2(n －n －1)；⑦a n ＝S n －S n －1(n ≥2)；⑧C m －1n ＋C m n ＝C m n ＋1⇒C m n ＝C m n ＋1－C m －1n ； ⑨a n ＝n ·n ！＝(n ＋1)！－n! .(4)当一个数列既不是等差数列又不是等比数列时，如果能将这个数列分解为一个等差数列和一个等比数列对应项相加得到的一个新数列，此时可用分组法求和(有时按奇数项和偶数项分组)．(5)倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加．⎭⎪⎬⎪⎫S n ＝a 1＋a 2＋……＋a n －1＋a n S n ＝a n ＋a n －1＋……＋a 2＋a 1相加2S n ＝()a 1＋a n ＋()a 2＋a n －1＋…＋()a n ＋a 1. 7．两个结论：S n ＝12＋22＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6；13＋23＋33＋…＋n 3＝n 2（n ＋1）24＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22.8．分期付款(按揭贷款) 每次还款x ＝ab （1＋b ）n（1＋b ）n －1元(贷款a 元，n 次还清，每期利率为b )．第六部分 立体几何1．画三视图要求：主视图与俯视图长对正；主视图与左视图高平齐；左视图与俯视图宽相等．2．球的半径是R ，则其体积是V ＝43πR 3，其表面积是S ＝4πR 2.3．空间向量共线定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b ⇔存在实数λ使a ＝λb .推论：对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则四点P 、A 、B 、C 共面⇔x ＋y ＋z ＝1.4．求空间角(1)异面直线所成角的求法：①平移法：平移直线，构造三角形；②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系；③向量法：转化为两直线方向向量的夹角，用向量法求异面直线所成角θ的方法：cos θ＝||cos 〈a ，b 〉.(2)直线与平面所成角的求法：①直接法(利用线面角定义)；②先求斜线上的点到平面距离h ，与斜线段长度作比，得sin θ；③向量法：用向量法求直线AB 与平面α所成的角θ满足：sin θ＝||cos 〈AB →，m 〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →·m ||AB →·||m ，其中m 为面α的法向量)． 三余弦公式：设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为θ1，AB 与AC 所成的角为θ2，AO 与AC 所成的角为θ.则cos θ＝cos θ1cos θ2.(3)二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点(特殊点)，作出平面角，再求解；②三垂线法：由一个半平面内一点作(或找)到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；③射影法：利用面积射影公式：S ′＝S cos θ，其中θ为平面角的大小(对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法)；④向量法：二面角α－l －β的平面角θ满足：||cos θ＝||cos 〈m ，n 〉，其中m 、n 为平面α、β的法向量．面积射影定理S ＝S ′cos θ(平面多边形及其射影的面积分别是S 、S ′，它们所在平面所成锐二面角的大小为θ)．5．点到平面的距离的求法：①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段(确定已知面的垂面是关键)，再求解；②等体积法；③向量法：点B 到平面α的距离d ＝||AB →·n|n|，n 为平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线．异面直线间的距离 d ＝|CD →·n ||n |(l 1，l 2是两异面直线，其公垂向量为n ，C 、D 分别是l 1，l 2上任一点，d为l 1，l 2间的距离)．两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段AA ′(点A ′在a 上，点A 在b 上)的长度为h .在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，A ′E ＝m ，AF ＝n ，EF ＝d .则异面直线上两点距离公式：d ＝h 2＋m 2＋n 2±2mn cos θ(A ′E ，AF 在AA ′同侧时为“－”号，异侧时为“＋”号)．6．重要定理、公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内． 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 定理·空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． ·如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． ·如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． ·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． ·如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．·如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行． ·如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行． ·垂直于同一个平面的两条直线平行．·如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直． 7．常用结论(1)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行．(2)过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个． (3)经过两条异面直线中的一条，只有一个平面与另一条直线平行． (4)三个两两垂直的平面的交线两两垂直．(5)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，设它和已知角两边的夹角为锐角且相等，则这条斜射线在这个平面内的射影是这个角的平分线(斜射线上任一点在这个平面上的射影在这个角的平分线上)．(6)如果一个角α所在平面外一点到这个角两边的距离相等，那么这点在平面α上的射影，在这个角的平分线上．(解答题用此结论须作简要证明)(7)若三棱锥的三条侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的外心．(8)如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等或三棱锥的顶点到底面三条边距离都相等(顶点在底面上的射影在底面三角形内)，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心．(9)如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，或有两组对棱垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心．(10)棱长为a 的正四面体的对棱互相垂直，对棱间的距离为22a .8．“等积变换”、“割形”与“补形”是解决立体几何问题常用方法．有关正四面体中的计算有时可构造正方体模型，使正方体的面对角线恰好构成正四面体．三条侧棱两两垂直的正三棱锥中的有关计算有时可以补成正方体．第七部分 直线与圆1．斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1(P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2))．2．直线的四种方程点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线l 过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k )． 斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距)．两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(y 1≠y 2)(P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2))．一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)． 3．两条直线的平行和垂直(1)若l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2 ①l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，b 1≠b 2； ②l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.(2)直线 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2＝A 2B 1，且B 1C 2≠B 2C 1，垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.4．几个重要公式：(1)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，△ABC 的重心G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33；(2)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝||Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2；(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与 Ax ＋By ＋C 2＝0的距离是d ＝||C 1－C 2A 2＋B 2.5．直线在x 轴、y 轴上的截距相等包含有直线过原点这一特殊情况．6．直线过定点(m ，0)时，根据情况有时可设其方程为x ＝ty ＋m (t ＝0时直线x ＝m )．应用点斜式解题，应检验直线斜率不存在的情况．7．圆的四种方程圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)．圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ.圆的直径式方程 (x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0(圆的直径的端点是A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2))． 8．与圆有关的结论(1)若P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝r 2上的点，则过点P (x 0，y 0)的切线方程为xx 0＋yy 0＝r 2.(2)若P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝r 2外一点，由P (x 0，y 0)向圆引两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为xx 0＋yy 0＝r 2.(3)圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交于A 、B 两点，则直线AB 为这两圆的“根轴”，其方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0(即为公共弦AB 所在的直线方程)．(4)过两个圆的交点的曲线系(当λ＝－1时表示两圆交线)：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)．(5)过一个圆和一条直线的交点的圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ≠－1)．第八部分 圆锥曲线1．求曲线轨迹方程的常用方法：(1)直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成F (x ，y )＝0，是求轨迹的最基本的方法．(2)待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可． (3)代入法(相关点法或转移法)．(4)定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程． (5)交轨法(参数法)：当动点P (x ，y )坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．2．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中的结论：(1)椭圆焦半径：||PF 1＝a ＋ex 0，||PF 2＝a －ex 0(e 为离心率); (左“＋”右“－”)；(2)椭圆焦点三角形：①S △PF 1F 2＝b 2tan θ2(θ＝∠F 1PF 2)；②点M 是△PF 1F 2内心，PM 交F 1F 2于点N ，则|PM ||MN |＝ac.(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的通径长为2b 2a.(4)若点P (x 0，y 0)在x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)内部，则x 20a 2＋y 20b 2<1.若点P (x 0，y 0)在x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外部，则x 20a 2＋y 20b2>1.(5)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.(6)以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离．(7)以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切．(8)设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2(或PF 1)上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2(或A 1)．(9)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个顶点为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是x 2a 2－y 2b 2＝1.(10)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则过P 0的椭圆的切线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.(11)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y2b2＝1外 ，则过P 0作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b2＝1.(12)AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a2.(13)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1内，则被P 0所平分的中点弦的方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝x 20a 2＋y 20b 2.(14)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1内，则过P 0的弦中点的轨迹方程是x 2a 2＋y 2b 2＝x 0x a 2＋y 0yb 2.(15)若PQ 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上对中心张直角的弦，则1r 21＋1r 22＝1a 2＋1b2(r 1＝|OP |，r 2＝|OQ |)．3．双曲线中的结论：(1)双曲线标准方程(焦点在x 轴或y 轴上)的统一形式为Ax 2－By 2＝1(AB >0)，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，也可记作x 2a 2－y 2b2＝0.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θ，y ＝b tan θ.(2)共渐近线y ＝±b a x 的双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ为参数，λ≠0)．(3)双曲线焦点三角形：①S △PF 1F 2＝b2tan θ2(θ＝∠F 1PF 2)；②P 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左(右)支上一点，F 1、F 2分别为左、右焦点，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为－a (a ).(4)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的通径长为2b 2a.(5)PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点．(6)以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交．(7)以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切．(8)设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点．(9)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个顶点为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1.(10)若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，则过P 0的双曲线的切线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1.(11)若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)外，则过P 0作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1.(12)AB 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB＝b 2a2. (13)若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)内，则被P 0所平分的中点弦的方程是x 0x a 2－y 0y b 2＝x 20a 2－y 20b 2.(14)若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)内，则过P 0的弦中点的轨迹方程是x 2a 2－y 2b 2＝x 0x a 2－y 0yb 2.(15)若PQ 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)上对中心张直角的弦，则1r 21＋1r 22＝1a 2－1b2(r 1＝|OP |，r 2＝|OQ |)．4．抛物线中的结论：(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 性质：①x 1x 2＝p 24；y 1y 2＝－p 2；抛物线焦半径：||PF ＝x 0＋p 2；②1|AF |＋1|BF |＝2p ；③以AB 为直径的圆与抛物线准线相切；④以AF (或BF )为直径的圆与y 轴相切；⑤|AB |＝2p sin 2α，直线AB 倾斜角α＝90°时，最短弦长为2p ，即为抛物线的通径．(2)若点P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)内部，则y 20<2px 0.若点P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)外部，则y 20>2px 0.(3)抛物线y 2＝2px 上的动点P ()x 0，y 0可设为P ⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0或P (2pt 2，2pt )． (4)由抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴． (5)过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点作两条互相垂直的弦OA 、OB ，则弦AB 过定点(2p ，0)．(6)若抛物线上两点A 、B 在准线l 上的射影分别为A 1、B 1，F 为其焦点，则∠A 1FB 1＝π2.5．若直线y ＝kx ＋m 与二次曲线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则由⎩⎪⎨⎪⎧二次曲线方程y ＝kx ＋m ⇒ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，知直线与二次曲线相交所截得的弦长为：||AB ＝1＋k 2||x 1－x 2＝1＋1k 2||y 1－y 2，其中||x 1－x 2＝b 2－4ac ||a (涉及直线与二次曲线相交的位置关系应注意Δ≥0，还需要注意圆锥曲线本身的范围．若求弦所在直线的斜率常用“点差法”)．6．圆锥曲线的两类对称问题：(1)曲线F (x ，y )＝0关于点P (x 0，y 0)成中心对称的曲线是F (2x 0－x ，2y 0－y )＝0. (2)曲线F (x ，y )＝0关于直线Ax ＋By ＋C ＝0成轴对称的曲线是F (x －2A （Ax ＋By ＋C ）A 2＋B 2，y －2B （Ax ＋By ＋C ）A 2＋B 2)＝0. 第九部分 不等式1．含有绝对值的不等式：①|x |<a ⇔x 2<a 2⇔－a <x <a ；②|x |>a ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x <－a . 2．分式不等式： (1)f （x ）g （x ）>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f （x ）g （x ）<0⇔f (x )·g (x )<0. (3)f （x ）g （x ）≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）·g （x ）≥0.g （x ）≠0；(4)f （x ）g （x ）≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）·g （x ）≤0.g （x ）≠0. 3．无理不等式(1)f （x ）>g （x ）⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）≥0g （x ）≥0f （x ）>g （x ） .(2)f （x ）>g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）≥0g （x ）≥0f （x ）>[g （x ）]2或⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）≥0g （x ）<0.(3)f （x ）<g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）≥0g （x ）>0f （x ）<[g （x ）]2.4．指数不等式与对数不等式(1)当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )；log a f (x )>log a g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）>0g （x ）>0f （x ）>g （x ）.(2)当0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )； log a f (x )>log a g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）>0g （x ）>0f （x ）<g （x ）.5．均值不等式：设0<a ≤b ，则有a ≤2aba ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22≤b (当且仅当a ＝b 时取等号). 注意：一正二定三相等．⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2(a 、b ∈R ，a ≠0，b ≠0，当且仅当||a ＝||b 时取等号)． 6．极值定理：已知x ，y 都是正数，则有：(1)如果积xy 是定值p ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2p .(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14s 2.7．若a 、b 、m ∈R ＋且a <b ，则a b <a ＋mb ＋m(真分数的分子分母加上同一个正数，值变大)．8．若已知条件中含有或隐含着“a >b ”或“a >b >0”这一信息，常常可以设“a ＝b ＋t ”用这种和式增量法来证明不等式、求值、或比较大小．9．不等式证明常用的放缩方法：(1)舍去或加上一些项，如：(a ＋1)2＋12＞(a ＋1)2.(2)将分子或分母放大或缩小，如：。

集合与常用逻辑用语,A B B ⊆⊆{|x B ={|U x x A =能够判断真假的语句。

原命题： p ，则q模的性质：⑴n次试验中发生了当试验的次数n很大时，发生的概率的近似值，即向量222,x y =+)()121起点放在一点的两向量所成的角，范围是[cos b 【注意：投影是数量】 ,e e (,λμa e e λμ=+,e e ,x y 一般表示//a b （b ≠b λ1212x y y x ⇔-＝0b AB BC AC +=+=；向量加法的三角形法则可推广至多个向AB BC CD ++PQ QR ++，但这时必须“首尾相连”。

a b +交换律a b b a +=+，,AC b =a b -那么CA =，由减向量的终点指向被减向量的终点。

注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

(a b x -=-为向量，0λ>与a 方向相同，0<与a 方向相反，a a λ=。

分配律b b a λλ++(cos ,a b a b a b =⋅<>2a =22,x y =+ab b a =，分配律(a b +()()a b a b λλ==。

向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一两边同时取模，两边同乘以一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）()(a b c a ∙≠用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；外心：三角形三边垂直平分线相交于一点内心：三角形三内角的平分线相交于一点n n≥（正数a b +≥33b c abc ++（a b +a a m <+.【说明】：a a m <+（0,0a b m >>>f x为奇函数。

()这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。

确定奇偶性方法有定义法、图像法等；如判断函数(f②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内单调性.研究内外层函数的单调性的关系；的取值范围是*7. 函数与方程﹑函数模型及其应用0,1,0)a N >≠>1log n a M nM =；为减函数； 则()f x 不是单调函数。

高三数学回归书本知识整理（代数部分）一、集合与简易逻辑1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性.2.对集合A B 、，AB =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；求集合的子集时是否注意到∅是任何集合的子集、∅是任何非空集合的真子集.3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n2，12-n，12-n .22-n4.“交的补等于补的并，即()U U U C A B C A C B=”；“并的补等于补的交，即()U U U C A B C A C B =5.集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。

注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；}12|),{(2++==x x y y x F ；},12|{2xyz x x y z G =++==6.符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的。

7.判断命题的真假要以真值表为依据。

原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；8.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若B A ⊆，则A 是B的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系"A B B A "⇒⇔⇒判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；9.反证法：当证明“若p ，则q ”感到困难时，改证它的等价命题“若q ⌝则p ⌝”成立，步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

高中数学课本回归（1）第一章、集合一、基础知识（理解去记）定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。

集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。

规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。

如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。

便于理解：B A ⊆包含两个意思：①A 与B 相等 、②A 是B 的真子集 定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且 定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。

定义6 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定义7 空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

补充知识点 对集合中元素三大性质的理解 （1）确定性集合中的元素，必须是确定的．对于集合A 和元素a ，要么a A ∈，要么a A ∉，二者必居其一．比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合． （2）互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由a ，2a 组成一个集合，则a 的取值不能是0或1． （3）无序性集合中的元素的次序无先后之分．如：由123，，组成一个集合，也可以写成132，，组成一个集合，它们都表示同一个集合．帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题 （1）注意a 与{}a 的区别．a 是集合{}a 的一个元素，而{}a 是含有一个元素a 的集合，二者的关系是{}a a ∈．（2）注意∅与{}0的区别．∅是不含任何元素的集合，而{}0是含有元素0的集合．（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或{}R 来表示实数集R 这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思．用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如： 集合{()x y y =，中的元素是()xy ，，这个集合表示二元方程y =或者理解为曲线y =集合{x y =中的元素是x，这个集合表示函数y =x 的取值范围；集合{y y =中的元素是y，这个集合表示函数y =y 的取值范围；集合{y =中的元素只有一个（方程y =，它是用列举法表示的单元素集合．（4）常见题型方法：当集合中有n 个元素时，有2n 个子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集。

基本知识篇一、集合与简易逻辑1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：{}x y x lg |=与{}x y y lg |=及{}x y y x lg |),(=2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；4.判断命题的真假要以真值表为依据。

原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系"A B B A "⇒⇔⇒判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；6.（1）含n 个元素的集合的子集个数为2n ，真子集（非空子集）个数为2n－1；（2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆ （3）;)(,)(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I ==二、函数1.复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：若已知()f x 的定义域为［a ，b ］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；2.函数的奇偶性（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=)(x f ;（2）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则(0)0f =（可用于求参数）；（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或1)()(±=-x f x f （f(x)≠0）; (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；3.函数图像（或方程曲线的对称性）(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明图像C 1与C 2的对称性，即证明C 1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C 2上，反之亦然；（3）曲线C 1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C 2的方程为f(y －a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);（4）曲线C 1:f(x,y)=0关于点（a,b ）的对称曲线C 2方程为：f(2a －x,2b －y)=0;（5）若函数y=f(x)对x ∈R 时，f(a+x)=f(a －x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a 对称；（6）函数y=f(x －a)与y=f(b －x)的图像关于直线x=2b a +对称； 4.函数的周期性(1)y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数；（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数；（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；（6）y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= )(1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；5.方程k=f(x)有解⇔k ∈D(D 为f(x)的值域)；6.a ≥f(x) 恒成立⇔a ≥［f(x)］max,; a ≤f(x) 恒成立⇔a ≤［f(x)］min ;7.（1）na ab b n log log = (a>0,a ≠1,b>0,n ∈R +); (2) l og a N=aN b b log log ( a>0,a ≠1,b>0,b ≠1); (3) l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N = N ( a>0,a ≠1,N>0 );8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

教材知识点回顾1、在复习每一专题时，必须联系课本中的相应部分。

不仅要弄懂课本提供的知识和方法，还要弄清定理、公式的推导过程和例题的求解过程，揭示例、习题之间的联系及变换2、在解高考训练题时，如果遇到障碍，应有查阅课本的习惯，通过课本查明我们在知识和方法上的缺陷，尽可能把问题回归为课本中的例题和习题3、在复习训练的过程中，我们会积累很多解题经验和方法，其中不少是规律性的东西，要注意从课本中探寻这些经验、方法和规律的依据4、注意在复习的各个环节，既要以课本为出发点，又要不断丰富课本的内涵，揭示课本内涵与高考命题之间的联系5、关于解题的表达方式，应以课本为标准。

很多复习资料中关键步骤的省略、符号的滥用、语言的随意性和图解法的泛化等，都是不可取的，就通过课本来规范6、注意通过对课本题目改变设问方式、增加或减少变动因素和必要的引申、推广来扩大题目的训练功能。

现行课本一般是常规解答题，应从选择、填空、探索等题型功能上进行思考，并从背景、现实、来源等方面加以解释第一章：集合与简易逻辑1.元素与集合的关系： .（P4）2.德摩根公式： .3.包含关系: （P7）4.容斥原理: （P23） 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有 个；真子集有 个；非空子集有 个；非空真子集有 个 6.真值表 （P27）7.常见结论的否定形式8.9.充要条件（P34）（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 的 条件. q 是p 的 条件（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 的 条件. q 是p 的 条件 （3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的 条件. （4）p 是q 的充分不必要条件等价于q 的 条件是p第二章 函数1.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式 ； (2)顶点式 ； (3)两根式 .2.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式： ⇔ ；3.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于 4.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则其最值是 ；若[]q p a bx ,2∉-=，则其最值是 (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则其最值是 ；若[]q p abx ,2∉-=，则其最值是 5.一元二次方程的实根分布11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据：(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是 .(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≤(t 为参数)恒成立的充要条件是 (3)42()0(0)f x ax bx c a =++>>恒成立的充要条件是 16.函数的单调性（P57）(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么)(x f 在区间],[b a 上是增函数的充要条件是 ；)(x f 在区间],[b a 上是减函数的充要条件是(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果 ，则)(x f 为增函数；如果 ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +是 函数；如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是 函数 18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是 函数；如果一个函数图象关于y 轴对称，那么这个函数是 函数 19.若函数)(x f y =是偶函数，则 ；若函数)(a x f y +=是偶函数，则 ，并且()y f x =关于 对称.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是 两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线 对称.21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点 对称；若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为 的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔ ；多项式函数()P x 是偶函数⇔ 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称等价于 (2)函数()y f x =的图象关于直线2a b x m +=对称等价于24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线 对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线 对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数 的图象； 若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线 的图象.26．（P60）互为反函数的两个函数的关系：_________________)(⇔=b a f .27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为 ，并不是1()y f kx b -=+，而函数1()y f kx b -=+是 的反函数.28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,具有性质： .(2)指数函数()x f x a =,具有性质： . (3)对数函数()log a f x x =,具有性质： . (4)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，具有性质 ：， 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期 ； （2）()()f x a f x +=-或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期 (3)1(),(()1)1()f x a f x f x +=≠-，则)(x f 的周期 ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<则)(x f 的周期(5)()()()f x a f x f x a +=--，则)(x f 的周期 . 30.分数指数幂： （P64） 31．根式的性质： 32．有理指数幂的运算性质： 33.指数式与对数式的互化式： .（P76） 34.对数的换底公式：35．对数的四则运算法则： .（P77）36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ，记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则若)(x f 的值域为R ,则 .【对于0=a 的情形，需要单独检验.】第三章 数列一、数列的分类1、 数列的定义：数列是按一定的次序排列的列数，在函数意义下，数列是定义域为的函数f(n)当自变量n 以1开始依次取自然数时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，…f(n)，通常用a n 代替f(n)，于是数列的一般形式为a 1，a 2…a n 简记{a n }，其中a n 是数列{a n }的第n 项。

1．集合与常用逻辑用语1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[回扣问题1]集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是________．(填等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)答案等腰三角形2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．[回扣问题2] 集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________．答案∅3．遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B ＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．[回扣问题3] 集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A∪B＝B，则实数a＝________．答案 0，1，1 24．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n －1，2n－1，2n－2.[回扣问题4] 满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个．答案 75．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[回扣问题5]已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁I A)∪B等于________．答案 [0，＋∞)6．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．[回扣问题6]已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是____________________________________________________________．答案否命题：已知实数a、b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b；命题的否定：已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b7．在否定条件或结论时，应把“且”改成“或”、“或”改成“且”．[回扣问题7]若“x2－3x－4＞0，则x＞4或x＜－1”的否命题是______________________________．答案 若x 2－3x －4≤0，则－1≤x ≤48．要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .[回扣问题8] 设集合M ＝{1，2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的________条件． 答案 充分不必要9．要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a ，b 都是偶数”的否定应该是“a ，b 不都是偶数”，而不应该是“a ，b 都是奇数”．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．[回扣问题9] 若存在a ∈[1，3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是_________________________________________________________．解析不等式即(x 2＋x )a －2x －2＞0，设f (a )＝(x 2＋x )a －2x －2.研究“任意a ∈[1，3]，恒有f (a )≤0”． 则⎩⎨⎧≤≤0)3(0)1(f f 解得x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,1-，则符合题设条件的实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，32 答案 (－∞，－1)∪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，32 10．复合命题真假的判断．“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”．[回扣问题10] 在下列说法中：(1)“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件；(2)“p 且q 为假”是“p 或q 为真”的充分不必要条件；(3)“p 或q 为真”是“非p 为假”的必要不充分条件；(4)“非p 为真”是“p 且q 为假”的必要不充分条件．其中正确的是________．答案 (1)(3)2.函数与导数1. 函数是非空数集到非空数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，“每元有象，且象唯一”只能一对一或者多对一，不能一对多．[回扣问题1] 若A ＝{1，2，3}，B ＝{4，1}，则从A 到B 的函数共有________个；其中以B 为值域的函数共有______个．答案 8 62．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．若f (x )定义域为[a ，b ]，复合函数f [g (x )]定义域由a ≤g (x )≤b 解出；若f [g (x )]定义域为[a ，b ]，则f (x )定义域相当于x ∈[a ，b ]时g (x )的值域．[回扣问题2] 已知f (x )＝－x 2＋10x －9，g (x )＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为________．答案 [1，3]3．求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程法等．[回扣问题3] 已知f (x )－4f (1x )＝－15x ，则f (x )＝________．答案 x ＋4x4．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[回扣问题4] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ＜0－tan x ，0≤x ＜π2，则f (f (π4))＝________．答案 －2 5．函数的奇偶性f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )＝f (|x |); f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x )；定义域含0的奇函数满足f (0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，再找f (x )与f (－x )的关系．[回扣问题5] 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x (1＋x )＋1，求f (x )的解析式．答案 f (x )＝⎩⎨⎧x （1＋x ）＋1，x ＞00，x ＝0－x 2＋x －1，x ＜06．函数的周期性由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a ＞0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得： ①函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则f (x )是周期为2a 的周期函数；②若f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)成立，则T ＝2a ； ③若f (x ＋a )＝－1f （x ）(a ≠0)恒成立，则T ＝2a . [回扣问题6]设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (47.5)等于______． 答案 －0.57．函数的单调性①定义法：设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f（x1）－f（x2）x1－x2＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f（x1）－f（x2）x1－x2＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数；②导数法：注意f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0；∴f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件．③复合函数由同增异减的判定法则来判定．④求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．[回扣问题7] 函数f(x)＝x3－3x的单调递增区间是________．答案 (－∞，－1)，(1，＋∞)8．求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可导函数；(5)换元法(特别注意新元的范围)；(6)分离常数法：适合于一次分式；(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．[回扣问题8] 函数y＝2x2x＋1(x≥0)的值域为________．答案⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,219．常见的图象变换(1)平移变换①函数y＝f(x＋a)的图象是把函数y＝f(x)的图象沿x轴向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位得到的．②函数y＝f(x)＋a的图象是把函数y＝f(x)的图象沿y轴向上(a＞0)或向下(a＜0)平移|a|个单位得到的．(2)伸缩变换①函数y＝f(ax)(a＞0)的图象是把函数y＝f(x)的图象沿x轴伸缩为原来的1a得到的．②函数y ＝af (x )(a ＞0)的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的．(3)对称变换①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上； ②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0(y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称．[回扣问题9] 要得到y ＝lg x ＋310的图象，只需将y ＝lg x 的图象________．答案 向左平移3个单位，再向下平移1个单位10．二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合，二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．(2)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)；③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．(3)一元二次方程实根分布：先观察二次项系数、Δ与0的关系、对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图．尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．[回扣问题10] 若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的范围为________．答案 ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞41-， 11．指、对数函数(1)对数运算性质已知a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0.则log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a M N ＝log a M －log a N ，log a M n ＝n log a M ，对数换底公式：log a N ＝log b N log b a . 推论：log am N n ＝n m log a N ；log a b ＝1log b a . (2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝a x的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝log a x的图象恒过定点(1，0)．[回扣问题11] 设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系是________．答案a＞b＞c12．幂函数形如y＝xα(α∈R)的函数为幂函数．(1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线．②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0，1)外的直线．③当0＜α＜1时，图象过(0，0)与(1，1)两点，在第一象限内是上凸的．④当α＞1时，在第一象限内，图象是下凸的．(2)增减性：①当α＞0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数，②当α＜0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数．[回扣问题12] 函数xxxf⎪⎭⎫⎝⎛-=21)(21的零点个数为________．答案 113．函数与方程(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．(2)y＝f(x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，那么f(x)在(a，b)内至少有一个零点，即至少存在一个x0∈(a，b)使f(x0)＝0.这个x0也就是方程f(x)＝0的根．(3)用二分法求函数零点[回扣问题13] (判断题)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(－1，0)．( ) 答案√14．导数的几何意义和物理意义(1)函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数是曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率f′(x0)，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)v＝s′(t)表示t时刻即时速度，a＝v′(t)表示t时刻加速度．注意：过某点的切线不一定只有一条．[回扣问题14] 已知函数f(x)＝x3－3x，过点P(2，－6)作曲线y＝f(x)的切线，则此切线的方程是________．答案 3x＋y＝0或24x－y－54＝015．利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)＜0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常数．注意：如果已知f (x )为减函数求参数取值范围，那么不等式f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.增函数亦如此．[回扣问题15] 函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析 f (x )＝ax 3－x 2＋x －5的导数f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1.由f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1≥0，得⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13.a ＝13时，f ′(x )＝(x －1)2≥0， 且只有x ＝1时，f ′(x )＝0，∴a ＝13符合题意．答案 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，31 16．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．[回扣问题16] 函数f (x )＝14x 4－13x 3的极值点是________．答案 x ＝13.三角函数与平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2＞0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x ，(x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[回扣问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为______．答案 －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[回扣问题⎭⎝3．三角函数的图象与性质(1)五点法作图(一个最高点，一个最低点，三个平衡位置点)；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，y ＝tan x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )，减区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )； y ＝cos x 的增区间：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )，减区间：[2k π，π＋2k π](k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．[回扣问题3] 函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32-πx 的递减区间是________．答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k (k ∈Z ) 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2 tan α 1－tan 2α. [回扣问题4] cos(π4＋x )＝35，17π12＜x ＜7π4，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝________．答案 －2875 5．在三角恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；α＋π4＝(α＋β)－⎪⎭⎫ ⎝⎛4-πβ；α＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα－π4. [回扣问题5] 已知α，β∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，43，sin(α＋β)＝－35，in ⎪⎭⎫ ⎝⎛4-πβ＝1213，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝________． 答案 －56656．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．已知三角形两边及一边对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍，在△ABC 中，A ＞B ⇔sin A ＞sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 等，常选用余弦定理判定三角形的形状． [回扣问题6]△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________．答案 27．有关三角形的常见结论(1)面积公式 S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B . (2)内切圆半径 r ＝2S ΔABC a ＋b ＋c. (3)三个等价关系：△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 对边，则a ＞b ⇔sin A ＞sin B ⇔A ＞B .[回扣问题7] △ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝________．答案 －16658．平面向量的基本概念及线性运算(1)加、减法的平行四边形与三角形法则：AB→＋BC →＝AC →；AB →－AC →＝CB →. (2)向量满足三角形不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(3)实数λ与向量a 的积是一个向量，记为λa ，其长度和方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②λ＞0，λa 与a 同向；λ＜0，λa 与a 反向；λ＝0，或a ＝0，λa ＝0.(4)平面向量的两个重要定理①向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .②平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．[回扣问题8] 已知a ＝(4，2)，与a 共线的单位向量为________．答案 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛55552，或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛55-552-， 9．向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(2)当a ，b 同向时，a ·b ＝|a ||b |，特别地，a 2＝a ·a ＝|a |2，|a |＝a 2；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |；当θ为锐角时，a ·b ＞0，且a ，b 不同向．a ·b ＞0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ·b ＜0，且a ，b 不反向；a ·b ＜0是θ为钝角的必要非充分条件；(3)|a ·b |≤|a ||b |.[回扣问题9] 已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________． 答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，，3131034-- 10．向量b 在a 方向上的投影|b |cos θ＝a ·b |a |.[回扣问题10] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为_______答案12511．几个向量常用结论：①PA→＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心； ②PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA→⇔P 为△ABC 的垂心； ③向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心； ④|PA→|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心． [回扣问题11] 若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB→－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为______．答案 直角三角形4．数列、不等式1．等差数列的有关概念及运算(1)等差数列的判断方法：定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)．(2)等差数列的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a m ＋(n －m )d .(3)等差数列的前n 项和：S n ＝n （a 1＋a n ）2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d . [回扣问题1] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝49，a 4和a 8的等差中项为11，则a n ＝________，S n ＝______________．答案 2n －1 n 22．等差数列的性质(1)当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.(2)若公差d ＞0，则为递增等差数列；若公差d ＜0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列． (3)当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[回扣问题2] 等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 8b 8＝________．答案 433．等比数列的有关概念及运算(1)等比数列的判断方法：定义法a n ＋1a n ＝q (q 为常数)，其中q ≠0，a n ≠0或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)．(2)等比数列的通项：a n ＝a 1q n －1或a n ＝a m q n －m .(3)等比数列的前n 项和：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q.(4)等比中项：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab .如已知两个正数a ，b (a ≠b )的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为A ＞B . [回扣问题3] 已知等比数列{a n }中，a 3＝32，S 3＝92，求a 1与q . 答案 a 1＝32，q ＝1或a 1＝6，q ＝－12 4．等比数列的性质(1)若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n b n }也是等比数列；(2)若数列{a n }为等比数列，则数列{a n }可能为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列； (3)等比数列中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m a n ＝a p a q ；[回扣问题4]在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________． 答案 5125．数列求和的常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加．关键找通项结构． (1)分组法求数列的和：如a n ＝2n ＋3n ；(2)错位相减法求和：如a n ＝(2n －1)2n ；(3)裂项法求和：如求1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n；(4)倒序相加法求和． [回扣问题5] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }前n 项和，则S 21的值为________．答案 92 6．求数列通项常见方法(1)已知数列的前n 项和S n ，求通项a n ，可利用公式a n ＝⎩⎨⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）.由S n 求a n 时，易忽略n＝1的情况．(2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )可采用累加求和法，例如{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n ，求a n ； (3)形如a n ＋1＝ca n ＋d 可采用构造法，例如a 1＝1，a n ＝3a n －1＋2，求a n .(4)归纳法，例如已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n －(a n ＋2)S n ＋1＝0，求S n ，a n .[回扣问题6] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________． 答案 ⎩⎨⎧2，n ＝12n －1，n ≥27．不等式的基本性质(1)a ＞b ⇔b ＜a ； (2)a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c ； (3)a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ； (4)若c ＞0，则a ＞b ⇔ac ＞bc ； 若c ＜0，则a ＞b ⇔ac ＜bc ； (5)若a ＞0，b ＞0，则a ＞b ⇔a n ＞b n (n ∈N *，n ≥2)[回扣问题7]已知－1≤x ＋y ≤1，1≤x －y ≤3，则3x －y 的取值范围是________．答案 [1，7] 8．解不等式包括一元一次不等式，一元二次不等式，分式不等式和含绝对值的不等式等． 在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示． [回扣问题8]不等式－1＜1x ＜1的解集为________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 9．基本不等式：a ＋b2≥ab (a ，b ＞0) (1)推广：a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b ∈R ＋)．(2)用法：已知x ，y 都是正数，则①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ；②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件． [回扣问题9] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________． 答案 910．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．[回扣问题10] 已知⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.求：①可行域所在区域面积________； ②z ＝x ＋2y 的最大值________；③z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值________． ④z ＝y ＋1x ＋1的范围是________； ⑤z ＝ax ＋y 仅在C (3，1)处取最小值，求a 的范围______． 答案 ①12 ②25 ③92 ④[12，2] ⑤(－2，1)5.立体几何1．空间几何体的结构(棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球)[回扣问题1] 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱( ) ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．( )③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．( )④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．( ) 答案 ①× ②× ③√ ④× 2．简单几何体的表面积和体积(1)S 直棱柱侧＝c ·h (c 为底面的周长，h 为高)． (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)．(3)S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′(c 与c ′分别为上、下底面周长，h ′为斜高)． (4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl (r 为底面半径，l 为母线)， S 圆锥侧＝πrl (同上)， S 圆台侧＝π(r ′＋r )l (r ′、r 分别为上、下底的半径，l 为母线)． (5)体积公式V 柱＝S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝13S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S 、S ′为上、下底面面积，h 为高)． (6)球的表面积和体积S 球＝4πR 2，V 球＝43πR 3.[回扣问题2] 棱长为a 的正四面体的体积为________，其外接球的表面积为________． 答案 212a 3 32πa 23．空间点、线、面的位置关系 (1)平面的三个公理(2)线线位置关系(平行、相交、异面)(3)线面位置关系a ⊂α，a ∩α＝A (a ⊄α)，a ∥α (4)面面位置关系：α∥β，α∩β＝a[回扣问题3] 判断下列命题是否正确，正确的括号内画“√”，错误的画“×”． ①梯形可以确定一个平面．( )②圆心和圆上两点可以确定一个平面．( )③已知a ，b ，c ，d 是四条直线，若a ∥b ，b ∥c ，c ∥d ，则a ∥d .( ) ④两条直线a ，b 没有公共点，那么a 与b 是异面直线．( )⑤若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线．( ) 答案 ①√ ②× ③√ ④×⑤×4．空间的平行关系(1)线面平行：⎭⎬⎫a ∥bb ⊂αa ⊄α⇒a ∥α；⎭⎬⎫α∥βa ⊂β⇒a ∥α；⎭⎬⎫α⊥βa ⊥βa ⊄α⇒a ∥α；(2)面面平行：⎭⎬⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O a ∥βb ∥β⇒α∥β； ⎭⎬⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β； ⎭⎬⎫α∥βγ∥β⇒α∥γ； (3)线线平行：⎭⎬⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b ；⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ；⎭⎬⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ；⎭⎬⎫a ∥cb ∥c ⇒a ∥b . [回扣问题4] 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． ①如果a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面．( ) ②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行．( ) ③如果直线a ，b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b .( ) ④如果直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⊄α，那么b ∥α.( ) 答案 ①× ②× ③× ④√ 5．空间的垂直关系(1)线面垂直：⎭⎬⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b⇒l ⊥α；⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β；⎭⎬⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β；⎭⎬⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α； (2)面面垂直：二面角90°；⎭⎬⎫a ⊂βa ⊥α⇒α⊥β；⎭⎬⎫a ∥βa ⊥α⇒α⊥β； (3)线线垂直：⎭⎬⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b . [回扣问题5] 已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线． ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线． ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题的个数是________．答案 16．三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面外心；侧棱两两垂直(两相对棱垂直)⇔顶点在底面射影为底面垂心；斜高相等(侧面与底面所成相等)⇔顶点在底面射影为底面内心；正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ，则S 侧cos θ＝S 底．[回扣问题6] 过△ABC 所在平面α外一点P ，作PO ⊥α，垂足为O ，连接PA ，PB ，PC . (1)若PA ＝PB ＝PC ，∠C ＝90°，则点O 是AB 边的________点． (2)若PA ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的________心．(3)若PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，则点O 是△ABC 的________心． (4)若P 到AB ，BC ，CA 三边距离相等，则点O 是△ABC 的________心． 答案 (1)中 (2)外 (3)垂 (4)内6.解析几何1．直线的倾斜角α与斜率k (1)倾斜角α的范围为[0，π)． (2)直线的斜率①定义：k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k )．[回扣问题1] 直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π2．直线的方程(1)点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线． (2)斜截式：y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线． (3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线． (4)截距式：x a ＋yb ＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线． (5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式．[回扣问题2] 已知直线过点P (1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________． 答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝03．点到直线的距离及两平行直线间的距离 (1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[回扣问题3] 直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋8y －7＝0的距离为________．答案 1710 4．两直线的平行与垂直①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[回扣问题4] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时，l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合． 答案 －1 12 m ≠3且m ≠－13 5．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆．[回扣问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________．答案 －1 6．直线、圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ＞0⇔相交；Δ＜0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d ＜r ⇔相交；d ＞r ⇔相离；d ＝r ⇔相切． (2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，且r 1＞r 2，则①当O 1O 2＞r 1＋r 2时，两圆外离；②当O 1O 2＝r 1＋r 2时，两圆外切；③当r 1－r 2＜O 1O 2＜r 1＋r 2时，两圆相交；④当O 1O 2＝r 1－r 2时，两圆内切；⑤当0≤O 1O 2＜r 1－r 2时，两圆内含．若两圆相交把两圆x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋C 1＝0与x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋C 2＝0方程相减即得相交弦所在直线方程：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(C 1－C 2)＝0.[回扣问题6] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆的位置关系为________．答案 内切7．对圆锥曲线的定义要做到抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支．[回扣问题7] 方程（x ＋3）2＋y 2＋（x －3）2＋y 2＝6表示的曲线是________． 答案 线段y ＝0(－3≤x ≤3)8．求椭圆、双曲线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．(1)椭圆标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)；焦点在y 轴上，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． (2)双曲线标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)；焦点在y 轴上，y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有共同渐近线的双曲线系为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．[回扣问题8] 与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，且过点(－3，23)的双曲线方程为________． 答案 4x 29－y 24＝19．(1)在把圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解情况可判断位置关系．有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长P 1P 2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]或P 1P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]. [回扣问题9] (判断题)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．( )答案 ×7.概率与统计1．随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[回扣问题1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户，低收入家庭160户，其他为高收入家庭，在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________．解析 由抽样比例可知6x ＝480－200－160480，则x ＝24.答案 242．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．[回扣问题2] 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________．答案 203．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标． 平均数：样本数据的算术平均数，即x －＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s2＝1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(x n－x－)2]．(2)简化计算公式s2＝1n[(x21＋x22＋…＋x2n)－nx－2]，或写成s2＝1n(x21＋x22＋…＋x2n)－x－2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．[回扣问题3] 已知一个样本中的数据为0.12，0.15，0.13，0.15，0.14，0.17，0.15，0.16，0.13，0.14则该样本的众数、中位数分别是________．答案 0.15，0.1454．互斥事件有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(1)公式适合范围：事件A与B互斥．(2)P(A－)＝1－P(A)．[回扣问题4] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝12，P(B)＝16，求出现奇数点或2点的概率之和为________．答案235．古典概型P(A)＝mn(其中，n为一次试验中可能出现的结果总数，m为事件A在试验中包含的基本事件个数)．[回扣问题5] 若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________．答案1 126．几何概型一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为P(A)＝d的度量D的度量.此处D的度量不为0，其中“度量”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等．即P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）[回扣问题6] 在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是________．解析根据几何概型的概率公式求解．“S1＞2S2”即“AP＞2PB”，故所求概率为1 3.答案1 3。

高考数学回归课本必修1到必修5知识点详解一、《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。

性质奇偶与增减，观察图象最明显。

复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。

指数与对数函数，两者互为反函数。

底数非１的正数，１两边增减变故。

函数定义域好求。

分母不能等于０，偶次方根须非负，零和负数无对数；正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。

两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Ｙ＝Ｘ是对称轴；求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。

幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。

二、《三角函数》三角函数是函数，象限符号坐标注。

函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。

正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字１，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。

诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。

二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。

两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。

和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。

条件等式的证明，方程思想指路明。

万能公式不一般，化为有理式居先。

公式顺用和逆用，变形运用加巧用；１加余弦想余弦，１减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集；三、《不等式》解不等式的途径，利用函数的性质。

对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。

数形之间互转化，帮助解答作用大。